Графік статечної функції із дробовим негативним показником. Ступінні функції, їх властивості та графіки

На області визначення статечної функції y = x p мають місце такі формули:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Властивості статечних функцій та їх графіки

Ступінна функція з показником рівним нулю, p = 0

Якщо показник статечної функції y = x p дорівнює нулю, p = 0, то статечна функція визначена для всіх x ≠ 0 і є постійною рівною одиниці:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0 .

Ступенева функція з натуральним непарним показником, p = n = 1, 3, 5, ...

Розглянемо статечну функцію y = x p = x n з натуральним непарним показником ступеня n = 1, 3, 5, .... Такий показник також можна записати у вигляді: n = 2k + 1 де k = 0, 1, 2, 3, ... - ціле не негативне. Нижче наведено властивості та графіки таких функцій.

Графік статечної функції y = x n з натуральним непарним показником за різних значень показника ступеня n = 1, 3, 5, ... .

Область визначення: -∞ < x < ∞
Безліч значень: -∞ < y < ∞
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зростає
Екстремуми:ні
Випуклість:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
при 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки перегинів: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Межі:
;
Приватні значення:
при x = -1
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
за x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:
при n = 1 , функція є зворотною до самої себе: x = y
при n ≠ 1 зворотною функцією є корінь ступеня n :

Ступінна функція з натуральним парним показником, p = n = 2, 4, 6, ...

Розглянемо статечну функцію y = x p = x n з натуральним парним показником ступеня n = 2, 4, 6, .... Такий показник можна записати у вигляді: n = 2k , де k = 1, 2, 3, ... - натуральне. Властивості та графіки таких функцій наведені нижче.

Графік статечної функції y = x n з натуральним парним показником за різних значень показника ступеня n = 2, 4, 6, ... .

Область визначення: -∞ < x < ∞
Безліч значень: 0 ≤ y< ∞
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x ≤ 0 монотонно зменшується
при x ≥ 0 монотонно зростає
Екстремуми:мінімум, x = 0, y = 0
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
;
Приватні значення:
при x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
за x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:
при n = 2 квадратний корінь:
при n ≠ 2, корінь ступеня n:

Ступінна функція з цілим негативним показником, p = n = -1, -2, -3, ...

Розглянемо статечну функцію y = x p = x n з цілим негативним показником ступеня n = -1, -2, -3, .... Якщо покласти n = -k де k = 1, 2, 3, ... - натуральне, то її можна представити у вигляді:

Графік статечної функції y = x n з цілим негативним показником за різних значень показника ступеня n = -1, -2, -3, ... .

Непарний показник, n = -1, -3, -5, ...

Нижче представлені властивості функції y = x n з непарним негативним показником n = -1, -3, -5, ....

Область визначення: x ≠ 0
Безліч значень: y ≠ 0
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зменшується
Екстремуми:ні
Випуклість:
при x< 0 : выпукла вверх
при x > 0: опукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Знак:
при x< 0, y < 0
при x>0, y>0
Межі:
; ; ;
Приватні значення:
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:
при n = -1,
при n< -2 ,

Парний показник, n = -2, -4, -6, ...

Нижче представлені властивості функції y = x n з парним негативним показником n = -2, -4, -6, ....

Область визначення: x ≠ 0
Безліч значень: y > 0
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x< 0 : монотонно возрастает
при x > 0: монотонно зменшується
Екстремуми:ні
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Знак: y > 0
Межі:
; ; ;
Приватні значення:
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:
при n = -2
при n< -2 ,

Ступенева функція з раціональним (дрібним) показником

Розглянемо статечну функцію y = x p з раціональним (дрібним) показником ступеня, де n – ціле, m > 1 – натуральне. Причому n, m немає спільних дільників.

Знаменник дробового показника – непарний

Нехай знаменник дрібного показника ступеня непарний: m = 3, 5, 7, ... . У цьому випадку статечна функція x p визначена як для позитивних, так і для негативних значень аргументу x . Розглянемо властивості таких статечних функцій, коли p знаходиться в певних межах.

Показник p негативний, p< 0

Нехай раціональний показник ступеня (з непарним знаменником m = 3, 5, 7, ...) менше за нуль: .

Графіки статечних функцій з раціональним негативним показником при різних значеннях показника ступеня , де m = 3, 5, 7 ... - непарне.

Непарний чисельник, n = -1, -3, -5, ...

Наводимо властивості статечної функції y = x p з раціональним негативним показником , де n = -1, -3, -5, ... - непарне негативне ціле, m = 3, 5, 7 ... - непарне натуральне.

