Ялтинський навчально-виховний комплекс «Школа-ліцей №9»
Заступник директора з УВРРоманова О.М.
«Моделювання під час уроків математики у початковій школі»
Практичний семінар
Математиці треба вчити у школі
Ще й стій метою, щоб знання,
які тут отримують, були б
достатніми для звичайних
потреб у житті.
М. Лобачевський
План доповіді
Нові орієнтири у математичній освіті.
Методичні засади моделювання. Математична модель.
Використання методу моделювання під час уроків математики у початковій школі.
Ознайомлення учнів із прийомами математичного моделювання.
Застосування моделювання під час вирішення рівнянь.
Моделювання під час вирішення текстових завдань.
Використання моделювання щодо нумерації, прийомів складання і віднімання чисел, і навіть у роботі над одиницями довжини.
Нові орієнтири у математичній освіті. (5 хв)
Загальновідомо, що моделі є мовою математики, а моделювання їх мовою. Успішність оволодіння математикою визначається, насамперед, тим, наскільки добре дитина навчилася «розмовляти» їхньою мовою. Визначається це не лише академічними успіхами учня у вирішенні науково-пізнавальних завдань, а більшою мірою життєвим успіхом особистості – завдякиздатності застосовувати математичні методи для вирішення практичних, реальних завдань, які цього вимагають. Погодьтеся, це також добрий результат навчання математики в школі.
Чи вчимо ми своїх учнів математичної мови? Чи, може, вважаємо це складним завданням для початкової школи? Чи просто сподіваємось на те, що в ході щоденного вирішення прикладів та завдань діти самі поступово навчаться нею користуватися?
За даними моніторингу у школах м.Києва, а також дані всеукраїнського моніторингу свідчать про те, що більшість учнів (60% та відповідно 53%) не вміють працювати з готовими графічними моделями, виконувати творчі завдання, застосовувати отримані знання у нових ситуаціях для вирішення проблеми. .
Такий стан математичної освіти спричинив необхідність суттєвого перегляду державних вимог щодо навчання школярів математики. Нова редакція «Державного стандарту…», яка набула чинності цього року. З позиції особистісно-орієнтованого та компетентнісного підходу фактично переорієнтовує діяльність вчителя.Компетентність - наявність знань та досвіду, необхідних для ефективної діяльності в заданій предметній галузі . Порівняємо . У щечинному Державному стандарті зазначено: «Вивчення математики у початковій школі забезпечує оволодіння учнями знань, умінь і навиків, необхідні подальшого вивчення математики та інших предметів… Вивчення математики сприяє розвитку пізнавальних здібностей молодших школярів – пам'яті, логічного і творчого мислення, уяви, математичної промови».У новій редакції державного стандарту Мета в освітній галузі «Математика» вже визначена як «формування предметної математичної та ключових компетентностей, необхідних для самореалізації учнів у світі, що швидко змінюється». Предметна математична компетентність розглядається як «особистісна освіта, яка характеризує здатність учня (учениці) створювати математичні моделі процесів навколишнього світу, застосовувати досвід математичної діяльності під час вирішення навчально-пізнавальних та практично орієнтованих завдань».
Тому оволодіння математичною промовою – здатність будувати математичні моделі – стає основною метою навчання математики, що реалізується через формування у учнів «умінь користуватися математичною термінологією, знаковою та графічною інформацією».
Позитивний досвід навчання учнів моделювання (і не лише на уроках математики) накопичений системою навчання Д.Б. Ельконіна - В.В. Давидова, спрямований формування в учнів повноцінної навчальної діяльності, однієї з яких є моделювання.
Формування в учнів вміння моделювати є однією з цілей навчання, а моделі, які створюють і якими користуються діти, - це перш за все, один із способів формування умінь вчитися (а не тільки спосіб наочності).
Завдання нашого сьогоднішнього семінару полягає в тому, щоб розібратися в питаннях моделювання, показати, як можна використовувати моделі для навчання молодших школярів вирішувати рівняння та завдання, математичні властивості, прийоми складання та віднімання чисел.
2. Методичні засади моделювання. (8 хв)
Моделювання - це один із засобів пізнання дійсності. Модель використовується для вивчення будь-яких об'єктів (явлень, процесів), для вирішення різних завдань та отримання нової інформації. Отже, модель - якийсь об'єкт (система), використання якої служить отримання знань про інший об'єкт (оригіналі).
Використання моделювання розглядається у двох аспектах:
по-перше, моделювання служить тим змістом, який має бути засвоєний дітьми в результаті педагогічного процесу;
по-друге, моделювання є навчальною дією і засобом, без якого неможливе повноцінне навчання.
Наочність моделей заснована на наступній важливій закономірності: створення моделі проводиться на основі попереднього створення уявної моделі - наочних образів об'єктів, що моделюються, тобто суб'єкт створює у себе уявний образ цього об'єкта, а потім (разом з дітьми) будує матеріальну або образну модель (наочну). Уявні моделі створюються дорослими і можуть перетворюватися на наочні за допомогою певних практичних дій (в яких можуть брати участь і діти), діти також можуть працювати з вже створеними наочними моделями.
У роботі з дітьми можна використовувати заміщення предметів: символи та знаки, площинні моделі (плани, карти, креслення, схеми, графіки), об'ємні моделі, макети.
Використання методу моделювання допомагає вирішувати комплекс важливих завдань:
розвиток продуктивної творчості дітей;
розвиток вищих форм образного мислення;
застосування раніше отриманих знань у вирішенні практичних завдань;
закріплення математичних знань, здобутих дітьми раніше;
створення умов для ділового співробітництва;
активізація математичного словника дітей;
розвиток дрібної моторики руки;
отримання нових уявлень та навичок у процесі роботи;
найбільш глибоке розуміння дітьми принципів роботи та будови оригіналів за допомогою моделей.
Модель дає нам не просто можливість створити наочний образ об'єкта, що моделюється, вона дозволяє створити образ його найбільш істотних властивостей, відображених у моделі. Всі інші несуттєві властивості розробки моделі відкидаються. Таким чином, у нас створюється узагальнений наочний образ об'єкта, що моделюється.
Науковою основою моделювання служить теорія аналогії, в якій основним поняттям є - поняття аналогії - схожість об'єктів за їх якісними та кількісними ознаками. Всі ці види поєднуються поняттям узагальненої аналогії - абстракцією. Аналогія виражає особливий відповідність між зіставлюваними об'єктами, між моделлю і оригіналом.
Моделювання є багатофункціональним, тобто воно використовується різним чином для різних цілей на різних рівнях (етапах) дослідження або перетворення. У зв'язку з цим багатовікова практика використання моделей породила велику кількість форм і типів моделей.
Розглянемо класифікацію, запропоновану Л. М. Фрідманом. З погляду ступеня наочності він усі моделі розбиває на два класи:
крок 1. 1-2
· матеріальні (речові, реальні);
· ідеальні.
До матеріальних моделям відносять такі, які побудовані з будь-яких речових предметів.
Крок 2
Матеріальні моделі, у свою чергу, можна поділити настатичні (нерухомі) тадинамічні (Діючі).
Крок 3
Наступним видом динамічних моделей єаналогові та імітуючі , які відтворюють те чи інше явище за допомогою іншого, в якомусь сенсі зручнішого. Наприклад, така модель - штучна нирка - функціонує однаково з природною (живою) ниркою, виводячи з організму шлаки та інші продукти обміну, але, звичайно, вона влаштована зовсім інакше, ніж жива нирка.
Ідеальні моделі ділять зазвичай на три види:
Крок 4
· образні (іконічні);
· знакові (Знаково-символічні);
· уявні (Розумові).
Класифікацію моделей можна проводити за різними ознаками:
1) за характером моделей (тобто із засобів моделювання);
2) за характером об'єктів, що моделюються;
3) за сферами застосування моделювання (моделювання в техніці, у фізичних науках, хімії, моделювання процесів живого, моделювання психіки тощо)
4) за рівнями («глибини») моделювання.
Найбільш відомою єкласифікація за характером моделей .
Крок 5.
Відповідно до неї розрізняють таківиди моделювання :
Крок 6
1. Предметне моделювання при якому модель відтворює геометричні, фізичні, динамічні або функціональні характеристики об'єкта. Наприклад, модель мосту, греблі, модель крила літака тощо.
Крок 7.
2. Аналогове моделювання , коли модель і оригінал описуються єдиним математичним співвідношенням. Прикладом можуть бути електричні моделі, використовувані вивчення механічних, гідродинамічних і акустичних явищ.
Крок 8
3. Знакове моделювання , при якому моделями служать знакові освіти будь-якого виду: схеми, графіки, креслення, формули, графи, слова та речення.
Крок 9
4. Зі знаковим тісно пов'язаноуявне моделювання , При якому моделі набувають подумки наочний характер.
Крок 10
5. Моделюваний експеримент – особливий вид моделювання, де використовується не сам об'єкт, а його модель.
Основна мета моделювання – виділити та зафіксувати найбільш загальні відносини у предметі для його вивчення.
Метод моделювання – це складна, інтегративна освіта. Відповідно до класифікації дидактичних методів Н.Г. Казанського та Т.С. Назарова, метод моделювання має трикомпонентну структуру
Крок 11(Див. схему). Таким чином, у структурі методу моделюваннязовнішня сторона - Це конкретна форма взаємодії вчителя та учнів.Внутрішня сторона - це сукупність загальнонавчальних прийомів (аналізу, синтезу, узагальнення тощо) та способів навчальної роботи.Технологічна сторона - Це сукупність специфічних прийомів даного методу (попередній аналіз, побудова моделі, робота з нею, перенесення інформації з моделі на об'єкт - оригінал).
