Як визначити певний інтеграл
за формулою трапецій та методом Сімпсона?

Чисельні методи - досить великий розділ вищої математики та серйозні підручники з цієї теми налічують сотні сторінок. На практиці, у контрольних роботах традиційно пропонуються для вирішення деякі завдання за чисельними методами, і одним із поширених завдань є наближене обчислення певних інтегралів. У цій статті я розгляну два методи наближеного обчислення певного інтегралу. метод трапеційі метод Сімпсона.

Що потрібно знати, щоб освоїти ці методи? Прозвучить кумедно, але можна взагалі не вміти брати інтеграли. І навіть взагалі не розуміти, що таке інтеграли. З технічних засобів буде потрібно мікрокалькулятор. Так-так, на нас чекають рутинні шкільні розрахунки. А ще краще - закачайте мій калькулятор-напівавтомат для методу трапецій та методу Сімпсона. Калькулятор написаний в Екселі і дозволить у десятки разів зменшити час вирішення та оформлення завдань. Для екселевський чайників додається відеомануал! До речі, перший відеозапис із моїм голосом.

Спочатку поставимо питання, а навіщо взагалі потрібні наближені обчислення? Начебто можна знайти первісну функцію і використовувати формулу Ньютона-Лейбніца, обчисливши точне значення певного інтеграла. Як відповідь питанням відразу розглянемо демонстраційний приклад із малюнком.

Обчислити певний інтеграл

Все було б добре, але в даному прикладі інтеграл не береться - перед вами так, що не береться, так званий інтегральний логарифм. А чи взагалі існує цей інтеграл? Зобразимо на кресленні графік підінтегральної функції:

Все гаразд. Підінтегральна функція безперервна на відрізку і певний інтеграл чисельно дорівнює заштрихованій площі. Та ось тільки одна проблема – інтеграл не береться. І в подібних випадках на допомогу приходять чисельні методи. При цьому завдання зустрічається у двох формулюваннях:

1) Обчислити певний інтеграл приблизно , округляючи результат до певного знака після коми. Наприклад, до двох знаків після коми, до трьох знаків після коми тощо. Припустимо, вийшла наближена відповідь 5,347. Насправді він може бути не зовсім вірним (насправді, скажімо, точніша відповідь 5,343). Наше завдання складається лише в томудля округлення результату до трьох знаків після коми.

2) Обчислити певний інтеграл приблизно, з певною точністю. Наприклад, обчислити певний інтеграл приблизно з точністю до 0,001. Що це означає? Це означає, ми повинні знайти таке наближене значення, яке за модулем (в той чи інший бік)відрізняється від істини лише на 0,001.

Існують кілька основних методів наближеного обчислення певного інтеграла, який зустрічається у завданнях:

Відрізок інтегрування розбивається на кілька частин і будується ступінчаста фігура, яка за площею близька до площі, яку шукає:

Чи не судіть строго за креслення, точність не ідеальна - вони лише допомагають зрозуміти суть методів.

Ідея аналогічна. Відрізок інтегрування розбивається на кілька проміжних відрізків і графік підінтегральної функції наближається ламаноюлінією:

Таким чином наша площа (синя штрихування) наближається сумою площ трапецій (червоний колір). Звідси й назва методу. Легко помітити, що метод трапецій дає значно краще наближення ніж метод прямокутників (при однаковій кількості відрізків розбиття). І, природно, що більше дрібніших проміжних відрізків ми розглянемо, тим вище точність. Спосіб трапецій іноді зустрічається в практичних завданнях, і в цій статті буде розібрано кілька прикладів.

Метод Сімпсона (метод парабол). Це досконаліший спосіб – графік підінтегральної функції наближається не ламаною лінією, а дрібними параболками. Скільки проміжних відрізків – стільки й невеликих парабол. Якщо взяти самі три відрізка, то метод Сімпсона дасть ще більш точне наближення, ніж метод прямокутників або метод трапецій.

Креслення будувати не бачу сенсу, оскільки візуально наближення накладатиметься на графік функції (ламана лінія попереднього пункту – і то практично збіглася).

Завдання на обчислення певного інтеграла за формулою Сімпсона – найпопулярніше завдання практично. І методу парабол буде приділено значну увагу.

Як визначити певний інтеграл шляхом трапецій?

