Грандіозна подія
Якось у новорічному випуску розсилки про те, як вимовляти тости, я побіжно згадав, що наприкінці ХХ століття відбулася одна грандіозна подія, якої багато хто не помітив - була, нарешті, доведена так звана Велика теорема Ферма. З цього приводу серед отриманих листів я виявив два відгуки від дівчат (одна з них, наскільки пам'ятаю – дев'ятикласниця Віка із Зеленограда), яких здивував цей факт.
А мене здивувало те, наскільки жваво дівчатка цікавляться проблемами сучасної математики. Тому, думаю, що не лише дівчаткам, а й хлопчикам різного віку - від старшокласників до пенсіонерів, теж буде цікаво дізнатися історію Великої теореми.
Доказ теореми Ферма – велика подія. А т.к. зі словом "великий" не прийнято жартувати, то знати історію теореми, мені здається, кожен оратор, що поважає себе (а всі ми, коли говоримо - оратори) просто зобов'язаний.
Якщо так вийшло, що ви не любите математику так, як люблю її я, деякі поглиблення в деталі переглядайте побіжним поглядом.
Розуміючи, що не всім читачам нашої розсилки цікаво блукати в математичних нетрях, я постарався не наводити жодних формул (крім самого рівняння теореми Ферма та пари гіпотез) та максимально спростити висвітлення деяких специфічних питань.
Як Ферма заварив кашу
Французький юрист і за сумісництвом великий математик XVII століття П'єр Ферма (1601-1665) висунув одне цікаве твердження в галузі теорії чисел, яке згодом отримало назву Великої (або Великої) теореми Ферма. Це одна з найвідоміших і найфеноменальніших математичних теорем. Напевно, ажіотаж навколо неї був би не такий сильний, якби в книзі Діофанта Олександрійського (III століття н. е.) "Арифметика", яку Ферма частенько студіював, роблячи позначки на її широких полях, і яку люб'язно зберіг для нащадків його син Семюел , не було виявлено приблизно наступний запис великого математика:
"Я маю дуже разючий доказ, але воно занадто велике, щоб його можна було розмістити на полях".
Отже, знаменитий учений заявив, що довів свою теорему. Давайте ж запитаємо себе: чи справді він її довів чи банально збрехав? Чи є інші версії, що пояснюють появу того запису на полях, який не давав спокійно спати багатьом математикам наступних поколінь?
Історія Великої теореми цікава, як пригода в часі. У 1636 році Ферма заявив, що рівняння виду x n + y n = z nнемає рішень у цілих числах за показника ступеня n>2. Це, власне, і є Велика теорема Ферма. У цій, здавалося б, простий на вигляд математичній формулі Всесвіт замаскував неймовірну складність. Американський математик шотландського походження Ерік Темпл Белл у своїй книзі "Остання проблема" (1961) навіть припустив, що можливо людство припинить своє існування раніше, ніж зможе довести Велику теорему Ферма.
Дещо дивним є те, що чомусь теорема запізнилася з появою на світ, оскільки ситуація назріла давно, адже її окремий випадок при n=2 - інша знаменита математична формула - теорема Піфагора, виникла на двадцять два століття раніше. На відміну від теореми Ферма, теорема Піфагора має безліч цілочисленних рішень, наприклад, такі піфагорові трикутники: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …
Синдром Великої теореми
Хтось тільки не намагався довести теорему Ферма. Будь-який студент, що оперився, вважав своїм обов'язком прикластися до Великої теореми, але довести її все ніяк нікому не вдавалося. Спершу не вдавалося сто років. Потім ще сто. І ще. Серед математиків почав розвиватися масовий синдром: "Як же так? Ферма довів, а я що, не зможу, чи що?" - і деякі з них на цьому ґрунті зникли в повному розумінні цього слова.
Скільки б теорему не перевіряли - вона завжди виявлялася вірною. Я знав одного енергійного програміста, який був одержимий ідеєю спростувати Велику теорему, намагаючись знайти хоча б одне її рішення (контрприклад) методом перебору цілих чисел з використанням швидкодіючого комп'ютера (на той час найчастіше іменованого ЕОМ). Він вірив у успіх свого підприємства і любив примовляти: "Ще трохи - і вибухне сенсація!". Думаю, що в різних місцях нашої планети було чимало такого сорту сміливих шукачів. Жодного рішення він, звичайно, не знайшов. І жодні комп'ютери, хоч навіть із казковою швидкодією, ніколи не змогли б перевірити теорему, адже всі змінні цього рівняння (у тому числі й показники ступеня) можуть зростати нескінченно.
Теорема потребує доказів
Математики знають, що якщо теорема не доведена, з неї може випливати все, що завгодно (як істина, так і брехня), як це було з деякими іншими гіпотезами. Наприклад, в одному зі своїх листів П'єр Ферма висловив припущення, що числа виду 2 n +1 (т.зв. числа Ферма) обов'язково прості (тобто не мають цілих чисельників і діляться без залишку тільки на себе і на одиницю), якщо n – ступінь двійки (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 і т.д.). Ця гіпотеза Ферма прожила понад сто років - доти, поки в 1732 Леонард Ейлер не показав, що
2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 · 641
Потім ще майже через 150 років (1880) Фортюне Ландрі розклав на множники таку кількість Ферма:
2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 · 67 280 421 310 721
Як без допомоги комп'ютерів змогли знайти дільники цих великих чисел - одному богу відомо. Своєю чергою Ейлер висунув гіпотезу, що рівняння x 4 +y 4 +z 4 =u 4 немає рішень у цілих числах. Однак приблизно через 250 років, у 1988 році Науму Елькісу з Гарварду вдалося виявити (вже за допомогою комп'ютерної програми), що
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4
Тому Велика теорема Ферма вимагала докази, інакше вона була просто гіпотезою, і цілком могло бути, що десь там у безмежних числових полях загублено рішення рівняння Великої теореми.
Найвіртуозніший і найплідніший математик XVIII століття Леонард Ейлер, архів записів якого людство розгрібало майже ціле століття, довів теорему Ферма для ступенів 3 і 4 (вірніше, він повторив загублені докази самого П'єра Ферма); його послідовник у теорії чисел, Лежандр (а також незалежно від нього Діріхле) – для ступеня 5; Лами – для ступеня 7. Але у загальному вигляді теорема залишалася недоведеною.
1 березня 1847 року на засіданні Паризької академії наук відразу два видатних математика - Габріель Ламе та Огюстен Коші - заявили, що підійшли до завершення доказу Великої теореми і влаштували гонку, публікуючи свої докази частинами. Однак поєдинок між ними був перерваний, тому що в їхніх доказах була виявлена та сама помилка, на яку вказав німецький математик Ернст Куммер.
На початку XX століття (1908) заможний німецький підприємець, меценат та вчений Пауль Вольфскель заповів сто тисяч марок тому, хто пред'явить повний доказ теореми Ферма. Вже в перший рік після опублікування заповіту Вольфскеля Геттінгентської академії наук, вона була завалена тисячами доказів від любителів математики, і цей потік не припинявся протягом десятиліть, але всі вони, як ви здогадуєтеся, містили в собі помилки. Кажуть, що в академії було заготовлено бланки приблизно такого змісту:
Шановний __________________________!
У Вашому доказі теореми Ферма на сторінці ____ у ____ рядку зверху
у формулі:__________________________ виявлено таку помилку:,
Які розсилалися невдалим претендентам премії.
На той час у колі математиків з'явилося напівзневажливе прізвисько. ферміст. Так називали всякого самовпевненого вискочку, якому не вистачало знань, але зате з лишком вистачало амбіцій для того, щоб поспіхом спробувати сили в доказі Великої теореми, а потім, не помітивши власних помилок, гордо ляснувши себе в груди, голосно заявити: "Я перший довів". теорему Ферма!". Кожен ферміст, якби він був хоч навіть десятитисячним за рахунком, вважав себе першим - це було смішним. Простий зовнішній вигляд Великої теореми так сильно нагадував фермістам легкий видобуток, що їх абсолютно не бентежило, що навіть Ейлер з Гаусом не змогли впоратися з нею.
(Фермісти, як не дивно, існують і нині. Один із них хоч і не вважав, що довів теорему, як класичний ферміст, але донедавна робив спроби - відмовився вірити мені, коли я повідомив йому, що теорема Ферма вже доведена).
Найсильніші математики, можливо, в тиші своїх кабінетів теж пробували обережно підходити до цієї непідйомної штанги, але не говорили про це вголос, щоб не вважатися фермістами і, таким чином, не нашкодити своєму високому авторитету.
На той час з'явився доказ теореми для показника ступеня n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.
Дивна гіпотеза
До середини ХХ століття жодних серйозних поступів історія Великої теореми немає. Але незабаром у математичному житті відбулася одна цікава подія. У 1955 році 28-річний японський математик Ютака Таніяма висунув твердження з зовсім іншої галузі математики, що отримало назву "гіпотези Таніями" (вона ж "гіпотеза Таніями-Шімури-Вейла"), яке, на відміну від запізнілої теореми Ферма, випередило свій час.
Гіпотеза Таніями говорить: "кожній еліптичній кривій відповідає певна модульна форма". Дане твердження для математиків того часу звучало приблизно так само абсурдно, як для нас звучить твердження: "кожному дереву відповідає певний метал". Неважко вгадати, як може поставитися до такого твердження нормальна людина - він просто не сприйме її всерйоз, що й сталося: математики дружно проігнорували гіпотезу.
Невелике пояснення. Еліптичні криві, відомі з давніх-давен, мають двомірний вигляд (розташовуються на площині). Модулярні ж функції, відкриті в XIX столітті, мають чотиривимірний вигляд, тому ми їх навіть уявити не можемо своїми тривимірними мізками, але можемо описати математично; крім того, модулярні форми дивовижні тим, що мають гранично можливу симетрію - їх можна транслювати (зрушувати) у будь-якому напрямку, відбивати дзеркально, змінювати місцями фрагменти, повертати нескінченно багатьма способами - і при цьому їх вигляд не змінюється. Як бачимо, еліптичні криві та модулярні форми мають мало спільного. Гіпотеза ж Таніями стверджує, що описові рівняння двох відповідних один одному цих абсолютно різних математичних об'єктів можна розкласти в той самий математичний ряд.