Метод моделюванняЗовнішній бік
Внутрішня сторона
Технологічна сторона
Форми:
виклад
бесіда
самостійна робота
Психологічна сутність:
догматичний спосіб навчальної роботи;
евристичний спосіб навчальної роботи
дослідницький спосіб навчальної роботи
Логічна сутність:
аналітичний;
інтетичний;
індуктивний;
дедуктивний;
аналітико-синтетичний
Прийоми побудови моделі;
прийоми перетворення моделі;
прийоми конкретизації моделі
Математична модель. Математичне моделювання.
Математична модель – наближений опис якогось класу явищ зовнішнього світу за допомогою математичної символіки. Наприклад, відносини між елементами А, В, С виражено формулою А + В = С - математична модель.
Процес математичного моделювання, тобто. Вивчення явищ за допомогою математичних моделей можна розділити на чотири етапи.
Крок 12
Перший етап - Виокремлення суттєвих ознак об'єкта.
13.
Другий етап - Побудова моделі.
14 .
Третій етап - Дослідження моделі.
15 .
Четвертий етап -Перенесення отриманих на моделях відомостей на об'єкт, що вивчається.
Особливість моделювання полягає в тому, що наочність є не простим демонструванням натуральних об'єктів, а стимулює самостійну практичну діяльність дітей. Уміння учнів працювати з моделлю, її перетворення вивчення загальних якостей досліджуваних понять становить одне з основних завдань навчання переважають у всіх предметних областях.
Для моделювання використовуються різноманітніматематичні об'єкти: числові формули, числові таблиці, буквені формули, функції, рівняння алгебри, ряди, геометричні фігури, різноманітні графосхеми, діаграми Ейлера-Венна, графи.
3. Використання методу моделювання під час уроків математики у початковій школі. (1,5 хв)
Необхідність оволодіння молодшими школярами шляхом моделювання як шляхом пізнання в процесі навчання можна обгрунтувати з різних позицій.
Крок 16
По-перше , це сприяє формуванню діалектико-матеріалістичного світогляду
17.
По-друге Як показують експерименти, введення у зміст навчання понять моделі та моделювання суттєво змінює ставлення учнів до навчального предмету, робить їхню навчальну діяльність більш осмисленою та більш продуктивною.
18.
По-третє , цілеспрямоване та систематичне навчання методу моделювання наближає молодших школярів до методів наукового пізнання, забезпечує їхній інтелектуальний розвиток. Щоб «озброїти» учнів моделюванням як способом пізнання, вчителю недостатньо лише демонструвати ним різні наукові моделі і показувати процес моделювання окремих явищ. Потрібно, щоб школярі самі будували моделі, самі вивчали якісь об'єкти, явища за допомогою моделювання. Коли учні, вирішуючи практичне математичне (сюжетне) завдання, розуміють, що вона являє собою знакову модель деякої реальної ситуації, складають послідовність різних її моделей, потім вивчають (вирішують) ці моделі і, нарешті, перекладають отримане рішення на мову вихідного завдання, то тим самим школярі опановують методом моделювання.
Ознайомлення учнів із прийомами математичного моделювання. (10 хв)
Відомий психолог П. Гальперін із колегами розробив теорію поетапного формування розумових дій. Відповідно до цієї теорії процес навчання сприймається як оволодіння дитиною системою розумових дій, що відбувається у процесі інтеріоризації (перехід всередину) відповідає зовнішньої практичної діяльності.
Дитина здійснює практичні події з предметами (спочатку з справжніми, та був з уявними) – предметні події. Від них він з опорою спочатку на копіювальний малюнок, а потім і на предметні моделі переходить до графічних моделей. Після запровадження математичних знаків, літер позначення величин учень для опису дій користується формулами, тобто. знаково-літерними моделями, а потім словесними моделями (визначеннями, правилами).
Наприклад, перед дітьми поставлено конкретно-практичне завдання, яке вимагає знайти дві однакові за обсягом посудини (різні формою).Фото крок 19
Після цього діти (а не вчитель) виконують практичні дії: наливають воду в одну банку, переливають в іншу. Якщо до іншої банку увійшла вся вода з першої, то обсяги цих банок рівні. Доцільно запропонувати дітям взяти до рук такі дві смужки, за допомогою яких можна повідомити про відносини між обсягами, формами – однакові вони чи різні. Якщо обсяги банок однакові, діти повинні підняти дві смужки однакові по довжині, а якщо різні, то по довжині різні.Фото
крок 20
Для підведення дітей до використання графічної моделі знову необхідно поставити конкретно-практичне завдання: за допомогою малюнка показати, що обсяг однієї банки більший, ніж інший. Досвід показує, що починають малювати форму банок, тобто. роблять копіювальний малюнок, або малюють смужки, з яких показували відношення обсягів банок.
Після обговорення малюнків робимо висновок: малювати банки – це невдалий спосіб (неточні малюнки, зображено відношення обсягів банок, робота забирає багато часу). Але й смужки у дітей теж різні за шириною та довжиною, на це теж йде багато часу.
В результаті приходимо до висновку, що зручніше ширину смужки взагалі не малювати, креслити лише довжину смужки (тобто відрізки). Якщо величини (довжина, площа, маса, обсяг і т.д.) виявляються однаковими, то мають відрізки однакової довжини, а якщо неоднакові, їх довжина повинна бути різною.Фото в зошит. крок 21.
Таким чином, вводиться зображення величин за допомогою відрізків. Діти вчаться схематично позначати величини, та був будувати графічні (лінійні) моделі.
Доцільним також є запровадження у 1-му класі понять «цілого» та «частини» та розвитку умінь учнів встановлювати відносини між цими поняттями. Як мовою математики записати те, що, наприклад, яблуко складається з окремих частин? Якщо яблуко ціле, позначимо його довкола, а купки яблука – позначимо трикутниками, і отримаємо таку графічну модель.
Крок 22.Слайд 7
+ + + =
Спростимо і матимемо базову модель:
Крок 23. + =
Ціле та частини – це відносні поняття. Основні властивості цього відношення (на безлічі натуральних чисел): ціле не може бути меншим ніж частина, а частина не буває більше, ніж ціле; ціле дорівнює сумі частин, а частина дорівнює різниці між цілим та іншою частиною
Крок 24 = -
Всім добре відомі промінчики, які традиційно використовують для зображення складу числа.Крок 25Слайд 8
Так відносини між частинами та цілим можна показати за допомогою знакографічного запису:
Зкрок 26
А |____________|_____________|
В А В
Схема, яка описує дію додавання, водночас описує і зворотний дію – віднімання:
Крок 27слайд 9
Поняття частини та цілого дає можливість ввести переміщувальну та поєднану властивості складання величин.Слайд 10, 11 (2 кроки), 12
Крок 28, 29, 30
Як і при вивченні додавання та віднімання, для вивчення множення та поділу теж можна використовувати моделювання.
Традиційно множення сприймається як додавання однакових доданків. Нехай величину А додали В раз:слайд 13.
Крок 31.А+А+А+А+А = АхВ
Формула А х В читається так: "по А взяти В раз" або "В раз взяти по А",
Крок 32де А – частина (мірка), яку ма позначали трикутником.
У – кількість рівних частин (кількість мірок), можемо позначити квадратиком.
Для позначення цілого використовуємо той самий знак – гурток.
Ціле характеризується як наслідок арифметичного дії множення чисел А і У.
Х = А х В = С Схема, яка описує цю дію:
|____|_А___|_____________|
Зрозуміло, що коли ми розглянемо поділ як предметну дію, спрямовану поділ за змістом чи рівні частини, з'явиться можливість встановити зв'язок множення і поділу. Тепер крім формули множенняКрок 33.Ах В = С, отримуємо дві зворотні на поділКрок 34.З: А = В ікрок 35. З: У = А (з геометричними фігурами). Це означає, що схема на множення є схемою розподілу.
Застосування моделювання під час вирішення рівнянь. (10 хв)
Для правильного вибору способу розв'язання рівнянь необхідно вміти знаходити відносини цілого і частини. Встановлення зв'язків між додаванням і відніманням величин на основі поняття частини і цілого дає можливість зіставляти ціле із сумою і зменшуваним, частини - з доданками або відніманням і різницею і побачити, що різні дії: А+В=С, С-А=В,або С-В=А – характеризують самі відносини між величинами.
Знаходити невідоме під час вирішення рівнянь допомагають як правила, а й відносини між частинами і цілим, представлених як графічної моделі.Слайд 14 Крок 36.
Алгоритм роботи під час навчання розв'язання рівнянь такий:
Малюємо схему рівняння. Х +5 = 12Крок 37.
Знаходимо ціле та частини спочатку на схемі, потім у рівнянні (наголошуємо)
Називаємо невідомий компонент. З'ясовуємо, чим він є: цілим чи частиною.
Аналізуємо, якою дією знаходитимемо невідому величину.
ЗнаходимоХ. крок 38, 39
Побудованою схемою можна скористатися при вирішенні рівняння на віднімання. 12 - х = 5, оскільки схема, яка описує дію додавання, одночасно є схемою на віднімання. Приклади фото з зошита
Слайди 15,16 (+1 крок ), 17, 18.
