В математиці та статистиці середняарифметичне (або легко середня) Комплекту чисел - це сума всіх чисел у цьому комплекті, поділена на їх число. Середнє арифметичне є особливо загальним та найпоширенішим уявленням середньої величини.

Вам знадобиться

• Знання з математики.

Інструкція

1. Нехай дано комплект із чотирьох чисел. Потрібно знайти середня значенняцього комплекту. Для цього спочатку виявимо суму всіх цих чисел. Можливі ці числа 1, 3, 8, 7. Їх сума дорівнює S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Комплект чисел повинен складатися з чисел одного знака, інакше толк у обчисленні середнього значення втрачається.

2. Середнє значеннякомплекту чисел дорівнює сумі чисел S, поділеної число цих чисел. Тобто виходить, що середня значенняодно: 19/4 = 4.75.

3. Для комплекту числа також можна знайти не тільки середняарифметичне, а й середнягеометричне. Середнім геометричним кількох правильних речових чисел називається таке число, яким можна замінити будь-яке з цих чисел так, щоб їх твір не змінилося. Середнє геометричне G шукається за формулою: корінь N-го ступеня з добутку комплекту чисел, де N – число в комплекті. Розглянемо той самий комплект чисел: 1, 3, 8, 7. Виявимо їх середнягеометричне. Для цього порахуємо твір: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Тепер з числа 168 необхідно отримати корінь четвертого ступеня: G = (168) ^ 1/4 = 3.61. Таким чином середнягеометричний комплект чисел дорівнює 3.61.

Середнєгеометричне в сукупності застосовується рідше, ніж арифметичне середнє, проте воно може бути придатним при обчисленні середнього значення показників, що змінюються з часом (заробітна плата окремого працівника, динаміка показників успішності тощо).

Вам знадобиться

• Інженерний калькулятор

Інструкція

1. Для того щоб виявити середнє геометричне ряду чисел, спочатку потрібно перемножити всі ці числа. Скажімо, вам дано комплект із п'яти показників: 12, 3, 6, 9 та 4. Перемножимо всі ці числа: 12х3х6х9х4=7776.

2. Тепер з отриманого числа необхідно отримати корінь ступеня, що дорівнює числу елементів ряду. У нашому випадку з числа 7776 необхідно буде витягти корінь п'ятого ступеня за допомогою інженерного калькулятора. Отримане пізніше цієї операції число – у разі число 6 – буде середнім геометричним для початкової групи чисел.

3. Якщо у вас під рукою немає інженерного калькулятора, то обчислити середнє геометричне ряду чисел можна за допомогою функції СРГЕОМ в програмі Excel або за допомогою одного з онлайн-калькуляторів, навмисно призначених для обчислення середніх геометричних значень.

Зверніть увагу!
Якщо знадобиться виявити середнє геометричне кожного для 2-х чисел, то інженерний калькулятор вам не потрібно: витягти корінь 2-го ступеня (квадратний корінь) з усякого числа можна за допомогою звичайного калькулятора.

Корисна порада
На відміну середнього арифметичного, на геометричне середнє негаразд сильно впливають великі відхилення і коливання між окремими значеннями в досліджуваному комплекті показників.

СереднєЗначення – це одна з коляцій комплекту чисел. Це число, яке не може виходити за межі діапазону, що визначається найбільшим і найменшим значеннями в цьому комплекті чисел. Середнєарифметичне значення - особливо часто застосовується різновид середніх.

Інструкція

1. Складіть усі числа множини і поділіть їх на кількість доданків, щоб отримати середнє арифметичне значення. Залежно від певних умов обчислення зрідка буває простіше розділяти будь-яке з чисел число значень множини і підсумовувати результат.

2. Використовуйте, скажімо, калькулятор, що входить до складу Windows, якщо обчислити середнє арифметичне значення в розумі не представляється допустимим. Відкрити його можна за допомогою діалогу запуску програм. Для цього натисніть "палячі клавіші" WIN + R або клацніть кнопку "Пуск" і виберіть в основному меню команду "Виконати". Після цього надрукуйте в полі введення calc та натисніть на клавіатурі Enter або натисніть кнопку «OK». Це ж можна зробити через головне меню - розкрийте його, перейдіть в розділ "Всі програми" і в сегменти "Типові" і виберіть рядок "Калькулятор".

3. Введіть ступінчасто всі числа множини, натискаючи на клавіатурі найчастіше з них (крім останнього) клавішу «Плюс» або клацаючи відповідну кнопку в інтерфейсі калькулятора. Вводити числа теж можна як з клавіатури, так і клацаючи відповідні кнопки інтерфейсу.

4. Натисніть клавішу з косою межею (слеш) або клацніть цей значок в інтерфейсі калькулятора після введення останнього значення множини і надрукуйте число в послідовності. Після цього натисніть знак рівності, і калькулятор розрахує та покаже середнє арифметичне значення.

5. Дозволено для цієї ж мети застосовувати табличний редактор Microsoft Excel. У цьому випадку запустіть редактор і введіть у сусідні осередки всі значення послідовності чисел. Якщо після введення всього числа ви натискатимете Enter або клавішу зі стрілкою вниз або вправо, то редактор сам переміщатиме фокус введення в сусідню комірку.

6. Виділіть усі введені значення та у лівому нижньому куті вікна редактора (у рядку стану) побачите середньоарифметичне значення для виділених осередків.

7. Клацніть наступну за останнім введеним числом комірку, якщо вам не достатньо лише побачити середнє арифметичне значення. Розкрийте список із зображенням грецької літери сигма (Σ) у групі команд «Редагування» на вкладці «Основна». Виберіть у ньому рядок « Середнєі редактор вставить необхідну формулу для обчислення середньоарифметичного значення у виділений осередок. Натисніть клавішу Enter, і значення буде розраховано.