Гіпотеза Таніями була надто парадоксальна: вона поєднала зовсім різні поняття - досить прості плоскі криві та неймовірні чотиривимірні форми. Таке нікому не спадало на думку. Коли на міжнародному математичному симпозіумі Токіо у вересні 1955 року Таніяма продемонстрував кілька відповідностей еліптичних кривих модулярним формам, всі побачили у тому трохи більше, ніж забавні збіги. На скромне запитання Таніями: чи можливо для кожної еліптичної кривої знайти відповідну модулярну функцію, маститий француз Андре Вейл, який на той час був одним із найкращих у світі фахівців у теорії чисел, дав цілком дипломатичну відповідь, що, мовляв, якщо допитливого Таніяму не залишить ентузіазм, то, можливо, йому пощастить, і його неймовірна гіпотеза підтвердиться, але це, мабуть, станеться не скоро. Загалом, як і багато інших видатних відкриттів, спочатку гіпотеза Таніями залишилася поза увагою, тому що до неї ще не дорослі - її майже ніхто не зрозумів.
Один лише колега Таніями, Горо Шимура, добре знаючи свого високообдарованого друга, інтуїтивно відчував, що його гіпотеза вірна.
Через три роки (1958) Ютака Таніяма наклав на себе руки (сильні, однак, в Японії самурайські традиції). З погляду здорового глузду - ніяк не зрозумілий вчинок, особливо, якщо врахувати, що зовсім скоро він збирався одружитися.
Свою передсмертну записку лідер молодих японських математиків почав так: "Ще вчора я не думав про самогубство. Останнім часом мені часто доводилося чути від інших, що я втомився розумово та фізично. Взагалі я і зараз не розумію, навіщо це роблю…" так далі на трьох аркушах. Шкода, звичайно, що так склалася доля цікавої людини, але всі генії трохи дивні - на те вони і генії (на думку чомусь прийшли слова Артура Шопенгауера: "у звичайному житті від генія стільки ж користі, як від телескопа в театрі") . Гіпотеза осиротіла. Ніхто не знав, як її довести.
Минуло ще приблизно 15 років. В 1984 відбулася одна ключова подія в житті математики, яка об'єднала екстравагантну японську гіпотезу з Великою теоремою Ферма. Німець Герхард Фрей висунув цікаве твердження, схоже на теорему: "Якщо буде доведено гіпотезу Таніями, то, отже, буде доведено і Велику теорему Ферма". Інакше кажучи, теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями. (Фрей методом хитромудрих математичних перетворень звів рівняння Ферма до виду рівняння еліптичної кривої (та сама, яка фігурує і в гіпотезі Таніями), більш-менш обґрунтував своє припущення, але довести його не зміг). І ось буквально за півтора року (1986) професор каліфорнійського університету Кеннет Рібет чітко довів теорему Фрея.
Що ж тепер вийшло? Тепер виявилося, що оскільки теорема Ферма вже точно є наслідком гіпотези Таніями, потрібно всього лише довести останню, щоб зірвати лаври підкорювача легендарної теореми Ферма. Але гіпотеза виявилася непростою. До того ж у математиків за століття з'явилася алергія на теорему Ферма, і багато хто з них вирішив, що впоратися з гіпотезою Таніями також практично неможливо.
Смерть гіпотези Ферма. Народження теореми
Минуло ще вісім років. Одному прогресивному англійському професору математики з університету Прінстона (Нью-Джерсі, США), Ендрю Уайлсу, здалося, що він знайшов доказ гіпотези Таніями. Якщо геній не лисий, то, як правило, скуйовджений. Вайлз - скуйовджений, отже, схожий на генія. Увійти в Історію, звичайно, привабливо і дуже хотілося, але Вайлз, як справжній вчений, не спокушався, розуміючи, що тисячам фермістів до нього теж здавались примарні докази. Тому, перш ніж уявити свій доказ світу, він ретельно перевіряв його сам, але усвідомлюючи, що може мати суб'єктивну упередженість, залучав до перевірок також інших, наприклад, під виглядом звичайних математичних завдань він іноді підкидав тямущим аспірантам різні фрагменти свого доказу. Пізніше Уайлз зізнався, що ніхто, крім його дружини, не знав, що він працює над доказом Великої теореми.
І ось після довгих перевірок і тяжких роздумів, Вайлз набрався хоробрості, а може, як йому самому здавалося, нахабства і 23 червня 1993 на математичній конференції з теорії чисел в Кембриджі оголосив про своє велике досягнення.
Це, звісно, була сенсація. Ніхто не очікував такої спритності від маловідомого математика. Одразу ж з'явилася преса. Усіх мучив палкий інтерес. Стрункі формули, як штрихи прекрасної картини, постали перед цікавими поглядами присутніх.
Справжні математики, адже вони такі - дивляться на всякі рівняння і бачать у них не цифри, константи і змінні, а чують музику, подібно до Моцарта, що дивиться на нотний стан. Точно так, як ми, читаючи книгу, дивимося на літери, але начебто як їх і не помічаємо, а відразу сприймаємо зміст тексту.
Презентація доказу, здавалося, пройшла успішно – помилок у ньому не знайшли – ніхто не почув жодної фальшивої ноти (хоча більшість математиків просто вп'ялася на нього, як першокласники на інтеграл і нічого не зрозуміли). Усі вирішили, що сталася масштабна подія: доведена гіпотеза Таніями, а отже і Велика теорема Ферма. Але приблизно через два місяці, за кілька днів до того, як рукопис доказу Уайлса мав піти в тираж, у ньому було виявлено невідповідність (Кац, колега Уайлса, зауважив, що один фрагмент міркувань спирався на "систему Ейлера", але те, що спорудив Уайлс, такою системою не було), хоча загалом прийоми Уайлса були визнані цікавими, витонченими та новаторськими.
Але через рік з невеликим, у вересні 1994 року, під час роздумів над тим вузьким місцем доказу разом зі своїм колегою Тейлором з Оксфорда, останнього несподівано осяяла думка, що "систему Ейлера" можна поміняти на теорію Івасава (розділ теорії чисел). Тоді вони спробували скористатися теорією Івасава, обійшовшись без "системи Ейлера", і все зійшлося.
Виправлений варіант доказу було передано на перевірку і через рік було оголошено, що в ньому все абсолютно чітко, без жодної помилки. Влітку 1995 року в одному з перших математичних журналів - "Аннали математики" - було опубліковано повний доказ гіпотези Таніями (отже, Великої (Великої) теореми Ферма), яке зайняло весь номер - понад сто аркушів. Доказ такий складний, що зрозуміти його цілком могли лише кілька десятків людей у всьому світі.
Таким чином, наприкінці ХХ століття весь світ визнав, що на 360 році свого життя Велика теорема Ферма, яка насправді весь цей час була гіпотезою, стала доведеною теоремою. Ендрю Уайлс довів Велику (Велику) теорему Ферма і увійшов до Історії.
Подумаєш, довели якусь теорему... Щастя першовідкривача завжди дістається комусь одному - саме він останнім ударом молота розколює твердий горішок знання. Але не можна ігнорувати безліч попередніх ударів, які не одне століття формували тріщину у Великій теоремі: Ейлера і Гауса (королів математики своїх часів), Евариста Галуа (що встиг за своє коротке 21-річне життя заснувати теорії груп та полів, роботи якого були визнані геніальними лише після його смерті), Анрі Пуанкаре (засновника не тільки химерних модулярних форм, а й конвенціоналізму - філософської течії), Давида Гілберта (одного з найсильніших математиків ХХ століття), Ютаку Таніяму, Горо Шімуру, Морделла, Фальтінгса, Ернста Куммера, Герхарда Фрея, Кена Ріббета, Річарда Тейлора та іншихсправжніх вчених
(Не побоюсь цих слів).
Доказ Великої теореми Ферма можна поставити в один ряд із такими здобутками ХХ століття, як винахід комп'ютера, ядерної бомби та політ у космос. Хоч про нього і не так широко відомо, тому що воно не вторгається в зону наших нагальних інтересів, як наприклад телевізор або електрична лампочка, але воно стало спалахом наднової зірки, яка, як і всі незаперечні істини, завжди світитиме людству. кому це треба?". Справедливе питання. Тут точно погодиться відповідь Давида Гілберта. Коли на питання: "яке завдання зараз для науки найважливіше?", він відповів: "зловити муху на зворотному боці Місяця", його резонно запитали: "а кому це треба?", він відповів так: "Це нікому не треба. Але подумайте над тим, скільки важливих найскладніших завдань треба вирішити, щоб це здійснити". Подумайте, скільки завдань за 360 років змогло вирішити людство, перш ніж довести теорему Ферма. врахувати, що математика - авангард науки (і, до речі, єдина з наук, яка будується без жодної помилки), і будь-які наукові досягнення та винаходи починаються саме тут. ".
* * *
А тепер давайте повернемося на початок нашої історії, згадаємо запис П'єра Ферма на полях підручника Діофанта і ще раз запитаємо себе: чи справді Ферма довів свою теорему? Цього ми, звичайно, не можемо знати напевно, і як у будь-якій справі тут виникають різні версії:
Версія 1:Ферма довів свою теорему. (На запитання: "Чи мав Ферма такий самий доказ своєї теореми?", Ендрю Уайлс зауважив: "Ферма не міг мати в своєму розпорядженні такимдоказом. Це доказ ХХ століття". Ми з вами розуміємо, що в XVII столітті математика, звичайно ж, була не та, що в кінці ХХ століття - в ту епоху д, Артаньяна, цариця наук ще не володіла тими відкриттями (модулярні форми, теореми Таніями , Фрея та ін.), які тільки й дозволили довести Велику теорему Ферма.