Крок, 40, 41, 41-а, 42,43
Завдання рознести дані рівняння на схеми та скласти вираз
слайд 19 крок 44, 45. 44-а, 45-б
Аналогічно використовується моделювання при вирішенні рівнянь на знаходження невідомого множника, дільника та діленого.
Слайд 20( 8 кроків ) крок 46.
Доцільно при закріпленні зв'язку між множенням та розподілом познайомити з поняттям площу, формулою знаходження площі прямокутника та знаходженням невідомої сторони.Слайд 21 (1 крок)
Приклад рівняння. Слайд 22 ( 4 кроки)
Агоритм розв'язання рівнянняСлайд 23 .
Оскільки схема множення є схемою поділу, то з одного рівняння можна скласти два рівняння поділу. Площа – ціле, а сторони довжина та ширина – частини.
Крім того, моделювання дає можливість урізноманітнити творчу роботу над рівняннями. Так, вчитель може запропонувати такі види завдань:
Слайд 24
За схемою скласти та вирішити рівняння.Крок 48.
Слайд 25 ( вирішити з гостями )
(Дано кілька рівнянь і схема) До якого рівняння підійде ця схема? Знайди та розв'яжи.Крок 49.
Слайд 26, 27. 28, 29.
Вирішувати рівняння під час усного рахунку. Крок 50, 51, 52,53
Слайд 30 (10 кроків), 31
Складання умови задачі за схемою рівняння.
Нова презентація (Семінар 2)
Моделювання під час вирішення текстових завдань (18 хв)
Слайд 1
Не можна не погодиться з думкою, що сучасна освіта – це вміння школяра поглянути на реальну, життєву ситуацію з позиції фізика, хіміка, історика, географа, аж ніяк не для того, щоб стати дослідником у цій галузі, а для того, щоб у подальшому знаходити рішення конкретні життєві ситуації.
Стати справжнім дослідником молодший школяр може, вирішуючи текстові завдання щодо математики молодших школярів.
Один з таких підходів – формування в учнів уміння розв'язувати завдання певного виду (наприклад, розв'язання задач на різницеве порівняння тощо, коли відпрацьовується певний вид завдань).Інший заснований на застосуванні семантичного та математичного аналізу текстових завдань, коли завдання розбирається від даних до мети (синтетичний спосіб) та від мети до даних (аналітичний).Третій підхід заснований на методі вирішення навчальних завдань. Формування дії моделювання передбачає якісно інше формування вміння вирішувати текстові завдання.
Арифметичні та алгебраїчні завдання у літературі ще називають сюжетними, т.к. у них завжди є словесний опис якоїсь події, явища, дії, процесу. Текст будь-якої сюжетної задачі можна відтворити по-іншому (предметно, графічно, за допомогою таблиць, формул тощо), а це і є перехід від словесного моделювання до інших форм моделювання. Тому в роботі над завданнями ми приділяємо велику увагу побудові схематичних та символічних моделей, а також уміння працювати з відрізками, графічно моделювати з їх допомогою текстове завдання, порушувати питання, визначати алгоритм вирішення та пошуку відповіді. Молодший школяр, як відомо, не володіє достатнім рівнем абстрактного мислення. І наше завдання полягає саме в тому, щоб поступово навчити його представляти конкретні об'єкти у вигляді символічної моделі, допомогти йому навчитися перекладати текстове завдання математичною мовою. Ми вважаємо, що саме графічне моделювання текстового завдання та, що найважливіше, дає реальну можливість наочно побачити та визначити алгоритм його вирішення, здійснити самостійну рефлексію виконаного завдання.
Але не будь-який запис буде моделлю завдання. Для побудови моделі, для її подальшого перетворення необхідно виділити завданняціль, дані величини, всі відносини, щоб з опорою на цю модель можна було продовжити аналіз, що дозволяє просуватися у рішенні та шукати оптимальні шляхи вирішення. Рішення будь-якої задачі арифметичним способом пов'язане з вибором арифметичної дії, в результаті виконання якої можна дати відповідь на поставлене запитання. Щоб полегшити пошук математичної моделі, необхідно використовувати допоміжну модель.Слайд 2 (Знайомство зі складовими частинами в 1 класі).
Для відтворення ситуації за умови завдання можна використовувати схематичний креслення, який би перехід від тексту завдання до співвіднесення певного арифметичного дії над числами, що сприяє формуванню свідомого і міцного засвоєння загального прийому роботи над завданням. Ця модель дозволяє сформувати в учня вміння роз'яснювати, як і отримав відповідь питанням завдання. Але схематична модель ефективна лише тому випадку, коли вона зрозуміла кожному учневі і вироблені вміння перекладати словесну модель мовою схеми. При навчанні розв'язання простих завдань додавання і віднімання вводяться поняття: ціле, частина та його співвідношення.Слайд 3. (2 кроки)
Щоб знайти частину потрібно від цілого відібрати іншу частину.
Щоб знайти ціле, потрібно частини скласти.
При навчанні вирішення простих завдань на множення та поділ пропонуються схема та відповідні правила:
Щоб знайти ціле, потрібно мірку помножити на кількість мірок.
Щоб визначити мірку, потрібно ціле розділити на кількість мірок.
Щоб визначити кількість мірок, потрібно ціле розділити на мірку.
Слайд 4. (3 кроки)
Даний підхід у навчанні дозволяє відійти від старої класифікації найпростіших завдань. Важливо зображати дані та шукане так, щоб досить чітко виступали залежності між величинами. Розглянутими у завданні, та його відносинами.
Як приклад наведу кілька текстових завдань та їх способи розв'язання за допомогою графічних моделей.
Завдання 1Слайд 5. (5 кроків)
В акваріумі 4 великих та 5 маленьких риб. Скільки всього риб в акваріумі?
Вправи на складання завдань та виразів за картинками (зворотні задачі)Слайд 6. ( 8 кроків)Слайд 7.
Завдання 2Слайд 8
У Олени 5 груш. А у Михайла на 4 більше, ніж у Олени. Скільки груш у Миші?
Приклад завдання складання завдань з картинці і запис решения.Слайд 9.
Завдання 3Слайд 10. (5 кроків)
У Олени 10 груш. Це на 3 більше ніж персиків. Скільки персиків у Олени?
Завдання 4.Слайд 11 (4 кроки).
Сашко купив 5 зошитів за ціною 8 грн та альбом для малювання за 33 гривні. Скільки грошей Сашко заплатив за покупку?
Ціна одного зошита 8 грн – це одиничний відрізок (мірка). Кількість одиничних відрізків (5) вказує на кількість зошитів. Друга частина відрізку відображає ціну (33 грн) та кількість (1) альбомів.
Завдання 5.Слайд 12 (7 кроків).Два способи складання схеми. Два рішення
Заводу необхідно 90 працівників: 50 токарів, 10 слюсарів, решта – вантажники. Скільки потрібно вантажників?
Слайд 13 (3 кроки)складання зворотного завдання. СТОП
Прийоми роботи з завданнями.
На етапі ознайомлення використовую такі прийоми:
Роз'яснення кожної складової моделі.
Вказівка до побудови моделі.
Моделювання з питань і поетапне виконання схеми.
На етапі осмислення схематичного креслення використовую такі прийоми:
Формулювання тексту задачі за запропонованим сюжетом та відрізковою схемою.
Співвіднесення схеми та числового виразу.
Заповнення схеми – заготівля даними завдання.
Знаходження помилок у заповненні схеми.
Вибір схеми завдання.
Вибір завдання до схеми.
Доповнення умов задачі.
Зміна схеми.
Зміна умов задачі.
Зміна тексту завдання.
Підсумком навчання побудови та осмислення схематичного креслення є самостійне моделювання завдань учнями.
Вирішуючи текстові завдання, ми працюємо на формування дії моделювання, і навпаки, чим краще дитина опановує дію моделювання, тим легше вирішувати завдання.
Учнів слід знайомити з різними методами вирішення текстових завдань: арифметичним, алгебраїчним, геометричним, логічним та практичним; з різними видами математичних моделей, які у основі кожного методу; а також з різними способами рішення у межах обраного методу. Вирішення текстових завдань дає багатий матеріал для розвитку та виховання учнів. Короткі записи умов текстових завдань – приклади моделей, які у початковому курсі математики. Метод математичного моделювання дозволяє навчити школярів:
а) аналізу (на етапі сприйняття завдання та вибору шляху реалізації рішення);
б) встановлення взаємозв'язків між об'єктами завдання, побудови найбільш доцільної схеми розв'язання;
в) інтерпретації одержаного рішення для вихідного завдання;
г) складання завдань за готовими моделями та ін.
Презентація робота над завданнямиСлайди15-22 .
Комбінаторика на моделях з 1 класу
2 клас
Розташуй цифри 4, 6, 8 різними способами:
У 3-4 класах
«Дерево» (36 обідів)
Фото з зошита
Використання моделювання при вивченні нумерації, прийомів складання та віднімання чисел та в роботі над одиницями довжини (5 хв)
Уміння перетворювати числа в одиниці рахунку та одиниці виміру найчастіше викликає деякі труднощі. І тут на допомогу доцільно використовувати метод моделювання. Вивчаючи концентр «Десяток» діти схематично вчаться зображати одиниці з допомогою точок.Слайд 25. Вчаться складати та віднімати на моделях.Слайд 26. (7 кроків)Слайд 27.
