Імпульс сили. Імпульс тіла

Основні динамічні величини: сила, маса, імпульс тіла, момент сили, момент імпульсу.

Сила – це векторна величина, яка є мірою на дане тіло інших тіл або полів.

Сила характеризується:

· Модулем

· Напрямком

· Точкою програми

У системі СІ сила вимірюється у ньютонах.

Для того щоб зрозуміти, що таке сила в один ньютон, нам треба згадати, що сила, прикладена до тіла, змінює його швидкість. Крім того, згадаємо про інертність тіл, яка, як ми пам'ятаємо, пов'язана з їхньою масою. Отже,

Один ньютон – це така сила, яка змінює швидкість тіла масою 1 кг на 1 м/с за кожну секунду.

Прикладами сил можуть бути:

· Сила тяжіння– сила, що діє на тіло внаслідок гравітаційної взаємодії.

· Сила пружності– сила, з якою тіло пручається зовнішньому навантаженню. Її причиною є електромагнітна взаємодія молекул тіла.

· Сила Архімеда– сила, пов'язана з тим, що тіло витісняє певний об'єм рідини чи газу.

· Сила реакції опори- Сила, з якою опора діє на тіло, що знаходиться на ній.

· Сила тертя– сила опору щодо переміщення контактуючих поверхонь тел.

· Сила поверхневого натягу - сила, що виникає на межі поділу двох середовищ.

· Вага тіла– сила, з якою тіло діє на горизонтальну опору або вертикальний підвіс.

та інші сили.

Сила вимірюється за допомогою спеціального приладу. Цей пристрій називається динамометром (рис. 1). Динамометр складається з пружини 1, розтягування якої і показує нам силу, стрілки 2, що ковзає за шкалою 3, планки-обмежувача 4, яка не дає розтягнутися пружині надто сильно, і гачка 5, до якого підвішується вантаж.

Мал. 1. Динамометр (Джерело)

На тіло можуть діяти багато сил. Щоб правильно описати рух тіла, зручно користуватися поняттям рівнодіючої сил.

Равнодіюча сил – це сила, дія якої замінює дію всіх сил, що додаються до тіла (Рис. 2).

Знаючи правила роботи з векторними величинами, легко здогадатися, що рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла, – це векторна сума цих сил.

Мал. 2. Рівночинна двох сил, що діють на тіло

Крім того, оскільки ми з вами розглядаємо рух тіла в будь-якій системі координат, нам зазвичай вигідно розглядати не саму силу, а її проекцію на вісь. Проекція сили на вісь може бути негативною чи позитивною, тому що проекція – це величина скалярна. Так, малюнку 3 зображені проекції сил, проекція сили – негативна, а проекція сили – позитивна.

Мал. 3. Проекції сил на вісь

Отже, із цього уроку ми з вами поглибили своє розуміння поняття сили. Ми згадали одиниці виміру сили та прилад, за допомогою якого вимірюється сила. Крім того, ми розглянули, які сили існують у природі. Нарешті, ми дізналися, як можна діяти, якщо на тіло діє кілька сил.

Маса, фізична величина, одна з основних характеристик матерії, що визначає її інерційні та гравітаційні властивості. Відповідно розрізняють Масу інертну та Масу гравітаційну (важку, тяжку).

Поняття Маса було введено у механіку І. Ньютоном. У класичній механіці Ньютона Масса входить у визначення імпульсу (кількості руху) тіла: імпульс рпропорційний швидкості руху тіла v, p = mv(1). Коефіцієнт пропорційності - постійна для цього тіла величина m- І є Маса тіла. Еквівалентне визначення Маси виходить із рівняння руху класичної механіки f = ma(2). Тут Маса - коефіцієнт пропорційності між силою, що діє на тіло. fі викликаним нею прискоренням тіла a. Певна співвідношеннями (1) та (2) Маса називається інерційною масою, або інертною масою; вона характеризує динамічні властивості тіла, є мірою інерції тіла: при постійній силі чим більше Маса тіла, тим менше прискорення воно набуває, тобто тим повільніше змінюється стан його руху (тим більша його інерція).

Діючи на різні тіла однією і тією самою силою і вимірюючи їх прискорення, можна визначити відносини Маса цих тіл: m 1: m 2: m 3 ... = а 1: а 2: а 3 ...; якщо одну з Мас прийняти за одиницю виміру, можна знайти Масу інших тіл.

Теоретично гравітації Ньютона Масса виступає у інший формі - як джерело поля тяжіння. Кожне тіло створює поле тяжіння, пропорційне Масі тіла (і зазнає впливу поля тяжіння, створюваного іншими тілами, сила якого також пропорційна Масі тіл). Це поле викликає тяжіння будь-якого іншого тіла до цього тіла з силою, яка визначається законом тяжіння Ньютона:

(3)

де r- Відстань між тілами, G- універсальна гравітаційна постійна, a m 1і m 2- Маси тіл, що притягуються. З формули (3) легко отримати формулу для ваги Ртіла маси mу полі тяжіння Землі: Р = mg (4).

Тут g = G*M/r 2- прискорення вільного падіння у гравітаційному полі Землі, а r » R- Радіус Землі. Маса, яка визначається співвідношеннями (3) і (4), називається гравітаційною масою тіла.

