Матриці в математиці - одне з найважливіших об'єктів, мають прикладне значення. Часто екскурс до теорії матриць починають зі слів: "Матриця - це прямокутна таблиця...". Ми розпочнемо цей екскурс дещо з іншого боку.
Телефонні книги будь-якого розміру та з будь-яким числом даних про абонента – ні що інше, як матриці. Такі матриці мають приблизно такий вигляд:
Зрозуміло, що такими матрицями ми користуємося майже кожен день. Ці матриці бувають з різним числом рядків (розрізняються як випущений телефонною компанією довідник, в якому можуть бути тисячі, сотні тисяч і навіть мільйони рядків і щойно розпочата Вами нова записна книжка, в якій менше десяти рядків) і стовпців (довідник посадових осіб який- ні організації, в якому можуть бути такі стовпці, як посада і номер кабінету і та ж Ваша записник, де може не бути жодних даних, крім імені, і, таким чином, в ній тільки два стовпці - ім'я та телефон).
Будь-які матриці можна складати і множити, а також проводити над ними інші операції, проте немає необхідності складати та множати телефонні довідники, від цього немає жодної користі, до того ж можна й поміркувати.
Але дуже багато матриць можна і потрібно складати і перемножувати і вирішувати таким чином різні нагальні завдання. Нижче наведені приклади таких матриць.
Матриці, у яких стовпці - випуск одиниць продукції тієї чи іншої виду, а рядки - роки, у яких ведеться облік випуску цієї продукції:
Можна складати матриці такого виду, в яких враховано випуск аналогічної продукції різними підприємствами, щоб отримати сумарні дані з галузі.
Або матриці, що складаються, наприклад, з одного стовпця, в яких рядки - середня собівартість того чи іншого виду продукції:
Матриці двох останніх видів можна множити, а результаті вийде матриця-рядок, що містить собівартість всіх видів продукції за роками.
Матриці, основні визначення
Прямокутна таблиця, що складається з чисел, розташованих у mрядках та nстовпцях, називається mn-матрицею (або просто матрицею ) і записується так:
(1)
У матриці (1) числа називаються її елементами (як і у визначнику, перший індекс означає номер рядка, другий - стовпця, на перетині яких стоїть елемент; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).
Матриця називається прямокутної якщо .
Якщо ж m = n, то матриця називається квадратний , А число n - її порядком .
Визначником квадратної матриці A називається визначник, елементами якого є елементи матриці A. Він означає символом | A|.
Квадратна матриця називається неособливою (або невиродженою , несингулярною ), якщо її визначник не дорівнює нулю, та особливою (або виродженою , сингулярною ), якщо її визначник дорівнює нулю.
Матриці називаються рівними , якщо вони мають однакову кількість рядків і стовпців і всі відповідні елементи збігаються.
Матриця називається нульовий , Якщо всі її елементи дорівнюють нулю. Нульову матрицю позначатимемо символом 0 або .
Наприклад,
Матрицею-рядком (або малої ) називається 1 n-матриця, а матрицею-стовпцем (або стовпцевий ) – m 1-матриця.
Матриця A" , яка виходить із матриці Aзаміною в ній місцями рядків та стовпців, що називається транспонованої щодо матриці A. Таким чином, для матриці (1) транспонованої є матриця
Операція переходу до матриці A" , транспонованої щодо матриці Aназивається транспонуванням матриці A. Для mn-матриці транспонованої є nm-матриця.
Транспонованою щодо матриці є матриця A, тобто
(A")" = A .
приклад 1.Знайти матрицю A" , транспоновану щодо матриці
і з'ясувати, чи рівні визначники вихідної та транспонованої матриць.
Головною діагоналлю квадратної матриці називається уявна лінія, що з'єднує її елементи, у яких обидва індекси однакові. Ці елементи називаються діагональними .
Квадратна матриця, у якої всі елементи поза головною діагоналі дорівнюють нулю, називається діагональної . Не обов'язково всі діагональні елементи діагональної матриці відмінні від нуля. Серед них можуть бути рівні нулю.
Квадратна матриця, у якої елементи, що стоять на головній діагоналі, рівні одному й тому ж числу, відмінному від нуля, а всі інші рівні нулю, називається скалярною матрицею .