Середнє арифметичне – одне із заходів центральної схильності, широко застосовується у математиці та статистичних розрахунках. Виявити середнє арифметичне число для кількох значень дуже легко, але у будь-якої задачі є свої нюанси, знати які для виконання правильних розрахунків примітивно потрібно.

Що таке середнє арифметичне число

Середнє арифметичне число визначає усереднене значення кожного початкового масиву чисел. Інакше кажучи, з деякої множини чисел вибирається загальне всім елементів значення, математичне зіставлення якого з усіма елементами носить приблизно рівний характер. Середнє арифметичне число застосовується, переважно, під час складання фінансових і статистичних звітів чи розрахунків кількісних результатів проведених подібних навичок.

Як виявити середнє арифметичне число

Пошук середнього арифметичного числа для масиву чисел слід починати з визначення суми алгебри цих значень. Наприклад, якщо в масиві присутні числа 23, 43, 10, 74 і 34, то їх алгебраїчна сума дорівнюватиме 184. При записі середнє арифметичне позначається буквою? (Мю) чи x (ікс із характеристикою). Далі суму алгебри слід поділити на число чисел в масиві. У аналізованому прикладі чисел було п'ять, тому середнє арифметичне дорівнюватиме 184/5 і становитиме 36,8.

Особливості роботи з негативними числами

Якщо в масиві присутні негативні числа, то знаходження середнього арифметичного значення відбувається за аналогічним алгоритмом. Різниця є лише за розрахунках серед програмування, або якщо завдання є додаткові дані. У цих випадках знаходження середнього арифметичного чисел із різними знаками зводиться до трьох дій:1. Знаходження загального середнього арифметичного числа стандартним способом; Знаходження середнього арифметичного негативного чисел.3. Обчислення середнього арифметичного позитивних чисел. Результати будь-якої з дій записуються через кому.

Натуральні та десяткові дроби

Якщо масив чисел представлений десятковими дробами, рішення відбувається у способу обчислення середнього арифметичного цілих чисел, але скорочення результату проводиться у разі вимоги завдання до точності результата.При роботі з природними дробами їх слід призвести до загального знаменника, який множиться число чисел в масиві. У чисельнику результату буде сума наведених чисельників початкових дробових елементів.

Середнє геометричне чисел залежить тільки від безумовної величини самих чисел, а й від їх числа. Неможливо плутати середнє геометричне та середнє арифметичне чисел, тому що вони знаходяться за різними методологіями. У цьому середнє геометричне постійно менше чи дорівнює середньому арифметичному.

Вам знадобиться

• Інженерний калькулятор.

Інструкція

1. Розглядайте, що в загальному випадку середнє геометричне чисел знаходиться шляхом перемноження цих чисел та вилучення з них кореня ступеня, що відповідає числу чисел. Скажімо, якщо потрібно виявити середнє геометричне п'яти чисел, то з добутку потрібно буде витягувати корінь п'ятого ступеня.

2. Для знаходження середнього геометричного 2-х чисел використовуйте основне правило. Виявіть їх добуток, після чого витягніть з нього квадратний корінь, тому що числа два, що відповідає ступеню кореня. Скажімо, щоб виявити середнє геометричне чисел 16 і 4, виявіть їх добуток 16 4=64. З числа, що вийшло, витягніть квадратний корінь?64=8. Це буде бажана величина. Середнє арифметичне цих двох чисел більше і одно 10. Якщо корінь не витягується націло, зробіть округлення результату до необхідного порядку.

3. Щоб виявити середнє геометричне більше ніж 2-х чисел, також використовуйте основне правило. Для цього виявіть добуток всіх чисел, для яких потрібно виявити середнє геометричне. З отриманого твору витягніть корінь ступеня, що дорівнює числу чисел. Скажімо, щоб виявити середнє геометричне чисел 2, 4 і 64, виявіть їх добуток. 2 4 64 = 512. Від того що потрібно виявити результат середнього геометричного 3 чисел, що з твору вийміть корінь третього ступеня. Зробити це усно важко, тому скористайтеся інженерним калькулятором. Для цього в ньому є кнопка x^y. Наберіть число 512, натисніть кнопку “x^y”, потім наберіть число 3 і натисніть кнопку “1/х”, щоб знайти значення 1/3, натисніть кнопку “=”. Отримаємо результат зведення 512 у ступінь 1/3, що відповідає кореню третього ступеня. Отримайте 512^1/3=8. Це і є середнє геометричне чисел 2,4 та 64.

4. За допомогою інженерного калькулятора можна виявити середнє геометричне іншим способом. Виявіть кнопку log на клавіатурі. Після цього візьміть логарифм для всього з чисел, виявіть їх суму та поділіть її на число чисел. З отриманої кількості візьміть антилогарифм. Це і буде середнє геометричне чисел. Скажімо, щоб виявити середнє геометричне тих же чисел 2, 4 і 64, зробіть на калькуляторі комплект операцій. Наберіть число 2, потім натисніть кнопку log, натисніть кнопку “+”, наберіть число 4 і знову натисніть log і “+”, наберіть 64, натисніть log і “=”. Підсумком буде число, що дорівнює сумі десяткових логарифмів чисел 2, 4 і 64. Отримане число поділіть на 3, тому що це число чисел, якими шукається середнє геометричне. З підсумку візьміть антилогарифм, перемкнувши кнопку регістру, та використовуйте ту ж клавішу log. У результаті вийде число 8, і є бажане середнє геометричне.

