Фізичні та математичні моделі. Що таке математичне та фізичне моделювання

Наукові дослідження, пов'язані із створенням нових машин

Основними напрямками наукових досліджень, пов'язаних із підвищенням якості, надійності та безпеки машин та обладнання, є:

фундаментальні дослідження в галузі нових робочих процесів, ресурсозберігаючих технологій та нових конструкційних матеріалів;

створення, освоєння та впровадження сучасних методів конструювання машин, обґрунтування їх оптимальних робочих параметрів, конструктивних форм;

отримання нових матеріалів, розробка деталей, вузлів та агрегатів з дотриманням вимог щодо технологічних параметрів;

розробка нових метрологічних методів, систем та засобів;

проведення прискорених та звичайних випробувань на надійність та ресурс моделей та натурних виробів;

організація експлуатації машин із заданим ступенем надійності, безпеки, економічності за дотримання вимог ергономіки та екології.

Першорядне значення в сучасному машинобудуванні набувають проблем надійності та безпеки техніки з урахуванням ролі людського фактора.

Науковою базою застосування концептуальних, конструкторських, технологічних та матеріалознавчих рішень для всіх етапів створення машин та конструкцій мають стати принципи та методи фізичного та математичного моделювання.

Фізичне та математичне моделювання в машинобудуванні базується на загальних підходах, що розвиваються на основі фундаментальних наук, насамперед математики, фізики, хімії та ін.

Математичне моделювання та обчислювальний експеримент стають новим методом аналізу складних машин, робочих процесів та системи машина – людина – середовище. Фізичне та математичне моделювання проводиться у кілька стадій.

Починається моделювання з постановки та уточнення задачі, розгляду фізичних аспектів, визначення ступеня впливу на процеси, що моделюються, різних факторів у програмованих умовах функціонування моделюваних систем або процесу. На основі будується фізична модель.

Потім на її базі будується математична модель, що включає математичний опис модельованого процесу або механічної системи відповідно до закономірностей кінематики і динаміки, поведінки матеріалів під дією навантажень і температур і т. д. Модель досліджується за такими напрямками, як відповідність поставленому завданню, існування рішення тощо.

На третій стадії вибирається обчислювальний алгоритм розв'язання задачі моделювання. Сучасні чисельні методи дозволяють зняти обмеження на рівень складності математичних моделей.

Далі використовуючи сучасні математичні пакети програм, такі як MathCad, Matlab, які мають великий набір можливостей і функцій і дозволяють вирішувати завдання як аналітичними, так і чисельними методами, проводять обчислювальні експерименти.

При проведенні обчислень та отриманні результатів необхідно особливу увагу приділяти грамотності та правильності подання рішень.

Завершальна стадія передбачає аналіз отриманих результатів, зіставлення їх із даними фізичних експериментів на натурних зразках виробів. У разі потреби поставлено завдання уточнення обраної математичної моделі з наступним повторенням зазначених вище стадій.

Після завершення робіт з фізичного та математичного моделювання формуються загальний висновок та висновки щодо конструкторських, технологічних та експлуатаційних заходів, пов'язаних зі створенням нових матеріалів та технологій, забезпеченням умов надійної та безпечної роботи машин, задоволенням вимог ергономіки та екології.

Останнім часом суто математичне моделювання вкрай рідко зустрічається при проектуванні та конструюванні механізмів та деталей. Традиційне математичне моделювання при проектуванні сучасних механізмів та деталей замінюється на комп'ютерне моделювання. Основним методом сучасних програмних продуктів є метод кінцевих елементів. Подібне моделювання крім точності обчислення та наочного уявлення про поведінку об'єкта дослідження в заданих умовах прискорює процес проектування та зменшує витрати на проведення досліджень із фізичними моделями.

Створення нових машин та конструкцій з підвищеним рівнем робочих параметрів, екологічних та ергономічних вимог є складною комплексною проблемою, ефективне вирішення якої базується на фізичному та математичному моделюванні.

Розробка ескізного проекту передбачає побудову фізичних моделей на основі досвіду створення прототипів. Математичні моделі включають нові знання про аналіз та синтез структурних та кінематичних схем, про динамічні характеристики взаємодії між основними елементами з урахуванням робочих середовищ та процесів. На цьому ж етапі формуються та вирішуються у загальному вигляді питання екології та ергономіки.

p align="justify"> При розробці технічного проекту повинен здійснюватися перехід до фізичних моделей основних вузлів, що випробовуються в лабораторних умовах. До математичного забезпечення технічного проекту належать системи автоматизованого проектування.