Поодинокою матрицею називається діагональна матриця, яка має всі діагональні елементи рівні одиниці. Наприклад, одиничною матрицею третього порядку є матриця
приклад 2.Дані матриці:
Рішення. Обчислимо визначники даних матриць. Користуючись правилом трикутників, знайдемо
Визначник матриці Bобчислимо за формулою 
Легко отримуємо, що 
Отже, матриці Aі - неособливі (невироджені, несингулярні), а матриця B- Особлива (вироджена, сингулярна).
Визначник одиничної матриці будь-якого порядку, очевидно, дорівнює одиниці.
Вирішити завдання на матриці самостійно, а потім переглянути рішення
приклад 3.Дано матриці
,
,
Встановити, які є неособливими (невиродженими, несингулярними).
Застосування матриць у математико-економічному моделюванні
У вигляді матриць просто і зручно записуються структуровані дані про той чи інший об'єкт. Матричні моделі створюються як для зберігання цих структурованих даних, а й у вирішення різних завдань із цими даними засобами лінійної алгебри.
Так, відомою матричною моделлю економіки є модель "витрати-випуск", запроваджена американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим. Ця модель виходить із припущення, що весь виробничий сектор економіки розбитий на nчистих галузей. Кожна з галузей випускає продукцію лише одного виду та різні галузі випускають різну продукцію. Через такий поділ праці між галузями існують міжгалузеві зв'язки, зміст яких полягає в тому, що частина продукції кожної галузі передається іншим галузям як ресурс виробництва.
Обсяг продукції i-ї галузі (вимірюваний певною одиницею виміру), яка була зроблена за звітний період, позначається через і називається повним випуском i-ї галузі. Випуски зручно розмістити у n-компонентний рядок матриці
Кількість одиниць продукції i-ї галузі, яку необхідно витратити j-ї галузі для виробництва одиниці своєї продукції, позначається та називається коефіцієнтом прямих витрат.
У цій темі розглянемо поняття матриці, і навіть види матриць. Так як у цій темі чимало термінів, то я додам короткий зміст, щоб орієнтуватися у матеріалі було простіше.
Визначення матриці та її елемента. Позначення.
Матриця- Це таблиця з $ m $ рядків і $ n $ стовпців. Елементами матриці може бути об'єкти абсолютно різноманітної природи: числа, змінні чи, наприклад, інші матриці. Наприклад, матриця $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ містить 3 рядки і 2 стовпці; Елементами її є цілі числа. Матриця $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ містить 2 рядки та 4 стовпці.
Різні способи запису матриць: показати\сховати
Матриця може бути записана у круглих, а й у квадратних чи подвійних прямих дужках. Тобто, вказані нижче записи означають ту саму матрицю:
$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$
Твір $m\times n$ називають розміром матриці. Наприклад, якщо матриця містить 5 рядків та 3 стовпці, то говорять про матрицю розміру $5\times 3$. Матриця $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\0 & -87\8 & 0\end(array)\right)$ має розмір $3 \times 2$.
Зазвичай матриці позначаються великими літерами латинського алфавіту: $A$, $B$, $C$ і таке інше. Наприклад, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \end(array) \right)$. Нумерація рядків йде зверху донизу; стовпців - зліва направо. Наприклад, перший рядок матриці $B$ містить елементи 5 та 3, а другий стовпець містить елементи 3, -87, 0.
Елементи матриць зазвичай позначаються дрібними літерами. Наприклад, елементи матриці $A$ позначаються $a_(ij)$. Подвійний індекс $ij$ містить інформацію про положення елемента у матриці. Число $i$ це номер рядка, а число $j$ - номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент $a_(ij)$. Наприклад, на перетині другого рядка і п'ятого стовпця матриці $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \1 \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ розташований елемент $a_(25)= 59$:
Так само на перетині першого рядка і першого стовпця маємо елемент $a_(11)=51$; на перетині третього рядка та другого стовпця - елемент $a_(32)=-15$ тощо. Зауважу, що запис $a_(32)$ читається як "а три два", але не "а тридцять два".
Для скороченого позначення матриці $A$, розмір якої дорівнює $m\times n$, використовується запис $A_(m\times n)$. Можна записати і більш розгорнуто:
$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$
де запис $(a_(ij))$ означає позначення елементів матриці $A$. У повністю розгорнутому вигляді матрицю $A_(m\times n)=(a_(ij))$ можна записати так:
$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$
Введемо ще один термін - рівні матриці.
Дві матриці однакового розміру $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називаються рівними, якщо відповідні елементи рівні, тобто. $a_(ij)=b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.
