При виробництві для підприємства і застосування необхідно визначити здатність пружини витримувати певні типи навантажень. І тому обчислюється т.зв. Коефіцієнт Гука – позначення жорсткості пружини, від якого залежить її надійність. Цей параметр впливає на матеріал, вибраний для виготовлення. Це може бути сталь, легована кремнієм, ванадієм, марганцем, іншими добавками. Також застосовуються нержавіюча сталь, берилієва та кремнемарганцева бронза, сплави на основі нікелю та титану.
Якщо деталь випускається для використання при високих навантаженнях, екстремальних температурах, використовуються спеціальні марки легованої сталі. Нижегородська метизна корпорація має можливість виробляти пружини на замовлення, створюючи вироби із заданими характеристиками.
Що таке жорсткість?
Говорячи про практику, а не фізичні терміни, це сила, доклавши яку, можна стиснути пружину. Якщо ви знаєте зусилля, що додається, можна визначити, якою буде деформація, і навпаки. Це значно полегшує обчислення.
Коефіцієнт обчислюється для пружин кручення, розтягування, вигину, стиску – всіх найпопулярніших у промисловості різновидів цього виробу. Також слід зазначити два основні типи:
- З лінійною (постійною) жорсткістю;
- З прогресивною (залежною від становища витків) жорсткістю.
Часто виробник наносить на готову продукцію позначку фарбою. Якщо такого позначення немає, застосовується формула визначення жорсткості пружини через масу та довжину, що спрощує завдання. Вона спочатку розроблялася для пружин розтягування, була отримана методом виміру відповідності маси вантажу зі змінами геометрії.
Також даний параметр може бути прогресуючим – зростаючим – або регресуючим – спадаючим. У другому випадку параметр "жорсткості" прийнято називати "м'якістю". В окремих механізмах, наприклад, в автомобілебудуванні цей параметр особливо актуальний.
Які вступні дані потрібні?
При розрахунку важливо знати таку інформацію:
- З якого матеріалу виконано виріб;
- Точний діаметр витків – Dw;
- Загальний діаметр самої пружини – Dm;
- Кількість витків – Na.
Таким чином, коефіцієнт жорсткості пружинного механізму може застосовуватися формула:
k = G * (Dw) ^ 4/8 * Na * (Dm) ^ 3.
Змінна Gозначає модуль зсуву. Це значення можна знайти у таблицях для різних матеріалів. Наприклад, біля пружинної сталі G = 78,5 гПа.
Довжина Lбуває двох типів:
- L1- Виміряна у вертикальному положенні без вантажу;
- L2- Отримана при підвішуванні вантажу з точно відомою масою.
Наприклад, 100 -Грамова гиря, закріплена в нижній частині, впливає з силою F, рівною 1 Н. Отримуємо різницю між двома показниками довжини:
L = L2 - L1.
При цьому слід уточнити, що рівень жорсткості не визначає розпрямлення у вихідний стан. На нього впливають одразу кілька факторів.
Наскільки важливим є показник, і на що він впливає?
Характеристики пружини важливі не лише для відповідності ГОСТам та проведення сертифікації. Вони впливають на термін експлуатації виробів, в яких використовуються, а це величезна кількість приладів, деталей, механізмів, від меблів, до різних транспортних засобів.
Тому дана величина впливає на надійність готових виробів, обладнання, техніки, в яких використовуються елементи, що містять пружини.
Часто люди цікавляться, як розрахувати жорсткість пружини гвинтової циліндричної. Для таких випадків враховується не лише модуль зсуву, а й параметр Rs- Напруга, що допускається при крученні. Тут у розрахунок береться тип матеріалу, його фізичні властивості, механічні характеристики.
Наступне питання – у чому вимірюється коефіцієнт жорсткості пружини при розрахунках. Традиційно в системі вимірювань, прийнятої в нашій країні прийнято записувати значення Н/м- Ньютонах на один метр. Також це значення як альтернативний варіант може записуватися в кілограмах на квадратний сантиметр, дин/см, грамах на квадратний сантиметр (розрахунки в системі СГС).
Визначення та формула коефіцієнта жорсткості пружини
Сила пружності (), яка виникає в результаті деформації тіла, зокрема пружини, спрямована у бік протилежну переміщенню частинок, що деформується, пропорційна подовженню пружини:
Він залежить від форми тіла, його розмірів, матеріалу з якого виготовлено тіло (пружина).
