Як вирішувати алгебраїчні дроби? Теорія та практика.

Ця стаття розглядає дії над дробами. Будуть сформовані та обґрунтовані правила додавання, віднімання, множення, поділу або зведення в ступінь дробів виду A B , де A і B можуть бути числами, числовими виразами або виразами зі змінними. Наприкінці будуть розглянуті приклади рішення з докладним описом.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Правила виконання дій із числовими дробами загального виду

Числові дроби загального вигляду мають чисельник та знаменник, у яких є натуральні числа чи числові вирази. Якщо розглянути такі дроби, як 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 · 3 4 · (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 · 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , то видно, що чисельник і знаменник може мати не тільки числа, а й різного плану.

Визначення 1

Існують правила, за якими йде виконання дій із звичайними дробами. Воно підходить і для дробів загального вигляду:

• При відніманні дробів з однаковими знаменниками складаються лише чисельники, а знаменник залишається тим самим, а саме: a d ± c d = a ± c d , значення a , c і d ≠ 0 є деякими числами або числовими виразами.
• При складанні або відніманні дробу при різних знаменниках, необхідно зробити приведення до загального, після чого зробити додавання або віднімання отриманих дробів з однаковими показниками. Буквенно це виглядає в такий спосіб a b ± c d = a · p ± c · r s , де значення a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 є дійсними числами, а b · p = d · r = s. Коли p = d і r = b, тоді a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• При множенні дробів виконується дія з чисельниками, після чого зі знаменниками, тоді отримаємо a b · c d = a · c b · d , де a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 виступають у ролі дійсних чисел.
• При розподілі дробу на дріб першу множимо на другу зворотну, тобто виконуємо заміну місцями чисельника і знаменника: a b: c d = a b · d c .

Обґрунтування правил

Визначення 2

Існують такі математичні моменти, куди слід спиратися при обчисленні:

• дробова характеристика означає символ розподілу;
• розподіл на число сприймається як множення з його зворотне значення;
• застосування якості дій із дійсними числами;
• застосування основної властивості дробу та числових нерівностей.

З їх допомогою можна проводити перетворення виду:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Приклади

У попередньому пункті було сказано про події з дробами. Саме після цього дріб потребує спрощення. Докладно цю тему було розглянуто у пункті перетворення дробів.

Для початку розглянемо приклад додавання та віднімання дробів з однаковим знаменником.

Приклад 1

Дано дробу 8 2 , 7 і 1 2 , 7 , то за правилом необхідно чисельник скласти, а знаменник переписати.

Рішення

Тоді одержуємо дріб виду 8 + 1 2 , 7 . Після виконання додавання отримуємо дріб виду 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 . Отже, 8 2 , 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Відповідь: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Є інший спосіб розв'язання. Для початку виробляється перехід до виду звичайного дробу, після чого виконуємо спрощення. Це виглядає таким чином:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Приклад 2

Зробимо віднімання з 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 дробу виду 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Оскільки дані рівні знаменники, отже, ми виконуємо обчислення дробу при однаковому знаменнику. Отримаємо, що

1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 - 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1

Є приклади обчислення дробів із різними знаменниками. Важливий пункт – це приведення до спільного знаменника. Без цього ми зможемо виконувати подальші дії з дробами.

Процес віддалено нагадує приведення до спільного знаменника. Тобто проводиться пошук найменшого спільного дільника в знаменнику, після чого додаються множники, що бракують, до дробів.

Якщо дроби, що складаються, не мають загальних множників, тоді ним може стати їх твір.

Приклад 3

Розглянемо з прикладу складання дробів 2 3 5 + 1 і 1 2 .

Рішення

У разі спільним знаменником виступає твір знаменників. Тоді одержуємо, що 2 · 3 5 + 1 . Тоді при виставленні додаткових множників маємо, що до першого дробу він дорівнює 2, а до другого 35+1. Після перемноження дробу наводяться до вигляду 4 2 · 3 5 + 1 . Загальне приведення 1 2 матиме вигляд 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Отримані дробові вирази складаємо та отримуємо, що

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 · 2 2 · 3 5 + 1 + 1 · 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 = = 4 2 · 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 · 3 5 + 1

Відповідь: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 · 3 5 + 1

Коли маємо справу з дробами загального вигляду, тоді про найменшого спільного знаменника зазвичай не йдеться. Як знаменник нерентабельно приймати твір чисельників. Спочатку необхідно перевірити, чи є число, яке менше за значенням, ніж їх твір.