Пояснення до запису $i=\overline(1,m)$: показати\приховати
Запис "$i=\overline(1,m)$" означає, що параметр $i$ змінюється від 1 до m. Наприклад, запис $i=\overline(1,5)$ говорить про те, що параметр $i$ приймає значення 1, 2, 3, 4, 5.
Отже, для рівності матриць потрібно виконання двох умов: збіг розмірів та рівність відповідних елементів. Наприклад, матриця $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\0 & -87\8 & 0\end(array)\right)$ не дорівнює матриці $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, оскільки матриця $A$ має розмір $3\times 2$, а розмір матриці $B$ становить $2\times 2 $. Також матриця $A$ не дорівнює матриці $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$, оскільки $a_( 21) \ neq c_ (21) $ (тобто $ 0 \ neq 98 $). А ось для матриці $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\0 & -87\8 & 0\end(array)\right)$ можна сміливо записати $A=F$ оскільки і розміри, і відповідні елементи матриць $A$ та $F$ збігаються.
Приклад №1
Визначити розмір матриці $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\\end(array) \right)$. Вказати, чому рівні елементи $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.
Дана матриця містить 5 рядків і 3 стовпці, тому розмір $5\times 3$. Для цієї матриці можна також використовувати позначення $A_(5\times 3)$.
Елемент $a_(12)$ знаходиться на перетині першого рядка та другого стовпця, тому $a_(12)=-2$. Елемент $a_(33)$ знаходиться на перетині третього рядка та третього стовпця, тому $a_(33)=23$. Елемент $a_(43)$ знаходиться на перетині четвертого рядка та третього стовпця, тому $a_(43)=-5$.
Відповідь: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.
Види матриць залежно від їхнього розміру. Головна та побічна діагоналі. Слід матриці.
Нехай задана певна матриця $A_(m\times n)$. Якщо $m=1$ (матриця складається з одного рядка), то задану матрицю називають матриця-рядок. Якщо $n=1$ (матриця складається з одного стовпця), то таку матрицю називають матриця-стовпець. Наприклад, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ - матриця-рядок, а $\left(\begin(array) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - матриця-стовпець.
Якщо для матриці $A_(m\times n)$ правильна умова $m\neq n$ (тобто кількість рядків не дорівнює кількості стовпців), то часто говорять, що $A$ - прямокутна матриця. Наприклад, матриця $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ має розмір $2\times 4$, тобто. містить 2 рядки та 4 стовпці. Так як кількість рядків не дорівнює кількості стовпців, то ця матриця прямокутна.
Якщо для матриці $A_(m\times n)$ правильна умова $m=n$ (тобто кількість рядків дорівнює кількості стовпців), то кажуть, що $A$ - квадратна матриця порядку $n$. Наприклад, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ - квадратна матриця другого порядку; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ - квадратна матриця третього порядку. Загалом квадратну матрицю $A_(n\times n)$ можна записати так:
$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$
Говорять, що елементи $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ знаходяться на головної діагоналіматриці $A_(n\times n)$. Ці елементи називаються головними діагональними елементами(чи просто діагональними елементами). Елементи $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ знаходяться на побічної (другорядної) діагоналі; їх називають побічними діагональними елементами. Наприклад, для матриці $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end(array) \right)$ маємо:
Елементи $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ є головними діагональними елементами; елементи $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ - побічні діагональні елементи.
Сума головних діагональних елементів називається слідом матриціі позначається $\Tr A$ (або $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$
Наприклад, для матриці $ C = \ left ( \ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \ -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ маємо:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Поняття діагональних елементів також використовується для неквадратних матриць. Наприклад, для матриці $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ головними діагональними елементами будуть $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.
Види матриць залежно від значень їх елементів.
Якщо всі елементи матриці $A_(m\times n)$ дорівнюють нулю, то така матриця називається нульовийі зазвичай позначається буквою $O$. Наприклад, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - нульові матриці.
Нехай матриця $A_(m\times n)$ має такий вигляд:
Тоді цю матрицю називають трапецієподібної. Вона може і не містити нульових рядків, але якщо вони є, то розташовуються в низу матриці. У більш загальному вигляді трапецієподібну матрицю можна записати так:
Повторюся, наявність нульових рядків наприкінці не є обов'язковою. Тобто. формально можна виділити такі умови для трапецієподібної матриці:
- Усі елементи, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю.