Іноді коефіцієнт жорсткості позначають літерами D та с.
Величина коефіцієнта жорсткості пружини вказує на стійкість її до дії навантажень і наскільки велике її опір при дії.
Коефіцієнт жорсткості з'єднань пружин
Якщо кілька пружин з'єднати послідовно, то сумарну жорсткість такої системи можна обчислити як:
У тому випадку, якщо ми маємо справу з n пружинами, які з'єднані паралельно, то результуючу жорсткість отримують як:
Коефіцієнт жорсткості циліндричної пружини
Розглянемо пружину у вигляді спіралі, яка зроблена з дроту із перетином коло. Якщо розглядати деформацію пружини як сукупність елементарних зрушень у її обсязі під вплив сил пружності, коефіцієнт жорсткості можна обчислити за допомогою формули:
де – радіус пружини, – кількість витків у пружині, – радіус дроту, – модуль зсуву (постійна, яка залежить від матеріалу).
Одиниці виміру
Основною одиницею вимірювання коефіцієнта жорсткості у системі СІ є:
Приклади розв'язання задач
ru.solverbook.com
Коефіцієнт пружності - Довідник хіміка 21
| Мал. 61. Коефіцієнт пружного розширення коксу, отриманого в кубі з крекінг-залишку сірчистої нафти девонской і прожареного при 1300 °С протягом 5 год | mylink" data-url="http://chem21.info/info/392465/">chem21.info Елементи теорії пружності Світ зварюванняВступПід впливом зовнішніх сил тверде тіло змінює свою форму – деформується. Деформація, що зникає з припиненням дії сил, називається пружною. При пружній деформації тіла виникають внутрішні сили пружності, які прагнуть повернути тілу первісну форму. Розмір цих сил пропорційна деформації тіла. Деформація розтягування та стисненняВиникає подовження зразка (Δl) під дією зовнішньої сили (F) пропорційно величині діючої сили, початковій довжині (l) і обернено пропорційно площі поперечного перерізу (S) – закон Гука: Розмір E називається модулем пружності першого роду чи модулем Юнга і характеризує пружні властивості матеріалу. Розмір F/S = p називається напругою. Деформація стрижнів будь-яких довжин і перерізів (зразків) характеризується величиною, яка називається відносною поздовжньою деформацією, ε = Δl/l. Закон Гука для зразків будь-яких форм:
Модуль Юнга чисельно дорівнює напрузі, що збільшує довжину зразків удвічі. Однак розрив зразка настає при значно менших напругах. На рис.1 графічно зображено експериментальна залежність p від ε, де pмакс – межа міцності, тобто. напруга, у якому стрижні виходить місцеве звуження (шийка), pтек – межа плинності, тобто. напруга, у якому з'являється плинність (тобто. збільшення деформації без збільшення деформуючої сили), pупр – межа пружності, тобто. напруга, нижче якої справедливий закон Гука (мається на увазі короткочасна дія сили). Матеріали поділяються на крихкі та пластичні. Крихкі речовини руйнуються при дуже малих відносних подовженнях. Крихкі матеріали зазвичай витримують, не руйнуючись, більший стиск, ніж розтягування. Разом з деформацією розтягування спостерігається зменшення діаметра зразка. Якщо Δd – зміна діаметра зразка, то ε1 = Δd/d прийнято називати відносною поперечною деформацією. Досвід свідчить, що |ε1/ε| Абсолютна величина μ = |ε1/ε| зветься коефіцієнт поперечної деформації або коефіцієнта Пуассона. Зсувом називають деформацію, коли всі шари тіла, паралельні деякої площині, зміщуються друг щодо друга. При зсуві обсяг зразка, що деформується, не змінюється. Відрізок АА1 (рис.2), який змістилася одна площину щодо інший, називають абсолютним зрушенням. При малих кутах зсуву кут α tg α = АА1/AD характеризує відносну деформацію і його називають відносним зсувом. де коефіцієнт G називається модуль зсуву. Стисність речовиниВсебічний стиск тіла призводить до зменшення об'єму тіла на ΔV і виникненню пружних сил, які прагнуть повернути тілу початковий об'єм. Стисливістю (β) називається