Спочатку формула у загальному вигляді. Можливо, вона буде не всім і не відразу зрозуміла ... та Карлссон з вами - практичні приклади все прояснять! Спокій. Тільки спокій.

Розглянемо певний інтеграл, де - функція, безперервна на відрізку. Проведемо розбиття відрізка на рівнихвідрізків:
. При цьому очевидно: (нижня межа інтегрування) і (верхня межа інтегрування). Крапки також називають вузлами.

Тоді певний інтеграл можна обчислити приблизно за формулою трапецій:
, де:
крок;
– значення підінтегральної функції у точках .

Приклад 1

Обчислити приблизно певний інтеграл за формулою трапецій. Результати заокруглити до трьох знаків після коми.

а) Розбивши відрізок інтегрування на 3 частини.
б) Розбивши відрізок інтегрування на 5 елементів.

Рішення:
а) Спеціально для чайників я прив'язав перший пункт до креслення, що наочно демонстрував принцип методу. Якщо буде важко, подивіться на креслення по ходу коментарів, ось його шматок:

За умовою відрізок інтегрування необхідно розділити на 3 частини, тобто .
Обчислимо довжину кожного відрізка розбиття: . Параметр , нагадую, також називають кроком.

Скільки буде точок (вузлів розбиття)? Їх буде на одну більше, ніж кількість відрізків:

Ну а загальна формула трапецій скорочується до приємних розмірів:

Для розрахунків можна використовувати звичайний мікрокалькулятор:

Зверніть увагу, що, відповідно до умови завдання, всі обчислення слід округлювати до 3-го знака після коми.

Остаточно:

З геометричної точки зору ми вирахували суму площ трьох трапецій (Див. рис. вище).

б) Розіб'ємо відрізок інтегрування на 5 рівних частин, тобто . Для чого це потрібно? Щоб Фобос-Грунт не падав до океану – збільшуючи кількість відрізків, ми збільшуємо точність обчислень.

Якщо , то формула трапецій набуває такого вигляду:

Знайдемо крок розбиття:
тобто довжина кожного проміжного відрізка дорівнює 0,6.

При чистовому оформленні завдання всі обчислення зручно оформляти розрахунковою таблицею:

У першому рядку записуємо «лічильник»

Як формується другий рядок, думаю, всім видно – спочатку записуємо нижню межу інтегрування, решту значень отримуємо, послідовно приплюсовуючи крок.

За яким принципом заповнюється нижній рядок, теж, гадаю, практично всі зрозуміли. Наприклад, якщо , то . Що називається, вважай, не лінуйся.

В результаті:

Ну що ж, уточнення, і серйозне, справді є! Якщо для 3 відрізків розбиття наближене значення становило, то для 5 відрізків . Таким чином, з великою часткою впевненості можна стверджувати, що принаймні .

Приклад 2

Обчислити приблизно визначений інтеграл за формулою трапецій з точністю до двох знаків після коми (до 0,01).

Рішення:Майже те саме завдання, але трохи в іншому формулюванні. Принципова відмінність від Прикладу 1 полягає в тому, що ми не знаємо, НА СКІЛЬКИ відрізків розбивати відрізок інтегрування, щоб отримати два вірні знаки після коми. Інакше кажучи, ми знаємо значення .

Існує спеціальна формула, що дозволяє визначити кількість відрізків розбиття, щоб гарантовано досягти необхідної точності, але на практиці вона часто важко застосовується. Тому вигідно використати спрощений підхід.

Спочатку відрізок інтегрування розбивається кілька великих відрізків, зазвичай, на 2-3-4-5. Розіб'ємо відрізок інтегрування, наприклад, на ті ж 5 частин. Формула вже знайома:

І крок, звичайно, теж відомий:

Але виникає ще одне питання, до якого розряду округляти результати? В умові нічого не сказано про те, скільки залишати знаків після коми. Загальна рекомендація така: до необхідної точності потрібно додати 2-3 розряди. У разі необхідна точність 0,01. Згідно з рекомендацією, після коми для вірності залишимо п'ять знаків (можна було й чотири):

В результаті:
, Позначимо наближення через .

Після первинного результату кількість відрізків подвоюють. У разі необхідно провести розбиття на 10 відрізків. І коли кількість відрізків зростає, то на думку спадає світла думка, що тикати пальцями в мікрокалькулятор вже якось набридло. Тому ще раз пропоную закачати та використовувати мій калькулятор-напівавтомат (посилання на початку уроку).