Зверніть увагу!
Середнє значення не може бути більшим за найбільше в комплекті і менше найменшого.

Корисна порада
У математичної статистики середнє значення величини називається математичним очікуванням.

Велике поширення у статистиці мають середні величини. Середні величини характеризують якісні показники комерційної діяльності: витрати звернення, прибуток, рентабельність та інших.

Середня - це один із поширених прийомів узагальнень. Правильне розуміння сутності середньої визначає її особливу значущість в умовах ринкової економіки, коли середня через одиничне та випадкове дозволяє виявити загальне та необхідне, виявити тенденцію закономірностей економічного розвитку.

Середня величина - це узагальнюючі показники, у яких знаходять вираз дії загальних умов, закономірностей досліджуваного явища.

Статистичні середні розраховуються на основі масових даних правильно статистично організованого масового спостереження (суцільного та вибіркового). Однак статистична середня буде об'єктивною і типовою, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Наприклад, якщо розраховувати середню заробітну плату в кооперативах і на держпідприємствах, а результат поширити на всю сукупність, то середня фіктивна, оскільки розрахована за неоднорідною сукупністю, і така середня втрачає будь-який сенс.

За допомогою середньої відбувається як би згладжування відмінностей у величині ознаки, що виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць спостереження.

Наприклад, середнє вироблення продавця залежить багатьох причин: кваліфікації, стажу, віку, форми обслуговування, здоров'я тощо.

Середнє вироблення відбиває загальне властивість всієї сукупності.

Середня величина є відображенням значень досліджуваного ознаки, отже, вимірюється у тому розмірності, як і це ознака.

Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою. Щоб отримати повне і всебічне уявлення про сукупність, що вивчається, по ряду істотних ознак, в цілому необхідно розташовувати системою середніх величин, які можуть описати явище з різних сторін.

Існують різні середні:

середня арифметична;

середня геометрична;

середня гармонійна;

середня квадратична;

середня хронологічна.

Розглянемо деякі види середніх, які найчастіше використовуються у статистиці.

Середня арифметична

Середня арифметична проста (невиважена) дорівнює сумі окремих значень ознаки, поділеної на число цих значень.

Окремі значення ознаки називають варіантами та позначають через х(); число одиниць сукупності позначають через n, середнє значення ознаки через . Отже, середня арифметична проста дорівнює:

За даними дискретного ряду розподілу видно, що одні й самі значення ознаки (варіанти) повторюються кілька разів. Так, варіанти х зустрічається в сукупності 2 рази, а варіанти х-16 разів і т.д.

Число однакових значень ознаки в рядах розподілу називається частотою або вагою та позначається символом n.

Обчислимо середню заробітну плату одного робітника у руб.:

Фонд заробітної плати за кожною групою робітників дорівнює добутку варіанти на частоту, а сума цих творів дає загальний фонд заробітної плати всіх робітників.

Відповідно до цього, розрахунки можна подати у загальному вигляді:

Отримана формула називається середньою арифметичною завислою.

Статистичний матеріал у результаті обробки може бути представлений у вигляді дискретних рядів розподілу, а й у вигляді інтервальних варіаційних рядів із закритими чи відкритими інтервалами.

Обчислення середньої за згрупованими даними проводиться за формулою середньої арифметичної зваженої:

У практиці економічної статистики іноді доводиться обчислювати середню за груповим середнім або середнім окремих частин сукупності (приватним середнім). У разі за варіанти (х) приймаються групові чи приватні середні, виходячи з яких обчислюється загальна середня як звичайна середня арифметична зважена.

Основні властивості середньої арифметичної .

Середня арифметична має ряд властивостей:

1. Від зменшення або збільшення частот кожного значення ознаки х у п раз величина середньої арифметичної не зміниться.

Якщо всі частоти розділити або помножити на якесь число, то величина середньої не зміниться.

2. Загальний множник індивідуальних значень ознаки може бути винесений за знак середньої:

3. Середня суми (різниці) двох або кількох величин дорівнює сумі (різниці) їх середніх:

4. Якщо х = с, де с – постійна величина, то
.

5. Сума відхилень значень ознаки Х від середньої арифметичної х дорівнює нулю:

Середня гармонійна.

Поряд із середньою арифметичною, у статистиці застосовується середня гармонійна величина, обернена середньою арифметичною зі зворотних значень ознаки. Як і середня арифметична, вона може бути простою та виваженою.

Характеристиками варіаційних рядів, поряд із середніми, є мода та медіана.

Мода - це величина ознаки (варіанту), що найчастіше повторюється в досліджуваній сукупності. Для дискретних рядів розподілу модою буде значення варіанта із найбільшою частотою.

Для інтервальних рядів розподілу з рівними інтервалами мода визначається за такою формулою:

де
- Початкове значення інтервалу, що містить моду;

- Величина модального інтервалу;

- Частота модального інтервалу;

- частота інтервалу, що передує модальному;

- Частота інтервалу, наступного за модальним.

Медіана - Це варіанта, розташована в середині варіаційного ряду. Якщо ряд розподілу дискретний і має непарне число членів, то медіаною буде варіанта, що знаходиться в середині впорядкованого ряду (упорядкований ряд - це розташування одиниць сукупності у порядку, що зростає або спадає).

У процесі вивчення математики школярі знайомляться із поняттям середнього арифметичного. Надалі у статистиці та деяких інших науках студенти стикаються і з обчисленням інших Якими вони можуть бути і чим відрізняються один від одного?