величина, чисельно рівна відносній зміні об'єму тіла ΔV/V при зміні діючого за нормаллю до поверхні напруги (p) на одиницю. Величина, зворотна стисливості, зветься модуля об'ємної пружності (K). Зміна об'єму тіла ΔV при всебічному збільшенні тиску на ΔP обчислюється за формулою Співвідношення між пружними постійнимиМодуль Юнга, коефіцієнт Пуассона, модуль об'ємної пружності та модуль зсуву пов'язані між собою рівняннями: які за двома відомими пружними характеристиками дозволяють, у першому наближенні, розрахувати інші. Потенційна енергія пружної деформації визначається за формулою Одиниці виміру модулів пружності: Н/м2 (СІ), дин/см2 (СГС), кгс/м2 (МКГСС) та кгс/мм2. 1 кгс/мм2 = 9,8 106 Н/м2 = 9,8 107 дин/см2 = 10-6 кгс/м2 Додаток
weldworld.ru Коефіцієнт пружності - WiKiru-wiki.org Коефіцієнт пружності - Вікіпедія РУУ послідовному з'єднанні є n(\displaystyle n) пружин з жорсткостями k1,k2,...,kn.(\displaystyle k_(1),k_(2),...,k_(n).) З закону Гука ( F=−kl(\displaystyle F=-kl) , де l - подовження) слід, що F=k⋅l.(\displaystyle F=k\cdot l.) Сума подовжень кожної пружини дорівнює загальному подовженню всього з'єднання l1+l2+ ...+ln=l.(\displaystyle l_(1)+l_(2)+...+l_(n)=l.) На кожну пружину діє та сама сила F.(\displaystyle F.) Відповідно до закону Гука, F=l1⋅k1=l2⋅k2=...=ln⋅kn.(\displaystyle F=l_(1)\cdot k_(1)=l_(2)\cdot k_(2)=...=l_(n)\cdot k_(n).) З попередніх виразів виведемо: l=F/k,l1=F/k1,l2 = F / k2, ..., ln = F / kn. ),\quad ...,\quad l_(n)=F/k_(n).) Підставивши ці вирази в (2) і розділивши на F,(\displaystyle F,) отримуємо 1/k=1/k1+ 1/k2+...+1/kn,(\displaystyle 1/k=1/k_(1)+1/k_(2)+...+1/k_(n),) що й потрібно було довести. http-wikipediya.ru Коефіцієнт Пуассона, формула та прикладиВизначення та формула коефіцієнта ПуассонаЗвернемося до розгляду деформації твердого тіла. У процесі відбувається зміна розмірів, об'єму і часто форми тіла. Так, відносне поздовжнє розтягування (стиснення) об'єкта відбувається за його відносному поперечному звуженні (розширенні). При цьому поздовжня деформація визначена формулою:
де - Довжина зразка до деформації, - Зміна довжини при навантаженні. Проте, при розтягуванні (стисканні) відбувається як зміна довжини зразка, а й у своїй змінюються поперечні розміри тіла. Деформація у поперечному напрямку характеризується величиною відносного поперечного звуження (розширення):
де - Діаметр циліндричної частини зразка до деформації (поперечний розмір зразка). Емпірично отримано, що з пружних деформаціях виконується рівність:
Коефіцієнт Пуассона разом із модулем Юнга (E) є характеристикою пружних властивостей матеріалу. Коефіцієнт Пуассона при об'ємній деформаціїЯкщо коефіцієнт об'ємної деформації () прийняти рівним:
де - Зміна об'єму тіла, - Початковий об'єм тіла. То за пружних деформаціях виконується співвідношення: Часто у формулі (6) відкидають члени малих порядків та використовують у вигляді: Для ізотропних матеріалів коефіцієнт Пуассона повинен бути в межах: Існування негативних значень коефіцієнта Пуассон означає, що при розтягуванні поперечні розміри об'єкта могли б збільшуватися. Це можливо за наявності фізико-хімічних змін у процесі деформації тіла. Матеріали, у яких коефіцієнт Пуассона менший за нуль називають ауксетиками. Максимальна величина коефіцієнта Пуассон є характеристикою більш еластичних матеріалів. Мінімальне значення його відноситься до крихких речовин. Так стали мають коефіцієнт Пуассона від 0,27 до 0,32. Коефіцієнт Пуассона для гум варіюється в межах: 0,4 - 0,5. Коефіцієнт Пуассона та пластична деформаціяВираз (4) виконується і за пластичних деформаціях, однак у такому разі коефіцієнт Пуассона залежить від величини деформації: Зі зростанням деформації та виникнення суттєвих пластичних деформацій Досвідченим шляхом встановлено, що пластична деформація відбувається без зміни обсягу речовини, оскільки цей вид деформації виникає за рахунок зрушень шарів матеріалу. Одиниці виміруКоефіцієнт Пуассона – це фізична величина, яка не має розмірності. Приклади розв'язання задачru.solverbook.com Коефіцієнт Пуассона - WiKiЦя стаття – про параметр, що характеризує пружні властивості матеріалу. Про поняття в термодинаміці див. Показник адіабати.