Для формула трапецій набуває наступного вигляду:

У паперовій версії запис можна спокійно перенести на наступний рядок.

Обчислимо крок розбиття:

Результати розрахунків зведемо до таблиці:


При чистовому оформленні в зошит довгу таблицю вигідно перетворити на двоповерхову.

В результаті:

Тепер обчислимо розбіжність між наближеннями:

Тут використовуємо знак модуля, оскільки нас цікавить абсолютна різниця, а не якийсь результат більше, а який – менше.

Що стосується подальших дій, то особисто мені на практиці зустрічалося 2 шляхи вирішення:

1) Перший спосіб - це "порівняння в лоб". Оскільки отримана оцінка похибки більше, ніж потрібна точність: необхідно ще раз подвоїти кількість відрізків розбиття до і обчислити вже. За допомогою екселевський калькулятор готовий результат можна отримати в лічені секунди: . Тепер знову оцінюємо похибку: . Отримана оцінка менше, ніж потрібна точність: Отже, обчислення закінчено. Залишилося округлити останній (найточніший) результат до двох знаків після коми і дати відповідь.

2) Інший, більш ефективний спосіб заснований на застосуванні так званого правила Рунге, згідно з яким ми помиляємося в оцінці певного інтеграла насправді не більше ніж на . У нашій задачі: таким чином, потреба в обчисленні відпадає. Однак за швидкість рішення в цьому випадку довелося розрахуватися точністю: . Проте такий результат є прийнятним, оскільки наш «ліміт на помилку» якраз і становить одну соту.

Що вибрати? Орієнтуйтесь на вашу методичку чи переваги викладача.

Відповідь: з точністю до 0,01 (При використанні правила Рунге).

Приклад 3

Обчислити приблизно визначений інтеграл за формулою трапецій з точністю до 0,001.

Перед вами знову інтеграл, що не береться (майже інтегральний косинус). У прикладі рішення першому етапі проведено розбиття на 4 відрізка, тобто . Повне рішення та зразковий зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Як визначити певний інтеграл за формулою Сімпсона?

Якщо ви шукали на цій сторінці тільки спосіб Сімпсона, то рекомендую спочатку прочитати початок уроку і переглянути хоча б перший приклад. З тієї причини, що багато ідей і технічні прийоми будуть схожими на спосіб трапецій.

І знову, почнемо із загальної формули
Розглянемо певний інтеграл, де - функція, безперервна на відрізку. Проведемо розбиття відрізка на парнекількість рівнихвідрізків. Точна кількість відрізків позначають через .

На практиці відрізків може бути:
два:
чотири:
вісім:
десять:
двадцять:
Інші варіанти не пригадую.

Увага!Число розуміється як ЄДИНЕ ЧИСЛО. Тобто, НЕ МОЖНАскорочувати, наприклад, на два, отримуючи . Запис лише позначає, що кількість відрізків парно. І ні про які скорочення не йдеться

Отже, наше розбиття має такий вигляд:

Терміни аналогічні термінам методу трапецій:
Крапки називають вузлами.

Формула Сімпсонадля наближеного обчислення певного інтеграла має такий вигляд:
, де:
- Довжина кожного з маленьких відрізків або крок;
- Значення підінтегральної функції в точках .

Деталізуючи це нагромадження, розберу формулу докладніше:
– сума першого та останнього значення підінтегральної функції;
- сума членів з парнимиіндексами множиться на 2;
- сума членів з непарнимиіндексами множиться на 4.

Приклад 4

Обчислити приблизно визначений інтеграл за формулою Сімпсона з точністю до 0,001. Розбиття почати з двох відрізків

Інтеграл, до речі, знову не береться.

Рішення:Відразу звертаю увагу на тип завдання – необхідно обчислити певний інтеграл з певною точністю. Що це означає вже коментувалося на початку статті, а також на конкретних прикладах попереднього параграфа. Як і для методу трапецій існує формула, яка відразу дозволить визначити потрібну кількість відрізків (значення «ен») щоб гарантовано досягти необхідної точності. Щоправда, доведеться знаходити четверте похідне та вирішувати екстремальне завдання. Хто зрозумів, що я, і оцінив обсяг роботи, той усміхнувся. Однак тут не до сміху знаходити четверту похідну від такої підінтегральної функції буде вже не мегаботан, а клінічний психопат. Тому практично завжди використовується спрощений метод оцінки похибки.