зміст та відмінності

Не завжди точні показники дають розуміння ситуації. Щоб оцінити ту чи іншу обстановку, потрібно часом аналізувати безліч цифр. І тоді на допомогу приходять середні значення. Саме вони дозволяють оцінити ситуацію загалом та загалом.

Зі шкільних часів багато дорослих пам'ятають про існування середнього арифметичного. Його дуже просто обчислити – сума послідовності з n членів ділиться на n. Тобто якщо потрібно обчислити середнє арифметичне в послідовності значень 27, 22, 34 і 37, необхідно вирішити вираз (27+22+34+37)/4, оскільки в розрахунках використовується 4 значення. В даному випадку шукана величина дорівнюватиме 30.

Часто у межах шкільного курсу вивчають і середнє геометричне. Розрахунок даного значення виходить з добуванні кореня n-ной ступеня з добутку n-членів. Якщо брати ті ж числа: 27, 22, 34 і 37, то результат обчислень дорівнюватиме 29,4.

Середнє гармонійне у загальноосвітній школі зазвичай перестав бути предметом вивчення. Проте воно використовується досить часто. Ця величина обернена до середнього арифметичного і розраховується як приватна від n - кількості значень і суми 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n . Якщо знову брати той же для розрахунку, то гармонійне становитиме 29,6.

Середньозважене значення: особливості

Проте всі перераховані вище величини можуть бути використані не скрізь. Наприклад, у статистиці при розрахунку деяких важливу роль має "вага" кожного числа, що використовується у обчисленнях. Результати є більш показовими та коректними, оскільки враховують більше інформації. Ця група величин носить загальну назву "середньозважене значення". Їх у школі не проходять, тож на них варто зупинитися докладніше.

Насамперед, варто розповісти, що мається на увазі під "вагою" того чи іншого значення. Найпростіше пояснити це на конкретному прикладі. Двічі на день у лікарні відбувається замір температури тіла у кожного пацієнта. Зі 100 хворих у різних відділеннях госпіталю у 44 буде нормальна температура – ​​36,6 градусів. У ще 30 буде підвищене значення – 37,2, у 14 – 38, у 7 – 38,5, у 3 – 39, і у двох решти – 40. І якщо брати середнє арифметичне, то ця величина загалом по лікарні становитиме більше ніж 38 градусів! Адже майже у половини пацієнтів зовсім І тут коректніше використовуватиме середньозважене значення, а "вагою" кожної величини буде кількість людей. У цьому випадку результатом розрахунку буде 37,25 градусів. Різниця очевидна.

У разі середньозважених розрахунків за "вагу" може бути прийнята кількість відвантажень, кількість людей, які працюють у той чи інший день, загалом усе що завгодно, що може бути виміряне і вплинути на кінцевий результат.

Різновиди

Середньозважене значення співвідноситься із середнім арифметичним, розглянутим на початку статті. Проте перша величина, як було зазначено, враховує також вага кожного числа, використаного у розрахунках. Крім цього існують також середньозважене геометричне та гармонійне значення.

Є ще один цікавий різновид, що використовується в рядах чисел. Йдеться про зважене ковзне середнє значення. Саме на його основі розраховуються тренди. Крім самих значень та їх ваги, там також використовується періодичність. І при обчисленні середнього значення в якийсь час також враховуються величини за попередні тимчасові відрізки.

Розрахунок всіх цих значень не такий вже й складний, проте на практиці зазвичай використовується лише звичайне середньозважене значення.

Способи розрахунку

У століття повальної комп'ютеризації немає необхідності обчислювати середньозважене значення вручну. Однак не зайвим буде знати формулу розрахунку, щоб можна було перевірити та за необхідності відкоригувати отримані результати.

Найпростіше розглянути обчислення на конкретному прикладі.

Необхідно дізнатися, яка ж середня оплата праці цьому підприємстві з урахуванням кількості робочих, отримують той чи інший заробіток.

Отже, розрахунок середньозваженого значення здійснюється за допомогою такої формули:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

Для прикладу обчислення буде таким:

x = (32 * 20 +33 * 35 +34 * 14 +40 * 6) / (20 +35 +14 +6) = (640 +1155 +476 +240) / 75 = 33,48

Очевидно, що немає особливих складнощів для того, щоб вручну розрахувати середньозважене значення. Формула для обчислення цієї величини в одному з найпопулярніших додатків з формулами - Excel - виглядає як функція СУММПРОИЗВ (ряд чисел; ряд ваг)/СУМ (ряд ваг).

Найпоширенішим видом середньої є середня арифметична.

Середня арифметична проста

Проста середньоарифметична величина являє собою середній доданок, при визначенні якого загальний обсяг даної ознаки даних порівну розподіляється між усіма одиницями, що входять в дану сукупність. Так, середньорічне вироблення продукції на одного працюючого — це така величина обсягу продукції, яка припадала б на кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції однаково розподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величина обчислюється за такою формулою:

Проста середня арифметична— дорівнює відношенню суми індивідуальних значень ознаки до кількості ознак у сукупності

Приклад 1 . Бригада з 6 робочих отримує місяць 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.

Знайти середню заробітну плату
Рішення: (3+3,2+3,3+3,5+3,8+3,1)/6 = 3,32 тис. руб.

Середня арифметична зважена

Якщо обсяг сукупності даних великий і є рядом розподілу, то обчислюється зважена середньоарифметична величина. Так визначають середньозважену ціну за одиницю продукції: загальну вартість продукції (суму творів її кількості на ціну одиниці продукції) поділяють на сумарну кількість продукції.