- Всі елементи від $a_(11)$ до $a_(rr)$, що лежать на головній діагоналі, не дорівнюють нулю: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
- Або всі елементи останніх $m-r$ рядків дорівнюють нулю, або $m=r$ (тобто нульових рядків немає взагалі).
Приклади трапецієподібних матриць:
Перейдемо до наступного визначення. Матрицю $A_(m\times n)$ називають ступінчастоюякщо вона задовольняє таким умовам:
Наприклад, ступінчастими матрицями будуть:
Для порівняння, матриця $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1 \\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ не є ступінчастою, оскільки у третього рядка нульова частина така сама, як і у другого рядка. Тобто, порушується принцип "чим нижче рядок - тим більша нульова частина". Додам, що трапецієподібна матриця є окремим випадком ступінчастої матриці.
Перейдемо до наступного визначення. Якщо всі елементи квадратної матриці, розташовані під головною діагоналлю, дорівнюють нулю, то таку матрицю називають верхньою трикутною матрицею. Наприклад, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - Верхня трикутна матриця. Зауважте, що у визначенні верхньої трикутної матриці нічого не сказано про значення елементів, які розташовані над головною діагоналлю або на головній діагоналі. Вони можуть бути нульовими чи ні – це несуттєво. Наприклад, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - теж верхня трикутна матриця.
Якщо всі елементи квадратної матриці, розташовані над головною діагоналлю, дорівнюють нулю, то таку матрицю називають нижньою трикутною матрицею. Наприклад, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - нижня трикутна матриця. Зверніть увагу, що у визначенні нижньої трикутної матриці нічого не сказано про значення елементів, розташованих під або на головній діагоналі. Вони можуть бути нульовими чи ні – це неважливо. Наприклад, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ і $\left(\begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - теж нижні трикутні матриці.
Квадратна матриця називається діагональноїякщо всі елементи цієї матриці, що не лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Приклад: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array) \right)$. Елементи на головній діагоналі можуть бути будь-якими (рівними нулю чи ні) – це несуттєво.
Діагональна матриця називається одиничною, якщо всі елементи цієї матриці, розташовані на головній діагоналі, дорівнюють 1. Наприклад, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - одинична матриця четвертого порядку; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ - одинична матриця другого порядку.
Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, що складається з m однакової довжини рядків або n однакової довжини стовпців.
aij- елемент матриці, який знаходиться в i -ому рядку та j -м стовпці.
Для стислості матрицю можна позначати однією великою літерою, наприклад, Аабо У.
У загальному вигляді матрицю розміром m× nзаписують так
Приклади: 
Якщо в матриці число рядків дорівнює числу стовпців, то матриця називається квадратний, причому число її рядків або стовпців називається порядкомматриці. У наведених прикладах квадратними є друга матриця – її порядок дорівнює 3, і четверта матриця – її порядок 1.
Матриця, в якій число рядків не дорівнює числу стовпців, називається прямокутної. У прикладах це перша матриця та третя.
Головною діагоналлюквадратної матриці назвемо діагональ, що йде з лівого верхнього в нижній правий кут.
Квадратна матриця, у якої всі елементи, що лежать нижче за головну діагональ, рівні нулю, називається трикутноїматрицею.
.
Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім, можливо, стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональноїматрицею. Наприклад, або .
Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничноюматрицею і позначається буквою E. Наприклад, одинична матриця 3-го порядку має вигляд .
назад до змісту
(36) 85. Що таке лінійні операції над матрицями? приклади.
У всіх випадках, коли вводяться нові математичні об'єкти, необхідно домовлятися про правила дій над ними, а також визначити - які об'єкти вважаються рівними між собою.
Природа об'єктів не має жодного значення. Це можуть бути речові чи комплексні числа, вектори, матриці, рядки чи щось інше.
До стандартних дій відносяться лінійні операції, а саме: множення на число і додавання; в даному конкретному випадку - множинні матриці на число та додавання матриць.
При множенні матриці на число кожен матричний елемент множиться на це число, а додавання матриць має на увазі попарне додавання елементів, розташованих в еквівалентних позиціях.
Термінологічний вираз "лінійна комбінація<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.
Матриці A = || a i j|| і B = || a i j|| вважаються рівними, якщо вони мають однакові розміри та їх відповідні матричні елементи попарно рівні:
Додавання матрицьОперація додавання визначена лише для матриць однакових розмірів. Результатом складання матриць A = | a i j|| і B = | b i j|| є матриця C = | c i j|| , елементи якої дорівнюють сумі відповідних матричних елементів.
