Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Логарифмічні вирази, розв'язання прикладів. У цій статті ми розглянемо завдання, пов'язані з вирішенням логарифмів. У завданнях порушується питання про знаходження значення висловлювання. Потрібно відзначити, що поняття логарифму використовується в багатьох завданнях і розуміти його сенс є вкрай важливим. Що стосується ЄДІ, то логарифм використовується при вирішенні рівнянь, у прикладних завданнях, а також у завданнях пов'язаних із дослідженням функцій.
Наведемо приклади для розуміння самого змісту логарифму:
Основна логарифмічна тотожність:
Властивості логарифмів, які необхідно завжди пам'ятати:
*Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.
* * *
*Логарифм приватного (дробу) дорівнює різниці логарифмів співмножників.
* * *
*Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм його заснування.
* * *
*Перехід до нової основи
* * *
Ще властивості:
* * *
Обчислення логарифмів тісно пов'язані з використанням властивостей показників ступеня.
Перерахуємо деякі з них:
Суть цієї властивості полягає в тому, що при перенесенні чисельника у знаменник і навпаки, знак показника ступеня змінюється на протилежний. Наприклад:
Наслідок з цієї властивості:
* * *
При зведенні ступеня в ступінь основа залишається незмінною, а показники перемножуються.
* * *
Як ви переконалися саме поняття логарифму нескладне. Головне те, що потрібна хороша практика, яка дає певну навичку. Вочевидь знання формул обов'язково. Якщо навичка у перетворенні елементарних логарифмів не сформована, то при вирішенні простих завдань можна легко припуститися помилки.
Практикуйтесь, вирішуйте спочатку найпростіші приклади з курсу математики, потім переходьте до складніших. У майбутньому обов'язково покажу, як вирішуються «страшні» логарифми, таких на ЄДІ не буде, але вони становлять інтерес, не пропустіть!
На цьому все! Успіху Вам!
З повагою, Олександр Крутицьких
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.
У цьому відеоуроці ми розглянемо рішення досить серйозного логарифмічного рівняння, в якому не просто потрібно знайти коріння, а й відібрати ті з них, які лежать на заданому відрізку.
Завдання C1. Розв'яжіть рівняння. Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать проміжку.
Зауваження щодо логарифмічних рівнянь
Однак з року в рік до мене приходять учні, які намагаються вирішувати ось такі, прямо скажемо, непрості рівнянняале при цьому не можуть зрозуміти: з чого їм взагалі починати і як підступитися до логарифмів? Така проблема може виникнути навіть у сильних, добре підготовлених учнів.
В результаті багато хто починає побоюватися цієї теми, а то й взагалі вважати себе тупими. Так от, запам'ятайте: якщо у вас не виходить вирішити таке рівняння, це зовсім не означає, що ви тупі. Тому що, наприклад, ось з таким рівнянням ви справитеся практично усно:
log 2 x = 4
А якщо це не так, ви зараз не читали б цей текст, оскільки були зайняті більш простими та приземленими завданнями. Звичайно, хтось зараз заперечить: «А яке відношення це найпростіше рівняння до нашої здорової конструкції?». Відповідаю: будь-яке логарифмічне рівняння, яким би складним воно не було, у результаті зводиться ось до таких найпростіших конструкцій, що усно вирішуються.
Зрозуміло, переходити від складних логарифмічних рівнянь до більш простих потрібно не за допомогою підбору чи танців із бубном, а за чіткими, давно визначеними правилами, які так і називаються. правила перетворення логарифмічних виразів. Знаючи їх, ви легко розберетеся навіть з найбільш навороченими рівняннями в ЄДІ з математики.
І саме про ці правила ми говоритимемо у сьогоднішньому уроці. Поїхали!
Розв'язання логарифмічного рівняння задачі C1
Отже, розв'язуємо рівняння:
Насамперед, коли йдеться про логарифмічні рівняння, згадуємо основну тактику — якщо можна сказати, основне правило розв'язання логарифмічних рівнянь. Полягає воно в наступному:
Теорема про канонічну форму. Будь-яке логарифмічне рівняння, що б до нього не входило, які б логарифми, з якої б підстави, і що б у собі не здобули, обов'язково потрібно привести до рівняння виду:
log a f(x) = log a g(x)
Якщо ми подивимося на наше рівняння, то зауважимо одразу дві проблеми:
- Зліва у нас стоїть сума двох чисел, Одне з яких взагалі не є логарифмом.