Вивчаючи "Сотню" діти зображують десятки за допомогою малих трикутників. Навчаються перетворювати числа в одиниці рахунку (дес. та од.) і паралельно з цим діти знайомляться з сантиметром та дециметром. Що дозволяє проводити аналогію у перетворенні одиниць довжини. А також вчать прийоми складання двоцифрових чисел на числових схемах.Слайд 28
Вивчаючи «Тисячу» діти дізнаються, що 10 трикутників (десятків) ми умовно зображатимемо одним великим трикутником (одна сотня). Паралельно діти вивчають нову одиницю довжини – метр. Перетворюючи числа на одиниці рахунку, ми проводимо аналогічну роботу з одиницями довжини.Слайд 29, приклад для числа 342Слайд 30 (5 кроків)
Приклад для числа 320Слайд 31 (6 кроків)
Приклад для числа 302Слайд 32 (8 кроків)
Алгоритми.Слайди 33 та 34(7 кроків)
Рекомендації щодо використання методу моделювання на уроках з математики (3 хв)
Необхідно розуміти, що моделювання у навчанні не бажане, а необхідне, оскільки створює умови для повноцінного та міцного оволодіння учнями методами пізнання та способами навчальної діяльності.
Основними цілями моделювання на уроці є:
Побудова моделі як спосіб конструювання нового способу дій.
навчання побудові моделі з урахуванням аналізу принципів, способів її побудови.
Пам'ятайте, що перші уроки, пов'язані з моделюванням, по суті є уроками постановки навчально-практичного завдання. Проблема, що виникає у дітей, полягає в тому, що способів відображення загального відношення у них недостатньо. Щоразу, коли з'являється нова практична ситуація, діти визначають нові відносини – і знову постає питання, як його передати графічно.
Такі «абстрактні завдання», як накреслити схему за формулою, встановити залежність між величинами, що входять до складу кількох формул тощо. пропонують тоді, коли відносини досліджені, обізнані та відображені у знаках, схемах неодноразово. За моделлю у кожної дитини повинні стояти дії з реальними предметами, які тепер вона здатна виконати в уяві (розумові дії).
Місце моделі для дитини визначається залежно від завдання
Дія може супроводжуватись моделлю. Наприклад, якщо конструювання способу легше виконати моделі, як етап роботи над текстової завданням (відносини між величинами під час читання відображаються схематично).
Модель будується після завершення дій. Для того, щоб усвідомити виконану дію, необхідно побудувати схему окремого відношення. Побудова схеми мотивується питаннями на кшталт: «Як ти це робив?», «Як би ти навчив інших виконувати такі завдання?
І ще кілька порад.
Починати треба з вивчення спеціальної літератури. Наприклад, це методика навчання математики в початкових класах та підручників Є. Олександрової, Л. Петерсон.
На батьківських зборах обов'язково познайомте батьків із методом навчання їхніх дітей. Ваші поради та інструкції можуть стати у нагоді.
Використовуйте будь-яку можливість стати учасником майстер-класів з математичного моделювання.
Куди я вас запрошую.
Розвиток основних психічних процесів – пам'яті, уваги, уяви, образного мислення, мови; перекодування інформації, тобто. перетворення з абстрактних символів на образи; формування навички самостійного моделювання; розвиток дрібної моторики при частковому чи повному графічному відтворенні. Розвиток у дітей пізнавального інтересу до математики Значення моделювання у розвитку дошкільнят.
Використання моделювання в розвитку математичних уявлень дошкільнят дає відчутні позитивні результати, а саме: дозволяє виявити приховані зв'язки між явищами і зробити їх доступними розумінню дитини; -Покращує розуміння дитиною структури та взаємозв'язку складових частин об'єкта або явища; - підвищує спостережливість дитини, дає можливість помітити особливості навколишнього світу;
Етапи роботи з моделями Чотирьох ступінчаста послідовність застосування методу моделювання. Перший етап передбачає знайомство із змістом арифметичних процесів. Другий - навчання опису цих дій мовою математичних знаків та символів. Третій - навчання найпростішим прийомам арифметичних обчислень Четвертий етап - навчання способам розв'язання задач Етапи роботи з моделями
Наочна площинна модель "Будиночок, де знаки та числа живуть" Мета застосування: -закріпити вміння дітей складати числа з двох менших; складати та віднімати числа; -дати дітям ставлення до незмінності числа, величини за умови відмінностей у сумуванні; - вивчати чи закріплювати вміння порівнювати числа (більше, менше, одно).
Наочна площинна модель "Сонячна система" Тільки для дітей старшої та підготовчої групи. Цілі застосування: -дати (або закріпити) уявлення дітей про геометричні тіла та фігури (порівнюючи коло, кулю з іншими геометричними тілами та фігурами); -Навчити дітей визначати і відображати в мові підстави угруповання, класифікації, зв'язку та залежності отриманої групи (сонячна система); -Навчити (або закріпити) вміння дітей визначати послідовність ряду предметів за розміром; -розвивати розуміння просторових відносин, визначати місцезнаходження одних об'єктів щодо інших; -Удосконалювати порядковий та кількісний рахунок; -закріпити вміння користуватися умовною міркою для виміру відстаней; - Закріпити вміння вирішувати арифметичні завдання.
Наочна площинна модель "Рахунковий торт" Мета застосування: -вчити дітей вирішувати арифметичні завдання та розвивати пізнавальні здібності дитини; - вчити виділяти математичні відносини між величинами, орієнтуватися у них.
Завдання
Пошук та аналіз способів локалізації особи, визначення домінуючих ознак класифікації, розробка математичної моделі оптимальної під завдання розпізнавання руху міміки.Тема
Крім визначення оптимального колірного простору для побудови об'єктів, що виділяються на заданому класі зображення, яка проводилася на попередньому етапі дослідження, важливе значення також грає визначення домінуючих ознак класифікації та розробка математичної моделі зображень міміки.Для вирішення цього завдання необхідно, перш за все, задати системі особливості модифікації задачі виявлення обличчя відеокамерою, а потім проводити локалізацію руху губ.
Що стосується першого завдання, то слід виділити два їх різновиди:
Локалізація особи (Face localization);
Відстеження руху обличчя (Face tracking) .
Так як перед нами стоїть завдання розробки алгоритму розпізнавання міміки, то логічно припустити, що цю систему використовуватиме один користувач, який не надто активно рухатиме головою. Отже, для реалізації технології розпізнавання руху губ необхідно взяти за основу спрощений варіант завдання виявлення, де на зображенні є одна і тільки одна особа.
А це означає, що пошук особи можна буде проводити порівняно рідко (близько 10 кадрів/сек. і навіть менше). Разом про те, рухи губ говорящего під час розмови є досить активними, отже, оцінка їх контуру має проводитися з більшою інтенсивністю.
Завдання пошуку особи на зображенні може бути вирішене наявними засобами. Сьогодні є кілька методів виявлення та локалізації обличчя на зображенні, які можна розділити на 2 категорії:
1. Емпіричне розпізнавання;
2. Моделювання зображення обличчя. .
До першої категорії належать методи розпізнавання «зверху-вниз» на основі інваріантних властивостей (invariant features) зображень особи, спираючись на припущення, що існують деякі ознаки присутності осіб на зображенні інваріантні щодо умов зйомки. Дані методи можна розділити на дві підкатегорії:
1.1. Виявлення елементів та особливостей (features), які характерні для зображення обличчя (краю, яскравість, колір, характерна форма рис обличчя та ін.),.;
1.2. Аналіз виявлених особливостей, винесення рішення про кількість та розташування осіб (емпіричний алгоритм, статистика взаємного розташування ознак, моделювання процесів візуальних образів, застосування жорстких та деформованих шаблонів і т.д.) .
Для коректної роботи алгоритму необхідно створення бази даних особливостей особи із наступним тестуванням. Для більш точної реалізації емпіричних методів можуть бути використані моделі, які дозволяють врахувати можливості трансформації особи, а, отже, мають розширений набір базових даних для розпізнавання, або механізм, що дозволяє моделювати трансформацію на базових елементах. Складнощі з побудовою бази даних класифікатора орієнтованих на різний спектр користувачів з індивідуальними особливостями, рисами обличчя і так далі, сприяє зниженню точності розпізнавання даного методу.
До другої категорії належать методи математичної статистики та машинного навчання. Методи цієї категорії спираються на інструментарій розпізнавання образів, розглядаючи завдання виявлення особи, як окремий випадок завдання розпізнавання. Зображенням ставиться певний вектор ознак, який використовується для класифікації зображень на два класи: обличчя/не обличчя. Найпоширеніший спосіб отримання вектора ознак це використання самого зображення: кожен піксель стає компонентом вектора, перетворюючи зображення n×m на вектор простору R^(n×m), де n і m – цілі позитивні числа. . Недоліком такого уявлення є надзвичайно висока розмірність простору ознак. Гідність цього методу стоїть у виключенні з усієї процедури побудова класифікатора участі людини, а також можливість тренування самої системи під конкретним користувачем. Тому використання методів моделювання зображення для побудови математичної моделі локалізації особи є оптимальним для вирішення нашого завдання.
