Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Вам здається, що до ЄДІ є ще час, і ви встигнете підготуватися? Можливо, це й так. Але в будь-якому випадку, чим раніше школяр починає підготовку, тим успішніше він складає іспити. Сьогодні ми вирішили присвятити статтю логарифмічним нерівностям. Це одне із завдань, а значить, можливість отримати додатковий бал.
Ви знаєте, що таке логарифм(log)? Ми дуже сподіваємось, що так. Але навіть якщо ви не маєте відповіді на це питання, це не проблема. Зрозуміти, що таке логарифм, дуже просто.
Чому саме 4? У такий ступінь потрібно звести число 3, щоб вийшло 81. Коли ви зрозуміли принцип, можна приступати і складніших обчислень.
Нерівності ви проходили ще кілька років тому. І з того часу вони постійно зустрічаються вам у математиці. Якщо у вас є проблеми з розв'язанням нерівностей, ознайомтеся з відповідним розділом.
Тепер, коли ми познайомилися з поняттями окремо, перейдемо до їхнього розгляду загалом.
Найпростіша логарифмічна нерівність.
Найпростіші логарифмічні нерівності не обмежуються цим прикладом, є ще три лише з іншими знаками. Навіщо це потрібно? Щоб повніше зрозуміти, як вирішувати нерівність із логарифмами. Тепер наведемо більш застосовний приклад, все ще досить простий, складні логарифмічні нерівності залишимо потім.
Як це вирішити? Все починається з ОДЗ. Про нього варто знати більше, якщо хочеться завжди легко вирішувати будь-яку нерівність.
Що таке ОДЗ? ОДЗ для логарифмічних нерівностей
Абревіатура розшифровується як область допустимих значень. У завданнях для ЄДІ часто спливає це формулювання. ОДЗ стане вам у нагоді не тільки у випадку логарифмічних нерівностей.
Подивіться ще раз на наведений вище приклад. Ми розглядатимемо ОДЗ, виходячи з нього, щоб ви зрозуміли принцип, і вирішення логарифмічних нерівностей не викликало питань. З визначення логарифму випливає, що 2х+4 має бути більше нуля. У нашому випадку це означає таке.
Це число за визначенням має бути позитивним. Вирішіть нерівність, подану вище. Це можна зробити навіть усно, тут явно, що X не може бути меншим за 2. Вирішення нерівності і буде визначенням області допустимих значень.
Тепер перейдемо до вирішення найпростішої логарифмічної нерівності.
Відкидаємо з обох частин нерівності самі логарифми. Що в результаті залишається? Просте нерівність.
Вирішити його нескладно. X має бути більше -0,5. Тепер поєднуємо два отримані значення системи. Таким чином,
Це і буде область допустимих значень для логарифмічної нерівності, що розглядається.
Навіщо взагалі потрібне ОДЗ? Це можливість відсіяти невірні та неможливі відповіді. Якщо відповідь не входить у область допустимих значень, отже, відповідь просто немає сенсу. Це варто запам'ятати надовго, оскільки в ЄДІ часто трапляється необхідність пошуку ОДЗ, і стосується вона не лише логарифмічних нерівностей.
Алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності
Рішення складається з кількох етапів. По-перше, необхідно знайти область допустимих значень. В ОДЗ буде два значення, це ми розглянули вище. Далі потрібно вирішити саму нерівність. Методи вирішення бувають такими:
- метод заміни множників;
- декомпозиції;
- метод раціоналізації.
Залежно від ситуації варто застосовувати один із перерахованих вище методів. Перейдемо безпосередньо до рішення. Розкриємо найпопулярніший метод, який підходить для вирішення завдань ЄДІ практично у всіх випадках. Далі ми розглянемо спосіб декомпозиції. Він може допомогти, якщо трапилася особливо «хитромудра» нерівність. Отже, алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності.
Приклади рішення :
Ми не дарма взяли саме таку нерівність! Зверніть увагу на основу. Запам'ятайте: якщо воно більше одиниці, знак залишається незмінним при знаходженні області допустимих значень; інакше потрібно змінити знак нерівності.
