При вивченні алгебри в загальноосвітній школі (9 клас) однією з важливих тем є вивчення числових послідовностей, до яких належать прогресії – геометрична та арифметична. У цій статті розглянемо арифметичну прогресію та приклади з рішеннями.
Що являє собою арифметична прогресія?
Щоб це зрозуміти, необхідно дати визначення прогресії, що розглядається, а також навести основні формули, які далі будуть використані при вирішенні завдань.
Відомо, що в деякій алгебраїчній прогресії 1-й член дорівнює 6, а 7-й член дорівнює 18. Необхідно знайти різницю і відновити цю послідовність до 7 члена.
Скористаємося формулою визначення невідомого члена: a n = (n - 1) * d + a 1 . Підставимо до неї відомі дані з умови, тобто числа a 1 і a 7 маємо: 18 = 6 + 6 * d. З цього виразу можна легко обчислити різницю: d = (18 - 6) / 6 = 2. Отже, відповіли першу частину завдання.
Щоб відновити послідовність до 7 члена, слід скористатися визначенням прогресу алгебри, тобто a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d і так далі. У результаті відновлюємо всю послідовність: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, а 7 = 18.
Приклад №3: складання прогресії
Ускладнимо ще сильніша умова завдання. Тепер необхідно відповісти на питання, як знаходити арифметичну прогресію. Можна навести наступний приклад: дано два числа, наприклад, - 4 і 5. Необхідно скласти алгебраїчну прогресію так, щоб між цими містилося ще три члени.
Перш ніж розпочинати вирішувати це завдання, необхідно зрозуміти, яке місце займатимуть задані числа у майбутній прогресії. Оскільки між ними будуть ще три члени, тоді a 1 = -4 і a 5 = 5. Встановивши це, переходимо до завдання, яке аналогічне попередньому. Знову для n-го члена скористаємося формулою, отримаємо: a 5 = a 1 + 4*d. Звідки: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Тут отримали не ціле значення різниці, проте воно є раціональним числом, тому формули для прогресу алгебри залишаються тими ж самими.
Тепер додамо знайдену різницю до a 1 і відновимо члени прогресії, що бракують. Отримуємо: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, що збіглося з умовою задачі.
Приклад №4: перший член прогресії
Продовжимо наводити приклади арифметичної прогресії із рішенням. У всіх попередніх завданнях було відоме перше число прогресу алгебри. Тепер розглянемо завдання іншого типу: нехай дані два числа, де a 15 = 50 і a 43 = 37. Необхідно знайти, з якого числа починається ця послідовність.
Формули, якими користувалися досі, припускають знання a 1 і d. За умови завдання про ці числа нічого невідомо. Проте випишемо вирази для кожного члена, про який є інформація: a 15 = a 1 + 14 * d і a 43 = a 1 + 42 * d. Отримали два рівняння, у яких 2 невідомі величини (a 1 та d). Це означає, що завдання зводиться до розв'язання системи лінійних рівнянь.
Вказану систему найпростіше вирішити, якщо виразити у кожному рівнянні a 1 , а потім порівняти отримані вирази. Перше рівняння: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; друге рівняння: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, звідки різниця d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (наведено лише 3 знаки точності після коми).
Знаючи d, можна скористатися будь-яким із 2 наведених вище виразів для a 1 . Наприклад, першим: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, можна його перевірити, наприклад, визначити член прогресії, який заданий в умові. Отримаємо: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Невелика похибка пов'язані з тим, що з обчисленнях використовувалося округлення до тисячних часток.
Приклад №5: сума
Тепер розглянемо кілька прикладів із рішеннями на суму арифметичної прогресії.
Нехай дано числова прогресія наступного виду: 1, 2, 3, 4, ...,. Як розрахувати суму 100 цих чисел?
Завдяки розвитку комп'ютерних технологій можна це завдання вирішити, тобто послідовно скласти всі числа, що обчислювальна машина зробить відразу ж, як людина натисне клавішу Enter. Однак завдання можна вирішити в умі, якщо звернути увагу, що представлений ряд чисел є алгебраїчною прогресією, причому її різниця дорівнює 1. Застосовуючи формулу для суми, отримуємо: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100)/2 = 5050.
