З практичної точки зору найбільший інтерес представляє використання похідної для знаходження найбільшого та найменшого значення функції. З чим це пов'язано? Максимізація прибутку, мінімізація витрат, визначення оптимального завантаження устаткування... Інакше кажучи, у багатьох сферах життя доводиться вирішувати завдання оптимізації будь-яких параметрів. А це і є завдання на знаходження найбільшого та найменшого значення функції.
Слід зазначити, що найбільше і найменше значення функції зазвичай шукається на певному інтервалі X , який є всією областю визначення функції або частиною області визначення. Сам інтервал X може бути відрізком, відкритим інтервалом , нескінченним проміжком.
У цій статті ми говоритимемо про знаходження найбільшого та найменшого значень явно заданої функції однієї змінної y=f(x) .
Навігація на сторінці.
Найбільше та найменше значення функції – визначення, ілюстрації.
Стисло зупинимося на основних визначеннях.
Найбільшим значенням функції , що для будь-кого справедлива нерівність.
Найменшим значенням функції y=f(x) на проміжку X називають таке значення , що для будь-кого справедлива нерівність.
Ці визначення інтуїтивно зрозумілі: найбільше (найменше) значення функції - це найбільше (маленьке) значення, що приймається на аналізованому інтервалі при абсцисі.
Стаціонарні точки– це значення аргументу, у яких похідна функції перетворюється на нуль.
Для чого нам стаціонарні точки при знаходженні найбільшого та найменшого значень? Відповідь це питання дає теорема Ферма. З цієї теореми випливає, що якщо функція, що диференціюється, має екстремум (локальний мінімум або локальний максимум) в деякій точці, то ця точка є стаціонарною. Таким чином, функція часто приймає своє найбільше (найменше) значення на проміжку X в одній зі стаціонарних точок цього проміжку.
Також часто найбільше та найменше значення функція може приймати в точках, в яких не існує перша похідна цієї функції, а функція визначена.
Відразу відповімо на одне з найпоширеніших питань на цю тему: "Чи завжди можна визначити найбільше (найменше) значення функції"? Ні не завжди. Іноді межі проміжку X збігаються з межами області визначення функції або інтервал X нескінченний. А деякі функції на нескінченності та на межах області визначення можуть набувати як нескінченно великих так і нескінченно малих значень. У цих випадках нічого не можна сказати про найбільше та найменше значення функції.
Для наочності дамо графічну ілюстрацію. Подивіться малюнки – і багато проясниться.
На відрізку
На першому малюнку функція приймає найбільше (max y) та найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відрізка [-6;6].
Розглянемо випадок, зображений другого малюнку. Змінимо відрізок на . У цьому прикладі найменше значення функції досягається в стаціонарній точці, а найбільше - у точці з абсцисою, що відповідає правій межі інтервалу.
На малюнку №3 граничні точки відрізка [-3;2] є абсцисами точок, що відповідають найбільшому та найменшому значенню функції.
На відкритому інтервалі
На четвертому малюнку функція приймає найбільше (max y) і найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відкритого інтервалу (-6; 6).
На інтервалі про найбільше значення ніяких висновків зробити не можна.
На нескінченності
У прикладі, представленому на сьомому малюнку, функція приймає найбільше значення (max y) у стаціонарній точці з абсцисою x = 1, а найменше значення (min y) досягається на правій межі інтервалу. На мінус нескінченності значення функції асимптотично наближаються до y=3.
На інтервалі функція не досягає найменшого, ні найбільшого значення. При прагненні до x=2 праворуч значення функції прагнуть мінус нескінченності (пряма x=2 є вертикальною асимптотою), а при прагненні абсциси до плюс нескінченності, значення функції асимптотично наближаються до y=3 . Графічна ілюстрація цього прикладу наведено малюнку №8.
Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення безперервної функції на відрізку.
Запишемо алгоритм, що дозволяє знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку.
- Знаходимо область визначення функції та перевіряємо, чи міститься у ній весь відрізок .
- Знаходимо всі точки, в яких не існує перша похідна і які містяться у відрізку (зазвичай такі точки збігаються у функцій з аргументом під знаком модуля і у статечних функцій з дрібно-раціональним показником). Якщо таких точок немає, переходимо до наступного пункту.
- Визначаємо всі стаціонарні точки, що потрапляють у відрізок. Для цього, прирівнюємо її до нуля, вирішуємо отримане рівняння і вибираємо відповідне коріння. Якщо стаціонарних точок немає або жодна з них не потрапляє у відрізок, то переходимо до наступного пункту.
- Обчислюємо значення функції у відібраних стаціонарних точках (якщо такі є), у точках, у яких не існує перша похідна (якщо такі є), а також при x=a та x=b .
- З отриманих значень функції вибираємо найбільше та найменше - вони і будуть шуканими найбільшим та найменшим значеннями функції відповідно.
Розберемо алгоритм при вирішенні прикладу на знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.
приклад.
Знайти найбільше та найменше значення функції
- на відрізку;
- на відрізку [-4; -1].
Рішення.
Областью визначення функції є безліч дійсних чисел, крім нуля, тобто . Обидва відрізки потрапляють у область визначення.
Знаходимо похідну функції по:
Очевидно, похідна функції існує у всіх точках відрізків та [-4;-1].
