>> Фаза коливань
§ 23 ФАЗА КОЛИВАНЬ
Введемо ще одну величину, що характеризує гармонійні коливання - фазу коливань.
При заданій амплітуді коливань координата тіла, що коливається, в будь-який момент часу однозначно визначається аргументом косинуса або синуса:
Величину, що стоїть під знаком функції косинуса або синуса, називають фазою коливань, що описується цією функцією. Виражається фаза у кутових одиницях радіанах.
Фаза визначає як значення координати, а й значення інших фізичних величин, наприклад швидкості і прискорення, змінюються також за гармонійним законом. Тому можна сказати, що фаза визначає при заданій амплітуді стан коливальної системи будь-якої миті часу. У цьому полягає значення поняття фази.
Коливання з однаковими амплітудами та частотами можуть відрізнятися фазами.
Ставлення показує, скільки періодів минуло з початку коливань. Будь-якому значенню часу t, вираженому серед періодів Т, відповідає значення фази , виражене в радіанах. Так, після часу t = (чверті періоду) , після половини періоду = , по закінченні цілого періоду = 2 і т. д.
Можна зобразити на графіку залежність координати точки, що коливається не від часу, а від фази. На малюнку 3.7 показана та ж косинусоїда, що і на малюнку 3.6, але на горизонтальній осі відкладені замість часу різні значення фази .
Подання гармонійних коливань за допомогою косинуса та синуса. Ви вже знаєте, що при гармонійних коливаннях координата тіла змінюється згодом згідно із законом косинуса чи синуса. Після запровадження поняття фази зупинимося у цьому докладніше.
Синус відрізняється від косинуса зсувом аргументу на , Що відповідає, як видно з рівняння (3.21), проміжку часу, що дорівнює чверті періоду:
Але при цьому початкова фаза, тобто значення фази в момент часу t = 0, не дорівнює нулю, а .
Зазвичай коливання тіла, прикріпленого до пружини, або коливання маятника ми збуджуємо, виводячи тіло маятника з рівноваги і потім відпускаючи його. Зміщення від походження рівноваги максимально в початковий момент. Тому для опису коливань зручніше користуватися формулою (3.14) із застосуванням косинуса, ніж формулою (3.23) із застосуванням синуса.
Але якби ми порушили коливання тіла, що спокою, короткочасним поштовхом, то координата тіла в початковий момент дорівнювала б нулю, і зміни координати з часом було б зручніше описувати за допомогою синуса, тобто формулою
x = x m sin t (3.24)
тому що при цьому початкова фаза дорівнює нулю.
Якщо початковий момент часу (при t = 0) фаза коливань дорівнює , то рівняння коливань можна записати як
x = x m sin(t + )
Зсув фаз. Коливання, що описуються формулами (3.23) та (3.24), відрізняються один від одного тільки фазами. Різниця фаз, або, як часто кажуть, зсув фаз цих коливань становить . На малюнку 3.8 показані графіки залежності координат від часу коливань, зрушених фазою на . Графік 1 відповідає коливанням, що здійснюються за синусоїдальним законом: x = x m sin t а графік 2 - коливанням, що здійснюються за законом косинуса:
Для визначення різниці фаз двох коливань треба в обох випадках величину, що коливається, виразити через одну і ту ж тригонометричну функцію - косинус або синус.
1. Які коливання називають гармонійними!
2. Як пов'язані прискорення та координата при гармонійних коливаннях!
3. Як пов'язані циклічна частота коливань та період коливань!
4. Чому частота коливань тіла прикріпленого до пружини залежить від його маси, а частота коливань математичного маятника від маси не залежить!
5. Які амплітуди та періоди трьох різних гармонійних коливань, графіки яких представлені на рисунках 3.8, 3.9!
Але т.к. витки зсунуті в просторі, то ЕРС, що наводиться в них, буде досягати амплітудних і нульових значень не одночасно.
У початковий момент часу ЕРС витка буде:
У цих виразах кути і називаються фазними , або фазою . Кути і називаються початковою фазою . Фазний кут визначає значення ЕРС у будь-який момент часу, а початкова фаза визначає значення ЕРС у початковий момент часу.