Коефіцієнт Пуассона (позначається як ν(\displaystyle \nu) або μ(\displaystyle \mu)) - величина відношення відносного поперечного стиску до відносного поздовжнього розтягування. Цей коефіцієнт залежить немає від розмірів тіла, як від природи матеріалу, з якого виготовлений зразок. Коефіцієнт Пуассона і модуль Юнг повністю характеризують пружні властивості ізотропного матеріалу. Безрозмірний, але може бути вказаний у відносних одиницях: мм/мм, м/м. Однорідний стрижень до і після застосування до нього сил, що розтягують. Прикладемо до однорідного стрижня сили, що розтягують його. Внаслідок впливу таких сил стрижень у загальному випадку виявиться деформованим як у поздовжньому, так і в поперечному напрямках. Нехай l(\displaystyle l) і d(\displaystyle d) довжина та поперечний розмір зразка до деформації, а l′(\displaystyle l^(\prime )) та d′(\displaystyle d^(\prime )) - довжина та поперечний розмір зразка після деформації. Тоді поздовжнім подовженням називають величину, що дорівнює (l′−l)(\displaystyle (l^(\prime )-l)) , а поперечним стисненням - величину, що дорівнює -(d′−d)(\displaystyle -(d^( \prime)-d)). Якщо (l′−l)(\displaystyle (l^(\prime )-l)) позначити як Δl(\displaystyle \Delta l) , а (d′−d)(\displaystyle (d^(\prime )- d)) як Δd(\displaystyle \Delta d) , то відносне поздовжнє подовження дорівнюватиме величині Δll(\displaystyle (\frac (\Delta l)(l))) , а відносний поперечний стиск - величині −Δdd(\displaystyle - (\frac (\Delta d)(d))) . Тоді в прийнятих позначеннях коефіцієнт Пуассона μ(\displaystyle \mu) має вигляд: μ=−ΔddlΔl.(\displaystyle \mu =-(\frac (\Delta d)(d))(\frac (l)(\Delta l)).) Зазвичай при додатку до стрижня зусиль, що розтягують, він подовжується в поздовжньому напрямку і скорочується в поперечних напрямках. Таким чином, у подібних випадках виконуються Δll>0(\displaystyle (\frac (\Delta l)(l))>0) і Δdd<0{\displaystyle {\frac {\Delta d}{d}}<0} , так что коэффициент Пуассона положителен. Как показывает опыт, при сжатии коэффициент Пуассона имеет то же значение, что и при растяжении. Для абсолютно тендітних матеріалів коефіцієнт Пуассона дорівнює 0, для абсолютно стисливих – 0,5. Більшість сталей цей коефіцієнт лежить у районі 0,3, для гуми він дорівнює приблизно 0,5. Існують також матеріали (переважно полімери), які мають коефіцієнт Пуассона негативний, такі матеріали називають ауксетиками. Це означає, що при додатку зусилля, що розтягує, поперечний переріз тіла збільшується. Наприклад, папір з одношарових нанотрубок має позитивний коефіцієнт Пуассона, а зі збільшенням частки багатошарових нанотрубок спостерігається різкий перехід до негативного значення −0,20. Негативний коефіцієнт Пуассона має багато анізотропних кристалів, оскільки коефіцієнт Пуассона для таких матеріалів залежить від кута орієнтації кристалічної структури щодо осі розтягування. Негативний коефіцієнт виявляється у таких матеріалів, як літій (мінімальне значення дорівнює -0.54), натрій (-0.44), калій (-0.42), кальцій (-0.27), мідь (-0.13) та інших. 67% кубічних кристалів з Менделєєвої таблиці мають негативний коефіцієнт Пуассона. |
При дії зовнішніх сил тіла здатні набувати прискорення чи деформуватися. Деформацією називають зміну розмірів та (або) форми тіла. Якщо після зняття зовнішнього навантаження тіло відновлює свої розміри та форму повністю, то така деформація називається пружною.