Представимо це у вигляді наступної формули:

Зважена середня арифметична- дорівнює відношенню (суми творів значення ознаки до частоти повторення даної ознаки) до (сумі частот всіх ознак). Використовується, коли варіанти досліджуваної сукупності зустрічаються неоднакова кількість разів.

Приклад 2 . Знайти середню заробітну плату робітників цеху за місяць

Середня заробітна плата може бути отримана шляхом поділу загальної суми заробітної плати на загальну кількість робітників:

Відповідь: 3,35 тис.руб.

Середня арифметична для інтервального ряду

При розрахунку середньої арифметичної для інтервального варіаційного ряду спочатку визначають середню для кожного інтервалу, як напівсуму верхньої та нижньої меж, а потім середню всього ряду. У разі відкритих інтервалів значення нижнього або верхнього інтервалу визначається за величиною інтервалів, що примикають до них.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними.

Приклад 3. Визначити середній вік студентів вечірнього осередку.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними. Ступінь їх наближення залежить від того, якою мірою фактичний розподіл одиниць сукупності всередині інтервалу наближається до рівномірного.

При розрахунку середніх як терези можуть використовуватися не тільки абсолютні, а й відносні величини (частина):

Середня арифметична має цілу низку властивостей, які більш повно розкривають її сутність і спрощують розрахунок:

1. Твір середньої у сумі частот завжди дорівнює сумі творів варіант на частоти, тобто.

2.Середня арифметична суми величин, що варіюють, дорівнює сумі середніх арифметичних цих величин:

3.Алгебраїчна сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої дорівнює нулю:

4.Сума квадратів відхилень варіантів від середньої менше, ніж сума квадратів відхилень від будь-якої іншої довільної величини, тобто.

За дисципліною: Статистика

Варіант №2

Середні величини, що застосовуються у статистиці

Введение………………………………………………………………………….3

Теоретичне завдання

Середня величина у статистиці, її сутність та умови застосування.

1.1. Сутність середньої величини та умови застосування………….4

1.2. Види середніх величин……………………………………………8

Практичне завдання

Завдання 1,2,3………………………………………………………………………14

Заключение……………………………………………………………………….21

Список використаної літератури……………………………………………...23

Вступ

Ця контрольна робота складається з двох частин – теоретичної та практичної. У теоретичній частині буде докладно розглянута така важлива статистична категорія як середня величина з метою виявлення її сутності та умов застосування, а також виділення видів середніх та способів їхнього розрахунку.

Статистика, як відомо, вивчає масові соціально-економічні явища. Кожне з цих явищ може мати різне кількісне вираження однієї й тієї ж ознаки. Наприклад, заробітна плата однієї і тієї ж професії робітників або ціни на ринку на той самий товар і т.д. Середні величини характеризують якісні показники комерційної діяльності: витрати звернення, прибуток, рентабельність та інших.

Для вивчення будь-якої сукупності за ознаками, що варіюють (кількісно змінюються) статистика використовує середні величини.

Сутність середньої величини

Середня величина - це узагальнююча кількісна характеристика сукупності однотипних явищ за однією ознакою, що варіює. У економічній практиці використовують широке коло показників, обчислених як середніх величин.

Найважливіша властивість середньої величини полягає в тому, що вона представляє значення певної ознаки у всій сукупності одним числом, незважаючи на кількісні відмінності його в окремих одиниць сукупності, і виражає загальне, що притаманне всім одиницям сукупності, що вивчається. Отже, через характеристику одиниці сукупності вона характеризує всю сукупність загалом.

Середні величини пов'язані із законом великих чисел. Суть зв'язку у тому, що з опосередкуванні випадкові відхилення індивідуальних величин з дії закону великих чисел взаємопогашуються й у середньої виявляється основна тенденція розвитку, необхідність, закономірність. Середні величини дозволяють порівнювати показники, які стосуються сукупностей з різною чисельністю одиниць.

У сучасних умовах розвитку ринкових відносин економіки середні служать інструментом вивчення об'єктивних закономірностей соціально-економічних явищ. Однак у економічному аналізі не можна обмежуватися лише середніми показниками, оскільки за загальними сприятливими середніми можуть ховатися і серйозні недоліки у діяльності окремих суб'єктів господарювання, і паростки нового, прогресивного. Наприклад, розподіл населення за доходом дозволяє виявляти формування нових соціальних груп. Тому поряд із середніми статистичними даними необхідно враховувати особливості окремих одиниць сукупності.

Середня величина є рівнодією всіх факторів, що впливають на досліджуване явище. Тобто при розрахунку середніх величин взаємопогашуються вплив випадкових (пертурбаційних, індивідуальних) факторів і, таким чином, можливе визначення закономірності, властивої досліджуваному явищу. Адольф Кетле підкреслював, що значення методу середніх величин полягає у можливості переходу від одиничного до загального, від випадкового до закономірного, існування середніх величин є категорією об'єктивної дійсності.

Статистика вивчає масові явища та процеси. Кожне з таких явищ має як загальні для всієї сукупності, так і особливі, індивідуальні властивості. Відмінність між індивідуальними явищами називаються варіацією. Інша властивість масових явищ - властива їм близькість показників окремих явищ. Отже, взаємодія елементів сукупності призводить до обмеження варіації хоча б частини властивостей. Ця тенденція існує об'єктивно. Саме в її об'єктивності полягає причина найширшого застосування середніх величин на практиці та теорії.

Середньою величиною в статистиці називається узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища в конкретних умовах місця і часу, що відображає величину ознаки, що варіює, в розрахунку на одиницю якісно однорідної сукупності.

У економічній практиці використовується широке коло показників, обчислений як середніх величин.