Цікаво відзначити, що це завдання носить назву "гаусової", оскільки на початку XVIII століття знаменитий німецький ще у віці всього 10 років, зміг вирішити її в умі за кілька секунд. Хлопчик не знав формули для суми алгебраїчної прогресії, але він помітив, що якщо складати попарно числа, що знаходяться на краях послідовності, то виходить завжди один результат, тобто 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а оскільки цих сум буде рівно 50 (100/2), то для отримання правильної відповіді достатньо помножити 50 на 101.
Приклад №6: сума членів від n до m
Ще одним типовим прикладом суми арифметичної прогресії є наступний: дано такий чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., потрібно знайти, чому дорівнюватиме сума його членів з 8 по 14.
Завдання вирішується двома способами. Перший передбачає перебування невідомих членів з 8 по 14, а потім їх послідовне підсумовування. Оскільки доданків небагато, такий спосіб не є досить трудомістким. Проте пропонується вирішити це завдання другим методом, який є більш універсальним.
Ідея полягає в отриманні формули для суми прогресу алгебри між членами m і n, де n > m - цілі числа. Випишемо для обох випадків два вирази для суми:
- S m = m*(a m + a 1)/2.
- S n = n*(a n + a 1)/2.
Оскільки n > m, то очевидно, що 2 сума включає першу. Останній висновок означає, що якщо взяти різницю між цими сумами, і додати до неї член a m (у разі взяття різниці він віднімається із суми S n), то отримаємо необхідну відповідь на завдання. Маємо: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1-m/2). У цей вираз необхідно підставити формули a n і a m . Тоді отримаємо: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Отримана формула є дещо громіздкою, проте сума S mn залежить від n, m, a 1 і d. У нашому випадку a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Підставляючи ці числа отримаємо: S mn = 301.
Як видно з наведених рішень, всі завдання ґрунтуються на знанні виразу для n-го члена та формули для суми набору перших доданків. Перед тим як приступити до вирішення будь-якого з цих завдань, рекомендується уважно прочитати умову, ясно зрозуміти, що потрібно знайти, і потім приступати до вирішення.
Ще одна порада полягає у прагненні до простоти, тобто якщо можна відповісти на питання, не застосовуючи складні математичні викладки, то необхідно чинити саме так, оскільки в цьому випадку ймовірність припуститися помилки менше. Наприклад, у прикладі арифметичної прогресії з рішенням №6 можна було б зупинитися на формулі S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m і розбити загальне завдання на окремі завдання (у разі спочатку знайти члени a n і a m).
Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, то рекомендується перевіряти, як це було зроблено в деяких наведених прикладах. Як знаходити арифметичну прогресію, з'ясували. Якщо розібратися, це не так складно.
І. В. Яковлєв | Матеріали з математики MathUs.ru
Арифметична прогресія
Арифметична прогресія – це спеціальний вид послідовності. Тому, перш ніж давати визначення арифметичної (а потім і геометричної) прогресії, нам потрібно коротко обговорити важливе поняття числової послідовності.
Послідовність
Уявіть пристрій, на екрані якого висвічуються одна за одною деякі цифри. Скажімо, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Такий набір чисел якраз і є прикладом послідовності.
Визначення. Числова послідовність це безліч чисел, у якому кожному числу можна надати унікальний номер (тобто поставити у відповідність єдине натуральне число)1 . Число з номером n називається n членом послідовності.
Так, у наведеному вище прикладі перший номер має число 2 перший член послідовності, який можна позначити a1 ; номер п'ять має число 6, це п'ятий член послідовності, який можна позначити a5 . Взагалі, n-й член послідовності позначається an (або bn, cn і т. д.).
Дуже зручна ситуація, коли n член послідовності можна задати деякою формулою. Наприклад, формула an = 2n 3 задає послідовність: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формула an = (1)n задає послідовність: 1; 1; 1; 1; : : :
Не всяка множина чисел є послідовністю. Так, відрізок не послідовність; у ньому міститься «надто багато» чисел, щоб їх можна було перенумерувати. Багато R всіх дійсних чисел також не є послідовністю. Ці факти доводяться у курсі математичного аналізу.
Арифметична прогресія: основні визначення
Ось тепер ми готові надати визначення арифметичної прогресії.
Визначення. Арифметична прогресія це послідовність, кожен член якої (починаючи з другого) дорівнює сумі попереднього члена та деякого фіксованого числа (називається різницею арифметичної прогресії).