У принципі нізвідки годі було, що Маса, що створює поле тяжіння, визначає і інерцію тієї самої тіла. Однак досвід показав, що інертна і гравітаційна маса пропорційні один одному (а при звичайному виборі одиниць вимірювання чисельно рівні). Цей фундаментальний закон природи називається принципом еквівалентності. Його відкриття пов'язані з ім'ям Г.Галілея, який встановив, що це тіла Землі падають з однаковим прискоренням. А.Ейнштейн поклав цей принцип (їм уперше сформульований) в основу загальної теорії відносності. Експериментально принцип еквівалентності встановлений із дуже великою точністю. Вперше (1890-1906) прецизійна перевірка рівності інертної та гравітаційної Мас була зроблена Л. Етвешем, який виявив, що Маси збігаються з помилкою ~ 10 -8 . У 1959-64 роках американські фізики Р.Дікке, Р.Кротков і П.Ролл зменшили помилку до 10-11, а 1971 року радянські фізики В.Б.Брагінський і В.І.Панов - до 10-12.

Принцип еквівалентності дозволяє найбільш природно визначати масу тіла зважуванням.

Спочатку Маса розглядалася (наприклад, Ньютоном) як міра кількості речовини. Таке визначення має ясний сенс лише порівняння однорідних тіл, побудованих з одного матеріалу. Воно підкреслює адитивність Маси - Маса тіла дорівнює сумі Маси його частин. Маса однорідного тіла пропорційна його об'єму, тому можна запровадити поняття щільності – маси одиниці об'єму тіла.

У класичній фізиці вважалося, що Маса тіла не змінюється у жодних процесах. Цьому відповідав закон збереження Маси (речовини), відкритий М.В.Ломоносовим та А.Л.Лавуазьє. Зокрема, цей закон стверджував, що у будь-якій хімічній реакції сума Мас вихідних компонентів дорівнює сумі Мас кінцевих компонентів.

Поняття Маса набуло глибшого сенсу в механіці спеціальної теорії відносності А. Ейнштейна, що розглядає рух тіл (або частинок) з дуже великими швидкостями - порівнянними зі швидкістю світла з ~ 31010 см/сек. У новій механіці – вона називається релятивістською механікою – зв'язок між імпульсом та швидкістю частинки дається співвідношенням:

(5)

При малих швидкостях ( v << c) це співвідношення переходить у Ньютонове співвідношення р = mv. Тому величину m 0називають масою спокою, а Масу частинки, що рухається mвизначають як залежний від швидкості коефіцієнт пропорційності між pі v:

(6)

Маючи на увазі, зокрема, цю формулу, кажуть, що маса частинки (тіла) зростає зі збільшенням її швидкості. Таке релятивістське зростання Маси частки у міру підвищення її швидкості необхідно враховувати при конструюванні прискорювачів заряджених високих енергій. Маса спокою m 0(Маса у системі відліку, пов'язаної з часткою) є найважливішою внутрішньою характеристикою частки. Всі елементарні частинки мають строго певні значення m 0, Притаманними даному сорту частинок.

Слід зазначити, що в релятивістській механіці визначення Маси з рівняння руху (2) не еквівалентне визначенню Маси як коефіцієнта пропорційності між імпульсом і швидкістю частинки, так як прискорення перестає бути паралельним силі, що викликала його, і Маса виходить залежною від напрямку швидкості частинки.

Відповідно до теорії відносності, Маса частинки mпов'язана з її енергією Еспіввідношенням:

(7)

Маса спокою визначає внутрішню енергію частки - так звану енергію спокою Е 0 = m 0 з 2. Таким чином, з Масою завжди пов'язана енергія (і навпаки). Тому не існує окремо (як у класичній фізиці) закону збереження Маси та закону збереження енергії - вони злиті в єдиний закон збереження повної (тобто включає енергію спокою частинок) енергії. Наближений поділ на закон збереження енергії та закон збереження Маси можливий лише в класичній фізиці, коли швидкості частинок малі ( v << c) і відбуваються процеси перетворення частинок.

У релятивістській механіці Маса не є адитивною характеристикою тіла. Коли дві частинки з'єднуються, утворюючи один складовий стійкий стан, при цьому виділяється надлишок енергії (рівний енергії зв'язку) D Е, який відповідає Масі D m = D E/с 2. Тому Маса складової частинки менше суми Мас утворюють його частинок на величину D E/с 2(Так званий дефект мас). Цей ефект проявляється особливо сильно у ядерних реакціях. Наприклад, Маса дейтрона ( d) менше суми Мас протона ( p) та нейтрону ( n); дефект Мас D mпов'язаний з енергією Е gгамма-кванта ( g), що народжується при утворенні дейтрона: р + n -> d + g, E g = Dmc 2. Дефект Маси, що виникає при утворенні складової частки, відображає органічний зв'язок Маси та енергії.

Одиницею Маси у СГС системі одиниць служить грам, а в Міжнародна система одиницьСІ - кілограм. Маса атомів та молекул зазвичай вимірюється в атомних одиницях маси. Маса елементарних частинок прийнято виражати або в одиницях Маси електрона m e, або енергетичних одиницях, вказуючи енергію спокою відповідної частки. Так, Маса електрона становить 0,511 Мев, Маса протона – 1836,1 m e, або 938,2 МеВ і т.д.

