Силові лінії напруженості електричного поля - лінії, дотичні до яких у кожній точці збігаються з вектором Е. За їх напрямком можна судити, де розташовані позитивні (+) та негативні (-) заряди, що створюють електричне поле. Густота ліній (кількість ліній, що пронизують одиничний майданчик поверхні, перпендикулярний до них) чисельно дорівнює модулю вектора Е.
Силові лінії напруженості електричного поля. Силові лінії напруженості електричного поля не замкнуті, мають початок і кінець. Можна говорити, що електричне поле має «джерела» та «стоки» силових ліній. Силові лінії починаються на позитивних (+) зарядах (Мал. а), закінчуються на негативних (-) зарядах (Мал. б). Силові лінії не перетинаються.
Потік вектора напруги електричного поля Довільний майданчик dS. Потік вектора напруженості електричного поля через майданчик dS: - псевдовектор, модуль якого дорівнює dS, а напрямок збігається з напрямком вектора n до майданчика dS. Е = constdФ Е = N - числу ліній вектора напруженості електричного поля Е, що пронизують майданчик dS.
Потік вектора напруженості електричного поля Якщо поверхня не плоска, а неоднорідне поле, то виділяють малий елемент dS, який вважати плоским, а поле – однорідним. Потік вектор напруженості електричного поля: Знак потоку збігається зі знаком заряду.
Закон (теорема) Гауса в інтегральній формі. Тілесний кут – частина простору, обмежена конічною поверхнею. Міра тілесного кута – відношення площі S сфери, що вирізується на поверхні сфери конічною поверхнею до квадрата радіусу R сфери. 1 стерадіан - тілесний кут з вершиною в центрі сфери, що вирізує на поверхні сфери площу, рівну площі квадрата зі стороною, що дорівнює довжині радіусу цієї сфери.
Теорема Гауса в інтегральній формі Електричне поле створюється точковим зарядом +q у вакуумі. Потік d Ф Е, створюваного цим зарядом, через нескінченно малий майданчик dS, радіус вектор якого r. dS n – проекція майданчика dS на площину перпендикулярну до вектора r. n – одиничний вектор позитивної нормалі площадці dS.
Якщо довільна поверхня оточує k– зарядів, то згідно з принципом суперпозиції: Теорема Гаусса: для електричного поля у вакуумі потік вектора напруженості електричного поля крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри укладених усередині цієї поверхні зарядів, поділених на ε 0 .
Методика застосування теореми Гаусса для розрахунку електричних полів – другий спосіб визначення напруженості електричного поля Е Теорема Гаусса застосовується для знаходження полів, створених тілами, що мають геометричну симетрію. Тоді векторне рівняння зводиться до скалярного.
Методика застосування теореми Гауса для розрахунку електричних полів – другий спосіб визначення напруженості електричного поля Е 1) Знаходиться потік Ф Е вектора Е визначення потоку. 2) Знаходиться потік ФЕ за теоремою Гауса. 3) З умови рівності потоків знаходиться вектор Е.
Приклади застосування теореми Гауса 1. Поле нескінченної однорідно зарядженої нитки (циліндра) з лінійною щільністю (τ = dq/dl, Кл/м). Поле симетричне, спрямоване перпендикулярно до нитки і з міркувань симетрії на однаковій відстані від осі симетрії циліндра (нитки) має однакове значення.
2.Поле рівномірно зарядженої сфери радіуса R. Поле симетричне, лінії напруженості Е електричного поля спрямовані в радіальному напрямку, і на однаковій відстані від точки Про поле має одне й те саме значення. Вектор одиничної нормалі n до сфери радіусу r збігається з вектором напруженості Е. Охопимо заряджену (+q) сферу допоміжної сферичної поверхні радіусу r.
2.Поле рівномірно зарядженої сфери При полі сфери перебуває як полі точкового заряду. При r 
(σ = dq/dS, Кл/м2). Поле симетричне, вектор Е перпендикулярний площині з поверхневою щільністю заряду + і на однаковій відстані від площини має однакове значення. 3. Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини з поверхневою щільністю заряду + σ Як замкнута поверхня візьмемо циліндр, основи якого паралельні площині, і який ділиться зарядженою площиною на дві рівні половини.