Наприклад, послідовність 2; 5; 8; 11; : : : є арифметичною прогресією з першим членом 2 і різницею 3. Послідовність 7; 2; 3; 8; : : : є арифметичною прогресією з першим членом 7 і різницею 5. Послідовність 3; 3; 3; : : : є арифметичною прогресією з різницею, що дорівнює нулю.
Еквівалентне визначення: послідовність an називається арифметичною прогресією, якщо різниця an+1 an є постійна величина (не залежить від n).
Арифметична прогресія називається зростаючою, якщо її різниця позитивна, і спадною, якщо її різниця негативна.
1 А ось лаконічніше визначення: послідовність є функція, визначена на безлічі натуральних чисел. Наприклад, послідовність дійсних чисел є функція f: N! R.
За замовчуванням послідовності вважаються нескінченними, тобто такими, що містять нескінченну множину чисел. Але ніхто не заважає розглядати кінцеві послідовності; власне, будь-який кінцевий набір чисел можна назвати кінцевою послідовністю. Наприклад, кінцева послідовність 1; 2; 3; 4; 5 складається із п'яти чисел.
Формула n-го члена арифметичної прогресії
Легко зрозуміти, що арифметична прогресія повністю визначається двома числами: першим членом та різницею. Тому постає питання: як, знаючи перший член і різницю, знайти довільний член арифметичної прогресії?
Отримати потрібну формулу n-го члена арифметичної прогресії неважко. Нехай an
арифметична прогресія з різницею d. Маємо: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): | |
Зокрема, пишемо: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
і тепер стає ясно, що формула для an має вигляд: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Завдання 1. В арифметичній прогресії 2; 5; 8; 11; : : : Знайти формулу n-го члена і обчислити сотий член.
Рішення. Відповідно до формули (1 ) маємо:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3100 1 = 299:
Властивість та ознака арифметичної прогресії
Властивість арифметичної прогресії. В арифметичній прогресії an для будь-якого
Інакше висловлюючись, кожен член арифметичної прогресії (починаючи з другого) є середнім арифметичним сусідніх членів.
Доказ. Маємо: | ||||
a n 1+ a n+1 | (an d) + (an + d) | |||
що й потрібно.
Більш загальним чином, для арифметичної прогресії справедлива рівність
a n = n k+ a n+k
при будь-якому n > 2 та будь-якому натуральному k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Виявляється, формула (2) служить не тільки необхідною, але й достатньою умовою того, що послідовність є арифметичною прогресією.
Ознака арифметичної прогресії. Якщо всім n > 2 виконано рівність (2 ), то послідовність an є арифметичної прогресією.
Доказ. Перепишемо формулу (2 ) таким чином:
a na n 1 = a n+1a n:
Звідси видно, що різницю an+1 an залежить від n, але це й означає, що послідовність an є арифметична прогресія.
Властивість та ознака арифметичної прогресії можна сформулювати у вигляді одного твердження; ми для зручності зробимо це для трьох чисел (саме така ситуація часто зустрічається у завданнях).
Характеризація арифметичної прогресії. Три числа a, b, c утворюють арифметичну прогресію і тоді, коли 2b = a + c.
Завдання 2. (МДУ, економ. ф-т, 2007) Три числа 8x, 3x2 і 4 у зазначеному порядку утворюють спадну арифметичну прогресію. Знайдіть x і вкажіть різницю цієї прогресії.
Рішення. За якістю арифметичної прогресії маємо:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:
Якщо x = 1, то виходить спадна прогресія 8, 2, 4 з різницею 6. Якщо x = 5, то виходить зростаюча прогресія 40, 22, 4; цей випадок годиться.
Відповідь: x = 1, різниця дорівнює 6.
Сума перших n членів арифметичної прогресії
Легенда свідчить, що одного разу вчитель наказав дітям знайти суму чисел від 1 до 100 і сів спокійно читати газету. Проте не минуло й кількох хвилин, як один хлопчик сказав, що вирішив завдання. Це був 9-річний Карл Фрідріх Гаусс, згодом один із найбільших математиків в історії.