За допомогою методу середніх величин статистика вирішує багато завдань.

Головне значення середніх полягає у їх узагальнюючої функції, тобто заміні безлічі різних індивідуальних значень ознаки середньою величиною, що характеризує всю сукупність явищ.

Якщо середня величина узагальнює якісно однорідні значення ознаки, вона є типовою характеристикою ознаки у цій сукупності.

Однак неправильно зводити роль середніх величин лише до характеристики типових значень ознак у однорідних за даною ознакою сукупності. Насправді значно частіше сучасна статистика використовує середні величини, узагальнюючі явно однорідні явища.

Середня величина національного доходу душу населення, середня врожайність зернових по всій країні, середнє споживання різних продуктів – це показники держави як єдиної народногосподарської системи, це звані системні середні.

Системні середні можуть характеризувати як просторові чи об'єктні системи, існуючі одномоментно (держава, галузь, регіон, планета Земля тощо.), і динамічні системи, протяжні у часі (рік, десятиліття, сезон тощо.).

Найважливіше властивість середньої величини у тому, що вона відбиває те загальне, що притаманне всім одиницям досліджуваної сукупності. Значення ознаки окремих одиниць сукупності коливаються у той чи інший бік під впливом безлічі чинників, серед яких може бути як основні, і випадкові. Наприклад, курс акцій корпорації загалом визначається її фінансовим становищем. Водночас, в окремі дні та на окремих біржах ці акції через обставини, що склалися, можуть продаватися за вищим або заниженим курсом. Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємопогашуються відхилення значень ознаки окремих одиниць сукупності, зумовлені дією випадкових факторів, та враховуються зміни, спричинені дією основних факторів. Це дозволяє середній відбивати типовий рівень ознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостей, властивих окремим одиницям.

Обчислення середнього - одне із поширених прийомів узагальнення; середній показник відображає те загальне, що характерно (типово) для всіх одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності.

Середня – це зведена характеристика закономірностей процесу у умовах, у яких протікає.

Кожна середня характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою, але характеристики будь-якої сукупності, описи її типових рис і якісних особливостей потрібна система середніх показників. Тож у практиці вітчизняної статистики вивчення соціально-економічних явищ, зазвичай, обчислюється система середніх показників. Так, наприклад, показник середньої заробітної плати оцінюються спільно з показниками середнього виробітку, фондовозброєності та енергоозброєності праці, ступенем механізації та автоматизації робіт та ін.

Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника. Тож конкретного показника, що у соціально економічному аналізі, можна обчислити лише одне справжнє значення середньої з урахуванням наукового методу расчета.

Середня величина це один з найважливіших узагальнюючих статистичних показників, що характеризує сукупність однотипних явищ за якоюсь кількісно варіюючою ознакою. Середні у статистиці це узагальнюючі показники, числа, що виражають типові характерні розміри суспільних явищ за однією кількісно варіюючою ознакою.

Види середніх величин

Види середніх величин відрізняються передусім тим, яка властивість, який параметр вихідної варіює маси індивідуальних значень ознаки може бути збережений незмінним.

Середня арифметична

Середньою арифметичною величиною називається таке середнє значення ознаки, при обчисленні якого загальний обсяг ознаки в сукупності залишається незмінним. Інакше можна сказати, що середня арифметична величина – середній доданок. За її обчисленні загальний обсяг ознаки подумки розподіляється порівну між усіма одиницями сукупності.

Середня арифметична застосовується, якщо відомі значення ознаки (х) і кількість одиниць сукупності з певним значенням ознаки (f).

Середня арифметична буває простою та зваженою.

Середня арифметична проста

Проста використовується, якщо кожне значення ознаки зустрічається один раз, тобто. для кожного значення ознаки f=1, або якщо вихідні дані не впорядковані і невідомо, скільки одиниць мають певні значення ознаки.

Формула середньої арифметичної простий має вигляд:

де – середня величина; х – значення осредняемого ознаки (варіанту), - число одиниць сукупності, що вивчається.

Середня арифметична зважена

На відміну від простої середньої, середня арифметична зважена застосовується, якщо кожне значення ознаки х зустрічається кілька разів, тобто. кожного значення ознаки f≠1. Ця середня широко використовується при обчисленні середньої на підставі дискретного ряду розподілу:

де - число груп, х - значення осредняемого ознаки, f - вага значення ознаки (частота, якщо f - число одиниць сукупності; частота, якщо f - частка одиниць з варіантом х у загальному обсязі сукупності).

Середня гармонійна

Поряд із середньою арифметичною, у статистиці застосовується середня гармонійна величина, обернена середньою арифметичною зі зворотних значень ознаки. Як і середня арифметична, вона може бути простою та виваженою. Застосовується вона тоді, коли необхідні ваги (fi) у вихідних даних не задані безпосередньо, а входять співмножником в одні з наявних показників (тобто тоді, коли відомий чисельник вихідного співвідношення середньої, але невідомий його знаменник).

Середня гармонійна зважена

Твір xf дає обсяг ознаки х для сукупності одиниць і позначається w. Якщо вихідних даних є значення осредняемого ознаки х і обсяг осредняемого ознаки w, то розрахунку середньої застосовується гармонійна зважена:

де х - значення ознаки х (варіанту); w - вага варіанти х, обсяг ознаки, що осредняется.

Середня гармонійна не зважена (проста)

Ця форма середньої, що використовується значно рідше, має такий вигляд:

де х - значення ознаки, що осредняется; n - Число значень х.

Тобто. це обернена величина середньої арифметичної простий зі зворотних значень ознаки.