Нехай на пружину на рис.1 діє сила, що розтягує, спрямована вертикально вниз.
При дії деформуючої сили ($\overline(F)$) довжина пружини збільшується. У пружині виникає сила пружності ($(\overline(F))_u$), яка врівноважує силу, що деформує. Якщо деформація невелика і пружна, подовження пружини ($\Delta l$) пропорційно деформуючій силі:
\[\overline(F)=k\Delta l\left(1\right),\]
де як коефіцієнт пропорційності виступає жорсткість пружини $k$. Коефіцієнт $k$ називають також коефіцієнтом пружності, коефіцієнтом жорсткості. Жорсткість (як властивість) характеризує пружні властивості тіла, що піддається деформації - це можливість тіла протидіяти зовнішній силі, зберігати свої геометричні параметри. Коефіцієнт жорсткості є основною характеристикою жорсткості.
Коефіцієнт жорсткості пружини залежить від матеріалу, з якого виготовлена пружина, її геометричних характеристик. Так, коефіцієнт жорсткості кручений циліндричної пружини, яка намотана з дроту круглого перерізу, що піддається пружній деформації вздовж своєї осі обчислюється за допомогою формули:
де $G$ -модуль зсуву (величина залежить від матеріалу); $d$ - діаметр дроту; $d_p$ - діаметр витка пружини; $n$ - кількість витків пружини.
Одиниці виміру жорсткості пружини
Одиницею вимірювання коефіцієнта жорсткості у Міжнародній системі одиниць (Сі) є ньютон, поділений на метр:
\[\left=\left[\frac(F_(upr\ ))(x)\right]=\frac(\left)(\left)=\frac(Н)(м).\]
p align="justify"> Коефіцієнт жорсткості дорівнює величині сили, яку слід прикласти до пружини для зміни її довжини на одиницю відстані.
Жорсткість з'єднань пружин
При послідовному з'єднанні $N$ пружин жорсткість з'єднання обчислюється за допомогою формули:
\[\frac(1)(k)=\frac(1)(k_1)+\frac(1)(k_2)+\dots =\sum\limits^N_(\ i=1)(\frac(1) (k_i) \ left (2 \ right).) \]
Якщо пружини з'єднані паралельно, то результуюча жорсткість дорівнює:
Приклади завдань на жорсткість пружин
Приклад 1
Завдання.Якою є потенційна енергія ($E_p$) деформації системи з двох паралельно з'єднаних пружин (рис.2), якщо їх жорсткості рівні: $k_1=1000\frac(Н)(м)$; $ k_2 = 4000 \ frac (Н) (м) $, а подовження становить $ \ Delta l = 0,01 $ м.
Рішення.При паралельному з'єднанні пружин жорсткість системи обчислимо як:
Потенційну енергію деформованої системи обчислимо за допомогою формули:
Обчислимо шукану потенційну енергію:
Відповідь.$ E_p = 0, \ 25 $ Дж
Приклад 2
Завдання.Чому дорівнює робота ($A$) сили розтягує систему з двох послідовно з'єднаних пружин, що мають жорсткості $k_1=1000 \ frac(Н)(м)\ і $ $k_2=2000 \ frac(Н)(м)$ , якщо подовження другої пружини становить $ \ Delta l_2 = 0, \ 1 \ м $?
Рішення.Зробимо малюнок.
При послідовному з'єднанні пружин на кожну з них діє та сама деформуюча сила ($\overline(F)$), використовуючи цей факт і закон Гука знайдемо подовження першої пружини:
Робота сили пружності при розтягуванні першої пружини дорівнює:
Враховуючи отримане (2.1) подовження першої пружини маємо:
Робота другої сили пружності:
Робота сили, яка розтягує систему пружин загалом, буде знайдена як:
Підставимо праві частини виразів (2.3) та (2.4) у формулу (2.5), отримуємо:
Обчислимо роботу:
\[А=\frac(2000\cdot (((10)^(-1)))^2)(2\cdot 1000)\left(2000+1000\right)=30\ \left(Дж\right) .\]
Відповідь.$А$=30 Дж
ПРУГІСТЬ, МОДУЛЬ ПРУГОСТІ, ЗАКОН ГУКА.Пружність – властивість тіла деформуватися під впливом навантаження та відновлювати початкову форму та розміри після її зняття. Прояв пружності найкраще простежити, провівши простий досвід із пружинними вагами - динамометром, схема якого показана на рис.1.
