Примітка.Центр тяжкості симетричної фігури знаходиться на осі симетрії.
Центр тяжкості стрижня перебуває в середині висоти. При вирішенні завдань використовуються такі методи:
1. Спосіб симетрії: центр тяжкості симетричних фігур знаходиться на осі симетрії;
2. метод поділу: складні перерізи поділяємо на кілька простих частин, становище центрів тяжкості яких легко визначити;
3. Метод негативних площ: порожнини (отвори) розглядаються як частина перерізу з негативною площею.
Приклади розв'язання задач
Приклад1.Визначити становище центру тяжкості фігури, поданої на рис. 8.4.
Рішення
Розбиваємо фігуру на три частини:
Аналогічно визначається уЗ = 4,5 див.
приклад 2.Знайти положення центру ваги симетричної стрижневої ферми ADBE(Рис. 116), розміри якої такі: АВ = 6м, DE = 3 м та EF = 1м.
Рішення
Оскільки ферма симетрична, її центр ваги лежить на осі симетрії DF.При обраній (рис. 116) системі координатних осей абсцис центру тяжіння ферми
Невідомою, отже, є лише ордината у Сцентр тяжкості ферми. Для її визначення розбиваємо ферму окремі частини (стрижні). Довжини визначаються з відповідних трикутників.
З ΔAEFмаємо
З ΔADFмаємо
Центр тяжкості кожного стрижня лежить у його середині, координати цих центрів легко визначаються із креслення (рис. 116).
Знайдені довжини та ординати центрів тяжкості окремих частин ферми заносимо до таблиці та за формулою
визначаємо ординату у зцентру важкості даної плоскої ферми.
Отже, центр тяжкості Звсієї ферми лежить на осі DFсиметрії ферми на відстані 1,59 м від точки F.
приклад 3.Визначити координати центру важкості складеного перерізу. Перетин складається з листа та прокатних профілів (рис. 8.5).
Примітка.Часто рами зварюють із різних профілів, створюючи необхідну конструкцію. Таким чином, зменшується витрата металу та утворюється конструкція високої міцності.
Для стандартних прокатних профілів відомі власні геометричні характеристики. Вони наводяться у відповідних стандартах.
Рішення
1. Позначимо фігури номерами та випишемо з таблиць необхідні дані:
1 – швелер № 10 (ГОСТ 8240-89); висота h = 100 мм; ширина полиці b= 46 мм; площа перерізу А 1= 10,9 см 2;
2 – двотавр № 16 (ГОСТ 8239-89); висота 160 мм; ширина полиці 81 мм; площа перерізу А 2 - 20,2 см 2;
3 – лист 5x100; товщина 5мм; ширина 100мм; площа перерізу A 3 = 0,5 10 = 5 см2.
2. Координати центрів ваги кожної фігури можна визначити за кресленням.
Складовий переріз симетричний, тому центр ваги знаходиться на осі симетрії та координата хЗ = 0.
3. Визначення центру важкості складеного перерізу:
приклад 4.Визначити координати центру тяжкості перерізу, показаного на рис. 8, а.Перетин складається з двох куточків 56x4 та швелера № 18. Виконати перевірку правильності визначення положення центру тяжіння. Вказати його положення на перетині.
Рішення
1. : два куточки 56 х 4 і швелер № 18. Позначимо їх 1, 2, 3 (див. рис. 8, а).
2. Вкажемо центри важкостікожного профілю, використовуючи табл. 1 та 4 дод. I, і позначимо їх З 1, З 2, 3 .
3. Виберемо систему координатних осей.Ось усумісний із віссю симетрії, а вісь хпроведемо через центри ваги куточків.
4. Визначимо координати центру тяжкості перерізу.Тому що вісь узбігається з віссю симетрії, вона проходить через центр тяжкості перерізу, тому х з= 0. Координату у звизначимо за формулою
Користуючись таблицями програми, визначимо площі кожного профілю та координати центрів тяжіння:
Координати у 1і у 2рівні нулю, тому що вісь хпроходить через центри ваги куточків. Підставимо отримані значення формулу для визначення у з:
5. Вкажемо центр тяжкості перерізу на рис. 8, а й позначимо його літерою С.Покажемо відстань у С = 2,43 см від осі хдо точки З.
Оскільки куточки симетрично розташовані, мають однакову площу та координати, то А 1 = А 2, у 1 = у 2.Тому формула для визначення у Сможе бути спрощена:
6. Виконаємо перевірку.Для цього вісь хпроведемо по нижньому краю полиці куточка (рис. 8, б). Ось узалишимо, як у першому рішенні. Формули для визначення х Зі у Сне змінюються:
Площі профілів залишаться такими ж, а координати центрів ваг куточків та швелера зміняться. Випишемо їх:
Знаходимо координату центру важкості:
За знайденими координатами х зі у знаносимо на малюнок точку С. Знайдене двома способами положення центру тяжіння знаходиться в одній точці. Перевіримо це. Різниця між координатами у с,знайденими при першому та другому рішенні, становить: 6,51 - 2,43 = 4,08 см.
Це дорівнює відстані між осями х при першому та другому рішенні: 5,6 - 1,52 = 4,08 см.
Відповідь: у з= 2,43 см, якщо вісь х проходить через центри ваги куточків, або у с = 6,51 см, якщо вісь х проходить по нижньому краю полиці куточка.
Приклад 5.Визначити координати центру тяжкості перерізу, зображеного на рис. 9, а.Перетин складається з двотавра № 24 та швелера №.24а. Показати положення центру тяжіння на перерізі.