Приклад 4

Розглянемо з прикладу 1 6 · 2 1 5 і 1 4 · 2 3 5 , коли їх добуток дорівнює 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 . Тоді як спільний знаменник беремо 12 · 2 3 5 .

Розглянемо приклади множення дробів загального виду.

Приклад 5

Для цього необхідно зробити множення 2 + 1 6 та 2 · 5 3 · 2 + 1 .

Рішення

Дотримуючись правила, необхідно переписати і у вигляді знаменника написати твір чисельників. Отримуємо, що 2 + 1 6 · 2 · 5 3 · 2 + 1 2 + 1 · 2 · 5 6 · 3 · 2 + 1 . Коли дріб буде помножено, можна робити скорочення для його спрощення. Тоді 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10 .

Використовуючи правило переходу від розподілу до множення на зворотний дріб, отримаємо дріб, зворотний даній. Для цього чисельник та знаменник змінюються місцями. Розглянемо з прикладу:

5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10

Після чого повинні виконати множення та спростити отриманий дріб. Якщо необхідно, то позбутися ірраціональності у знаменнику. Отримуємо, що

5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 · 9 3 10 · 2 + 1 = 5 · 2 10 · 2 + 1 = 3 2 · 2 + 1 = = 3 · 2 - 1 2 · 2 + 1 · 2 - 1 = 3 · 2 - 1 2 · 2 2 - 1 2 = 3 · 2 - 1 2

Відповідь: 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 · 2 - 1 2

Даний пункт застосуємо, коли число або числове вираз може бути представлене у вигляді дробу, що має знаменник, рівний 1 тоді і дія з таким дробом розглядається окремим пунктом. Наприклад, вираз 1 6 · 7 4 - 1 · 3 видно, що корінь із 3 може бути замінений іншим 3 1 виразом. Тоді цей запис виглядатиме як множення двох дробів виду 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 .

Виконання дії з дробами, що містять змінні

Правила, розглянуті у першій статті, застосовуються для дій з дробами, які містять змінні. Розглянемо правило віднімання, коли знаменники однакові.

Необхідно довести, що A , C і D (D не дорівнює нулю) можуть бути будь-якими виразами, причому рівність A D ± C D = A ± C D рівноцінно з його областю допустимих значень.

Необхідно взяти набір змінних ОДЗ. Тоді А, С, D повинні набувати відповідних значень a 0 , c 0 і d 0. Підстановка виду A D ± C D наводить різницю виду a 0 d 0 ± c 0 d 0 де за правилом складання отримуємо формулу виду a 0 ± c 0 d 0 . Якщо підставити вираз A ± C D , тоді отримуємо той самий дріб виду a 0 ± c 0 d 0 . Звідси робимо висновок, що обране значення, що задовольняє ОДЗ, A±CD та AD±CD вважаються рівними.

За будь-якого значення змінних дані вирази будуть рівні, тобто їх називають тотожно рівними. Значить цей вираз вважається рівністю виду A D ± C D = A ± C D .

Приклади складання та віднімання дробів із змінними

Коли є однакові знаменники, необхідно лише складати чи віднімати чисельники. Такий дріб може бути спрощений. Іноді доводиться працювати з дробами, які є тотожними, але при першому погляді це непомітно, так як необхідно виконувати деякі перетворення. Наприклад, x 2 3 · x 1 3 + 1 і x 1 3 + 1 2 або 1 2 · sin 2 α і sin a · cos a . Найчастіше потрібно спрощення вихідного висловлювання у тому, щоб побачити однакові знаменники.

Приклад 6

Обчислити: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x-1+xx+1.