Починаємо вирішувати. Якщо у нас два відрізки розбиття, то вузлів буде на один більше: . І формула Сімпсона набуває досить компактного вигляду:

Обчислимо крок розбиття:

Заповнимо розрахункову таблицю:

Ще раз коментую, як заповнюється таблиця:

У верхній рядок записуємо «лічильник» індексів

У другому рядку спочатку пишемо нижню межу інтегрування, а потім послідовно приплюсовуємо крок.

У третій рядок заносимо значення підінтегральної функції. Наприклад, якщо , то . Скільки залишати знаків після коми?Справді, за умови знову про це нічого не сказано. Принцип той самий, що у методі трапецій, дивимося на необхідну точність: 0,001. І додаємо додатково 2-3 розряди. Тобто округляти потрібно до 5-6 знаків після коми.

В результаті:

Первинний результат отримано. Тепер подвоюємокількість відрізків до чотирьох: . Формула Сімпсона для даного розбиття набуває наступного вигляду:

Обчислимо крок розбиття:

Заповнимо розрахункову таблицю:


Таким чином:

Знайдемо абсолютне значення різниці між наближеннями:

Правило Рунґе для методу Сімпсона дуже смачне. Якщо при використанні методу середніх прямокутниківі методу трапецій нам дається «поблажка» в одну третину, то зараз – аж в одну п'ятнадцяту:
, І точність тут вже не страждає:

Але для повноти картини я наведу і «простецьке» рішення, де доведеться зробити додатковий крок: оскільки більше потрібної точності: , необхідно ще раз подвоїти кількість відрізків: .

Формула Сімпсона росте, як на дріжджах:

Обчислимо крок:

І знову заповнимо розрахункову таблицю:

Таким чином:

Зауважте, що тут обчислення бажано вже розписати докладніше, оскільки формула Сімпсона досить громіздка, і якщо відразу бухнути:
, то виглядатиме це бухло буде як халтура. А при більш детальному записі у викладача складеться враження, що ви сумлінно прали клавіші мікрокалькулятора протягом доброї години. Детальні обчислення для «важких» випадків є у моєму калькуляторі.

Оцінюємо похибку:

Похибка менша за потрібну точність: . Залишилося взяти найбільш точне наближення, округлити його до трьох знаків після коми і записати:

Відповідь: з точністю до 0,001

Приклад 5

Обчислити приблизно визначений інтеграл за формулою Сімпсона з точністю до 0,0001. Розбиття почати з двох відрізків

Це приклад самостійного рішення. Зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку.

У заключній частині уроку розглянемо ще кілька поширених прикладів

Приклад 6

Обчислити наближене значення певного інтегралу за допомогою формули Сімпсона розбивши відрізок інтегрування на 10 частин. Обчислення проводити з точністю до третього знака після коми.

Сьогодні ми познайомимося із ще одним методом чисельного інтегрування, методом трапецій. З його допомогою ми обчислюватимемо певні інтеграли із заданим ступенем точності. У статті опишемо суть методу трапецій, розберемо, як виводиться формула, порівняємо метод трапеції з методом прямокутника, запишемо оцінку абсолютної похибки методу. Кожен із розділів ми проілюструємо прикладами для глибшого розуміння матеріалу.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Припустимо, що нам потрібно приблизно обчислити певний інтеграл ∫ a b f (x) d x , підінтегральна функція якого y = f (x) безперервна на відрізку [ a ; b]. Для цього розділимо відрізок [a; b] на кілька рівних інтервалів довжини h точками a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Знайдемо крок розбиття: h = b - a n. Визначимо вузли з рівності x i = a + i · h, i = 0, 1,. . . , n.

На елементарних відрізках розглянемо підінтегральну функцію x i - 1; x i, i = 1, 2,. . , n.

При нескінченному збільшенні n зведемо всі випадки до чотирьох найпростіших варіантів:

Виділимо відрізки x i - 1; x i, i = 1, 2,. . . , n. Замінимо на кожному з графіків функцію y = f(x) відрізком прямої, який проходить через точки з координатами xi - 1; f x i - 1 і x i; f x i. Зазначимо їх на малюнках синім кольором.

Візьмемо вираз f (xi - 1) + f (xi) 2 · h як наближеного значення інтеграла ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Тобто. приймемо ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (xi - 1) + f (xi) 2 · h .