Природа Маси - одне з найважливіших невирішених завдань сучасної фізики. Вважають, що Маса елементарної частки визначається полями, які з нею пов'язані (електромагнітним, ядерним та іншими). Проте кількісна теорія Маси ще створено. Не існує також теорії, що пояснює, чому Маса елементарних частинок утворюють дискретний спектр значень і тим більше дозволяє визначити цей спектр.

В астрофізиці Маса тіла, що створює гравітаційне поле, визначає так званий гравітаційний радіус тіла R гр = 2GM/c 2. Внаслідок гравітаційного тяжіння ніяке випромінювання, у тому числі світлове, не може вийти назовні за поверхню тіла з радіусом. R =< R гр . Зірки таких розмірів невидимі; тому їх назвали "чорними дірками". Такі небесні тіла повинні відігравати важливу роль у Всесвіті.

Імпульс сили. Імпульс тіла

Поняття імпульсу було запроваджено ще першій половині XVII століття Рене Декартом, та був уточнено Ісааком Ньютоном. Згідно з Ньютоном, який називав імпульс кількістю руху, – це є міра такого, пропорційна швидкості тіла та його масі. Сучасне визначення: імпульс тіла – це фізична величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість:

Насамперед, з наведеної формули видно, що імпульс – величина векторна та її напрямок збігається з напрямом швидкості тіла, одиницею вимірювання імпульсу служить:

= [ кг · м / с]

Розглянемо, яким чином ця фізична величина пов'язані з законами руху. Запишемо другий закон Ньютона, враховуючи, що прискорення є зміна швидкості з часом:

В наявності зв'язок між силою, що діє на тіло, точніше, рівнодіючої сил і зміною його імпульсу. Величина добутку сили на проміжок часу зветься імпульсом сили.З наведеної формули видно, що зміна імпульсу тіла дорівнює імпульсу сили.

Які ефекти можна описати за допомогою рівняння (рис. 1)?

Мал. 1. Зв'язок імпульсу сили з імпульсом тіла (Джерело)

Стріла, що випускається із цибулі. Чим довше продовжується контакт тятиви зі стрілою (∆t), тим більша зміна імпульсу стріли (∆ ), а отже, тим вища її кінцева швидкість.

Дві стикаються кульки. Поки кульки знаходяться в контакті, вони діють одна на одну з рівними за модулем силами, як навчає нас третій закон Ньютона. Отже, зміни їх імпульсів також мають бути рівними по модулю, навіть якщо маси кульок не рівні.

Проаналізувавши формули, можна зробити два важливі висновки:

1. Однакові сили, що діють протягом однакового проміжку часу, спричиняють однакові зміни імпульсу у різних тіл, незалежно від маси останніх.

2. Одного і того ж зміни імпульсу тіла можна досягти, або діючи невеликою силою протягом тривалого проміжку часу, або короткочасно діючи великою силою на те ж саме тіло.

Згідно з другим законом Ньютона, можемо записати:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

Відношення зміни імпульсу тіла до проміжку часу, протягом якого ця зміна відбулася, дорівнює сумі сил, що діють на тіло.

Проаналізувавши це рівняння, бачимо, що другий закон Ньютона дозволяє розширити клас розв'язуваних завдань, і включити завдання, у яких маса тіл змінюється з часом.

Якщо ж спробувати вирішити завдання зі змінною масою тіл за допомогою звичайного формулювання другого закону Ньютона:

то спроба такого рішення призвела б до помилки.

Прикладом тому можуть бути вже згадувані реактивний літак або космічна ракета, які під час руху спалюють паливо, і продукти цього спалюваного викидають у навколишній простір. Природно, маса літака чи ракети зменшується у міру витрати палива.

МОМЕНТ СИЛИ- Величина, що характеризує обертальний ефект сили; має розмірність добутку довжини на силу. Розрізняють момент силищодо центру (точки) та щодо осі.

M. с. щодо центру Прозв. Векторна величина M 0 , рівна векторному твору радіуса-вектора r , проведеного з Oдо точки докладання сили F , на силу M 0 = [rF ] або в інших позначеннях M 0 = r F (Мал.). Чисельно M. с. дорівнює добутку модуля сили на плече h, тобто на довжину перпендикуляра, опущеного з Прона лінію дії сили, або подвоєної площі

трикутника, побудованого на центрі Oі силі:

Направлений вектор M 0 перпендикулярно до площини, що проходить через Oі F . Сторона, куди прямує M 0 , вибирається умовно ( M 0 – аксіальний вектор). При правій системі координат вектор M 0 направляють у той бік, звідки поворот, що чиниться силою, видно проти ходу годинникової стрілки.