Область визначення: x ≠ 0
Безліч значень: y ≠ 0
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зменшується
Екстремуми:ні
Випуклість:
при x< 0 : выпукла вверх
при x > 0: опукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Знак:
при x< 0, y < 0
при x>0, y>0
Межі:
; ; ;
Приватні значення:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:

Чітний чисельник, n = -2, -4, -6, ...

Властивості статечної функції y = x p з раціональним негативним показником , де n = -2, -4, -6, ... - парне негативне ціле, m = 3, 5, 7 ... - непарне натуральне.

Область визначення: x ≠ 0
Безліч значень: y > 0
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x< 0 : монотонно возрастает
при x > 0: монотонно зменшується
Екстремуми:ні
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Знак: y > 0
Межі:
; ; ;
Приватні значення:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Зворотня функція:

Показник p позитивний, менше одиниці, 0< p < 1

Графік статечної функції з раціональним показником (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Непарний чисельник, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область визначення: -∞ < x < +∞
Безліч значень: -∞ < y < +∞
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зростає
Екстремуми:ні
Випуклість:
при x< 0 : выпукла вниз
при x > 0: опукла вгору
Точки перегинів: x = 0, y = 0
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Знак:
при x< 0, y < 0
при x>0, y>0
Межі:
;
Приватні значення:
за x = -1, y(-1) = -1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Зворотня функція:

Чітний чисельник, n = 2, 4, 6, ...

Представлені властивості статечної функції y = x p з раціональним показником, що знаходиться в межах 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область визначення: -∞ < x < +∞
Безліч значень: 0 ≤ y< +∞
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x< 0 : монотонно убывает
при x > 0: монотонно зростає
Екстремуми:мінімум при x = 0, y = 0
Випуклість:опукла вгору при x ≠ 0
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Знак:при x ≠ 0, y > 0
Межі:
;
Приватні значення:
за x = -1, y(-1) = 1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Зворотня функція:

Показник p більше одиниці, p > 1

Графік статечної функції з раціональним показником (p > 1) при різних значеннях показника ступеня, де m = 3, 5, 7, ... - непарне.

Непарний чисельник, n = 5, 7, 9, ...

Властивості статечної функції y = x p з раціональним показником, більшим за одиницю: . Де n = 5, 7, 9, ... - непарне натуральне, m = 3, 5, 7 ... - непарне натуральне.

Область визначення: -∞ < x < ∞
Безліч значень: -∞ < y < ∞
Парність:непарна, y(-x) = - y(x)
Монотонність:монотонно зростає
Екстремуми:ні
Випуклість:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
при 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки перегинів: x = 0, y = 0
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
;
Приватні значення:
за x = -1, y(-1) = -1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Зворотня функція:

Чітний чисельник, n = 4, 6, 8, ...

Властивості статечної функції y = x p з раціональним показником, більшим за одиницю: . Де n = 4, 6, 8, … – парне натуральне, m = 3, 5, 7… – непарне натуральне.

Область визначення: -∞ < x < ∞
Безліч значень: 0 ≤ y< ∞
Парність:парна, y(-x) = y(x)
Монотонність:
при x< 0 монотонно убывает
при x>0 монотонно зростає
Екстремуми:мінімум при x = 0, y = 0
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
;
Приватні значення:
за x = -1, y(-1) = 1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Зворотня функція:

Знаменник дробового показника – парний

Нехай знаменник дробового показника ступеня парний: m = 2, 4, 6, .... У цьому випадку статечна функція x p не визначена для негативних значень аргументу. Її властивості збігаються з властивостями статечної функції з ірраціональним показником (див. наступний розділ).

Ступенева функція з ірраціональним показником

Розглянемо статечну функцію y = x p з ірраціональним показником ступеня p. Властивості таких функцій відрізняються від розглянутих тим, що вони не визначені для негативних значень аргументу x . Для позитивних значень аргументу властивості залежать тільки від величини показника ступеня p і не залежать від того, чи є р цілим, раціональним або ірраціональним.

y = x p при різних значеннях показника p.

