Розглянемо криволінійну трапецію, обмежену віссю Ох, кривою y=f(x) та двома прямими: х=а та х=Ь (рис. 85). Візьмемо довільне значення х (тільки не а і не Ь). Дамо йому збільшення h = dx і розглянемо смужку, обмежену прямими АВ і CD, віссю Ох і дугою BD, що належить кривою, що розглядається. Цю смужку називатимемо елементарною смужкою. Площа елементарної смужки відрізняється від площі прямокутника ACQB на криволінійний трикутник BQD, а площа останнього менша за площу прямокутника BQDM зі сторонами BQ = = h = dx) QD = Ay і площею, що дорівнює hAy = Ay dx. Зі зменшенням сторони h сторона Ду також зменшується і одночасно з h прагне нуля. Тому площа BQDM є нескінченно малою другого порядку. Площа елементарної смужки є збільшення площі, а площа прямокутника ACQB, рівна АВ-АС==(х) dx> є диференціал площі. Отже, саму площу знайдемо, інтегруючи її диференціал. У межах аналізованої фігури незалежне змінне л: змінюється від а до b, тому шукана площа 5 дорівнюватиме 5= \f(x) dx. (I) Приклад 1. Обчислимо площу, обмежену параболою у - 1 -х *, прямими X = - Fj-, х = 1 і віссю О * (рис. 86). у Мал. 87. Мал. 86. 1 Тут f(x)= 1 - л?, межі інтегрування а = - і £=1, тому J [*-т]\- -fl -- Г -1-±Л_ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Приклад 2. Обчислимо площу, обмежену синусоїдою y = sinXy віссю Ох і прямою (рис. 87). Застосовуючи формулу (I), отримуємо Л 2 S= J sinxdx = [-cos x] Q =0 -(-1) = lf Приклад 3. Обчислимо площу, обмежену дугою синусоїди ^у = sin jc, укладеної між двома сусідніми точками перетину з віссю Ох (наприклад, між початком координат і крапкою з абсцисою я). Зауважимо, що з геометричних міркувань ясно, що ця площа буде вдвічі більшою за площу попереднього прикладу. Однак зробимо обчислення: я 5 = | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos я-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. о Дійсно, наше припущення виявилося справедливим. Приклад 4. Обчислити площу, обмежену синусоїдою і віссю Ох на одному періоді (рис. 88). Попередні розрис судження дозволяють припустити, що площа вийде в чотири рази більше, ніж у пр. 2. Однак, зробивши обчислення, отримаємо «я Г, * я S - \ sin х dx = [ - cos х] 0 = = - cos 2л -(-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Цей результат потребує роз'яснень. Для з'ясування суті справи обчислюємо ще площу, обмежену тією самою синусоїдою у = sin л: і віссю Ох не більше від л до 2я. Застосовуючи формулу (I), отримуємо 2л $2л sin хdx=[ - cosх]л =-cos 2я~)-с05я=- 1-1 =-2. Таким чином, бачимо, що ця площа вийшла негативною. Порівнюючи її з площею, обчисленою у пр. 3, отримуємо, що й абсолютні величини однакові, а знаки різні. Якщо застосувати властивість V (див. гл. XI, § 4), то отримаємо 2л я 2л J sin xdx = J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 Те, що вийшло в цьому прикладі, не є випадковістю. Завжди площа, розташована нижче осі Ох, за умови, що незалежне змінне змінюється ліворуч, виходить при обчисленні за допомогою інтегралів негативною. У цьому курсі ми завжди розглядатимемо площі без знаків. Тому відповідь у щойно розібраному прикладі буде такою: площа, що шукається, дорівнює 2 + |-2| = 4. Приклад 5. Обчислимо площу ОАВ, вказану на рис. 89. Ця площа обмежена віссю Ох параболою у = - хг і прямий у - =-х + \. Площа криволінійної трапеції Шукана площа ОАВ складається з двох частин: ОАМ та МАВ. Так як точка А є точкою перетину параболи та прямою, то її координати знайдемо, розв'язуючи систему рівнянь 3 2 У = тх. (Нам потрібно знайти тільки абсцис точки А). Вирішуючи систему, знаходимо л; = ~. Тому площу доводиться обчислювати частинами, спочатку пл. ОАМ, та був пл. МАВ: .... Г 3 2 , 3 Г хП 3 1/2 У 2 . QAM-^х = 
[Заміна:
] = 
Отже, невласний інтеграл сходиться та його значення одно .
Завдання 1(Про обчислення площі криволінійної трапеції).
У декартовій прямокутній системі координат xOy дана фігура (див. малюнок), обмежена віссю х, прямими х = a, х = b (a криволінійною трапецією. Потрібно обчислити площу криволінійної трапеції.
Рішення.Геометрія дає нам рецепти для обчислення площ багатокутників та деяких частин кола (сектора, сегмента). Використовуючи геометричні міркування, ми зможемо визначити лише наближене значення шуканої площі, розмірковуючи так.
Розіб'ємо відрізок [а; b] (підстава криволінійної трапеції) на n рівних частин; це розбиття здійснимо за допомогою точок x 1 x 2 ... x k ... x n-1. Проведемо через ці точки прямі, паралельні осі у. Тоді задана криволінійна трапеція розіб'ється на n елементів, на n вузьких стовпчиків. Площа всієї трапеції дорівнює сумі площ стовпчиків.