Що стосується сегментування профілю обличчя та відстеження положення точок губ за послідовністю кадрів, то для вирішення цього завдання також слід використовувати математичні методи моделювання. Є кілька способів визначення руху міміки, найвідомішими є використання математичної моделі на основі активних контурних моделей:
Локалізація галузі міміки на основі математичної моделі активних контурних моделей
Активний контур (змійка) – це модель, що деформується, шаблон якої заданий у формі параметричної кривої, ініціалізований вручну набором контрольних точок, що лежать на відкритій або замкнутій кривій на вхідному зображенні.Для адаптації активного контуру до зображення міміки необхідно провести відповідну бінаризацію об'єкта, що досліджується, тобто його перетворення в різновид цифрових растрових зображень, а потім вже слід проводити відповідну оцінку параметрів активного контуру і обчислення вектора ознак.
Активна контурна модель визначається як:
Безліч точок N;
внутрішніх областей енергії інтересу (internal elastic energy term);
зовнішніх областей енергії інтересу (external edge based energy term).
Для покращення якості розпізнавання виділяються два колірні класи – шкіра та губи. Функція приналежності колірному класу має значення від 0 до 1.
Рівняння активної контурної моделі (змійки) є формулою v(s), що виражається як: 
Де E – це енергія змійки (активної контурної моделі). Перші два терми описують енергію регулярності активної контурної моделі (змійки). У нашій полярній координатній системі v(s) = , s від 0 до 1. Третій доданок – енергія, що відноситься до зовнішньої сили, отриманої із зображення, четверте – із силою тиску.
Зовнішня сила визначається, з вищеописаних характеристик. Вона здатна зрушити контрольні точки до певного значення інтенсивності. Вона обчислюється як: 
Множина градієнта (похідна) обчислюється в точках змійки вздовж відповідної радіальної лінії. Сила збільшується, якщо градієнт негативний і зменшується у протилежному випадку. Коефіцієнт перед градієнтом – це ваговий чинник, що залежить від топології зображення. Стискаюча сила – це просто константа, використовується від мінімального вагового коефіцієнта. Найкраща форма змійки виходить за мінімізації енергетичного функціоналу після деякого числа ітерацій.
Розглянемо основні операції обробки зображення докладніше. Для простоти припустимо, що ми вже якось виділили область рота диктора. У цьому випадку основні операції з обробки отриманого зображення, які необхідно виконати, представлені на рис. 3.
Висновок
Для визначення домінуючих ознак класифікації зображення під час проведення дослідницької роботи було виявлено особливості модифікації задачі виявлення обличчя відеокамерою. Серед усіх методів локалізації обличчя та виявлення досліджуваної області міміки найбільш підходящими під завдання створення універсальної системи розпізнавання для мобільних пристроїв є методи моделювання зображення обличчя.Розробка математичної моделі зображень руху міміки полягає в системі активних контурних моделей бінаризації досліджуваного об'єкта. Так як дана математична модель дозволяє після зміни колірного простору з RGB в колірну модель YCbCr здійснювати ефективне перетворення об'єкта, що цікавиться, для подальшого його аналізу на основі активних контурних моделей і виявлення чітких меж міміки після відповідних ітерацій зображення.
Список використаних джерел
1. Вежневець В., Дягтерєва А. Виявлення та локалізація особи на зображенні. CGM Journal, 20032. Там же.
3. E. Hjelmas та B.K. Low, Face detection: A survey, Journal of Computer vision and image understanding, vol.83, pp. 236-274, 2001.
4. G. Yang та T.S. Huang, Human face detection in complex background, Pattern recognition, vol.27, no.1, pp.53-63, 1994
5. K. Sobottka і I. Pitas, A novel метод для автоматичного face segmentation, facial feature extraction and tracking, Signal processing: Image communication, Vol. 12, №3, pp. 263-281, June, 1998
6. F. Smeraldi, O. Cormona, і J. Big.un., Saccadic search with Gabor features applied to eye detection and real-time head tracking, Image Vision Comput. 18, pp. 323-329, 200
7. Гомозов А.А., Крюков А.Ф. Аналіз емпіричних та математичних алгоритмів розпізнавання людської особи. Network-journal. Московський енергетичний інститут (Технічний університет). №1 (18), 2011
Далі буде
Майстер – клас
«Використання моделювання у навчанні математики»
Ціль:
Сприяти систематизації знань вчителів про моделювання та підготовку педагогів до використання навчальних моделей в освітньому процесі з математики.
Завдання:
Створити умови для організації роботи з освоєння педагогами навчальних моделей та визначення можливостей та ефективності їх застосування у процесі навчання математики.
Організаційний етап.
Створення психологічної готовності учасників майстер-класу до спільної роботи.
– Шановні колеги, привіт! Я рада вітати вас на своєму майстер-класі.
Тема мого майстер-класу «Використання моделювання у навчанні математики».
Перед вами лежить таблиця-фіксація знань, заповніть, будь ласка, другу графу «Знаю» на цю тему і відкладіть.
| Хочу дізнатися |
|||
| Моделювання |
Моя мета: Сприяти систематизації знань вчителів про моделювання та підготовку педагогів до використання навчальних моделей в освітньому процесі з математики.
А ваша мета? (Відповіді)
2. Актуальність.
- Як ви вважаєте, чому саме математика так широко представлена у програмі початкової освіти?
Математика як навчальний предмет у початковій школі покликана максимально розвивати особистість молодшого школяра, сприяти становленню його самостійності у навчально-пізнавальній діяльності, тому вона широко представлена у програмі початкової освіти: 4 години на тиждень або 536 годин за курс початкової школи. Завдання вчителя початкової школи – сформувати в усіх дітей базовий рівень математичних уявлень та способів діяльності, необхідні соціальної адаптації у суспільстві. Вирішення цієї задачі часто викликає великі труднощі, оскільки жоден з математичних об'єктів у реальній дійсності не існує, а мислення дітей молодшого шкільного віку переважно наочно-образне, здатності навіть до найпростішого осмислення математичного матеріалу дуже різні.
Тому сучасні вимоги до формування розумових дій під час уроків математики вимагають застосування найефективніших методів та прийомів навчання. Одним із них є метод моделювання.
Метод моделювання став одним із основних методів наукового дослідження. Цей метод, на відміну від інших, є загальним, використовується у всіх науках, на всіх етапах наукового дослідження. Він має величезну евристичну силу, дозволяє звести вивчення складного до простого, невидимого і невідчутного – до видимого і відчутного, незнайомого – до знайомого, тобто. зробити складне явище реальної дійсності доступним для ретельного та всебічного вивчення. У зв'язку з цим застосування моделей та моделювання в навчанні, на думку більшості вчених теоретиків, набуває особливого значення для підвищення теоретичного рівня педагогічної науки та практики.
Необхідність оволодіння молодшими школярами шляхом моделювання як шляхом пізнання в процесі навчання можна обгрунтувати з різних позицій.
- Як ви думаєте з яких?
По-перше, як показують експерименти, введення у зміст навчання понять моделі та моделювання суттєво змінює ставлення учнів до навчального предмета, робить їхню навчальну діяльність більш осмисленою та більш продуктивною.
По-друге, цілеспрямоване та систематичне навчання методу моделювання наближає молодших школярів до методів наукового пізнання, забезпечує їхній інтелектуальний розвиток.
- У визначенні моделювання вставте пропущені слова.
«Моделювання – це метод опосередкованого пізнання, при якому вивчається об'єкт, що не цікавить нас, а його заступник ( модель ), що знаходиться в деякій об'єктивній відповідності до пізнавального об'єкта, здатний заміщати його в певних відносинах і дає при цьому нову інформацію про об'єкт » (Л. М. Фрідман)Слайд 2
При введенні моделювання зміст навчання математиці важливо, щоб учні самі оволоділи методом моделювання, навчилися будувати і перетворювати моделі, відбиваючи різні відносини і закономірності, самі вивчали будь-які об'єкти, явища з допомогою моделювання.
Коли учні, вирішуючи практичне математичне завдання, розуміють, що вона є знаковою модель деякої реальної ситуації, становлять послідовність різних її моделей, потім вивчають (вирішують) ці моделі і, нарешті, перекладають отримане рішення на мову вихідного завдання, то тим самим школярі опановують методом моделювання.
Ознайомлення з видами моделей.
- Які види моделей ви знаєте та застосовуєте на практиці? (при скруті пропонується вибрати із запропонованих варіантів:вербальні, словесні, ілюстраційні, предметні, евристичні, схематичні, математичні, геометричні)
Види моделей: вербальні, предметні, схематичні, математичні.
Можна виділити чотири моделі, які використовуються під час роботи над завданням на уроках математики: предметні, вербальні, схематичні, математичні.
Складається кластер. (Спочатку самостійно, а процесі роботи змінюється, поповнюється, виправляються недоліки.)
прикладами предметних моделейможуть бути сюжетні ілюстрації, окремі предмети чи його зображення. Слайд 3
До групи вербальних моделейми відносимо насамперед сам текст завдання, крім того, різні види коротких записів тексту завдання. Для деяких текстових завдань зручнішою формою вербальної моделі є таблиця. Слайд 4
Коля – 3
Таня - ?, на 2більше
Усього - ?
Схематичні моделіслужать для візуального подання задачної ситуації, але тут використовуються не конкретні предмети та їх зображення, а різного роду умовні позначення, які замінюють реальні предмети (наприклад, кола, квадрати, відрізки, крапки тощо).
Найбільш поширені у початковій школі моделі цього виду – схематичні ілюстрації та схематичні креслення. Слайд 6
Під математичними моделямитреба розуміти математичні вирази чи рівності (3+4, 3+5=8). Слайд 7
Математичний вираз (наприклад запис виду 5+3);
Математична рівність (наприклад, запис виду 5+3=8).