Версія 2:П'єру Ферма здалося, що він довів свою теорему, але в його доказі були помилки. (Тобто сам Ферма був також і першим фермістом);
Версія 3:Ферма свою теорему не довів, а на полях просто збрехав.
Якщо вірна одна з двох останніх версій, що найімовірніше, тоді можна зробити простий висновок: великі люди, вони хоч і великі, але теж можуть помилятися або іноді не проти прибрехати(переважно цей висновок буде корисним для тих, хто схильний нероздільно довіряти своїм кумирам та іншим володарям дум). Тому, читаючи твори авторитетних синів людства або слухаючи їх пафосні виступи, ви маєте повне право сумніватися у їх твердженнях. (Прошу зауважити, що сумніватися - не означає відкидати).
Перевидання матеріалів статті можливе лише з обов'язковими посиланнями на сайт (в інтернеті - гіперпосилання) та на автора
У світі можна знайти не так багато людей, які жодного разу не чули про Велику теорему Ферма - мабуть, це єдина математична задача, що отримала таку широку популярність і стала справжньою легендою. Про неї згадується в безлічі книг і фільмів, при цьому головний контекст майже всіх згадок - неможливість довести теорему.
Так, ця теорема дуже відома і в певному сенсі стала «ідолом», якому поклоняються математики-аматори та професіонали, але мало кому відомо про те, що її доказ знайдено, а сталося це вже далекого 1995 року. Але про все по порядку.
Отже, Велика теорема Ферма (нерідко звана останньою теоремою Ферма), сформульована в 1637 році блискучим французьким математиком П'єром Ферма, дуже проста за своєю суттю і зрозуміла будь-якій людині із середньою освітою. Вона говорить, що формула а в ступені n + b у ступені n = c у ступені n не має натуральних (тобто не дробових) рішень для n > 2. Начебто все просто і зрозуміло, але найкращі вчені-математики та прості любителі билися над пошуком рішення понад три з половиною століть.
Чому вона така знаменита? Зараз дізнаємось...
Чи мало доведених, недоведених і доки не доведених теорем? Тут вся справа в тому, що Велика теорема Ферма є найбільшим контрастом між простотою формулювання і складністю доказу. Велика теорема Ферма - завдання неймовірно важка, проте її формулювання може зрозуміти кожен з 5-ма класами середньої школи, а ось доказ - навіть далеко не всякий математик-професіонал. Ні в фізиці, ні в хімії, ні в біології, ні в тій же математиці немає жодної проблеми, яка б формулювалася так просто, але залишалася невирішеною так довго. 2. У чому вона полягає?
Почнемо з піфагорових штанів Формулювання справді просте - на перший погляд. Як відомо нам з дитинства, «Піфагорові штани на всі боки рівні». Проблема виглядає настільки простою тому, що в її основі лежало математичне твердження, яке всім відомо, - теорема Піфагора: у будь-якому прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі квадратів, побудованих на катетах.
У V столітті до н. Піфагор заснував піфагорійське братство. Піфагорійці, крім іншого, вивчали цілі трійки, що задовольняють рівності x²+y²=z². Вони довели, що піфагорових трійок нескінченно багато, і отримали загальні формули для їхнього знаходження. Напевно, вони намагалися шукати трійки та вищих ступенів. Переконавшись, що це не виходить, піфагорійці залишили марні спроби. Члени братства були більше філософами та естетами, ніж математиками.
Тобто легко підібрати безліч чисел, які чудово задовольняють рівності x²+y²=z²
Починаючи з 3, 4, 5 – справді, молодшокласнику зрозуміло, що 9+16=25.
Або 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Чудово.
Так от, виявляється, що їх немає. Ось тут починається каверза. Простота - здається, тому що важко довести не наявність чогось, а навпаки, відсутність. Коли треба довести, що рішення є, можна просто привести це рішення.
Довести відсутність складніше: наприклад, хтось каже: таке рівняння не має рішень. Посадити його в калюжу? легко: бац – а ось воно, рішення! (Приведіть рішення). І все, опонент вражений. А як довести відсутність?
Сказати: "Я не знайшов таких рішень"? А може, ти погано шукав? А раптом вони є, тільки дуже великі, ну дуже такі, що навіть у надпотужного комп'ютера поки не вистачає сил? Ось це й складно.
У наочному вигляді це можна показати так: якщо взяти два квадратики відповідних розмірів і розібрати на одиничні квадратики, то з цієї купки одиничних квадратиків виходить третій квадратик (рис. 2): 
А зробимо те саме з третім виміром (рис. 3) – не виходить. Бракує кубиків, або залишаються зайві:
А ось математик XVII століття француз П'єр де Ферма із захопленням досліджував загальне рівняння xn+yn=zn. І, нарешті, зробив висновок: при n>2 цілих рішень не існує. Доказ Ферма безповоротно втрачено. Рукописи палають! Залишилося лише його зауваження в «Арифметиці» Діофанта: «Я знайшов справді дивовижний доказ цієї пропозиції, але поля тут занадто вузькі для того, щоб вмістити його».
Взагалі теорема без доказу називається гіпотезою. Але за Ферма закріпилася слава, що він ніколи не помиляється. Навіть якщо він не залишав доказів будь-якого твердження, згодом воно підтверджувалося. До того ж Ферма довів свою тезу для n=4. Так гіпотеза французького математика увійшла до історії як Велика теорема Ферма.
Після Ферма над пошуком доказу працювали такі великі уми, як Леонард Ейлер (в 1770 їм було запропоновано рішення для n = 3),
Адрієн Лежандр і Йоган Діріхле (ці вчені в 1825 році спільно знайшли доказ для n = 5), Габріель Ламе (який знайшов доказ для n = 7) і багато інших. До середини 80-х років минулого століття стало зрозуміло, що вчений світ знаходиться на шляху до остаточного вирішення Великої теореми Ферма, проте тільки в 1993 математики побачили і повірили, що тривікова епопея з пошуку доказів останньої теореми Ферма практично закінчилася.
Легко показується, що теорему Ферма достатньо довести лише для простих n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При складових n доказ залишається чинним. Але й простих чисел нескінченно багато.
У 1825 році, застосувавши метод Софі Жермен, жінки-математика, Діріхле та Лежандр незалежно одна від одної довели теорему для n=5. У 1839 року тим самим методом француз Габріель Ламе показав істинність теореми для n=7. Поступово теорему довели майже всім n, менших ста.
Нарешті, німецький математик Ернст Куммер у блискучому дослідженні показав, що методами математики ХІХ століття теорему у вигляді довести не можна. Премія Французької Академії Наук, започаткована в 1847 році за доказ теореми Ферма, залишилася неврученою.
У 1907 році багатий німецький промисловець Пауль Вольфскель через нерозділене кохання вирішив звести рахунки з життям. Як справжній німець він призначив дату і час самогубства: рівно опівночі. В останній день він склав заповіт та написав листи друзям та родичам. Справи закінчилися раніше півночі. Слід сказати, що Пауль цікавився математикою. Від нічого робити він пішов у бібліотеку і почав читати знамениту статтю Куммера. Несподівано йому здалося, що Куммер у ході міркувань зробив помилку. Вольфскель став із олівцем у руках розбирати це місце статті. Опівночі минула, настав ранок. Пробіл у доказі було заповнено. Та й сам привід для самогубства тепер виглядав абсолютно безглуздим. Пауль розірвав прощальні листи та переписав заповіт.
Незабаром він помер природною смертю. Спадкоємці були неабияк здивовані: 100 000 марок (понад 1 000 000 нинішніх фунтів стерлінгів) передавалися на рахунок Королівського наукового товариства Геттінгена, яке того ж року оголосило про проведення конкурсу на здобуття премії Вольфскеля. 100 000 марок покладалися теорему Ферма, що доказав. За спростування теореми не належало ні пфеніг...
Більшість професійних математиків уважали пошук доказу Великої теореми Ферма безнадійною справою і рішуче відмовлялися витрачати час на таке марне заняття. Зате любителі повеселіли на славу. Через кілька тижнів після оголошення на Геттінгенському університеті обрушилася лавина «доказів». Професор Е. М. Ландау, в обов'язок якого входив розбір надісланих доказів, роздав своїм студентам картки:
Шановний(а) . . . . . . . .
Дякую Вам за надісланий Вами рукопис із доказом Великої теореми Ферма. Перша помилка знаходиться на стор. ... у рядку... . Через неї весь доказ втрачає чинність.
Професор Е. М. Ландау
1963 року Пауль Коен, спираючись на висновки Геделя, довів нерозв'язність однієї з двадцяти трьох проблем Гільберта — гіпотези континууму. А що, якщо Велика теорема Ферма теж нерозв'язна? Але справжніх фанатиків Великої теореми це не розчарувало. Поява комп'ютерів зненацька дала математикам новий спосіб підтвердження. Після Другої світової війни групи програмістів та математиків довели Велику теорему Ферма за всіх значень n до 500, потім до 1 000, а пізніше до 10 000.
У 80-ті роки Семюель Вагстафф підняв межу до 25 000, а в 90-ті математики заявили, що Велика теорема Ферма вірна при всіх значеннях n до 4 мільйонів. Але якщо від нескінченності відібрати навіть трильйон трильйонів, вона не стане меншою. Математиків не переконує статистика. Довести Велику теорему означало довести її ВСІХ n, які у нескінченність.
У 1954 році два молодих японських друга-математика зайнялися дослідженням модулярних форм. Ці форми породжують ряди чисел, кожна – свій ряд. Випадково Таніяма порівняв ці ряди із рядами, що породжуються еліптичними рівняннями. Вони збігалися! Але модулярні форми – геометричні об'єкти, а еліптичні рівняння – алгебраїчні. Між такими різними об'єктами ніколи не знаходили зв'язку.
Тим не менш, друзі після ретельної перевірки висунули гіпотезу: у кожного еліптичного рівняння існує двійник – модулярна форма, і навпаки. Саме ця гіпотеза стала фундаментом цілого напряму в математиці, але доти, поки гіпотеза Таніями-Сімури не була доведена, вся будівля могла зруйнуватися будь-якої миті.
