Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
log a r b r = log a bабо log a b= log a r b r
Значення логарифму не зміниться, якщо основа логарифму та число під знаком логарифму звести в той самий ступінь.
Під знаком логарифму можуть бути лише позитивні числа, причому, підстава логарифму не дорівнює одиниці.
приклади.
1) Порівняти log 3 9 та log 9 81.
log 3 9 = 2, оскільки 3 2 = 9;
log 9 81 = 2, оскільки 9 2 = 81.
Отже, log 3 9 = log 9 81.
Зауважимо, що основа другого логарифму дорівнює квадрату основи першого логарифму: 9=3 2 , а число під знаком другого логарифму дорівнює квадрату числа під знаком першого логарифму: 81=9 2 . Виходить, що і число і основа першого логарифму log 3 9 були зведені на другий ступінь, і значення логарифму від цього не змінилося:
Далі, оскільки вилучення кореня n-й ступеня з числа ає зведення числа ау ступінь ( 1/n), то з log 9 81 можна отримати log 3 9 вилученням квадратного кореня з числа та з основи логарифму:
2) Перевірити рівність: log 4 25 = log 0,5 0,2.
Розглянемо перший логарифм. Виймемо квадратний корінь із основи 4 і з числа 25 ; отримуємо: log 4 25 = log 2 5.
Розглянемо другий логарифм. Основа логарифму: 0,5 = 1/2. Число під знаком цього логарифму: 0,2 = 1/5. Зведемо кожне з цих чисел у мінус перший ступінь:
0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;
0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.
Таким чином, log 0,5 0,2 = log 2 5. Висновок: ця рівність вірна.
Розв'язати рівняння:
log 4 x 4 + log 16 81 = log 2 (5x +2).Наведемо логарифми зліва до основи 2 .
log 2 x 2 + log 2 3 = log 2 (5x + 2). Витягли квадратний корінь із числа та з основи першого логарифму. Витягли корінь четвертого ступеня з числа та основи другого логарифму.
log 2 (3x 2) = log 2 (5x+2). Перетворили суму логарифмів на логарифм твору.
3x2 = 5x+2. Отримали після потенціювання.
3x2-5x-2=0. Розв'язуємо квадратне рівняння за загальною формулою для повного квадратного рівняння:
a=3, b=-5, c=-2.
D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 дійсних кореня.
Перевірка.
x=2.
log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);
log 2 2 2 + log 2 3 = log 2 12;
log 2 (4∙3)=log 2 12;
log 2 12 = log 2 12;
log a n b=(1/
n)∙
log a b
Логарифм числа bна підставі a nдорівнює добутку дробу 1/ nна логарифм числа bна підставі a.
Знайти:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 якщо відомо, що log 2 3 = b,log 5 2=c.
Рішення.
Розв'язати рівняння:
1) log 2 x + log 4 x + log 16 x = 5,25.
Рішення.
Наведемо дані логарифми до основи 2. Застосуємо формулу: log a n b=(1/ n)∙ log a b
log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;
log 2 x + 0,5 log 2 x + 0,25 log 2 x = 5,25. Наводимо такі складові:
(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;
1,75 · log 2 x = 5,25 |: 1,75
log 2 x = 3. За визначенням логарифму:
2) 0,5 log 4 (x-2) + log 16 (x-3) = 0,25.
Рішення. Логарифм з основи 16 приведемо до основи 4.
0,5 log 4 (x-2) + 0,5 log 4 (x-3) = 0,25 |: 0,5
log 4 (x-2) + log 4 (x-3) = 0,5. Перетворимо суму логарифмів на логарифм твору.
log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;
log 4 (x 2 -2x-3x +6) = 0,5;
log 4 (x 2 -5x +6) = 0,5. За визначенням логарифму:
x 2 -5x +4 = 0. За теоремою Вієта:
x 1 = 1; x 2 =4. Перше значення х не підійде, тому що при х = 1 логарифми цієї рівності не існують, адже під знаком логарифму можуть бути лише позитивні числа.
Перевіримо це рівняння при х=4.
Перевірка.
0,5 log 4 (4-2) + log 16 (4-3) = 0,25
0,5log 4 2+log 16 1=0,25
0,5∙0,5+0=0,25
log a b = log c b / log c a
Логарифм числа bна підставі адорівнює логарифму числа bз нової основи з, поділеному на логарифм старої основи аз нової основи з.
Приклади:
1) log 2 3=lg3/lg2;
2) log 8 7 = ln7/ln8.
Обчислити:
1) log 5 7якщо відомо, що lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.
c b / log c a.
log 5 7=lg7/lg5≈0,8451:0,6990≈1,2090.
Відповідь: log 5 7≈1,209 0≈1,209 .