(Роздавальний матеріал для груп «Види моделей»)
4.Дії, які можна проводити з моделями.
Щоб процес переходів від однієї моделі до іншої при вирішенні текстового завдання був продуманим, добре організованим та ефективним, важливо розробити комплекс дидактичних завдань для роботи з навчальними моделями.
- Уточнимо, які дії можна проводити з моделями?
1) Завдання на співвідношення моделей:Слайд 8
при виконанні завдань на співвідношення моделейдитина повинна визначити, чи відповідають один одному запропоновані для порівняння моделі, і пояснити, чому відповідність є чи відсутня. Наприклад, дано малюнок, схема та рівність. Учень розповідає, чому схема підходить до малюнка та рівності. Слайд 9
2) Завдання на побудову моделі:
самостійно побудувати на парті з геометричних фігур схему, що відповідає малюнку, тексту завдання або математичного запису, скласти математичний вираз, що відповідає запропонованому малюнку, схемі чи тексту задачі. Слайд 10
3) Завдання на вибір моделі:
при виконанні завдань цієї групи діти із кількох запропонованих варіантів вибирають той, який відповідає іншій моделі. Слайд 11
4) Приклади завдань на зміну моделі:
змінити запропоновану схему так, щоб нова схема відповідала сюжетній ілюстрації, тексту завдання, числовому виразу або рівності;
змінити запропонований текст завдання так, щоб новий текст відповідав сюжетній ілюстрації, схемі, числовому виразу. Слайд 12
Багато завдань у підручнику можна диференціювати.
Використання навчальних моделей дозволяє зробити доступнішим для дитини сприйняття та розуміння тексту завдання, оскільки моделі допомагають візуалізувати приховані при безпосередньому спостереженні зв'язки та відносини, представлені в тексті задачі.
Завдяки можливості наочно представляти найбільш суттєві характеристики об'єкта, що вивчається, модель служить досить продуктивним видом візуалізації.
Оскільки мислення дітей молодшого шкільного віку переважно наочно-образне, опора на моделі уможливлює залучення учнів до деяких (нехай найпростіших) теоретичних узагальнень. Це дуже важливо на перших кроках навчання розв'язання задачі. Однак для того, щоб робота з моделями призводила до максимальної «віддачі», їх застосування має бути послідовним та систематичним.
Слайд 13 (порожній)
(Роздавальний матеріал «Групи завдань, орієнтованих виконання однієї з наступних дій:….»
5. Групи завдань, орієнтованих виконання однієї з таких действий:
- завдання на співвідношення моделей:
1. Співвіднесення предметної та вербальної моделей.
2. Співвіднесення предметної та схематичної моделей. Чи підходить схема до малюнка?
3.Співвіднесення предметної та математичної моделей.
Чи правильно складено приклад до малюнка?
4. Співвіднесення вербальної та математичної моделей.
Чи правильно Ваня вирішив завдання?
5. Співвіднесення вербальної та схематичної моделей.
Перевір, чи правильно Петя склав схему до завдання.
6. Співвіднесення схематичної та математичної моделей.
Чи правильно складено приклад до схеми
- Вибір моделі:
1. Завдання на вибір моделі при порівнянні предметних та вербальних моделей.
Який короткий запис підходить до малюнка?
2. Завдання на вибір моделі при порівнянні предметних та схематичних моделей.
Вибери схему малюнку.
3. Завдання на вибір моделі при порівнянні предметних та математичних моделей.
Який приклад підходить до малюнка?
4.Завдання на вибір моделі при порівнянні вербальних та математичних моделей.
Вибери правильне рішення задачі.
5. Завдання на вибір моделі при порівнянні вербальних та схематичних моделей.
Вибери схему
6. Завдання на вибір моделі при порівнянні схематичних та математичних моделей.
Який приклад підходить до схеми?
- Зміна моделі:
1. Завдання зміну моделі у парі « Предметна модель – вербальна модель»
Зміни малюнок так, щоб він відповідав тексту завдання. Або навпаки.
Зміни короткий запис, щоб він підходив до малюнка
2. Завдання зміну моделі у парі « Предметна модель – схематична модель»
Доповни схему
3. Завдання зміну моделі у парі « Предметна модель – математична модель»
Петя записав приклад до малюнка. Частина прикладу не видно. Доповни запис.
4. Завдання зміну моделі у парі « Вербальна модель – математична модель»
Змініть текст завдання, щоб воно вирішувалося так:
5. Завдання зміну моделі у парі « Вербальна модель – схематична модель »
Виправ схему
6. . Завдання на зміну моделі в парі «Схематична модель – математична модель»
Катя зробила схему, виправ її помилку.
- Доповни умову та питання, щоб завдання вирішувалося додаванням.
- Зміни схему так, щоб показати її за допомогою дії віднімання
- Побудова моделі:
1. Завдання на побудову моделі в парі «Предметна модель – вербальна модель»
Склади задачу за малюнком або зроби малюнок до тексту задачі (короткого запису)
2. Завдання на побудову моделі в парі «Предметна модель – схематична модель»
Склади схему до запропонованого малюнка або, навпаки, зроби малюнок до запропонованої схеми
3. Завдання на побудову моделі в парі «Предметна модель – математична модель»
Склади приклад до малюнка
4. Завдання на побудову моделі у парі «Вербальна модель – математична модель»
Склади завдання, яке вирішується так 5. Завдання на побудову моделі в парі «Вербальна модель – схематична модель»
Склади завдання за схемою
Склади приклад за схемою або схемою до виразу
6. Робота у групах:
Завдання для роботи у групах
1) Із запропонованого ряду дидактичних завдань виберіть завдання на співвідношення предметної та вербальної моделей під час роботи над завданням.
2) Із запропонованого ряду дидактичних завдань виберіть завдання на співвідношення предметної та вербальної моделей під час роботи над завданням.
а) Чи підходить схема до малюнка?
б) Перевір, чи правильно Катя склала схему до завдання?
в) Перевір, чи вірно Сергій вирішив завдання.
г) Чи підходить короткий запис до малюнка?
д) Чи правильно складено приклад до малюнка?
е) Чи правильно складено приклад до схеми?
3) Із запропонованого ряду дидактичних завдань виберіть завдання на співвідношення предметної та схематичної моделей під час роботи над завданням.
а) Чи правильно складено приклад до схеми?
б) Чи підходить малюнок до завдання?
в) Перевір, чи вірно Сергій вирішив завдання.
г) Чи підходить схема до малюнка?
д) Чи правильно складено приклад до малюнка?
е) Перевір, чи правильно Катя склала схему до завдання?
1) Визначте завдання на вибір моделі. Слайд 14
Визначте завдання на співвідношення моделей. Слайд 15
3) Визначте завдання на побудову моделей.Слайд 16
7.Методичні варіанти використання моделей.Слайд 17
Методичні варіанти використання моделей: репродуктивно-наочний, продуктивно-наочний, репродуктивно-практичний, продуктивно-практичний. Розглянемо приклади використання моделей для пошуку розв'язання текстового завдання: «У Колі 3 яблука, а у Олени 2 яблука. Скільки яблук у дітей разом?
Варіант 1. Репродуктивно-наочний
Вчитель демонструє модель (на дошці, набірному полотні) і її основі дає словесне пояснення про спосіб вирішення завдання. При цьому пояснення є репродуктивною передачею інформації від вчителя до дітей.
Хлопці, я маю на набірному полотні 3 кружки зліва, тому що у нас в задачі сказано, що у Колі було 3 яблука, і 2 кружки праворуч - стільки яблук, за умовою завдання у Олени. У задачі потрібно дізнатися, скільки всього яблук у дітей, тому я присунув кухлі один до одного. Отже, це завдання вирішується за допомогою дії додавання. Давайте разом запишемо розв'язання задачі: 3+2=5.
Варіант 2. Продуктивно-наочний
Вчитель демонструє модель (на дошці, на набірному полотні) й у її побудови проводить із дітьми розмову евристичного характеру про те, щоб діти самі «відкрили» спосіб розв'язання завдання. Тут використовується продуктивна форма здобуття знання.
Приклад пояснення розв'язання задачі:
Діти, зараз я покажу ліворуч яблука Колі, а праворуч яблука Олени. Скільки гуртків я маю поставити зліва? Чому? (Після відповідей дітей вчитель розташовує на набірному полотні 3 кружки зліва.) Скільки гуртків потрібно розташувати на набірному полотні праворуч? Чому? (Після відповідей дітей вчитель розташовує на набірному полотні 2 кружки праворуч.) Що потрібно зробити, щоб показати, що ми збираємо разом яблука Колі та Олени? (Після відповідей дітей вчитель присуває одні гуртки до інших). Якою дією вирішується завдання? Чому? Як запишемо розв'язання задачі?
Варіант 3. Репродуктивно-практичний
Вчитель будує модель (на дошці, на набірному полотні) і водночас просить дітей побудувати таку саму модель на парті чи зошити. У результаті побудови моделі вчитель дає словесне пояснення репродуктивного характеру спосіб вирішення завдання.
Приклад пояснення розв'язання задачі:
Діти, зараз я на набірному полотні поставлю 3 кружки зліва, тому що, за умовою завдання, у Колі було 3 яблука, а 2 кружки праворуч – стільки яблук у Олени. Покладіть разом зі мною 3 кружки на парті зліва, а 2 кружки на парті справа. У задачі потрібно дізнатися, скільки всього яблук у дітей. Тому я присуну кружки один до одного і ви теж на партах посуньте свої кружки один до одного. Оскільки ми з вами присуваємо гуртки, завдання вирішується додаванням. Давайте разом запишемо розв'язання задачі: 3+2=5.