Насправді середня гармонійна проста застосовується рідко, тоді, коли значення w для одиниць сукупності рівні.

Середня квадратична та середня кубічна

У ряді випадків в економічній практиці виникає потреба розрахунку середнього розміру ознаки, вираженої у квадратних чи кубічних одиницях виміру. Тоді застосовується середня квадратична (наприклад, для обчислення середньої величини сторони та квадратних ділянок, середніх діаметрів труб, стовбурів тощо) та середня кубічна (наприклад, при визначенні середньої довжини сторони та кубів).

Якщо при заміні індивідуальних величин ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінною суму квадратів вихідних величин, то середня буде квадратичною середньою величиною, простою або зваженою.

Середня квадратична проста

Проста використовується, якщо кожне значення ознаки х зустрічається один раз, загалом має вигляд:

де - Квадрат значень середньої ознаки; - Число одиниць сукупності.

Середня зважена квадратична

Середня квадратична зважена застосовується, якщо кожне значення ознаки х зустрічається f разів:

,

де f - вага варіанти х.

Середня кубічна проста і зважена

Середня кубічна проста є кубічним коренем із приватного від поділу суми кубів окремих значень ознаки на їх число:

де - значення ознаки, n- їх число.

Середня кубічна зважена:

,

де f-вага варіанти х.

Середні квадратична та кубічна мають обмежене застосування у практиці статистики. Широко користується статистика середньої квадратичної, але з самих варіантів x , та з їх відхилень від середньої при розрахунку показників варіації.

Середня може бути обчислена не для всіх, а для будь-якої частини одиниць сукупності. Прикладом такої середньої може бути середня прогресивна як одна з приватних середніх, яка обчислюється не для всіх, а тільки для "кращих" (наприклад, для показників вище або нижче за середні індивідуальні).

Середня геометрична

Якщо значення ознаки, що осредняется, істотно відстоять один від одного або задані коефіцієнтами (темпи зростання, індекси цін), то для розрахунку застосовують середню геометричну.

Середня геометрична обчислюється вилученням кореня ступеня та з творів окремих значень - варіантів ознаки х:

де n – число варіантів; П – знак твору.

Найбільш широке застосування середня геометрична отримала визначення середніх темпів зміни у лавах динаміки, і навіть у лавах розподілу.

Середні величини - це узагальнюючі показники, у яких виражають дію загальних умов, закономірність досліджуваного явища. Статистичні середні розраховуються з урахуванням масових даних правильно статистично організованого масового спостереження (суцільного чи вибіркового). Однак статистична середня буде об'єктивною і типовою, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Застосування середніх має виходити з діалектичного розуміння категорій загального та індивідуального, масового та одиничного.

Поєднання загальних середніх із груповими середніми дає можливість обмежити якісно однорідні сукупності. Розчленовуючи масу об'єктів, що становлять те чи інше складне явища, на внутрішньо однорідні, але якісно різні групи, характеризуючи кожну з груп своєї середньої, можна розкрити резерви процес нової якості, що народжується. Наприклад, розподіл населення за доходом дозволяє виявити формування нових соціальних груп. В аналітичній частині ми розглянули окремий приклад використання середньої величини. Підсумовуючи можна сказати, що область застосування та використання середніх величин у статистиці досить широка.

Практичне завдання

Завдання №1

Визначити середній курс купівлі та середній курс продажу одного та $ США

Середній курс покупки

Середній курс продажу

Завдання №2

Динаміка обсягу власної продукції громадського харчування Челябінської області за 1996-2004 роки представлена ​​в таблиці в порівнянних цінах (млн. руб.)

Зробити змикання рядів А і В. Для аналізу низки динаміки виробництва готової продукції обчислити:

1. Абсолютні прирости, темпи зростання та приросту ланцюгові та базисні

2. Середньорічне виробництво готової продукції

3. Середньорічний темп зростання та приросту продукції фірми

4. Здійснити аналітичне вирівнювання низки динаміки та обчислити прогноз на 2005 рік

5. Зобразити графічно ряд динаміки

6. Зробити висновок за результатами динаміки

1) уi Б = уi-у1 уi Ц = уi-у1

y2 Б = 2,175 - 2,04 y2 Ц = 2,175 - 2, 04 = 0,135

y3Б = 2,505 - 2,04 y3 Ц = 2, 505 - 2,175 = 0,33

y4 Б = 2,73 - 2,04 y4 Ц = 2, 73 - 2,505 = 0,225

y5 Б = 1,5 - 2,04 y5 Ц = 1, 5 - 2,73 = 1,23

y6 Б = 3,34 - 2,04 y6 Ц = 3, 34 - 1,5 = 1,84

y7 Б = 3,6 3 - 2,04 y7 Ц = 3, 6 3 - 3,34 = 0,29

y8 Б = 3,96 - 2,04 y8 Ц = 3, 96 - 3,63 = 0,33

y9 Б = 4,41-2,04 y9 Ц = 4, 41 - 3,96 = 0,45

Тр Б2 Тр Ц2

Тр Б3 Тр Ц3

Тр Б4 Тр Ц4

Тр Б5 Тр Ц5

Тр Б6 Тр Ц6

Тр Б7 Тр Ц7

Тр Б8 Тр Ц8

Тр Б9 Тр Ц9

Тр Б = (ТпрБ * 100%) - 100%

Тр Б2 = (1,066 * 100%) - 100% = 6,6%

Тр Ц3 = (1,151 * 100%) - 100% = 15,1%

2) y млн. руб. - Середня продуктивність продукції

2,921 + 0,294*(-4) = 2,921-1,176 = 1,745

2,921 + 0,294*(-3) = 2,921-0,882 = 2,039

(yt-y) = (1,745-2,04) = 0,087

(yt-yt) = (1,745-2,921) = 1,382

(y-yt) = (2,04-2,921) = 0,776

Tp

Бy

y2005 = 2,921 +1,496 * 4 = 2,921 +5,984 = 8,905

8,905+2,306*1,496=12,354

8,905-2,306*1,496=5,456

5,456 2005 12,354

Завдання №3

Статистичні дані оптових поставок продовольчих та непродовольчих та роздрібну торговельну мережу області у 2003 та 2004 роках представлені у відповідних графіках.