Рішення
1.Розіб'ємо перетин на профілі прокату: двотавр та швелер. Позначимо їх цифрами 1 та 2.
3. Вкажемо центри ваги кожного профілю 1 і 2 , використовуючи таблиці додатків.
4. Виберемо систему осей координат. Ось х сумісний з віссю симетрії, а ось у проведемо через центр тяжкості двотавра.
5. Визначимо координати центру тяжкості перерізу. Координата у с = 0, тому що вісь хзбігається з віссю симетрії. Координату х з визначимо за формулою
За табл. 3 та 4 дод. I і схемою перерізу визначимо
Підставимо числові значення у формулу та отримаємо
5. Нанесемо точку С (центр тяжкості перерізу) за знайденими значеннями х с і у с (див. рис. 9, а).
Перевірку рішення необхідно виконати самостійно при положенні осей, як показано на рис. 9, б. В результаті рішення отримаємо х с = 11,86 см. Різниця між значеннями х с при першому та другому рішенні дорівнює 11,86 - 6,11 = 5,75 см, що дорівнює відстані між осями у при тих же рішеннях b дв /2 = 5,75 див.
Відповідь: х с = 6,11 см, якщо вісь у проходить через центр тяжкості двотавра; х с = 11,86 см, якщо вісь у проходить через ліві крайні точки двотавра.
Приклад 6.Залізничний кран спирається на рейки, відстань між якими АВ = 1,5 м (рис. 1.102). Сила ваги візка крана G r = 30 кН, центр ваги візка знаходиться в точці С, що лежить на лінії KL перетину площини симетрії візка з площиною малюнка. Сила тяжкості лебідки крана Q л = 10 кН прикладена у точці D.Сила тяжкості противаги G„=20 кН прикладена в точці Е. Сила тяжіння стріли G c = 5 кН прикладена в точці Н. Виліт крана щодо лінії KL дорівнює 2 м. Визначити коефіцієнт стійкості крана в ненавантаженому стані та який вантаж Fможна підняти цим краном за умови, що коефіцієнт стійкості має бути не менше двох.
Рішення
1. У ненавантаженому стані у крана виникає небезпека перекидання при повороті навколо рейки. А.Отже, щодо точки Амомент стійкості
2. Перекидальний момент щодо точки Астворюється силою тяжкості противаги, тобто.
3. Звідси коефіцієнт стійкості крана у ненавантаженому стані
4. При навантаженні стріли крана вантажем Fвиникає небезпека перекидання крана з поворотом біля рейки В. Отже, щодо точки Умомент стійкості
5. Перекидальний момент щодо рейки У
6. За умовою завдання експлуатація крана дозволяється за коефіцієнта стійкості k B ≥ 2 , тобто.
Контрольні питання та завдання
1. Чому сили тяжіння до Землі, що діють на точки тіла, можна прийняти за систему паралельних сил?
2. Запишіть формули визначення положення центру тяжкості неоднорідних і однорідних тіл, формули визначення положення центру тяжкості плоских перерізів.
3. Повторіть формули для визначення положення центру ваги простих геометричних фігур: прямокутника, трикутника, трапеції та половини кола.
4. 
Що називають статичним моментом майдану?
5. Обчисліть статичний момент цієї фігури щодо осі Ox. h= 30 див; b= 120 см; з= 10 див (рис. 8.6).
6. Визначте координати центру ваги заштрихованої фігури (рис. 8.7). Розміри наведені в мм.
7. Визначте координату уфігури 1 складеного перерізу (рис. 8.8).
При вирішенні скористатися довідковими даними таблиць ГОСТ «Сталь гарячокатана» (див. Додаток 1).
Конспект уроку з фізики 7 клас
Тема: Визначення центру важкості
Вчитель фізики МОУ Аргаяська ЗОШ №2
Хідіятуліна З.А.
Лабораторна робота:
"Визначення центру тяжкості плоскої пластини"
Ціль : знаходження центру тяжіння плоскої пластини
Теоретична частина:
Центр важкості є у всіх тіл. Центром тяжкості тіла називається точка, щодо якої сумарний момент сил тяжіння, які діють тіло, дорівнює нулю. Наприклад, якщо підвісити предмет за його центр ваги, він залишиться у спокої. Тобто, його положення в просторі не зміниться (він не перевернеться нагору ногами або на бік). Чому одні тіла перекидаються, інші — ні? Якщо з центру тяжкості тіла провести лінію, перпендикулярну до підлоги, то у випадку, коли лінія виходить за межі опори тіла, тіло впаде. Чим більше площа опори, чим ближче розташований центр тяжіння тіла до центральної точки площі опори та центральної лінії центру тяжіння, тим стійкішим буде положення тіла. Наприклад, центр ваги знаменитої Пізанської вежі розташований лише за два метри від середини її опори. А падіння відбудеться лише тоді, коли це відхилення становитиме близько 14 метрів. Центр тяжкості тіла людини знаходиться приблизно на 20,23 сантиметра нижче за пупок. Уявна лінія, проведена прямовисно з центру ваги, проходить між ступнями. У ляльки-неваляшки секрет полягає також у центрі тяжкості тіла. Її стійкість пояснюється тим, що центр тяжкості у неваляшки знаходиться в самому низу, вона практично стоїть на ньому. Умовою збереження рівноваги тіла є проходження вертикальної осі загального центру тяжкості всередині площі опори тіла. Якщо вертикаль центру ваги тіла виходить із площі опори, тіло втрачає рівновагу і падає. Тому чим більше площа опори, чим ближче розташований центр тяжіння тіла до центральної точки площі опори і центральної лінії центру тяжіння, тим стійкішим буде положення тіла. Площа опори при вертикальному положенні людини обмежена тим простором, що знаходиться під підошвами та між стопами. Центральна точка прямовисної лінії центру ваги на стопі знаходиться на 5 см попереду від бугра п'яти. Сагітальний розмір площі опори завжди переважає над фронтальним, тому і зсув прямовисної лінії центру тяжіння легше відбувається вправо і вліво, ніж назад, а особливо важко вперед. У зв'язку з цим стійкість на поворотах при швидкому бігу значно менша, ніж у сагіттальному напрямку (вперед чи назад). Нога у взутті, особливо з широким підбором і жорсткою підошвою, стійкіша, ніж без взуття, оскільки набуває великої площі опори.