Теорема Ірншоу Система нерухомих електричних зарядів не може перебувати у стійкій рівновазі. Заряд + q буде в рівновазі, якщо при його переміщенні на відстань dr з боку всіх інших зарядів системи, розташованих поза поверхнею S, діятиме сила F, яка повертає його у вихідне положення. Є система зарядів q1, q2, …qn. Один із зарядів системи q охопимо замкнутою поверхнею S. n – одиничний вектор нормалі до поверхні S.
Теорема Ірншоу Сила F обумовлена полем Е, створеним рештою всіх зарядів. Поле всіх зовнішніх зарядів Е має бути спрямоване протилежно до напрямку вектора переміщення dr, тобто від поверхні S до центру. Згідно з теоремою Гауса, якщо заряди не охоплюються замкнутою поверхнею, то ФЕ = 0. Суперечність доводить теорему Ірншоу.
0 витікає більше, ніж витікає. Ф 0 витікає більше, ніж витікає. Ф 33Закон Гауса в диференціальній формі Дивергенція вектора – кількість силових ліній, що припадають на одиницю об'єму, або щільність потоку силових ліній. Приклад: з об'єму витікає та витікає вода. Ф > 0 витікає більше, ніж витікає. Ф 0 витікає більше, ніж витікає. Ф 0 витікає більше, ніж витікає. Ф 0 витікає більше, ніж витікає. Ф 0 витікає більше, ніж витікає. Ф title="Закон Гауса в диференціальній формі Дивергенція вектора - число силових ліній, що припадають на одиницю об'єму, або щільність потоку силових ліній. Приклад: з об'єму витікає і витікає вода. Ф > 0 витікає більше, ніж витікає. Ф
Зображення електростатичного поля з допомогою векторів напруженості у різних точках поля дуже незручним, оскільки картина виходить дуже заплутаною. Фарадей запропонував більш простий та наочний метод зображення електростатичного поля за допомогою ліній напруженостейабо силових ліній. Силовими лініяминазиваються криві, дотичні до яких у кожній точці збігаються із напрямком вектора напруженості поля (рис.1.2). Напрямок силової лінії збігається з напрямком. Силові лінії починаються на позитивних зарядах і закінчуються негативними. Силові лінії не перетинаються, тому що в кожній точці поля вектор має лише один напрямок. Електростатичне поле вважається однорідним, якщо напруженість у всіх його точках однакова за величиною та напрямом. Силовими лініями такого поля є прямі, паралельні до вектора напруженості.
Силові лінії поля точкових зарядів - радіальні прямі, що виходять із заряду і нескінченність, якщо він позитивний (рис.1.3а). Якщо заряд негативний, напрямок силових ліній виявляється зворотним: вони починаються в нескінченності і закінчуються на заряді -q (рис.1.3б). Поле точкових зарядів має центральну симетрію.
Рис.1.3. Лінії напруженості точкових зарядів: а – позитивного, б – негативного.
На рис.1.3 зображено плоскі перерізи електростатичних полів системи двох однакових за величиною зарядів: а) заряди, однакові за знаком, б) заряди, різні за знаком.1. 5. Принцип суперпозиції електростатичних полів.
Основним завданням електростатики є визначення величини та напрямки вектора напруженості у кожній точці поля, створюваного або системою нерухомих точкових зарядів, або зарядженими поверхнями довільної форми. Розглянемо перший випадок, коли поле створено системою зарядів q1, q2, ..., qn. Якщо якусь точку цього поля помістити пробний заряд q 0 , то з боку зарядів q 1 , q 2 ,..., q n діятимуть кулонівські сили . Згідно з принципом незалежності дії сил, розглянутої в механіці, сила, що діє, дорівнює їхній векторній сумі.
.
Використовуючи формулу напруженості електростатичного поля, ліву частину рівності можна записати: , де-напруженість результуючого поля, створюваного всією системою зарядів у точці, де розташований пробний заряд q 0 . Праву частину рівності відповідно можна записати 
, де-напруженість поля, створювана одним зарядом q i. Рівність набуде вигляду 
. Скорочуючи наq 0, отримаємо.
Напруженість електростатичного поля системи точкових зарядів дорівнює векторній сумі напруженостей полів, створюваних кожним із цих зарядів окремо.У цьому полягає принцип незалежності дії електростатичних полів або принцип суперпозиції (накладення) полів .