В 1984 Герхард Фрей показав, що рішення рівняння Ферма, якщо воно існує, можна включити в деяке еліптичне рівняння. Двома роками пізніше професор Кен Рібет довів, що це гіпотетичне рівняння не може мати двійника у модулярному світі. Відтепер Велика теорема Ферма була нерозривно пов'язана з гіпотезою Таніями-Сімури. Довівши, що будь-яка еліптична крива модулярна, робимо висновок, що еліптичного рівняння з рішенням рівняння Ферма немає, і Велика теорема Ферма було б відразу доведено. Але протягом тридцяти років довести гіпотезу Таніями-Сімури не вдавалося, і надій на успіх залишалося дедалі менше.
У 1963 році, коли йому було всього десять років, Ендрю Вайлз вже був зачарований математикою. Коли він дізнався про Велику теорему, то зрозумів, що не зможе відмовитися від неї. Школярем, студентом, аспірантом він готував себе до цього завдання.
Дізнавшись про висновки Кена Рібета, Уайлс з головою пішов на доказ гіпотези Таніями-Сімури. Він вирішив працювати у повній ізоляції та таємності. «Я розумів, що все, що має якесь відношення до Великої теореми Ферма, викликає надто великий інтерес… Занадто багато глядачів наперед заважають досягненню мети». Сім років наполегливої роботи принесли плоди, Уайлс нарешті завершив доказ гіпотези Таніями-Сімури.
У 1993 році англійський математик Ендрю Уайлс представив світові свій доказ Великої теореми Ферма (Уайльс прочитав свою сенсаційну доповідь на конференції в Інституті сера Ісаака Ньютона в Кембриджі), робота над яким тривала понад сім років.
Поки в пресі продовжувався галас, розпочалася серйозна робота з перевірки доказу. Кожен фрагмент доказу повинен бути ретельно вивчений перш ніж доказ може бути визнаний суворим та точним. Уайлс провів неспокійне літо в очікуванні відгуків рецензентів, сподіваючись, що йому вдасться отримати схвалення. Наприкінці серпня експерти виявили недостатньо обґрунтоване судження.
Виявилося, що це рішення містить грубу помилку, хоча загалом і правильно. Уайлс не здався, закликав на допомогу відомого фахівця в теорії чисел Річарда Тейлора, і вже в 1994 вони опублікували виправлений і доповнений доказ теореми. Найдивовижніше, що ця робота зайняла цілих 130 (!) смуг у математичному журналі "Annals of Mathematics". Але й на цьому історія не закінчилася — останню точку було поставлено лише наступного, 1995 року, коли вийшов остаточний і «ідеальний», з математичної точки зору, варіант доказу.
«…через півхвилини після початку святкового обіду з нагоди її дня народження, я подарував Наді рукопис повного доказу» (Ендрю Уальс). Я ще не говорив, що математики дивні люди?
На цей раз жодних сумнівів у доказі не було. Дві статті були піддані ретельному аналізу і в травні 1995 року були опубліковані в журналі «Annals of Mathematics».
З того моменту пройшло чимало часу, однак у суспільстві досі існує думка про нерозв'язність Великої теореми Фер-ма. Але навіть ті, хто знає про знайдений доказ, продовжують роботу в цьому напрямі — мало кого влаштовує, що Велика теорема потребує вирішення 130 сторінок!
Тому зараз сили дуже багатьох математиків (в основному це любителі, а не професійні вчені) кинуті на пошуки простого і лаконічного доказу, проте цей шлях, швидше за все, не приведе нікуди...
джерело
ФЕРМА ВЕЛИКА ТЕОРЕМА - затвердження П'єра Ферма (французький юрист і за сумісництвом математик) про те, що діофантове рівняння X n + Y n = Z n , за показником ступеня n>2, де n = ціле число, не має рішень у цілих позитивних числах . Авторський текст: "Неможливо розкласти куб на два куби, або біквадрат на два біквадрати, або взагалі ступінь, більший за два, на два ступеня з тим же самим показником."
"Ферма та його теорема", Амадео Модільяні, 1920
П'єр вигадав цю теорему 29 березня 1636 року. А ще за якихось 29 років помер. Але тут все й почалося. Адже заможний німецький аматор математики на прізвище Вольфскель заповів сто тисяч марок тому, хто надасть повний доказ теореми Ферма! Але ажіотаж навколо теореми був пов'язаний не лише з цим, а й із професійним математичним азартом. Сам Ферма натякнув математичному співтовариству, що знає доказ - незадовго до смерті, в 1665-му році він залишив на полях книги Діофанта Олександрійського "Арифметика" наступний запис: "Я маю дуже разючий доказ, але воно занадто велике, щоб його можна було розмістити на полях."
Саме цей натяк (плюс, звичайно, грошова премія) змусив математиків безуспішно витрачати на пошуки докази свої найкращі роки (за підрахунками американських вчених, тільки професійними математиками було витрачено на це 543 роки).
У якийсь момент (1901-го) робота над теоремою Ферма набула сумнівної слави "роботи, схожої на пошук вічного двигуна" (з'явився навіть принизливий термін - "ферматисти"). І раптом 23 червня 1993 року на математичній конференції з теорії чисел у Кембриджі англійський професор математики з Прінстонського університету (Нью-Джерсі, США) Ендрю Вайлз оголосив, що нарешті довів Ферма!
Доказ, щоправда, був як складним, а й очевидно помилковим, потім Уайлсу було вказано його колегами. Але професор Вайлз все життя мріяв довести теорему, тому не дивно, що в травні 1994-го він представив на суд вченої спільноти новий доопрацьований варіант доказу. У ньому не було стрункості, краси, і воно, як і раніше, було дуже складним - той факт, що математики цілий рік (!) цей доказ аналізували, щоб зрозуміти, чи не є воно хибним, говорить сам за себе!
Однак у результаті підтвердження Уайлса було визнано вірним. А ось П'єру Ферма його цей натяк в "Арифметиці" математики не пробачили, і, фактично, стали вважати його брехуном. Власне, першим, хто ризикнув засумніватися в моральній охайності Ферма був сам Ендрю Уайлс, який зауважив, що "Ферма не міг мати такого доказу. Це доказ ХХ століття." Потім і серед інших учених зміцнилася думка, що Ферма "не міг довести свою теорему іншим шляхом, а довести її тим шляхом, яким пішов Уайлс, Ферма не міг з об'єктивних причин."
Насправді, Ферма, звичайно ж, міг довести її, і трохи пізніше цей доказ буде аналітиками "Нової Аналітичної Енциклопедії" відтворено. Але - що це за такі "об'єктивні причини"?
Така причина насправді лише одна: у ті роки, коли жив Ферма, не могла з'явитися гіпотеза Таніями, на якій і побудував свій доказ Ендрю Вайлз, адже модулярні функції, якими оперує гіпотеза Таніями, були відкриті лише наприкінці XIX століття.
Як довів теорему сам Вайлз? Питання непусте - це важливо для розуміння того, яким чином свою теорему міг довести сам Ферма. Уайлс побудував свій доказ на доказі гіпотези Таніями, висунутої 1955-го 28-річним японським математиком Ютакой Таніямою.
Гіпотеза звучить так: "кожній еліптичній кривій відповідає певна модулярна форма". Еліптичні криві, відомі з давніх-давен, мають двовимірний вигляд (розташовуються на площині), модулярні ж функції, мають чотиривимірний вигляд. Тобто гіпотеза Таніями поєднала зовсім різні поняття - прості плоскі криві та неймовірні чотиривимірні форми. Сам факт поєднання різномірних фігур у гіпотезі здався вченим абсурдним, саме тому 1955-го їй не надали значення.
Однак восени 1984 року про "гіпотезу Таніями" раптом знову згадали, і не просто згадали, але пов'язали її можливий доказ із доказом теореми Ферма! Це зробив математик із Саарбрюкена Герхард Фрей, який повідомив вченому співтовариству, що "якби комусь вдалося довести гіпотезу Таніями, то тим самим було б доведено і Велику теорему Ферма".
Що зробив Фрей? Він перетворив рівняння Ферма на кубічне, потім звернув увагу, що еліптична крива, отримана з допомогою перетвореного на кубічне рівняння Ферма може бути модулярной. Однак гіпотеза Таніями стверджувала, що будь-яка еліптична крива може бути модульною! Відповідно, еліптична крива, побудована з рівняння Ферма неспроможна існувати, отже може бути цілих рішень і теореми Ферма, отже вона вірна. Ну а 1993-го Ендрю Уайлс просто довів гіпотезу Таніями, а значить і теорему Ферма.
Однак, теорему Ферма можна довести значно простіше, на основі тієї ж багатовимірності, якою оперували і Таніяма, і Фрей.
Для початку звернемо увагу на умову, обумовлену самим П'єром Ферма - n>2. Для чого була потрібна ця умова? Та лише у тому, що з n=2 окремим випадком теореми Ферма стає традиційна теорема Піфагора Х 2 +Y 2 =Z 2 , яке має безліч цілих рішень - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 і таке інше. Отже, теорема Піфагора є винятком з теореми Ферма.
Але чому саме у випадку з n=2 виникає такий виняток? Все стає на свої місця, якщо побачити взаємозв'язок між ступенем (n=2) та мірністю самої фігури. Піфагорів трикутник - двомірна фігура. Не дивно, що Z (тобто гіпотенуза) може бути виражена через катети (X і Y), які можуть бути цілими числами. Розмір кута (90) дає можливість розглядати гіпотенузу як вектор, а катети - вектори, розташовані на осях і які йдуть із початку координат. Відповідно, можна виразити двовимірний вектор, що не лежить на жодній з осей, через вектори, що на них лежать.
Тепер, якщо перейти до третього виміру, а значить до n=3, для того щоб висловити тривимірний вектор, буде недостатньо інформації про два вектори, а отже, виразити Z у рівнянні Ферма можна буде як мінімум через три доданки (три вектори, що лежать, відповідно, на трьох осях системи координат).