Давайте подивимося, чому метод чисельного інтегрування, який ми вивчаємо, зветься методом трапецій. Для цього нам потрібно з'ясувати, що з погляду геометрії означає записану наближену рівність.

Для того щоб обчислити площу трапеції, необхідно помножити півсуми її підстав на висоту. У першому випадку площа криволінійної трапеції приблизно дорівнює трапеції з основами f (xi - 1), f (xi) висотою h . У четвертому з наведених випадків заданий інтеграл ∫ x i - 1 x f (x) d x приблизно дорівнює площі трапеції з основами - f (xi - 1) , - f (xi) і висотою h , яку необхідно взяти зі знаком «-». Для того, щоб обчислити наближене значення певного інтеграла ∫ x i - 1 x i f (x) d x у другому та третьому з розглянутих випадків, нам необхідно знайти різницю площ червоної та синьої областей, які ми відзначили штрихуванням на малюнку нижче.

Підіб'ємо підсумки. Суть методу трапецій полягає в наступному: ми можемо уявити певний інтеграл ∫ a b f (x) d x у вигляді суми інтегралів виду ∫ x i - 1 x i f (x) d x на кожному елементарному відрізку та в наступній наближеній заміні ∫ x i - 1 x i f (x) ≈ f(xi-1) + f(xi) 2 · h .

Формула методу трапецій

Згадаймо п'яту властивість певного інтеграла: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Для того, щоб отримати формулу методу трапецій, необхідно замість інтегралів ∫ x i - 1 x i f (x) d x підставити їх наближені значення: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 · h = = h 2 · (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Визначення 1

Формула методу трапецій:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Оцінка абсолютної похибки методу трапецій

Оцінимо абсолютну похибку методу трапецій наступним чином:

Визначення 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) · b - a 3 12 n 2

Графічна ілюстрація методу трапецій наведена малюнку:

Приклади обчислень

Розберемо приклади використання методу трапецій наближеного обчислення певних інтегралів. Особливу увагу приділимо двом різновидам завдань:

• обчислення певного інтеграла методом трапецій даного числа розбиття відрізка n;
• знаходження наближеного значення певного інтеграла з обумовленою точністю.

При заданому n усі проміжні обчислення необхідно проводити з досить високим ступенем точності. Точність обчислень має бути вище, ніж більше n .

Якщо ми маємо задану точність обчислення певного інтеграла, всі проміжні обчислення необхідно проводити на два і більше порядків точніше. Наприклад, якщо задана точність до 0 01 то проміжні обчислення ми проводимо з точністю до 0 0001 або 0 00001 . При великих n проміжні обчислення необхідно проводити ще більш високої точністю.

Розглянемо наведене вище правило з прикладу. Для цього порівняємо значення певного інтеграла, обчисленого за формулою Ньютона-Лейбніца та отриманого за методом трапецій.

Отже, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 r c t g (x) 0 5 = 7 r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .

Приклад 1

Обчислимо за методом трапецій певний інтеграл ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x для n 10 .

Рішення

Формула методу трапецій має вигляд ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Для того, щоб застосувати формулу, нам необхідно обчислити крок h за формулою h = b - a n, Визначити вузли x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n обчислити значення підінтегральної функції f (x) = 7 x 2 + 1 .

Крок розбиття обчислюється так: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Для обчислення підінтегральної функції у вузлах x i = a + i · h, i = 0, 1,. . . n будемо брати чотири знаки після коми:

i = 0: x 0 = 0 + 0 · 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 · 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f(x1) = f(0.5) = 7 0 , 5 2 + 1 = 5 , 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

Внесемо результати обчислень до таблиці:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x i	0	0 . 5	1	1 , 5	2	2 , 5	3	3 , 5	4	4 , 5	5
f (x i)	7	5 , 6	3 , 5	2 , 1538	1 , 4	0 , 9655	0 , 7	0 , 5283	0 , 4117	0 , 3294	0 , 2692

Підставимо отримані значення у формулу методу трапецій: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 · 7 + 2 · 5, 6 + 3, 5 + 2, 1538 + 1, 4 + 0, 9655 + 0, 7 + 0, 5283 + 0, 4117 + 0, 3294 + 0, 2692 = 9,

Порівняємо наші результати з результатами, обчисленими за формулою Ньютона-Лейбніца. Отримані значення збігаються до сотих.