2) log 5 7 якщо відомо, що ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.
Рішення. Застосовуємо формулу: log a b = log c b / log c a.
log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.
Відповідь: log 5 7≈1,209 1≈1,209 .
Знайдіть х:
1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.
Використовуємо формулу: log c b / log c a = log a b . Отримуємо:
log 3 x = log 3 4 + log 3 6 + log 3 8;
log 3 x=log 3 (4∙6∙8);
log 3 x = log 3 192;
x=192.
2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.
Використовуємо формулу: log c b / log c a = log a b. Отримуємо:
log 7 x = lg143-lg11-lg13;
log 7 x=lg143-(lg11+lg13);
log 7 x=lg143-lg (11∙13);
log 7 x = lg143-lg143;
x=1.
Сторінка 1 з 1 1
З розвитком суспільства, ускладнення виробництва розвивалася і математика. Рух від простого до складного. Від звичайного обліку шляхом складання і віднімання, за її багаторазовому повторенні, дійшли поняття множення і розподілу. Скорочення операції, що багаторазово повторюється, множення стало поняттям зведення в ступінь. Перші таблиці залежності чисел від основи та числа зведення у ступінь були складені ще у VIII столітті індійським математиком Варасена. З них можна відраховувати час виникнення логарифмів.
Історичний нарис
Відродження Європи у XVI столітті стимулювало та розвиток механіки. Т потрібний великий обсяг обчислення, пов'язаних з множенням та розподілом багатозначних чисел. Стародавні таблиці надали велику послугу. Вони дозволяли замінювати складні операції більш прості – додавання і віднімання. Великим кроком уперед стала робота математика Міхаеля Штіфеля, опублікована в 1544, в якій він реалізував ідею багатьох математиків. Що дозволило використовувати таблиці не тільки для ступенів у вигляді простих чисел, але і для раціональних довільних.
В 1614 шотландець Джон Непер, розвиваючи ці ідеї, вперше ввів новий термін «логарифм числа». Були складені нові складні таблиці для розрахунку логарифмів синусів та косінусів, а також тангенсів. Це дуже скоротило працю астрономів.
Стали з'являтися нові таблиці, які успішно використовувалися вченими упродовж трьох століть. Пройшло чимало часу, перш ніж нова операція в алгебрі набула свого закінченого вигляду. Було дано визначення логарифму, та його властивості були вивчені.
Лише у XX столітті з появою калькулятора та комп'ютера людство відмовилося від стародавніх таблиць, які успішно працювали протягом XIII століть.
Сьогодні ми називаємо логарифмом b на основі a число x, яке є ступенем числа а, щоб вийшло число b. Як формули це записується: x = log a(b).
Наприклад, log 3(9) дорівнюватиме 2. Це очевидно, якщо дотримуватися визначення. Якщо 3 звести до ступеня 2, то отримаємо 9.
Так, сформульоване визначення ставить лише одне обмеження, числа a та b повинні бути речовими.
Різновиди логарифмів
Класичне визначення називається речовий логарифм і є рішенням рівняння a x = b. Варіант a = 1 є прикордонним і не становить інтересу. Увага: 1 будь-якою мірою дорівнює 1.
Речове значення логарифмувизначено тільки при підставі та аргументі більше 0, при цьому основа не повинна дорівнювати 1.
Особливе місце у галузі математикиграють логарифми, які будуть називатися залежно від величини їхньої основи:
Правила та обмеження
Основною властивістю логарифмів є правило: логарифм добутку дорівнює логарифмічній сумі. log abp = log a (b) + log a (p).
Як варіант цього твердження буде: log c(b/p) = log с(b) - log c(p), функція приватного дорівнює різниці функцій.
З попередніх двох правил легко видно, що: log a (b p) = p * log a (b).
Серед інших властивостей можна виділити:
Зауваження. Не треба робити поширену помилку - логарифм суми не дорівнює сумі логарифмів.
Багато століть операція пошуку логарифму була досить трудомістким завданням. Математики користувалися відомою формулою логарифмічної теорії розкладання на багаточлен:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), де n - натуральне число більше 1, що визначає точність обчислення.
Логарифми з іншими підставами обчислювалися, використовуючи теорему про перехід від однієї підстави до іншої та властивості логарифму твору.
Так як цей спосіб дуже трудомісткий і при вирішенні практичних завданьважкоздійсненним, то використовували заздалегідь складені таблиці логарифмів, що значно прискорювало всю роботу.
У деяких випадках використовували спеціально складені графіки логарифмів, що давало меншу точність, але прискорювало пошук потрібного значення. Крива функції y = log a (x), побудована за кількома точками, дозволяє за допомогою звичайної лінійки знаходити значення функції у будь-якій іншій точці. Інженери тривалий час для цього використовували так званий міліметровий папір.