При навантаженні в 1 кг стрілка-індикатор зміститься на 1 поділ, при 2 кг - на два поділу, і так далі. Якщо навантаження послідовно знімати, процес йде у зворотний бік. Пружина динамометра – пружне тіло, її подовження D l, по-перше, пропорційно навантаженню Pі, по-друге, повністю зникає при повному знятті навантаження. Якщо побудувати графік, відкласти по вертикалі осі величини навантаження, а горизонтальної – подовження пружини, то виходять точки, що лежать на прямий, що проходить через початок координат, рис.2. Це справедливо як точок, що зображують процес навантаження так точок, відповідних навантаженню.
Кут нахилу прямої характеризує здатність пружини чинити опір дії навантаження: ясно, що «слабка» пружина (рис.3). Ці графіки називаються характеристиками пружини.
Тангенс кута нахилу характеристики називається жорсткістю пружини З. Тепер можна записати рівняння деформування пружини D l = P / C
Жорсткість пружини Змає розмірність кг/см122 і залежить від матеріалу пружини (наприклад, сталь або бронза) та її розмірів – довжини пружини, діаметра її витка та товщини дроту, з якого вона зроблена.
Тією чи іншою мірою всі тіла, які можна вважати твердими, мають властивість пружності, але помітити цю обставину можна далеко не завжди: пружні деформації зазвичай дуже малі і спостерігати їх без спеціальних приладів вдається практично лише при деформуванні пластинок, струн, пружин, гнучких стрижнів .
Прямим наслідком пружних деформацій є пружні коливання конструкцій та природних об'єктів. Можна легко виявити тремтіння сталевого моста, яким йде поїзд; іноді можна почути, як дзвенить посуд, коли на вулиці проїжджає важка вантажівка; всі струнні музичні інструменти так чи інакше перетворюють пружні коливання струн на коливання частинок повітря; в ударних інструментах теж пружні коливання (наприклад, мембрани барабана) перетворюються на звук.
Під час землетрусу відбуваються пружні коливання поверхні земної кори; при сильному землетрусі, крім пружних деформацій, виникають пластичні (які залишаються після катаклізму як зміни мікрорельєфу), а іноді з'являються тріщини. Ці явища не належать до пружності: можна сказати, що в процесі деформування твердого тіла спочатку завжди з'являються пружні деформації, потім пластичні, і нарешті утворюються мікротріщини. Пружні деформації дуже малі - не більше 1%, а пластичні можуть досягти 5-10% і більше, тому звичайне уявлення про деформації відноситься до пластичних деформацій - наприклад, пластилін або мідний дріт. Однак, незважаючи на свою дещицю, пружні деформації відіграють найважливішу роль у техніці: розрахунок на міцність авіалайнерів, підводних човнів, танкерів, мостів, тунелів, космічних ракет – це, в першу чергу, науковий аналіз малих пружних деформацій, що виникають у перерахованих об'єктах під дією експлуатаційних навантажень.
Ще в неоліті наші предки винайшли першу далекобійну зброю - лук і стріли, використовуючи пружність вигнутої гілки дерева; потім катапульти і балісти, побудовані для метання великих каменів, використовували пружність канатів, звитих з рослинних волокон або навіть з довгого довгого волосся. Ці приклади доводять, що прояв пружних властивостей давно відомий і давно використовувалося людьми. Але розуміння того, що будь-яке тверде тіло під дією навіть невеликих навантажень обов'язково деформується, хоч і на дуже малу величину, вперше з'явилося в 1660 році у Роберта Гука, сучасника та колеги великого Ньютона. Гук був видатним вченим, інженером та архітектором. У 1676 він сформулював своє відкриття дуже коротко, як латинського афоризму: «Ut tensio sic vis», сенс якого у тому, що «яка сила, таке й подовження». Але опублікував Гук не цю тезу, а лише його анаграму: «ceiiinosssttuu». (Таким чином тоді забезпечували пріоритет, не розкриваючи суті відкриття.)
Ймовірно, в цей час Гук уже розумів, що пружність – універсальна властивість твердих тіл, але вважав за необхідне підтвердити свою впевненість експериментально. У 1678 вийшла книга Гука, присвячена пружності, де описувалися досліди, з яких випливає, що пружність є властивість «металів, дерева, кам'яних порід, цегли, волосся, роги, шовку, кістки, м'язи, скла тощо». Там була розшифрована анаграма. Дослідження Роберта Гука призвели не тільки до відкриття фундаментального закону пружності, але й до винаходу пружинних хронометрів (до того були лише маятникові). Вивчаючи різні пружні тіла (пружини, стрижні, луки), Гук встановив, що «коефіцієнт пропорційності» (зокрема, жорсткість пружини) залежить від форми і розмірів пружного тіла, хоча матеріал грає вирішальну роль.
Пройшло більше ста років, протягом яких досліди з пружними матеріалами проводили Бойль, Кулон, Навье та деякі інші, менш відомі фізики. Одним з основних дослідів стало розтягування пробного стрижня з матеріалу, що вивчається. Для порівняння результатів, отриманих у різних лабораторіях, потрібно було використовувати завжди однакові зразки, або навчитися виключати злиття розмірів зразка. І в 1807 з'явилася книга Томаса Юнга, в якій було введено модуль пружності – величина, що описує властивість пружності матеріалу незалежно від форми та розмірів зразка, який використовувався у досвіді. Для цього потрібна сила P, прикладену до зразка, розділити на площу перерізу F, а подовження D, що відбулося при цьому lрозділити на початкову довжину зразка l. Відповідні відносини – це напруга s та деформація e.
Тепер закон Гука про пропорційність можна записати у вигляді:
s = Е e
Коефіцієнт пропорційності Еназивається модулем Юнга, що має розмірність, як у напруги (МПа), а позначення його є перша буква латинського слова elasticitat – пружність.
Модуль пружності Е– це характеристика матеріалу того самого типу, як його щільність чи теплопровідність.
У звичайних умовах, щоб деформувати тверде тіло, потрібна значна сила. Це означає, що модуль Емає бути великою величиною – порівняно з граничними напругами, після яких пружні деформації змінюються пластичними та форма тіла помітно спотворюється.
Якщо виміряти величину модуля Еу мегапаскалях (МПа), вийдуть такі середні значення:
Фізична природа пружності пов'язані з електромагнітним взаємодією (зокрема із силами Ван-дер-Ваальса у ґратах кристала). Можна вважати, що пружні деформації пов'язані із зміною відстані між атомами.
Пружний стрижень має ще одну фундаментальну властивість – тоншати при розтягуванні. Те, що канати при розтягуванні стають тоншими, було відомо давно, але спеціально поставлені досліди показали, що при розтягуванні пружного стрижня завжди є закономірність: якщо виміряти поперечну деформацію e", тобто зменшення ширини стрижня d b, ділене на початкову ширину b, тобто.
і розділити її на поздовжню деформацію e , то це ставлення залишається постійним при всіх значеннях сили, що розтягує P, тобто
(Вважають, що e " < 0; тому використовується абсолютна величина). Константа vназивається коефіцієнтом Пуассона (на ім'я французького математика та механіка Симона Дені Пуассона) і залежить тільки від матеріалу стрижня, але не залежить від його розмірів та форми перерізу. Величина коефіцієнта Пуассона для різних матеріалів змінюється від 0 (у пробки) до 0,5 (у гуми). В останньому випадку об'єм зразка в процесі розтягування не змінюється (такі матеріали називаються нестерпними). Для металів значення різні, але близькі до 0,3.
Модуль пружності Eі коефіцієнт Пуассона разом утворюють пару величин, які повністю характеризують пружні властивості будь-якого конкретного матеріалу (маються на увазі ізотропні матеріали, тобто такі, у яких властивості не залежать від напрямку; приклад деревини показує, що це не завжди так - її властивості вздовж волокон і поперек волокон сильно різняться. Анізотропними матеріалами є монокристали, багато композиційних матеріалів (композитів) типу склопластику.
Визначення
Силу, яка виникає в результаті деформації тіла і намагається повернути його у вихідний стан, називають силою пружності.
Найчастіше її позначають $(\overline(F))_(upr)$. Сила пружності виникає лише при деформації тіла і зникає, якщо пропадає деформація. Якщо після зняття зовнішнього навантаження тіло відновлює свої розміри та форму повністю, то така деформація називається пружною.