Відповідь:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Приклад 2

Обчислимо методом трапецій значення певного інтеграла ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x з точністю до 0,01 .

Рішення

Відповідно до умови задачі a = 1; b = 2, f(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60; δ n ≤ 0,01.

Знайдемо n , яка дорівнює кількості точок розбиття відрізка інтегрування за допомогою нерівності для оцінки абсолютної похибки n ≤ m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Зробимо ми це в такий спосіб: ми знайдемо значення n , котрим буде виконуватися нерівність m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . За даними n формула трапецій дасть нам наближене значення певного інтеграла із заданою точністю.

Для початку знайдемо найбільше значення модуля другої похідної функції на відрізку [1; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Друга похідна функція є квадратичною параболою f""(x) = x2. З її властивостей ми знаємо, що вона позитивна та зростає на відрізку [1; 2]. У зв'язку з цим m a x x ∈ [a; b ] f " " (x) = f " " (2) = 2 2 = 4 .

У наведеному прикладі процес знаходження m a x x ∈ [a; b ] f " " (x) виявився досить простим. У складних випадках щодо обчислень можна звернутися до найбільшим і найменшим значенням функції. Після розгляду цього прикладу ми наведемо альтернативний метод знаходження m a x x ∈ [a; b] f "" (x).

Підставимо отримане значення в нерівність m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 · (2 ​​- 1) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 , 7735

Кількість елементарних інтервалів, на які розбивається відрізок інтегрування є натуральним числом. Для поведінки обчислень візьмемо n дорівнює шести. Таке значення n дозволить нам досягти заданої точності методу трапецій за мінімум розрахунків.

Обчислимо крок: h = b - a n = 2 - 16 = 16.

Знайдемо вузли x i = a + i · h, i = 1, 0,. . . , n , визначимо значення підінтегральної функції цих вузлах:

i = 0: x 0 = 1 + 0 · 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 · 1 4 + 1 3 · 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 · 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 · 7 6 4 + 1 3 · 7 6 - 1 60 ≈ 0,5266 . . . i = 6: x 10 = 1 + 6 · 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 · 2 4 + 1 3 · 2 - 1 60 ≈ 1 , 9833

Результати обчислень запишемо у вигляді таблиці:

i	0	1	2	3	4	5	6
x i	1	7 6	4 3	3 2	5 3	11 6	2
f x i	0 , 4	0 , 5266	0 , 6911	0 , 9052	1 , 1819	1 , 5359	1 , 9833

Підставимо отримані результати у формулу трапецій:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 · 0 , 4 + 2 · 0 , 5266 + 0 , 6911 + 0 , 9052 + 1 , 1819 + 1 , 5359 + 1 , 9833 ≈ 1 , 0054

Для порівняння обчислимо вихідний інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Як бачимо, отриманої точності обчислень ми досягли.

Відповідь: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1 , 0054

Для підінтегральних функцій складного виду перебування числа n з нерівності з метою оцінки абсолютної похибки який завжди просто. У цьому випадку буде доречним такий метод.

Позначимо наближене значення певного інтеграла, яке було отримано методом трапецій для n вузлів, як I n . Виберемо довільне число n. За формулою методу трапецій обчислимо вихідний інтеграл при одинарному (n = 10) та подвоєному (n = 20) числі вузлів та знайдемо абсолютну величину різниці двох отриманих наближених значень I 20 - I 10 .

Якщо абсолютна величина різниці двох отриманих наближених значень менша за потрібну точність I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Якщо абсолютна величина різниці двох отриманих наближених значень більше необхідної точності, необхідно повторити дії з подвоєним кількістю вузлів (n = 40) .

Такий метод вимагає проведення великого обсягу обчислень, тому розумно використовувати обчислювальну техніку для економії часу.

Вирішимо за допомогою наведеного вище алгоритму завдання. З метою економії часу опустимо проміжні обчислення методом трапецій.

Приклад 3

Необхідно обчислити певний інтеграл ∫ 0 2 x e x d x за методом трапецій з точністю до 0,001.

Рішення

Візьмемо n 10 і 20 . За формулою трапецій отримаємо I 10 = 8,4595380, I 20 = 8,4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8,4595380 = 0,0528474> 0,001, що вимагає продовження обчислень.