Рішення

1. Щоб зробити обчислення, необхідно відняти дроби, яким мають однакові знаменники. Тоді отримуємо, що x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2. Після чого можна виконувати розкриття дужок із приведенням подібних доданків. Отримуємо, що x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Так як знаменники однакові, то залишається тільки скласти чисельники, залишивши знаменник: x · (l g x + 2)
   Додавання було виконано. Видно, що можна зробити скорочення дробу. Її чисельник може бути згорнутий за формулою квадрата суми, тоді отримаємо (l g x + 2) 2 із формул скороченого множення. Тоді отримуємо, що
   l g 2 x + 4 + 2 · l g x x · (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x · (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Задані дроби виду x – 1 x – 1 + x x + 1 з різними знаменниками. Після перетворення можна перейти до складання.

Розглянемо подвійний спосіб розв'язання.

Перший спосіб полягає в тому, що знаменник першого дробу розкладається на множники за допомогою квадратів, причому з її подальшим скороченням. Отримаємо дріб виду

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) · x + 1 = 1 x + 1

Отже, x – 1 x – 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

У такому разі необхідно позбавлятися ірраціональності в знаменнику.

1 + x x + 1 = 1 + x · x - 1 x + 1 · x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Другий спосіб полягає в множенні чисельника та знаменника другого дробу на вираз x-1. Таким чином, ми позбавляємося ірраціональності та переходимо до складання дробу за наявності однакового знаменника. Тоді

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x · x - 1 x + 1 · x - 1 = = x - 1 x - 1 + x · x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Відповідь: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

В останньому прикладі отримали, що приведення до спільного знаменника неминуче. Для цього потрібно спрощувати дроби. Для складання або віднімання завжди необхідно шукати спільний знаменник, який виглядає як добуток знаменників з додаванням додаткових множників до чисельників.

Приклад 7

Обчислити значення дробів: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 · 2 , 2) x + 1 x · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) - sin x x 5 · ln (x + 1) · (2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x

Рішення

1. Жодних складних обчислень знаменник не вимагає, тому потрібно вибрати їх добуток виду 3 · x 7 + 2 · 2 тоді до першого дробу x 7 + 2 · 2 вибирають як додатковий множник, а 3 до другого. При перемноженні отримуємо дріб виду x 3 + 1 x 7 + 2 · 2 = x · x 7 + 2 · 2 3 · x 7 + 2 · 2 + 3 · 1 3 · x 7 + 2 · 2 = = x · x 7 + 2 · 2 + 3 3 · x 7 + 2 · 2 = x · x 7 + 2 · 2 · x + 3 3 · x 7 + 2 · 2
2. Видно, що знаменники представлені як твори, що означає непотрібність додаткових перетворень. Спільним знаменником буде вважати добуток виду x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Звідси х 4 є додатковим множником до першого дробу, а ln (x + 1) до другої. Після чого робимо віднімання і отримуємо, що:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) )
3. Цей приклад має сенс під час роботи із знаменниками дробами. Необхідно застосувати формули різниці квадратів і квадрат суми, оскільки саме вони дадуть змогу перейти до виразу виду 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2 . Видно, що дроби наводяться до спільного знаменника. Отримуємо, що cos x - x · cos x + x 2 .

Після чого отримуємо, що

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = = 1 cos x - x · cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x · cos x + x 2 + cos x - x cos x - x · cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x · cos x + x 2 = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2

Відповідь:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 · 2 = x · x 7 + 2 · 2 · x + 3 3 · x 7 + 2 · 2, 2) x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Приклади множення дробів із змінними

При множенні дробів чисельник множиться на чисельник, а знаменник – на знаменник. Тоді можна використовувати властивість скорочення.

Приклад 8

Здійснити множення дробів x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 і 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Рішення

Необхідно виконати множення. Отримуємо, що

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) = = x - 2 · x · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x)

Число 3 переноситься на перше місце для зручності підрахунків, причому можна зробити скорочення дробу на x 2 тоді отримаємо вираз виду

3 · x - 2 · x · x 1 3 · x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x)

Відповідь: x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) = 3 · x - 2 · x · x 1 3 · x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x) .