M. с. щодо осі z зв. скалярна величина M z, рівна проекції на вісь zвектора M. с. щодо будь-якого центру Провзятого на цій осі; величину M zможна ще визначати як проекцію на площину ху, перпендикулярну до осі z, площі трикутника OABабо як момент проекції F xyсили F на площину хувзятий щодо точки перетину осі z з цією площиною. T. о.,

У двох останніх виразах M. с. вважається позитивним, коли поворот сили F xyвидно з покладе. кінця осі z проти ходу годинникової стрілки (у правій системі координат). M. с. щодо координатних осей Oxyzможуть також обчислюватися за аналітич. ф-лам:

де F x , F y , F z- Проекції сили F на координатні осі, х, у, z- координати точки Адокладання сили. Величини M x , M y , M zрівні проекціям вектора M 0 координатні осі.

У повсякденному житті для того, щоб охарактеризувати людину, яка робить спонтанні вчинки, іноді використовують епітет «імпульсивний». При цьому деякі люди навіть не пам'ятають, а значна частина зовсім не знає, з якою фізичною величиною пов'язане це слово. Що ховається під поняттям «імпульс тіла» і які властивості він має? Відповіді на ці запитання шукали такі великі вчені, як Рене Декарт та Ісаак Ньютон.

Як і будь-яка наука, фізика оперує чітко сформульованими поняттями. На даний момент прийнято таке визначення для величини, що має назву імпульсу тіла: це векторна величина, яка є мірою (кількістю) механічного руху тіла.

Припустимо, що питання розглядається в рамках класичної механіки, тобто вважається, що тіло рухається зі звичайною, а не з релятивістською швидкістю, а значить, вона хоча б на порядок менша за швидкість світла у вакуумі. Тоді модуль імпульсу тіла розраховується за формулою 1 (див. фото нижче).

Таким чином, за визначенням, ця величина дорівнює добутку маси тіла на його швидкість, з якою направлений її вектор.

Як одиниця виміру імпульсу в СІ (Міжнародній системі одиниць) приймається 1 кг/м/с.

Звідки з'явився термін «імпульс»

За кілька століть до того, як у фізиці з'явилося поняття кількості механічного руху тіла, вважалося, що причиною будь-якого переміщення у просторі є особлива сила — імпетус.

У 14 столітті це поняття вніс корективи Жан Буридан. Він припустив, що камінь, що летить, має імпетус, прямо пропорційний швидкості, який був би незмінним, якби не було опору повітря. У той же час, на думку цього філософа, тіла з великою вагою мали здатність «вміщати» більше такої рушійної сили.

Подальший розвиток поняття, пізніше названого імпульсом, дав Рене Декарт, який позначив його словами «кількість руху». Однак він не враховував, що швидкість має спрямування. Саме тому висунута ним теорія у деяких випадках суперечила досвіду та не знайшла визнання.

Про те, що кількість руху має мати ще й напрямок, першим здогадався англійський вчений Джон Валліс. Сталося це 1668 року. Однак знадобилося ще кілька років, щоб він сформулював відомий закон збереження кількості руху. Теоретичний доказ цього факту, встановленого емпіричним шляхом, дав Ісаак Ньютон, який використовував відкриті ним же третій і другий закони класичної механіки, названі його ім'ям.

Імпульс системи матеріальних точок

Розглянемо спочатку випадок, коли йдеться про швидкості, набагато менші, ніж швидкість світла. Тоді, згідно із законами класичної механіки, повний імпульс системи матеріальних точок становить векторну величину. Він дорівнює сумі творів їх мас на швидкості (див. формулу 2 на зображенні вище).

При цьому імпульс однієї матеріальної точки приймають векторну величину (формула 3), яка сонаправлена ​​зі швидкістю частинки.

Якщо йдеться про тіло кінцевого розміру, то спочатку його подумки розбивають на малі частини. Таким чином, знову розглядається система матеріальних точок, проте її імпульс розраховують не звичайним підсумовуванням, а шляхом інтегрування (див. формулу 4).

Як бачимо, тимчасова залежність відсутня, тому імпульс системи, яку не впливають зовнішні сили (чи його вплив взаємно компенсовано), залишається незмінним у часі.

Доказ закону збереження

Продовжимо розглядати тіло кінцевого розміру як систему матеріальних точок. Для кожної з них другий закон Ньютона формулюється згідно з формулою 5.

Звернімо увагу на те, що система замкнута. Тоді, підсумовуючи за всіма точками і застосовуючи Третій закон Ньютона, отримуємо вираз 6.

Таким чином, імпульс замкнутої системи є незмінною величиною.

Закон збереження справедливий і в тих випадках, коли повна сума сил, що діють на систему ззовні, дорівнює нулю. Звідси випливає одне важливе приватне твердження. Воно говорить, що імпульс тіла є постійною величиною, якщо вплив ззовні відсутній або вплив кількох сил компенсований. Наприклад, без тертя після удару ключкою шайба повинна зберігати свій імпульс. Така ситуація спостерігатиметься навіть незважаючи на те, що на це тіло діють сила тяжкості та реакції опори (льоду), оскільки вони, хоч і рівні по модулю, проте направлені в протилежні сторони, тобто компенсують один одного.

Властивості

Імпульс тіла чи матеріальної точки є адитивною величиною. Що це означає? Все просто: імпульс механічної системи матеріальних точок складається з імпульсів всіх матеріальних точок, що входять в систему.

