Знаючи деякі параметри куба, можна легко виявити його ребро. Для цього досить лише мати інформацію про його обсяг, площу грані або довжину діагоналі грані або куба.
Вам знадобиться
- Калькулятор
Інструкція
1. В основному зустрічаються чотири типи завдань, у яких потрібно виявити ребро куба. Це визначення довжини ребра куба за площею грані куба, за обсягом куба, діагоналі грані куба і діагоналі куба. Розглянемо всі чотири варіанти таких завдань. (Інші завдання, як водиться, є варіаціями перелічених вище або завданнями по тригонометрії, що мають вкрай непряме ставлення до розглянутого питання) Якщо вести площа грані куба, то виявити ребро куба дуже легко. Тому що грань куба є квадратом зі стороною, що дорівнює ребру куба, то її площа дорівнює квадрату ребра куба. Отже довжина ребра куба дорівнює кореню квадратному з площі його грані, тобто: а = S, де а - Довжина ребра куба, S - площа грані куба.
2. Знаходження грані куба за його обсягом ще простіше. Розглядаючи, що об'єм куба дорівнює кубу (третього ступеня) довжини ребра куба, отримуємо, що довжина ребра куба дорівнює кореню кубічному (третього ступеня) з його об'єму, тобто:а=?V (кубічний корінь), деа – довжина ребра куба ,V - обсяг куба.
3. Дещо важче знаходження довжини ребра куба за знаменитими довжинами діагоналей. Позначимо через: а – довжину ребра куба; b – довжину діагоналі грані куба; c – довжину діагоналі куба. Як видно з малюнка, діагональ грані та ребра куба утворюють прямокутний рівносторонній трикутник. Отже, за теоремою Піфагора: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2 (^ - значок зведення в ступінь). Звідси знаходимо: a =? квадрата діагоналі грані).
4. Щоб виявити ребро куба з його діагоналі, знову скористаємося малюнком. Діагональ куба (с), діагональ грані (b) та ребро куба (а) утворюють прямокутний трикутник. Отже, згідно з теоремою Піфагора:a^2+b^2=c^2.Скористаємося вищевстановленою залежністю між a і b і підставимо у формулуb^2=a^2+a^2. Отримуємо:a^2+a^2+a^2=c^2, звідки знаходимо:3*a^2=c^2, отже:a=?(c^2/3).
Куб - це прямокутний паралелепіпед, всі ребра якого рівні. Тому загальна формула для обсягу прямокутного паралелепіпеда і формула для площі його поверхні у разі кубаспрощуються. Також обсяг кубаі його площаповерхні можна виявити, знаючи обсяг кулі, вписаної в нього, або кулі, описаної навколо нього.
Вам знадобиться
- довжина сторони куба, радіус вписаної та описаної кулі
Інструкція
1. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює: V = abc – де a, b, c – його виміри. Відтак обсяг кубадорівнює V = a * a * a = a ^ 3, де a - Довжина сторони куба.Площа поверхні кубадорівнює сумі площ усіх його граней. Кожного у кубашість граней, слідче площайого поверхні дорівнює S = 6 * (a ^ 2).
2. Нехай кулю вписано в куб. Мабуть, діаметр цієї кулі дорівнюватиме стороні куба. Підставляючи довжину діаметра у вирази для обсягу замість довжини ребра кубаі застосовуючи, що діаметр дорівнює подвоєному радіусу, отримаємо тоді V = d*d*d = 2r*2r*2r = 8*(r^3), де d – діаметр вписаного кола, а r – радіус вписаного кола. кубатоді дорівнюватиме S = 6*(d^2) = 24*(r^2).
3. Нехай куля описана навколо куба. Тоді його діаметр співпадатиме з діагоналлю куба. Діагональ кубапроходить через центр кубаі з'єднує дві його протилежні точки. Розгляньте для початку одну з граней куба. Ребра цієї грані є катетами прямокутного трикутника, де діагональ грані d буде гіпотенузою. Тоді за теоремою Піфагора отримаємо: d = sqrt((a^2)+(a^2)) = sqrt(2)*a.