Практична частина:
Мета роботи: Використовуючи запропоноване обладнання, досвідченим шляхом знайти положення центру тяжіння двох фігур з картону та трикутника.
Обладнання:Штатив, щільний картон, трикутник зі шкільного набору, лінійка, скотч, нитка, олівець.
Завдання 1: Визначте положення центру тяжіння плоскої фігури довільної форми
За допомогою ножиць виріжте з картону фігуру довільної форми. Підключіть фігуру за нитку до лапки штатива. За допомогою лінійки та олівця позначте на картоні лінію вертикалі АВ.
Перемістіть точку кріплення нитки до положення С. Повторіть описані дії
Точка Про перетин ліній АВ іCDдає потрібне становище центру тяжкості постаті.
Завдання 2: Користуючись лише лінійкою та олівцем, знайдіть положення центру тяжіння плоскої фігури
За допомогою олівця та лінійки розбийте фігуру на два прямокутники. Побудовою знайдіть положення О1 та О2 їхніх центрів тяжіння. Очевидно, що центр тяжкості всієї фігури знаходиться на лінії О1О2
Розбийте фігуру на два прямокутники в інший спосіб. Побудовою знайдіть положення центрів тяжіння О3 та О4 кожного з них. З'єднайте точки О3 та О4 лінією. Точка перетину ліній О1О2 та О3О4 визначає положення центру ваги фігури
Завдання 2: Визначте положення центру тяжіння трикутника
За допомогою скотча закріпіть один із кінців нитки у вершині трикутника і підвісте його до лапки штатива. За допомогою лінійки позначте напрямок АВ лінії дії сили тяжіння (зробіть позначку на протилежному боці трикутника)
Повторіть аналогічну процедуру, підвісивши трикутник за вершину С. На протилежній вершині З боку трикутника зробіть позначкуD.
За допомогою скотчу прикріпіть до трикутника відрізки ниток АВ таCD. Точка Про їхнє перетину визначає положення центру тяжкості трикутника. У разі центр тяжкості фігури перебуває поза межами самого тіла.
III . Вирішення якісних завдань
1.З якою метою циркові артисти під час ходіння канатом тримають у руках важкі жердини?
2.Чому людина, яка несе на спині важкий вантаж, нахиляється вперед?
3.Чому не можна встати зі стільця, якщо не нахилити корпус уперед?
4.Чому підйомний кран не перекидається в бік вантажу, що піднімається? Чому без вантажу кран не перекидається у бік противаги?
5.Чому у автомашин і велосипедів і т.п. гальма краще ставити на задні, а чи не на передні колеса?
6.Чому, вантажівка навантажена сіном легше перевертається, ніж та ж вантажівка навантажена снігом?
Визначення центру тяжкості довільного тіла шляхом послідовного складання сил, що діють на окремі його частини - важке завдання; вона полегшується лише тіл порівняно простої форми.
Нехай тіло складається тільки з двох вантажів маси і , з'єднаних стрижнем (рис. 125). Якщо маса стрижня мала в порівнянні з масами і , то нею можна знехтувати. На кожну з мас діють сили тяжіння, рівні відповідно і; обидві вони спрямовані вертикально донизу, тобто паралельно один одному. Як ми знаємо, рівнодіюча двох паралельних сил прикладена в точці , яка визначається за умови
Мал. 125. Визначення центру ваги тіла, що складається із двох вантажів
Отже, центр тяжкості ділить відстань між двома вантажами щодо зворотному відношенню їх мас. Якщо це тіло підвісити у точці, воно залишиться у рівновазі.
Так як дві рівні маси мають загальний центр тяжкості в точці, що поділяє відстань між цими масами навпіл, то відразу ясно, що, наприклад, центр тяжкості однорідного стрижня лежить в середині стрижня (рис. 126).
Оскільки будь-який діаметр однорідного круглого диска поділяє його на дві абсолютно однакові симетричні частини (рис. 127), то центр тяжіння повинен лежати на кожному діаметрі диска, тобто в точці перетину діаметрів – у геометричному центрі диска. Розмірковуючи подібним чином, можна виявити, що центр тяжкості однорідної кулі лежить у його геометричному центрі, центр тяжкості однорідного прямокутного паралелепіпеда лежить на перетині його діагоналей і т. д. Центр тяжкості обруча або кільця лежить у його центрі. Останній приклад показує, що центр тяжкості тіла може лежати поза тілом.