- Праворуч стоїть цілком собі логарифм, однак у його підставі стоїть корінь. А у логарифму зліва – просто 2, тобто. Основи логарифмів ліворуч і праворуч різняться.
Отже, ми склали такий перелік проблем, які відокремлюють наше рівняння від того канонічного рівняння, До якого потрібно привести будь-яке логарифмічне рівняння в процесі розв'язання. Таким чином, рішення нашого рівняння на даному етапі зводиться до того, щоб усунути описані вище дві проблеми.
Будь-яке логарифмічне рівняння вирішується швидко та легко, якщо звести його до канонічної форми.
Сума логарифмів та логарифм твору
Давайте діяти по порядку. Спочатку розберемося з конструкцією, яка стоїть ліворуч. Що ми можемо сказати про суму двох логарифмів? Давайте згадаємо чудову формулу:
log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) · g (x)
Але варто врахувати, що в нашому випадку перший доданок взагалі не є логарифмом. Значить, потрібно уявити одиницю у вигляді логарифму на підставі 2 (саме 2, тому що зліва стоїть логарифм на підставі 2). Як це зробити? Знову згадуємо чудову формулу:
a = log b b a
Тут треба розуміти: коли ми говоримо «Будь-яка основа b», то маємо на увазі, що b все-таки не може бути довільним числом. Якщо ми вставляємо якесь число в логарифм, на нього одразу накладаються певні обмеження, А саме: підстава логарифму має бути більше 0 і не повинно бути рівним 1. Інакше логарифм просто не має сенсу. Запишемо це:
0 < b ≠ 1
Давайте подивимося, що відбувається у нашому випадку:
1 = log 2 2 1 = log 2 2
Тепер перепишемо наше рівняння з урахуванням цього факту. І відразу застосовуємо інше правило: сума логарифмів дорівнює логарифму добутку аргументів. У результаті отримаємо:
Ми здобули нове рівняння. Як бачимо, воно вже набагато ближче до того канонічного рівняння, якого ми прагнемо. Але є одна проблема, ми записали її у вигляді другого пункту: у наших логарифмів, які стоять ліворуч і праворуч, різні підстави. Переходимо до наступного кроку.
Правила винесення ступенів із логарифму
Отже у логарифму, який стоїть ліворуч, основа просто 2, а у логарифму, який стоїть праворуч, в основі є корінь. Але це не є проблемою, якщо згадати, що з підстав з аргументів логарифму можна виносити в ступінь. Давайте запишемо одне з цих правил:
log a b n = n · log a b
Переклавши на людську мову: можна виносити ступінь з основи логарифму і ставити її спереду як множник. Число n «мігрувало» з логарифму назовні і стало коефіцієнтом спереду.
З тим самим успіхом ми можемо винести ступінь з основи логарифму. Виглядатиме це так:
Іншими словами, якщо винести ступінь з аргументу логарифму, цей ступінь також пишеться як множник перед логарифмом, але вже не у вигляді числа, а у вигляді зворотного числа 1/k.
Однак це ще не все! Ми можемо об'єднати дві дані формули і вивчити таку формулу:
Коли ступінь стоїть і в основі, і в аргументі логарифму, ми можемо заощадити час і спростити обчислення, якщо одразу винести ступеня і з основи, і з аргументу. При цьому те, що стояло в аргументі (у нашому випадку це коефіцієнт n), опиниться в чисельнику. А те, що було ступенем біля основи, ak, відправиться в знаменник.
І саме ці формули ми зараз будемо застосовувати для того, щоб звести наші логарифми до однієї й тієї самої основи.
Насамперед, виберемо більш-менш красиву основу. Очевидно, що з двійкою в основі набагато приємніше працювати, ніж із коренем. Таким чином, давайте спробуємо привести другий логарифм до основи 2. Давайте випишемо цей логарифм окремо:
Що ми можемо зробити тут? Згадаймо формулу ступеня із раціональним показником. Іншими словами, ми можемо записати в корені як ступінь з раціональним показником. А потім виносимо ступінь 1/2 і з аргументу, і з основи логарифму. Скорочуємо двійки в коефіцієнтах у чисельнику та знаменнику, що стоять перед логарифмом:
Зрештою, перепишемо вихідне рівняння з урахуванням нових коефіцієнтів:
log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)
Ми отримали канонічний логарифмічний рівняння. І ліворуч, і праворуч у нас стоїть логарифм по тому самому підставі 2. Крім цих логарифмів ніяких коефіцієнтів, ніяких доданків ні зліва, ні справа немає.