4. Після цього розгляньте трикутник у якому гіпотенузою буде діагональ куба, а діагональ грані d та одне з ребер куба a – його катетами. Подібно до теореми Піфагора отримаємо: D = sqrt((d^2)+(a^2)) = sqrt(2*(a^2)+(a^2)) = a*sqrt(3). за виведеною формулою діагональ кубадорівнює D = a * sqrt (3). Звідси, a = D/sqrt(3) = 2R/sqrt(3). Отже, V = 8*(R^3)/(3*sqrt(3)), де R – радіус описаної кулі.Площа поверхні кубадорівнює S = 6*((D/sqrt(3))^2) = 6*(D^2)/3 = 2*(D^2) = 8*(R^2).
Кубом називають об'ємний багатокутник із шістьма гранями позитивної форми – вірний гексаедр. Число позитивних граней визначає форму будь-якої з них - це квадрати. Це, ймовірно, найкомфортніша з багатогранних фігур з погляду визначення її геометричних властивостей у звичній нам тривимірній системі координат. Усі її параметри можна обчислити, знаючи кожного лише довжину одного ребра.
Інструкція
1. Якщо у вас є певний фізичний об'єкт у формі куба, то для обчислення його обсягу виміряйте довжину будь-якої грані, а після цього використовуйте алгоритм, описаний у подальшому кроці. Якщо ж такий вимір неможливо, то можна, скажімо, спробувати визначити обсяг витісненої води, розмістивши в неї даний кубічний об'єкт. Якщо вдасться з'ясувати кількість витісненої води в літрах, то результат можна перевести в кубічні дециметри - один літр в системі СІ прирівняний до одного кубічного дециметра.
2. Зводьте в третій ступінь відоме значення довжини ребра куба, тобто довжину сторони квадрата, що становить будь-яку з його граней. Утилітарні розрахунки можна зробити на будь-якому калькуляторі або за допомогою пошукової системи Google. Якщо в поле пошукового запиту ввести, скажімо, «3,14 у кубі», то пошуковик одразу (без натискання кнопки) покаже результат.
3. Якщо відома лише довжина діагоналі куба, то цього теж цілком достатньо для обчислення його обсягу. Діагоналлю позитивного октаедра називають відрізок, що з'єднує дві його протилежні щодо центру вершини. Довжину такої діагоналі через теорему Піфагора можна виразити як довжину ребра куба, Поділену на корінь з 3. З цього випливає, що для знаходження обсягу кубаНеобхідно його діагональ поділити на корінь з трьох і результат побудувати в куб.
4. Подібно можна обчислити обсяг кубазнаючи тільки довжину діагоналі його межі. З тієї ж теореми Піфагора випливає, що довжина ребра кубадорівнює діагоналі грані, поділеної на корінь із 2-х. Обсяг у цьому випадку можна визначити, поділивши вестиму довжину діагоналі ребра на корінь з двох і побудувавши результат в куб.
5. Не забувайте про розмірність отриманого результату – якщо ви обчислюєте обсяг, виходячи з вестимих розмірів у сантиметрах, то результат буде отриманий у кубічних сантиметрах. Один дециметр містить десять сантиметрів, а один кубічний дециметр (літр) – 1000 (десять у кубі) кубічних сантиметрів. Відповідно, для переведення підсумку в кубічні дециметри необхідно розділити отримане значення в сантиметрах на 1000.
Відео на тему
Продовжуємо розглядати завдання з кубами та паралелепіпедами. Основні формули можна подивитися на початку. Подані нижче завдання пов'язані зі зміною обсягу та площі поверхні зі збільшенням (зменшенням) ребра.
В одному із завдань використовується поняття рівновеликості. Що це означає? Рівновеликі тіла це тіла, що мають рівний обсяг. Наприклад, якщо сказано, що куля рівновелика кубу - це означає, що куля і куб мають рівний обсяг. Розглянемо завдання:
Якщо кожне ребро куба збільшити на 9, його площа поверхні збільшиться на 594. Знайдіть ребро куба.