Мал. 126. Центр тяжкості однорідного стрижня лежить у його середині
Мал. 127. Центр однорідного диска лежить у його геометричному центрі
Якщо тіло має неправильну форму або якщо воно неоднорідне (наприклад, в ньому є порожнечі), то розрахунок положення центру тяжіння часто скрутний і це зручніше знайти за допомогою досвіду. Нехай, наприклад, потрібно знайти центр ваги шматка фанери. Підвісимо його на нитки (рис. 128). Очевидно, в положенні рівноваги центр тяжіння тіла повинен лежати на продовженні нитки, інакше сила тяжіння матиме момент щодо точки підвісу, який би почав обертати тіло. Тому, провівши на нашому шматку фанери пряму, що становить продовження нитки, можемо стверджувати, що центр тяжіння лежить на цій прямій.
Справді, підвішуючи тіло у різних точках і проводячи вертикальні прямі, переконаємося, що вони перетнуться у одній точці. Ця точка і є центром тяжіння тіла (оскільки він повинен лежати одночасно на всіх таких прямих). Подібним чином можна визначити положення центру ваги не тільки плоскої фігури, а й складнішого тіла. Положення центру тяжкості літака визначають, вкочуючи його колесами на вагові платформи. Рівнодійна сила ваги, що припадає на кожне колесо, буде спрямована по вертикалі, і знайти лінію, по якій вона діє, можна за законом складання паралельних сил.
Мал. 128. Точка перетину вертикальних ліній, проведених через точки підвісу і є центром ваги тіла
При зміні мас окремих частин тіла або зміні форми тіла положення центру тяжкості змінюється. Так, центр тяжкості літака переміщається при витрачанні пального з баків, при завантаженні багажу і т. п. Для наочного досвіду, що ілюструє переміщення центру тяжіння при зміні форми тіла, зручно взяти два однакових бруска, з'єднаних шарніром (мал. 129). У тому випадку, коли бруски утворюють продовження один одного, центр ваги лежить на осі брусків. Якщо бруски зігнути в шарнірі, то центр тяжіння виявляється поза брусками, на бісектрисі кута, який вони утворюють. Якщо на один із брусків надіти додатковий вантаж, то центр ваги переміститься у бік цього вантажу.
Мал. 129. а) Центр тяжкості з'єднаних шарніром брусків, розташованих на одній прямій, лежить на осі брусків, б) Центр тяжкості зігнутої системи брусків лежить поза брусками
81.1. Де знаходиться центр ваги двох однакових тонких стрижнів, що мають довжину 12 см і скріплені у вигляді літери Т?
81.2. Доведіть, що центр ваги трикутної однорідної пластини лежить на перетині медіан.
Мал. 130. До вправи 81.3
81.3. Однорідна дошка маси 60 кг лежить на двох опорах, як показано на рис. 130. Визначте сили, що діють на опори.
Лекція 4. Центр тяжкості.
У цій лекції розглядаються такі питання
1. Центр важкості твердого тіла.
2. Координати центрів тяжкості неоднорідних тіл.
3. Координати центрів тяжкості однорідних тіл.
4. Методи визначення координат центрів тяжкості.
5. Центри тяжкості деяких однорідних тіл.
Вивчення даних питань необхідно надалі вивчення динаміки руху тіл з урахуванням тертя ковзання і тертя кочення, динаміки руху центру мас механічної системи, кінетичних моментів, на вирішення завдань у дисципліні «Опір матеріалів».
Наведення паралельних сил.
Після того, як було розглянуто приведення до центру плоскої системи та довільної просторової системи сил, ми знову повертаємося до розгляду окремого випадку системи паралельних сил.
Приведення двох паралельних сил.
У ході розгляду такої системи сил можливі три наступні випадки приведення.
1. Система двох колінеарних сил. Розглянемо систему двох паралельних та спрямованих в один бік сил Pі Q, доданих у точках Аі У. Вважатимемо, що сили перпендикулярні до цього відрізка (рис.1, а).
З, що належить відрізку АВі задовільну умову:
АС/СВ = Q/P.(1)
Головний вектор системи R C = P + Qпо модулюравний сумі цих сил: R C = P + Q.
Зз урахуванням (1) дорівнює нулю:MC = P ∙ АС- Q∙ СВ = 0.
Таким чином, у результаті наведення ми отримали: R C ≠ 0, MC= 0. Це означає, що головний вектор еквівалентний рівнодіючої, що проходить через центр приведення, тобто:
Рівнодійна колінеарна сила дорівнює за модулем їх сумі, а її лінія дії ділить відрізок, що з'єднує точки їх застосування, обернено пропорційно модулям цих сил внутрішнім чином.
Зазначимо, що положення точки Зне зміниться, якщо сили Рі Qповернути на кутα. Крапка З, Що має таку властивість називається центром паралельних сил.
2. Система двох антиколінеарнихі не рівних за модулем сил. Нехай сили Pі Q, додані в точках Аі У, паралельні, спрямовані у протилежні сторони і по модулю не рівні (рис.1, б).
Виберемо як центр приведення точку З, що задовольняє як і раніше співвідношенню (1) і лежить на тій же прямій, але за межами відрізка АВ.
Головний вектор цієї системи R C = P + Qпо модулю тепер дорівнюватиме різниці модулів векторів: R C = Q - P.
Головний момент щодо центру Зяк і дорівнює нулю:MC = P ∙ АС- Q∙ СВ= 0, тому
Рівнодійна антиколінеарнихі не рівних за модулем сил дорівнює їх різниці, спрямована у бік більшої сили, а її лінія дії ділить відрізок, що з'єднує точки їх застосування, обернено пропорційно модулям цих сил зовнішнім образом.
Рис.1
3. Система двох антиколінеарнихі рівних за модулем сил. Візьмемо вихідний попередній випадок приведення. Зафіксуємо силу Р, а силу Qспрямуємо по модулю до сили Р.