Отже, ми можемо позбутися знаку логарифму. Зрозуміло, з урахуванням сфери визначення. Але перш, ніж це зробити, повернімося назад і зробимо невелике уточнення з приводу дробів.
Розподіл дробу на дріб: додаткові міркування
Не всім учням зрозуміло, звідки беруться і куди подіються множники перед правим логарифмом. Запишемо ще раз:
Давайте розберемося, що таке дріб. Запишемо:
А тепер згадуємо правило поділу дробів: щоб розділити на 1/2 потрібно помножити на перевернутий дріб:
Зрозуміло, для зручності подальших обчислень ми можемо записати двійку як 2/1 — і саме це ми спостерігаємо як другий коефіцієнт у процесі рішення.
Сподіваюся тепер усім зрозуміло, звідки береться другий коефіцієнт, тому переходимо безпосередньо до вирішення нашого канонічного логарифмічного рівняння.
Звільнення від знаку логарифму
Нагадую, що зараз ми можемо позбутися логарифмів і залишити такий вираз:
2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14
Давайте розкриємо дужки зліва. Отримаємо:
18x 2 + 10 = 8x 4 + 14
Перенесемо все з лівої частини до правої:
8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0
Наведемо подібні та отримаємо:
8x 4 − 18x 2 + 4 = 0
Можемо розділити обидві частини цього рівняння на 2, щоб спростити коефіцієнти, і отримаємо:
4x 4 − 9x 2 + 2 = 0
Перед нами звичайне біквадратне рівняння, і його коріння легко рахуються через дискримінант. Отже, запишемо дискримінант:
D = 81 − 4 · 4 · 2 = 81 − 32 = 49
Прекрасно, Дискримінант «красивий», корінь з нього дорівнює 7. Все, вважаємо самі ікси. Але в даному випадку коріння виходить не x, а x2, тому що у нас біквадратне рівняння. Отже, наші варіанти:
Зверніть увагу: ми витягували коріння, тому відповіді будуть дві, т.к. квадрат - функція парна. І якщо ми напишемо лише корінь із двох, то друге коріння ми просто втратимо.
Тепер розписуємо друге коріння нашого біквадратного рівняння:
Знову ж таки, ми отримуємо арифметичний квадратний корінь з обох частин нашого рівняння і отримуємо два корені. Однак пам'ятайте:
Недостатньо просто прирівняти аргументи логарифмів у канонічній формі. Пам'ятайте про область визначення!
Разом ми отримали чотири корені. Усі вони справді є рішеннями нашого вихідного рівняння. Погляньте: у нашому вихідному логарифмічному рівнянні всередині логарифмів стоїть або 9x 2 + 5 (ця функція завжди позитивна), або 8x 4 + 14 вона теж завжди позитивна. Отже, область визначення логарифмів виконується у будь-якому разі, який би корінь ми не отримали, а це означає, що всі чотири корені є рішеннями нашого рівняння.
Прекрасно тепер переходимо до другої частини завдання.
Відбір коренів логарифмічного рівняння на відрізку
Відбираємо з наших чотирьох коренів ті, що лежать на відрізку [−1; 8/9]. Повертаємося до нашого коріння, і зараз виконуватимемо їх відбір. Для початку пропоную накреслити координатну вісь та відзначити на ній кінці відрізка:
Обидві крапки будуть зафарбовані. Тобто. за умовою завдання нас цікавить заштрихований відрізок. Тепер давайте розбиратися з корінням.
Ірраціональне коріння
Почнемо з ірраціонального коріння. Зауважимо, що 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:
З цього випливає, що корінь з двох не потрапляє в відрізок, що цікавить нас. Аналогічно ми отримаємо і з негативним коренем: він менше, ніж −1, тобто лежить лівіше відрізка, що цікавить нас.
Раціональне коріння
Залишається два корені: x = 1/2 та x = −1/2. Зауважимо, що лівий кінець відрізка (−1) – негативний, а правий (8/9) – позитивний. Отже, десь між цими кінцями лежить число 0. Корінь x = -1/2 буде між -1 і 0, тобто. потрапить у остаточну відповідь. Аналогічно чинимо з коренем x = 1/2. Цей корінь також лежить на аналізованому відрізку.
Переконатись, що число 8/9 більше, ніж 1/2, можна дуже просто. Давайте віднімемо ці числа одне з одного:
Отримали дріб 7/18 > 0, але це за визначенням означає, що 8/9 > 1/2.
Давайте відзначимо відповідне коріння на осі координат:
Остаточною відповіддю будуть два корені: 1/2 та −1/2.