Різниця початкових фаз двох синусоїдальних величин однакової частоти та амплітуди називається кутом зсуву фаз
Розділивши кут зсуву фаз на кутову частоту, отримаємо час, що минув з початку періоду:
Графічне зображення синусоїдальних величин
U = (U 2 a + (U L - U c) 2)
Таким чином, через наявність кута зсуву фаз напруга U завжди менше алгебраїчної суми U a + U L + U C . Різниця U L - U C = U p називається реактивної складової напруги.
Розглянемо, як змінюються струм та напруга в послідовному ланцюзі змінного струму.
Повний опір та кут зсуву фаз.Якщо підставити формулу (71) значення U a = IR; U L = lL і U C =I/(C), то матимемо: U = ((IR) 2 + 2), звідки отримуємо формулу закону Ома для послідовного ланцюга змінного струму:
I = U / ((R 2 + 2)) = U / Z (72)
де Z = (R 2 + 2) = (R 2 + (X L - X c) 2)
Величину Z називають повним опором ланцюга, вона вимірюється в омах. Різниця L - l/(C) називають реактивним опором ланцюгаі позначають буквою X. Отже, повний опір ланцюга
Z = (R 2 + X 2)
Співвідношення між активним, реактивним і повним опорами ланцюга змінного струму можна одержати за теоремою Піфагора з трикутника опорів (рис. 193). Трикутник опорів А'В'С' можна отримати з трикутника напруг ABC (див. рис. 192,б), якщо розділити всі його сторони на струм I.
Кут зсуву фаз визначається співвідношенням між окремими опорами, включеними в цей ланцюг. З трикутника А'В'С (див. рис. 193) маємо:
sin? = X/Z; cos? = R/Z; tg? = X/R
Наприклад, якщо активний опір R значно більший за реактивний опір X, кут порівняно невеликий. Якщо ланцюга є великий індуктивний або великий ємнісний опір, то кут зсуву фаз зростає і наближається до 90°. При цьому, якщо індуктивний опір більший за ємнісний, напруга і випереджає струм i на кут; якщо ж ємнісний опір більший за індуктивний, то напруга і відстає від струму i на кут.
Ідеальна котушка індуктивності, реальна котушка та конденсатор у ланцюгу змінного струму.
Реальна котушка на відміну від ідеальної має не тільки індуктивність, але й активний опір, тому при перебігу змінного струму в ній супроводжується не тільки зміною енергії в магнітному полі, а й перетворенням електричної енергії в інший вид. Зокрема, у проводі котушки електрична енергія перетворюється на тепло відповідно до закону Ленца — Джоуля.
Раніше було з'ясовано, що в ланцюзі змінного струму процес перетворення електричної енергії на інший вид характеризується активною потужністю ланцюга Р , а зміна енергії в магнітному полі реактивною потужністю Q .
У реальній котушці мають місце обидва процеси, тобто її активна та реактивна потужності відмінні від нуля. Тому одна реальна котушка у схемі заміщення має бути представлена активним та реактивним елементами.
При вивченні цього розділу слід мати на увазі, що коливанняРізної фізичної природи описуються з єдиних математичних позицій. Тут треба чітко усвідомити такі поняття, як гармонійне коливання, фаза, різницю фаз, амплітуда, частота, період коливання.
Треба пам'ятати, що у будь-якій реальній коливальній системі є опору середовища, тобто. коливання будуть загасаючими. Для характеристики загасання коливань вводиться коефіцієнт загасання та логарифмічний декремент згасання.
Якщо коливання відбуваються під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється, то такі коливання називають вимушеними. Вони будуть незагасаючими. Амплітуда вимушених коливань залежить від частоти сили, що змушує. При наближенні частоти вимушених коливань до частоти власних коливань амплітуда вимушених коливань різко зростає. Це називається резонансом.
Переходячи до вивчення електромагнітних хвиль потрібно чітко уявляти, щоелектромагнітна хвиля- це електромагнітне поле, що розповсюджується в просторі. Найпростішою системою, що випромінює електромагнітні хвилі, є електричний диполь. Якщо диполь здійснює гармонійні коливання, він випромінює монохроматичну хвилю.