Візьмемо n рівне 40: I 40 = 8,3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0,013225>0,001, що також вимагає продовження обчислень.

Візьмемо n рівне 80: I 80 = 8 3901585 .

I 80 - I 40 = 8, 3901585 - 8,3934656 = 0,0033071>0,001, що вимагає проведення ще одного подвоєння числа вузлів.

Візьмемо n рівне 160: I 160 = 8,3893317.

I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

Отримати наближене значення вихідного інтеграла можна округлити I 160 = 8 , 3893317 до тисячних: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

Для порівняння обчислимо вихідний певний інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 3890561 . Необхідна точність досягнуто.

Відповідь: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389

Похибки

Проміжні обчислення для визначення значення певного інтеграла проводять здебільшого приблизно. Це означає, що зі збільшенням n починає накопичуватися обчислювальна похибка.

Порівняємо оцінки абсолютних похибок методу трапецій та методу середніх прямокутників:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [a; b] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [a; b] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .

Метод прямокутників для заданого n за однакового обсягу обчислювальної роботи дає вдвічі меншу похибку. Це робить метод кращим у тих випадках, коли відомі значення функції в середніх відрізках елементарних відрізків.

У тих випадках, коли інтегровані функції задаються не аналітично, а як безліч значень у вузлах, ми можемо використовувати метод трапецій.

Якщо порівнювати точність методу трапецій та методу правих та лівих прямокутників, то перший метод перевершує другий у точності результату.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

5.3 Метод трапецій

Виведемо формулу трапецій як і, як і формулу прямокутників, з геометричних міркувань. Замінимо графік функції y = f(x) (рис.5.1) ламаною лінією (рис.5.7), отриманої в такий спосіб. З точок a = x 0 x 1 x 2 ... x n = b проведемо ординати до перетину з кривою y = f (x). Кінці ординат з'єднаємо прямолінійними відрізками.

Тоді площа криволінійної трапеції приблизно вважатимуться рівної площі фігури, складеної з трапецій. Оскільки площа трапеції, побудованої на відрізку довжини h = , дорівнює h , то, користуючись цією формулою для i = 0, 2, …, n – 1, отримаємо квадратурну формулу трапецій:

I=»I тр =h= (5.7)

Оцінка похибки. Для оцінки похибки формули трапецій скористаємося наступною теоремою.

Теорема 5.2. Нехай функція f двічі безперервно диференційована на відрізку. Тоді для формули трапецій справедлива така оцінка похибки:

| I - I тр | £ h 2 , (5.8)

де M 2 = | f "(x) |.

Приклад 5.2.

Обчислимо значення інтеграла за формулою трапецій (5.7) та порівняємо отриманий результат із результатом прикладу 5.1.

Використовуючи таблицю значень функції eз прикладу 5.1 і роблячи обчислення за формулою трапецій (5.7), отримаємо: I тр = 0.74621079.

Оцінимо похибку отриманого значення. На прикладі (5.1) отримали оцінку: | f "(x) | £ M 2 = 2. Тому за формулою (5.8)

I - I тр | £ (0.1) 2 » 1.7× 10 -3 .

Порівнюючи результати прикладів 5.1 і 5.2, бачимо, що середніх прямокутників має меншу похибку, тобто. він точніший.

5.4 Метод Сімпсона (метод парабол)

Замінимо графік функції y = f(x) на відрізку , i = 0, 2, … , n – 1, параболою, проведеної через точки (x i , f (xi)), (x, f (x)), (xi + 1 f (x i + 1)), де x - середина відрізка . Ця парабола є інтерполяційним багаточленом другого ступеня L 2 (x) з вузлами x i , x, x i + 1 . Неважко переконатися, що рівняння цієї параболи має вигляд:

f(x) + (x - x) + (x - x) 2 , (5.9)

Проінтегрувавши функцію (5.9) на відрізку , отримаємо

I i = = (f(x i) + 4f(x) + f(x i+ 1)). (5.10)

Підсумовуючи вираз (5.10) з i = 0, 1, 2, … , n – 1, отримаємо квадратурну формулу Сімпсона (або формулу парабол):

I = » I С = (f (x 0) + f (x n) + 4 + 2). (5.11)

Оцінка похибки. Для оцінки похибки формули Сімпсона скористаємося наступною теоремою.