Поділ

Розподіл у дробів аналогічний множенню, тому що перший дріб множать на другий зворотний. Якщо взяти наприклад дріб x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 і розділити на 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x тоді це можна записати таким чином, як

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , після чого замінити твором виду x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x)

Зведення в ступінь

Перейдемо до розгляду дії з дробами загального виду зі зведенням у ступінь. Якщо є ступінь із натуральним показником, тоді дію розглядають як множення однакових дробів. Але рекомендовано використовувати загальний підхід, що базується на властивостях ступеня. Будь-які вирази А і С, де тотожно не дорівнює нулю, а будь-яке дійсне r на ОДЗ для виразу виду A C r справедлива рівність A C r = A r C r . Результат – дріб, зведений у ступінь. Наприклад розглянемо:

x 0 , 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Порядок виконання дій із дробами

Дії над дробами виконуються за певними правилами. Насправді помічаємо, що вираз може містити кілька дробів чи дробових виразів. Тоді необхідно всі дії виконувати у строгому порядку: зводити у ступінь, множити, ділити, після чого складати та віднімати. За наявності дужок перша дія виконується саме в них.

Приклад 9

Обчислити 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x.

Рішення

Так як маємо однаковий знаменник, то 1 - x cos x і 1 c o s x , але робити віднімання за правилом не можна, спочатку виконуються дії в дужках, після чого множення, а потім додавання. Тоді при обчисленні отримуємо, що

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

При підстановці виразу вихідне отримуємо, що 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x . При множенні дробів маємо: 1 cos x x 1 x = x + 1 cos x x . Зробивши всі підстановки, отримаємо 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Тепер потрібно працювати з дробами, які мають різні знаменники. Отримаємо:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x · x

Відповідь: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

) та знаменник на знаменник (отримаємо знаменник твору).

Формула множення дробів:

Наприклад:

Перед тим, як приступити до множення чисельників та знаменників, необхідно перевірити можливість скорочення дробу . Якщо вдасться скоротити дріб, то вам легше далі робити розрахунки.

Розподіл звичайного дробу на дріб.

Розподіл дробів за участю натурального числа.

Це не так страшно, як здається. Як і у випадку зі складанням, переводимо ціле число в дріб з одиницею в знаменнику. Наприклад:

Розмноження змішаних дробів.

Правила множення дробів (змішаних):

• перетворюємо змішані дроби на неправильні;
• перемножуємо чисельники та знаменники дробів;
• скорочуємо дріб;
• якщо отримали неправильний дріб, то перетворюємо неправильний дріб на змішану.

Зверніть увагу!Щоб помножити змішаний дріб на інший змішаний дріб, потрібно, спершу, привести їх до виду неправильних дробів, а далі помножити за правилом множення звичайних дробів.

Другий спосіб множення дробу на натуральне число.

Буває зручніше використовувати другий спосіб множення звичайного дробу на число.

Зверніть увагу!Для множення дробу на натуральне число необхідно знаменник дробу розділити це число, а чисельник залишити без зміни.

З наведеного вище прикладу зрозуміло, що цей варіант зручніше для використання, коли знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.

Багатоповерхові дроби.

У старших класах найчастіше зустрічаються триповерхові (або більше) дроби. Приклад:

Щоб привести такий дріб до звичного вигляду, використовують поділ через 2 точки:

Зверніть увагу!У розподілі дробів дуже важливий порядок розподілу. Будьте уважні, тут легко заплутатися.

Зверніть увагу, наприклад:

При поділі одиниці на будь-який дріб, результатом буде той самий дріб, тільки перевернутий:

Практичні поради при множенні та розподілі дробів:

1. Найважливішим у роботі з дробовими виразами є акуратність та уважність. Усі обчислення робіть уважно та акуратно, зосереджено та чітко. Краще запишіть кілька зайвих рядків у чернетці, ніж заплутатися у розрахунках в умі.

2. У завданнях з різними видами дробів – переходьте до виду звичайних дробів.

3. Всі дроби скорочуємо доти, доки скорочувати вже буде неможливо.

4. Багатоповерхові дробові вирази наводимо на вигляд звичайних, користуючись розподілом через 2 точки.

5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.

Дробові висловлювання складні розуміння дитиною. У більшості виникають складності, пов'язані з . При вивченні теми «складання дробів з цілими числами», дитина впадає в ступор, важко вирішити завдання. У багатьох прикладах перед тим як виконати дію необхідно зробити низку обчислень. Наприклад, перетворити дроби або перевести неправильний дріб у правильний.