Операції над матрицями та його властивості.
Поняття визначника другого та третього порядків.Властивості визначників та їх обчислення.
3. Загальний опис завдання.
4. Виконання завдань.
5. Оформлення звіту про лабораторну роботу.
Глосарій
Вивчіть визначення наступних термінів:
Розмірністюматриці називається сукупність двох чисел, що складається з її рядків m і числа стовпців n.
Якщо m=n, то матрицю називають квадратнийматрицею порядку n.
Операції над матрицями: транспонування матриці, множення (розподіл) матриці на число, додавання та віднімання, множення матриці на матрицю.
Перехід від матриці А до матриці А т, рядками якої є стовпці, а стовпцями - рядки матриці А, називається транспонуваннямматриці А.
Приклад: А = , А т =.
Щоб помножити матрицю на числопотрібно кожен елемент матриці помножити на це число.
Приклад: 2А = 2 · = .
сумою (різницею)матриць А і однакової розмірності називається матриця С=А В, елементи якої рівні з ij = a ij b ijдля всіх iі j.
Приклад: А =; У = . А+В= 
= .
Творомматриці А m n на матрицю В n k називається матриця З m k кожен елемент якої c ij дорівнює сумі творів елементів i-го рядка матриці А на відповідний елемент j-го стовпця матриці В:
c ij = a i1 · b 1j + a i2 · b 2j + ... + a in · b nj.
Щоб можна було помножити матрицю на матрицю, вони мають бути узгодженимидля множення, а саме кількість стовпціву першій матриці має бути одно числу рядківу другій матриці.
Приклад: А = та В = .
А В-неможливо, т.к. вони не узгоджені.
· А = . = 
= 
.
Властивості операції множення матриць.
1. Якщо матриця має розмірність m n,а матриця В-розмірність n k, Твір А В існує.
Твір В·А може існувати, тільки коли m=k.
2.Умножение матриць не комутативно, тобто. А В не завжди дорівнює В А навіть якщо визначені обидва твори. Однак якщо співвідношення А В = В А виконується, то матриці А і В називаються перестановочними.
приклад. Обчислити.
Міноромелемента називається визначник матриці порядку, отриманий викреслюванням -ї рядка -го стовпця.
Алгебраїчним доповненнямелемента називається .
Теорема розкладання Лапласа:
Детермінант квадратної матриці дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх додатки алгебри.
приклад. Обчислити.
Рішення. .
Властивості визначників n-го порядку:
1) Величина визначника не зміниться, якщо рядки та стовпця поміняти місцями.
2) Якщо визначник містить рядок (стовпець) з одних нулів, він дорівнює нулю.
3) При перестановці двох рядків (стовпців) визначник змінює знак.
4) Визначник, що має два однакові рядки (стовпці), дорівнює нулю.
5) Загальний множник елементів будь-якого рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.
6) Якщо кожен елемент деякого рядка (стовпця) є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у кожному з яких усі рядки (стовпці), крім згаданого, такі ж, як і в даному визначнику, а в згаданому рядку ( стовпці) першого визначника стоять перші доданки, другого - другі.
7) Якщо у визначнику два рядки (стовпці) пропорційні, то він дорівнює нулю.
8) Визначник не зміниться, якщо до елементів деякого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на те саме число.
9) Визначники трикутних та діагональних матриць рівні добутку елементів головної діагоналі.
Метод накопичення нулів обчислення визначників ґрунтується на властивостях визначників.
приклад. Обчислити.
Рішення. Віднімемо з першого рядка подвоєну третю, далі використовуємо теорему розкладання по першому стовпцю.
~ 
.
Контрольні питання(ОК-1, ОК-2, ОК-11, ПК-1) :
1. Що називається визначником другого порядку?
2. Які основні властивості визначників?
3. Що називається мінором елемента?
4. Що називається додатком алгебри елемента визначника?
5. Як розкласти визначник третього порядку за елементами якогось рядка (стовпця)?
6. Чому дорівнює сума творів елементів будь-якого рядка (або стовпця), визначника за додатками алгебри відповідних елементів іншого рядка (або стовпця)?
7. У чому полягає правило трикутників?