В результаті ми отримуємо нерівність:
Тепер наводимо ліву частину до виду рівняння, що дорівнює нулю. Замість знака "менше" ставимо "рівно", вирішуємо рівняння. Таким чином ми знайдемо ОДЗ. Сподіваємося, що з розв'язанням такого простого рівняння у вас не буде проблем. Відповіді -4 та -2. Це ще не все. Потрібно відобразити ці точки на графіці, розставити "+" та "-". Що для цього потрібно зробити? Підставити у вираз числа з інтервалів. Де значення позитивні, там ставимо "+".
Відповідь: не може бути більше -4 і менше -2.
Ми знайшли область допустимих значень тільки для лівої частини, тепер потрібно знайти область допустимих значень правої частини. Це набагато легше. Відповідь: -2. Перетинаємо обидві отримані області.
І тільки тепер починаємо вирішувати саму нерівність.
Спростимо його наскільки можливо, щоб вирішувати було легше.
Знову застосовуємо метод інтервалів у рішенні. Опустимо викладки, з ним уже й так усе зрозуміло за попереднім прикладом. Відповідь.
Але цей метод підходить, якщо логарифмічна нерівність має однакові підстави.
Вирішення логарифмічних рівнянь і нерівностей з різними підставами передбачає початкове приведення до однієї основи. Далі застосовуйте описаний вище метод. Але є й складніший випадок. Розглянемо один із найскладніших видів логарифмічних нерівностей.
Логарифмічні нерівності зі змінною основою
Як вирішувати нерівності з такими характеристиками? Так, і такі можуть зустрітися у ЄДІ. Вирішення нерівностей нижченаведеним способом теж корисно позначиться на вашому освітньому процесі. Розберемося у питанні докладним чином. Відкинемо теорію, перейдемо одразу до практики. Щоб вирішувати логарифмічні нерівності, достатньо одного разу ознайомитись із прикладом.
Щоб вирішити логарифмічну нерівність представленого виду, необхідно привести праву частину до логарифму з тією самою підставою. Принцип нагадує рівносильні переходи. У результаті нерівність виглядатиме так.
Власне, залишається створити систему нерівностей без логарифмів. Використовуючи метод раціоналізації, переходимо до рівносильної системи нерівностей. Ви зрозумієте і саме правило, коли підставите відповідні значення та простежите їх зміни. У системі будуть такі нерівності.
Скориставшись методом раціоналізації при розв'язанні нерівностей потрібно пам'ятати таке: з підстави необхідно відняти одиницю, х за визначенням логарифму з обох частин нерівності віднімається (праве з лівого), два вирази перемножуються і виставляються під вихідним знаком по відношенню до нуля.
Подальше рішення здійснюється методом інтервалів, тут усе просто. Вам важливо зрозуміти відмінності у методах вирішення, тоді все почне легко виходити.
У логарифмічних нерівностях багато аспектів. Найпростіші їх вирішувати досить легко. Як зробити так, щоб вирішувати кожну з них без проблем? Усі відповіді ви вже отримали у цій статті. Тепер попереду на вас чекає тривала практика. Постійно практикуйтеся у вирішенні найрізноманітніших завдань у рамках іспиту та зможете отримати найвищий бал. Успіхів вам у вашій непростій справі!
Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі. У презентації представлені рішення завдань С3 ЄДІ – 2014 з математики.
Завантажити:
Попередній перегляд:
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Вирішення логарифмічних нерівностей, що містять змінну на підставі логарифму: методи, прийоми, рівносильні переходи вчитель математики МБОУ ЗОШ № 143 Князькіна Т. В.
Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k ( x) − 1) ∨ 0 Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб у обох нерівностях знаки були однаковими. Так ми позбавляємося логарифмів і зводимо завдання до раціональної нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів може виникнути зайве коріння. Щоб їх відсікти, достатньо знайти область допустимих значень. Не забувайте ОДЗ логарифму! Все, що пов'язане з областю допустимих значень, треба виписати та вирішити окремо: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. Ці чотири нерівності становлять систему і мають виконуватися одночасно. Коли область допустимих значень знайдено, залишається перетнути її з розв'язанням раціональної нерівності - і відповідь готова.