Порівняння ірраціональних чисел: універсальний алгоритм
На закінчення хотів би ще раз повернутися до ірраціональних чисел. На їх прикладі ми зараз подивимося, як порівнювати раціональні та ірраціональні величини математики. Для початку між ними таку галочку V — знак «більше» або «менше», але ми поки не знаємо, в який бік він спрямований. Запишемо:
Навіщо взагалі потрібні якісь алгоритми порівняння? Справа в тому, що в даному завданні нам дуже пощастило: у процесі рішення виникло роздільне число 1, про яке ми можемо точно сказати:
Однак далеко не завжди ви відразу побачите таке число. Тому спробуємо порівняти наші числа «в лоб», безпосередньо.
Як це робиться? Робимо те саме, що і зі звичайними нерівностями:
- Спочатку, якби в нас десь були негативні коефіцієнти, ми помножили б обидві частини нерівності на −1. Зрозуміло, змінивши при цьому знак. Отака галочка V змінилася б на таку — Λ.
- Але в нашому випадку обидві сторони вже позитивні, тож нічого міняти не треба. Що дійсно потрібно, то це звести обидві частини у квадрат, щоб позбавитися радикала.
Якщо при порівнянні ірраціональних чисел не вдається відразу підібрати розділяючий елемент, рекомендую виконувати таке порівняння «в лоб» — розписуючи як звичайну нерівність.
При вирішенні це оформляється таким чином:
Тепер це легко порівнюється. Справа в тому, що 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.
Все, ми отримали суворий доказ, що всі числа відзначені на числовій прямий х правильно і саме в тій послідовності, в якій вони мають бути насправді. Ось до такого рішення ніхто не причепиться, тому запам'ятайте: якщо ви відразу не бачите розділяюче число (у нашому випадку це 1), то сміливо виписуйте наведену вище конструкцію, множте, зводьте в квадрат — і в результаті ви отримаєте гарну нерівність. З цієї нерівності точно буде зрозуміло, яке число більше, а яке менше.
Повертаючись до нашого завдання, хотілося б ще раз звернути вашу увагу на те, що ми робили на початку при розв'язанні нашого рівняння. А саме: ми уважно подивилися на наше вихідне логарифмічне рівняння та спробували звести його до канонічномулогарифмічного рівняння. Де ліворуч і праворуч стоять лише логарифми — без будь-яких додаткових доданків, коефіцієнтів спереду тощо. буд.
Крім того, підстави логарифмів також повинні бути рівними. При цьому якщо рівняння складено грамотно, то за допомогою елементарних логарифмічних перетворень (сума логарифмів, перетворення числа на логарифм тощо) ми зведемо це рівняння саме до канонічного.
Тому надалі, коли ви бачите логарифмічне рівняння, яке не вирішується одразу «в лоб», не варто губитися або намагатися підібрати відповідь. Достатньо виконати такі кроки:
- Привести усі вільні елементи до логарифму;
- Потім ці логарифми скласти;
- В отриманій конструкції всі логарифми призвести до однієї й тієї ж основи.
В результаті ви отримаєте просте рівняння, яке вирішується елементарними алгебри засобами з матеріалів 8-9 класу. Загалом, заходьте на мій сайт, тренуйтеся вирішувати логарифми, вирішуйте логарифмічні рівняння як я, вирішуйте їх краще за мене. А маю на цьому все. З Вами був Павло Бердов. До нових зустрічей!
Як відомо, при перемноженні виразів зі ступенями їх показники завжди складаються (a b * a c = a b + c). Цей математичний закон був виведений Архімедом, а згодом, у VIII столітті, математик Вірасен створив таблицю цілих показників. Саме вони стали для подальшого відкриття логарифмів. Приклади використання цієї функції можна зустріти практично скрізь, де потрібно спростити громіздке множення на просте додавання. Якщо ви витратите 10 хвилин на прочитання цієї статті, ми вам пояснимо, що таке логарифми і як з ними працювати. Простою та доступною мовою.
Визначення в математиці
Логарифмом називається вираз наступного виду: log a b=c, тобто логарифмом будь-якого невід'ємного числа (тобто будь-якого позитивного) "b" за його основою "a" вважається ступінь "c", в яку необхідно звести основу "a", щоб у результаті отримати значення "b". Розберемо логарифм на прикладах, скажімо, є вираз log 2 8. Як знайти відповідь? Дуже просто, потрібно знайти такий ступінь, щоб з 2 до ступеня отримати 8. Зробивши в умі деякі розрахунки, отримуємо число 3! І вірно, адже 2 в ступені 3 відповідає у відповідь число 8.