Позначимо через радіус-вектор, проведений з точкового заряду і в досліджувану точку поля. Напруженість поля у ній від заряду q i дорівнює 
. Тоді результуюча напруженість, що створюється всією системою зарядів, дорівнює 
. Отримана формула застосовна й у розрахунку електростатичних полів заряджених тіл довільної форми оскільки будь-яке тіло можна розділити дуже малі частини, кожну з яких вважатимуться точковим зарядомq i . Тоді розрахунок у будь-якій точці простору буде аналогічний вище наведеному.
Знаючи вектор напруженості електростатичного поля в кожній його точці, можна надати це поле наочно за допомогою силових ліній напруженості (ліній вектора E →). Силові лінії напруженості проводять так, щоб до них до кожної точки збігалася з напрямом вектора напруженості E → (рис. 4, а).
Число ліній, що пронизують одиничний майданчик dS, перпендикулярний до них, проводять пропорційно до модуля вектора E → (рис. 4, б). Силовим лініям приписують напрямок, що збігається із напрямком вектора E → . Отримана картина розподілу ліній напруженості дозволяє будувати висновки про конфігурації даного електричного поля у різних його точках. Силові лінії починаються на позитивних зарядах та закінчуються на негативних зарядах. На рис. 5 наведено лінії напруженості точкових зарядів (рис. 5 а, б); системи двох різноіменних зарядів (рис. 5, а б) – приклад неоднорідного електростатичного поля та двох паралельних різноіменно заряджених площин (рис. 5, г) – приклад однорідного електричного поля.
Теорема Остроградського-Гаусса та її застосування.
Введемо нову фізичну величину, що характеризує електричне поле потік вектора напруженості електричне поле. Нехай у просторі, де створено електричне поле, розташована деяка досить мала площадка , не більше якої напруженість , т. е. електростатичне поле однорідно. Добуток модуля вектора на площу та на косинус кута між вектором та нормаллю до майданчика називається елементарним потоком вектора напруженості через майданчик (рис. 10.7):
де - проекція поля на напрямок нормалі .
Розглянемо тепер деяку довільну замкнуту поверхню. У разі замкнутої поверхні завжди вибирається зовнішня нормаль до поверхні, тобто нормаль, спрямована назовні області.
Якщо розбити цю поверхню на малі майданчики, визначити елементарні потоки поля через ці майданчики, а потім підсумувати їх, то в результаті ми отримаємо потік вектор напруженості через замкнуту поверхню (рис. 10.8):
. (10.9)
 |
| Мал. 10.7 |
 Мал. 10.8 |
Теорема Остроградського-Гауссастверджує: потік вектора напруженості електростатичного поля через довільну замкнуту поверхню прямо пропорційний сумі алгебри вільних зарядів, розташованих усередині цієї поверхні:
, (10.10)
де - алгебраїчна сума вільних зарядів, що знаходяться всередині поверхні, - об'ємна щільність вільних зарядів, що займають об'єм.
З теореми Остроградського-Гаусса (10.10), (10.12) випливає, що потік залежить від форми замкнутої поверхні (сфера, циліндр, куб тощо.), а визначається лише сумарним зарядом усередині цієї поверхні.
Використовуючи теорему Остроградського-Гаусса, можна у ряді випадків легко обчислити напруженість електричного поля зарядженого тіла, якщо заданий розподіл зарядів має будь-яку симетрію.
Приклад використання теореми Остроградського-Гаусса. Розглянемо задачу про обчислення поля тонкостінного порожнього однорідно зарядженого довгого циліндра радіусу (тонкої нескінченної зарядженої нитки).Це завдання має осьову симетрію. З міркувань симетрії електричне поле має бути спрямоване радіусом. Виберемо замкнуту поверхню у вигляді циліндра довільного радіусу та довжини, закритого з обох торців (рис. 10.9)
а б
). Силові лінії напруженості проводять так, щоб до них до кожної точки збігалася з напрямком вектора напруженості 
(Рис. 1.4, а).Число ліній, що пронизують одиничний майданчик dS, перпендикулярний до них, проводять пропорційно до модуля вектора 
(Рис. 1.4, б).
Силовим лініям приписують напрямок, що збігається з напрямком вектора 
. Отримана картина розподілу ліній напруженості дозволяє будувати висновки про конфігурації даного електричного поля у різних його точках. Силові лінії починаються на позитивних зарядах та закінчуються на негативних зарядах.
На рис. 1.5 наведено лінії напруженості точкових зарядів (рис. 1.5, а,
б); системи двох різноіменних зарядів (рис. 1.5, в) приклад неоднорідного електростатичного поля та двох паралельних різноіменно заряджених площин (рис. 1.5, г) приклад однорідного електричного поля.