Якщо n=4, отже, доданків має бути вже 4, якщо n=5, то доданків має бути 5 і так далі. У цьому випадку цілих рішень буде хоч греблю гати. Наприклад, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 і так далі (інші приклади для n = 3, n = 4 і так далі можете підібрати самостійно).
Що з цього слід? З цього випливає, що теорема Ферма справді не має цілих рішень при n>2 - але лише тому, що саме собою рівняння некоректне! З таким самим успіхом можна було б намагатися висловити обсяг паралелепіпеда через довжини двох його ребер - зрозуміло, це неможливо (цілих рішень ніколи не буде знайдено), але лише тому, що для знаходження обсягу паралелепіпеда потрібно знати довжини всіх трьох його ребер.
Коли знаменитого математика Давида Гілберта запитали, яке завдання зараз для науки найважливіше, він відповів "зловити муху на звороті Місяця". На резонне запитання "А кому це треба?" він відповів так: "Це нікому не треба. Але подумайте над тим, скільки важливих найскладніших завдань треба вирішити, щоб це здійснити".
Іншими словами, Ферма (юрист насамперед!) зіграв з усім математичним світом дотепний юридичний жарт, заснований на неправильній постановці завдання. Він, власне, запропонував математикам знайти відповідь, чому муха з іншого боку Місяця жити неспроможна, але в полях " Арифметики " хотів написати лише у тому, що у Місяці просто немає повітря, тобто. Цілих рішень його теореми при n>2 бути не може лише тому, що кожному значенню n має відповідати певну кількість членів у лівій частині його рівняння.
Але чи це був просто жарт? Не. Геніальність Ферма полягає саме в тому, що він фактично першим побачив взаємозв'язок між ступенем і мірністю математичної фігури - тобто, що абсолютно еквівалентно, кількістю членів у лівій частині рівняння. Сенс його знаменитої теореми був саме в тому, щоб не просто наштовхнути математичний світ на ідею цього взаємозв'язку, а й ініціювати доказ існування цього взаємозв'язку – інтуїтивно зрозумілого, але математично поки що не обґрунтованого.
Ферма як ніхто інший розумів, що встановлення взаємозв'язку між, начебто, різними об'єктами надзвичайно плідно у математиці, а й у будь-якій науці. Такий взаємозв'язок вказує на якийсь глибокий принцип, що лежить в основі обох об'єктів і дозволяє глибше зрозуміти їх.
Наприклад, спочатку фізики розглядали електрику та магнетизм як зовсім не пов'язані між собою явища, а в XIX столітті теоретики та експериментатори зрозуміли, що електрика та магнетизм тісно пов'язані між собою. В результаті було досягнуто глибшого розуміння і електрики, і магнетизму. Електричні струми породжують магнітні поля, а магніти можуть індукувати електрику в провідниках поблизу магнітів. Це призвело до винаходу динамомашин та електромоторів. Зрештою було відкрито, що світло є результатом узгоджених гармонійних коливань магнітного та електричного полів.
Математика часів Ферма складалася з островів знання у морі незнання. На одному острові жили геометри, що займаються вивченням форм, на іншому острові теорії ймовірностей математики вивчали ризики та випадковість. Мова геометрії сильно відрізнялася від мови теорії ймовірностей, а алгебраїчна термінологія була чужа тим, хто говорив лише про статистику. На жаль, математика та наших часів складається приблизно з таких самих островів.
Ферма першим зрозумів, що ці острови взаємопов'язані. І його знаменита теорема - ВЕЛИКА ТЕОРЕМА ФЕРМА - відмінне тому підтвердження.
Григорій Перельман. Відмовник
Василь Максимов
У серпні 2006 року були оголошені імена кращих математиків планети, які отримали найпрестижнішу Медаль Філдса – своєрідний аналог Нобелівської премії, якої математики, за забаганням Альфреда Нобеля, були позбавлені. Премія Fields Medal – окрім почесного знака, лауреатам вручається чек на п'ятнадцять тисяч канадських доларів – присуджується Міжнародним конгресом математиків раз на чотири роки. Вона заснована канадським ученим Джоном Чарльзом Філдсом і вперше вручена у 1936 році. З 1950 Fields Medal вручається регулярно особисто королем Іспанії за внесок у розвиток математичної науки. Лауреатами премії можуть стати від одного до чотирьох вчених віком до сорока років. Премію вже отримали сорок чотири математики, серед яких вісім росіян.
Григорій Перельман. Анрі Пуанкаре.
У 2006 році лауреатами стали француз Венделін Вернер, австралієць Теренс Тао та двоє росіян – працюючий у США Андрій Окуньков та вчений із Петербурга Григорій Перельман. Проте в останній момент стало відомо, що Перельман відмовився від цієї престижної нагороди – як оголосили організатори, «з принципових міркувань».
Такий екстравагантний вчинок російського математика не став несподіванкою для людей, які його знають. Він уже не вперше відмовляється від математичних нагород, пояснюючи своє рішення тим, що не любить урочистих заходів і зайвого галасу навколо свого імені. Ще десять років тому, у 1996 році, Перельман відмовився від премії Європейського математичного конгресу, пославшись на те, що не закінчив роботу над номінованою науковою проблемою, і це був не останній випадок. Російський математик наче зробив метою свого життя дивувати людей, йдучи всупереч громадській думці та науковій громадськості.
Григорій Якович Перельман народився 13 червня 1966 року у Ленінграді. З юних років захоплювався точними науками, блискуче закінчив знамениту 239-ю середню школу з поглибленим вивченням математики, перемагав на численних математичних олімпіадах: так, у 1982 році у складі команди радянських школярів брав участь у Міжнародній математичній олімпіаді, проході. Перельман без іспитів був зарахований до мехмату Ленінградського університету, де навчався на «відмінно», продовжуючи перемагати в математичних змаганнях усіх рівнів. Закінчивши університет із червоним дипломом, він вступив до аспірантури при Петербурзькому відділенні Математичного інституту імені В. А. Стеклова. Його науковий керівник був відомий математик академік Александров. Захистивши кандидатську дисертацію, Григорій Перельман залишився в інституті, у лабораторії геометрії та топології. Відомі його роботи з теорії просторів Александрова, він зумів знайти докази до ряду важливих гіпотез. Незважаючи на численні пропозиції від провідних західних університетів, Перельман вважає за краще працювати в Росії.
Найгучнішим його успіхом стало рішення в 2002 році знаменитої гіпотези Пуанкаре, опублікованої в 1904 році і з тих пір не доведеною. Перельман працював над нею вісім років. Гіпотеза Пуанкаре вважалася однією з найбільших математичних загадок, а її рішення - найважливішим досягненням у математичній науці: воно миттєво просуне вперед дослідження проблем фізико-математичних основ світобудови. Видатні уми планети прогнозували її рішення лише через кілька десятиліть, а Інститут математики Клея в Кембриджі, штат Массачусетс, вніс проблему Пуанкаре до семи найцікавіших невирішених математичних проблем тисячоліття, за вирішення кожної з яких була обіцяна премія в мільйон доларів (Millennium Prize Problems) .
Гіпотеза (іноді звана завданням) французького математика Анрі Пуанкаре (1854–1912) формулюється так: будь-який замкнутий однозв'язний тривимірний простір гомеоморфно тривимірній сфері. Для пояснення використовують наочний приклад: якщо обмотати яблуко гумовою стрічкою, то в принципі стягуючи стрічку, можна стиснути яблуко в крапку. Якщо ж обмотати такою ж стрічкою бублик, то в його точку стиснути не можна без розриву або бублика, або гуми. У такому контексті яблуко називають «однозв'язною» фігурою, а бублик не однозв'язний. Майже сто років тому Пуанкаре встановив, що двовимірна сфера є однозв'язковою, і припустив, що тривимірна сфера теж однозв'язна. Довести цю гіпотезу не могли найкращі математики світу.
Щоб претендувати на приз Інституту Клею, Перельману потрібно було лише опублікувати своє рішення в одному з наукових журналів, і якщо протягом двох років ніхто не зможе знайти помилку в його обчисленнях, то рішення вважатимуть вірним. Однак Перельман від початку відступив від правил, опублікувавши своє рішення на сайті препринтів Лос-Аламоської наукової лабораторії. Можливо, він побоювався, що в його розрахунки вкралася помилка – подібна історія вже відбувалася в математиці. У 1994 році англійський математик Ендрю Уайлз запропонував рішення знаменитої теореми Ферма, а через кілька місяців з'ясувалося, що в його розрахунки вкралася помилка (щоправда, згодом вона була виправлена, і сенсація все ж таки відбулася). Офіційної публікації доказу гіпотези Пуанкаре немає досі – натомість є авторитетна думка найкращих математиків планети, які б підтверджували вірність розрахунків Перельмана.
Медаль Філдса Григорія Перельмана була присуджена саме за вирішення проблеми Пуанкаре. Але російський учений відмовився від премії, якої він, без сумніву, гідний. «Григорій сказав мені, що почувається ізольованим від міжнародної математичної спільноти, поза цією спільнотою, тому не хоче отримувати нагороду», – заявив на прес-конференції в Мадриді президент Всесвітньої спілки математиків (ВСМ) англієць Джон Болл.
Ходять чутки, що Григорій Перельман взагалі збирається піти з науки: ще півроку тому він звільнився з рідного Математичного інституту імені Стеклова, і кажуть, ніби він більше не займатиметься математикою. Можливо, російський учений вважає, що, довівши знамениту гіпотезу, зробив для науки все, що міг. А втім, хто візьметься розмірковувати про хід думок такої яскравої вченої та неординарної людини?.. Від будь-яких коментарів Перельман відмовляється, а газеті The Daily Telegraph він заявив: «Ніщо з того, що я можу сказати, не становить жодного суспільного інтересу». Однак провідні наукові видання були одностайні у своїх оцінках, коли повідомили, що «Григорій Перельман, дозволивши теорему Пуанкаре, став одним рядом із найбільшими геніями минулого і сьогодення».