Ідея маленького Гауса була така. Нехай
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Запишемо цю суму у зворотному порядку:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
і складемо дві ці формули:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Кожен доданок у дужках дорівнює 101, а всього таких доданків 100. Тому
2S = 101100 = 10100;
Ми використовуємо цю ідею для виведення формули суми
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Корисна модифікація формули (3 ) виходить, якщо до неї підставити формулу n-го члена an = a1 + (n 1)d:
2a1 + (n 1)d | |||||
Завдання 3. Знайти суму всіх позитивних трицифрових чисел, що діляться на 13.
Рішення. Тризначні числа, кратні 13, утворюють арифметичну прогресію з першим членом 104 та різницею 13; n-й член цієї прогресії має вигляд:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Давайте з'ясуємо скільки членів містить наша прогресія. Для цього вирішимо нерівність:
an 6 999; 91 + 13n 6999;
n 6908 13 = 6911 13 ; n 6 69:
Отже, у нашій прогресії 69 членів. За формулою (4 ) знаходимо потрібну суму:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Арифметична та геометрична прогресії
Теоретичні відомості
Теоретичні відомості
Арифметична прогресія |
Геометрична прогресія |
|
Визначення |
Арифметичною прогресією a nназивається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим самим числом d (d- Різниця прогресій) |
Геометричною прогресією b nназивається послідовність відмінних від нуля чисел, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне і те ж число q (q- знаменник прогресії) |
Рекурентна формула |
Для будь-якого натурального n |
Для будь-якого натурального n |
Формула n-ого члена |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Характеристична властивість |  |
|
| Сума n-перших членів |  |
 |
Приклади завдань із коментарями
Завдання 1
В арифметичній прогресії ( a n) a 1 = -6, a 2
За формулою n-ого члена:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
За умовою:
a 1= -6, отже a 22= -6 + 21 d.
Необхідно знайти різницю прогресій:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Відповідь: a 22 = -48.
Завдання 2
Знайдіть п'ятий член геометричної прогресії: -3; 6;....
1-й спосіб (за допомогою формули n-члена)
За формулою n-ого члена геометричної прогресії:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Оскільки b 1 = -3,
2-й спосіб (за допомогою рекурентної формули)
Оскільки знаменник прогресії дорівнює -2 (q = -2), то:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Відповідь: b 5 = -48.
Завдання 3
В арифметичній прогресії ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Знайдіть сімдесят п'ятий член цієї прогресії.
Для арифметичної прогресії характеристичне властивість має вигляд 
.
З цього випливає:
.
Підставимо дані у формулу:
Відповідь: 95.
Завдання 4
В арифметичній прогресії ( a n ) a n= 3n - 4. Знайдіть суму сімнадцяти перших членів.
Для знаходження суми n-перших членів арифметичної прогресії використовують дві формули:
.
Яку з них у цьому випадку зручніше застосовувати?
За умовою відома формула n-ого члена вихідної прогресії ( a n) a n= 3n - 4. Можна знайти відразу і a 1, і a 16без знаходження d. Тому скористаємося першою формулою.
Відповідь: 368.
Завдання 5
В арифметичній прогресії( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Знайдіть двадцять другий член прогресії.
За формулою n-ого члена:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
За умовою, якщо a 1= -6, то a 22= -6 + 21d. Необхідно знайти різницю прогресій:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Відповідь: a 22 = -48.
Завдання 6
Записано кілька послідовних членів геометричної прогресії:
Знайдіть член прогресії, позначений літерою x.
За рішенням скористаємося формулою n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1для геометричних прогресій Перший член прогресії. Щоб знайти знаменник прогресії q необхідно взяти будь-який із цих членів прогресії та розділити на попередній. У нашому прикладі можна взяти та розділити на. Отримаємо, що q = 3. Замість n формулу підставимо 3, оскільки необхідно знайти третій член, заданої геометричної прогресії.
Підставивши знайдені значення формулу, отримаємо:
.
Відповідь: .
Завдання 7
З арифметичних прогресій, заданих формулою n-го члена, виберіть ту, для якої виконується умова a 27 > 9:
Оскільки задана умова має виконуватися для 27-го члена прогресії, підставимо 27 замість n у кожну з чотирьох прогресій. У 4-й прогресії отримаємо:
.
Відповідь: 4.
Завдання 8
В арифметичній прогресії a 1= 3, d = -1,5. Вкажіть найбільше значення n, для якого виконується нерівність a n > -6.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Арифметична прогресія - це ряд чисел, в якому кожне число більше (або менше) попереднього на одну й ту саму величину.