Варіант 4. Продуктивно – практичний
Вчитель будує модель (на дошці, набірному полотні) і водночас просить дітей побудувати таку саму модель на парті чи зошити. У процесі побудови моделі вчитель проводить з дітьми бесіду евристичного характеру для того, щоб діти самі «відкрили» спосіб вирішення завдання.
Приклад пояснення розв'язання задачі
Діти, давайте покажемо ліворуч яблука Колі, а праворуч яблука Олени. Скільки гуртків ми маємо показати ліворуч? Чому? Давайте разом зробимо це: я поставлю кружки ліворуч на набірному полотні, а ви покладете їх ліворуч у себе на парті.
Скільки гуртків ми маємо показати праворуч? Чому? Давайте разом зробимо це: я поставлю кухлі праворуч на набірному полотні, а ви покладете їх праворуч у себе на парті. Що потрібно зробити, щоб показати, що ми збираємо разом яблука Колі та Олени? Правильно, потрібно присунути кружки один до одного. Давайте разом зробимо це: я на набірному полотні, а ви у себе на партах. Що ми зробили, щоб знайти відповідь на завдання? Отже, якою дією вирішується завдання? Як запишемо розв'язання задачі?
При поясненні важкого для дітей матеріалу рекомендується частіше використовувати продуктивно – практичний варіант моделювання, оскільки при цьому забезпечується евристична форма передачі інформації («суб'єктивне відкриття знання») та практична діяльність дитини з побудови та перетворення моделей, що особливо важливо для дитини із середніми чи слабкими математичними. здібностями.
8. Конструкції тексту завдання:Слайд 18
(Роздавальний матеріал для вчителів)
Умова виражена в оповідальній формі, за ним слідує питання, виражене питанням пропозицією; конструкція тексту, що найчастіше зустрічається.
Умова виражена в оповідальній формі, за ним слідує питання, виражене оповідальною пропозицією.
Частина умови виражена в оповідальній формі на початку тексту, потім запитання, що включає питання і частина умови.
Частина умови виражена в оповідальній формі, потім слідує також оповідальна пропозиція, що включає питання та частину умови.
Текст завдання представляє одне складне запитання, в якому спочатку стоїть питання задачі, потім умова.
9. Завдання для роботи у групах:
1 . Кожній групі підібрати з підручника чи скласти завдання 2,3,4,5 конструкцій.
2. Практикум «Види робіт над завданням»
1) на перебування залишку (опорне слово: залишилося)
скласти завдання
4 види моделей
із груп завдань вибрати 1(блок «Завдання на зміну моделі»)
змінити конструкцію завдання
2) на перебування суми (опорне слово: стало)
скласти завдання
4 види моделей
із груп завдань вибрати 2 (блок «Завдання на співвіднесення моделі»)
змінити конструкцію завдання
3) на знаходження різниці (опорне слово: на скільки)
скласти завдання
4 види моделей
із груп завдань вибрати 1 (блок «Завдання на побудову моделі»)
змінити конструкцію завдання
10. Практикум «Розробка допоміжних моделей, що використовуються під час вирішення завдань у початковій школі» Об'єднання моделей у систему.
1 тип схем
ab
2 тип схем
?, на б/м
ab
3 тип схем
Було –
Стало -
ab
4 тип схем
Було –
Залишилось
a
bc
5 тип схем
ac
Рефлексія майстер-класу
Візьміть картку з таблицею-фіксацією, якщо є чим доповнити, впишіть у третій стовпчик. Хто може прочитати дані своєї таблиці? (Відповіді учасників)
Метод «Валіза, Кошик, М'ясорубка»
Математичне моделювання
1. Що таке математичне моделювання?
Із середини XX ст. в різних галузях людської діяльності стали широко застосовувати математичні методи і ЕОМ. Виникли такі нові дисципліни, як «математична економіка», «математична хімія», «математична лінгвістика» тощо, які вивчають математичні моделі відповідних об'єктів та явищ, а також методи дослідження цих моделей.
Математична модель - це наближений опис будь-якого класу явищ чи об'єктів реального світу мовою математики. Основна мета моделювання – дослідити ці об'єкти та передбачити результати майбутніх спостережень. Однак моделювання - це ще й метод пізнання навколишнього світу, що дає змогу керувати ним.
Математичне моделювання та пов'язаний з ним комп'ютерний експеримент незамінні в тих випадках, коли натурний експеримент неможливий або утруднений з тих чи інших причин. Наприклад, не можна поставити натурний експеримент історії, щоб перевірити, «що було б, якби...» Неможливо перевірити правильність тієї чи іншої космологічної теорії. В принципі можливо, але навряд чи розумно, поставити експеримент з поширення будь-якої хвороби, наприклад чуми, або здійснити ядерний вибух, щоб вивчити його наслідки. Однак усе це цілком можна зробити на комп'ютері, побудувавши попередньо математичні моделі явищ, що вивчаються.
2. Основні етапи математичного моделювання
1) Побудова моделі. На цьому етапі визначається деякий «нематематичний» об'єкт - явище природи, конструкція, економічний план, виробничий процес і т. д. При цьому, як правило, чіткий опис ситуації утруднено. Спочатку виявляються основні особливості явища та зв'язку між ними на якісному рівні. Потім знайдені якісні залежності формулюються мовою математики, тобто будується математична модель. Це найважча стадія моделювання.
2) Розв'язання математичного завдання, до якого наводить модель. На цьому етапі велика увага приділяється розробці алгоритмів та чисельних методів вирішення задачі на ЕОМ, за допомогою яких результат може бути знайдений з необхідною точністю та за допустимий час.
3) Інтерпретація одержаних наслідків з математичної моделі.Наслідки, виведені з моделі мовою математики, інтерпретуються мовою, прийнятому у цій галузі.
4) Перевірка адекватності моделі.На цьому етапі з'ясовується, чи узгоджуються результати експерименту з теоретичними наслідками моделі в межах певної точності.
5) Модифікація моделі.На цьому етапі відбувається або ускладнення моделі, щоб вона була адекватнішою дійсності, або її спрощення задля досягнення практично прийнятного рішення.
3. Класифікація моделей
Класифікувати моделі можна за різними критеріями. Наприклад, характером вирішуваних проблем моделі можуть бути поділені на функціональні та структурні. У першому випадку всі величини, що характеризують явище чи об'єкт, виражаються кількісно. При цьому одні з них розглядаються як незалежні змінні, інші - як функції від цих величин. Математична модель зазвичай є системою рівнянь різного типу (диференціальних, алгебраїчних тощо. буд.), встановлюють кількісні залежності між аналізованими величинами. У другому випадку модель характеризує структуру складного об'єкта, що складається з окремих частин, між якими існують певні зв'язки. Як правило, ці зв'язки не піддаються кількісному виміру. Для побудови таких моделей зручно використати теорію графів. Граф - це математичний об'єкт, що є деякою кількістю точок (вершин) на площині чи просторі, деякі з яких з'єднані лініями (ребрами).
За характером вихідних даних та результатів передбачення моделі можуть бути поділені на детерміністичні та імовірнісно-статистичні. Моделі першого типу дають певні однозначні передбачення. Моделі другого типу засновані на статистичній інформації, а передбачення, отримані за їх допомогою, мають імовірнісний характер.
4. Приклади математичних моделей
1) Завдання про рух снаряда.
Розглянемо таке завдання механіки.
Снаряд пущений із Землі з початковою швидкістю v 0 = 30 м/с під кутом a = 45° до її поверхні; потрібно знайти траєкторію його руху та відстань S між початковою та кінцевою точкою цієї траєкторії.
Тоді, як відомо зі шкільного курсу фізики, рух снаряда описується формулами:
де t – час, g = 10 м/с 2 – прискорення вільного падіння. Ці формули дають математичну модель поставленого завдання. Виражаючи t через x з першого рівняння і підставляючи друге, отримаємо рівняння траєкторії руху снаряда:
Ця крива (парабола) перетинає вісь x у двох точках: x 1 = 0 (початок траєкторії) та 
(Місце падіння снаряда). Підставляючи отримані формули задані значення v0 і a, отримаємо
відповідь: y = x - 90x2, S = 90 м.
Зазначимо, що при побудові цієї моделі використано низку припущень: наприклад, вважається, що Земля плоска, а повітря та обертання Землі не впливають на рух снаряда.
2) Завдання про бак з найменшою площею поверхні.
Потрібно знайти висоту h 0 і радіус r 0 бляшаного бака об'єму V = 30 м 3 має форму закритого кругового циліндра, при яких площа його поверхні S мінімальна (у цьому випадку на його виготовлення піде найменша кількість жерсті).
Запишемо такі формули для об'єму та площі поверхні циліндра висоти h та радіуса r:
V = r 2 h, S = 2 r (r + h).
Виражаючи h через r і V з першої формули і підставляючи отриманий вираз у другу, отримаємо:
Таким чином, з математичної точки зору завдання зводиться до визначення такого значення r, при якому досягає свого мінімуму функція S(r). Знайдемо ті значення r 0 при яких похідна
звертається в нуль: 
Можна перевірити, що друга похідна функції S(r) змінює знак з мінуса плюс при переході аргументу r через точку r 0 . Отже, у точці r0 функція S(r) має мінімум. Відповідне значення h0 = 2r0. Підставляючи вираз для r 0 і h 0 задане значення V, отримаємо шуканий радіус 
та висоту 
3) Транспортне завдання.