Пояснимо дитині наочно. Візьмемо три яблука, два з яких будуть цілими, а третє розріжемо на 4 частини. Від розрізаного яблука відокремимо одну часточку, а решту три покладемо поруч із двома цілими фруктами. Отримаємо ¼ яблука в одній стороні та 2 ¾ — в іншій. Якщо ми їх з'єднаємо, то отримаємо цілих три яблука. Спробуємо зменшити 2 ¾ яблука на ¼, тобто приберемо ще одну часточку, отримаємо 2 2/4 яблука.

Розглянемо докладніше дії з дробами, у складі яких є цілі числа:

Для початку згадаємо правило обчислення для дробових виразів із загальним знаменником:

На перший погляд, все легко і просто. Але це стосується лише виразів, що не потребують перетворення.

Як знайти значення виразу де знаменники різні

У деяких завданнях необхідно визначити значення виразу, де знаменники різні. Розглянемо конкретний випадок:
3 2/7+6 1/3

Знайдемо значення цього виразу, при цьому знайдемо для двох дробів спільний знаменник.

Для чисел 7 і 3 – це 21. Цілі частини залишаємо колишніми, а дробові – наводимо до 21, для цього перший дріб множимо на 3, другий – на 7, отримуємо:
6/21+7/21, не забуваємо, що цілі частини не підлягають перетворенню. У результаті отримуємо два дроби з одним знаменникам та обчислюємо їх суму:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Що якщо в результаті додавання виходить неправильний дріб, який вже має цілу частину:
2 1/3+3 2/3
В даному випадку складаємо цілі частини та дробові, отримуємо:
5 3/3, як відомо, 3/3 – це одиниця, отже 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Зі знаходженням суми все зрозуміло, розберемо віднімання:

Зі всього сказаного випливає правило дій над змішаними числами, яке звучить так:

• Якщо ж від дробового виразу необхідно відняти ціле число, не потрібно представляти друге число у вигляді дробу, достатньо зробити дію лише над цілими частинами.

Спробуємо самостійно обчислити значення виразів:

Розберемо детальніше приклад під літерою «м»:

4 5/11-2 8/11, чисельник першого дробу менший, ніж другий. Для цього займаємо одне ціле число у першого дробу, отримуємо,
3 5/11+11/11=3 цілих 16/11, віднімаємо від першого дробу другу:
3 16/11-2 8/11=1 ціла 8/11

• Будьте уважні при виконанні завдання, не забувайте перетворювати неправильні дроби на змішані, виділяючи цілу частину. Для цього необхідно значення чисельника розділити на значення знаменника, що вийшло, встає на місце цілої частини, залишок – буде чисельником, наприклад:

19/4=4 ¾, перевіримо: 4*4+3=19, у знаменнику 4 залишається без змін.

Підведемо підсумок:

Перед тим як приступити до виконання завдання, пов'язаного з дробами, необхідно проаналізувати, що це за вираз, які перетворення потрібно зробити над дробом, щоб рішення було правильним. Шукайте раціональніший спосіб рішення. Не йдіть складними шляхами. Розплануйте всі дії, вирішуйте спочатку у чорновому варіанті, потім переносіть у шкільний зошит.

Щоб не відбулося плутанини при вирішенні дробових виразів, необхідно керуватися правилом послідовності. Вирішуйте все уважно, не поспішаючи.

Приклади з дробами – один із основних елементів математики. Існує багато різних типів рівнянь із дробами. Нижче наведено докладну інструкцію щодо вирішення прикладів такого типу.

Як вирішувати приклади з дробами – загальні правила

Для вирішення прикладів з дробами будь-яких типів, будь то додавання, віднімання, множення або поділ, необхідно знати основні правила:

• Щоб скласти дробові вирази з однаковим знаменником (знаменник – число, що у нижній частині дробу, чисельник – у верхній), потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.
• Щоб відняти від одного дробового виразу друге (з однаковим знаменником), треба відняти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.
• Щоб скласти чи відняти дробові висловлювання з різними знаменниками, потрібно знайти найменший спільний знаменник.
• Щоб знайти дробовий твір, потрібно перемножити чисельники і знаменники, у своїй, якщо є можливість, скоротити.
• Для того щоб розділити дріб на дріб, потрібно помножити перший дріб на перевернути другий.