Друга властивість цієї величини полягає в тому, що вона залишається незмінною при взаємодіях, що змінюють лише механічні характеристики системи.

Крім того, імпульс інваріантний по відношенню до будь-якого повороту системи відліку.

Релятивістський випадок

Припустимо, що йдеться про невзаємодіючі матеріальні точки, що мають швидкості близько 10 у 8-му ступені або трохи менше в системі СІ. Тривимірний імпульс розраховується за формулою 7, де під розуміють швидкість світла вакуумі.

У випадку, коли вона замкнута, вірним є закон збереження кількості руху. У той же час тривимірний імпульс не є релятивістською інваріантною величиною, оскільки є його залежність від системи відліку. Є також чотиривимірний варіант. Для однієї матеріальної точки його визначають за такою формулою 8.

Імпульс та енергія

Ці величини, і навіть маса тісно пов'язані друг з одним. У практичних завданнях зазвичай застосовуються співвідношення (9) та (10).

Визначення через хвилі де Бройля

У 1924 року була висловлена ​​гіпотеза у тому, що корпускулярно-хвильовим дуалізмом мають як фотони, а й будь-які інші частки (протони, електрони, атоми). Її автором став французький вчений Луї де Бройль. Якщо перекласти цю гіпотезу на мову математики, то можна стверджувати, що з будь-якою часткою, що має енергію та імпульс, пов'язана хвиля з частотою і довжиною, формулами 11 і 12, що виражаються відповідно (h — постійна Планка).

З останнього співвідношення отримуємо, що модуль імпульсу і довжина хвилі, що позначається буквою «лямбда», пропорційні назад один одному (13).

Якщо розглядається частка з порівняно невисокою енергією, яка рухається зі швидкістю, несумірною зі швидкістю світла, модуль імпульсу обчислюється так само, як у класичній механіці (див. формулу 1). Отже, довжина хвилі розраховується згідно з виразом 14. Іншими словами, вона обернено пропорційна добутку маси та швидкості частинки, тобто її імпульсу.

Тепер ви знаєте, що імпульс тіла - це міра механічного руху і познайомилися з його властивостями. Серед них у практичному плані особливо важливим є Закон збереження. Навіть люди, далекі від фізики, спостерігають його у повсякденному житті. Наприклад, усім відомо, що вогнепальна зброя та артилерійські гармати дають віддачу під час стрільби. Закон збереження імпульсу наочно демонструє гра в більярд. З його допомогою можна передбачити напрямки розльоту куль після удару.

Закон знайшов застосування при розрахунках, необхідних вивчення наслідків можливих вибухів, у сфері створення реактивних апаратів, при проектуванні вогнепальної зброї та у багатьох інших сферах життя.

Його рухи, тобто. величина.

Імпульс- Векторна величина, що збігається у напрямку з вектором швидкості .

Одиниця виміру імпульсу в системі СІ: кг м/с .

Імпульс системи тіл дорівнює векторній сумі імпульсів усіх тіл, що входять до системи:

Закон збереження імпульсу

Якщо на систему тіл, що взаємодіють, діють додатково зовнішні сили, наприклад, то в цьому випадку справедливе співвідношення, яке іноді називають законом зміни імпульсу:

Для замкнутої системи (за відсутності зовнішніх сил) справедливий закон збереження імпульсу:

Дія закону збереження імпульсу можна пояснити явище віддачі при стрільбі з гвинтівки або при артилерійській стрільбі. Також дія закону збереження імпульсу є основою принципу роботи всіх реактивних двигунів.

При вирішенні фізичних завдань законом збереження імпульсу користуються, коли знання всіх деталей руху не потрібно, а важливим є результат взаємодії тіл. Такими завданнями, наприклад, є завдання про зіткнення або зіткнення тел. Законом збереження імпульсу користуються при розгляді руху тіл змінної маси, таких як ракети-носії. Більшість маси такої ракети становить паливо. На активній ділянці польоту це паливо вигоряє, і маса ракети на цій ділянці траєкторії швидко зменшується. Також закон збереження імпульсу необхідний у випадках, коли поняття . Важко собі уявити ситуацію, коли нерухоме тіло набуває деякої швидкості миттєво. У звичайній практиці тіла завжди розганяються та набирають швидкість поступово. Однак при русі електронів та інших субатомних частинок зміна їхнього стану відбувається стрибком без перебування у проміжних станах. У разі класичне поняття «прискорення» застосовувати не можна.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Завдання	Снаряд масою 100 кг, що летить горизонтально вздовж залізничної колії зі швидкістю 500 м/с, потрапляє у вагон із піском масою 10 т і застряє у ньому. Яку швидкість отримає вагон, якщо він рухався зі швидкістю 36 км/год у напрямку, протилежному до руху снаряда?
Рішення	Система вагон+снаряд замкнута, тому в даному випадку можна застосувати закон збереження імпульсу. Виконаємо малюнок, вказавши стан тіл до та після взаємодії. При взаємодії снаряда та вагона має місце пружний удар. Закон збереження імпульсу у разі запишеться як: Вибираючи напрямок осі, що збігається з напрямком руху вагона, запишемо проекцію цього рівняння на координатну вісь: звідки швидкість вагона після попадання до нього снаряда: Перекладаємо одиниці у систему СІ: т кг. Обчислимо:
Відповідь	Після влучення снаряда вагон рухатиметься зі швидкістю 5 м/с.