Щомісячний літературно-публіцистичний журнал та видавництво.
П'єр Ферма, читаючи «Арифметику» Діофанта Олександрійського і розмірковуючи над її завданнями, мав звичку записувати на полях книги результати своїх роздумів як коротких зауважень. Проти восьмого завдання Діофанта на полях книги, Ферма записав: « Навпаки, неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрати, і, взагалі, ніякий ступінь, більший за квадрат на два ступені з тим же показником. Я відкрив цьому справді чудовий доказ, але ці поля для нього надто вузькі» / Е.Т.Белл «Творці математики». М., 1979, стор.69/. Пропоную до Вашої уваги елементарний доказ теореми ферма, який може зрозуміти будь-який старшокласник, який захоплюється математикою.
Порівняємо коментар Ферма до завдання Діофанта із сучасним формулюванням великої теореми Ферма, що має вигляд рівняння.
« Рівняння
x n + y n = z n(де n – ціле число більше двох)
не має рішень у цілих позитивних числах»
Коментар перебуває із завданням у логічному зв'язку, аналогічного логічного зв'язку присудка з підлягаючим. Те, що стверджується завданням Діофанта, навпаки, стверджується коментарем Ферма.
Коментар Ферма можна так трактувати: якщо квадратне рівняння з трьома невідомими має безліч рішень на безлічі всіх трійок піфагорових чисел, то, навпаки, рівняння з трьома невідомими в ступені, більшій за квадрат
У рівнянні немає навіть натяку на його зв'язок із завданням Діофанта. Його твердження вимагає докази, але при ньому немає умови, з якої випливає, що воно не має рішень у цілих позитивних числах.
Відомі мені варіанти доказу рівняння зводяться до наступного алгоритму.
- Рівняння теореми Ферма приймається до її висновку, у справедливості якого переконуються з допомогою докази.
- Це ж рівняння називають вихіднимрівнянням, з якого має виходити його доказ.
У результаті утворилася тавтологія: « Якщо рівняння немає рішень у цілих позитивних числах, воно не має рішень у цілих позитивних числах». Доказ тавтології свідомо є неправильним і позбавленим будь-якого сенсу. Але її доводять шляхом протилежного.
- Приймається припущення, протилежне до того, що затверджується рівнянням, яке потрібно довести. Воно не повинно суперечити вихідному рівнянню, а воно йому суперечить. Доводити те, що прийнято без доказу, і приймати без доказу те, що потрібно довести, не має сенсу.
- На підставі прийнятого припущення виконуються абсолютно правильні математичні операції та дії, щоб довести, що воно суперечить вихідному рівнянню та є хибним.
Тому вже 370 років доказ рівняння великої теореми Ферма залишається нездійсненною мрією фахівців і любителів математики.
Я прийняв рівняння за висновок теореми, а восьму завдання Діофанта та її рівняння за умову теореми.
«Якщо рівняння x 2 + y 2 = z 2
(1) має безліч рішень на безлічі всіх трійок піфагорових чисел, то, навпаки, рівняння x n + y n = z n
, де n > 2
(2) немає рішень на безлічі цілих позитивних чисел.»
Доведення.
а)Всім відомо, що рівняння (1) має безліч рішень на безлічі всіх трійок піфагорових чисел. Доведемо, що жодна трійка піфагорових чисел, що є рішенням рівняння (1), не є рішенням рівняння (2).
З закону оборотності рівності, сторони рівняння (1) поміняємо місцями. Піфагорові числа (z, х, у) можуть бути витлумачені як довжини сторін прямокутного трикутника, а квадрати (x 2 , y 2 , z 2) можуть бути витлумачені як площі квадратів, побудованих на його гіпотенузі та катетах.
Площі квадратів рівняння (1) помножимо на довільну висоту h :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
Рівняння (3) можна трактувати як рівність обсягу паралелепіпеда сумі обсягів двох паралелепіпедів.
Нехай висота трьох паралелепіпедів h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Об'єм куба розклався на два обсяги двох паралелепіпедів. Об'єм куба залишимо без змін, а висоту першого паралелепіпеда зменшимо до x і висоту другого паралелепіпеда зменшимо до y . Об'єм куба більше суми об'ємів двох кубів:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
На безлічі трійок піфагорових чисел ( х, у, z ) при n = 3 може бути жодного рішення рівняння (2). Отже, на багатьох всіх трійок піфагорових чисел неможливо куб розкласти на два куби.
Нехай у рівнянні (3) висота трьох паралелепіпедів h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Обсяг паралелепіпеда розклався на суму обсягів двох паралелепіпедів.
Ліву сторону рівняння (6) залишимо без зміни. На правій його стороні висоту z 2
зменшимо до х
у першому доданку і до у 2
у другому доданку.
Рівняння (6) звернулося до нерівності:
Обсяг паралелепіпеда розклався на два обсяги двох паралелепіпедів.
Ліву сторону рівняння (8) залишимо без зміни.
На правій стороні висоту z n-2
зменшимо до x n-2
у першому доданку і зменшимо до y n-2
у другому доданку. Рівняння (8) звертається до нерівності:
| z n > x n + y n | (9) |
На безлічі трійок піфагорових чисел може бути жодного рішення рівняння (2).
Отже, на безлічі всіх трійок піфагорових чисел за всіх n > 2 рівняння (2) немає рішень.
Отримано «воістину чудовий доказ», але тільки для трійок піфагорових чисел. У цьому полягає нестача доказута причина відмови П. Ферма від нього.
B)Доведемо, що рівняння (2) не має рішень на безлічі трійок непіфагорових чисел, що представляє збій сімейство довільно взятої трійки піфагорових чисел z = 13, x = 12, y = 5 та сімейство довільно взятої трійки цілих позитивних чисел z = 21, x = 19, y = 16
Обидві трійки чисел є членами своїх сімейств:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Число членів сімейства (10) і (11) дорівнює половині твору 13 на 12 та 21 на 20, тобто 78 та 210.
У кожному члені сімейства (10) є z = 13 та змінні х і у 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
У кожному члені сімейства (11) є z = 21 та змінні х і у , які набувають значення цілих чисел 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Змінні послідовно спадають на 1 .
Трійки чисел послідовності (10) і (11) можна подати у вигляді послідовності нерівностей третього ступеня:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
і у вигляді нерівностей четвертого ступеня:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Правильність кожної нерівності засвідчується підвищенням чисел у третій та четвертий ступінь.
Куб більшої кількості неможливо розкласти на два куби менших чисел. Він або менше, або більше суми кубів двох менших чисел.
Біквадрат більшої кількості неможливо розкласти на два біквадрати менших чисел. Він або менше, або більше суми біквадратів менших чисел.
Зі зростанням показника ступеня всі нерівності, крім лівої крайньої нерівності, мають однаковий зміст:
Нерівностей вони всі мають однаковий зміст: ступінь більшого числа більший за суму ступенів менших двох чисел з тим самим показником:
| 13 n > 12 n + 12 n; 13 n > 12 n + 11 n; ...; 13 n > 7 n + 4 n; ...; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n > 20 n + 20 n; 21 n > 20 n + 19 n; ...; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
Лівий крайній член послідовностей (12) (13) є найбільш слабкою нерівністю. Його правильність визначає правильність всіх наступних нерівностей послідовності (12) при n > 8 та послідовності (13) при n > 14 .
Серед них не може бути жодної рівності. Довільно взята трійка цілих позитивних чисел (21,19,16) перестав бути рішенням рівняння (2) великої теореми Ферма. Якщо довільно взята трійка цілих позитивних чисел є рішенням рівняння, то рівняння немає рішень на безлічі цілих позитивних чисел, як і вимагалося довести.
С)У коментарі Ферма до завдання Діофанта стверджується, що неможливо розкласти взагалі, ніякий ступінь, більший за квадрат, на два ступені з тим же показником».
Цілуюступінь, більший за квадрат, дійсно неможливо розкласти на два ступені з тим же показником. Нецілуюступінь, більшу за квадрат можна розкласти на два ступені з тим же показником.
Будь-яка довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z, x, y) може належати до сімейства, кожен член якого складається з постійного числа z і двох чисел, менших z . Кожен член сімейства може бути представлений у формі нерівності, а всі отримані нерівності - у вигляді послідовності нерівностей:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
Послідовність нерівностей (14) починається нерівностями, у яких ліва сторона менша за праву сторону, а закінчується нерівностями, у яких права сторона менша від лівої сторони. Зі зростанням показника ступеня n > 2 число нерівностей правої сторони послідовності (14) збільшується. При показнику ступеня n = k всі нерівності лівої сторони послідовності змінюють свій сенс і набувають сенсу нерівностей правої сторони нерівностей послідовності (14). В результаті зростання показника ступеня у всіх нерівностей ліва сторона виявляється більшою за праву сторону:
| z k > (z-1) k + (z-1) k; z k > (z-1) k + (z-2) k; ...; z k > 2 k + 1 k; z k > 1 k + 1 k | (15) |
При подальшому зростанні показника ступеня n > k жодна з нерівностей не змінює свого сенсу і не звертається до рівності. На цій підставі можна стверджувати, що будь-яка довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z, x, y) при n > 2 , z > x , z > y
У довільно взятій трійці цілих позитивних чисел z може бути як завгодно великим натуральним числом. Для всіх натуральних чисел, які не більше z , велику теорему Ферма доведено.
D)Яким би не було більшим числом z , в натуральному ряду чисел до нього є велика, але кінцева множина цілих чисел, а після нього - безліч цілих чисел.
Доведемо, що все безліч натуральних чисел, великих z , утворюють трійки чисел, які є рішеннями рівняння великий теореми Ферма, наприклад, довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) , в якій z + 1 > x і z + 1 > y при всіх значеннях показника ступеня n > 2 не є рішенням рівняння великої теореми Ферма.
Довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) може належати до сімейства трійок чисел, кожен член якого складаються з постійного числа z + 1 та двох чисел х і у , що приймають різні значення, менші z + 1 . Члени сімейства можуть бути представлені у формі нерівностей, у яких постійна ліва сторона менша або більше правої сторони. Нерівності можна впорядковано розташувати як послідовності нерівностей:
При подальшому зростанні показника ступеня n > k до нескінченності жодна з нерівностей послідовності (17) не змінює свого сенсу і не звертається до рівності. У послідовності (16) нерівність, утворена з довільно взятої трійки цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) , може у її правої частини як (z + 1) n > x n + y n або перебувати у її лівій частині у вигляді (z + 1) n< x n + y n .
У будь-якому випадку трійка цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) при n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y в послідовності (16) являє собою нерівність і не може являти собою рівності, тобто не може бути рішенням рівняння великої теореми Ферма.
Легко і просто зрозуміти походження послідовності статечних нерівностей (16), в якій остання нерівність лівої сторони і перша нерівність правої сторони є нерівністю протилежного сенсу. Навпаки, нелегко і непросто школярам, старшокласнику та старшокласниці, зрозуміти, яким чином із послідовності нерівностей (16) утворюється послідовність нерівностей (17), у якій усі нерівності однакового змісту.
У послідовності (16) збільшення цілого ступеня нерівностей на 1 одиницю звертає останню нерівність лівої сторони у першу нерівність протилежного сенсу правої сторони. Таким чином, кількість нерівностей сторони послідовності зменшується, а кількість нерівностей правої сторони збільшується. Між останнім і першим статечними нерівностями протилежного сенсу обов'язково перебуває статечна рівність. Його ступінь може бути цілим числом, оскільки між двома послідовними натуральними числами перебувають лише нецілі числа. Ступінна рівність нецілого ступеня, за умовою теореми, не може вважатися рішенням рівняння (1).
Якщо в послідовності (16) продовжувати збільшення ступеня на 1 одиницю, то остання нерівність її лівої сторони звернеться до першої нерівності протилежного сенсу правої сторони. В результаті не залишиться жодної нерівності лівої сторони і залишаться тільки нерівності правої сторони, які являтимуть собою послідовність статечних нерівностей, що посилюються (17). Подальше збільшення їхнього цілого ступеня на 1 одиницю лише посилює її статечні нерівності і категорично виключає можливість появи рівності в цілому ступені.
Отже, взагалі, жодну цілу міру натурального числа (z+1) послідовності статечних нерівностей (17) неможливо розкласти на два цілих ступеня з тим самим показником. Тому рівняння (1) немає рішень на нескінченному безлічі натуральних чисел, що потрібно було довести.
Отже, велику теорему Ферма доведено у всій загальності:
- у розділі А) для всіх трійок (z, x, y) піфагорових чисел (відкритий Ферма воістину чудовий доказ),
- у розділі В) для всіх членів сімейства будь-якої трійки (z, x, y) піфагорових чисел,
- у розділі С) для всіх трійок чисел (z, x, y) невеликих числа z
- у розділі D) для всіх трійок чисел (z, x, y) натурального ряду чисел.
|
Зміни внесено 05.09.2010 р. |
Які теореми можна і які не можна довести від протилежного
У тлумачному словнику математичних термінів дано визначення доказу від протилежної теореми, протилежної зворотній теоремі.
«Доказ від протилежного – метод доказу теореми (пропозиції), що полягає в тому, що доводять не саму теорему, а їй рівносильну (еквівалентну), протилежну зворотній (зворотній протилежній) теорему. Доказ протилежного використовують щоразу, коли пряму теорему довести важко, а протилежну зворотній легше. За підтвердження протилежного укладання теореми замінюється її запереченням, і шляхом міркування приходять до заперечення умови, тобто. до протиріччя, до протилежного (протилежного до того, що дано; це приведення до абсурду і доводить теорему».
Доказ протилежного дуже часто застосовується в математиці. Доказ від протилежного заснований на законі виключеного третього, що полягає в тому, що з двох висловлювань (затверджень) А і А (заперечення А) одне з них є істинним, а інше хибним»./Тлумачний словник математичних термінів: Посібник для вчителів/О. В. Мантуров [та ін]; за ред. В. А. Діткіна. - М.: Просвітництво, 1965. - 539 с.: Іл.-C.112 /.
Не краще було б відкрито заявити про те, що метод доказу протилежного не є математичним методом, хоча й використовується в математиці, що він є логічним методом і належить логіці. Чи можна стверджувати, що доказ від протилежного «використовують щоразу, коли пряму теорему довести важко», коли насправді його використовують тоді, і лише тоді, коли немає заміни.
Заслуговує на особливу увагу і характеристика ставлення один до одного прямою і зворотною їй теорем. «Зворотна теорема для даної теореми (або цієї теореми) — теорема, у якій умовою є висновок, а висновком – умова даної теореми. Ця теорема по відношенню до зворотної теореми називається прямою теоремою (вихідною). У той самий час зворотна теорема до зворотної теоремі буде даної теоремою; тому пряма та зворотна теореми називаються взаємно зворотними. Якщо пряма (дана) теорема вірна, то зворотна теорема який завжди правильна. Наприклад, якщо чотирикутник – ромб, його діагоналі взаємно перпендикулярні (пряма теорема). Якщо у чотирикутнику діагоналі взаємно перпендикулярні, то чотирикутник є ромб – це не так, тобто зворотна теорема неправильна»./Тлумачний словник математичних термінів: Посібник для вчителів/О. В. Мантуров [та ін]; за ред. В. А. Діткіна.- М.: Просвітництво, 1965.- 539 с.: Іл.-C.261/.
Дана характеристика відношення прямої та зворотної теорем не враховує того, що умова прямої теореми приймається як дана, без доказу, тому його правильність не має гарантії. Умова зворотної теореми не сприймається як це, оскільки вона є висновком доведеної прямої теореми. Його правильність засвідчена доказом прямої теореми. Це істотне логічне відмінність умов прямої та зворотної теорем виявляється вирішальним у питанні які теореми можна і які не можна довести логічним методом від протилежного.
Припустимо, що у прикметі є пряма теорема, яку довести традиційним математичним способом можна, але складно. Сформулюємо її у вигляді у короткій формі так: з Аслід Е . Символ А має значення цієї умови теореми, прийнятого без доказу. Символ Е має значення укладання теореми, яке потрібно довести.
Доводити пряму теорему будемо від протилежного, логічнимметодом. Логічним методом доводиться теорема, яка має не математичнеумова, а логічнеумова. Його можна отримати, якщо математична умова теореми з Аслід Е , доповнити прямо протилежною умовою з Ане слід Е .
В результаті вийшло логічне суперечливе умова нової теореми, що містить у собі дві частини: з Аслід Е і з Ане слід Е . Отримана умова нової теореми відповідає логічному закону виключеного третього та відповідає доказу теореми методом протилежного.
Відповідно до закону, одна частина суперечливої умови є хибною, інша частина є істинною, а третє – виключено. Доказ від протилежного має своє завдання і метою встановити, саме яка частина з двох частин умови теореми є хибною. Як тільки буде визначено помилкову частину умови, так буде встановлено, що інша частина є справжньою частиною, а третя — виключена.
Згідно з тлумачним словником математичних термінів, «доказ є міркування, під час якого встановлюється істинність чи хибність будь-якого твердження (судження, висловлювання, теореми)». Доведення від протилежногоє міркування, під час якого встановлюється хибність(абсурдність) висновку, що випливає з хибногоумови теореми, що доводиться.
Дано: з Аслід Еі із Ане слід Е .
Довести: з Аслід Е .
Доведення: Логічна умова теореми полягає в собі протиріччя, яке вимагає свого вирішення Протиріччя умови має знайти свій дозвіл у доказі та його результаті. Результат виявляється хибним при бездоганному та безпомилковому міркуванні. Причиною помилкового висновку при логічно правильному міркуванні може бути лише суперечлива умова: з Аслід Е і з Ане слід Е .
Немає і тіні сумніву, що одна частина умови є хибною, а інша в цьому випадку є істинною. Обидві частини умови мають однакове походження, прийняті як дані, припущені, однаково можливі, однаково допустимі і т. д. У ході логічного міркування не виявлено жодної логічної ознаки, яка б відрізняла одну частину умови від іншої. Тому в одній і тій же мірі може бути з Аслід Е і може бути з Ане слід Е . Твердження з Аслід Е може бути хибнимтоді затвердження з Ане слід Е буде справжнім. Твердження з Ане слід Е може бути хибним, тоді твердження з Аслід Е буде справжнім.
Отже, пряму теорему методом протилежного довести неможливо.
Тепер цю пряму теорему доведемо звичайним математичним методом.
Дано: А .
Довести: з Аслід Е .
Доведення.
1. З Аслід Б
2. З Бслід У (По раніше доведеній теоремі)).
3. З Услід Г (За раніше доведеною теореми).
4. З Гслід Д (За раніше доведеною теореми).
5. З Дслід Е (За раніше доведеною теореми).
На підставі закону транзитивності, з Аслід Е . Пряма теорема підтверджена простим способом.
Нехай доведена пряма теорема має правильну зворотну теорему: з Еслід А .
Доведемо її звичайним математичнимметодом. p align="justify"> Доказ зворотної теореми можна виразити в символічній формі у вигляді алгоритму математичних операцій.
Дано: Е
Довести: з Еслід А .
Доведення.
1. З Еслід Д
2. З Дслід Г (По раніше доведеній зворотній теоремі).
3. З Гслід У (По раніше доведеній зворотній теоремі).
4. З Уне слід Б (Зворотна теорема неправильна). Тому й з Бне слід А .
У цій ситуації продовжувати математичне підтвердження зворотної теореми немає сенсу. Причина виникнення ситуації – логічна. Неправильну зворотну теорему нічим замінити неможливо. Отже, цю зворотну теорему довести звичайним математичним методом неможливо. Вся надія – на підтвердження цієї зворотної теореми шляхом протилежного.