Як вирішувати приклади з дробами – практика

Правило 1, приклад 1:

Обчислити 3/4+1/4.

Згідно з правилом 1, якщо у дробів двох (або більше) однаковий знаменник, потрібно просто скласти їх чисельники. Отримаємо: 3/4 + 1/4 = 4/4. Якщо у дробу чисельник і знаменник однакові, такий дріб дорівнюватиме 1.

Відповідь: 3/4+1/4=4/4=1.

Правило 2, приклад 1:

Обчислити: 3/4 – 1/4

Користуючись правилом номер 2, для вирішення цього рівняння потрібно від 3 відібрати 1, а знаменник залишити тим самим. Отримуємо 2/4. Так як два 2 і 4 можна скоротити, скорочуємо та отримуємо 1/2.

Відповідь: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.

Правило 3, Приклад 1

Обчислити: 3/4 + 1/6

Рішення: Користуючись 3-м правилом, знаходимо найменший спільний знаменник. Найменшим загальним знаменником називається таке число, яке ділиться на знаменники всіх дрібних виразів прикладу. Таким чином, нам потрібно знайти таке мінімальне число, яке буде ділитися і на 4, і на 6. Таким числом є 12. Записуємо як знаменник 12. 12 ділимо на знаменник першого дробу, отримуємо 3, множимо на 3, записуємо в чисельнику 3 *3 та знак +. 12 ділимо на знаменник другого дробу, отримуємо 2, 2 множимо на 1, записуємо в чисельнику 2*1. Отже, вийшов новий дріб із знаменником, рівним 12 і чисельником, рівним 3*3+2*1=11. 11/12.

Відповідь: 11/12

Правило 3, Приклад 2:

Обчислити 3/4 – 1/6. Цей приклад дуже схожий на попередній. Проробляємо ті самі дії, але в чисельнику замість знака +, пишемо знак мінус. Отримуємо: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Відповідь: 7/12

Правило 4, Приклад 1:

Обчислити: 3/4*1/4

Користуючись четвертим правилом, множимо знаменник першого дробу на знаменник другого та чисельник першого дробу на чисельник другого. 3*1/4*4 = 3/16.

Відповідь: 3/16

Правило 4, Приклад 2:

Обчислити 2/5*10/4.

Цей дріб можна скоротити. У разі твору скорочуються чисельник першого дробу та знаменник другого та чисельник другого дробу та знаменник першого.

2 скорочується з 4. 10 скорочується з 5. отримуємо 1*2/2=1*1=1.

Відповідь: 2/5*10/4 = 1

Правило 5, Приклад 1:

Обчислити: 3/4: 5/6

Користуючись 5-м правилом, отримаємо: 3/4: 5/6 = 3/4*6/5. Скорочуємо дріб за принципом попереднього прикладу та отримуємо 9/10.

Відповідь: 9/10.

Як вирішувати приклади з дробами – дробові рівняння

Дробними рівняннями називають приклади, де в знаменнику є невідоме. Для того, щоб вирішити таке рівняння, потрібно користуватися певними правилами.

Розглянемо приклад:

Розв'язати рівняння 15/3x+5 = 3

Згадаймо, не можна ділити на нуль, тобто. значення знаменника не повинно дорівнювати нулю. При вирішенні таких прикладів це потрібно обов'язково вказувати. І тому існує ОДЗ (область допустимих значень).

Таким чином, 3x+5 ≠ 0.
Звідси: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

При x = 5/3 рівняння просто немає рішення.

Вказавши ОДЗ, найкращим способом вирішити дане рівняння буде позбутися дробів. Для цього спочатку представимо всі дробові значення у вигляді дробу, в даному випадку число 3. Отримаємо: 15/(3x+5) = 3/1. Щоб позбавитися дробу потрібно помножити кожну з них на найменший спільний знаменник. У цьому випадку таким буде (3x+5)*1. Послідовність дій:

1. Множимо 15/(3x+5) на (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Розкриваємо дужки: 15 * (3x + 5) = 45x + 75.
3. Те саме проробляємо з правою частиною рівняння: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Прирівнюємо ліву та праву частину: 45x + 75 = 9x +15
5. Переносимо ікси вліво, числа праворуч: 36x = – 50
6. Знаходимо x: x = -50/36.
7. Скорочуємо: -50/36 = -25/18

Відповідь: ОДЗ x ≠ 5/3 . x = -25/18.