ПРИКЛАД 2

Завдання	Снаряд масою m=10 кг володів швидкістю v=200 м/с у верхній точці. У цій точці він розірвався на дві частини. Найменша частина масою m 1 =3 кг отримала швидкість v 1 =400 м/с у колишньому напрямку під кутом до горизонту. З якою швидкістю та в якому напрямку полетить більша частина снаряда?
Рішення	Траєкторія руху снаряда – парабола. Швидкість тіла завжди спрямована щодо до траєкторії. У верхній точці траєкторії швидкість снаряда паралельна осі. Запишемо закон збереження імпульсу: Перейдемо від векторів до скалярних величин. Для цього зведемо обидві частини векторної рівності квадрат і скористаємося формулами для : Враховуючи, що , і що , знаходимо швидкість другого осколка: Підставивши в отриману формулу чисельні значення фізичних величин, обчислимо: Напрямок польоту більшої частини снаряда визначимо, скориставшись: Підставивши у формулу чисельні значення, отримаємо:
Відповідь	Більшість снаряда полетить зі швидкістю 249 м/с вниз під кутом до горизонтального напрямку.

ПРИКЛАД 3

Завдання	Маса поїзда 3000 т. Коефіцієнт тертя 0,02. Якою має бути паровоз, щоб поїзд набрав швидкість 60 км/год через 2 хв після початку руху.
Рішення	Так як на поїзд діє (зовнішня сила), систему не можна вважати замкненою, і закон збереження імпульсу в даному випадку не виконується. Скористаємося законом зміни імпульсу: Так як сила тертя завжди спрямована у бік, протилежний руху тіла, в проекцію рівняння на вісь координат (напрямок осі збігається з напрямком руху поїзда) імпульс сили тертя увійде зі знаком «мінус»:

Змінюються, тому що на кожне з тіл діють сили взаємодії, проте сума імпульсів залишається постійною. Це і називається законом збереження імпульсу.

Другий закон Ньютонавиражається формулою. Її можна записати іншим способом, якщо згадати, що прискорення дорівнює швидкості зміни швидкості тіла. Для рівноприскореного руху формула матиме вигляд:

Якщо підставити цей вираз у формулу, отримаємо:

,

Цю формулу можна переписати у вигляді:

У правій частині цієї рівності записано зміну добутку маси тіла на його швидкість. Добуток маси тіла на швидкість є фізичною величиною, яка називається імпульсом тілаабо кількістю руху тіла.

Імпульсом тіланазивають добуток маси тіла на його швидкість. Це — векторна величина. Напрямок вектора імпульсу збігається із напрямом вектора швидкості.

Іншими словами, тіло масою m, що рухається зі швидкістю має імпульс . За одиницю імпульсу СІ прийнятий імпульс тіла масою 1 кг , що рухається зі швидкістю 1 м/с (кг·м/с). При взаємодії друг з одним двох тіл якщо перше діє друге тіло силою , то, згідно з третім законом Ньютона , друге діє перше силою . Позначимо маси цих двох тіл через m 1 та m 2 , які швидкості відносно будь-якої системи відліку через і . Через деякий час tв результаті взаємодії тіл їх швидкості зміняться і стануть рівними і . Підставивши ці значення формулу, отримаємо:

,

,

Отже,

Змінимо знаки обох частин рівності на протилежні та запишемо у вигляді

У лівій частині рівності - сума початкових імпульсів двох тіл, у правій частині - сума імпульсів тих самих тіл через час t. Суми рівні між собою. Таким чином, незважаючи на те. що імпульс кожного тіла при взаємодії змінюється, повний імпульс (сума імпульсів обох тіл) залишається незмінним.

Дійсно і тоді, коли взаємодіють кілька тіл. Однак, важливо, щоб ці тіла взаємодіяли тільки один з одним і на них не діяли сили з боку інших тіл, що не входять до системи (або щоб зовнішні сили врівноважувалися). Група тіл, що не взаємодіє з іншими тілами, називається замкнутою системоюсправедливий лише для замкнутих систем.

Імпульс – це одна з найбільш фундаментальних характеристик фізичної системи. Імпульс замкнутої системи зберігається при будь-яких процесах, що відбуваються в ній.

Знайомство з цією величиною почнемо з найпростішого випадку. Імпульсом матеріальної точки маси, що рухається зі швидкістю, називається твір

Закон зміни імпульсу.З цього визначення можна за допомогою другого закону Ньютона визначити закон зміни імпульсу частинки внаслідок дії на неї деякої сили Змінюючи швидкість частки, сила змінює та її імпульс: . У разі постійної чинної сили тому

Швидкість зміни імпульсу матеріальної точки дорівнює рівнодіючої всіх сил, що діють на неї. При постійній силі проміжок часу (2) може бути взятий будь-яким. Тому зміни імпульсу частки за цей проміжок справедливо

У разі сили, що змінюється з часом, весь проміжок часу слід розбити на малі проміжки протягом кожного з яких силу можна вважати постійною. Зміна імпульсу частинки за окремий проміжок обчислюється за такою формулою (3):

Повна зміна імпульсу за весь проміжок часу, що розглядається, дорівнює векторній сумі змін імпульсу за всі проміжки.