Ця тема часто представляється складною і незрозумілою. Індекси у літер, n-й член прогресії, різниця прогресії - все це якось бентежить, так ... Розберемося зі змістом арифметичної прогресії і все відразу налагодиться.)
Концепція арифметичної прогресії.
Арифметична прогресія - поняття дуже просте та чітке. Сумніваєтесь? Даремно.) Дивіться самі.
Я напишу незакінчений ряд чисел:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Чи зможете продовжити цей ряд? Які числа підуть далі, за п'ятіркою? Кожен... е-е-е..., коротше, кожен зрозуміє, що далі підуть числа 6, 7, 8, 9 тощо.
Ускладнимо завдання. Даю незакінчений ряд чисел:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Чи зможете вловити закономірність, продовжити ряд, і назвати сьомеЧисло ряду?
Якщо зрозуміли, що це число 20 – я вас вітаю! Ви не тільки відчули ключові моменти арифметичної прогресії,але й успішно вжили їх у справу! Якщо не зрозуміли – читаємо далі.
А тепер переведемо ключові моменти із відчуттів у математику.)
Перший ключовий момент.
Арифметична прогресія має справу з рядами чисел.Це і бентежить спочатку. Ми звикли рівняння вирішувати, графіки будувати і таке інше... А тут продовжити ряд, знайти число ряду...
Нічого не страшного. Просто прогресії – це перше знайомство з новим розділом математики. Розділ називається "Ряди" і працює саме з рядами чисел та виразів. Звикайте.)
Другий ключовий момент.
В арифметичній прогресії будь-яке число відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.
У першому прикладі ця різниця – одиниця. Яке число не візьми, воно більше попереднього на один. У другому – трійка. Будь-яке число більше попереднього на трійку. Власне, саме цей момент дає нам можливість вловити закономірність і розрахувати наступні числа.
Третій ключовий момент.
Цей момент не впадає у вічі, так... Але дуже, дуже важливий. Ось він: кожне число прогресії стоїть своєму місці.Є перше число, є сьоме, є сорок п'яте і т.д. Якщо їх переплутати абияк, закономірність зникне. Зникне й арифметична прогресія. Залишиться просто ряд чисел.
Ось і вся суть.
Зрозуміло, у новій темі з'являються нові терміни та позначення. Їх треба знати. Інакше й завдання не зрозумієш. Наприклад, доведеться вирішувати, що-небудь, типу:
Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.
Вселяє?) Літери, індекси якісь... А завдання, між іншим - простіше нікуди. Просто потрібно зрозуміти зміст термінів та позначень. Зараз ми цю справу опануємо і повернемося до завдання.
Терміни та позначення.
Арифметична прогресія- це ряд чисел, у якому кожне число відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.
Ця величина називається . Розберемося з цим поняттям детальніше.
Різниця арифметичної прогресії.
Різниця арифметичної прогресії- це величина, на яку будь-яке число прогресії більшепопереднього.
Один важливий момент. Прошу звернути увагу на слово "Більше".Математично це означає, що кожне число прогресії виходить додаткомрізниці арифметичної прогресії до попереднього числа.
Для розрахунку, скажімо, другогочисла ряду, треба до першомучислу додатицю саму різницю арифметичної прогресії. Для розрахунку п'ятого- Різниця треба додатидо четвертому,ну і т.п.
Різниця арифметичної прогресіїможливо позитивною,тоді кожне число ряду вийде реально більше за попередній.Така прогресія називається зростаючою.Наприклад:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Тут кожне число виходить додаткомпозитивного числа +5 до попереднього.
Різниця може бути і негативною,тоді кожне число ряду вийде менше за попередній.Така прогресія називається (ви не повірите!) спадаючою.
Наприклад:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Тут кожне число виходить теж додаткомдо попереднього, але негативного числа, -5.
До речі, під час роботи з прогресією дуже корисно буває відразу визначити її характер - зростаюча вона, чи спадна. Це чудово допомагає зорієнтуватися у вирішенні, засікти свої помилки та виправити їх, поки не пізно.
Різниця арифметичної прогресіїпозначається, як правило, літерою d.
Як знайти d? Дуже просто. Треба від будь-якого числа ряду відібрати попереднєчисло. Відняти. До речі, результат віднімання називається "різниця".)
Визначимо, наприклад, dдля зростаючої арифметичної прогресії:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Беремо будь-яке число ряду, яке хочемо, наприклад, 11. Віднімаємо від нього попереднє число,тобто. 8:
Це правильна відповідь. Для цієї арифметичної прогресії різниця дорівнює трьом.
Брати можна саме будь-яке число прогресії,т.к. для конкретної прогресії d -завжди одне й те саме.Хоч десь на початку ряду, хоч у середині, хоч де завгодно. Брати не можна тільки перше число. Просто тому, що у першого числа немає попереднього.)
До речі, знаючи, що d = 3знайти сьоме число цієї прогресії дуже просто. Додамо 3 до п'ятого числа - отримаємо шосте, це буде 17. Додамо до шостого числа трійку, отримаємо сьоме - двадцять.
Визначимо dдля спадної арифметичної прогресії:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Нагадую, що, незалежно від символів, для визначення dтреба від будь-якого числа відібрати попереднє.Вибираємо будь-яку кількість прогресії, наприклад -7. Попереднє у нього – число -2. Тоді:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Різниця арифметичної прогресії може бути будь-яким числом: цілим, дрібним, ірраціональним, всяким.
Інші терміни та позначення.
Кожне число ряду називається членом арифметичної прогресії.
Кожен член прогресії має свій номер.Номери йдуть строго по порядку, без жодних фокусів. Перший, другий, третій, четвертий і т.д. Наприклад, у прогресії 2, 5, 8, 11, 14, ... двійка - це перший член, п'ятірка - другий, одинадцять - четвертий, ну, ви зрозуміли...) Прошу чітко усвідомити - самі числаможуть бути абсолютно будь-які, цілі, дробові, негативні, які завгодно, але нумерація чисел- суворо по порядку!
Як записати прогресію у загальному вигляді? Чи не питання! Кожне число ряду записується як букви. Для позначення арифметичної прогресії використовується, як правило, літера a. Номер члена вказується індексом внизу праворуч. Члени пишемо через кому (або крапку з комою), ось так:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- це перше число, a 3- третє, тощо. Нічого хитрого. Записати цей ряд коротко можна ось так: (a n).
Прогресії бувають кінцеві та нескінченні.
Кінцевапрогресія має обмежену кількість членів. П'ять, тридцять вісім, скільки завгодно. Але – кінцеве число.
Нескінченнапрогресія - має безліч членів, як можна здогадатися.)
Записати кінцеву прогресію через ряд можна ось так, всі члени та крапка в кінці:
a 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
Або так, якщо членів багато:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
У короткому записі доведеться додатково вказувати кількість членів. Наприклад (для двадцяти членів), ось так:
(a n), n = 20
Нескінченну прогресію можна дізнатися по трьома крапками в кінці ряду, як у прикладах цього уроку.
Тепер можна вирішити завдання. Завдання нескладні, чисто розуміння сенсу арифметичної прогресії.
Приклади завдань з арифметичної прогресії.
Розберемо детально завдання, що наведено вище:
1. Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.
Перекладаємо завдання зрозумілою мовою. Дана нескінченна арифметична прогресія. Відоме друге число цієї прогресії: a 2 = 5.Відома різниця прогресії: d = -2,5.Потрібно знайти перший, третій, четвертий, п'ятий та шостий члени цієї прогресії.
Для наочності запишу ряд за умовою завдання. Перші шість членів, де другий член – п'ятірка:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
a 3 = a 2 + d
Підставляємо у вираз a 2 = 5і d = -2,5. Не забуваймо про мінус!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Третій член вийшов меншим за другий. Все логічно. Якщо число більше попереднього на негативнувеличину, отже, саме число вийде менше попереднього. Прогресія – спадна. Гаразд, врахуємо.) Вважаємо четвертий член нашого ряду:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Так, члени з третього до шостого вирахували. Вийшов такий ряд:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Залишається знайти перший член a 1за відомим другим. Це крок в інший бік, вліво.) Отже, різниця арифметичної прогресії dтреба не додати до a 2, а відібрати:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Ось і всі справи. Відповідь завдання:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Принагідно зауважу, що це завдання ми вирішували рекурентнимспособом. Це страшне слово означає, лише пошук члена прогресії за попереднім (сусіднім) числом.Інші способи роботи з прогресією ми розглянемо далі.
З цього простого завдання можна зробити один важливий висновок.
Запам'ятовуємо:
Якщо нам відомий хоча б один член та різниця арифметичної прогресії, ми можемо знайти будь-який член цієї прогресії.
Запам'ятали? Цей нескладний висновок дозволяє вирішувати більшість завдань шкільного курсу на цю тему. Всі завдання крутяться навколо трьох основних параметрів: член арифметичної прогресії, різницю прогресії, номер члена прогресії.Все.
Зрозуміло, вся попередня алгебра не скасовується.) До прогресії причіплюються і нерівності, і рівняння, та інші речі. Але по самій прогресії- все крутиться довкола трьох параметрів.
Наприклад розглянемо деякі популярні завдання з цієї теми.
2. Запишіть кінцеву арифметичну прогресію у вигляді ряду, якщо n=5, d = 0,4 та a 1 = 3,6.
Тут все просто. Все вже дано. Потрібно згадати, як вважаються члени арифметичної прогресії, порахувати та й записати. Бажано не пропустити слова за умови завдання: "кінцеву" і " n=5". Щоб не рахувати до повного посиніння.) У цій прогресії всього 5 (п'ять) членів:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Залишається записати відповідь:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Ще завдання:
3. Визначте, чи буде число 7 членом арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 = 4,1; d = 1,2.
Хм... Хто ж його знає? Як визначити?
Як-не-як... Та записати прогресію у вигляді ряду і подивитися, буде там сімка, чи ні! Вважаємо:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Зараз чітко видно, що сімку ми просто проскочилиміж 6,5 та 7,7! Не потрапила сімка до нашого ряду чисел, і, отже, сімка не буде членом заданої прогресії.
Відповідь: ні.
А ось завдання на основі реального варіанту ГІА:
4. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:
...; 15; х; 9; 6; ...
Тут записаний ряд без кінця та початку. Немає ні номерів членів, ні різниці d. Нічого не страшного. Аби вирішити завдання досить розуміти сенс арифметичної прогресії. Дивимося і розуміємо, що можна дізнатисяіз цього ряду? Які параметри із трьох головних?
Номери членів? Немає тут жодного номера.
Зате є три числа і – увага! - Слово "послідовних"за умови. Це означає, що числа йдуть по порядку, без перепусток. А чи є в цьому ряду два сусідніхвідомі числа? Так, є! Це 9 і 6. Отже, ми можемо обчислити різницю арифметичної прогресії! Від шістки віднімаємо попереднєчисло, тобто. дев'ятку:
Залишилися дрібниці. Яка кількість буде попередньою для ікса? П'ятнадцять. Отже, ікс можна легко знайти простим додаванням. До 15 додати різницю арифметичної прогресії:
Ось і все. Відповідь: х = 12
Наступні завдання вирішуємо самостійно. Зауваження: ці завдання - не так на формули. Чисто на розуміння сенсу арифметичної прогресії.) Просто записуємо ряд з числами-літерами, дивимось і розуміємо.
5. Знайдіть перший позитивний член арифметичної прогресії, якщо a 5 = -3; d = 1,1.
6. Відомо, що число 5,5 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 1,6; d = 1,3. Визначте номер n цього члена.
7. Відомо, що у арифметичній прогресії a 2 = 4; a 5 = 15,1. Знайдіть a3.
8. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:
...; 15,6; х; 3,4; ...
Знайдіть член прогресії, позначений літерою х.
9. Потяг почав рух від станції, поступово збільшуючи швидкість на 30 метрів за хвилину. Якою буде швидкість поїзда через п'ять хвилин? Відповідь дайте за км/год.
10. Відомо, що в арифметичній прогресії a 2 = 5; a 6 = -5. Знайдіть a 1.
Відповіді (безладно): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Все вийшло? Чудово! Можна освоювати арифметичну прогресію на рівні, у наступних уроках.
Чи не все вийшло? Чи не біда. У Особливому розділі 555 всі ці завдання розібрані по кісточках.) І, звичайно, описаний простий практичний прийом, який відразу висвічує рішення подібних завдань чітко, ясно, як на долоні!
До речі, у завданні про поїзд є дві проблемки, на яких нерідко спотикається народ. Одна – чисто за прогресією, а друга – загальна для будь-яких завдань з математики, та й фізики теж. Це переклад розмірності з однієї в іншу. В показано, як треба ці проблеми вирішувати.