Як вирішувати приклади з дробами – дробові нерівності

Дробові нерівності за типом (3x-5)/(2-x)≥0 вирішуються за допомогою числової осі. Розглянемо цей приклад.

Послідовність дій:

• Прирівнюємо чисельник та знаменник до нуля: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Рисуємо числову вісь, розписуючи на ній значення, що вийшло.
• Під значення малюємо кружок. Гурток буває двох типів – заповнений та порожній. Заповнений гурток означає, що це значення входить у ареал рішень. Порожнє коло свідчить, що це значення входить у ареал рішень.
• Оскільки знаменник не може дорівнювати нулю, під другою буде порожній круг.

• Щоб визначити знаки, підставляємо в рівняння будь-яке число більше двох, наприклад, 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. значення негативне, отже над областю після двійки пишемо мінус. Потім замість ікса підставляємо будь-яке значення інтервалу від 5/3 до 2, наприклад 1. Значення знову негативне. Пишемо мінус. Те саме повторюємо з областю, що знаходиться до 5/3. Підставляємо будь-яке число менше 5/3, наприклад 1. Знову мінус.

• Так як нас цікавлять значення ікса, при якому вираз буде більшим або дорівнює 0, а таких значень немає (скрізь мінуси), ця нерівність не має рішення, тобто x = Ø (порожня множина).

Відповідь: x = Ø

Дріб- Число, яке складається з цілого числа часток одиниці і подається у вигляді: a/b

Чисельник дробу (a)- Число, що знаходиться над рисою дробу і показує кількість часток, на які була поділена одиниця.

Знаменник дробу (b)- Число, що знаходиться під межею дробу і показує на скільки часток поділили одиницю.

2. Приведення дробів до спільного знаменника

3. Арифметичні події над звичайними дробами

3.1. Додавання звичайних дробів

3.2. Віднімання звичайних дробів

3.3. Розмноження звичайних дробів

3.4. Розподіл звичайних дробів

4. Взаємно зворотні числа

5. Десяткові дроби

6. Арифметичні дії над десятковими дробами

6.1. Додавання десяткових дробів

6.2. Віднімання десяткових дробів

6.3. Розмноження десяткових дробів

6.4. Розподіл десяткових дробів

#1. Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на те саме число, не рівне нулю, то вийде дріб, рівний даній.

3/7=3*3/7*3=9/21, тобто 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - так виглядає основна властивість дробу.

Іншими словами, ми отримаємо дріб, рівний даній, помноживши або розділивши чисельник і знаменник вихідного дробу на те саме натуральне число.

Якщо ad=bc, то два дроби a/b =c /d вважаються рівними.

Наприклад, дроби 3/5 та 9/15 будуть рівними, оскільки 3*15=5*9, тобто 45=45

Скорочення дробу- це процес заміни дробу, при якому новий дріб виходить рівним вихідним, але з меншим чисельником і знаменником.

Скорочувати дроби прийнято, спираючись на основну властивість дробу.

Наприклад, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (числитель і знаменник ділиться на число 3, 5 і 15 ).

Нескоротний дріб- це дріб виду 3/4 ​ ​ , де чисельник та знаменник є взаємно простими числами. Основна мета скорочення дробу - зробити дріб нескоротним.

2. Приведення дробів до спільного знаменника

Щоб привести два дроби до спільного знаменника, треба:

1) розкласти знаменник кожного дробу на прості множники;

2) помножити чисельник і знаменник першого дробу на відсутні

множники із розкладання другого знаменника;

3) помножити чисельник і знаменник другого дробу на множники, що бракують, з першого розкладання.

Приклади: наведіть дроби до спільного знаменника .

Розкладемо знаменники на прості множники: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Помножили чисельник і знаменник дробу недостатній множник 5 з другого розкладання.

чисельник і знаменник дробу на множники 3 і 2 з першого розкладання.