Якщо скористатися поняттям похідної, то замість (2), очевидно, закон зміни імпульсу частки записується як

Імпульс сили.Зміна імпульсу за кінцевий проміжок часу від 0 до виражається інтегралом

Розмір, що стоїть у правій частині (3) або (5), називається імпульсом сили. Таким чином, зміна імпульсу Др матеріальної точки за проміжок часу дорівнює імпульсу сили, що діяла на нього протягом цього проміжку часу.

Рівності (2) і (4) є по суті інше формулювання другого закону Ньютона. Саме у такому вигляді цей закон і був сформульований самим Ньютоном.

Фізичний сенс поняття імпульсу тісно пов'язаний з наявним у кожного з нас інтуїтивним або почерпнутим з повсякденного досвіду уявленням про те, чи легко зупинити тіло, що рухається. Значення тут мають не швидкість або маса тіла, що зупиняється, а те й інше разом, тобто саме його імпульс.

Імпульс системи.Поняття імпульсу стає особливо змістовним, коли воно застосовується до системи взаємодіючих матеріальних точок. Повним імпульсом Р системи частинок називається векторна сума імпульсів окремих частинок в той самий момент часу:

Тут підсумовування виконується по всіх частинках, що входять в систему, так що число доданків дорівнює числу частинок системи.

Внутрішні та зовнішні сили.До закону збереження імпульсу системи взаємодіючих частинок легко прийти безпосередньо з другого та третього законів Ньютона. Сили, що діють на кожну з частинок, що входять в систему, розіб'ємо на дві групи: внутрішні і зовнішні. Внутрішня сила - це сила, з якою частка діє на Зовнішня сила - це сила, з якою діють на частинку всі тіла, які входять до складу аналізованої системи.

Закон зміни імпульсу частинки відповідно до (2) або (4) має вигляд

Складемо почленно рівняння (7) всім частинок системи. Тоді в лівій частині, як випливає з (6), отримаємо швидкість зміни

повного імпульсу системи Оскільки внутрішні сили взаємодії між частинками задовольняють третій закон Ньютона:

то при складанні рівнянь (7) у правій частині, де внутрішні сили зустрічаються лише парами, їх сума звернеться в нуль. В результаті отримаємо

Швидкість зміни повного імпульсу дорівнює сумі зовнішніх сил, що діють на всі частки.

Звернімо увагу на те, що рівність (9) має такий самий вигляд, як і закон зміни імпульсу однієї матеріальної точки, причому в праву частину входять лише зовнішні сили. У замкнутій системі, де зовнішні сили відсутні, повний імпульс системи Р не змінюється незалежно від того, які внутрішні сили діють між частинками.

Повний імпульс не змінюється і в тому випадку, коли зовнішні сили, що діють на систему, у сумі дорівнюють нулю. Може виявитися, що сума зовнішніх сил дорівнює нулю лише вздовж якогось напрямку. Хоча фізична система в цьому випадку і не замкнута, складова повного імпульсу вздовж цього напрямку, як випливає з формули (9), залишається незмінною.

Рівняння (9) характеризує систему матеріальних точок загалом, але належить до певного моменту часу. З нього легко отримати закон зміни імпульсу системи за кінцевий проміжок часу Якщо зовнішні сили, що діють, незмінні протягом цього проміжку, то з (9) випливає

Якщо зовнішні сили змінюються з часом, то у правій частині (10) стоятиме сума інтегралів за часом від кожної із зовнішніх сил:

Таким чином, зміна повного імпульсу системи взаємодіючих частинок за деякий проміжок часу дорівнює векторної суми імпульсів зовнішніх сил за цей проміжок.

Порівняння із динамічним підходом.Порівняємо підходи до вирішення механічних завдань на основі рівнянь динаміки та на основі закону збереження імпульсу на наступному простому прикладі.

щенний з сортувальної гірки залізничний вагон маси, що рухається з постійною швидкістю, стикається з нерухомим вагоном маси і зчіпляється з ним. З якою швидкістю рухаються зчеплені вагони?

Нам нічого не відомо про сили, з якими взаємодіють вагони під час зіткнення, крім того, що на підставі третього закону Ньютона вони в кожний момент рівні за модулем і протилежні у напрямку. При динамічному підході необхідно задаватись якоюсь моделлю взаємодії вагонів. Найпростіше можливе припущення - що сили взаємодії постійні протягом усього часу, доки відбувається зчіпка. У такому разі за допомогою другого закону Ньютона для швидкостей кожного з вагонів через час після початку зчеплення можна написати

Очевидно, що процес зчіпки закінчується, коли швидкості вагонів стають однаковими. Припустивши, що це станеться згодом х, маємо

Звідси можна висловити імпульс сили

Підставляючи це значення будь-яку з формул (11), наприклад в другу, знаходимо вираз для кінцевої швидкості вагонів:

Звичайно, зроблене припущення про сталість сили взаємодії вагонів у процесі їхнього зчеплення дуже штучне. Використання більш реалістичних моделей призводить до громіздкіших розрахунків. Однак насправді результат кінцевої швидкості вагонів залежить від картини взаємодії (зрозуміло, за умови, що у кінці процесу вагони зчепилися і рухаються з тією самою швидкістю). Найпростіше в цьому переконатись, використовуючи закон збереження імпульсу.