Тоді при Q → Р у формулі (1) відношення АС/СВ → 1. Це означає, що АС → СВ, тобто відстань АС →∞ .
При цьому модуль головного вектора R C → 0, а модуль головного моменту не залежить від положення центру приведення і залишається рівним первісному значенню:
MC = P ∙ АС- Q∙ СВ = P ∙ ( АС- СВ) =P ∙ АB.
Отже, у межі ми отримали систему сил, для якої R C = 0, MC≠ 0, а центр приведення видалений у нескінченність, яку не можна замінити рівнодією. У цій системі неважко дізнатися пару сил, тому пара сил рівнодіючої не має.
Центр системи паралельних сил.
Розглянемо систему nсил P i, доданих у точкахA і (x i , y i , z i)і паралельних осіOv з ортом l(Рис.2).
Якщо заздалегідь виключити випадок системи, еквівалентній парі сил, неважко на підставі попереднього параграфа довести існування її рівнодіючоїR.
Визначимо координати центруC(x c, y c, z c) паралельних сил, тобто координати точки докладання рівнодіючої цієї системи.
Скористаємося з цією метою теорема Варіньйона, на підставі якої:
M 0 (R) = Σ M 0(P i).
Рис.2
Вектор-момент сили можна подати у вигляді векторного твору, тому:
М 0 (R) = r c× R = Σ М0i(P i) = Σ ( r i× P i ).
Враховуючи що R = R v ∙ l, а P i = P vi ∙ l та скориставшись властивостями векторного твору, отримаємо:
r c × R v ∙ l = Σ ( r i × P vi ∙ l),
r c ∙ R v × l = Σ ( r i ∙ P vi × l) = Σ ( r i ∙ P vi ) × l,
або:
[ r c R v - Σ ( r i P vi )] × l= 0.
Останній вираз справедливий тільки в тому випадку, якщо вираз у квадратних дужках дорівнює нулю. Тому, опускаючи індексvта враховуючи, що рівнодіючаR = Σ P i , звідси отримаємо:
r c = (Σ P i r i )/(Σ P i ).
Проектуючи останню векторну рівність на осі координат, отримаємо шукане вираз координат центру паралельних сил:
x c = (Σ P i x i)/(Σ P i );
y c = (Σ P i y i )/(Σ P i );(2)
z c = (Σ P i z i )/(Σ P i ).
Центр тяжкості тел.
Координати центрів тяжкості однорідного тіла.
Розглянемо тверде тіло вагою Pта обсягом Vу системі координат Oxyzде осі xі yпов'язані з поверхнею землі, а вісь zнаправлена в зеніт.
Якщо розбити тіло на елементарні частини об'ємом∆ V i , то на кожну його частину діятиме сила тяжіння∆ P iнаправлена до центру Землі. Припустимо, що розміри тіла значно менші за розміри Землі, тоді систему сил, прикладених до елементарних частин тіла можна вважати не схожою, а паралельною (рис.3), і до неї застосовні всі висновки попереднього розділу.
Рис.3
Визначення . Центром важкості твердого тіла називається центр паралельних сил важкості елементарних частин цього тіла.
Нагадаємо, що питомою вагоюелементарної частини тіла називається відношення її ваги∆ P iдо обсягу ∆ V i : γ i = ∆ P i/ ∆ V i . Для однорідного тіла ця величина є постійною:γ i = γ = P/ V.
Підставляючи (2) ∆ P i = γ i ∙∆ V i замість P iз огляду на останнє зауваження і скорочуючи чисельник і знаменник наg, отримаємо вирази координат центру тяжкості однорідного тіла:
x c = (Σ ∆ V i∙ x i)/(Σ ∆ V i);
y c = (Σ ∆ V i∙ y i )/(Σ ∆ V i);(3)
z c = (Σ ∆ V i∙ z i )/(Σ ∆ V i).
При визначенні центру важкості корисні кілька теорем.
1) Якщо однорідне тіло має площину симетрії, то центр ваги його знаходиться у цій площині.
Якщо осі хі урозташувати в цій площині симетрії, то для кожної точки з координатами. І координата по (3), дорівнюватиме нулю, т.к. в суміУсе члени, що мають протилежні знаки, попарно знищуються. Значить центр ваги розташованийу площині симетрії.
2) Якщо однорідне тіло має вісь симетрії, центр тяжкості тіла знаходиться на цій осі.
Справді, у разі, якщо вісьzпровести по осі симетрії, для кожної точки з координатамиможна знайти точку з координатамиі координати та , Обчислені за формулами (3), виявляться рівними нулю.
Аналогічно підтверджується і третя теорема.
3) Якщо однорідне тіло має центр симетрії, центр тяжкості тіла знаходиться в цій точці.
І ще кілька зауважень.
Перше. Якщо тіло можна розділити на частини, у яких відома вага та положення центру тяжіння, то нема чого розглядати кожну точку, а у формулах (3) P i – визначати як вагу відповідної частини та- Як координати її центру тяжкості.
Друге. Якщо тіло однорідне, то вага окремої частини його, де - питома вага матеріалу, з якого виготовлено тіло, а V i - Обсяг цієї частини тіла. І формули (3) набудуть більш зручного вигляду. Наприклад,
І аналогічно, де - Обсяг всього тіла.
Третє зауваження. Нехай тіло має вигляд тонкої платівки площею Fта завтовшки t, що лежить у площині Oxy. Підставляючи (3)∆ V i =t ∙ ∆ F i , отримаємо координати центру тяжкості однорідної платівки:
x c = (Σ ∆ F i∙ x i) / (Σ ∆ F i);
y c = (Σ ∆ F i∙ y i ) / (Σ ∆ F i).
z c = (Σ ∆ F i∙ z i ) / (Σ ∆ F i).
