Змінюються, тому що на кожне з тіл діють сили взаємодії, проте сума імпульсів залишається постійною. Це і називається законом збереження імпульсу.
Другий закон Ньютонавиражається формулою. Її можна записати іншим способом, якщо згадати, що прискорення дорівнює швидкості зміни швидкості тіла. Для рівноприскореного руху формула матиме вигляд:
Якщо підставити цей вираз у формулу, отримаємо:
,
Цю формулу можна переписати у вигляді:
У правій частині цієї рівності записано зміну добутку маси тіла на його швидкість. Добуток маси тіла на швидкість є фізичною величиною, яка називається імпульсом тілаабо кількістю руху тіла.
Імпульсом тіланазивають добуток маси тіла на його швидкість. Це — векторна величина. Напрямок вектора імпульсу збігається із напрямом вектора швидкості.
Іншими словами, тіло масою m, що рухається зі швидкістю має імпульс . За одиницю імпульсу СІ прийнятий імпульс тіла масою 1 кг , що рухається зі швидкістю 1 м/с (кг·м/с). При взаємодії друг з одним двох тіл якщо перше діє друге тіло силою , то, згідно з третім законом Ньютона , друге діє перше силою . Позначимо маси цих двох тіл через m 1 та m 2 , які швидкості відносно будь-якої системи відліку через і . Через деякий час tв результаті взаємодії тіл їх швидкості зміняться і стануть рівними і . Підставивши ці значення формулу, отримаємо:
,
,
Отже,
Змінимо знаки обох частин рівності на протилежні та запишемо у вигляді
У лівій частині рівності - сума початкових імпульсів двох тіл, у правій частині - сума імпульсів тих самих тіл через час t. Суми рівні між собою. Таким чином, незважаючи на те. що імпульс кожного тіла при взаємодії змінюється, повний імпульс (сума імпульсів обох тіл) залишається незмінним.
Дійсно і тоді, коли взаємодіють кілька тіл. Однак, важливо, щоб ці тіла взаємодіяли тільки один з одним і на них не діяли сили з боку інших тіл, що не входять до системи (або щоб зовнішні сили врівноважувалися). Група тіл, що не взаємодіє з іншими тілами, називається замкнутою системоюсправедливий лише для замкнутих систем.
Інструкція
Знайдіть масу тіла, що рухається, і виміряйте його рухи. Після його взаємодії з іншим тілом у досліджуваного тіла зміниться швидкість. У цьому випадку від кінцевої (після взаємодії) відніміть початкову швидкість і помножте різницю на масу тіла Δp=m∙(v2-v1). Миттєву швидкість виміряйте радаром, масу тіла – вагами. Якщо після взаємодії тіло почало рухатися у бік, протилежну тій, коду рухалося до взаємодії, кінцева швидкість буде негативною. Якщо позитивний – він виріс, якщо негативний – зменшився.
Оскільки причиною зміни швидкості будь-якого тіла є сила, вона ж і є причиною зміни імпульсу. Щоб розрахувати зміну імпульсу будь-якого тіла, достатньо знайти імпульс сили, що діяла дане тіло в деякий час. За допомогою динамометра виміряйте силу, яка змушує тіло змінювати швидкість, надаючи йому прискорення. Одночасно за допомогою секундоміра виміряйте час, який ця сила діяла на тіло. Якщо сила змушує тіло рухатися, то вважайте її позитивною, якщо ж гальмує його рух – вважайте її негативною. Імпульс сили, що дорівнює зміні імпульсу, буде добутку сили на час її дії Δp=F∙Δt.
Визначення миттєвої швидкості спідометром або радаром Якщо тіло, що рухається, обладнане спідометром (), то на його шкалі або електронному табло буде безперервно відображатися миттєва швидкістьна даний момент часу. При спостереженні за тілом із нерухомої точки (), направте на нього сигнал радара, на його табло відобразиться миттєва швидкістьтіла на даний момент часу.
Відео на тему
Сила – це фізична величина, що діє тіло, яка, зокрема, повідомляє йому деяке прискорення. Щоб знайти імпульс сили, Необхідно визначити зміну кількості руху, тобто. імпульса самого тіла.
Інструкція
Рух матеріальної точки впливом на деяку силиабо сил, що надають їй прискорення. Результатом програми силипевної величини протягом деякого є відповідна кількість. Імпульсом силиназивається міра її дії за певний проміжок часу: Pс = Fср ∆t, де Fср – середня сила, що діє на тіло; ∆t – часовий інтервал.
Таким чином, імпульс силидорівнює зміні імпульса тіла: Pc = ∆Pт = m (v – v0), де v0 – початкова швидкість; v – кінцева швидкість тіла.
Отримана рівність відображає другий закон Ньютона стосовно інерційної системи відліку: похідна функції матеріальної точки за часом дорівнює величині постійної сили, що діє на неї: Fср ∆t = ∆Pт → Fср = dPт/dt.
Сумарний імпульссистеми кількох тіл може змінитися тільки під впливом зовнішніх сил, причому його значення прямо пропорційне їх сумі. Це твердження є наслідком другого та третього законів Ньютона. Нехай із трьох тіл, що взаємодіють, тоді вірно: Pс1 + Pc2 + Pc3 = ∆Pт1 + ∆Pт2 + ∆Pт3, де Pci – імпульс сили, що діє на тіло i; імпульстіла i.
Ця рівність показує, що й сума зовнішніх сил нульова, то загальний імпульсзамкнута система тіл завжди постійна, незважаючи на те, що внутрішні сили
Вивчивши закони Ньютона, бачимо, що з допомогою можна вирішити основні завдання механіки, якщо відомі всі сили, які діють тіло. Є ситуації, у яких визначити ці величини важко чи взагалі неможливо. Розглянемо кілька таких ситуацій.При зіткненні двох більярдних куль або автомобілів ми можемо стверджувати про чинні сили, що це їхня природа, тут діють сили пружності. Однак ні їх модулів, ні їх напрямів ми точно встановити не зможемо, тим більше, що ці сили мають вкрай малий час дії.При русі ракет і реактивних літаків ми також мало що можемо сказати про сили, що приводять вказані тіла в рух.У таких випадках застосовуються методи, що дозволяють уникнути рішення рівнянь руху, а відразу скористатися наслідками цих рівнянь. При цьому запроваджуються нові фізичні величини. Розглянемо одну з цих величин, яка називається імпульсом тіла
Стріла, що випускається із цибулі. Чим довше продовжується контакт тятиви зі стрілою (∆t), тим більша зміна імпульсу стріли (∆), а отже, тим вища її кінцева швидкість.
Дві зіштовхуються кульки. Поки кульки знаходяться в контакті, вони діють одна на одну з рівними за модулем силами, як навчає нас третій закон Ньютона. Отже, зміни їх імпульсів також мають бути рівними по модулю, навіть якщо маси кульок не рівні.
Проаналізувавши формули, можна зробити два важливі висновки:
1. Однакові сили, що діють протягом однакового проміжку часу, спричиняють однакові зміни імпульсу у різних тіл, незалежно від маси останніх.
2. Одного і того ж зміни імпульсу тіла можна досягти, або діючи невеликою силою протягом тривалого проміжку часу, або короткочасно діючи великою силою на те ж саме тіло.
Згідно з другим законом Ньютона, можемо записати:
∆t = ∆ = ∆ / ∆t
Відношення зміни імпульсу тіла до проміжку часу, протягом якого ця зміна відбулася, дорівнює сумі сил, що діють на тіло.
Проаналізувавши це рівняння, бачимо, що другий закон Ньютона дозволяє розширити клас розв'язуваних завдань, і включити завдання, у яких маса тіл змінюється з часом.
Якщо ж спробувати вирішити завдання зі змінною масою тіл за допомогою звичайного формулювання другого закону Ньютона:
то спроба такого рішення призвела б до помилки.
Прикладом тому можуть бути вже згадувані реактивний літак або космічна ракета, які під час руху спалюють паливо, і продукти цього спалюваного викидають у навколишній простір. Природно, маса літака чи ракети зменшується у міру витрати палива.
Незважаючи на те, що другий закон Ньютона у вигляді «рівнодіюча сила дорівнює добутку маси тіла на його прискорення» дозволяє вирішити досить широкий клас завдань, існують випадки руху тіл, які не можуть бути повністю описані цим рівнянням. У таких випадках необхідно застосовувати інше формулювання другого закону, що пов'язує зміну імпульсу тіла з імпульсом сили, що діє. Крім того, існує ряд завдань, в яких розв'язання рівнянь руху є математично вкрай скрутним або взагалі неможливим. У разі нам корисно використовувати поняття імпульсу.
За допомогою закону збереження імпульсу та взаємозв'язку імпульсу сили та імпульсу тіла ми можемо вивести другий та третій закон Ньютона.
Другий закон Ньютона виводиться із співвідношення імпульсу сили та імпульсу тіла.
Імпульс сили дорівнює зміні імпульсу тіла:
Зробивши відповідні переноси, ми отримаємо залежність сили від прискорення, адже прискорення визначається як відношення зміни швидкості до часу, протягом якого ця зміна відбулася:
Підставивши значення в нашу формулу, отримаємо формулу другого закону Ньютона:
Для виведення третього закону Ньютона нам знадобиться закон збереження імпульсу.
Вектори підкреслюють векторність швидкості, тобто те, що швидкість може змінюватися у напрямку. Після перетворень отримаємо:
Оскільки проміжок часу в замкнутій системі був постійною величиною для обох тіл, ми можемо записати:
Ми отримали третій закон Ньютона: два тіла взаємодіють один з одним із силами, рівними за величиною та протилежними у напрямку. Вектори цих сил спрямовані назустріч один одному, відповідно, модулі цих сил рівні за своїм значенням.
Список литературы
- Тихомирова С.А., Яворський Б.М. Фізика (базовий рівень) – М.: Мнемозіна, 2012.
- Генденштейн Л.Е., Дік Ю.І. Фізика 10 клас. – К.: Мнемозіна, 2014.
- Кікоїн І.К., Кікоїн А.К. Фізика - 9, Москва, Просвітництво, 1990.
Домашнє завдання
- Дати визначення імпульсу тіла, імпульсу сили.
- Як пов'язані імпульси тіла з імпульсом сили?
- Які висновки можна зробити за формулами імпульсу тіла та імпульсу сили?
- Інтернет-портал Questions-physics.ru().
- Інтернет-портал Frutmrut.ru().
- Інтернет-портал Fizmat.by().
Імпульс – це одна з найбільш фундаментальних характеристик фізичної системи. Імпульс замкнутої системи зберігається при будь-яких процесах, що відбуваються в ній.
Знайомство з цією величиною почнемо з найпростішого випадку. Імпульсом матеріальної точки маси, що рухається зі швидкістю, називається твір
Закон зміни імпульсу.З цього визначення можна за допомогою другого закону Ньютона визначити закон зміни імпульсу частинки внаслідок дії на неї деякої сили Змінюючи швидкість частки, сила змінює та її імпульс: . У разі постійної чинної сили тому
Швидкість зміни імпульсу матеріальної точки дорівнює рівнодіючої всіх сил, що діють на неї. При постійній силі проміжок часу (2) може бути взятий будь-яким. Тому зміни імпульсу частки за цей проміжок справедливо
У разі сили, що змінюється з часом, весь проміжок часу слід розбити на малі проміжки протягом кожного з яких силу можна вважати постійною. Зміна імпульсу частинки за окремий проміжок обчислюється за такою формулою (3):
Повна зміна імпульсу за весь проміжок часу, що розглядається, дорівнює векторній сумі змін імпульсу за всі проміжки.
Якщо скористатися поняттям похідної, то замість (2), очевидно, закон зміни імпульсу частки записується як
Імпульс сили.Зміна імпульсу за кінцевий проміжок часу від 0 до виражається інтегралом
Розмір, що стоїть у правій частині (3) або (5), називається імпульсом сили. Таким чином, зміна імпульсу Др матеріальної точки за проміжок часу дорівнює імпульсу сили, що діяла на нього протягом цього проміжку часу.
Рівності (2) і (4) є по суті інше формулювання другого закону Ньютона. Саме у такому вигляді цей закон і був сформульований самим Ньютоном.
Фізичний сенс поняття імпульсу тісно пов'язаний з наявним у кожного з нас інтуїтивним або почерпнутим з повсякденного досвіду уявленням про те, чи легко зупинити тіло, що рухається. Значення тут мають не швидкість або маса тіла, що зупиняється, а те й інше разом, тобто саме його імпульс.
Імпульс системи.Поняття імпульсу стає особливо змістовним, коли воно застосовується до системи взаємодіючих матеріальних точок. Повним імпульсом Р системи частинок називається векторна сума імпульсів окремих частинок в той самий момент часу:
Тут підсумовування виконується по всіх частинках, що входять в систему, так що число доданків дорівнює числу частинок системи.
Внутрішні та зовнішні сили.До закону збереження імпульсу системи взаємодіючих частинок легко прийти безпосередньо з другого та третього законів Ньютона. Сили, що діють на кожну з частинок, що входять в систему, розіб'ємо на дві групи: внутрішні і зовнішні. Внутрішня сила - це сила, з якою частка діє на Зовнішня сила - це сила, з якою діють на частинку всі тіла, які входять до складу аналізованої системи.
Закон зміни імпульсу частинки відповідно до (2) або (4) має вигляд
Складемо почленно рівняння (7) всім частинок системи. Тоді в лівій частині, як випливає з (6), отримаємо швидкість зміни
повного імпульсу системи Оскільки внутрішні сили взаємодії між частинками задовольняють третій закон Ньютона:
то при складанні рівнянь (7) у правій частині, де внутрішні сили зустрічаються лише парами, їх сума звернеться в нуль. В результаті отримаємо
Швидкість зміни повного імпульсу дорівнює сумі зовнішніх сил, що діють на всі частки.
Звернімо увагу на те, що рівність (9) має такий самий вигляд, як і закон зміни імпульсу однієї матеріальної точки, причому в праву частину входять лише зовнішні сили. У замкнутій системі, де зовнішні сили відсутні, повний імпульс системи Р не змінюється незалежно від того, які внутрішні сили діють між частинками.
Повний імпульс не змінюється і в тому випадку, коли зовнішні сили, що діють на систему, у сумі дорівнюють нулю. Може виявитися, що сума зовнішніх сил дорівнює нулю лише вздовж якогось напрямку. Хоча фізична система в цьому випадку і не замкнута, складова повного імпульсу вздовж цього напрямку, як випливає з формули (9), залишається незмінною.
Рівняння (9) характеризує систему матеріальних точок загалом, але належить до певного моменту часу. З нього легко отримати закон зміни імпульсу системи за кінцевий проміжок часу Якщо зовнішні сили, що діють, незмінні протягом цього проміжку, то з (9) випливає
Якщо зовнішні сили змінюються з часом, то у правій частині (10) стоятиме сума інтегралів за часом від кожної із зовнішніх сил:
Таким чином, зміна повного імпульсу системи взаємодіючих частинок за деякий проміжок часу дорівнює векторної суми імпульсів зовнішніх сил за цей проміжок.
Порівняння із динамічним підходом.Порівняємо підходи до вирішення механічних завдань на основі рівнянь динаміки та на основі закону збереження імпульсу на наступному простому прикладі.
щенний з сортувальної гірки залізничний вагон маси, що рухається з постійною швидкістю, стикається з нерухомим вагоном маси і зчіпляється з ним. З якою швидкістю рухаються зчеплені вагони?
Нам нічого не відомо про сили, з якими взаємодіють вагони під час зіткнення, крім того, що на підставі третього закону Ньютона вони в кожний момент рівні за модулем і протилежні у напрямку. При динамічному підході необхідно задаватись якоюсь моделлю взаємодії вагонів. Найпростіше можливе припущення - що сили взаємодії постійні протягом усього часу, доки відбувається зчіпка. У такому разі за допомогою другого закону Ньютона для швидкостей кожного з вагонів через час після початку зчеплення можна написати
Очевидно, що процес зчіпки закінчується, коли швидкості вагонів стають однаковими. Припустивши, що це станеться згодом х, маємо
Звідси можна висловити імпульс сили
Підставляючи це значення будь-яку з формул (11), наприклад в другу, знаходимо вираз для кінцевої швидкості вагонів:
Звичайно, зроблене припущення про сталість сили взаємодії вагонів у процесі їхнього зчеплення дуже штучне. Використання більш реалістичних моделей призводить до громіздкіших розрахунків. Однак насправді результат кінцевої швидкості вагонів залежить від картини взаємодії (зрозуміло, за умови, що у кінці процесу вагони зчепилися і рухаються з тією самою швидкістю). Найпростіше в цьому переконатись, використовуючи закон збереження імпульсу.
Оскільки ніякі зовнішні сили у горизонтальному напрямі на вагони не діють, повний імпульс системи залишається незмінним. До зіткнення він дорівнює імпульсу першого вагона Після зчеплення імпульс вагонів дорівнює Прирівнюючи ці значення, відразу знаходимо
що, звісно, збігається з відповіддю, отриманою з урахуванням динамічного підходу. Використання закону збереження імпульсу дозволило знайти відповідь на поставлене питання за допомогою менш громіздких математичних викладок, причому ця відповідь має більшу спільність, так як при його отриманні не використовувалася будь-яка конкретна модель взаємодії.
Проілюструємо застосування закону збереження імпульсу системи на прикладі складнішого завдання, де вибір моделі для динамічного рішення скрутний.
Завдання
Розрив снаряду. Снаряд розривається у верхній точці траєкторії, що знаходиться на висоті над поверхнею землі, на два однакові уламки. Один з них падає на землю точно під точкою розриву через час У скільки разів зміниться відстань від цієї точки по горизонталі, на яку полетить другий уламок, порівняно з відстанню, на якій впав би снаряд, що не розірвався?
Рішення, Насамперед напишемо вираз для відстані на яке полетів би снаряд, що не розірвався. Так як швидкість снаряда у верхній точці (позначимо її через спрямована горизонтально, то відстань дорівнює добутку і на час падіння з висоти без початкової швидкості, рівне на яке полетів би снаряд, що не розірвався. Так як швидкість снаряда у верхній точці (позначимо її через спрямована горизонтально, та відстань дорівнює добутку на час падіння з висоти без початкової швидкості, що дорівнює тілу, що розглядається як система матеріальних точок:
Розрив снаряда на уламки відбувається майже миттєво, т. е. внутрішні сили, що його розривають, діють протягом дуже короткого проміжку часу. Очевидно, що зміною швидкості осколків під дією сили тяжіння за такий короткий проміжок часу можна знехтувати порівняно зі зміною швидкості під дією цих внутрішніх сил. Тому, хоча аналізована система, власне кажучи, перестав бути замкнутої, вважатимуться, що її повний імпульс при розриві снаряда залишається незмінним.
З закону збереження імпульсу можна відразу виявити деякі особливості руху уламків. Імпульс – векторна величина. До розриву він лежав у площині траєкторії снаряда. Оскільки, як сказано в умові, швидкість одного з осколків вертикальна, тобто його імпульс залишився в тій же площині, то імпульс другого осколка також лежить в цій площині. Значить, і траєкторія другого уламка залишиться у тій самій площині.
Далі із закону збереження горизонтальної складової повного імпульсу слід, що горизонтальна складова швидкості другого осколка дорівнює бо його маса дорівнює половині маси снаряда, а горизонтальна складова імпульсу першого осколка за умовою дорівнює нулю. Тому горизонтальна дальність польоту другого осколка від
місця розриву дорівнює добутку тимчасово його польоту. Як знайти цей час?
Для цього пригадаємо, що вертикальні складові імпульсів (а отже, і швидкостей) уламків повинні бути рівними по модулю і спрямовані в протилежні сторони. Час польоту другого осколка, що цікавить нас, залежить, очевидно, від того, вгору або вниз спрямована вертикальна складова його швидкості в момент розриву снаряда (рис. 108).
Мал. 108. Траєкторія уламків після розриву снаряда
Це легко з'ясувати, порівнявши даний в умові час прямовисного падіння першого осколка з часом вільного падіння з висоти А. Якщо початкова швидкість першого осколка спрямована вниз, а вертикальна складова швидкості другого - вгору, і навпаки (випадки а і на рис. 108). Під кутом до вертикалі в ящик влітає куля зі швидкістю та й майже миттєво застряє в піску. Ящик починає рухатися, а потім зупиняється. Скільки часу тривав рух скриньки? Відношення маси кулі до маси ящика дорівнює у. За яких умов ящик взагалі не зрушить?