= , 90 - загальний знаменник дробів.

3. Арифметичні події над звичайними дробами

3.1. Додавання звичайних дробів

а) При однакових знаменниках чисельник першого дробу складають із чисельником другого дробу, залишаючи знаменник колишнім. Як видно з прикладу:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

б) При різних знаменниках дроби спочатку призводять до спільного знаменника, а потім виконують додавання чисельників за правилом а) :

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Віднімання звичайних дробів

а) При однакових знаменниках з чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу, залишаючи знаменник тим самим:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

б) Якщо ж знаменники дробів різні, спочатку дроби призводять до спільного знаменника, та був повторюють дії як у пункті а) .

3.3. Розмноження звичайних дробів

Примноження дробів підпорядковується наступному правилу:

a/b*c/d=a*c/b*d,

тобто перемножують окремо чисельники та знаменники.

Наприклад:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Розподіл звичайних дробів

Розподіл дробів виробляють наступним способом:

a/b:c/d=a*d/b*c,

тобто дріб a/b множиться на дріб, зворотний даної, тобто множиться на d/c.

Приклад: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Взаємно зворотні числа

Якщо a*b=1,то число b є зворотним числомдля числа a.

Приклад: для числа 9 оберненим є 1/9 ​ ​ , оскільки 9*1/9 = 1 для числа 5 - зворотне число 1/5 ​ ​ , так як 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Десяткові дроби

Десятичним дробомназивається правильний дріб, знаменник якого дорівнює 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Наприклад: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

У такий же спосіб пишуться неправильні зі знаменником 10^nчи змішані числа.

Наприклад: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

У вигляді десяткового дробу представляється кожен звичайний дріб зі знаменником, який є дільником певного ступеня числа 10 .

менником, який є дільником певного ступеня числа 10 .

Приклад: 5 - дільник числа 100 тому дроб 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Арифметичні дії над десятковими дробами

6.1. Додавання десяткових дробів

Для складання двох десяткових дробів, потрібно їх розташувати так, щоб один під одним виявилися однакові розряди і кома під комою, а потім виконати додавання дробів як звичайних чисел.

6.2. Віднімання десяткових дробів

Виконується аналогічно до додавання.

6.3. Розмноження десяткових дробів

При множенні десяткових чисел достатньо перемножити задані числа, не звертаючи уваги на коми (як натуральні числа), а в отриманій відповіді комою праворуч відокремлюється стільки цифр, скільки їх коштує після коми в обох множниках сумарно.

Давайте виконаємо множення 2,7 на 1,3. Маємо 27 \ cdot 13 = 351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Відокремлюємо праворуч дві цифри коми (у першого та другого числа - одна цифра після коми; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). У результаті отримуємо 2,7 \cdot 1,3 = 3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Якщо в отриманому результаті виходить менше цифр, ніж треба відокремити комою, то попереду пишуть нулі, що бракують, наприклад:

Для множення на 10, 100, 1000, треба в десятковому дробі перенести кому на 1, 2, 3 цифри вправо (у разі необхідності праворуч приписується певна кількість нулів).

Наприклад: 1,47 \ cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Розподіл десяткових дробів

Розподіл десяткового дробу на натуральне число роблять також, як і розподіл натурального числа на натуральне. Кома в приватному ставиться після того, як закінчено розподіл цілої частини.

Якщо ціла частина поділеного менше дільника, то у відповіді виходить нуль цілих, наприклад:

Розглянемо розподіл десяткового дробу на десятковий. Нехай потрібно розділити 2,576 на 1,12. Насамперед, помножимо ділене і дільник дробу на 100 , тобто перенесемо кому вправо в ділимому і дільнику на стільки знаків, скільки їх коштує в дільнику після коми (у даному прикладі на дві). Потім потрібно виконати поділ дробу 257,6 на натуральне число 112 тобто завдання зводиться до вже розглянутого випадку:

Буває так, що не завжди виходить кінцевий десятковий дріб при розподілі одного числа на інше. В результаті виходить нескінченний десятковий дріб. У разі переходять до звичайним дробам.

Наприклад, 2,8: 0,09 = 28/10: 9/100 = 28 * 100/10 * 9 = 2800/90 = 280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .