Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень з їхньої ймовірності:
приклад.
X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5
Рішення: Математичне очікування дорівнює сумі творів всіх можливих значень X з їхньої ймовірності:
М (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 = 6.
Для обчислення математичного очікування зручно розрахунки проводити Excel (особливо коли даних багато), пропонуємо скористатися готовим шаблоном ().
Приклад для самостійного рішення (можна застосувати калькулятор).
Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:
X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4
Математичне очікування має такі властивості.
Властивість 1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій: М(С)=С.
Властивість 2. Постійний множник можна виносити знак математичного очікування: М(СХ)=СМ(Х).
Властивість 3. Математичне очікування добутку взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних очікувань співмножників: М (Х1Х2 ... Хп) = М (X1) М (Х2) *. ..*М (Xn)
Властивість 4. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М(Хn).
Завдання 189. Знайти математичне очікування випадкової величини Z, якщо відомі математичні очікування X н Y: Z = X + 2Y, M (X) = 5, M (Y) = 3;
Рішення: Використовуючи властивості математичного очікування (математичне очікування суми дорівнює сумі математичних очікувань доданків; постійний множник можна винести за знак математичного очікування), отримаємо M(Z)=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y) = 5 + 2 * 3 = 11.
190. Використовуючи властивості математичного очікування, довести, що: а) М(Х - Y) = M(X)-М(Y); б) математичне очікування відхилення X-M(Х) дорівнює нулю.
191. Дискретна випадкова величина X набуває трьох можливих значень: x1= 4 З ймовірністю р1 = 0,5; xЗ = 6 З ймовірністю P2 = 0,3 та x3 з ймовірністю р3. Знайти: x3 і р3, знаючи, що М(Х)=8.
192. Даний перелік можливих значень дискретної випадкової величини X: x1 = -1, х2 = 0, x3 = 1 також відомі математичні очікування цієї величини та її квадрата: M(Х) = 0,1, М(Х^2)=0 ,9. Знайти ймовірності p1, p2, p3, що відповідають можливим значенням xi
194. У партії з 10 деталей міститься три нестандартні. Навмання відібрано дві деталі. Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X – числа нестандартних деталей серед двох відібраних.
196. Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X числа таких кидань п'яти гральних кісток, у кожному з яких на двох кістках з'явиться по одному окуляру, якщо загальна кількість кидань дорівнює двадцяти.
Математичне очікування біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні:
Тобто, якщо сл. величина має закон розподілу, то
називаєтьсяїї математичним очікуванням. Якщо сл. величина має нескінченну кількість значень, то математичне очікування визначається сумою нескінченного ряду 
, за умови, що цей ряд абсолютно сходиться (інакше говорять, що математичне очікування не існує) .
Для безперервний сл. величини, заданої функцією щільності імовірності F(x), математичне очікування визначається у вигляді інтегралу
за умови, що цей інтеграл існує (якщо інтеграл розходиться, то кажуть, що математичне очікування немає).
Приклад 1. Визначимо математичне очікування випадкової величини розподіленої по закону Пуассона. За визначенням
або позначимо
, 
Значить, параметр , визначальний закон розподілу пуассонівської випадкової величини дорівнює середньому значенню цієї величини.
Приклад 2. Для випадкової величини, що має показовий закон розподілу, математичне очікування дорівнює
(
):
(в інтегралі межі взяти, з врахуванням того, що f(x) відмінна від нуля тільки при позитивних x).
Приклад 3. Випадкова величина, розподілена за законом розподілу Коші, немає середнього значення. Дійсно
Властивості математичного очікування.
Властивість 1. Математичне очікування постійної дорівнює самій цій постійній.
Постійна приймає це значення з ймовірністю одиниця і за визначенням М(С)=С×1=С
Властивість 2. Математичне очікування алгебраїчної суми випадкових величин дорівнює сумі алгебри їх математичних очікувань.
Обмежимося доказом цієї якості лише суми двох дискретних випадкових величин, тобто. доведемо, що
Під сумою двох дискретних сл. Величин розуміється сл. Величина, яка набуває значення з ймовірностями
За визначенням
де ймовірність події , обчислена за умови, що . У правій частині останньої рівності перераховані всі випадки появи події, тому дорівнює ймовірності появи події, тобто. 
. Аналогічно 
. Остаточно маємо
Властивість 3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їхніх математичних очікувань.
| У | … | |||||||
| Q | … | |||||||
| Х | … | |||||||
| Р | … | |||||||
Наведемо докази цієї властивості лише дискретних величин. Для безперервних випадкових величин воно доводиться аналогічно.
Нехай Х та У незалежні та мають закони розподілу
Добутком цих випадкових величин буде випадкова величина, яка приймає значення з рівними ймовірностями, в силу незалежності випадкових величин, . Тоді
Слідство. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування. Так постійна З не залежить від того яке значення прийме сл. величина X, то за якістю 3. маємо
М(СХ)=М(С)×М(Х)=С×М(Х)
приклад. Якщо a і b постійні, М(ах+b)=аМ(х)+b.
Математичне очікування кількості появи події у схемі незалежних випробувань.
Нехай виробляється n незалежних дослідів, імовірність появи події у кожному з яких дорівнює Р. Число появ події в цих n дослідах є випадковою величиною Х розподіленою за біноміальним законом. Однак, безпосереднє обчислення її середнього значення є громіздким. Для спрощення скористаємося розкладанням, яким будемо користуватися надалі неодноразово: Число появи події в n дослідах складається з числа події в окремих дослідах, тобто.
де має закон розподілу (приймає значення 1, якщо подія в цьому досвіді відбулося, і значення 0, якщо подія в цьому досвіді не з'явилося).
| Р | 1-р | р |
Тому
тобто. середня кількість події в n незалежних дослідах дорівнює добутку числа дослідів на ймовірність появи події в одному досвіді.
Наприклад, якщо ймовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,1, то середня кількість влучення в 20 пострілах дорівнює 20×0,1=2.
Завдання 1.Імовірність схожості насіння пшениці дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що з чотирьох посіяних насіння зійдуть не менше трьох?
Рішення. Нехай подія А– із 4 насіння зійдуть не менше 3 насіння; подія У– із 4 насіння зійдуть 3 насіння; подія З– із 4 насіння зійдуть 4 насіння. За теоремою складання ймовірностей
Ймовірності 
і 
визначимо за формулою Бернуллі, яка застосовується в наступному випадку. Нехай проводиться серія пнезалежних випробувань, при кожному з яких ймовірність настання події постійна та рівна р, а ймовірність ненастання цієї події дорівнює 
. Тоді ймовірність того, що подія Ав пвипробування з'явиться рівно 
раз, обчислюється за формулою Бернуллі
,
де 
- Число поєднань з пелементів по 
. Тоді
Шукана ймовірність
Завдання 2.Імовірність схожості насіння пшениці дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 400 посіяних насіння зійдуть 350 насінин.
Рішення. Обчислити ймовірність 
за формулою Бернуллі важко через громіздкість обчислень. Тому застосуємо наближену формулу, що виражає локальну теорему Лапласа:
,
де 
і 
.
З умови завдання. Тоді
.
З таблиці 1 додатків знаходимо. Шукана ймовірність дорівнює
Завдання 3.Серед насіння пшениці 0,02% бур'янів. Якою є ймовірність того, що при випадковому відборі 10000 насіння буде виявлено 6 насіння бур'янів?
Рішення. Застосування локальної теореми Лапласа через малу ймовірність 
призводить до значного відхилення ймовірності від точного значення 
. Тому при малих значеннях рдля обчислення 
застосовують асимптотичну формулу Пуассона
де .
Ця формула використовується при 
, причому чим менше рі більше птим результат точніше.
За умовою завдання 
;
. Тоді
Завдання 4.Відсоток схожості насіння пшениці дорівнює 90%. Знайти ймовірність того, що з 500 посіяних насіння зійдуть від 400 до 440 насінин.
Рішення. Якщо ймовірність настання події Ау кожному з пвипробувань постійна і рівна р, то ймовірність 
того, що подія Ау таких випробуваннях настане не менше 
раз і не більше 
раз визначається за інтегральною теореми Лапласа наступною формулою:
, де
, 
.
Функція 
називається функцією Лапласа. У додатках (табл. 2) дано значення цієї функції для 
. При 
функція 
. при негативних значеннях хчерез непарність функції Лапласа 
. Використовуючи функцію Лапласа, маємо:
За умовою завдання. За наведеними вище формулами знаходимо 
і 
:
Завдання 5.Задано закон розподілу дискретної випадкової величини Х:
Знайти: 1) математичне очікування; 2) дисперсію; 3) середнє квадратичне відхилення.
Рішення. 1) Якщо закон розподілу дискретної випадкової величини заданий таблицею
|
| ||||||
Де у першому рядку дано значення випадкової величини х, а у другому – ймовірності цих значень, то математичне очікування обчислюється за формулою
2) Дисперсія 
дискретної випадкової величини Хназивається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини її математичного очікування, тобто.
Ця величина характеризує середнє очікуване значення квадрата відхилення Хвід 
. З останньої формули маємо
Дисперсію 
можна знайти іншим способом, виходячи з наступної її властивості: дисперсія 
дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Хта квадратом її математичного очікування 
, тобто
Для обчислення 
складемо наступний закон розподілу величини 
:
3) Для характеристики розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення запроваджується середнє квадратичне відхилення 
випадкової величини Х, що дорівнює квадратному кореню з дисперсії 
, тобто
.
З цієї формули маємо: 
Завдання 6.Безперервна випадкова величина Хзадана інтегральною функцією розподілу
Знайти: 1) диференціальну функцію розподілу 
; 2) математичне очікування 
; 3) дисперсію 
.
Рішення. 1) Диференціальною функцією розподілу 
безперервної випадкової величини Хназивається похідна від інтегральної функції розподілу 
, тобто
.
Шукана диференціальна функція має такий вигляд:
2) Якщо безперервна випадкова величина Хзадана функцією 
, то її математичне очікування визначається формулою
Оскільки функція 
при 
і при 
дорівнює нулю, то з останньої формули маємо
.
3) Дисперсію 
визначимо за формулою
Завдання 7.Довжина деталі є нормально розподіленою випадковою величиною з математичним очікуванням 40 мм та середнім квадратичним відхиленням 3 мм. Знайти: 1) ймовірність того, що довжина довільно взятої деталі буде більшою за 34 мм і меншою за 43 мм; 2) ймовірність того, що довжина деталі відхилиться від її математичного очікування не більше ніж на 1,5 мм.
Рішення. 1) Нехай Х- Довжина деталі. Якщо випадкова величина Хзадана диференціальною функцією 
, то ймовірність того, що Хприйме значення, що належать відрізку 
, Визначається за формулою
.
Імовірність виконання суворих нерівностей 
визначається тією самою формулою. Якщо випадкова величина Хрозподілена за нормальним законом, то
, (1)
де 
- функція Лапласа, 
.
У завданні. Тоді
2) За умовою завдання , де 
. Підставивши в (1) , маємо
. (2)
Із формули (2) маємо.
Випадкові величини, крім законів розподілу, можуть описуватися також числовими характеристиками .
Математичним очікуваннямМ(x) випадкової величини називається її середнє значення.
Математичне очікування дискретної випадкової величини обчислюється за формулою
де – значення випадкової величини, р i -їхймовірності.
Розглянемо властивості математичного очікування:
1. Математичне очікування константи дорівнює самій константі
2. Якщо випадкову величину помножити на деяке число k, то й математичне очікування помножиться на це число
М(kx) = kМ(x)
3. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань
М(x1+x2+…+xn) = М(x1)+М(x2)+…+М(xn)
4. М (x 1 - x 2) = М (x 1) - М (x 2)
5. Для незалежних випадкових величин x 1 , x 2 , … x n математичне очікування твору дорівнює твору їх математичних очікувань
М (x 1, x 2, … x n) = М (x 1) М (x 2) … М (x n)
6. М(x - М(x)) = М(x) - М(М(x)) = М(x) - М(x) = 0
Обчислимо математичне очікування для випадкової величини прикладу 11.
М(x) = = 
.
Приклад 12Нехай випадкові величини x 1 , x 2 задані відповідно до законів розподілу:
x 1 Таблиця 2
x 2 Таблиця 3
Обчислимо М (x 1) та М (x 2)
М (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 · 0,4 + 0,01 · 0,2 + 0,1 · 0,1 = 0
М (x 2) = (-20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 · 0,2 + 10 · 0,1 + 20 · 0,3 = 0
Математичні очікування обох випадкових величин однакові вони рівні нулю. Проте характер їхнього розподілу різний. Якщо значення x1 мало відрізняються від свого математичного очікування, то значення x2 великою мірою відрізняються від свого математичного очікування, і ймовірності таких відхилень не малі. Ці приклади показують, що за середнім значенням не можна визначити, які відхилення від нього мають місце як у меншу, так і більшу сторону. Так за однакової середньої величині опадів, що випадають у двох місцевостях, за рік не можна сказати, що ці місцевості однаково сприятливі для сільськогосподарських робіт. Аналогічно за показником середньої заробітної плати неможливо судити про питому вагу високо- і низькооплачуваних працівників. Тому вводиться числова характеристика – дисперсія D(x) , яка характеризує ступінь відхилення випадкової величини від свого середнього значення:
D(x) = M(x - M(x)) 2 . (2)
Дисперсія - це математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від математичного очікування. Для дискретної випадкової величини дисперсія обчислюється за такою формулою:
D(x) = 
= 
(3)
З визначення дисперсії випливає, що D(x) 0.
Властивості дисперсії:
1. Дисперсія константи дорівнює нулю
2. Якщо випадкову величину помножити на деяке число k то дисперсія помножиться на квадрат цього числа
D(kx) = k 2 D(x)
3. D(x) = М(x2) – М2(x)
4. Для попарно незалежних випадкових величин x 1 x 2 … x n дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.
D(x1+x2+…+xn) = D(x1) + D(x2) +…+D(xn)
Обчислимо дисперсію для випадкової величини Прикладу 11.
Математичне очікування М(x) = 1. Тому за формулою (3) маємо:
D (x) = (0 – 1) 2 · 1/4 + (1 – 1) 2 · 1/2 + (2 – 1) 2 · 1/4 = 1 · 1/4 +1 · 1/4 = 1/2
Зазначимо, що дисперсію обчислювати простіше, якщо скористатися властивістю 3:
D(x) = М(x2) – М2(x).
Обчислимо дисперсії для випадкових величин x 1 x 2 з Прикладу 12 за цією формулою. Математичні очікування обох випадкових величин дорівнюють нулю.
D (x 1) = 0,01 · 0,1 + 0,0001 · 0,2 + 0,0001 · 0,2 + 0,01 · 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204
D (x 2) = (-20) 2 · 0,3 + (-10) 2 · 0,1 + 10 2 · 0,1 + 20 2 · 0,3 = 240 +20 = 260
Чим ближче значення дисперсії до нуля, тим меншим є розкид випадкової величини щодо середнього значення.
Величина називається середньоквадратичним відхиленням. Модою випадкової величини x дискретного типу Mdназивається таке значення випадкової величини, якому відповідає найбільша ймовірність.
Модою випадкової величини x безперервного типу Mdназивається дійсне число, що визначається як точка максимуму щільності розподілу ймовірностей f(x).
Медіаною випадкової величини x безперервного типу Mnназивається дійсне число, що задовольняє рівняння
Наступною за важливістю властивістю випадкової величини за математичним очікуванням є її дисперсія, що визначається як середній квадрат відхилення від середнього:
Якщо позначити через те дисперсія VX буде очікуваним значенням, це характеристика „розкиду” розподілу X.
Як простий приклад обчислення дисперсії припустимо, що нам щойно зробили пропозицію, від якої ми не можемо відмовитися: хтось подарував нам два сертифікати для участі в одній лотереї. Організатори лотереї продають щотижня по 100 квитків, що беруть участь в окремому тиражі. У тиражі вибирається один із цих квитків за допомогою рівномірного випадкового процесу - кожен квиток має рівні шанси бути обраним - і володар цього щасливого квитка отримує сто мільйонів доларів. Інші 99 власників лотерейних квитків не виграють нічого.