За даними таблиці 1 та 2 потрібно

1. Знайти загальний індекс оптового постачання продовольчих товарів у фактичних цінах;

2. Знайти загальний індекс фактичного обсягу постачання продовольчих товарів;

3. Порівняти загальні індекси та зробити відповідний висновок;

4. Знайти загальний індекс постачання непродовольчих товарів у фактичних цінах;

5. Знайти загальний індекс фізичного обсягу постачання непродовольчих товарів;

6. Порівняти отримані індекси та зробити висновок щодо непродовольчих товарів;

7. Знайти зведений загальний індекси постачання всієї товарної маси у фактичних цінах;

8. Знайти зведений загальний індекс фізичного обсягу (по всій товарній масі товарів);

9. Порівняти отриманий зведені індекси та зробити відповідний висновок.

	Базисний період			Звітний період (2004)			Постачання звітного періоду в цінах базисного періоду
			1,291-0,681=0,61= - 39 Висновок Наприкінці підіб'ємо підсумки. Середні величини - це узагальнюючі показники, у яких виражають дію загальних умов, закономірність досліджуваного явища. Статистичні середні розраховуються з урахуванням масових даних правильно статистично організованого масового спостереження (суцільного чи вибіркового). Однак статистична середня буде об'єктивною і типовою, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Застосування середніх має виходити з діалектичного розуміння категорій загального та індивідуального, масового та одиничного. Середня відбиває те загальне, що складається у кожному окремому, одиничному об'єкті завдяки цьому середня отримує велике значення виявлення закономірностей властивих масовим суспільним явищам і непомітних в одиничних явищах. Відхилення індивідуального від загального – прояв процесу розвитку. В окремих поодиноких випадках можуть бути закладені елементи нового, передового. І тут саме конкретних чинник, взяті і натомість середніх величин, характеризує процес розвитку. Тому в середній і відображається характерний, типовий, реальний рівень явищ, що вивчаються. Характеристики цих рівнів та їх змін у часі та у просторі є одним із головних завдань середніх величин. Так, через середні проявляється, наприклад, властива підприємствам певному етапі економічного розвитку; зміна добробуту населення знаходить своє відображення у середніх показниках заробітної плати, доходів сім'ї в цілому та за окремими соціальними групами, рівня споживання продуктів, товарів та послуг. Середній показник - це значення типове (звичайне, нормальне, що склалося в цілому), але таким воно є через те, що формується в нормальних, природних умовах існування конкретного масового явища, що розглядається в цілому. Середня відображає об'єктивну властивість явища. Насправді часто існує тільки явища, що відхиляються, і середня як явища може і не існувати, хоча поняття типовості явища і запозичується з дійсності. Середня величина є відображення значення досліджуваної ознаки і, отже, вимірюється у тому ж розміреності як і ця ознака. Однак існують різні способи наближеного визначення рівня розподілу чисельності для порівняння зведених ознак, що безпосередньо не порівняються між собою, наприклад середня чисельність населення по відношенню до території (середня щільність населення). Залежно від того, який саме фактор потрібно елімінувати, перебуватиме і зміст середньої. Поєднання загальних середніх із груповими середніми дає можливість обмежити якісно однорідні сукупності. Розчленовуючи масу об'єктів, що становлять те чи інше складне явища, на внутрішньо однорідні, але якісно різні групи, характеризуючи кожну з груп своєї середньої, можна розкрити резерви процес нової якості, що народжується. Наприклад, розподіл населення за доходом дозволяє виявити формування нових соціальних груп. В аналітичній частині ми розглянули окремий приклад використання середньої величини. Підсумовуючи можна сказати, що область застосування та використання середніх величин у статистиці досить широка Список використаної літератури 1. Гусаров, В.М. Теорія статистики якістю [Текст]: навч. посібник/В.М. Гусарів посібник для вузів. - М., 1998 2. Єдронова, Н.М. Загальна теорія статистики [Текст]: підручник/За ред. Н.М. Едронової - М.: Фінанси та статистика 2001 - 648 с. 3. Єлісєєва І.І., Юзбашев М.М. Загальна теорія статистики [Текст]: Підручник/За ред. чл.-кор. РАН І.І.Єлісєєвої. - 4-те вид., Перероб. та дод. - М.: Фінанси та статистика, 1999. - 480с.: іл. 4. Єфімова М.Р., Петрова Є.В., Рум'янцев В.М. Загальна теорія статистики: [Текст]: Підручник. - М: ІНФРА-М, 1996. - 416с. 5. Ряузова, Н.М. Загальна теорія статистики [Текст]: підручник/За ред. Н.М. Ряузова - М.: Фінанси та статистика, 1984. Гусаров В.М. Теорія статистики: Навч. Посібник для вузів. - М., 1998.-С.60. Єлісєєва І.І., Юзбашев М.М. Загальна теорія статистики. - М., 1999.-С.76. Гусаров В.М. Теорія статистики: Навч. Посібник для вузів. -М., 1998.-С.61.