Оскільки ніякі зовнішні сили у горизонтальному напрямі на вагони не діють, повний імпульс системи залишається незмінним. До зіткнення він дорівнює імпульсу першого вагона Після зчеплення імпульс вагонів дорівнює Прирівнюючи ці значення, відразу знаходимо

що, звісно, ​​збігається з відповіддю, отриманою з урахуванням динамічного підходу. Використання закону збереження імпульсу дозволило знайти відповідь на поставлене питання за допомогою менш громіздких математичних викладок, причому ця відповідь має більшу спільність, так як при його отриманні не використовувалася будь-яка конкретна модель взаємодії.

Проілюструємо застосування закону збереження імпульсу системи на прикладі складнішого завдання, де вибір моделі для динамічного рішення скрутний.

Завдання

Розрив снаряду. Снаряд розривається у верхній точці траєкторії, що знаходиться на висоті над поверхнею землі, на два однакові уламки. Один з них падає на землю точно під точкою розриву через час У скільки разів зміниться відстань від цієї точки по горизонталі, на яку полетить другий уламок, порівняно з відстанню, на якій впав би снаряд, що не розірвався?

Рішення, Насамперед напишемо вираз для відстані на яке полетів би снаряд, що не розірвався. Так як швидкість снаряда у верхній точці (позначимо її через спрямована горизонтально, то відстань дорівнює добутку і на час падіння з висоти без початкової швидкості, рівне на яке полетів би снаряд, що не розірвався. Так як швидкість снаряда у верхній точці (позначимо її через спрямована горизонтально, та відстань дорівнює добутку на час падіння з висоти без початкової швидкості, що дорівнює тілу, що розглядається як система матеріальних точок:

Розрив снаряда на уламки відбувається майже миттєво, т. е. внутрішні сили, що його розривають, діють протягом дуже короткого проміжку часу. Очевидно, що зміною швидкості осколків під дією сили тяжіння за такий короткий проміжок часу можна знехтувати порівняно зі зміною швидкості під дією цих внутрішніх сил. Тому, хоча аналізована система, власне кажучи, перестав бути замкнутої, вважатимуться, що її повний імпульс при розриві снаряда залишається незмінним.

З закону збереження імпульсу можна відразу виявити деякі особливості руху уламків. Імпульс – векторна величина. До розриву він лежав у площині траєкторії снаряда. Оскільки, як сказано в умові, швидкість одного з осколків вертикальна, тобто його імпульс залишився в тій же площині, то імпульс другого осколка також лежить в цій площині. Значить, і траєкторія другого уламка залишиться у тій самій площині.

Далі із закону збереження горизонтальної складової повного імпульсу слід, що горизонтальна складова швидкості другого осколка дорівнює бо його маса дорівнює половині маси снаряда, а горизонтальна складова імпульсу першого осколка за умовою дорівнює нулю. Тому горизонтальна дальність польоту другого осколка від

місця розриву дорівнює добутку тимчасово його польоту. Як знайти цей час?

Для цього пригадаємо, що вертикальні складові імпульсів (а отже, і швидкостей) уламків повинні бути рівними по модулю і спрямовані в протилежні сторони. Час польоту другого осколка, що цікавить нас, залежить, очевидно, від того, вгору або вниз спрямована вертикальна складова його швидкості в момент розриву снаряда (рис. 108).

Мал. 108. Траєкторія уламків після розриву снаряда

Це легко з'ясувати, порівнявши даний в умові час прямовисного падіння першого осколка з часом вільного падіння з висоти А. Якщо початкова швидкість першого осколка спрямована вниз, а вертикальна складова швидкості другого - вгору, і навпаки (випадки а і на рис. 108). Під кутом до вертикалі в ящик влітає куля зі швидкістю та й майже миттєво застряє в піску. Ящик починає рухатися, а потім зупиняється. Скільки часу тривав рух скриньки? Відношення маси кулі до маси ящика дорівнює у. За яких умов ящик взагалі не зрушить?

2. При радіоактивному розпаді нейтрону, що покоївся спочатку, утворюються протон, електрон і антинейтрино. Імпульси протона та електрона рівні а кут між ними а. Визначте імпульс антинейтрино.

Що називається імпульсом однієї частки та імпульсом системи матеріальних точок?

Сформулюйте закон зміни імпульсу однієї частки та системи матеріальних точок.

Мал. 109. До визначення імпульсу сили із графіка

Чому внутрішні сили не входять до закону зміни імпульсу системи?

У яких випадках законом збереження імпульсу системи можна скористатися і за наявності зовнішніх сил?

Які переваги дає використання закону збереження імпульсу проти динамічним підходом?

Коли на тіло діє змінна сила її імпульс визначається правою частиною формули (5) - інтегралом від проміжку часу, протягом якого вона діє. Нехай нам дано графік залежності (рис. 109). Як за цим графіком визначити імпульс сили для кожного з випадків а і