Теорема 5.2. Нехай функція f має на відрізку безперервну похідну четвертого порядку f(4) (x). Тоді для формули Сімпсона (5.9) справедлива така оцінка похибки:

| I – I З | £ h 4 , (5.12)

де M4 = | f (4) (x) |.

Зауваження. Якщо число елементарних відрізків, куди ділиться відрізок , парно, тобто. n = 2m, то парабол можна проводити через вузли з цілими індексами, і замість елементарного відрізка довжини h розглядати відрізок довжини 2h. Тоді формула Сімпсона набуде вигляду:

I (f(x 0) + f(x 2m) + 4 + 2), (5.13)

а замість оцінки (5.10) буде справедлива така оцінка похибки:

| I – I З | £ h 4 , (5.14)

Приклад 5.3.

Обчислимо значення інтеграла за формулою Сімпсона (5.11) та порівняємо отриманий результат із результатами прикладів 5.1 та 5.2.

Використовуючи таблицю значень функції eз прикладу 5.1 і роблячи обчислення за формулою Сімпсона (5.11), отримаємо:

I З = 0.74682418.

Оцінимо похибку отриманого значення. Обчислимо четверту похідну f(4) (x).

f (4) (x) = (16x 4 – 48x 2 + 12) e, | f (4) (x) | £ 12.

| I – I З | £ (0.1) 4 » 0.42 × 10 -6 .

Порівнюючи результати прикладів 5.1, 5.2 та 5.3, бачимо, що метод Сімпсона має меншу похибку, ніж метод середніх прямокутників та метод трапецій.

Обчислення інтегралів за формулами прямокутників, трапецій та формулою Сімпсона. Оцінка похибок.

Методичні вказівки на тему 4.1:

Обчислення інтегралів за формулами прямокутників. Оцінка похибки:

Рішення багатьох технічних завдань зводиться до обчислення певних інтегралів, точне вираз яких складно, вимагає тривалих обчислень і завжди виправдано практично. Тут буває цілком достатньо їхнього наближеного значення. Наприклад, необхідно обчислити площу, обмежену лінією, рівняння якої невідомо, віссю хта двома ординатами. У цьому випадку можна замінити цю лінію більш простою, для якої відоме рівняння. Площа отриманої у такий спосіб криволінійної трапеції приймається за наближене значення шуканого інтеграла. Геометрично ідея способу обчислень певного інтеграла за формулою прямокутників полягає в тому, що площа криволінійної трапеції А 1 АВВ 1замінюється площею рівновеликого прямокутника А 1 А 2 В 1 В 2, яка за теоремою про середнє дорівнює

Де f(c)--- висота прямокутника А 1 А 2 В 1 В 2являє собою значення підінтегральної функції в деякій проміжній точці c(a< c

Практично важко знайти таке значення з, при якому (b-a) f (c)в точності дорівнювало б. Для отримання більш точного значення площу криволінійної трапеції розбивають на nпрямокутників, висоти яких рівні y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1та підстави .

Якщо підсумовувати площі прямокутників, які покривають площу криволінійної трапеції з недоліком, функція --- неубутня, то замість формули використовують формулу

Якщо з надлишком, то

Значення знаходять із рівностей. Ці формули називаються формулами прямокутниківта дають наближений результат. Зі збільшенням nрезультат стає точнішим.

Приклад 1 . Обчислити за формулою прямокутників

Розділимо проміжок інтегрування на 5 частин. Тоді. За допомогою калькулятора або таблиці знайдемо значення підінтегральної функції (з точністю до 4 знаків після коми):

За формулою прямокутників (з нестачею)

З іншого боку, за формулою Ньютона-Лейбніца

Знайдемо відносну похибку обчислення за формулою прямокутників:

Обчислення інтегралів за формулами трапецій. Оцінка похибки:

Геометричний зміст наступного способу наближеного обчислення інтегралів у тому, що перебування площі приблизно рівновеликої «прямолінійної» трапеції.

Нехай необхідно обчислити площу А 1 АmBB 1криволінійної трапеції, що виражається формулою .

Замінимо дугу AmBхордий ABі замість площі криволінійної трапеції А 1 АmBB 1обчислимо площу трапеції А 1 АBB 1: , де AA 1і ВВ 1 - основи трапеції, а A 1 В 1 її висота.

Позначимо f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B.висота трапеції A 1 B 1 =b-a,площа . Отже, або

Це так звана мала формула трапецій.