У XVII столітті з'явилися перші допоміжні аналогові обчислювальні умови, які до XIX століття набули закінченого вигляду. Найбільш вдалий пристрій отримав назву логарифмічна лінійка. При всій простоті пристрою, її поява значно прискорило процес усіх інженерних розрахунків, і це важко переоцінити. Нині вже мало хто знайомий із цим пристроєм.
Поява калькуляторів та комп'ютерів зробила безглуздим використання будь-яких інших пристроїв.
Рівняння та нерівності
Для розв'язання різних рівнянь та нерівностей з використанням логарифмів застосовуються такі формули:
- Перехід від однієї основи до іншої: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Як наслідок попереднього варіанта: log a(b) = 1 / log b(a).
Для вирішення нерівностей корисно знати:
- Значення логарифму буде позитивним тільки в тому випадку, коли основа та аргумент одночасно більша або менша за одиницю; якщо хоча б одна умова порушена, значення логарифму буде негативним.
- Якщо функція логарифму застосовується до правої та лівої частини нерівності, і основа логарифму більше одиниці, то знак нерівності зберігається; інакше він змінюється.
Приклади завдань
Розглянемо кілька варіантів застосування логарифмів та їх властивості. Приклади з розв'язуванням рівнянь:
Розглянемо варіант розміщення логарифму у ступені:
- Завдання 3. Обчислити 25 log 5 (3). Рішення: в умовах задачі запис аналогічний наступній (5^2)^log5(3) або 5^(2 * log 5(3)). Запишемо по-іншому: 5^log 5(3*2), або квадрат числа як аргумент функції можна записати як квадрат самої функції (5^log 5(3))^2. Використовуючи властивості логарифмів, цей вираз дорівнює 32. Відповідь: внаслідок обчислення отримуємо 9.
Практичне застосування
Будучи виключно математичним інструментом, здається далеким від реального життя, що логарифм несподівано набув великого значення для опису об'єктів реального світу. Важко знайти науку, де її не застосовують. Це повною мірою стосується не тільки природних, а й гуманітарних областей знань.
Логарифмічні залежності
Наведемо кілька прикладів числових залежностей:
Механіка та фізика
Історично механіка та фізика завжди розвивалися з використанням математичних методів дослідження та одночасно служили стимулом для розвитку математики, у тому числі логарифмів. Теорія більшості законів фізики написана мовою математики. Наведемо лише два приклади опису фізичних законів з використанням логарифму.
Вирішувати завдання розрахунку такої складної величини як швидкість ракети можна, застосовуючи формулу Ціолковського, яка започаткувала теорію освоєння космосу:
V = I * ln (M1/M2), де
- V – кінцева швидкість літального апарату.
- I – питомий імпульс двигуна.
- M 1 - Початкова маса ракети.
- M2 – кінцева маса.
Інший важливий приклад- це використання у формулі іншого великого вченого Макса Планка, яка служить для оцінки рівноважного стану термодинаміки.
S = k * ln (Ω), де
- S – термодинамічна властивість.
- k - Постійна Больцмана.
- Ω – статистична вага різних станів.
Хімія
Менш очевидним буде використання формул у хімії, що містять відношення логарифмів. Наведемо також лише два приклади:
- Рівняння Нернста, умова окислювально-відновного потенціалу середовища щодо активності речовин та константи рівноваги.
- Розрахунок таких констант, як показник автопролізу та кислотність розчину теж не обходяться без нашої функції.
Психологія та біологія
І вже зовсім незрозуміло, до чого тут психологія. Виявляється, сила відчуття добре описується цією функцією як зворотне відношення до значення інтенсивності подразника до нижнього значення інтенсивності.
Після вищенаведених прикладів не дивує, що у біології широко використовується тема логарифмів. Для біологічних форм, відповідні логарифмічним спіралям, можна писати цілі томи.
Інші області
Здається, неможливе існування світу без зв'язку з цією функцією, і вона править усіма законами. Особливо коли закони природи пов'язані з геометричною прогресією. Варто звернутися до сайту МатПрофі, і таких прикладів знайдеться безліч у таких сферах діяльності:
Список може бути нескінченним. Освоївши основні закономірності цієї функції, можна поринути у світ нескінченної мудрості.
1.1. Визначення ступеня для цілого показника ступеня
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * ... * X - N разів
1.2. Нульовий ступінь.
За визначенням прийнято вважати, що нульовий ступінь будь-якого числа дорівнює 1:1.3. Негативний ступінь.
X-N = 1/X N1.4. Дробний ступінь, корінь.
X 1/N = корінь ступеня N із Х.Наприклад: X 1/2 = √X.