де - Координати центру тяжкості окремих пластин;- Загальна площа тіла.
Четверте зауваження. Для тіла у вигляді тонкого криволінійного стрижня завдовжки Lз площею поперечного перерізу aелементарний обсяг∆ V i = a ∙∆ L i тому координати центру важкості тонкого криволінійного стрижнябудуть рівні:
x c = (Σ ∆ L i∙ x i)/(Σ ∆ L i);
y c = (Σ ∆ L i∙ y i )/(Σ ∆ L i);(4)
z c = (Σ ∆ L i∙ z i )/(Σ ∆ L i).
де – координати центру важкостіi-ї ділянки; .
Зазначимо, що згідно з визначенням центр ваги – це точка геометрична; вона може лежати і поза даного тіла (наприклад, для кільця).
Примітка.
У цьому розділі курсу ми не робимо різниці між силою тяжіння, силою тяжіння та вагою тіла. Насправді сила тяжіння є різницею між силою тяжіння Землі і відцентровою силою, викликаної її обертанням.
Координати центрів важкості неоднорідних тіл.
Координати центру важкості неоднорідного твердого тіла(рис.4) у вибраній системі відліку визначаються таким чином:
Рис.4
де - вага одиниці об'єму тіла (питома вага)
-вага всього тіла.
неоднорідну поверхню(рис.5), то координати центру тяжкості у вибраній системі відліку визначаються таким чином:
Рис.5
де - вага одиниці площі тіла,
-вага всього тіла.
Якщо тверде тіло є неоднорідну лінію(рис.6), то координати центру тяжкості у вибраній системі відліку визначаються таким чином:
Рис.6
де - вага одиниці довжини тіла,
Вага всього тіла.
Способи визначення координат центру важкості.
Виходячи з отриманих вище загальних формул, можна вказати конкретні способи визначення координат центрів тяжіння тіл.
1. Симетрія.Якщо однорідне тіло має площину, вісь чи центр симетрії (мал.7), його центр ваги лежить відповідно у площині симетрії, осі симетрії чи центрі симетрії.
Рис.7
2. Розбиття.Тіло розбивається на кінцеве число частин (рис.8), кожної з яких становище центру тяжкості і площа відомі.
Рис.8
S = S1 + S2.
3.Метод негативних площ.Окремий випадок способу розбиття (рис.9). Він застосовується до тіл, що мають вирізи, якщо центри ваги тіла без вирізу та вирізаної частини відомі. Тіло у вигляді пластинки з вирізом є комбінацією суцільної пластинки (без вирізу) з площею S 1 та площі вирізаної частини S2.
Рис.9
S = S1-S2.
4.Метод угруповання.Є добрим доповненням двох останніх методів. Після розбиття фігури на складові елементи частина їх зручно об'єднати знову, щоб потім спростити рішення шляхом обліку симетрії цієї групи.
Центри тяжкості деяких однорідних тіл.
1) Центр тяжкості дуги кола.Розглянемо дугу АВрадіусуR з центральним кутом. Через симетрію центр тяжкості цієї дуги лежить на осіOx(Рис. 10).
Рис.10
Знайдемо координатуза формулою . Для цього виділимо на дузі АВелемент ММ ’ довжиною, положення якого визначається кутом. Координата хелемента ММ’буде. Підставляючи ці значення хі d l і маючи на увазі, що інтеграл має бути поширений на всю довжину дуги, отримаємо:
де L - Довжина дуги АВ, рівна.
Звідси остаточно знаходимо, що центр тяжіння дуги кола лежить на її осі симетрії на відстані від центруО, рівному
де кут вимірюється у радіанах.
2) Центр тяжкості площі трикутника. Розглянемо трикутник, що лежить у площині Oxyкоординати вершин якого відомі: A і (x i,y i ), (i= 1,2,3). Розбиваючи трикутник на вузькі смужки, паралельні стороні А 1 А 2 , дійдемо висновку, що центр тяжіння трикутника повинен належати медіані А 3 М 3 (рис.11).
Рис.11
Розбиваючи трикутник на смужках, паралельні стороні А 2 А 3 можна переконатися, що він повинен лежати на медіані А 1 М 1 . Таким чином, центр тяжкості трикутника лежить у точці перетину його медіан, Яка, як відомо, відокремлює від кожної медіани третину, рахуючи від відповідної сторони.
Зокрема, для медіани А 1 М 1 отримаємо, враховуючи, що координати точки М 1 - це середнє арифметичне координат вершин А 2 та А 3 :
x c = x 1 + (2/3) ∙ (xМ 1 - x 1 ) = x 1 + (2/3) ∙ [(x 2 + x 3 )/2 - x 1 ] = (x 1 + x 2 + x 3 )/3.
Таким чином, координати центру тяжкості трикутника є середнім арифметичним з координат його вершин:
x c =(1/3) Σ x i ; y c =(1/3) Σ y i .
3) Центр ваги площі кругового сектора.Розглянемо сектор кола радіусу Rз центральним кутом 2α , розташований симетрично щодо осі Ox (рис.12).