У цьому вся уроці ми розглянули елементарний сенс арифметичної прогресії та її основні параметри. Цього достатньо для вирішення практично всіх завдань на цю тему. Додай dдо числа, пиши ряд, все і вирішиться.
Рішення "на пальцях" добре підходить для дуже коротких шматочків ряду, як у прикладах цього уроку. Якщо ряд довше, обчислення ускладнюються. Наприклад, якщо в задачі 9 у питанні замінити "п'ять хвилин"на "тридцять п'ять хвилин",завдання стане значно зліше.)
А ще бувають завдання прості по суті, але несусвітні за обчисленнями, наприклад:
Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 =3, а d=1/6.
І що, будемо багато разів додавати по 1/6?! Це ж убитися можна!
Можна.) Якщо не знати просту формулу, за якою вирішувати подібні завдання можна за хвилину. Ця формула буде у наступному уроці. І завдання ця там вирішена. За хвилину.)
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Арифметичною прогресієюназивають послідовність чисел (членів прогресії)
У якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на постійне доданок, яке ще називають кроком чи різницею прогресії.
Таким чином, задаючи крок прогресії та її перший член можна знайти будь-який її елемент за формулою
Властивості арифметичної прогресії
1) Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого номера, є середнім арифметичним від попереднього та наступного члена прогресії
Зворотне твердження також є вірним. Якщо середнє арифметичне сусідніх непарних (парних) членів прогресії дорівнює члену, який стоїть між ними, то дана послідовність чисел є арифметичною прогресією. За цим твердженням дуже просто перевірити будь-яку послідовність.
Також за якістю арифметичної прогресії, наведену вище формулу можна узагальнити до наступної
У цьому легко переконатися, якщо розписати доданки праворуч від знака рівності
Її часто застосовують на практиці для спрощення обчислень у завданнях.
2) Сума n перших членів арифметичної прогресії обчислюється за такою формулою
Запам'ятайте добре формулу суми арифметичної прогресії, вона незамінна при обчисленнях і часто зустрічається в простих життєвих ситуаціях.
3) Якщо потрібно знайти не всю суму, а частину послідовності починаючи з k-го її члена, то Вам знадобиться наступна формула суми
4) Практичний інтерес представляє відшукання суми n членів арифметичної прогресії починаючи з k-го номера. Для цього використовуйте формулу
На цьому теоретичний матеріал закінчується і переходимо до вирішення поширених на практиці завдань.
Приклад 1. Знайти сороковий член арифметичної прогресії 4; 7;
Рішення:
Згідно з умовою маємо
Визначимо крок прогресії
За відомою формулою знаходимо сороковий член прогресії
Приклад2. Арифметична прогресія задана третім та сьомим її членом. Знайти перший член прогресії та суму десяти.
Рішення:
Розпишемо задані елементи прогресії за формулами
Від другого рівняння віднімемо перше, в результаті знайдемо крок прогресії
Знайдене значення підставляємо у будь-яке з рівнянь для відшукання першого члена арифметичної прогресії
Обчислюємо суму перших десяти членів прогресії
Не застосовуючи складних обчислень ми знайшли всі шукані величини.
Приклад 3. Арифметичну прогресію задано знаменником та одним із її членів. Знайти перший член прогресії, суму 50 її членів, починаючи з 50 і суму 100 перших.
Рішення:
Запишемо формулу сотого елемента прогресії
і знайдемо перший
На основі першого знаходимо 50 член прогресії
Знаходимо суму частини прогресії
та суму перших 100
Сума прогресії дорівнює 250.
приклад 4.
Знайти число членів арифметичної прогресії, якщо:
а3-а1 = 8, а2 + а4 = 14, Sn = 111.
Рішення:
Запишемо рівняння через перший член та крок прогресії та визначимо їх
Отримані значення підставляємо у формулу суми для визначення кількості членів у сумі
Виконуємо спрощення
і розв'язуємо квадратне рівняння
Зі знайдених двох значень умові задачі підходить лише число 8 . Таким чином, сума перших восьми членів прогресії становить 111.
Приклад 5.
Розв'язати рівняння
1+3+5+...+х=307.
Рішення: Це рівняння є сумою арифметичної прогресії. Випишемо перший її член та знайдемо різницю прогресії