Оскільки існує залежність площі поверхні куба від його ребра, то, звичайно ж, скористаємося формулою площі поверхні куба:
Сказано, що зі збільшенням ребра на 9 площа поверхні збільшується на 594. Запишемо формулу площі поверхні для збільшеного куба:
Ребро куба дорівнює 1.
Відповідь: 1
Три ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 4, 16, 27. Знайдіть ребро рівновеликого йому куба.
Рівновеликий куб – це куб, обсяг якого дорівнює обсягу паралелепіпеда. Відомо, що об'єм куба знаходиться за формулою:
Отже, якщо ми знайдемо об'єм паралелепіпеда, то зможемо знайти ребро куба. Об'єм паралелепіпеда дорівнює:
Таким чином:
* Як витягти корінь третього ступеня з великої кількості можна подивитися.
Відповідь: 12
У скільки разів збільшиться об'єм куба, якщо його ребра збільшити у шість разів?
Об'єм куба з ребром aдорівнює V 1 = a 3 .
Об'єм куба з ребром у шість разів більший дорівнює V 2 = (6a) 3 .
Розділимо V 2 на V 1 і отримаємо шукану величину:
Об'єм куба збільшиться у 216 разів.
Відповідь: 216
Якщо кожне ребро куба збільшити на 3, його обсяг збільшиться на 819. Знайдіть ребро куба.
Нехай ребро куба одно a.
Запишемо, чому дорівнює обсяг для вихідного куба і для збільшеного:
Об'єм куба з ребромaдорівнює V 1 = a 3 .
Об'єм куба з ребром a+ 3 дорівнює V 2 = (a + 3) 3 .
Сказано, що обсяг збільшився на 819, отже:
Розв'яжемо рівняння:
Відповідне значення a= 8. Негативне значення для цієї задачі не має фізичного сенсу. Таким чином, ребро куба дорівнює 8.
Відповідь: 8
У скільки разів збільшиться площа поверхні куба, якщо його ребро збільшити у 24 рази?
Запишемо формулу площі поверхні вихідного куба та формулу площі поверхні для куба зі збільшеним ребром:
Тепер залишається тільки знайти відношення площ:
Таким чином, площа поверхні збільшиться у 576 разів.
Відповідь: 576
Об'єм одного куба в 729 разів більший за об'єм іншого куба. У скільки разів площа поверхні першого куба більша за площу поверхні другого куба?
Зазначимо, перший куб це більший куб, другий це менший куб. Ми легко вирішимо це завдання, якщо визначимо у скільки разів ребро першого куба більше ребра другого. Нехай ребро малого (другого) куба дорівнює х, а більшого у. Тоді
За умовою:
Значить
Отримали, що ребро першого куба більшого ребра другого в 9 разів, тобто
Тепер запишемо площу поверхні для обох кубів:
27080. Три ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 4, 6, 9. Знайдіть ребро рівновеликого йому куба.
27081. У скільки разів збільшиться об'єм куба, якщо його ребра збільшити втричі?
27102. Якщо кожне ребро куба збільшити на 1, його обсяг збільшиться на 19. Знайдіть ребро куба.
27168. Об'єм одного куба в 8 разів більший за об'єм іншого куба. У скільки разів площа поверхні першого куба більша за площу поверхні другого куба?
Є ще відмінний підхід для вирішення завдань, в яких де йдеться про зміну об'єму та площі поверхні для таких тіл як: куб, паралелепіпед, куля, правильна чотирикутна піраміда, конус, циліндр, при збільшенні (зменшенні) ребра (радіуса) у деяку кількість разів. Такі завдання практично можна вирішувати в один рядок. Про це розповім у майбутньому, не пропустіть!
Всього найкращого! Успіху Вам!
З повагою, Олександр.
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.
Знаючи деякі параметри куба, можна легко знайти його ребро. Для цього достатньо лише мати інформацію про його обсяг, площу грані або довжину діагоналі грані або куба.