Таблиця формул: коливання та хвилі
|
Фізичні закони, формули, змінні |
Формули коливання та хвилі |
||||||
|
Рівняння гармонійних коливань: де х - зміщення (відхилення) величини, що коливається від положення рівноваги; А – амплітуда; ω – кругова (циклічна) частота; α - початкова фаза; (ωt+α) - фаза. |
|||||||
|
Зв'язок між періодом та круговою частотою: |
|||||||
|
Частота: |
|||||||
|
Зв'язок кругової частоти з частотою: |
|||||||
|
Періоди власних вагань 1) пружинного маятника: де k – жорсткість пружини; 2) математичного маятника: де l - довжина маятника, g – прискорення вільного падіння; 3) коливального контуру: де L - індуктивність контуру, С – ємність конденсатора. |
|
||||||
|
Частота своїх коливань: |
|||||||
|
Складання коливань однакової частоти та напряму: 1) амплітуда результуючого коливання де А 1 і А 2 - амплітуди складових коливань, α 1 і α 2 - початкові фази складових коливань; 2) початкова фаза результуючого коливання |
|
||||||
|
Рівняння загасаючих коливань: е = 2,71... - основа натуральних логарифмів. |
|
||||||
|
Амплітуда загасаючих коливань: де А 0 - Амплітуда в початковий момент часу; β - коефіцієнт загасання; |
|
||||||
|
Коефіцієнт згасання: вагаючого тіла де r - коефіцієнт опору середовища, m – маса тіла; коливального контуру де R - активний опір, L – індуктивність контуру. |
|||||||
|
Частота загасаючих коливань ω: |
|
||||||
|
Період загасаючих коливань Т: |
|
||||||
|
Логарифмічний декремент згасання: |
|
||||||
|
Зв'язок логарифмічного декременту і коефіцієнта загасання β: |
Будь ласка, оформіть її згідно з правилами оформлення статей.
Ілюстрація різниці фаз двох коливань однакової частоти
Фаза коливань- фізична величина, що використовується переважно для опису гармонійних або близьких до гармонійних коливань, що змінюється з часом (найчастіше рівномірно зростає з часом), при заданій амплітуді (для загасаючих коливань - при заданій початковій амплітуді та коефіцієнті згасання) визначальна стан коливальної системи будь-який) даний момент часу. Рівно застосовується для опису хвиль, головним чином монохроматичних або близьких до монохроматичності.
Фаза коливання(В електрозв'язку для періодичного сигналу f(t) з періодом T) - це дробова частина t/T періоду T, на яку t зрушено щодо довільного початку координат. Початком координат зазвичай вважається момент попереднього переходу функції через нуль у бік від негативних значень до позитивних.
У більшості випадків про фазу говорять стосовно гармонійним (синусоїдальним або описується уявною експонентою) коливань (або монохроматичним хвиль, також синусоїдальним або описується уявною експонентою).
Для таких вагань:
, , ,або хвиль,
Наприклад, хвиль, що розповсюджуються в одновимірному просторі: , , , або хвиль, що розповсюджуються в тривимірному просторі (або просторі будь-якої розмірності): , , ,
фаза коливань визначається як аргумент цієї функції(однієї з перерахованих, у кожному випадку з контексту ясно, який саме), що описує гармонійний коливальний процес або монохроматичну хвилю.
Тобто, для коливання фаза
,для хвилі в одновимірному просторі
,для хвилі у тривимірному просторі або просторі будь-якої іншої розмірності:
,де - кутова частота (чим величина вища, тим швидше зростає фаза з часом), t- час, - фаза при t=0 – початкова фаза; k- хвильове число, x- Координата, k- хвильовий вектор , x- Набір (декартових) координат, що характеризують точку простору (радіус-вектор).
Фаза виражається в кутових одиницях (радіанах, градусах) або в циклах (частках періоду):
1 цикл = 2 радіан = 360 градусів.
- У фізиці, особливо при написанні формул, переважно (і за умовчанням) використовується радіанне уявлення фази, вимір її в циклах або періодах (за винятком словесних формулювань) в цілому досить рідко, проте вимір у градусах зустрічається досить часто (мабуть, як гранично явне і не приводить до плутанини, оскільки знак градуса прийнято ніколи не опускати ні в мовленні, ні на листі), особливо часто в інженерних додатках (як, наприклад, електротехніка).