Розв'яжіть нерівність: Розв'язання Для початку випишемо ОДЗ логарифму Перші дві нерівності виконуються автоматично, а останнє доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0 . Виходить, що ОДЗ логарифму - усі числа, крім нуля: x ∈ (−∞0)∪(0; + ∞). Тепер вирішуємо основну нерівність: Виконуємо перехід від логарифмічної нерівності до раціональної. У вихідній нерівності стоїть знак «менше», отже, отримана нерівність теж має бути зі знаком «менше».
Маємо: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)
Перетворення логарифмічних нерівностей Часто вихідна нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами. А саме: Будь-яке число представимо у вигляді логарифму із заданою основою; Суму та різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом. Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки у вихідній нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного з них. Таким чином, загальна схема розв'язання логарифмічних нерівностей наступна: Знайти ОДЗ кожного логарифму, що входить у нерівність; Звести нерівність до стандартної за формулами додавання та віднімання логарифмів; Вирішити отриману нерівність за схемою, наведеною вище.
Розв'яжіть нерівність: Рішення Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифму: Розв'язуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Потім – нулі знаменника: x − 1 = 0; x = 1. Зазначаємо нулі та знаки на координатній прямій:
Отримуємо x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). У другого логарифму ОДЗ буде так само. Не вірите – можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб у основі стояла двійка: Як бачите, трійки в основі і перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифми з однаковою основою. Складаємо їх: log 2 (x − 1) 2
(f(x)−g(x)) · (k(x)−1)
Нас цікавить перетин множин, тому вибираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) -всі точки виколоти. Відповідь: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)
Вирішення завдань ЄДІ-2014 типу С3
Розв'яжіть систему нерівностей Розв'язання. ОДЗ: 1) 2)
Розв'яжіть систему нерівностей 3) -7 -3 - 5 х -1 + + + − − (продовження)
Розв'яжіть систему нерівностей 4) Загальне рішення: і -7 -3 - 5 х -1 -8 7 log 2 129 (продовження)
Розв'яжіть нерівність (продовження) -3 3 -1 + − + − х 17 + -3 3 -1 х 17 -4
Розв'яжіть нерівність Розв'язання. ОДЗ:
Розв'яжіть нерівність (продовження)
Розв'яжіть нерівність Розв'язання. ОДЗ: -2 1 -1 + − + − х + 2 -2 1 -1 х 2
Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0
Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб у обох нерівностях знаки були однаковими.
Так ми позбавляємося логарифмів і зводимо завдання до раціональної нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів може виникнути зайве коріння. Щоб їх відсікти, достатньо знайти область допустимих значень. Якщо ви забули ОДЗ логарифму, настійно рекомендую повторити – див. «Що таке логарифм».
Все, що пов'язане з областю допустимих значень, треба виписати та вирішити окремо:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Ці чотири нерівності складають систему і мають виконуватися одночасно. Коли область допустимих значень знайдено, залишається перетнути її з розв'язанням раціональної нерівності - і відповідь готова.
Завдання. Розв'яжіть нерівність:
Для початку випишемо ОДЗ логарифму:
Перші дві нерівності виконуються автоматично, а останню доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю і тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо:
x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Виходить, що ОДЗ логарифму - усі числа, крім нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Тепер вирішуємо основну нерівність:
Виконуємо перехід від логарифмічної нерівності до раціональної. У вихідній нерівності стоїть знак «менше», отже, отримана нерівність теж має бути зі знаком «менше». Маємо:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) · x 2< 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2< 0.
Нулі цього виразу: x = 3; x = -3; x = 0. Причому x = 0 - корінь другої кратності, отже, при переході через нього знак функції не змінюється. Маємо:
Отримуємо x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ця множина повністю міститься в ОДЗ логарифму, отже це і є відповідь.
Перетворення логарифмічних нерівностей
Часто вихідна нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами – див. «Основні властивості логарифмів». А саме:
- Будь-яке число представимо у вигляді логарифму із заданою основою;
- Суму та різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом.
Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки у вихідній нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного з них. Таким чином, загальна схема розв'язання логарифмічних нерівностей така:
- Знайти ОДЗ кожного логарифму, що входить у нерівність;
- Звести нерівність до стандартної за формулами додавання та віднімання логарифмів;
- Вирішити отриману нерівність за схемою, наведеною вище.