Ми можемо використовувати подарунок двома способами: купити або два квитки в одній лотереї або по одному для участі в двох різних лотереях. Яка стратегія краща? Спробуємо провести аналіз. Для цього позначимо через випадкові величини, що становлять розмір нашого виграшу за першим та другим квитком. Очікуване значення у мільйонах, так само
і те саме справедливо для Очікувані значення адитивні, тому наш середній сумарний виграш складе
незалежно від ухваленої стратегії.
Проте дві стратегії виглядають різними. Вийдемо за рамки очікуваних значень та вивчимо повністю розподіл ймовірностей
Якщо ми купимо два квитки в одній лотереї, то наші шанси не виграти нічого не становитимуть 98% і 2% - шанси на виграш 100 мільйонів. Якщо ж ми купимо квитки на різні тиражі, то цифри будуть такими: 98.01% – шанс не виграти нічого, що дещо більше, ніж раніше; 0.01% - шанс виграти 200 мільйонів, також трохи більше, ніж раніше; та шанс виграти 100 мільйонів тепер становить 1.98%. Таким чином, у другому випадку розподіл величини дещо більш розкиданий; середнє значення, 100 мільйонів доларів, дещо менш ймовірне, тоді як крайні значення ймовірніші.
Саме це поняття розкиду випадкової величини покликане відобразити дисперсія. Ми вимірюємо розкид через квадрат відхилення випадкової величини від її математичного очікування. Таким чином, у разі 1 дисперсія становитиме
у випадку 2 дисперсія дорівнює
Як ми й очікували, остання величина дещо більша, оскільки розподіл у разі 2 дещо більш розкиданий.
Коли ми працюємо з дисперсіями, то все зводиться в квадрат, тому в результаті можуть вийти дуже великі числа. (Множитель є один трильйон, це має вразити
навіть звичних до великих ставок гравців.) Для перетворення величин більш осмислену вихідну шкалу часто витягують квадратний корінь з дисперсії. Отримане число називається стандартним відхиленням і зазвичай позначається грецькою літерою:
Стандартні відхилення величини для двох лотерейних стратегій складуть . У певному сенсі другий варіант приблизно на 71247 доларів ризикованіший.
Як дисперсія допомагає у виборі стратегії? Це не зрозуміло. Стратегія з більшою дисперсією ризикованіша; але що краще для нашого гаманця – ризик чи безпечна гра? Нехай у нас є можливість купити не два квитки, а всі сто. Тоді ми могли б гарантувати виграш в одній лотереї (і дисперсія була б нульовою); або ж можна було зіграти в сотні різних тиражів, нічого не отримуючи з ймовірністю, зате маючи ненульовий шанс на виграш аж до доларів. Вибір однієї з цих альтернатив лежить за межами цієї книги; все, що ми можемо зробити тут, це пояснити, як зробити підрахунки.
Насправді є простіший спосіб обчислення дисперсії, ніж пряме використання визначення (8.13). (Є всі підстави підозрювати тут якусь приховану від очей математику; інакше з чого дисперсія в лотерейних прикладах виявилася цілим кратним Маємо
оскільки – константа; отже,
"Дисперсія є середнє значення квадрата мінус квадрат середнього значення"
Наприклад, у задачі про лотерею середнім значенням виявляється або Віднімання (квадрату середнього) дає результати, які ми вже отримали раніше більш важким шляхом.
Є, однак, ще простіша формула, застосовна, коли ми обчислюємо для незалежних X та Y.
оскільки, як ми знаємо, для незалежних випадкових величин Отже,
"Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій" Так, наприклад, дисперсія суми, яку можна виграти на один лотерейний квиток, дорівнює
Отже, дисперсія сумарного виграшу за двома лотерейними квитками у двох різних (незалежних) лотереях становитиме Відповідне значення дисперсії для незалежних лотерейних квитків буде
Дисперсія суми очок, що випали на двох кубиках, може бути отримана за тією самою формулою, оскільки є сума двох випадкових незалежних величин. Маємо
для правильного кубика; отже, у разі зміщеного центру мас
отже, якщо в обох кубиків центр мас зміщений. Зауважте, що в останньому випадку дисперсія більша, хоча набуває середнього значення 7 частіше, ніж у разі правильних кубиків. Якщо наша мета - викинути більше сімок, що приносять удачу, то дисперсія - не найкращий показник успіху.