Вам знадобиться
- Калькулятор
Інструкція
Здебільшого зустрічаються чотири типи завдань, у яких необхідно знайти ребро куба. Це визначення довжини ребра куба за площею грані куба, за обсягом куба, діагоналі грані куба і діагоналі куба. Розглянемо всі чотири варіанти таких завдань. (Інші завдання, як правило, є варіаціями перерахованих вище або завданнями по тригонометрії, що мають дуже непряме відношення до питання, що розглядається)
Якщо відома площа грані куба, знайти ребро куба дуже просто. Так як грань куба є квадратом зі стороною, що дорівнює ребру куба, то її площа дорівнює квадрату ребра куба. Отже довжина ребра куба дорівнює кореню квадратному із площі його грані, тобто:
а - довжина ребра куба,
S – площа грані куба.
Знаходження грані куба за його обсягом ще простіше. Враховуючи, що об'єм куба дорівнює кубу (третього ступеня) довжини ребра куба, отримуємо, що довжина ребра куба дорівнює кореню кубічного (третього ступеня) з його об'єму, тобто:
а=?V (кубічний корінь), де
а - довжина ребра куба,
V – обсяг куба.
Дещо складніше знаходження довжини ребра куба за відомими довжинами діагоналей. Позначимо через:
а - довжину ребра куба-
b - довжину діагоналі грані куба-
c – довжину діагоналі куба.
Як видно з малюнка, діагональ грані та ребра куба утворюють прямокутний рівносторонній трикутник. Отже, за теоремою Піфагора:
(^ - значок зведення у ступінь).
Звідси знаходимо:
(щоб знайти ребро куба потрібно витягти квадратний корінь із половини квадрата діагоналі грані).
Щоб знайти ребро куба з його діагоналі, знову скористаємося малюнком. Діагональ куба (с), діагональ грані (b) та ребро куба (а) утворюють прямокутний трикутник. Отже, відповідно до теореми Піфагора:
Скористаємося вищевстановленою залежністю між a та b і підставимо у формулу
b^2=a^2+a^2. Отримуємо:
a^2+a^2+a^2=c^2, звідки знаходимо:
3*a^2=c^2, отже.
Довжини ребра куба за площею грані куба, за обсягом куба, діагоналі грані куба і діагоналі куба. Розглянемо всі чотири варіанти таких завдань. (Інші завдання, як , є варіаціями перерахованих вище або завданнями по тригонометрії, що мають дуже непряме відношення до питання, що розглядається)
Якщо відома площа грані куба, знайти ребро куба дуже просто. Так як грань куба є квадратом зі стороною, що дорівнює ребру куба, то її площа дорівнює квадрату ребра куба. Отже довжина ребра куба дорівнює кореню квадратному із площі його грані, тобто:
а - довжина ребра куба,
S – площа грані куба.
Знаходження грані куба за його обсягом ще простіше. Враховуючи, що об'єм куба куба (третього ступеня) довжини ребра куба, отримуємо, що довжина ребра куба дорівнює кореню кубічного (третього ступеня) з його об'єму, тобто:
а - довжина ребра куба,
V – обсяг куба.
Дещо складніше знаходження довжини ребра куба за відомими довжинами діагоналей. Позначимо через:
а – довжину ребра куба;
b – довжину діагоналі грані куба;
c – довжину діагоналі куба.
Як видно з малюнка, діагональ грані та ребра куба утворюють прямокутний . Отже, за теоремою Піфагора:
Звідси знаходимо:
(щоб знайти ребро куба потрібно витягти квадратний корінь із половини квадрата діагоналі грані).