Завдання. Розв'яжіть нерівність:
Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифму:
Вирішуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Потім – нулі знаменника:
x − 1 = 0;
x = 1.
Відзначаємо нулі та знаки на координатній стрілі:
Отримуємо x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У другого логарифму ОДЗ буде так само. Не вірите – можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб у основі стояла двійка:
Як бачите, трійки в основі та перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифми з однаковою основою. Складаємо їх:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Набули стандартної логарифмічної нерівності. Позбавляємося логарифмів за формулою. Оскільки у вихідній нерівності стоїть знак «менше», отриманий раціональний вираз теж має бути меншим за нуль. Маємо:
(f (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Отримали дві множини:
- ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Кандидат відповідь: x ∈ (−1; 3).
Залишилося перетнути ці множини - отримаємо справжню відповідь:
Нас цікавить перетин множин, тому вибираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - усі точки виколоти.
Урок однієї нерівності формує навичка дослідницької роботи, будить думку учнів, розвиває кмітливість, підвищує інтерес учнів до роботи. Його краще проводити, коли учнями засвоєні необхідні поняття та розібрано низку приватних прийомів розв'язання логарифмічних нерівностей. На цьому уроці учні є активними учасниками пошуку рішення.
Тип уроку
. Урок застосування знань, умінь, навичок у новій ситуації. (Урок систематизації та узагальнення вивченого матеріалу).Цілі уроку
:- навчальні : сформувати навички та вміння вирішувати логарифмічні нерівності зазначеного типу різними способами; вивчати самостійно добувати знання (власна діяльність учнів з вивчення та оволодіння змістом навчального матеріалу);
- розвиваючі : працювати над розвитком мови;
- вчити аналізувати, виділяти головне, доводити та спростовувати логічні висновки; : формування моральних якостей, гуманних відносин, акуратності, дисциплінованості, почуття власної гідності, відповідального ставлення до досягнення мети
Хід уроку.
1. Організаційний момент.
Усна робота.
2. Перевірка домашнього завдання.
Записати математичною мовою речення: “Числа a та b знаходяться по один бік від одиниці”, “Числа a та b знаходяться по різні боки від одиниці” і довести нерівності, що вийшли. (На дошці одним із учнів заздалегідь підготовлено рішення).
3. Повідомлення теми уроку, його цілей та завдань.
Аналізуючи варіанти вступних іспитів з математики, можна помітити, що з теорії логарифмів на іспитах часто зустрічаються логарифмічні нерівності, що містять змінну під логарифмом та на підставі логарифму.
Наш урок – це урок однієї нерівності, містить змінну під логарифмом і на підставі логарифму,вирішеного різними способами. Кажуть, що краще вирішити одну нерівність, але різними способами, ніж кілька нерівностей одним і тим самим способом. Справді, ви маєте вміти перевіряти свої рішення. Краще перевірки немає, ніж рішення завдання іншим способом і отримання тієї ж відповіді (можна різними способами прийти до тих самих систем, до тих самих нерівностей, рівнянь). Але не ця мета переслідується при вирішенні завдань різними способами. Пошуки різних способів вирішення, розгляд усіх можливих випадків, критична оцінка їх з метою виділення найбільш раціонального, гарного, є важливим фактором розвитку математичного мислення, що відводять від шаблону. Тому сьогодні ми вирішимо лише одну нерівність, але постараємося знайти кілька способів її вирішення.
4. Творче застосування та добування знань, освоєння способів діяльності шляхом вирішення проблемних завдань, побудованих на основі раніше засвоєних знань та умінь при вирішенні нерівності log x (x 2 – 2x – 3)< 0.
Перед вами вирішення цієї нерівності, взяте з однієї екзаменаційної роботи. Подивіться уважно на нього та спробуйте проаналізувати рішення. (На дошці заздалегідь записано рішення нерівності)
log x (x 2 – 2x – 3)< log x 1;
a) x 2 - 2x - 3> 0; б) x 2 – 2x – 3< 1;
x 2 - 2x - 3 = 0; x 2 – 2x – 4< 0;
x 1 = - 1, x 2 = 3; x 2 - 2x - 4 = 0;
в) вирішення системи
Можливі пояснення учнів:
Це не рівняння, а нерівність, тому при переході від логарифмічної нерівності до раціонального знак нерівності залежатиме від основи логарифму та монотонності логарифмічної функції.