Різновиди логарифмів
Для багатьох учнів і студентів ця тема видається складною і незрозумілою, проте насправді логарифми не такі страшні, головне - зрозуміти загальний їхній зміст і запам'ятати їхню власність і деякі правила. Існує три окремі види логарифмічних виразів:
- Натуральний логарифм ln a де основою є число Ейлера (e = 2,7).
- Десятковий a де підставою служить число 10.
- Логарифм будь-якого числа b на підставі a>1.
Кожен з них вирішується стандартним способом, що включає спрощення, скорочення і подальше приведення до одного логарифму за допомогою логарифмічних теорем. Для отримання вірних значень логарифмів слід запам'ятати їх властивості та черговість дій за їх рішення.
Правила та деякі обмеження
У математиці існує кілька правил-обмежень, які приймаються як аксіома, тобто не підлягають обговоренню та є істиною. Наприклад, не можна числа ділити на нуль, а ще неможливо отримати корінь парного ступеня з негативних чисел. Логарифми також мають свої правила, дотримуючись яких можна легко навчитися працювати навіть з довгими і ємними логарифмічними виразами:
- основа "a" завжди має бути більшою за нуль, і при цьому не бути рівним 1, інакше вираз втратить свій зміст, адже "1" і "0" у будь-якій мірі завжди рівні своїм значенням;
- якщо а > 0, то і а b > 0, виходить, що і "з" має бути більшим за нуль.
Як вирішувати логарифми?
Наприклад, дано завдання знайти відповідь рівняння 10 х = 100. Це дуже легко, потрібно підібрати такий ступінь, звівши до якого число десять ми отримаємо 100. Це, звичайно ж, 10 2 =100.
А тепер давайте уявимо цей вираз у вигляді логарифмічного. Отримаємо log 10 100 = 2. При вирішенні логарифмів всі дії практично сходяться до того, щоб знайти той ступінь, в який необхідно ввести основу логарифму, щоб отримати задане число.
Для безпомилкового визначення значення невідомого ступеня необхідно навчитися працювати з таблицею ступенів. Виглядає вона так:
Як бачите, деякі показники ступеня можна вгадати інтуїтивно, якщо є технічний склад розуму та знання таблиці множення. Однак для великих значень знадобиться таблиця ступенів. Нею можуть користуватися навіть ті, хто зовсім нічого не тямить у складних математичних темах. У лівому стовпці вказані числа (основа a), верхній ряд чисел - це значення ступеня c, яку зводиться число a. На перетині в осередках визначено значення чисел, що є відповіддю (a c = b). Візьмемо, наприклад, саму першу комірку з числом 10 і зведемо її в квадрат, отримаємо значення 100, яке вказано на перетині двох наших осередків. Все так просто і легко, що зрозуміє навіть справжнісінький гуманітарій!
Рівняння та нерівності
Виходить, що за певних умов показник ступеня – це і є логарифм. Отже, будь-які математичні чисельні вирази можна записати як логарифмічного рівності. Наприклад, 3 4 =81 можна записати у вигляді логарифму числа 81 на підставі 3, що дорівнює чотирьом (log 3 81 = 4). Для негативних ступенів правила такі самі: 2 -5 = 1/32 запишемо як логарифма, отримаємо log 2 (1/32) = -5. Однією з найцікавіших розділів математики є тема "логарифми". Приклади та розв'язання рівнянь ми розглянемо трохи нижче, відразу після вивчення їх властивостей. А зараз давайте розберемо, як виглядають нерівності та як їх відрізнити від рівнянь.
Дано вираз наступного виду: log 2 (x-1) > 3 - воно є логарифмічною нерівністю, тому що невідоме значення "х" знаходиться під знаком логарифму. А також у виразі порівнюються дві величини: логарифм шуканого числа на підставі два більше, ніж число три.
Найголовніша відмінність між логарифмічними рівняннями і нерівностями полягає в тому, що рівняння з логарифмами (приклад - логарифм 2 x = √9) мають на увазі у відповіді одне або кілька певних числових значень, тоді як при розв'язанні нерівності визначаються як область допустимих значень розрив цієї функції. Як наслідок, у відповіді виходить не проста безліч окремих чисел як у відповіді рівняння, а безперервний ряд або набір чисел.