Ступінна функція з негативним показником p< 0

Область визначення: x > 0
Безліч значень: y > 0
Монотонність:монотонно зменшується
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат:ні
Межі: ;
Приватне значення:За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Ступенева функція з позитивним показником p > 0

Показник менше одиниці 0< p < 1

Область визначення: x ≥ 0
Безліч значень: y ≥ 0
Монотонність:монотонно зростає
Випуклість:випукла вгору
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
Приватні значення:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Показник більший за одиницю p > 1

Область визначення: x ≥ 0
Безліч значень: y ≥ 0
Монотонність:монотонно зростає
Випуклість:випукла вниз
Точки перегинів:ні
Точки перетину з осями координат: x = 0, y = 0
Межі:
Приватні значення:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Див. також:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Тема уроку: Ступенева функція та її графік.

Як алгебраїсти замість АА, ААА, … пишуть А 2, А 3, … так я замість пишу а-1, а-2, а-3, … Ньютон І.

у = х х у у = х 2 х у у = х 3 х у х у Пряма Парабола Кубічна парабола Гіпербола Нам знайомі функції: Всі ці функції є окремими випадками статечної функції

де р - задане дійсне число Визначення: Ступеневою функцією називається функція виду у = х p Властивості та графік статечної функції залежать від властивостей ступеня з дійсним показником, і зокрема від того, при яких значеннях х і р має сенс ступінь х р.

Функція у = х 2 парна, т.к. (– х) 2 n = х 2 n Функція зменшується на проміжку Функція зростає на проміжку Ступінева функція: Показник р = 2n – парне натуральне число у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 , у = х 8 , … 1 0 х у у = х 2

y x - 1 0 1 2 у = х 2 у = х 6 у = х 4 Ступенева функція: Показник р = 2n - парне натуральне число у = х 2, у = х 4, у = х 6, у = х 8, …

Функція у = х 2 n -1 непарна, т.к. (– х) 2 n -1 = – х 2 n -1 Функція зростає на проміжку Ступінева функція: Показник р = 2n-1 – непарне натуральне число у = х 3 , у = х 5 , у = х 7 , у = х 9 , … 1 0

Ступенева функція: y x ​​- 1 0 1 2 у = х 3 у = х 7 у = х 5 Показник р = 2n-1 - непарне натуральне число у = х 3, у = х 5, у = х 7, у = х 9 , …

Функція у = х-2 n парна, т.к. (– х) -2 n = х -2 n Функція зростає на проміжку Функція зменшується на проміжку Ступінева функція: Показник р = -2n – де n натуральне число у = х -2 , у = х -4 , у = х -6 , у = х -8 … 0 1

1 0 1 2 у = х -4 у = х -2 у = х -6 Ступенева функція: Показник р = -2n – де n натуральне число у = х -2 , у = х -4 , у = х -6 , у = х -8, … y x

Функція зменшується на проміжку Функція у=х -(2 n -1) непарна, т.к. (– х) –(2 n -1) = – х –(2 n -1) Функція зменшується на проміжку Ступінева функція: Показник р = -(2n-1) – де n натуральне число у = х -3 , у = х -5, у = х -7, у = х -9, … 1 0

у = х -1 у = х -3 у = х -5 Ступенева функція: Показник р = -(2n-1) – де n натуральне число у = х -3, у = х -5, у = х -7, у = х -9 … y x - 1 0 1 2

Ступінна функція: Показник р - позитивне дійсне неціле число у = х 1,3, у = х 0,7, у = х 2,2, у = х 1/3, ... 0 1 х у Функція зростає на проміжку

у = х 0,7 Ступенева функція: Показник р - позитивне дійсне неціле число у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,2 , у = х 1/3 , ... y x - 1 0 1 2 у = х 0,5 у = х 0,84

Ступінна функція: Показник р – позитивне дійсне неціле число у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,2 , у = х 1/3 , ... y x - 1 0 1 2 у = х 1, 5 у = х 3,1 у = х 2,5

Ступінна функція: Показник р - негативне дійсне неціле число у = х -1,3, у = х -0,7, у = х -2,2, у = х -1 / 3, ... 0 1 х у Функція зменшується на проміжку

у = х -0,3 у = х -2,3 у = х -3,8 Ступенева функція: Показник р - негативне дійсне неціле число у = х -1,3, у = х -0,7, у = х -2,2 , у = х -1/3 , ... y x - 1 0 1 2 у = х -1,3

За темою: методичні розробки, презентації та конспекти

Застосування інтеграції в навчальному процесі як способу розвитку аналітичних та творчих здібностей.

Наведено довідкові дані щодо показової функції - основні властивості, графіки та формули. Розглянуто такі питання: область визначення, безліч значень, монотонність, зворотна функція, похідна, інтеграл, розкладання в статечний ряд та подання за допомогою комплексних чисел.