Створення нових машин (машин майбутнього) вимагає вдосконалення методів математичного моделювання і побудови нових моделей. Це значною мірою відноситься до унікальних об'єктів нової техніки (атомна та термоядерна енергетика, ракетна, авіаційна та кріогенна техніка), а також до нових технологічних, транспортних апаратів та пристроїв (лазерні та імпульсні технологічні установки, системи на магнітній підвісці, глибоководні апарати, адіабатні). двигуни внутрішнього згоряння та ін.).

На етапі робочого проектування фізичне моделювання передбачає створення макетів та випробувальних стендів для перевірки конструкторських рішень. Математична сторона цього етапу пов'язана із розробкою автоматизованих систем підготовки технічної документації. Математичні моделі уточнюють у міру деталізації та уточнення граничних умов задач конструювання.

Одночасно з проектуванням вирішуються конструкторсько-технологічні завдання вибору матеріалів, призначення технологій виготовлення та контролю. В галузі конструкційного матеріалознавства використовують експериментальне визначення фізико-механічних властивостей на лабораторних зразках як при стандартних випробуваннях, так і при випробуваннях в умовах, що імітують експлуатаційні. При виготовленні високовідповідальних деталей та вузлів з нових матеріалів (високоміцні корозійно- та радіаційно стійкі, плаковані, композиційні та ін.) необхідно проводити спеціалізовані випробування щодо визначення граничних станів та критеріїв ушкодження. Математичне моделювання використовують для побудови імітаційних моделей механічної поведінки матеріалів у різних умовах навантаження з урахуванням технології отримання матеріалів та формоутворення деталей машин. Імітаційні моделі використовують під час виконання складного математичного аналізу теплових, дифузійних, електромагнітних та інших явищ, супутніх новим технологіям.

На основі фізичних та імітаційних моделей отримують складний комплекс фізико-механічних властивостей, характеристики яких повинні використовуватися при створенні на базі комп'ютерів банків даних про сучасні та перспективні матеріали.

На етапі розробки технології виготовлення деталей, вузлів і машин загалом фізичне моделювання використовують при лабораторному та дослідно-промисловому відпрацюванні технологічних процесів як традиційних (механообробка, лиття та ін.), так і нових (лазерна обробка, плазмова, вибухова, магнітно-імпульсна та ін).

Паралельно з технологічними процесами розробляються фізичні моделі, а також принципи контролю та дефектоскопії матеріалів і готових виробів. обробки.

На етапі створення машин та конструкцій, коли здійснюється доведення та випробування головних зразків та досвідчених партій, фізичне моделювання передбачає проведення стендових та натурних випробувань. Стендові випробування забезпечують високу інформативність та скорочують терміни доведення дослідних зразків виробів масового та великосерійного виробництва. Натурні випробування необхідні оцінки працездатності та надійності унікальних виробів на граничних режимах. При цьому завданнями математичного моделювання стають алгоритми та програми управління випробуваннями. Аналіз експериментальної інформації слід проводити на комп'ютері в реальному масштабі часу.

При експлуатації машин фізичне моделювання використовують для діагностики стану та обґрунтування продовження ресурсу безпечної роботи. Математичне (комп'ютерне) моделювання цьому етапі має на меті побудова моделей експлуатаційних ушкоджень по комплексу прийнятих під час проектування критеріїв: Проробка таких моделей виконується нині об'єктів атомного і теплового енергетичного машинобудування, ракетної та авіаційної техніки та інших об'єктів.

Поети знають – все схоже на все. На цьому положенні базується творчість метафор:

У саду горить багаття горобини червоної,

Але нікого він не може зігріти.

На цьому положенні базується моделювання. Моделювання – це побудова та дослідження моделей. У свою чергу моделлю називається деяка система, досліджуючи яку отримують інформацію про іншу систему.

З першого погляду це здається нонсенсом. Чи можна, розглядаючи один предмет, отримати уявлення про інший предмет. Де те море, а де та дача?

Тим часом, щоб подивитися на себе збоку, ми користуємося дзеркалом. При цьому своє відображення у дзеркальному склі ми ототожнюємо із собою. Хоча наше відображення у чомусь відрізняється від оригіналу. Наприклад, праве та ліве у дзеркалі змінюється місцями. Але ми майже автоматично робимо поправку на цю не суттєву в даному випадку відмінність, і користуємося дзеркалом до своєї користі та більшої зручності. Всі хлопчики відходять від дзеркала чистими та причесаними. А дівчатка взагалі красуні!