Щоб знайти ребро куба з його діагоналі, знову скористаємося малюнком. Діагональ куба (с), діагональ грані (b) та ребро куба (а) утворюють прямокутний трикутник. Отже, відповідно до теореми Піфагора:
Скористаємося вищевстановленою залежністю між a та b і підставимо у формулу
b^2=a^2+a^2. Отримуємо:
a^2+a^2+a^2=c^2, звідки знаходимо:
3*a^2=c^2, отже:
Джерела:
- ребро куба малюнок
Куб - це прямокутний паралелепіпед, всі ребра якого рівні. Тому загальна формула для обсягу прямокутного паралелепіпеда та формула для площі його поверхні у разі кубаспрощуються. Також обсяг кубаі його площаповерхні можна знайти, знаючи обсяг кулі, вписаної в нього, або кулі, описаної навколо нього.
Вам знадобиться
- довжина сторони куба, радіус вписаної та описаної кулі
Інструкція
Об'єм дорівнює: V = abc - де a, b, c - його. Тому кубадорівнює V = a * a * a = a ^ 3, де a - довжина сторони куба.Площа поверхні кубадорівнює сумі площ усіх його граней. Всього у кубашість граней, тому площайого поверхні дорівнює S = 6 * (a ^ 2).
Нехай кулю вписано в куб. Очевидно, діаметр цієї кулі дорівнюватиме стороні куба. Підставляючи довжину у вирази замість довжини ребра кубаі використовуючи, що діаметр дорівнює подвоєному, отримаємо тоді V = d*d*d = 2r*2r*2r = 8*(r^3), де d - діаметр вписаного кола, а r - радіус вписаного кола. кубатоді дорівнюватиме S = 6*(d^2) = 24*(r^2).
Нехай куля описана куба. Тоді його діаметр співпадатиме з діагоналлю куба. Діагональ кубапроходить через центр кубаі з'єднує дві точки.
Розгляньте для початку одну з граней куба. Ребра цієї грані є катетами , в якому діагональ грані d буде гіпотенузою. Тоді за теоремою Піфагора отримаємо: d = sqrt((a^2)+(a^2)) = sqrt(2)*a.
Потім розгляньте трикутник у якому гіпотенузою буде діагональ куба, а діагональ грані d та одне з ребер куба a – його катетами. Аналогічно, за теоремою Піфагора отримаємо: D = sqrt ((d 2) + (a 2)) = sqrt (2 * (a 2) + (a 2)) = a * sqrt (3).
Отже, за виведеною формулою діагональ кубадорівнює D = a * sqrt (3). Звідси a = D/sqrt(3) = 2R/sqrt(3). Отже, V = 8*(R^3)/(3*sqrt(3)), де R - радіус описаної кулі.Площа поверхні кубадорівнює S = 6*((D/sqrt(3))^2) = 6*(D^2)/3 = 2*(D^2) = 8*(R^2).
Джерела:
- обсяг куба дорівнює
Кубом називають об'ємний багатокутник із шістьма гранями правильної форми - правильний гексаедр. Кількість правильних граней визначає форму кожної їх - це квадрати. Це, мабуть, найзручніша з багатогранних постатей з погляду визначення її геометричних властивостей у звичній нам тривимірній системі координат. Усі її параметри можна обчислити, знаючи лише довжину одного ребра.
Інструкція
Якщо у вас є якийсь фізичний об'єкт у формі куба, то для обчислення його обсягу виміряйте довжину будь-якої грані, а потім використовуйте алгоритм, описаний у наступному кроці. Якщо ж вимір неможливий, можна, наприклад, спробувати визначити обсяг витісненої води, помістивши у ній цей кубічний об'єкт. Якщо вдасться з'ясувати кількість витісненої води в літрах, то результат можна перевести в кубічні - один літр в системі СІ прирівняний до одного кубічного дециметра.
Зводьте в третій ступінь відоме значення довжини ребра куба, тобто довжину сторони
Подані нижче завдання прості, більшість їх вирішуються в 1 дію. У цій статті ми розглядатимемо прямокутний паралелепіпед (усі грані прямокутники). Що необхідно знати та розуміти? Спочатку подивіться формули обсягу і площі поверхні куба і прямокутного паралелепіпеда, а також формулу діагоналі, можна .Коротко перерахуємо формули:
Прямокутний паралелепіпед
Нехай ребра дорівнюватимуть а,b, с.