1.5. Формула складання ступенів.
X (N+M) = X N * X M1.6.Формула віднімання ступенів.
X (N-M) = X N / X M1.7. Формула множення ступенів.
X N * M = (X N) M1.8. Формула зведення дробу на ступінь.
(X/Y) N = X N /Y N2. Число e.
Значення числа e дорівнює наступній межі:E = lim(1+1/N), за N → ∞.
З точністю 17 знаків число e дорівнює 2.71828182845904512.
3. Рівність Ейлера.
Ця рівність пов'язує п'ять чисел, які відіграють особливу роль математиці: 0, 1, число e, число пі, уявну одиницю.E (i*пі) + 1 = 0
4. Експонентна функція exp (x)
exp(x) = e x5. Похідна експоненційної функції
Експоненційна функція має чудову властивість: похідна функції дорівнює самій експоненційній функції:(exp(x))" = exp(x)
6. Логарифм.
6.1. Визначення функції логарифм
Якщо x = b y , то логарифм називається функціяY = Log b(x).
Логарифм показує в яку міру треба звести число - основу логарифму (b), щоб отримати задане число (X). Функція логарифм визначена для X більше нуля.
Наприклад: Log 10 (100) = 2.
6.2. Десятковий логарифм
Це логарифм на підставі 10:Y = Log 10 (x).
Позначається Log(x): Log(x) = Log 10(x).
Приклад використання десяткового логарифму - децибел.
6.3. Децибел
Пункт виділено на окрему сторінку Децибел6.4. Двійковий логарифм
Це логарифм на підставі 2:Y = Log 2(x).
Позначається Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Натуральний логарифм
Це логарифм на основі e:Y = Log e(x) .
Позначається Ln(x): Ln(x) = Log e(X)
Натуральний логарифм — зворотна функція експоненційної функції exp (X).
6.6. Характерні точки
Log a (1) = 0Log a (a) = 1
6.7. Формула логарифму твору
Log a (x * y) = Log a (x) + Log a (y)6.8. Формула логарифму приватного
Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)6.9. Формула логарифму ступеня
Log a (x y) = y * Log a (x)6.10. Формула перетворення до логарифму з іншою основою
Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)Приклад:
Log 2 (8) = Log 10 (8) / Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Формули корисні у житті
Часто виникають завдання перерахунку обсягу площу чи довжину і обернена завдання -- перерахунок площі обсяг. Наприклад, дошки продаються кубами (кубометрами), а нам потрібно розрахувати яку площу стіни можна обшити дошками, що містяться в певному обсязі, див. розрахунок дощок, скільки дощок у кубі. Або, відомі розміри стіни, треба розрахувати кількість цегли, див. розрахунок цегли.
Дозволяється використовувати матеріали сайту за умови встановлення активного посилання на джерело.
Логарифмічні вирази, розв'язання прикладів. У цій статті ми розглянемо завдання, пов'язані з вирішенням логарифмів. У завданнях порушується питання про знаходження значення висловлювання. Потрібно відзначити, що поняття логарифму використовується в багатьох завданнях і розуміти його сенс є вкрай важливим. Що стосується ЄДІ, то логарифм використовується при вирішенні рівнянь, у прикладних завданнях, а також у завданнях пов'язаних із дослідженням функцій.
Наведемо приклади для розуміння самого змісту логарифму:
Основна логарифмічна тотожність:
Властивості логарифмів, які необхідно завжди пам'ятати:
*Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.
* * *
*Логарифм приватного (дробу) дорівнює різниці логарифмів співмножників.
* * *
*Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм його заснування.
* * *
*Перехід до нової основи
* * *
Ще властивості:
* * *
Обчислення логарифмів тісно пов'язані з використанням властивостей показників ступеня.
Перерахуємо деякі з них:
Суть цієї властивості полягає в тому, що при перенесенні чисельника у знаменник і навпаки, знак показника ступеня змінюється на протилежний. Наприклад:
Наслідок з цієї властивості:
* * *
При зведенні ступеня в ступінь основа залишається незмінною, а показники перемножуються.
* * *
Як ви переконалися саме поняття логарифму нескладне. Головне те, що потрібна хороша практика, яка дає певну навичку. Вочевидь знання формул обов'язково. Якщо навичка у перетворенні елементарних логарифмів не сформована, то при вирішенні простих завдань можна легко припуститися помилки.
Практикуйтесь, вирішуйте спочатку найпростіші приклади з курсу математики, потім переходьте до складніших. У майбутньому обов'язково покажу, як вирішуються «страшні» логарифми, таких на ЄДІ не буде, але вони становлять інтерес, не пропустіть!
На цьому все! Успіху Вам!
З повагою, Олександр Крутицьких
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.