Модель, метафорично висловлюючись, і є таке дзеркало, приставлене до предмета, що вивчається.

Створюючи модель, ми вирішуємо, які властивості системи, що вивчається, для нас важливі, а які – другорядні. Наприклад, при дослідженні крил літальних апаратів в аеродинамічній трубі нам важлива їх форма і матеріал, з якого вони виготовлені. Колір крил у цьому випадку несуттєвий. Хоча при розрахунку видимості літака колір його площин буде, мабуть, найважливішою інформацією.

Визначившись з головними і не головними властивостями системи або об'єкта, що моделюється, ми встановлюємо певні співвідношення між властивостями системи та її моделі. Наприклад, якщо розмір моделі будинку вдвічі менший за розмір реального будинку, обсяг, а отже, вага моделі буде у вісім разів меншою за реальний.

Потім ми починаємо дослідження моделі і визначаємо різні співвідношення, що цікавлять нас, між параметрами. Наприклад, за якої швидкості повітряного потоку почнуться вібрації крила. Це – формулювання проблеми флаттера, коливань літального апарату, які несподівано виникають за певних значень швидкості повітряного потоку, що обтікає крило. Без вирішення цієї проблеми літаки не змогли б літати із високими швидкостями. Щоб вирішити її, довелося спостерігати в аеродинамічній трубі руйнування великої кількості моделей крил. Тут ми відразу бачимо у чому переваги моделювання. Ми відчуваємо на міцність не дорогий літак, а дешеву модель, перераховуючи властивості моделі у властивості реального літака, що моделюється. Економія коштів, а головне, льотчики-випробувачі не повинні ризикувати життям.

Інша сфера застосування моделей – опір матеріалів та будівельна механіка. Наскільки міцною має бути сталь для мосту? Якої товщини робити колони, щоб будівля не обрушилася? Чи можна побудувати хмарочос із цегли? Тут моделлю реального матеріалу є зразок, який випробовують на спеціальних випробувальних стендах. Характеристики міцності, отримані за результатами випробувань, перераховуються в характеристики міцності реальних деталей машин або будівель.

А при заселенні нової будівлі теж не обійтися без моделювання. Для того, щоб оптимально розставити меблі в кімнатах, ніхто не тягає туди-сюди важкі столи та громіздкі холодильники. Всі предмети моделюються невеликими паперовими прямокутниками, які переміщаються поверхнею паперового листа з зображеним на ньому планом приміщення.

Та й у медицині ми не обходимося без моделювання. Жодна людина точно на іншу не схожа. Разом з тим, у всіх людських організмів є достатньо подібності як у «деталях», так і в «функціях». Медик вивчає анатомію по одному скелету, а іноді навіть за моделлю скелета, і розуміє, як влаштовані всі люди. Психолог вивчає, як конкретна людина реагує певні подразники, та був робить загальні висновки щодо поведінки всіх людей.

Моделювання буває двох видів – математичне та фізичне. При математичному моделюванні досліджуються системи співвідношень, що описують процеси, що протікають в об'єкті, що моделюється. Співвідношення можуть описуватися рівняннями, часто досить складними, які виводяться з урахуванням теоретичної моделі досліджуваного процесу чи досліджуваної системи. Але математичні моделі можуть бути також і імовірнісні. У таких моделях зміни вхідних параметрів визначають поведінку вихідних параметрів не жорстко, і з певною часткою ймовірності.

Математична модель – це компроміс між реальною складністю досліджуваної системи і простотою, необхідної його описи. Не завжди є «якісні» теорії, що дозволяють точно розрахувати, що відбувається, наприклад, при падінні напруги у великих електромережах. Та навіть поведінка потоку води, що спускається в унітазі залежно від його форми, – серйозна теоретична проблема.

При фізичному моделюванні вивчаються властивості моделей, які за фізичними властивостями подібні до оригіналів. Наприклад, при краш-тестах автомобілів безліч автомобілів, що розбиваються, моделює поведінку будь-якого автомобіля, який, врешті-решт, буде випущений на дорогу.

Дослідження фізичних моделей проводиться на реальних установках чи випробувальних стендах. Результати випробувань перетворюються на реальні результати за допомогою розрахунків, заснованих на спеціальному математичному апараті, який називається теорією подібності. Прикладом випробування фізичних моделей є описані випробування авіаційних моделей в аеродинамічній трубі. Або розрахунок греблі гідроелектростанції. Недоліком фізичного моделювання є відносна трудомісткість створення та випробування моделей та менша універсальність методу фізичного моделювання.

Але в будь-якому випадку, фізичне та математичне моделювання, доповнюючи одне одного, дозволяють змінювати наш світ у бажаному напрямку.

Сторінка 3

Зі сказаного ясно, що фізичне та математичне моделювання (або, що те саме, фізичне та математичне дослідження) фізико-хімічних процесів не можна здійснити незалежно один від одного. Математичний опис та математична модель з'являються в результаті фізичного дослідження (моделювання) процесів. Оскільки математичне моделювання не є самоціллю, а є засобом для оптимального здійснення процесу, то результати його використовуються для створення оптимального фізичного об'єкта. Дослідження на цьому об'єкті (нове фізичне моделювання) дозволяють перевірити результати математичного моделювання та покращити математичну модель для вирішення нових завдань.

У книзі розглянуто застосування методів фізичного та математичного моделювання для вирішення низки технічних проблем, що виникають в інженерній практиці розробки, масштабування та управління хімічними процесами нафтопереробки.

Відносна роль та взаємозв'язок методів фізичного та математичного моделювання при дослідженнях - до певної міри питання кон'юнктурне, що залежить від рівня розвитку обчислювальної техніки, прикладної математики та техніки експериментальних досліджень. Ще порівняно недавно (до появи та впровадження у практику ЕОМ) фізичне моделювання було основним способом переходу від пробірки до заводу.

Слід зупинитися і на труднощах фізичного та математичного моделювання колонних апаратів, так як в даному випадку є двофазна система з важкомодельованими і розрахунковими моментами міжфазних переходів. Струмене впорскування і барботаж газу створюють складну гідродинамічну картину в колонних апаратах. Навіть найбільш спрощена (квазигомогенная) модель колонних апаратів призводить до нелінійним системам рівнянь у приватних похідних, аналіз яких у час навіть із використанням засобів електронно-обчислювальної техніки становить певні труднощі.

Наводиться короткий обнор робіт з фізичного та математичного моделювання процесів філ'трагдаї в газових та газоконденсатках родовищу. Визначаються основні напрями майбутніх досліджень щодо кожного з бачивши моделювання.

З існуючих методів найбільш широко застосовується фізичне та математичне моделювання. Цей поділ є умовним, оскільки обидва методи моделюють фізичні величини у вигляді самих фізичних величин. Відмінність у тому, що у першому випадку моделювання здійснюється з допомогою фізичних величин тієї ж природи, у другому - фізичний процес однієї природи замінюється фізичним процесом інший природи, але отже обидва фізичні явища підпорядковуються однаковим законам. Вони визнаються аналогічними та математично описуються рівняннями однакової структури. Так, електрична система з індуктивністю, ємністю і опором може бути математичною моделлю вантажу, що коливається на пружині. Тут зарядка конденсатора, а потім його розрядка внаслідок замикання через опір і ємність аналогічні відхилення вантажу від положення рівноваги та подальшого коливання.

У сучасній експериментальній практиці широко застосовують фізичне та математичне моделювання, яке є незамінним у тих випадках, коли не можна визначити параметри машин розрахунковими методами, а побудова їх дослідних зразків для експериментального дослідження потребує великих матеріальних витрат і часу.

Під час проектування розробки газоконденсатних родовищ проводять комплексне фізичне та математичне моделювання процесу диференціальної конденсації пластових сумішей. В результаті цих досліджень отримують величину тиску початку конденсації, прогнозні дані про динаміку випадання і подальшого випаровування рідкої фази при зменшенні тиску, складі і властивостях видобувної суміші, коефіцієнтах конденсато - і компонентовіддачі.

У багатьох випадках доцільно комбінувати установки фізичного та математичного моделювання на єдину систему, що дозволяє поєднати переваги обох методів.

Ця теорія, заснована на поєднанні фізичного та математичного моделювання, виходить з того, що вказаний вище масштабний ефект зумовлений переважно погіршенням структури потоків зі збільшенням розмірів апарату, і насамперед зростанням нерівномірності розподілу швидкостей по поперечному перерізу апарату.

Формування фізико-геологічної моделі базується на результатах фізичного та математичного моделювання. Так, при фізичному моделюванні створюються штучні моделі з близькими до гірських пород фізичними властивостями та з дотриманням умов подібності, при математичному моделюванні розраховуються фізичні поля для заданих фізичних властивостей з використанням відповідних рівнянь теорії потенційних полів чи диференціальних хвильових рівнянь.

У чому полягає важлива різниця між фізичним і математичним моделюванням.

Цей висновок підтверджується численними дослідами, фізичним та математичним моделюванням контуру.

При розробці нових процесів та апаратів застосовують фізичне та математичне моделювання.

Необхідно мати на увазі, що не можна протиставляти фізичне та математичне моделювання.

Фізичне та математичне моделювання

Так як поняття «моделювання» є досить загальним і універсальним, до способів моделювання відносяться такі різні підходи як, наприклад, метод мембранної аналогії (фізичне моделювання) і методи лінійного програмування (оптимізаційне математичне моделювання). Щоб упорядкувати вживання терміна «моделювання» вводять класифікацію різних способів моделювання. У найбільш загальної формі виділяються дві групи різних підходів до моделювання, що визначаються поняттями «фізичне моделювання» та «ідеальне моделювання».

Фізичне моделювання здійснюється шляхом відтворення досліджуваного процесу на моделі, що має в загальному випадку відмінну від оригіналу природу, однак однаковий математичний опис процесу функціонування.

Сукупність підходів до дослідження складних систем, що визначається терміном « математичне моделювання», є одним із різновидів ідеального моделювання. Математичне моделювання ґрунтується на використанні для дослідження системи сукупності математичних співвідношень (формул, рівнянь, операторів тощо), що визначають структуру досліджуваної системи та її поведінку.

Математична модель - це сукупність математичних об'єктів (чисел, символів, множин і т.д.), що відбивають найважливіші для дослідника властивості технічного об'єкта, процесу чи системи.

Математичне моделювання - це процес створення математичної моделі та оперування нею з метою отримання нової інформації про об'єкт дослідження.

Побудова математичної моделі реальної системи, процесу чи явища передбачає вирішення двох класів завдань, пов'язаних із побудовою «зовнішнього» та «внутрішнього» опису системи. Етап, пов'язаний із побудовою зовнішнього опису системи називається макропідходом. Етап, пов'язаний з побудовою внутрішнього опису системи, називається мікропідходом.

Макропідхід- спосіб, з якого виробляється зовнішній опис системи. На етапі побудови зовнішнього опису робиться упор на спільну поведінку всіх елементів системи, що точно вказується, як система відгукується на кожну з можливих зовнішніх (вхідних) впливів. Система розглядається як «чорна скринька», внутрішня будова якої невідома. У процесі побудови зовнішнього опису дослідник має можливість, впливаючи по-різному на вхід системи, аналізувати її реакцію на відповідні вхідні впливи. У цьому ступінь розмаїття вхідних впливів принципово пов'язані з розмаїттям станів виходів системи. Якщо кожну нову комбінацію вхідних впливів система реагує непередбачуваним чином, випробування необхідно продовжувати. Якщо на підставі отриманої інформації може бути побудована система, яка точно повторює поведінку досліджуваної, задачу макропідходу можна вважати вирішеною.

Отже, метод «чорної скриньки» полягає в тому, щоб виявити, наскільки це можливо, структуру системи та принципи її функціонування, спостерігаючи лише входи та виходи. Подібний спосіб опису системи певним чином аналогічний до табличного завдання функції.

При мікропідходіструктура системи передбачається відомою, тобто передбачається відомим внутрішнім механізмом перетворення вхідних сигналів у вихідні. Дослідження зводиться до розгляду окремих елементів системи. Вибір цих елементів неоднозначний і визначається завданнями дослідження та характером досліджуваної системи. При використанні мікропідходу вивчається структура кожного з виділених елементів, їх функції, сукупність та діапазон можливих змін параметрів.

Мікропідхід - спосіб, за допомогою якого виробляється внутрішній опис системи, тобто опис системи у функціональній формі.

Результатом цього етапу дослідження має з'явитися висновок залежностей, що визначають зв'язок між множинами вхідних параметрів, параметрів стану та вихідних параметрів системи. Перехід від зовнішнього опису системи до її опису називають завданням реалізації.

Завдання реалізації полягає у переході від зовнішнього опису системи до її внутрішнього опису. Завдання реалізації є одним із найважливіших завдань у дослідженні систем і, по суті, відображає абстрактне формулювання наукового підходу до побудови математичної моделі. У такій постановці завдання моделювання полягає у побудові безлічі станів та вхід-вихідного відображення досліджуваної системи на основі експериментальних даних. В даний час завдання реалізації вирішено у загальному вигляді для систем, у яких відображення вхід-вихід лінійно. Для нелінійних систем загального вирішення завдання реалізації поки що не знайдено.