) — (Від лат. fractus- Дробовий, ламаний) структура, яка має властивість самоподібності, тобто складається з таких фрагментів, структурний мотив яких повторюється при зміні масштабу.
Опис
Фрактальну структуру характеризує значення ступеня заповненості простору структурою (розмірність), яка є цілою величиною. Так, n-мірні фрактали займають проміжне положення між n-мірними та ( n+ 1)-мірними об'єктами. Для побудови регулярних фрактальних об'єктів використовують рекурсивні функції.
У природних фракталоподібних структурах, на відміну регулярних фракталів, відсутня дробова розмірність, а самоподібність спостерігається лише певного масштабу. Природними прикладами об'єктів із структурою, що нагадує фрактали, є купові хмари, крони дерев, блискавки. Наприклад, у крони дерева кожна з великих гілок розділяється як мінімум на дві дрібніші гілки, після чого розподіл повторюється знову і знову (див. рис.). У результаті кожну з гілок можна розглядати як окремий повторюваний мотив фрактальної структури.
Геометрія деяких наносистем, наприклад, молекул і фрактальних, з хорошою точністю описується за допомогою рекурсивних функцій, що дозволяє моделювати їх мікро- та макроскопічні властивості.
Ілюстрації
Автори
- Шляхтін Олег Олександрович
- Стрілецький Олексій Володимирович
Джерела
- Федер Є. Фрактали. - М: Мир, 1991. - 254 с.
- Третьяков Ю. Д. Дендрити, Фрактали та Матеріали // Соросівський освітній журнал. 1998. №11. С. 96-102.
- Пайтген Х.-О., Ріхтер П. Х. Краса фракталів. - М: Мир, 1993. - 176 с.
В останні роки було опубліковано багато досліджень фрактальної структури поверхонь. Фрактальним оголошувалося все - від молекулярних поверхонь білків до злітних смуг аеродромів. Ці дослідження застосовують весь спектр методів хімії та фізики. Взагалі кажучи, фрактальна поведінка, що спостерігається, не охоплює широких (у кілька порядків величини) діапазонів просторових масштабів, і можна сумніватися в надійності знайдених оцінок фрактальної розмірності. Проте проаналізовано дуже цікаву низку спостережень, і тут ми обговоримо деякі нові результати.
14.1. Топографія поверхонь, що спостерігається
Сейлс і Томас виміряли та проаналізували шорсткість поверхонь різноманітних об'єктів – від обшивки супертанкерів та бетонних злітних смуг до поверхонь суглобів та шліфованих металевих поверхонь.
Висота поверхні вимірювалася в різних точках вздовж деякого напрямку. Маючи велику кількість вимірювань по всій ділянці поверхні, можна розрахувати шорсткість поверхні, що визначається дисперсією
Тут кутові дужки позначають усереднення серії вимірювань (іноді багаторазових повторних) топографії поверхні. Точка відліку по вертикалі вибирається так, що
Важливим заходом статистичних властивостей поверхні є кореляційна функція, що визначається співвідношенням
Для стаціонарних поверхонь кореляційну функцію можна виразити через спектр потужності за допомогою перетворення Фур'є
(Клацніть для перегляду скана)
Просторова частота пов'язана з довжиною хвилі нерівностей поверхні X рівністю Фізичні системи мають кінцеву протяжність і відповідно мінімальну просторову частоту Отже, кореляційну функцію можна переписати у вигляді
Сейлс і Томас припускають, що спектр потужності має вигляд
і називають постійну до «порізаності». За такого припущення дисперсія дорівнює
тобто ми отримуємо і дисперсія збільшується з розміром поверхні, як і очікується для випадкових гаусових процесів.
На рис. 14.1. відтворено результати цієї роботи. Величина відкладена як функція Якщо справедлива рівність (14.1), ми очікуємо, що цей графік повинен мати вигляд прямої лінії з нахилом 2. Сейлс і Томас отримали дивовижну збіжність результатів для 23 типів поверхонь, які охоплюють 8 декад за довжиною хвилі. Ці автори вважають, що величина однозначно визначає статистичні геометричні властивості випадкових компонент ізотропної поверхні для цього діапазону довжин хвиль!
Слід, однак, зауважити, що апроксимація спостережуваної спектральної щільності залежністю (14.1) визначає до і при обраному нормуванні ця залежність набуває вигляду. логарифмічного графіка, при якому окремі відрізки зміщуються вздовж вертикальної осі так, що вони максимально наближаються до лінії При зазначеній процедурі апроксимація буде виглядати тим краще, чим ширший діапазон вихідних даних.
Беррі та Ханні зауважують, що статистично ізотропні поверхні, на яких не виділено будь-який масштаб і рівень яких добре визначений, але недиференційований, дійсно можуть мати спектр фрактального вигляду:
Як показано Мандельбротом, показник дорівнює фрактальної корозмірності і таким чином виражається через фрактальну розмірність поверхні
Для броунівських поверхонь, тобто у разі звичайної гаусової статистики, виходить рівність (14.1), використана Сейлсом та Томасом, оскільки для таких поверхонь
Мал. 14.2. Гістограма значень показника для 23 серій вимірювань, представлених на попередньому малюнку .
Однак для параметра слід знайти значення, що забезпечує найкращу апроксимацію, і воно виявляється ув'язненим в межах від 1,07 до 3,03, що відповідає значенням фрактальної розмірності від 2 до 3. У відповідь на це зауваження Сейлс і Томас провели нову апроксимацію своїх даних і побудували гістограму оцінок спектрального параметра, показану на рис. 14.2. Отримані значення а групуються навколо гауссового значення 2, але розподілені за допустимим діапазоном від 1 до 3. Цей результат здається розумним, оскільки навряд можна очікувати, що поверхні кулькових підшипників і злітних смуг мають однакові статистичні властивості. Тим не менш, Сейлс і Томас отримали цікаві результати, і їх варто критично перевірити на даних високої якості.
Фрактальні поверхні розлому. Коли розламується металеве тіло, поверхня розлому, що утворюється, шорстка і нерегулярна. Мандельброт та ін. досліджували фрактальну структуру таких поверхонь. Вони вивчали розломи зразків мартенситної сталі марки 300. Розломи спочатку нікелювали, а потім шліфувалися паралельно площині розлому. В результаті з'являлися "острова" сталі, оточені нікелем; при подальшому шліфуванні острова росли і зливались один з одним. Довжина «берегової лінії», або периметр і площа таких островів вимірювалися за допомогою «еталона» завдовжки
Фрактальні поверхні, подібні до поверхонь розлому, повинні характеризуватись різними законами подібності в площині розлому та поперек неї. Тому поверхні розлому можуть бути в кращому разі самоафінними з локальною фрактальною розмірністю. Однак перетин такої самоафінної поверхні з площиною дає
Мал. 14.3. Співвідношення периметра і площі поверхні розлому мартенситної сталі марки 300. Прямою лінією показана апроксимація при
тому можна використовувати співвідношення периметра і площі (12.2), записане у вигляді
На рис. 14.3 показані результати Мандельброту та ін. Апроксимація залежністю (14.3) дає оцінку з якої випливає, що в помітному діапазоні масштабів поверхня розлому має фрактальну розмірність Мандельброт та його співавтори перевірили оцінку фрактальної розмірності, проаналізувавши профілі поверхні розлому. Щоб виявити її профіль, поверхня резрезалась і для виміряних профілів розраховувалася спектральна щільність.
яка опинилася у добрій згоді з раніше отриманою оцінкою.
В іншій серії цікавих експериментів Мандельброт та ін піддали зразки мартенситної сталі марки 300 теплової обробки при різній температурі. Потім вимірювалася кількість енергії, яку
Мал. 14.4. Зв'язок виміряної фрактальної розмірності поверхні розлому та енергії, необхідної для розлому серії зразків мартенситної сталі марки 300, загартованих при різних температурах.
необхідно вкласти, щоб зруйнувати зразки, та визначалася фрактальна розмірність поверхонь розлому. На рис. 14.4 представлені одержані результати. Зрозуміло видно, що фрактальні розмірності, укладені межах приблизно лінійно залежить від вкладеної енергії. Зв'язок цієї залежності з характером металургійних процесів незрозумілий, але після відкриття залежності фрактальної розмірності розлому від вкладеної енергії, принаймні, намітився підхід до дослідження топографії поверхні.
Теоретична фізика твердого тіла переважно розглядала рівноважні системи. Необоротні процеси розглядалися лише дуже спрощеним способом - як малі обурення, наприклад, щодо транспортних явищ. Відомо, що конденсований стан речовини може існувати не тільки у формі суцільного щільного середовища, але і у вигляді сильно розпушених пористих структур. Такі структури утворюються, як правило, в результаті конденсації в складних нерівноважних умовах, наприклад, при злипанні твердих частинок, що рухаються за певним законом, або в результаті взаємодії дислокацій при пластичній деформації металів. Подібного роду структури отримали назву фрактальних агрегатів. Вони здебільшого є невпорядкованими, складними дослідження, та його макроскопічні властивості мало вивчені. Фрактальний агрегат кожної речовини формується за певних фізичних умов, які остаточно не зрозумілі. Тим не менш, те, що вже відомо, дає можливість використовувати закони утворення фрактальних агрегатів для створення матеріалів з незвичайними фізичними властивостями. Фрактальні твердотільні середовища, сформовані в умовах дисипації енергії у відкритих системах і є самоорганізованими структурами, мають ряд незвичайних властивостей, які неможливо отримати за традиційних способів формування структурного стану речовини. Рушійною силою самоорганізації в дисипативних системах є прагнення речовини у відкритих системах зниження ентропії. Характерні ознаки фрактальних структур самоподібність, масштабна інваріантність, структурна ієрархія, пористість нанометрового масштабуі фрактальна розмірність.
Твердотільні фрактальні системи є новий тип структурного стану речовини, що характеризується унікальними фізичними властивостями. Фрактальні твердотільні системи утворюються з атомів чи молекул, і навіть з нанорозмірних частинок чи кластерів. Сформовані з таких частинок чи кластерів фрактальні мікро- чи макроскопічні структури цікаві як вивчення фундаментальних властивостей, так використання в нових технологіях. Експериментально встановлено, що фрактальна структура, сформована з наночастинок металів, здатна поглинати електромагнітне випромінювання у світловому діапазоні довжин хвиль. Показано, що термоедс фрактальної структури вуглецю збільшується майже на порядок у порівнянні з графітом.
У багатьох випадках фрактальна структура твердого тіла забезпечує високі питомі характеристики міцності, низьку теплопровідність і звукопроникність. Тому отримання та дослідження речовин, що мають певну фрактальну структуру, є актуальним завданням. Характерна риса фрактальних утворень у тому, що й структура проявляється лише за спільному розв'язанні кількох рівнів, різниця масштабів яких утрудняє уявлення наочного геометричного образу (типу порізаної берегової лінії).
Хоча спостереження самих багатомасштабних структур важко, їх послідовне опис може бути досягнуто лише рамках фрактальної ідеології. Це з тим, що такі нерівноважні системи видаються як суперансамблі, що з ієрархічно підпорядкованих статистичних ансамблів, які, своєю чергою, складаються з набору подансамблей тощо. Тому, говорячи про фрактали в конденсованому середовищі, слід мати на увазі, перш за все, використання концепції, а не буквальний опис геометричного образу, що спостерігається.
Однією з найважливіших характеристик фрактальних структур, що визначає їх фізичні властивості, є фрактальна розмірність.
Математичне визначення фрактальної розмірності. Обсяг фракталу у своєму просторі вкладеннязавжди дорівнює нулю. Він, однак, може бути відмінний від нуля у просторі меншої розмірності. Щоб визначити розмірність цього простору D, розіб'ємо все n-мірний простір на малі кубики з довжиною ребра ε та об'ємом ε n(Рис. 14.12).
Мал. 14.12 Визначення фрактальної розмірності
Нехай N(ε) - мінімальна кількість кубиків, які в сукупності повністю покривають фрактальну множину, тоді за визначенням
Цю величину зазвичай називають хаусдорфовийабо фрактальною розмірністю.
Існування цієї межі означає кінцівку обсягу фракталу в D-мірному просторі при малому ε:
N(ε)≈ Vε – D , (14.104)
де V= Const.
Таким чином, N(ε) є не що інше, як число D-мірних кубиків, що покривають у D-мірному просторі обсяг V, оскільки покривають фрактал n-мірні кубики можуть виявитися майже порожніми
D< n, (14.105)
та на відміну від звичної розмірності Dможе бути дробовою величиною, якою вона найчастіше і є для фрактальних множин. Очевидно, що для звичайних множин це визначення призводить до добре відомих результатів. Так, для безлічі Nізольованих точок маємо N(ε) = Nі тому
Для відрізка досить гладкої лінії довжини L N(ε) = L/ε і тому D= 1. Для майданчика Sдвомірної поверхні N(ε) = S/ε 2 і D= 2 і т.д.
Спочатку фрактал було введено як геометричний об'єкт у звичайному фізичному просторі. Тому доцільно розпочати розгляд прикладів фракталів із наочних геометричних побудов Кантора та Коха. Їхній вибір обумовлений тим, що в першому випадку фрактальна розмірність Dменше топологічної d, а в другому D > d.
Канторівське безліч. Візьмемо відрізок довжини 1 . Розділивши його на три рівні частини, виключимо середню частину. З двома відрізками, що залишилися, проробимо ту ж процедуру і в результаті отримаємо 4 відрізки в 1/9 довжини кожен і т.д. до нескінченності (рис. 14.13).
Мал. 14.13. Побудова канторської множини
Багато точок, що виникло після цієї процедури, і є канторівським безліччю. Неважко помітити, що довжина Lцієї множини дорівнює нулю. Справді,
Знайдемо тепер його хаусдорфову чи фрактальну розмірність. Для цього виберемо як "еталон" відрізок завдовжки
Мінімальна кількість таких відрізків, необхідних для покриття множини, дорівнює
N(ε) = 2 n. (14.109)
Тому його фрактальна розмірність
Сніжинка Коха. Приклад побудови цього фракталу зображено нижче на рис. 14.14
Мал. 14.14 Сніжинка Коха
Сніжинка Кохає лінією нескінченної довжини, що обмежує кінцеву площу. Перше твердження доводиться дуже просто. Якщо ми зауважимо, що при кожному кроці кількість сторін багатокутника збільшується у 4 рази, а довжина кожної сторони зменшується лише у 3 рази. Якщо прийняти довжину сторони трикутника, що утворює, за 1, то тоді довжина сніжинки Коха:
Площа під кривою, якщо прийняти площу утворюючого трикутника за 1, дорівнює
Тут ми врахували, що кожного разу кількість додаткових трикутників збільшується в 4 рази, а їхня сторона зменшується в 3 рази (відповідно їх площа зменшується в 3 2 = 9 разів). В підсумку:
Таким чином, площа під сніжинкою Коха в 1,6 рази більша за площу утворює її трикутника. Знайдемо фрактальну розмірність сніжинки Коха. Як ми вже сказали, на n-Кроку число сторін трикутників N(ε) = 3×4 nа довжина сторони ε = 1/3 n. Тому
Серветка Серпінського. Три перші кроки у побудові цього фракталу ( серветки Серпінського) зображені на рис. 14.15, а сам фрактал – на рис. 14.16.
Мал. 14.15. Побудова серветки Серпінського
Мал. 14.16. Серветка Серпінського
Число трикутних пір все меншого і меншого масштабу в ньому нескінченне. Число чорних трикутників у цій побудові зростає як 3 n, де n- номер кроку, а довжина їхньої сторони зменшується як 2 – n. Тому фрактальна розмірність дорівнює:
Можна показати, що площа білих плям дорівнює площі вихідного трикутника.
Розглянуті вище приклади фракталів відносяться до так званих точним фракталамабо детерміністичним. Всі вони побудовані за цілком певним геометричним правилом. Крім точних фракталів, існують ще так звані випадкові фрактали. У розташуванні їх елементів є певна частка випадковості.
Броунівський рух. Найпростішим випадковим фракталом є траєкторія частки, що робить броунівський рух(Рис. 14.17).
Мал. 14.17 Траєкторія броунівської частки
І хоча сама траєкторія має дуже складний звивистий характер, визначити її фрактальну розмірність дуже просто. Для цього зауважимо, що якщо частка продифундувала на відстань R, то середня кількість "кроків", яку вона зробила
де l- Характерна довжина одного кроку. Тому:
Це означає, що характерний розмір дифузної траєкторії на заданій площі пропорційний величині цієї площі. Тобто траєкторія на площині є досить “густою”. Це, втім, значить кінцівки площі, замітуваної самої дифузійної кривою, через безліч самоперетинів. Можна показати, що для двовимірного броунівського руху ймовірність повернення в будь-яку, скільки завгодно малу околицю довільно обраної точки, дорівнює 1. У разі ж дифузії в тривимірному просторі траєкторія броунівської частки є, навпаки, дуже пухкої (її фрактальна розмірність, як і раніше, дорівнює) та не заповнює всього наданого їй обсягу. І тут ймовірність повернення виявляється менше одиниці.
Фрактальні кластери. Інший приклад випадкового фракталу, складніший, але настільки ж поширений у природі, виходить у процесі так званої дифузійно-обмеженої агрегації. Її можна змоделювати в такий спосіб. На сфері (коло в двовимірному випадку) досить великого радіусу, на поверхні якої іноді у випадкових місцях з'являються частинки, які потім дифундують всередину сфери. У центрі сфери знаходиться так званий "зародок". При зіткненні з ним частинка, що дифундує, "прилипає" до нього і більше не рухається. Потім із цим утворенням стикається наступна, випущена з поверхні сфери частка, і так до нескінченності. Потік частинок з поверхні сфери вважатимемо досить малим, так що зіткненнями частинок, що дифундують, один з одним можна знехтувати. В результаті утворюється дуже пориста структура, у двовимірному випадку зображена на рис. 14.18.
Мал. 14.18. Фрактальний кластер, отриманий у процесі дифузійно-обмеженої агрегації
Великі пори всередині "екрануються" відростками досить великої довжини. У міру зростання структури кількість пір та їх розміри збільшуються. У двовимірному випадку фрактальна розмірність такого кластера виявляється близькою до значення D = 1,7.
У природі такі фрактальні кластери зустрічаються дуже часто. Так, наприклад, ростуть кристали із пересиченого розчину, сніжинки, корали, пухлини в живих організмах, звичайна пічна сажа. У суперіонних провідниках, наприклад AgBr, такі кластери обмежують час їхнього практичного використання. Оскільки при досить тривалому проходженні струму рухливі іони срібла, з'єднуючись, утворюють фрактальний кластер, який зрештою замикає електроди і виводить зразок провідника з ладу.
Цікавим прикладом випадкового фракталу є моделей нашого Всесвіту.
Всесвіт Фурньє. Уявімо сферу дуже великого радіусу R(космічних масштабів), усередині якої знаходиться дуже велика кількість зірок N>> 1. Ясно, що число Nмає зростати зі збільшенням радіусу сфери. Нас якраз і цікавитиме ця залежність N(R). Якби зірки, галактики, скупчення галактик були б розподілені у Всесвіті рівномірно з деякою постійною щільністю, то число зірок у сфері радіусу Rбуло пропорційно обсягу цієї сфери, тобто.
Астрономічні спостереження, однак, показують, що
Де D» 1,23, (14.119)
тобто. фрактальна (хаусдорфова) розмірність набагато ближче до 1, ніж до 3. Це означає, що наш Всесвіт майже одномірний! Як можна це зрозуміти якісно? Для цього звернемося, наприклад всесвіту Фурньє. Вона була запропонована 1907 р. американським фантастом Фурньє. Фрагмент її структури показано на рис. 14.19.
| а | б |
Мал. 14.19. Всесвіт Фурньє. Відношення радіусів R 2 /R 1 = R 3 /R 2 = ... = 7
Кожна точка на цьому малюнку є однією галактикою. Вони об'єднані в скупчення радіуса R 1 по 7 галактик у кожному скупченні (рис. 14.19, б). На рис. 14.19, авидно тільки п'ять з них: відсутні дві розташовані симметрично над і під площиною малюнку, на прямій, що проходить через центр скупчення. У свою чергу, сім таких скупчень аналогічним чином об'єднані в одне суперскупчення радіусу R 2 . Потім за таким же принципом з семи суперскупчень будується одне суперсуперскопління радіусу R 3 , причому R 3 /R 2 = R 2 /R 1 і т.д. У результаті багатократного повторення такого процесу виникає самоподібна фрактальна структура. З цього малюнка очевидно, що кількість зірок у скупченні радіусу Rу 7 разів більше від кількості зірок у скупченні радіусу R/7:
Вважаючи, отримаємо D= 1. Таким чином, всесвіт Фурньє - одновимірна. Число 7, що проникло в цю схему, не відіграє принципової ролі. На його місці могло бути будь-яке інше число. Зрозуміло також, що, варіюючи співвідношення між розмірами скупчення і числом елементів у них, можна побудувати фрактальні моделі Всесвіту з іншими близькими до 1 розмірами D. Зауважимо також, що всесвіт Фурньє - точний фрактал, яким, звичайно, наш Всесвіт не є. Як і які закономірності призводять до фрактальної структури Всесвіту, поки що невідомо. Згадаємо лише у зв'язку так звані кільця Сатурна, які мають дуже пухку і неоднорідну структуру зі щілинами різних розмірів, у яких немає астероїдів, від найбільшої - так званий перетин Кассіні, до найменших. Імовірно, що структура кілець Сатурна – фрактальна. Якщо це так, то це було б яскравим підтвердженням того, що гравітація здатна створювати фрактальні структури у розподілі матерії у Всесвіті.
Фрактальні властивості хаосу. Фрактальна геометрія та поняття природним чином з'являються в нелінійній ньютонівській динаміці, коли рух системи хаотичний. Це, наприклад, має місце у вимушених коливаннях ангармонічного осцилятора, що описуються найпростішим одновимірним рівнянням:
де сила F(x) - нелінійна функція зміщення x. У певних інтервалах значень параметрів γ, f 0 , Ω рух є хаотичним. Якщо, скажімо, відзначати стан системи на фазовій площині x, У дискретні моменти часу 0, 2π/Ω, 4π/Ω, ... , то при хаотичному сигналі x(t) Виходить безліч точок є канторовим, тобто. є фракталом (рис. 14.28). Хаусдорфова розмірність фракталу залежить природним чином від значень параметрів та укладена в межах 0<D<2. В настоящее время не существует аналитических методов решения подобных уравнений. Большинство результатов в этой области получено путем компьютерного моделирования. То же относится и к вычислению фрактальной размерности D. Так, для атрактора Уеди, зображеного на рис. 14.20 чисельні розрахунки дають D ≈ 1,6.
Хаотичність руху означає неможливість його точного передбачення, незважаючи на задані початкові умови та теорему про єдиність рішення. Тому фактично може йтися про обчисленні лише ймовірності виявити систему у тому чи іншому елементі фазового обсягу. Такий статистичний опис хаотичного руху не є наслідком нашого незнання руху чи недосконалості наших комп'ютерів. Воно відбиває глибокі внутрішні властивості руху. І однією з цих властивостей є фрактальна геометріяфазових траєкторій.
Мал. 14.20. Атрактор Уеди для рівняння:
Можна сказати більше: детермінований хаосзавжди фрактальний, що визначає важливість фрактальних понять у фізиці.
Фрактальні агрегати можна отримати шляхом зміни дислокаційної структури в металі при зростаючих ступенях деформації, що призводять до створення комірчастої структури (рис. 14.21). У стадії пластичної деформації утворюється значна кількість дислокацій, рівномірно розподілених за обсягом. При вищих ступенях деформації утворюються скупчення як клубків і пухких стінок осередків. Зрештою утворюється чітко виражена пориста структура.
Мал. 14.21. Схематичне подання перебудови однорідної дислокаційної структури на пористу:
а– хаотичний розподіл дислокацій; б, в- Утворення дислокаційних клубків і пухких стінок; г- комірчаста структур
Вважається, що скупчення дислокацій, що формують стінки осередків, є фракталами, розмірність яких спочатку збільшується від D= 1 (рівномірний розподіл дислокацій) до 1<D<2 (рыхлые скопления) и затем достигает D= 2 (геометричні стінки комірки). Ці приклади показують можливість створення фрактальних структур у твердих тілах, компактність яких близька до рівноважної.
Найпростішим експериментальним методом визначення фрактальної розмірності двомірних плоских утворень є метод сіток. Плоске зображення фрактальної освіти розбивається на квадратні осередки (пікселі) у діапазоні експериментальних розмірів фрактального агрегату. Площа об'єкту Sта його периметр Lвизначається числом пікселів, які покривають Sі перетинають L.Розмір одного пікселя (комірки сітки) визначається роздільною здатністю приладу, в якому аналізується поверхнева структура об'єкта. У загальному випадку співвідношення між Sі Lдвовимірного об'єкта представляється у вигляді:
де D- Фрактальна розмірність об'єкта; μ( D) – величина, яка залежить від L. Побудова залежності ln Sвід ln Lпри використанні не менше десяти сіток пікселів дає змогу отримувати значення фрактальної розмірності плоских фрактальних об'єктів. Коли об'єкт дослідження має гладку зовнішню межу, D= 2 і S » L 2 . Неціле значення (1< D < 2) является свидетельством плоской фрактальной структуры.
Геворг Симонян, кандидат хімічних наук, доцент
Єреванський державний університет, Вірменія
Учасник першості: Національна першість з наукової аналітики - "Вірменія";
Відкрита Європейсько-Азіатська першість з наукової аналітики;
У статті докладно дається пояснення термінів фрактал, фрактальна розмірність та дендрит. Наведено численні приклади дендритних та фрактальних структур хімічних процесів та хімічних сполук.
Ключові слова:фрактал, дендрид, хімічна сполука.
Матеріали дають змогу скласти експланування термінів fractal, fractal dimension and dendrite. Численні розклади дендричних і фрактальних структур хімічних процесів і хімічних складів є гідними.
Keywords: fractal, dendrite,chemical compound.
Поняття фракталу введено в науковий побут Бенуа Мандельбротом. Фрактал – від латинського слова fractus, зламаний камінь, розколотий, нерегулярне середовище. Це по суті неевклідова геометрія - негладких, шорстких, зазубрених, з'їдених ходами та отворами, шорстких і тому подібних об'єктів. Фрактальними об'єктами називаються ті об'єкти, які мають властивості самоподібності, або масштабної інваріантності. Самоподібними можуть бути деякі фрагменти системи, структури яких повторюються за різних масштабів. Виявилося, що фрактали мають незвичні властивості. Наприклад, «сніжинка Коха» має периметр нескінченної довжини, хоча обмежує кінцеву площу. Крім того, вона така «колюча», що в жодній точці контуру до неї не можна провести дотичну (рис.1).
Мал. 1. Сніжинка Коха
Прийнято розрізняти регулярні та нерегулярні фрактали, з яких перші є плодом уяви, подібним до кривої Коха, а другі - продуктом природи або діяльності людини. Нерегулярні фрактали, на відміну від регулярних, зберігають здатність до самоподібності в обмежених межах, що визначаються реальними розмірами системи.
Фрактальна структура характеризується фрактальною дробовою розмірністю. Фрактальна розмірність (D) є характеристикою нестійкої хаотичної поведінки систем. Остання показує ступінь заповненості простору об'єктом чи структурою. Така розмірність була запроваджена Ф. Хаусдорфом. На відміну від звичайних геометричних образів - точка, лінія, квадрат, куб, що мають цілісну розмірність (0, 1, 2 і 3 відповідно), фрактальні структури мають нецілочисленну розмірність. Так, для кривої Коха D = lg 4/lg 3 = 1,2618. Фрактальна розмірність сніжинки дорівнює 1,71, тобто, як і крива Коха, вона займає проміжне положення між одно- та двовимірними об'єктами.
До появи терміна «фрактали» в мінералогії, а потім і в хімії вживали термін «дендріт» та «дендрітні форми». Дендрит являє собою гілки, що розгалужуються і розходяться в сторони освіту, що виникає при прискореній або стиснутої кристалізації в нерівноважних умовах, коли кристал розщеплюється за певними законами. Вони розгалужуються і розростаються в різні боки, подібно до дерева. Процес утворення дендриту прийнято називати дендритним зростанням. Впроцесі дендритного розвиткуоб'єкткристалографічна закономірність початкового кристала втрачається в міру його зростання. Дендрити можуть бути тривимірними об'ємними (у відкритих порожнинах) або плоскими двовимірними (якщо ростуть у тонких тріщинах гірських порід). Як приклад дендритів можна навести крижані візерунки на шибці, сніжинки та мальовничі оксиди марганцю, що мають вигляд дерев у пейзажних халцедонах та в тонких тріщинах рожевого родоніту. У зонах окислення рудних родовищ самородна мідь, срібло та золото мають гіллясті дендридні форми, а самородний вісмут та ряд сульфідів утворюють ґратчасті дендрити. Для бариту, малахіту та багатьох інших мінералів, наприклад, «печерні квіти» арагоніту та кальциту в карстових печерах відомі ниркоподібні або коралоподібні дендрити. Дендрити як специфічний продукт кристалізації з розчинів, безсумнівно, мають фрактальні властивості, хоча ці властивості мають фактично будь-які складні продукти природи і людської діяльності. Так, у роботі показано, що фрактальна самоподібність характерна також для об'єктів нафтових родовищ, що вміщують колекторів та самої нафти. При закачуванні води під тиском у нафтоносний пласт спостерігаються в'язкі пальці, які мають фрактальну структуру. При заводнінні асфальтени агрегуються у великі кластери з яскраво вираженою фрактальною структурою. Так, при концентрації асфальтенів від 0.1 г/л до 0.15 г/л із мономерів асфальтенів утворюються олігомери. При концентрації 1-3 г/л з олігомерів виходять стекінг-структурні наноколоїди з розміром 2-10 нм, які складаються з 4-6 мономерів. Наноколоїди в концентраційному інтервалі 7-10 г/л переходять у частинки розміром більше 10 нм. Нарешті, при концентрації 25-30 г/л утворюються пухкі фрактальні структури. Нами також показані особливості фрактальних структур біополімерів, таких як полісахариди - глікоген та хітозан, білки, ДНК лігніну. Показано, що будова глікогену-тваринного крохмалю дендритна. Встановлено, що у присутності бензойної кислоти хітозан утворює плівку, кластери якого мають фрактальну розмірність від 1,55 до 1,9. Показано, що білкова поверхня виявляє дворівневу організацію. Фрактальна розмірність мікрорівня коливається близько 2,1, а макрорівня для різних білкових сімейств - від 2,2 до 2,8. Встановлено, що ДНК утворює складчасту фрактальну глобулу, в якій ланцюги разу не зав'язується у вузол. Показано, що макромолекули лігніну є фрактальними агрегатами, фрактальна розмірність яких дорівнює ~2.5 у разі зростання за механізмом кластер-частка і ~1.8 за механізмом кластер-кластер.коніферилового спирту , ДМСО лігнін знаходиться у вигляді фрактальної глобули.Метою даноїРобота обговорює особливості фрактальних структур хімічних процесів і хімічних речовин.
Діяльність показано, що з кристалізації сплавів бромистого срібла з бромистим калієм утворюються дендроподібні кристали. Плоскі цинки дендриди з фрактальною розмірністю-1,7 отримані при електролізі розчину ZnSO 4 на межі розділу з n-бутилацетатом. При твердофазному електролізі AgBr отримані дендритні структури срібла. Треба зазначити, що останнім часом поняття дендриту вийшло далеко за межі області кристалоутворення. Як приклад - дендритний поліарильний ефір, що є сильнорозгалуженим аналогом лінійних поліарильних ефірів. Синтезований , включаючи 22 іони рутенію. Введення в розчин хлористого амонію пектину призводить до утворення гігантських дендритів, а невелика домішка сечовини сприяє утворенню кристалів із закругленими гранями, що одержали назву «собачого зуба». Овчинниковим та співр. запропонований спосіб отримання водної системи розгалужених фрактальних кластерів на основі L-цистеїну та нітрату срібла, що включає змішування розчину L-цистеїну та розчину нітрату срібла так, щоб початкова концентрація L-цистеїну у вихідній суміші знаходилася в діапазоні від 1,14·10 -4 M до 1,17·10 -2 М, а концентрація нітрату срібла була в 1,2÷2 рази більша за концентрацію L-цистеїну, витримку отриманої суміші в захищеному від світла термостаті при температурі 10÷60°С протягом 0,3-48 год .При введенні в розчин невеликих кількостей розведеної соляної кислоти відбувається спонтанна самоорганізація розчину з утворенням гелевої структури.
В рамках моделі "нафта-вода" в роботі вивчена кінетика реакції водорозчинного N-[три(гідроксиметил)метил]акриламіду з жиророзчинним дециламіном у двофазній системі вода-гептан без присутності поверхнево активного речовини. Показано, що реакційний продукт має фрактальну структуру.
У хімії є багато цікавих досвідів отримання дендридів металів, таких як «дерево Сатурна», «дерево Меркурія» та «дерево Дорфмана».
«Сатурнове дерево» називають іноді деревом Парацельса – лікаря-алхіміка, засновника фармацевтичної хімії. Готуючи одне зі своїх ліків розчиненням в оцтовій кислоті металевого свинцю, він задумав додати ще й ртуть, а тому вніс до посудини шматочки цинку (у ті часи багато хімічних елементів, у тому числі дуже поширені метали, ще не були по-справжньому ідентифіковані і вважалося що цинк містить багато ртуті, від цього він такий легкоплавкий). Не маючи часу продовжити досвід, Парацельс залишив посудину на кілька днів, і як сильно він був вражений, побачивши на шматочках цинку блискучі гілочки невідомої природи! Вчений визнав, що ртуть, затвердівши, вийшла зі шматочків цинку. Пізніше красиве «дерево» отримало назву «сатурнове» за алхімічною назвою свинцю. Щоб виростити «сатурнове дерево», наливають у високу склянку або скляний циліндр водний розчин 25 - 30 г ацетату свинцю в 100 мл води і занурюють у нього очищену тонкою або стрижень із цинку. Можна натомість підвісити на нитці кілька шматочків цинку, теж очищених наждачним папером. З часом на цинковій поверхні виростають гіллясті і блискучі кристали свинцю, що зрослися між собою. Їх поява викликана реакцією відновлення свинцю із солі активнішим у хімічному відношенні металом.
Zn + Pb (CH 3 COO) 2 = Pb + Zn (CH 3 COO) 2 .
Парацельсу приписують і одержання кристалів олова на шматочках цинку – «дерева Юпітера». Щоб виростити таке «дерево», у високу скляну посудину наливають водний розчин 30 - 40 г хлориду олова SnCl 2 в 100 мл води і занурюють цинкову пластинку.
Zn + SnCl 2 = Sn + ZnCl 2 .
Срібне «дерево Дорфмана» виходить, якщо в скляну склянку з краплею ртуті на дні налити 10% водний розчин нітрату срібла AgNO 3 . Спочатку ртуть покривається сірою плівкою амальгами срібла (сплаву ртуті зі сріблом), а через 5 - 10 секунд на ній швидко починають рости блискучі голчасті кристали срібла. Через кілька хвилин голки починають розгалужуватися, а через годину в посудині виростає сяюче срібне деревце. Тут дуже важливо точно дотриматися рекомендованої концентрації нітрату срібла: при нижчому вмісті AgNO 3 росту кристалів металевого срібла не спостерігається, а при більш високому - кристалізація срібла йде без утворення гіллястих крісталів.
Hg + 2AgNO 3 = 2Ag + Hg(NO 3) 2
Цікаві різнокольорові дендриди силікатів виходять при змішуванні натрію силікату і солей деяких металів. Так, склянку наливають розведений рівним об'ємом води розчин продажного силікатного клею (силікату натрію Na 2 SiO 3). На дно склянки кидають кристали хлоридів: хлорид кальцію СаСl 2 хлорид марганцю МпСl 2 хлорид кобальту СоСl 2 хлорид нікелю NiCl 2 та інших металів. Через деякий час у склянці починають рости дендриди кристалів відповідних важкорозчинних силікатів, що нагадують водорості:
Na 2 SiO 3 + СаСl 2 → СаSiO 3 ↓ + 2NaСl
Na 2 SiO 3 + МпСl 2 → MnSiO 3 ↓ + 2NaСl
Na 2 SiO 3 + СоСl 2 → СоSiO 3 ↓ + 2NaСl
Na 2 SiO 3 + NiCl 2 → NiSiO 3 ↓ + 2NaСl
У роботі отримано значення індексу фрактальності окремих ділянок штучних кристалів кухонної солі. Виявлено ефекти анізотропії фрактальних характеристик. Для досліджених поверхонь характерні невисокі значення фрактальної розмірності (2,0-2,2), що відповідають слабкому ступеню порізаності. Розглянуто питання про кореляцію між фрактальними параметрами і механічними характеристиками.
Якщо кристали хлориду натрію ростуть при випаровуванні розчину з поверхні пористої кераміки, то вони часто набувають форми волокон. У разі випаровування розчину солі з поверхні паперу вдалося отримати зростки кристалів у формі гілочок – дендритів. Провести такий експеримент дуже просто. Треба згорнути прямокутний шматочок фільтрувального паперу в циліндр діаметром 2-3 см і висотою 15-25 см поставити циліндр вертикально в чашку Петрі і закріпити його зверху. У чашку майже догори насипають хлорид натрію, додаючи трохи жовтої кров'яної солі K 4 (чверть чайної ложки), далі перемішують і доливають води - щоб вона добре змочила сіль і розчин почав підніматися вгору по фільтрувальному папері. З поверхні паперу розчин поступово випаровуватиметься, а на його місці з чашки будуть підніматися свіжі порції (за рахунок капілярного ефекту). У міру випаровування розчину додають чашку воду і підсипають сіль. Поступово на поверхні паперу почнуть рости кристали солі, які через кілька днів набудуть форми гілочок (рис.2). Сам паперовий циліндрик стане схожим на білий корал. Добавка жовтої кров'яної солі сприяє формуванню волокнистих кристалів натрію хлориду. Без неї кухонна сіль просто утворює кірку на поверхні паперу.
Мал. 2. Незвичайні кристали кухонної солі
Кристали дигідрату NaCl 2H 2 O утворюються в солоних озерах у зимовий час. Коли температура досить опуститься, формуються скупчення цього мінералу, який отримав назву гідрогаліт.
Література:
- 1. Mandelbrot Ст B. Les Objects Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Paris: Flammarion, 1975, 192р.
- 2. Мандельброт Б. Фрактальна геометрія природи. М: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002, 656 с.
- 3. Григор'єв Д.П. Про відмінність мінералогічних термінів: скелет, дендрит та пойкіліт. //Ізв. ВНЗ, геол. та розв. 1965 №8, с.145-147.
- 4. Симонян Г.С. Фрактальність нафтових покладів та нафти // Технологія нафти та газу. 2015, №3, с.24-31.
- 5. Симонян Г.С., Симонян A. Г.Фрактальність біологічних систем. Iфрактальність біополімерів.// Успіхи сучасного природознавства. 2015 №11,с.93-97.
- 6. Третьяков Ю.Д. Дендриді, фрактали та матеріали. //Соросовський ?освітній ?журнал. 1998 №12, с.96-102.
- 7. Шубніков А. В., Павров В. Ф. Зародження та зростання кристалів. М: Наука, 1969, 73 с.
- 8. Овчинніков М. М., Хижняк С. Д., Пахомов П. М. Зб. "Фізико-хімія полімерів", Твер, 2007, Т. 13, с.140-147.
- 9. Овчинніков М. М., Хижняк С. Д., Пахомов П. М. Зб. "Фізико-хімія полімерів", Твер, 2008, Т. 14, с. 186-194.
- 10. Симонян Г.С. Реакція Міхаеля у модельній двофазній системі «нафта-вода». Певною мірою в умовах обмеженої несвідомості: Земля в величезних Universe Materials digest of LXXIV International Research and Practice Conferenceand III stadium of Championship in Earth and Spacesciences, physics, matematics and chemistry sciences(London, December 14-29 Publisher and producer International Academy of Science and Higher Education.2014 p.60-62.
- 11. Адамян Р., Кочикян Т., Симонян Г. Лабораторні роботи з хімії. Єреван-2011, 164с.(вірменською мовою)
- 12. Аптуков В.Н., Мітін В.Ю., Морозов І.А. Фрактальні та механічні властивостікристалів кухонної солі в нанодіапазоні.// Вісник Пермського університету. Сер. Механіка. Математика. Інформатики. 2014, вип.4 (27), с. 16-21.
Ваша оцінка: НіСереднє: 8.5 (4 голоси)
Фрактал – нескінченно самоподібна геометрична фігура, кожен фрагмент якої повторюється при зменшенні масштабу.
Мультифрактал - складна фрактальна структура, яка виходить за допомогою декількох алгоритмів, що послідовно змінюють один одному.
Для опису фрактала потрібно всього три параметри фрактальної розмірності D, розміри первинного блоку (R т in) і об'єкта в цілому.
Фрактальна розмірність дозволяє кількісно описувати різні структури, що відрізняються високою складністю, що містять велику кількість точкових, лінійних, поверхневих та об'ємних дефектів.
Регулярний фрактал - фрактал якого характерне точне самоподібність, але це ідеальна модель, т.к. завжди приймається певний відступ.
Фрактальний кластер – хаотичний фрактал.
Фрактальність дефектів структури матеріалів
Нові уявлення про форму реальних об'єктів природи, про структури в біології та матеріалознавстві ґрунтуються на понятті фракталів, яке вперше сформулював Б. Мандельброт. Він ввів поняття не тільки фракталу, а й фрактальної геометрії, що відрізняється від евклідової дробовими розмірностями, і звернув увагу на те, що контури, поверхні та обсяги навколишніх предметів не такі рівні, гладкі та досконалі, як прийнято думати. Насправді, при ретельному розгляді виявляється, що вони нерівні, шорсткі, вражені безліччю отворів найхимернішої форми, пронизані тріщинами і порами, вкриті мережею зморшок, подряпин і т.д.
Для кількісної оцінки цих відхилень від ідеальності (звивистості контуру, зморшкуватості поверхні, тріщинуватості та пористості обсягу) Б. Мандельброт застосує дробові розмірності. Ця нова кількісна оцінка, дробова розмірність Хаусдорфа-Безековича стосовно ідеальних об'єктів класичної евклідової геометрії давала ті ж чисельні значення, що і відома топологічна розмірність (рівна нулю для точки, одиниці - для плавної лінії, двом - для фігури та поверхні, трьом - для тіла та простору) (див. рядок топології на рис. «Елементи реальної структури матеріалів»).
Але у разі оцінки морфології реальних структур нова розмірність мала більш тонку чутливість до різноманітних недосконалостей реальних об'єктів. Так, відрізок прямий, відрізок синусоїди і найскладніший меандр невиразні при використанні топологічної розмірності - всі вони мають топологічну розмірність, рівну одиниці, тоді як їх розмірність за масштабною шкалою Хаусдорфа-Безековича різна і дозволяє числом вимірювати ступінь звивистості лінії.
Розмірність Хаусдорфа-Безековича збільшується в міру зростання звивистості лінії або шорсткості поверхні. Ця зміна розмірності не супроводжується стрибками, як і топології, а плавно змінює своє значення у міру зростання дефектності.
Отже, на стику математики та фізики щодо поведінки складних динамічних систем отримали своє нове народження фрактали – об'єкти з дробовою (фрактальною) розмірністю.
Багато природних фракталів (поверхні розлому гірських порід і металів, хмари, турбулентні потоки, піна, гелі, частинки сажі і т. д.) позбавлені явної геометричної подоби, але вперто відтворюють у кожному фрагменті статистичні властивості цілого. Така статистична подоба, або самоподібність у середньому, виділяє фрактали серед безлічі природних об'єктів.
Реальна сніжинка (шість видів) є дендритним кристалом льоду. Це типовий самоподібний фрактал, що виникає при первинній кристалізації всіх металів та сплавів.
Описи сніжинки за допомогою фрактальної геометрії будуть потрібні лише три параметри: фрактальна розмірність D, розміри первинного блоку (R т in) і сніжинки в цілому (R m ах). Фрактальна розмірність комп'ютерної та реальної сніжинки однакова (D = 1,71).
Фрактали в матеріалознавстві
Центральним питанням сучасного матеріалознавства є вивчення структури матеріалу та встановлення зв'язку між структурними параметрами та властивостями матеріалу. Основні кількісні співвідношення у разі зміцнення при розчиненні чужорідних атомів, виділення дисперсних фаз, при подрібненні зерен становлять парадигму сучасного матеріалознавства від структурних дефектів матеріалів - до властивостей.
Традиційно аналіз структури матеріалів на макро-, мезо- та мікроскопічних рівнях проводять шляхом кількісних вимірів структурних складових з використанням топологічних розмірностей. При цьому допускаються значні умовні наближення дуже складних реальних структур до простих фігур евклідової геометрії.
Фрактальна розмірність дозволяє кількісно описувати різні структури, що відрізняються високою складністю, що містять велику кількість точкових, лінійних, поверхневих та об'ємних дефектів. Фрактальна геометрія дає можливість описувати розпоряджену морфологію - шорсткі поверхні, пористі середовища, складні контури надлишкових фаз і т.д. Часто такі структури мають властивість самоподібності.
Основний принцип фрактального аналізу передбачає визначення фрактальної розмірності структури, що вивчається при широкому використанні оптичної мікроскопії, електронної скануючої і просвічує мікроскопії та інших методів кількісної металографії.
Основна парадигма сучасного матеріалознавства: «Від реальної структури матеріалу до його фізико-механічних властивостей»:
Верхній ряд - приклади моделей дефектів мікро- і мезоструктури матеріалу (зліва направо) пружна деформація кристалічної решітки розчиненими, домішковими атомами, гальмування дислокації, що рухається, дисперсними надлишковими фазами (частинами), гальмування дислокаційних нагромаджень межами зерен;
Нижній ряд - приклади, що відбивають зміну деяких фізико-механічних властивостей під впливом структурних дефектів верхнього ряду.
Мал. 1.17.Залежність властивостей матеріалів від структури – основна парадигма сучасного матеріалознавства
Самоподібність структур підтверджується геометричним аналізом одержуваних картин та їх виміром при різних масштабах збільшення. Для встановлення фрактальності структури необхідно переконатися у наявності самоподібності та розрахувати фрактальну розмірність.
Подальше визначення зв'язку між властивостями матеріалу та його фрактальною розмірністю потребує певних нових принципових підходів щодо аналізу фрактальних структур.
Фрактографічні дослідження поверхонь руйнування матеріалів методом визначення їхньої фрактальної розмірності найбільш ефективні для оцінки характеру руйнування при ударних або втомних навантаженнях.