У місті є два склади борошна та два хлібозаводи. Щодня з першого складу вивозять 50 т борошна, а з другого – 70 т на заводи, причому на перший – 40 т, а на другий – 80 т.
Позначимо через a ij вартість перевезення 1 т борошна з i-го складу на j-й завод (i, j = 1,2). Нехай
a 11 = 1,2 р., a 12 = 1,6 р., a 21 = 0,8 р., a 22 = 1 р.
Як потрібно спланувати перевезення, щоб їхня вартість була мінімальною?
Надамо задачі математичне формулювання. Позначимо через х 1 і х 2 кількість борошна, яке треба перевезти з першого складу на перший і другий заводи, а через х 3 і х 4 - з другого складу на перший і другий заводи відповідно. Тоді:
x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)
Загальна вартість усіх перевезень визначається формулою
f = 1,2 x 1 + 1,6 x 2 + 0,8 x 3 + x 4 .
З математичної точки зору, завдання полягає в тому, щоб знайти чотири числа х 1 , х 2 , х 3 і х 4 , що задовольняють всім заданим умовам і дає мінімум функції f. Розв'яжемо систему рівнянь (1) щодо xi (i = 1, 2, 3, 4) методом виключення невідомих. Отримаємо, що
x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4 , x 3 = 70 – x 4 , (2)
а x 4 може бути визначено однозначно. Так як x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то з рівнянь (2) випливає, що 30 x 4 x 70. Підставляючи вираз для x 1 , x 2 , x 3 у формулу для f, отримаємо
f = 148 - 0,2 x 4 .
Легко бачити, що мінімум цієї функції досягається за максимально можливого значення x 4 , тобто за x 4 = 70. Відповідні значення інших невідомих визначаються за формулами (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.
4) Завдання про радіоактивний розпад.
Нехай N(0) - вихідна кількість атомів радіоактивної речовини, а N(t) - кількість атомів, що не розпалися, в момент часу t. Експериментально встановлено, що швидкість зміни кількості цих атомів N"(t) пропорційна N(t), тобто N"(t)=-l N(t), l >0 - константа радіоактивності даної речовини. У шкільному курсі математичного аналізу показано, що розв'язання цього диференціального рівняння має вигляд N(t) = N(0)e –l t . Час T, протягом якого число вихідних атомів зменшилося вдвічі, називається періодом напіврозпаду, і є важливою характеристикою радіоактивності речовини. Для визначення T треба покласти у формулі 
Тоді 
Наприклад, для радону l = 2,084 · 10 -6 і, отже, T = 3,15 діб.
5) Завдання про комівояжера.
Комівояжеру, який живе в місті A 1 , треба відвідати міста A 2 , A 3 і A 4 , причому кожне місто точно один раз, а потім повернутися назад в A 1 . Відомо, що всі міста попарно з'єднані між собою дорогами, причому довжини доріг b ij між містами A i і A j (i, j = 1, 2, 3, 4) такі:
b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.
Треба визначити порядок відвідування міст, у якому довжина відповідного шляху мінімальна.
Зобразимо кожне місто крапкою на площині та позначимо її відповідною міткою Ai (i = 1, 2, 3, 4). Поєднаємо ці точки відрізками прямих: вони зображатимуть дороги між містами. Для кожної «дороги» зазначимо її протяжність за кілометри (рис. 2). Вийшов граф - математичний об'єкт, що складається з деякої множини точок на площині (званих вершинами) і деякої множини ліній, що з'єднують ці точки (званих ребрами). Більш того, цей граф мічений, тому що його вершинам і ребрам приписані деякі мітки – числа (ребрам) або символи (вершин). Циклом на графі називається послідовність вершин V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 така, що вершини V 1 , ..., V k - різні, а будь-яка пара вершин V i , V i+1 (i = 1, ..., k - 1) і пара V 1, V k з'єднані рубом. Таким чином, завдання, що розглядається, полягає у відшуканні такого циклу на графі, що проходить через всі чотири вершини, для якого сума всіх ваг ребер мінімальна. Знайдемо перебором всі різні цикли, що проходять через чотири вершини і починаються A 1:
1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .
Знайдемо тепер довжини цих циклів (км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Отже, маршрут найменшої довжини - це перший.
Зауважимо, що якщо у графі n вершин і всі вершини попарно з'єднані між собою ребрами (такий граф називається повним), то число циклів, що проходять через усі вершини, дорівнює Отже, у нашому випадку є рівно три цикли.
6) Завдання про знаходження зв'язку між структурою та властивостями речовин.
Розглянемо кілька хімічних сполук, які називають нормальними алканами. Вони складаються з n атомів вуглецю та n + 2 атомів водню (n = 1, 2...), пов'язаних між собою так, як показано на малюнку 3 для n = 3. Нехай відомі експериментальні значення температур кипіння цих сполук:
y е (3) = - 42 °, y е (4) = 0 °, y е (5) = 28 °, y е (6) = 69 °.
Потрібно знайти наближену залежність між температурою кипіння і числом n цих сполук. Припустимо, що ця залежність має вигляд
y » a n + b,
де a, b - константи, що підлягають визначенню. Для знаходження aі b підставимо цю формулу послідовно n = 3, 4, 5, 6 і відповідні значення температур кипіння. Маємо:
– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.
Для визначення найкращих aта b існує багато різних методів. Скористаємося найпростішим із них. Виразимо b через aз цих рівнянь:
b» – 42 – 3 a, b » - 4 a, b » 28 - 5 a, b » 69 - 6 a.
Візьмемо як шукане b середнє арифметичне цих значень, тобто покладемо b » 16 – 4,5 a. Підставимо у вихідну систему рівнянь це значення b і, обчислюючи a, отримаємо для aнаступні значення: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36. Візьмемо як шукане aсереднє значення цих чисел, тобто покладемо a» 34. Отже, шукане рівняння має вигляд
y » 34n - 139.
Перевіримо точність моделі на чотирьох вихідних сполуках, для чого обчислимо температури кипіння за отриманою формулою:
y р (3) = - 37 °, y р (4) = - 3 °, y р (5) = 31 °, y р (6) = 65 °.
Таким чином, помилка розрахунків даної властивості цих сполук не перевищує 5°. Використовуємо отримане рівняння для розрахунку температури кипіння з'єднання з n = 7, що не входить у вихідну множину, для чого підставимо в це рівняння n = 7: y р (7) = 99 °. Результат вийшов досить точний: відомо, що експериментальне значення температури кипіння y е (7) = 98 °.
7) Завдання визначення надійності електричної ланцюга.
Тут ми розглянемо приклад імовірнісної моделі. Спочатку наведемо деякі відомості з теорії ймовірностей – математичної дисципліни, яка вивчає закономірності випадкових явищ, що спостерігаються при багаторазовому повторенні досвіду. Назвемо випадковою подією A можливий результат певного досвіду. Події A 1 ..., A k утворюють повну групу, якщо в результаті досвіду обов'язково відбувається одна з них. Події називаються несумісними, якщо вони можуть статися одночасно у одному досвіді. Нехай за n-кратного повторення досвіду подія A відбулася m разів. Частотою події A називається число W = . Очевидно, що значення W не можна передбачити до проведення серії з n дослідів. Однак природа випадкових подій така, що на практиці іноді спостерігається наступний ефект: при збільшенні числа дослідів значення практично перестає бути випадковим і стабілізується біля деякого невипадкового числа P(A), що називається ймовірністю події A. Для неможливої події (яка ніколи не відбувається у досвіді) P(A)=0, а достовірного події (яке завжди відбувається у досвіді) P(A)=1. Якщо події A 1 ..., Ak утворюють повну групу несумісних подій, то P(A 1)+...+P(A k)=1.
Нехай, наприклад, досвід полягає в підкиданні гральної кістки і спостереженні числа очок X, що випали. Тоді можна ввести наступні випадкові події A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Вони утворюють повну групу несумісних рівноймовірних подій, тому P(A i) = (i = 1, ..., 6).
Сумою подій A і B називається подія A + B, яка полягає в тому, що в досвіді відбувається хоча б одна з них. Добутком подій A і B називається подія AB, що полягає у одночасному появі цих подій. Для незалежних подій A та B вірні формули
P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).
8) Розглянемо тепер таку завдання. Припустимо, що в електричний ланцюг послідовно включені три елементи, що працюють незалежно один від одного. Імовірності відмов 1-го, 2-го та 3-го елементів відповідно дорівнюють P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Вважатимемо ланцюг надійним, якщо ймовірність того, що в ланцюгу не буде струму, не більше 0,4. Потрібно визначити, чи цей ланцюг є надійним.
Так як елементи включені послідовно, то струму в ланцюзі не буде (подія A), якщо відмовить хоча б один із елементів. Нехай A i - подія, що полягає в тому, що i-й елемент працює (i = 1, 2, 3). Тоді P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, що A 1 A 2 A 3 - подія, що полягає в тому, що одночасно працюють всі три елементи, і
P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.
Тоді P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, тому P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.
На закінчення відзначимо, що наведені приклади математичних моделей (серед яких є функціональні та структурні, детерміністичні та ймовірнісні) носять ілюстративний характер і, очевидно, не вичерпують всієї різноманітності математичних моделей, що виникають у природничих та гуманітарних науках.