Зміст

Властивості показової функції

Показова функція y = a x має наступні властивості на безлічі дійсних чисел () :
(1.1) визначена і безперервна, при , всім ;
(1.2) при a ≠ 1 має безліч значень;
(1.3) строго зростає при , суворо зменшується при ,
є постійною при ;
(1.4) при;
при;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Інші корисні формули.
.
Формула перетворення до показової функції з іншою основою ступеня:

При b = e отримуємо вираз показової функції через експоненту:

Приватні значення

, , , , .

y = a x при різних значеннях основи a.

На малюнку представлені графіки показової функції
y (x) = a x
для чотирьох значень підстави ступеня: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 та a = 1/8 . Видно, що за a > 1 показова функція монотонно зростає. Чим більша підстава ступеня a тим більше сильне зростання. При 0 < a < 1 показова функція монотонно зменшується. Чим менший показник ступеня a тим сильніше спадання.

Зростання, спадання

Показова функція, є суворо монотонною, тому екстремумів не має. Основні її властивості представлені у таблиці.

	y = a x , a > 1	y = a x , 0 < a < 1
Область визначення	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значень	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонність	монотонно зростає	монотонно зменшується
Нулі, y = 0	ні	ні
Точки перетину з віссю ординат, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Зворотня функція

Зворотною для показової функції з основою ступеня a є логарифм з основи a .

Якщо то
.
Якщо то
.

Диференціювання показової функції

Для диференціювання показової функції, її основу потрібно призвести до e , застосувати таблицю похідних і правило диференціювання складної функції.

Для цього потрібно використовувати властивість логарифмів
і формулу з таблиці похідних:
.

Нехай задана показова функція:
.
Приводимо її до основи e:

Застосуємо правило диференціювання складної функції. Для цього вводимо змінну

Тоді

З таблиці похідних маємо (замінимо змінну x на z):
.
Оскільки - це постійна, то похідна z x дорівнює
.
За правилом диференціювання складної функції:
.

Похідна показової функції

.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Приклад диференціювання показової функції

Знайти похідну функції
y = 3 5 x

Рішення

Виразимо основу показової функції через число e.
3 = e ln 3
Тоді
.
Вводимо змінну
.
Тоді

З таблиці похідних знаходимо:
.
Оскільки 5ln 3- це постійна, то похідна z x дорівнює:
.
За правилом диференціювання складної функції маємо:
.

Відповідь

Інтеграл

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексного числа z:
f (z) = a z
де z = x + iy; i 2 = - 1 .
Виразимо комплексну постійну через модуль r і аргумент φ :
a = r e i φ
Тоді


.
Аргумент φ визначено неоднозначно. Загалом
φ = φ 0 + 2 πn,
де n – ціле. Тому функція f (z)також не однозначна. Часто розглядають її головне значення
.

Ви знайомі з функціями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xі т. д. Усі ці функції є окремими випадками статечної функції, тобто функції y=x pде p - задане дійсне число.
Властивості та графік статечної функції суттєво залежить від властивостей ступеня з дійсним показником, і зокрема від того, за яких значень xі pмає сенс ступінь x p. Перейдемо до такого розгляду різних випадків залежно від
показника ступеня p.

1. Показник p=2n-парне натуральне число.

y=x 2n, де n- натуральне число, має такі

властивостями:

• область визначення - всі дійсні числа, тобто множина R;
• безліч значень - невід'ємні числа, тобто y більше або 0;
• функція y=x 2nпарна, оскільки x 2n=(- x) 2n
• функція є спадною на проміжку x<0 і зростаючою на проміжку x>0.

Графік функції y=x 2nмає такий самий вигляд, як наприклад графік функції y=x 4.

2. Показник p=2n-1- непарне натуральне число
У цьому випадку статечна функція y=x 2n-1, де натуральне число, має наступні властивості:

• область визначення - множина R;
• безліч значень - множина R;
• функція y=x 2n-1непарна, оскільки (- x) 2n-1=x 2n-1;
• функція є зростаючою на всій дійсній осі.

Графік функції y=x 2n-1 має такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y=x 3 .

3.Показник p=-2n, де n -натуральне число.

У цьому випадку статечна функція y = x -2n = 1/x 2nмає такі властивості:

• область визначення - множина R, крім x=0;
• множина значень - позитивні числа y>0;
• функція y =1/x 2nпарна, оскільки 1/(-x) 2n=1/x 2n;
• функція зростає на проміжку x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Графік функції y =1/x 2nмає такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y =1/x 2.