Очевидно, що y c = 0, а відстань від центру кола, з якого вирізаний цей сектор, до центру тяжкості можна визначити за формулою:
Рис.12
Найпростіше цей інтеграл обчислити, розбиваючи область інтегрування на елементарні сектори з кутом dφ . З точністю до нескінченно малих першого порядку такий сектор можна замінити трикутником з основою, що дорівнює R × dφ та заввишки R. Площа такого трикутника dF =(1/2)R 2 ∙ dφ , а його центр тяжіння знаходиться на відстані 2/3 Rвід вершини, тому в (5) покладемо x = (2/3)R∙ cosφ. Підставляючи (5) F= α R 2, отримаємо:
За допомогою останньої формули обчислимо, зокрема, відстань до центру ваги півкола.
Підставляючи (2) α = π /2, отримаємо: x c = (4 R)/(3 π ) ≅ 0,4 R .
приклад 1.Визначимо центр тяжкості однорідного тіла, зображеного на рис. 13.
Рис.13
Рішення.Тіло однорідне, що складається із двох частин, що мають симетричну форму. Координати центрів їхньої тяжкості:
Обсяги їх:
Тому координати центру тяжкості тіла
приклад 2. Знайдемо центр ваги пластини зігнутої під прямим кутом. Розміри – на кресленні (рис.14).
Рис.14
Рішення. Координати центрів тяжкості:
0.
Площі:
Тому:
приклад 3.
У квадратного листа
см вирізаний квадратний отвір
див (рис.15). Знайдемо центр тяжкості аркуша.приклад 4. Знайти положення центру ваги платівки, представленої на рис. 16. Розміри наведені в сантиметрах.
Рис.16
Рішення. Розділимо платівку на фігури (рис. 17), центритяжкості яких відомі.
Площі цих фігур та координати їх центрів тяжіння:
1) прямокутник зі сторонами 30 і 40 см,S 1 =30 ∙ 40 = 1200 см 2 ; х 1= 15 см; у 1 = 20 см.
2) прямокутний трикутник із основою 50 см і висотою 40 см;S 2 =0,5 ∙ 50 ∙ 40 = 1000 см 2 ; х 2 = 30 +50/3 = 46,7 см; у 2 =40/3 =13,3 див;
3) половина кола кола радіусу r = 20 см;S 3 =0,5 ∙π∙ 20 2 = 628 см 2 ; х 3 =4 R /3 π =8,5 див; у
Рішення. Нагадаємо, що у фізиці щільність тілаρ та його питома вагаgпов'язані співвідношенням:γ = ρ g , деg - прискорення вільного падіння. Щоб знайти масу такого однорідного тіла потрібно щільність помножити на його об'єм.
Рис.19
Термін "лінійна" або "погонна" щільність означає, що для визначення маси стрижня ферми потрібно погонну щільність помножити на довжину цього стрижня.
Для вирішення задачі можна скористатися методом розбиття. Представивши задану ферму у вигляді суми 6 окремих стрижнів, отримаємо:
деL i довжинаi -го стрижня ферми, аx i , y i - координати його центру тяжкості.
Вирішення цього завдання можна спростити, якщо згрупувати 5 останніх стрижнів ферми. Неважко бачити, що вони утворюють фігуру, що має центр симетрії, розташований посередині четвертого стрижня, де знаходиться центр тяжкості цієї групи стрижнів.
Таким чином, задану ферму можна уявити комбінацією всього двох груп стрижнів.
Перша група складається з першого стрижня, для неїL 1 = 4 м,x 1 = 0 м,y 1 = 2 м. Друга група стрижнів складається з п'яти стрижнів, для неїL 2 = 20 м,x 2 = 3 м,y 2 = 2 м.
Координати центру тяжкості ферми знаходимо за такою формулою:
x c = (L 1 ∙ x 1 + L 2 ∙ x 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;
y c = (L 1 ∙ y 1 + L 2 ∙ y 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.
Зазначимо, що центр З лежить на прямій, що з'єднує З 1 та З 2 і ділить відрізок З 1 З 2 щодо: З 1 З/СС 2 = (x c - x 1 )/(x 2 - x c ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.
Запитання для самоперевірки
– Що називається центром паралельних сил?
– Як визначаються координати центру паралельних сил?
- Як визначити центр паралельних сил, рівнодіюча яких дорівнює нулю?
- Яку властивість має центр паралельних сил?
– За якими формулами обчислюються координати центру паралельних сил?
– Що називається центром тяжкості тіла?
- Чому сили тяжіння Землі, що діють на точку тіла, можна прийняти за систему паралельних сил?
- Запишіть формулу визначення положення центру тяжкості неоднорідних і однорідних тіл, формулу визначення положення центру тяжкості плоских перерізів?
- Запишіть формулу для визначення положення центру ваги простих геометричних фігур: прямокутника, трикутника, трапеції та половини кола?
– Що називають статичним моментом площі?
- Наведіть приклад тіла, центр ваги якого розташований поза тілом.
- Як використовуються властивості симетрії щодо центрів тяжкості тіл?
- У чому полягає суть способу негативних ваг?
- Де розташований центр тяжіння дуги кола?
- Якою графічною побудовою можна знайти центр тяжіння трикутника?
- Запишіть формулу, яка визначає центр ваги кругового сектора.
- Використовуючи формули, що визначають центри тяжіння трикутника та кругового сектора, виведіть аналогічну формулу для кругового сегмента.
- За якими формулами обчислюються координати центрів ваги однорідних тіл, плоских фігур та ліній?
- Що називається статичним моментом площі плоскої фігури щодо осі, як він обчислюється та яку розмірність має?
- Як визначити положення центру тяжкості площі, якщо відоме положення центрів тяжкості окремих її частин?
- Якими допоміжними теоремами користуються щодо положення центру тяжкості?