1.5. Розподіл зарядів
У деяких випадках для спрощення математичних розрахунків справжнє розподіл точкових дискретних зарядів зручно замінити безперервним фіктивним розподілом. При переході до безперервного розподілу зарядів використовують поняття про щільність зарядів – лінійної , поверхневої та об'ємної , тобто.
(1.12)
де dq заряд, розподілений відповідно до елемента довжини 
елементу поверхні dS і елементу об'єму dV.
З урахуванням цих розподілів, формула (1.11) може бути записана в іншій формі. Наприклад, якщо заряд розподілений за обсягом, то замість q i потрібно використовувати dq = dv, а символ суми замінити інтегралом, тоді
.
(1.13)
1.6. Електричний диполь
Для пояснення явищ, пов'язаних із зарядами у фізиці використовується поняття електричного диполя.
Систему двох рівних за величиною різноіменних точкових зарядів, відстань між якими набагато менше відстані до досліджуваних точок простору, називають електричним диполем.Відповідно до визначення диполя +q=q= q.
, Спрямованим від негативного заряду до позитивного. Основною характеристикою диполя є електричний дипольний момент
= q 
.
(1.14)За абсолютною величиною
р = q 
.
(1.15)
У СІ електричний дипольний момент вимірюється у кулонах помножених на метр (Кл. м).
Розрахуємо потенціал та напруженість електричного поля диполя, вважаючи його точковим, якщо 
r.
Потенціал електричного поля, створеного системою точкових зарядів у довільній точці, що характеризується радіус-вектором 
, запишемо у вигляді:
де r 1 r 2 r 2 , r 1 r 2 r = 
, так як 
r; кут між радіус-векторами 
і
(Рис. 1.6) .
З урахуванням цього отримаємо
.
(1.16)
Використовуючи формулу, що з'єднує градієнт потенціалу з напруженістю, знайдемо напруженість, що створюється електричним полем диполя. Розкладемо вектор 
електричного
поля диполя на два взаємно перпендикулярні складові, тобто. 
(Рис. 1. 6).
Перша їх визначається рухом точки, що характеризується радіусвектором 
(При фіксованому значенні кута), тобто значення Е знайдемо диференціюванням (1.81) по r, тобто.
.
(1.17)
Друга складова визначається рухом точки, пов'язаним із зміною кута (при фіксованому r), тобто Е знайдемо диференціюванням (1.16) по : 
,
(1.18)
де 
,d 
= rd.
Результуюча напруженість Е 2 = Е 2 + Е 2 або після підстановки 
.
(1.19)
Зауваження: При = 90 о 
,
(1.20)
тобто напруженість у точці на прямій проходить через центр диполя (т. О) і перпендикулярно до осі диполя.
При = 0 про 
,
(1.21)
тобто у точці на продовженні прямої, що збігається з віссю диполя.
Аналіз формул (1.19), (1.20), (1.21) показує, що напруженість електричного поля диполя зменшується з відстанню назад пропорційно r 3 , тобто швидше, ніж для точкового заряду (назад пропорційно r 2).
Існує дуже зручний спосіб наочного опису електричного поля. Цей спосіб зводиться до побудови мережі ліній, за допомогою якої зображують модуль та напрямок напруженості поля у різних точках простору.
Виберемо в електричному полі якусь точку (рис. 31,а) і проведемо з неї невеликий прямолінійний відрізок так, щоб його напрямок збігався з напрямком поля в точці . Потім з якоїсь точки цього відрізка проведемо відрізок , напрямок якого збігається з напрямком поля в точці , і т. д. Ми отримаємо ламану лінію, яка показує, який напрямок має поле в точках цієї лінії.
Мал. 31. а) Ламана лінія, що показує напрямок поля лише в чотирьох точках; б) Ломана лінія, що показує напрямок поля в шести точках. в) Лінія, що показує напрямок поля у всіх точках. Штрихова лінія показує напрямок поля в точці
Побудована таким чином ламана не зовсім точно визначає напрямок поля у всіх точках. Справді, відрізок точно спрямований уздовж поля лише у точці (за побудовою); але в будь-якій іншій точці цього ж відрізка поле може мати дещо інший напрямок. Ця побудова, однак, тим точніше передаватиме напрямок поля, чим ближче один до одного обрані точки. На рис. 31,б напрямок поля зображується не для чотирьох, а для шести точок, і картина більш точна. Зображення напряму поля стане цілком точним, коли точки зламу необмежено зближуватимуться. У цьому ламана перетворюється на деяку плавну криву (рис. 31,в). Напрямок дотичної до цієї лінії у кожній точці збігається з напрямом напруженості поля у цій точці. Тому її зазвичай називають лінією електричного поля. Таким чином, будь-яка подумки проведена в полі лінія, напрямок до якої в будь-якій точці її збігається з напрямом напруженості поля в цій точці, називається лінією електричного поля.
З двох протилежних напрямів, що визначаються дотичною, ми умовимося завжди вибирати той напрямок, який збігається з напрямком сили, що діє на позитивний заряд, і відзначатимемо цей напрямок на кресленні стрілками.
Взагалі, лінії електричного поля є кривими. Однак, можуть бути і прямі лінії. Прикладами електричного поля, що описується прямими лініями, є поле точкового заряду, віддаленого від інших зарядів (рис. 32), та поле рівномірно зарядженої кулі, також віддаленої від інших заряджених тіл (рис. 33).
Мал. 32. Лінії поля точкового позитивного заряду
Мал. 33. Лінії поля рівномірно зарядженої кулі
За допомогою ліній електричного поля можна не лише зображувати напрямок поля, але й характеризувати модуль напруженості поля. Розглянемо знову поле одного точкового заряду (рис. 34). Лінії цього поля є радіальні прямі, що розходяться від заряду на всі боки. З місця знаходження заряду, як із центру, збудуємо ряд сфер. Через кожну з них проходять усі лінії поля, які ми проводили. Так як площа цих сфер збільшується пропорційно квадрату радіусу, тобто квадрату відстані до заряду, число ліній, що проходять через одиницю площі поверхні сфер, зменшується як квадрат відстані до заряду. З іншого боку, ми знаємо, що також зменшується і напруженість електричного поля. Тому в нашому прикладі ми можемо судити про напруженість поля за кількістю ліній поля, що проходять через одиничний майданчик, перпендикулярний до цих ліній.
Мал. 34. Сфери, проведені навколо позитивного точкового заряду. На кожній з них показано одиничний майданчик
Якби заряд був узятий у раз більшим, то й напруженість поля у всіх точках зросла б у раз. Тому, щоб і в цьому випадку можна було судити про напруженість поля за густотою ліній поля, умовимося проводити із заряду тим більше ліній, чим більший заряд. При такому способі зображення густота ліній поля може бути кількісного опису напруженості поля. Ми збережемо цей спосіб зображення і в тому випадку, коли поле утворене не одним поодиноким зарядом, а має складніший характер.
Само собою зрозуміло, що число ліній, яке ми проведемо через одиницю поверхні зображення поля даної напруженості, залежить від нашого свавілля. Необхідно тільки, щоб при зображенні різних областей одного і того ж поля або при зображенні декількох полів, що порівнюються між собою, була збережена густота ліній, прийнята для зображення поля, напруженість якого дорівнює одиниці.
На кресленнях (наприклад, на рис. 35) можна зображувати не розподіл ліній поля у просторі, а лише перетин картини цього розподілу площиною креслення, що дозволить одержати звані «електричні карти». Такі карти дають наочне уявлення про те, як розподіляється дане поле у просторі. Там, де напруженість поля велика, лінії проводяться густо, там, де поле слабке, густота ліній невелика.
Мал. 35. Лінії поля між різноіменно зарядженими пластинами. Напруженість поля: а) найменша – густота ліній поля мінімальна; 6) середня – густота ліній поля середня; в) найбільша – густота ліній поля максимальна
Поле, напруженість якого у всіх точках одна і та ж і за модулем і за напрямом, називається однорідним. Лінії однорідного поля є паралельні прямі. На кресленнях однорідне поле також представиться поруч паралельних і рівновіддалених прямих, що проходять тим густіше, чим сильніше поле, що зображується ними (рис. 35).
Зазначимо, що ланцюжки, утворені крупинками у досліді § 13, мають таку форму, як і лінії поля. Це природно, тому що кожна подовжена крупинка розташовується за напрямом напруженості поля у відповідній точці. Тому рис. 26 і 27 подібні до карт ліній електричного поля між паралельними пластинами і біля двох заряджених куль. Використовуючи різні форми тіла, можна за допомогою таких дослідів легко знайти картини розподілу ліній електричного поля для різних полів.