2. При радіоактивному розпаді нейтрону, що покоївся спочатку, утворюються протон, електрон і антинейтрино. Імпульси протона та електрона рівні а кут між ними а. Визначте імпульс антинейтрино.
Що називається імпульсом однієї частки та імпульсом системи матеріальних точок?
Сформулюйте закон зміни імпульсу однієї частки та системи матеріальних точок.
Мал. 109. До визначення імпульсу сили із графіка
Чому внутрішні сили не входять явно до закону зміни імпульсу системи?
У яких випадках законом збереження імпульсу системи можна скористатися і за наявності зовнішніх сил?
Які переваги дає використання закону збереження імпульсу проти динамічним підходом?
Коли на тіло діє змінна сила її імпульс визначається правою частиною формули (5) - інтегралом від проміжку часу, протягом якого вона діє. Нехай нам дано графік залежності (рис. 109). Як за цим графіком визначити імпульс сили для кожного з випадків а і
Зробимо кілька нескладних перетворень із формулами. За другим законом Ньютона силу можна визначити: F=m*a. Прискорення знаходиться так: a=v⁄t . Отже отримуємо: F= m*v/ t.
Визначення імпульсу тіла: формула
Виходить, що сила характеризується зміною добутку маси на швидкість у часі. Якщо позначити цей твір певною величиною, ми отримаємо зміну цієї величини у часі як характеристику сили. Цю величину назвали імпульсом тіла. Імпульс тіла виражається формулою:
де p імпульс тіла, m маса, v швидкість.
Імпульс це векторна величина, у своїй його напрям завжди збігається з напрямом швидкості. Одиницею імпульсу є кілограм на метр за секунду (1 кг*м/с).
Що таке імпульс тіла: як зрозуміти?
Спробуємо просто «на пальцях» розібратися, що таке імпульс тіла. Якщо тіло спочиває, його імпульс дорівнює нулю. Логічно. Якщо швидкість тіла змінюється, то в тіла виникає якийсь імпульс, який характеризує величину докладеної до нього сили.
Якщо вплив на тіло відсутня, але воно рухається з деякою швидкістю, тобто має якийсь імпульс, його імпульс означає, яке вплив здатне надати дане тіло при взаємодії з іншим тілом.
У формулу імпульсу входить маса тіла та його швидкість. Тобто чим більшою масою та/або швидкістю має тіло, тим більший вплив воно може мати. Це і з життєвого досвіду.
Щоб зрушити тіло невеликої маси, потрібна невелика сила. Чим більша маса тіла, тим більше доведеться докласти зусилля. Те саме стосується й швидкості, яку повідомляють тілу. У разі впливу самого тіла на інше, імпульс також показує величину, з якою тіло здатне діяти на інші тіла. Ця величина безпосередньо залежить від швидкості та маси вихідного тіла.
Імпульс при взаємодії тіл
Виникає ще одне питання: що станеться з імпульсом тіла за його взаємодії з іншим тілом? Маса тіла змінитися не може, якщо воно залишається цілим, а ось швидкість може змінитися просто. У цьому швидкість тіла зміниться залежно від його маси.
Насправді, зрозуміло, що при зіткненні тіл з дуже різними масами швидкість їх зміниться по-різному. Якщо футбольний м'яч, що летить на великій швидкості, вріжеться в неготову до цього людину, наприклад глядача, то глядач може впасти, тобто придбає деяку невелику швидкість, але точно не полетить як м'ячик.
А все тому, що маса глядача набагато більша за масу м'яча. Але при цьому збережеться незмінним загальний імпульс цих двох тіл.
Закон збереження імпульсу: формула
У цьому полягає закон збереження імпульсу: при взаємодії двох тіл їх загальний імпульс залишається незмінним. Закон збереження імпульсу діє тільки в замкнутій системі, тобто в такій системі, в якій немає впливу зовнішніх сил або їхня сумарна дія дорівнює нулю.
Насправді майже завжди на систему тіл виявляється стороннє вплив, але загальний імпульс, як і енергія, не пропадає в нікуди і не виникає з нізвідки, він розподіляється між усіма учасниками взаємодії.