Розглянемо окремо k-ий стовпчик, тобто. криволінійну трапецію, основою якої є відрізок . Замінимо його прямокутником з тією самою основою і висотою, що дорівнює f(x k) (див. рисунок). Площа прямокутника дорівнює \(f(x_k) \ cdot \ Delta x_k \), де \ ( \ Delta x_k \) - Довжина відрізка ; Звичайно вважати складене твір наближеним значенням площі k-го стовпчика. 
Якщо тепер зробити те саме з усіма іншими стовпчиками, то прийдемо до наступного результату: площа S заданої криволінійної трапеції приблизно дорівнює площі S n ступінчастої фігури, складеної з n прямокутників (див. малюнок):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Тут заради однаковості позначень ми вважаємо, що a = х 0 b = x n ; \(\Delta x_0 \) - Довжина відрізка , \(\Delta x_1 \) - Довжина відрізка, і т.д; при цьому, як ми домовилися вище, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Отже, (S \approx S_n \), причому це наближена рівність тим точніше, чим більше n.
За визначенням вважають, що потрібна площа криволінійної трапеції дорівнює межі послідовності (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Завдання 2(Про переміщення точки)
По прямій рухається матеріальна точка. Залежність швидкості від часу виражається формулою v = v(t). Знайти переміщення точки за проміжок часу [а; b].
Рішення.Якби рух був рівномірним, то завдання вирішувалося дуже просто: s = vt, тобто. s = v(b-а). Для нерівномірного руху доводиться використовувати самі ідеї, у яких було засновано рішення попередньої завдання.
1) Розділимо проміжок часу [а; b] на n рівних частин.
2) Розглянемо проміжок часу і вважатимемо, що у цей проміжок часу швидкість була постійною, такою, як у момент часу t k . Отже, ми вважаємо, що v = v (t k).
3) Знайдемо наближене значення переміщення точки за проміжок часу, це наближене значення позначимо s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Знайдемо наближене значення переміщення s:
\(s \approx S_n \) де
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Переміщення, що шукається, дорівнює межі послідовності (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Підіб'ємо підсумки. Розв'язання різних завдань звелися до однієї і тієї ж математичної моделі. Багато завдань з різних галузей науки і техніки приводять у процесі вирішення такої ж моделі. Отже, цю математичну модель треба спеціально вивчити.
Поняття певного інтегралу
Дамо математичний опис тієї моделі, яка була побудована у трьох розглянутих задачах для функції y = f(x), безперервної (але необов'язково невід'ємної, як це передбачалося у розглянутих задачах) на відрізку [а; b]:
1) розбиваємо відрізок [а; b] на n рівних частин;
2) складаємо суму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) обчислюємо $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
У курсі математичного аналізу доведено, що ця межа у разі безперервної (або шматково-безперервної) функції існує. Його називають певним інтегралом від функції y = f(x) за відрізком [а; b]і позначають так:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числа a та b називають межами інтегрування (відповідно нижнім та верхнім).
Повернемося до розглянутих вище завдань. Визначення площі, дане в задачі 1, тепер можна переписати так:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
тут S - площа криволінійної трапеції, зображеної на малюнку вище. У цьому полягає геометричний зміст певного інтегралу.
Визначення переміщення точки, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = a до t = b, дане в задачі 2, можна переписати так:
Формула Ньютона - Лейбніца
Спочатку відповімо питанням: який зв'язок між певним інтегралом і первообразной?
Відповідь можна знайти в задачі 2. З одного боку, переміщення точки s, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = а до t = b і обчислюється за формулою
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
З іншого боку, координата точки, що рухається, є первісна для швидкості - позначимо її s(t); отже, переміщення s виражається формулою s = s(b) - s(a). У результаті отримуємо:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
де s(t) - первісна для v(t).
У курсі математичного аналізу доведено таку теорему.
Теорема. Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [а; b], то справедлива формула
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
де F(x) - первісна для f(x).
Наведену формулу зазвичай називають формулою Ньютона - Лейбніцана честь англійського фізика Ісаака Ньютона (1643-1727) та німецького філософа Готфріда Лейбніца (1646-1716), які отримали її незалежно один від одного і практично одночасно.
Насправді замість запису F(b) - F(a) використовують запис \(\left. F(x)\right|_a^b \) (її називають іноді подвійною підстановкою) і, відповідно, переписують формулу Ньютона - Лейбніца в такому вигляді:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Обчислюючи певний інтеграл, спочатку знаходять первісну, а потім здійснюють подвійну підстановку.
Маючи формулу Ньютона - Лейбніца, можна отримати дві властивості певного інтеграла.
Властивість 1.Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Властивість 2.Постійний множник можна винести за знак інтегралу:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Обчислення площ плоских фігур за допомогою певного інтегралу
За допомогою інтеграла можна обчислювати площі не тільки криволінійних трапецій, а й плоских фігур складнішого вигляду, наприклад, такого, який представлений на малюнку. Фігура Р обмежена прямими х = а, х = b та графіками безперервних функцій y = f(x), y = g(x), причому на відрізку [а; b] виконується нерівність \(g(x) \leq f(x) \). Щоб обчислити площу S такої фігури, будемо діяти так:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Отже, площа фігури S, обмеженої прямими х = а, х = b і графіками функцій y = f(x), y = g(x), безперервних на відрізку і таких, що для будь-якого x з відрізка [а; b] виконується нерівність \(g(x) \leq f(x) \), обчислюється за формулою
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)