При такому рішенні можливе придбання сторонніх рішень або втрата рішень, а можливо, що при неправильному рішенні буде отримано правильну відповідь.
То як же треба було вирішувати цю нерівність, в якій змінна під знаком логарифму та в основі логарифму?!
Ця нерівність рівнозначна сукупності двох систем нерівностей.
Перша система нерівностей немає рішень.
Розв'язанням системи нерівностей буде
У запропонованому рішенні нерівності з екзаменаційної роботи відповідь була отримана вірна. Чому?
Можливі відповіді учнів:
Оскільки область визначення функції що у лівої частини нерівності складається з чисел великих 3, отже, функція y = log x t – зростаюча. Тому відповідь вийшла вірною.
Як же можна було записати математично грамотне рішення в екзаменаційній роботі?
ІІ метод.
Знайдемо область визначення функції, що стоїть у лівій частині нерівності, а потім, враховуючи область визначення, розглянемо лише один випадок
Як ще можна вирішити цю нерівність? Які формули можна застосувати?
Формулу переходу до нової основи a > 0, a 1
ІІІ спосіб.
IV метод.
А чи можна застосувати до самої нерівності те, що логарифм менший за нуль?
Так. Вираз, що стоїть під логарифмом, та основа логарифму знаходяться по різні боки від одиниці, але позитивні!
Тобто, отримуємо знову ту саму сукупність двох систем нерівностей:
Усі розглянуті методи призводять до сукупності двох систем нерівностей. У всіх випадках виходить та сама відповідь. Усі методи чітко теоретично обгрунтовані.
Питання учням: як ви думаєте, для чого в домашньому завданні було поставлене питання, яке не стосується матеріалу, що вивчається в 11 класі?
Знаючи властивості логарифму про те, що log а b< 0 , якщо aі bпо різні боки від 1,
log a b > 0, якщо aі bпо одну сторону від 1, можна отримати дуже цікавий та несподіваний спосіб розв'язання нерівності. Про цей спосіб написано у статті "Деякі корисні логарифмічні співвідношення" в журналі "Квант" № 10 за 1990 рік.
log g(x) f(x) > 0, якщо
log g(x) f(x)< 0, если
(Чому умова g(x) 1 писати не треба?)
Розв'язання нерівності log x (x 2 – 2x – 3)< 0 виглядає так:
a) x 2 - 2x - 3> 0; б) (x - 1) (x 2 - 2x - 4)< 0;
в) розв'язання системи нерівності
VI метод.
Метод інтервалів. (“Рішення логарифмічних нерівностей шляхом інтервалів” - тема наступного уроку).
5. Підсумок виконаної роботи.
1. Якими ж способами було вирішено нерівність? Скільки способів для вирішення цього
нерівності ми виявили?
2. Який із них найбільш раціональний? Вродливий?
3. На чому було засновано розв'язання нерівності у кожному випадку?
4. Чим цікава ця нерівність?
Якісна характеристика роботи класу вчителем.
6. Узагальнення вивченого матеріалу.
Чи не можна розглянути цю нерівність як окремий випадок більш загального завдання?
Нерівність виду log g(x) f(x)<(>) log g(x) h(x)можна звести до нерівності log g(x) p(x)<(>) 0 за допомогою властивостей логарифмів та властивостей нерівностей.
Розв'язати нерівність
log x (x 2 + 3x – 3) > 1
будь-яким із розглянутих способів.
7. Домашнє завдання, інструктаж щодо його виконання
.1. Розв'яжіть нерівності (з варіантів вступних іспитів з математики):
2. На наступному уроці розглядатимемо логарифмічні нерівності, які вирішуються методом інтервалів. Повторити алгоритм розв'язання нерівностей методом інтервалів.
3. Розташуйте числа у порядку зростання (поясніть, чому саме таке розташування):
log 0,3 5; ; ; log 0,5 3 (Повторення до наступного уроку).