Основні теореми про логарифми
При вирішенні примітивних завдань знаходження значень логарифма, його властивості можна і не знати. Однак коли мова заходить про логарифмічні рівняння або нерівності, в першу чергу необхідно чітко розуміти і застосовувати на практиці всі основні властивості логарифмів. З прикладами рівнянь ми познайомимося пізніше, давайте спочатку розберемо кожну властивість докладніше.
- Основне тотожність має такий вигляд: а logaB =B. Воно застосовується лише за умови, коли а більше 0, не дорівнює одиниці і B більше за нуль.
- Логарифм твору можна подати в наступній формулі: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. При цьому обов'язковою умовою є: d, s 1 і s 2 > 0; а≠1. Можна навести доказ цієї формули логарифмів, з прикладами і рішенням. Нехай log a s 1 = f 1 і log a s 2 = f 2 тоді а f1 = s 1 , a f2 = s 2. Отримуємо, що s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (властивості ступенів ), а далі за визначенням: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, що і потрібно довести.
- Логарифм приватного має такий вигляд: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Теорема у вигляді формули набуває наступного вигляду: log a q b n = n/q log a b.
Називається ця формула "властивістю ступеня логарифму". Вона нагадує властивості звичайних ступенів, і не дивно, адже вся математика тримається на закономірних постулатах. Давайте подивимося на доказ.
Нехай log a b = t, виходить a t = b. Якщо звести обидві частини до ступеня m: a tn = b n ;
але оскільки a tn = (a q) nt / q = b n, отже log a q b n = (n * t) / t, тоді log a q b n = n / q log a b. Теорему доведено.
Приклади завдань та нерівностей
Найпоширеніші типи завдань на тему логарифмів – приклади рівнянь та нерівностей. Вони зустрічаються практично у всіх задачниках, а також входять до обов'язкової частини іспитів з математики. Для вступу до університету чи складання вступних випробувань з математики необхідно знати, як правильно вирішувати подібні завдання.
На жаль, єдиного плану чи схеми з вирішення та визначення невідомого значення логарифму не існує, проте до кожної математичної нерівності чи логарифмічного рівняння можна застосувати певні правила. Насамперед слід з'ясувати, чи можна спростити вираз чи привести до загального вигляду. Спрощувати довгі логарифмічні вирази можна, якщо правильно використовувати їх властивості. Давайте скоріше з ними познайомимося.
При вирішенні ж логарифмічних рівнянь слід визначити, який перед нами вид логарифму: приклад виразу може містити натуральний логарифм або десятковий.
Ось приклади ln100, ln1026. Їх рішення зводиться до того, що потрібно визначити той ступінь, в якому основа 10 дорівнюватиме 100 і 1026 відповідно. Для рішень натуральних логарифмів потрібно застосувати логарифмічні тотожності або їх властивості. Давайте на прикладах розглянемо розв'язання логарифмічних завдань різного типу.
Як використовувати формули логарифмів: з прикладами та рішеннями
Отже, розглянемо приклади використання основних теорем про логарифми.
- Властивість логарифму твору можна застосовувати в завданнях, де необхідно розкласти велике значення числа b більш прості співмножники. Наприклад, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4 * 128) = log 2 512. Відповідь дорівнює 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - як бачите, застосовуючи четверту властивість ступеня логарифму, вдалося вирішити на перший погляд складне і нерозв'язне вираз. Необхідно лише розкласти основу на множники і потім винести значення ступеня зі знака логарифму.
Завдання з ЄДІ
Логарифми часто зустрічаються на вступних іспитах, особливо багато логарифмічних завдань у ЄДІ (державний іспит для всіх випускників шкіл). Зазвичай ці завдання присутні у частині А (найлегша тестова частина іспиту), а й у частини З (найскладніші і об'ємні завдання). Іспит передбачає точне та ідеальне знання теми "Натуральні логарифми".
Приклади та розв'язання завдань взяті з офіційних варіантів ЄДІ. Давайте подивимося, як вирішуються такі завдання.
Дано log 2 (2x-1) = 4. Рішення:
перепишемо вираз, трохи спростивши його log 2 (2x-1) = 2 2 , за визначенням логарифму отримаємо, що 2x-1 = 2 4 , отже 2x = 17; x = 8,5.
- Всі логарифми найкраще приводити до однієї підстави, щоб рішення не було громіздким та заплутаним.
- Всі вирази, що стоять під знаком логарифму, вказуються як позитивні, тому при винесенні множником показника ступеня виразу, який стоїть під знаком логарифму і як його підстава, вираз, що залишається під логарифмом, має бути позитивним.