Щоб її довести шляхом протилежного, потрібно замінити її математичне умова логічним суперечливим умовою, що укладає у собі за змістом дві частини – хибну і істинну.
Зворотна теоремастверджує: з Ене слід А . Її умова Е , з якого випливає висновок А , є наслідком докази прямої теореми звичайним математичним методом. Цю умову необхідно зберегти та доповнити твердженням з Еслід А . В результаті доповнення виходить суперечлива умова нової зворотної теореми: з Еслід А і з Ене слід А . Виходячи з цього логічносуперечливої умови, зворотну теорему можна довести за допомогою правильного логічногоміркування тільки, і тільки, логічнимметодом від неприємного. У доказі від неприємного будь-які математичні події та операції підпорядковані логічним і тому рахунок не йдуть.
У першій частині суперечливого твердження з Еслід А умова Е було підтверджено доказом прямої теореми. У другій його частині з Ене слід А умова Е було припущено та прийнято без доказу. Одне з них одне є хибним, інше – істинним. Потрібно довести, яке з них є хибним.
Доводимо за допомогою правильного логічногоміркування і виявляємо, що його результатом є хибне, абсурдне висновок. Причиною хибного логічного висновку є суперечлива логічна умова теореми, що містить у собі дві частини – хибну та істинну. Хибною частиною може бути лише твердження з Ене слід А , в котрому Е було прийнято без підтвердження. Саме цим воно відрізняється від Е затвердження з Еслід А , який підтверджено доказом прямої теореми.
Отже, істинним є твердження: з Еслід А , що й потрібно було довести.
Висновок: логічним методом від протилежного доводиться лише обернена теорема, яка має доведену математичним методом пряму теорему і яку математичним методом довести неможливо.
Отриманий висновок набуває виняткового за важливістю значення щодо методу доказу від противного великої теореми Ферма. Переважна більшість спроб її довести має у своїй основі не звичайний математичний метод, а логічний метод доказу протилежного. Доказ великої теореми Ферма Уайлса не є винятком.
Дмитро Абраров у статті "Теорема Ферма: феномен доказів Уайлса" опублікував коментар до доказу великої теореми Ферма Уайлсом. За Абраровом, Уайлс доводить велику теорему Ферма за допомогою чудової знахідки німецького математика Герхарда Фрея (р. 1944), який пов'язав потенційне рішення рівняння Ферма x n + y n = z n
, де n > 2
, З іншим, зовсім несхожим на нього, рівнянням. Це нове рівняння задається спеціальною кривою (названою еліптичною кривою Фрея). Крива Фрея задається рівнянням дуже простого виду:
.
«А саме Фрей зіставив будь-якому рішенню (a, b, c)рівняння Ферма, тобто числам, що задовольняють співвідношення a n + b n = c n, Вказану вище криву. І тут звідси випливала б велика теорема Ферма».(Цитата з: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказів Уайлса»)
Іншими словами, Герхард Фрей припустив, що рівняння великої теореми Ферма x n + y n = z n
, де n > 2
має рішення в цілих позитивних числах. Цими ж рішення є, за припущенням Фрея, рішеннями його рівняння
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, що задається його еліптичною кривою.
Ендрю Вайлз прийняв цю чудову знахідку Фрея та з її допомогою за допомогою математичногоМетод довів, що цієї знахідки, тобто еліптичної кривої Фрея, не існує. Тому немає рівняння та її рішень, які задаються неіснуючої еліптичної кривої, Тому Уайлсу слід було б прийняти висновок у тому, що немає рівняння великої теореми Ферма і самої теореми Ферма. Проте їм приймається скромніший висновок про те, що рівняння великої теореми Ферма немає рішень у цілих позитивних числах.
Незаперечним фактом може бути те, що Уайлсом прийнято припущення, прямо протилежне за змістом тому, що затверджується великою теоремою Ферма. Воно зобов'язує Уайлса доводити велику теорему Ферма методом протилежного. Наслідуємо і ми його приклад і подивимося, що з цього виходить.
У великій теоремі Ферма стверджується, що рівняння, x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах.
Згідно з логічним методом доказу від протилежного, це твердження зберігається, приймається як дане без доказу, а потім доповнюється протилежним за змістом твердженням: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 має рішення в цілих позитивних числах.
Припущене твердження також приймається як це, без доказу. Обидва твердження, що розглядаються з погляду основних законів логіки, є однаково допустимими, рівноправними та однаково можливими. За допомогою правильної міркування потрібно встановити, саме яке їх є хибним, щоб потім встановити, що інше твердження є істинним.
Правильне міркування завершується хибним, абсурдним висновком, логічною причиною якого може бути лише суперечлива умова доказуваної теореми, що містить у собі дві частини прямо протилежного сенсу. Вони й стали логічною причиною абсурдного ув'язнення, результату доказу протилежного.
Однак у ході логічно правильного міркування був виявлено жодного ознаки, яким можна було б встановити, яке саме твердження є хибним. Їм може бути твердження: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , має рішень у цілих позитивних числах На цій же підставі ним може бути твердження: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах.
У результаті міркування висновок може бути лише один: велику теорему Ферма методом від неприємного довести неможливо.
Було б зовсім інше, якби велика теорема Ферма була зворотною теоремою, яка має пряму теорему, доведену звичайним математичним методом. І тут її можна було довести від протилежного. А оскільки вона є прямою теоремою, то її доказ повинен мати у своїй основі не логічний метод доказу протилежного, а звичайний математичний метод.
За словами Д. Абрарова, найвідоміший із сучасних російських математиків академік В. І. Арнольд на доказ Уайлса відреагував «активно скептично». Академік заявив: «це справжня математика – справжня математика геометрична і сильна зв'язками з фізикою».(Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказів Уайлса». Заява академіка висловлює саму сутність нематематичного докази Уайлса великий теорема.
Методом протилежного неможливо довести ні те, що рівняння великий теореми Ферма немає рішень, ні те, що має рішення. Помилка Уайлса не математична, а логічна - використання докази від противного там, де його використання немає сенсу і великий теореми Ферма не доводить.
Не доводиться велика теорема Ферма і з допомогою звичайного математичного методу, якщо у ній дано: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах, і якщо у ній потрібно довести: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах. У такій формі є не теорема, а тавтологія, позбавлена сенсу.
Примітка.Мій доказ БТФ обговорювався на одному із форумів. Один із учасників Trotil, фахівець у теорії чисел, зробив таку авторитетну заяву під назвою: «Короткий переказ того, що зробив Миргородський». Наводжу його дослівно:
« А. Він довів, що якщо z 2 = x 2 + y , то z n > x n + y n . Це добре відомий і очевидний факт.
Ст. Він узяв дві трійки — піфагорову і піфагорову і показав простим перебором, що з конкретного, певного сімейства трійок (78 і 210 штук) БТФ виконується (і тільки йому).
З. А потім автором опущений той факт, що з < в подальшому може виявитися = , а не тільки > . Простий контрприклад - перехід n = 1 в n = 2 у піфагоровій трійці.
D. Цей пункт нічого суттєвого на доказ БТФ не вносить. Висновок: БТФ не доведено».
Розгляну його висновок щодо пунктів.
А.У ньому доведено БТФ для всієї нескінченної множини трійок піфагорових чисел. Доведена геометричним методом, який, на мою думку, мною не відкритий, а перевідкритий. А відкритий він був, на мою думку, самим П. Ферма. Саме його міг мати на увазі Ферма, коли писав:
«Я відкрив цьому справді чудовий доказ, але ці поля для нього надто вузькі». Дане моє припущення засноване на тому, що в задачі Діофанта, проти якої, на полях книги, писав Ферма, йдеться про рішення діофантового рівняння, якими є трійки чисел піфагорових.
Нескінченна безліч трійок піфагорових чисел є рішеннями діофатового рівняння, а теоремі Ферма, навпаки, жодне з рішень може бути рішенням рівняння теореми Ферма. І до цього факту справді чудовий доказ Ферма має безпосереднє відношення. Пізніше Ферма міг поширити свою теорему на множину всіх натуральних чисел. На багатьох натуральних чисел БТФ не належить до «багато винятково красивих теорем». Це моє припущення, яке ні довести, ні спростувати неможливо. Його можна приймати і відкидати.
Ст.У цьому пункті мною доводиться, що як сімейство довільно взятої піфагорової трійки чисел, так і сімейство довільно взятої не піфагорової трійки чисел БТФ виконується, Це необхідна, але недостатня і проміжна ланка в моєму доказі БТФ. Взяті приклади сімейства трійки піфагорових чисел і сімейства трійки не піфагорових чисел мають значення конкретних прикладів, що передбачають і не виключають існування аналогічних інших прикладів.
Твердження Trotil, що я «показав простим перебором, що для конкретного, певного сімейства трійок (78 і 210 штук) БТФ виконується (і тільки для нього) позбавлено підстави. Він не може спростувати того факту, що я з таким самим успіхом можу взяти інші приклади піфагорової і піфагорової трійки для отримання конкретного певного сімейства однієї і іншої трійки.
Яку б пару трійок я не взяв би, перевірка їх придатності для вирішення завдання може бути здійснена, на мій погляд, лише методом «простого перебору». Якийсь інший метод мені не відомий і не потрібний. Якщо він припав не до смаку Trotil, то йому слід запропонувати інший метод, чого він не робить. Не пропонуючи нічого натомість, засуджувати «простий перебір», який у цьому випадку незамінний, некоректно.
З.Мною опущено = між< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), в якому ступінь n > 2 — ціледодатне число. З рівності, що перебуває між нерівностями, випливає обов'язковерозгляд рівняння (1) при нецілому значенні ступеня n > 2 . Trotil, вважаючи обов'язковимрозгляд рівності між нерівностями, фактично вважає необхідниму доказі БТФ розгляд рівняння (1) при неціломзначення ступеня n > 2 . Я це зробив для себе і виявив, що рівняння (1) при неціломзначення ступеня n > 2 має рішенням трійку чисел: z, (z-1), (z-1) при нецілому показнику ступеня.