Автор: Візьмемо тіло довільної форми Чи можна підвісити його на нитки так, щоб воно після підвішування зберегло своє положення (тобто не стало повертатися) при будь-якийпочаткової орієнтації (рис. 27.1)?
Іншими словами, чи існує така точка, щодо якої сума моментів сил тяжіння, що діють на різні частини тіла, дорівнювала б нулю при будь-якийорієнтації тіла у просторі?
Читач: На мою думку так. Така точка називається центром важкості тіла.
Доведення.Для простоти розглянемо тіло як плоскої пластини довільної форми довільним чином орієнтоване у просторі (рис. 27.2). Візьмемо систему координат х 0уз початком у центрі мас – точці Зтоді х З = 0, у С = 0.
Представимо це тіло у вигляді сукупності великої кількості точкових мас m i, положення кожної з яких задається радіусом-вектором.
За визначенням центру мас , а координата х З = .
Так як у прийнятій нами системі координат х З= 0, то. Помножимо цю рівність на gі отримаємо
Як видно із рис. 27.2, | x i| - Це плече сили. Причому якщо х i> 0, то момент сили M i> 0, а якщо х j < 0, то M j < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x iмомент сили дорівнюватиме M i = m i g x i.Тоді рівність (1) еквівалентна рівності , де M i- Момент сили тяжіння. А це означає, що при довільній орієнтації тіла сума моментів сил тяжіння, що діють на тіло, дорівнюватиме нулю щодо його центру мас.
Щоб тіло, яке ми розглядаємо, знаходилося в рівновазі, до нього необхідно прикласти в точці Зсилу Т = mgспрямовану вертикально вгору. Момент цієї сили щодо точки Здорівнює нулю.
Оскільки наші міркування аж ніяк не залежали від того, як саме орієнтоване тіло в просторі, ми довели, що центр тяжкості збігається з центром мас, що потрібно було довести.
Завдання 27.1.Знайти центр ваги невагомого стрижня довжини l, на кінцях якого укріплено дві точкові маси т 1 та т 2 .
| т 1 т 2 l | Рішення. Будемо шукати не центр тяжкості, а центр мас (оскільки це одне й те саме). Введемо вісь х(Рис. 27.3).  Мал. 27.3 |
| х З =? | |
Відповідь: на відстані від маси т 1 .
СТОП! Вирішіть самостійно: В1–В3.
Твердження 1 . Якщо однорідне плоске тіло має вісь симетрії, центр ваги знаходиться на цій осі.
Дійсно, для будь-якої точкової маси m i, розташованої праворуч від осі симетрії, знайдеться така сама точкова маса , розташована симетрично щодо першої (рис. 27.4). При цьому сума моментів сил.
Оскільки все тіло можна уявити розбитим на подібні пари точок, то сумарний момент сил тяжіння щодо будь-якої точки, що лежить на осі симетрії дорівнює нулю, а отже, на цій осі знаходиться центр тяжіння тіла. Звідси випливає важливий висновок: якщо тіло має кілька осей симетрії, то центр тяжіння лежить на перетині цих осей(Рис. 27.5).
Мал. 27.5 
Твердження 2. Якщо два тіла масами т 1 та т 2 з'єднані в одне, то центр тяжіння такого тіла лежатиме на відрізку прямої, що з'єднує центри тяжіння першого і другого тіла (рис. 27.6).
Мал. 27.6 
Мал. 27.7
Доведення.Розташуємо складове тіло так, щоб відрізок, що з'єднує центри ваги тіл, був вертикальним. Тоді сума моментів сил тяжіння першого тіла щодо точки З 1 дорівнює нулю, і сума моментів сил тяжіння другого тіла щодо точки З 2 дорівнює нулю (рис. 27.7).
Зауважимо, що плечесили тяжіння будь-якої точкової маси т iодне й те саме щодо будь-якої точки, що лежить на відрізку З 1 З 2 , а значить, і момент сили тяжіння щодо будь-якої точки, що лежить на відрізку З 1 З 2 , той самий. Отже, сил тяжіння всього тіла дорівнює нулю щодо будь-якої точки відрізка З 1 З 2 . Таким чином, центр ваги складеного тіла лежить на відрізку З 1 З 2 .
Зі твердження 2 випливає важливий практичний висновок, який чітко сформульований у вигляді інструкції.
Інструкція,
як шукати центр тяжкості твердого тіла, якщо його можна розбити
на частини, положення центрів тяжкості кожної з яких відомо
1. Слід замінити кожну частину масою, яка розташована в центрі тяжкості цієї частини.
2. Знайти центр мас(а це те саме, що і центр тяжкості) отриманої системи точкових мас, вибравши зручну систему координат х 0у, За формулами:
Справді, розташуємо складове тіло так, щоб відрізок З 1 З 2 був горизонтальним, і підвісимо його на нитках у точках З 1 та З 2 (рис. 27.8, а). Зрозуміло, що тіло перебуватиме у рівновазі. І ця рівновага не порушиться, якщо ми замінимо кожне тіло точковими масами т 1 та т 2 (рис. 27.8, б).
Мал. 27.8
СТОП! Вирішіть самостійно: С3.
Завдання 27.2.У двох вершинах рівностороннього трикутника вміщено кульки маси ткожен. У третій вершині поміщена кулька маси 2 т(Рис. 27.9, а). Сторона трикутника а. Визначити центр важкості цієї системи.
| т 2т а |  Мал. 27.9 |
| х З = ? у С = ? | |
Рішення. Введемо систему координат х 0у(Рис. 27.9, б). Тоді
,
.
Відповідь: х З = а/2; ; центр ваги лежить на половині висоти АD.