Площа поверхні:
Об `єм:
Діагональ:
Куб
Нехай ребро куба одно а.
Площа поверхні:
Об `єм:
Діагональ:
*Зрозуміло, що формули куба є наслідком із відповідних формул прямокутного паралелепіпеда. Куб - це паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, грані є квадратами.
Розглянемо завдання:
Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 5 і 8. Площа поверхні цього паралелепіпеда дорівнює 210. Знайдіть третє ребро, що виходить із тієї ж вершини.
Позначимо відомі ребра за аі b, а невідоме за c.
Тоді формула площі поверхні паралелепіпеда виражається як:
Залишається підставити дані та вирішити рівняння:
Відповідь: 5
Площа поверхні куба дорівнює 200. Знайдіть діагональ.
Побудуємо діагональ куба:
Площа поверхні куба виражається через його ребро аяк S = 6а 2 , значить можемо знайти ребро а:
Діагональ грані куба за теоремою Піфагора дорівнює:
Діагональ куба за теоремою Піфагора дорівнює:
Тоді
*Можна було відразу скористатися формулою діагоналі куба:
Відповідь: 10
Об'єм куба дорівнює 343. Знайдіть площу його поверхні.
Площа поверхні куба виражається через його реброаяк S = 6 а 2 , а обсяг дорівнює V = а 3 . Отже можемо знайти ребро куба і потім обчислити площу поверхні:
Таким чином, площа поверхні куба дорівнює:
Відповідь: 294
27060. Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 1 і 2. Площа поверхні паралелепіпеда дорівнює 16. Знайдіть його діагональ.
Діагональ паралелепіпеда обчислюється за формулою:
де а, b і з ребра.
Знайдемо третє ребро. Ми можемо це зробити скориставшись формулою площі поверхні паралелепіпеда:
Підставляємо дані та вирішуємо рівняння:
Таким чином, діагональ дорівнюватиме:
Відповідь: 3
27063. Знайдіть бічне ребро правильної чотирикутної призми, якщо сторона її основи дорівнює 20, а площа поверхні дорівнює 1760.
В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат. Зрозуміло, що вона є паралелепіпедом. Формули застосовуються самі. Нехай бічне ребро дорівнюватиме х. Його ми можемо знайти, використовуючи формулу площі поверхні:
Відповідь: 12
З одиничного куба вирізано правильну чотирикутну призму зі стороною основи 0,8 і бічним ребром 1. Знайдіть площу поверхні частини куба, що залишилася.
Одиничний куб це куб з ребром рівним 1.
Площу поверхні багатогранника, що вийшов, можна обчислити наступним чином: від площі поверхні куба потрібно відняти дві площі підстави вирізаної призми і додати чотири площі бічної грані вирізаної призми зі сторонами 1 і 0,8:
Відповідь: 7,92
Площа грані прямокутного паралелепіпеда дорівнює 48. Ребро, перпендикулярне до цієї грані, дорівнює 8. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
Достатньо застосувати формулу об'єму...........................
Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його ребер, або добутку площі основи на висоту. У разі роль підстави грає грань, роль висоти ребро, яке їй перпендикулярно. Отримаємо:
Відповідь: 384
Наступні завдання ви вирішите легко.
27077. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 64. Одне з його ребер дорівнює 4. Знайдіть площу грані паралелепіпеда, перпендикулярної до цього ребра. Відповідь: 16.
27078. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 60. Площа однієї його грані дорівнює 12. Знайдіть ребро паралелепіпеда, перпендикулярне до цієї грані. Відповідь: 5.
27079. Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 8 і 6. Об'єм паралелепіпеда дорівнює 240. Знайдіть третє ребро паралелепіпеда, що виходить з тієї ж вершини. Відповідь: 4.
Ще для самостійного вирішення:
27054. Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 3 і 4. Площа поверхні цього паралелепіпеда дорівнює 94. Знайдіть третє ребро, що виходить із тієї ж вершини.
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.