Стаціонарні точки визначимо з рівняння. Єдиним дійсним коренем є x=2. Ця стаціонарна точка потрапляє у перший відрізок.
Для першого випадку обчислюємо значення функції на кінцях відрізка і в стаціонарній точці, тобто при x = 1 x = 2 і x = 4 :
Отже, найбільше значення функції досягається при x=1 , а найменше значення - При x = 2 .
Для другого випадку обчислюємо значення функції лише на кінцях відрізка [-4;-1] (оскільки він не містить жодної стаціонарної точки):
Постановка задачі 2:
Дана функція, певна і безперервна на певному проміжку. Потрібно знайти найбільше (найменше) значення функції у цьому проміжку.
Теоретичні основи.
Теорема (Друга теорема Вейєрштраса):
Якщо функція визначена і безперервна в замкнутому проміжку , вона досягає у цьому проміжку своїх найбільшого і найменшого значень.
Функція може досягати своїх найбільших та найменших значень або на внутрішніх точках проміжку, або на його межах. Проілюструємо усі можливі варіанти.
Пояснення:
1) Функція досягає свого найбільшого значення на лівій межі проміжку в точці, а свого найменшого значення на правій межі проміжку в точці.
2) Функція досягає свого найбільшого значення в точці (це точка максимуму), а свого найменшого значення на правій межі проміжку в точці.
3) Функція досягає свого найбільшого значення на лівій межі проміжку в точці, а свого найменшого значення в точці (це точка мінімуму).
4) Функція стала на проміжку, тобто. вона досягає свого мінімального та максимального значення в будь-якій точці проміжку, причому мінімальне та максимальне значення рівні між собою.
5) Функція досягає свого найбільшого значення у точці , а свого найменшого значення точці (попри те, що функція має у цьому проміжку як максимум, і мінімум).
6) Функція досягає свого найбільшого значення у точці (це точка максимуму), а свого найменшого значення у точці (це точка мінімуму).
Примітка:
"Максимум" і "максимальне значення" - різні речі. Це випливає із визначення максимуму та інтуїтивного розуміння словосполучення «максимальне значення».
Алгоритм розв'язання задачі 2.
4) Вибрати з отриманих значень найбільше (найменше) та записати відповідь.
Приклад 4:
Визначити найбільше та найменше значення функції на відрізку.
Рішення:
1) Знайти похідну функції.
2) Знайти стаціонарні точки (і точки, підозрілі на екстремум), розв'язавши рівняння . Звернути увагу на точки, в яких немає двосторонньої кінцевої похідної.
3) Обчислити значення функції у стаціонарних точках і межах інтервалу.
4) Вибрати з отриманих значень найбільше (найменше) та записати відповідь.
Функція цьому відрізку досягає свого найбільшого значення у точці з координатами .
Функція цьому відрізку досягає свого найменшого значення у точці з координатами .
У правильність обчислень можна переконатися, подивившись графік досліджуваної функції.
Примітка:Найбільшого значення функція сягає у точці максимуму, а найменшого – межі відрізка.
Окремий випадок.
Припустимо, потрібно знайти максимально та мінімальне значення деякої функції на відрізку. Після виконання першого пункту алгоритму, тобто. обчислення похідної, стає ясно, що, наприклад, вона набуває лише негативних значень на всьому розглянутому відрізку. Пам'ятаємо, якщо похідна негативна, то функція зменшується. Отримали, що на всьому відрізку функція зменшується. Ця ситуація відображена на графіку №1 на початку статті.
На відрізку функція зменшується, тобто. точок екстремумів у неї немає. З зображення видно, що найменше значення функція прийме на правій межі відрізка, а найбільше значення - на лівій. якщо похідна на відрізку всюди позитивна, то функція зростає. Найменше значення - на лівій межі відрізка, найбільше - на правій.
x | |||
y |
Визначення.Пряма у =kх +b (k≠ 0) називається похилою асимптотоюграфіка функції у = f(х)при , де
Загальна схема дослідження функцій та побудови графіків.
Алгоритм дослідження функціїу = f(х) :
1. Знайти область визначення функції D (y).
2. Знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з осями координат (при x= 0 і при y = 0).
3. Дослідити на парність та непарність функції( y (‒ x) = y (x) ‒ парність; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ непарність).
4. Знайти асимптоти графіка функції.
5. Знайти інтервали монотонності функції.
6. Знайти екстремуми функції.
7. Знайти інтервали опуклості (увігнутості) та точки перегину графіка функції.
8. З проведених досліджень побудувати графік функції.
приклад.Дослідити функцію та побудувати її графік.
1) D (y) =
x= 4 ‒ точка розриву.
2) При x = 0,
(0; ‒ 5) ‒ точка перетину з oy.
При y = 0,
3) y(‒ x)= функція загального виду (ні парна, ні непарна).
4) Досліджуємо на асимптоти.
а) вертикальні
б) горизонтальні
в) знайдемо похилі асимптоти де
‒рівняння похилої асимптоти
5) У цьому рівнянні не потрібно знайти інтервали монотонності функції.
6)
Ці критичні точки розбивають всю область визначення функції на інтервалі (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10)і (10; +∞). Отримані результати зручно подати у вигляді наступної таблиці.