Ну, добре, ми встановили, як обчислити дисперсію. Але ми поки що не дали відповіді на запитання, чому треба обчислювати саме дисперсію. Усі так роблять, але чому? Основна причина полягає в нерівності Чебишева, яка встановлює важливу властивість дисперсії:
(Ця нерівність відрізняється від нерівностей Чебишева для сум, що зустрілися нам у гол. 2.) На якісному рівні (8.17) стверджує, що випадкова величина X рідко набуває значень, далеких від свого середнього якщо її дисперсія VX мала. Доведення
тельство надзвичайно просто. Справді,
розподіл на завершує підтвердження.
Якщо ми позначимо математичне очікування через а стандартне відхилення - через а і замінимо на (8.17) то умова перетвориться на отже, ми отримаємо з (8.17)
Таким чином, X лежатиме в межах -кратного стандартного відхилення від свого середнього значення за винятком випадків, ймовірність яких не перевищує Випадкова величина лежатиме в межах 2а принаймні для 75% випробувань; в межах від до - принаймні на 99%. Це випадки нерівності Чебишева.
Якщо кинути пару кубиків разів, то загальна сума очок у всіх киданнях майже завжди, при великих буде близька до цього.
Тому з нерівності Чебишева отримуємо, що сума очок буде лежати між
принаймні на 99% всіх кидань правильних кубиків. Наприклад, підсумок мільйона кидань із ймовірністю понад 99% буде укладено між 6.976 млн та 7.024 млн.
У випадку, нехай X - будь-яка випадкова величина на імовірнісному просторі П, має кінцеве математичне очікування і кінцеве стандартне відхилення а. Тоді можна ввести в розгляд ймовірнісний простір Пп, елементарними подіями якого є послідовності де кожне , а ймовірність визначається як
Якщо тепер визначити випадкові величини формулою
то величина
буде сумою незалежних випадкових величин, яка відповідає процесу підсумовування незалежних реалізацій величини X на П. Математичне очікування дорівнюватиме а стандартне відхилення - ; отже, середнє значення реалізацій,
буде лежати в межах від до принаймні 99% тимчасового періоду. Іншими словами, якщо вибрати досить велике те середнє арифметичне незалежних випробувань буде майже завжди дуже близько до очікуваного значення (У підручниках теорії ймовірностей доводиться ще сильніша теорема, звана посиленим законом великих чисел; але нам достатньо і простого наслідку нерівності Чебишева, яке ми тільки що вивели.)
Іноді нам не відомі характеристики ймовірнісного простору, але потрібно оцінити математичне очікування випадкової величини X за допомогою повторних спостережень її значення. (Наприклад, нам могла б знадобитися середня південна температура січня в Сан-Франциско; або ж ми хочемо дізнатися очікувану тривалість життя, на якому повинні засновувати свої розрахунки страхові агенти.) Якщо в нашому розпорядженні є незалежні емпіричні спостереження, то ми можемо припустити, що справжнє математичне очікування приблизно дорівнює
Можна оцінити дисперсію, використовуючи формулу
Дивлячись на цю формулу, можна подумати, що в ній – друкарська помилка; здавалося б, там має стояти як у (8.19), оскільки справжнє значення дисперсії визначається у (8.15) через очікувані значення. Однак заміна тут дозволяє отримати кращу оцінку, оскільки з визначення (8.20) випливає, що
Ось доказ:
(У цій викладці ми спираємося на незалежність спостережень, коли замінюємо на )
На практиці для оцінки результатів експерименту з випадковою величиною X зазвичай обчислюють емпіричне середнє та емпіричне стандартне відхилення після чого записують відповідь у вигляді Ось, наприклад, результати кидання пари кубиків, імовірно правильних.