8. Як обчислюються визначники вищих порядків методом зниження порядку
10. Яка матриця називається квадратною? Нульовий? Що таке матриця-рядок, матриця-стовпець?
11. Які матриці називаються рівними?
12. Дати визначення операцій складання, множення матриць, множення матриці на число
13. Яким умовам повинні задовольняти розміри матриць при складі, множенні?
14. У чому полягають властивості алгебраїчних операцій: комутативность, асоціативність, дистрибутивність? Які з них виконуються для матриць при додаванні, множенні, а які ні?
15. Що таке зворотна матриця? Для яких матриць її визначено?
16. Сформулювати теорему про існування та єдиність зворотної матриці.
17. Сформулювати лему про транспонування твору мат-риц.
Практичні завдання загальні(ОК-1, ОК-2, ОК-11, ПК-1) :
№1. Знайти суму та різницю матриць А і В :
а) 
б) 
в) 
№2. Виконайте вказані дії :
в) Z = -11А + 7В-4С + D
якщо 
№3. Виконайте вказані дії :
в) 
№4. За допомогою застосування чотирьох способів обчислення визначника квадратної матриці, знайти визначники наступних матриць :
№5. Знайти визначників n-ого порядку, за елементами стовпця (рядки) :
а) 
б) 
№6. Знайти визначник матриці, використовуючи властивості визначників:
а) 
б) 
Крапки у просторі, твір Rvдає інший вектор, який визначає положення точки після обертання. Якщо v- Вектор-рядок , таке ж перетворення можна отримати, використовуючи vR T , де R T - транспонована до Rматриця.
Енциклопедичний YouTube
1 / 5
C# - Консоль - Олімпіада - Квадратна спіраль
Матриця: визначення та основні поняття
Де брати сили та натхнення Підзарядка 4 квадратної матриці
Сума та різниця матриць, множення матриці на число
Транспонована матриця / Транспонована матриця
Субтитри
Головна діагональ
Елементи a ii (i = 1, ..., n) утворюють головну діагональ квадратної матриці. Ці елементи лежать на уявній прямій, що проходить з верхнього лівого кута в правий нижній кут матриці. Наприклад, головна діагональ 4х4 матриці на малюнку містить елементи a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.
Діагональ квадратної матриці, що проходить через нижній лівий і верхній правий кути, називається побічний.
Спеціальні види
| Назва | Приклад з n = 3 |
|---|---|
| Діагональна-матриця | [ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix)))) |
| Нижня, трикутна, матриця | [ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] 32)&a_(33)\end(bmatrix))) |
| Верхня, трикутна, матриця | [ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrix))) |
Діагональні та трикутні матриці
Якщо всі елементи поза головною діагоналі нульові, Aназивається діагональною. Якщо всі елементи над (під) головною діагоналлю нульові, Aназивається нижньою (верхньою) трикутною матрицею .
Поодинока матриця
Q(x) = x T Axприймає тільки позитивні значення (відповідно, негативні значення або ті, й інші). Якщо квадратична форма набуває лише невід'ємних (відповідно, тільки непозитивних) значень, симетрична матриця називається позитивно напіввизначеною (відповідно, негативно напіввизначеною). Матриця буде невизначеною, якщо ні позитивно, ні негативно напіввизначена.
Симетрична матриця позитивно визначена і тоді, коли її власні значення позитивні. Таблиця праворуч показує два можливі випадки для матриць 2×2.
Якщо використовувати два різних вектори, отримаємо білінійну форму, пов'язану з A:
B A (x, y) = x T Ay.Ортогональна матриця
Ортогональна матриця- це квадратна матриця з речовими елементами, стовпці та рядки якої є ортогональними одиничними векторами (тобто ортонормальними). Можна також визначити ортогональну матрицю як матрицю, обернена до якої дорівнює транспонованій:
A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)звідки випливає
A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),Ортогональна матриця Aзавжди оборотна ( A −1 = A T), унітарна ( A −1 = A*), і нормальна ( A*A = AA*). Визначник будь-якої ортонормальної матриці дорівнює або +1 або -1. В якості лінійного відображення будь-яка ортонормальна матриця з визначником +1 є простим поворотом , в той час як будь-яка ортонормальна матриця з визначником −1 є або простим відображенням або композицією відображення і повороту.
Операції
Слід
Визначник det( A) чи | A| квадратної матриці A- Це число, що визначає деякі властивості матриці. Матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли її визначник ненульовий.