Сучасник І. Ньютона Р. Гук встановив залежність сили пружності від величини деформації. Гук довго сумнівався у справедливості своїх висновків. В одній зі своїх книг він навів зашифроване формулювання свого закону. Яка означала: "Ut tensio, sic vis" у перекладі з латини: яке розтягнення, така сила.
Розглянемо пружину, на яку діє сила, що розтягує ($\overline(F)$), яка спрямована вертикально вниз (рис.1).
Силу $\overline(F\ )$ назвемо деформуючою силою. Від впливу сили, що деформує, довжина пружини збільшується. В результаті в пружині з'являється сила пружності ($(\overline(F))_u$), що врівноважує силу $\overline(F\ )$. Якщо деформація є невеликою та пружною, то подовження пружини ($\Delta l$) прямо пропорційно деформуючій силі:
\[\overline(F)=k\Delta l\left(1\right),\]
де коефіцієнт пропорційності називається жорсткістю пружини (коефіцієнтом пружності) $k$.
Жорсткість (як властивість) – це характеристика пружних властивостей тіла, що деформують. Жорсткість вважають можливістю тіла протидіяти зовнішній силі, здатність зберігати свої геометричні параметри. Чим більша жорсткість пружини, тим менше вона змінює свою довжину під впливом заданої сили. Коефіцієнт жорсткості – це основна характеристика жорсткості (як властивості тіла).
Коефіцієнт жорсткості пружини залежить від матеріалу, з якого зроблена пружина та її геометричних характеристик. Наприклад, коефіцієнт жорсткості кручений циліндричної пружини, яка намотана з дроту круглого перерізу, що піддається пружній деформації вздовж своєї осі може бути обчислена як:
де $G$ - модуль зсуву (величина, що залежить від матеріалу); $d$ - діаметр дроту; $d_p$ - діаметр витка пружини; $n$ - кількість витків пружини.
Одиницею вимірювання коефіцієнта жорсткості у Міжнародній системі одиниць (Сі) є ньютон, поділений на метр:
\[\left=\left[\frac(F_(upr\ ))(x)\right]=\frac(\left)(\left)=\frac(Н)(м).\]
p align="justify"> Коефіцієнт жорсткості дорівнює величині сили, яку слід прикласти до пружини для зміни її довжини на одиницю відстані.
Формула жорсткості з'єднань пружин
Нехай $N$ пружин з'єднані послідовно. Тоді жорсткість всього з'єднання дорівнює:
\[\frac(1)(k)=\frac(1)(k_1)+\frac(1)(k_2)+\dots =\sum\limits^N_(\ i=1)(\frac(1) (k_i)\left(3\right),)\]
де $k_i$ - жорсткість $i-ої пружини.
При послідовному з'єднанні пружин жорсткість системи визначають як:
Приклади завдань із розв'язанням
Приклад 1
Завдання.Пружина без навантаження має довжину $l=0,01$ м і жорсткість рівну 10 $\frac(Н)(м).\ $Чому дорівнюватиме жорсткість пружини та її довжина, якщо на пружину діяти силою $F$= 2 Н ? Вважайте деформацію пружини малою та пружною.
Рішення.Жорсткість пружини при пружних деформаціях є постійною величиною, отже, у нашому завданні:
За пружних деформацій виконується закон Гука:
З (1.2) знайдемо подовження пружини:
\[\Delta l=\frac(F)(k)\left(1.3\right).\]
Довжина розтягнутої пружини дорівнює:
Обчислимо нову довжину пружини:
Відповідь. 1) $ k "= 10 \ \ frac (Н) (м) $; 2) $ l" = 0,21 $ м
Приклад 2
Завдання.Дві пружини, що мають жорсткість $k_1$ і $k_2$ з'єднали послідовно. Яким буде подовження першої пружини (рис.3), якщо довжина другої пружини збільшилася на величину $ Delta l_2 $?
Рішення.Якщо пружини з'єднані послідовно, то деформуюча сила ($\overline(F)$), що діє на кожну з пружин однакова, тобто можна записати для першої пружини:
Для другої пружини запишемо:
Якщо рівні ліві частини виразів (2.1) і (2.2), можна прирівняти і праві частини:
З рівності (2.3) отримаємо подовження першої пружини:
\[\Delta l_1=\frac(k_2\Delta l_2)(k_1).\]
Відповідь.$\Delta l_1=\frac(k_2\Delta l_2)(k_1)$