Іноді (у квазікласичному наближенні, де використовуються хвилі, близькі до монохроматичних, але не строго монохроматичні, а також у формалізмі інтеграла по траєкторіях, де хвилі можуть бути і далекі від монохроматизму, хоча все ж подібні до монохроматичних) фаза розглядається як залежна від часу і просторів координат не як лінійна функція, а як у принципі довільна функція координат та часу:
Пов'язані терміни
Якщо дві хвилі (два коливання) повністю збігаються одна з одною, кажуть, що хвилі знаходяться у фазі. Якщо моменти максимуму одного коливання збігаються з моментами мінімуму іншого коливання (або максимуми однієї хвилі збігаються з мінімумами іншої), кажуть, що коливання (хвилі) знаходяться в протифазі. При цьому, якщо хвилі однакові (за амплітудою), в результаті додавання відбувається їх взаємне знищення (точно, повністю - лише за умови монохроматичності або хоча б симетричності хвиль, у припущенні лінійності середовища розповсюдження ітд).
Дія
Одна з найбільш фундаментальних фізичних величин, на якій побудовано сучасний опис практично будь-якої досить фундаментальної фізичної системи – дія – за своїм змістом є фазою.
Примітки
Wikimedia Foundation. 2010 .
Дивитись що таке "Фаза коливань" в інших словниках:
аргумент, Що Періодично змінюється, фції, що описує колибат. або хвиль. процес. У гармонійному. коливанні u(х,t)=Acos(wt+j0), де wt+j0=j Ф. до., а амплітуда, w кругова частота, t час, j0 початкова (фіксована) Ф. до. (у момент часу t =0,… … Фізична енциклопедія
фаза коливань- (φ) Аргумент функції, що описує величину, що змінюється за законом гармонійного коливання. [ГОСТ 7601 78] Тематики оптика, оптичні прилади та вимірювання Узагальнюючі терміни коливання та хвилі EN phase of oscillation DE Schwingungsphase FR… … Довідник технічного перекладачаФаза – Фаза. Коливання маятників у однаковій фазі (а) та протифазі (б); f Кут відхилення маятника від положення рівноваги. ФАЗА (від грецької phasis поява), 1) певний момент у ході розвитку якогось процесу (суспільного,… … Ілюстрований енциклопедичний словник
- (від грецької phasis поява), 1) певний момент у ході розвитку будь-якого процесу (суспільного, геологічного, фізичного тощо). У фізиці та техніці особливо важлива фаза коливань стан коливального процесу у певний… … Сучасна енциклопедія
- (від грец. phasis поява)..1) певний момент у ході розвитку будь-якого процесу (суспільного, геологічного, фізичного тощо). У фізиці та техніці особливо важлива фаза коливань стан коливального процесу у певний… … Великий Енциклопедичний словник
Фаза (від грец. phasis √ поява), період, щабель у розвитку будь-якого явища; див також Фаза, Фаза коливань … Велика Радянська Енциклопедія
Ы; ж. [від грец. phasis поява] 1. Окрема стадія, період, етап розвитку якого л. явища, процесу тощо. Основні фази розвитку суспільства. Фази процесу взаємодії тваринного та рослинного світу. Вступити в свою нову, вирішальну, ... Енциклопедичний словник
Визначення
Початкова фаза коливань- це параметр, який разом із амплітудою коливань визначає початковий стан коливальної системи. Величину початкової фази задають початкових умовах, тобто при $t=0$ c.
Розглянемо гармонійні коливання деякого параметра $\xi$. Гармонічні коливання описуються рівнянням:
\[\xi =A(\cos ((\omega )_0t+\varphi)\ )\ \left(1\right),\]
де $A=(\xi)_(max)$ - амплітуда коливань; $(\omega )_0$ - циклічна (кругова) частота коливань. Параметр $\xi $ лежить у межах $-A\le \xi \le $+A.
Визначення фази коливань
Весь аргумент періодичної функції (у разі косинуса:$\ ((\omega )_0t+\varphi)$), описує коливальний процес, називають фазою коливань. Величина фази коливань у початковий час, тобто при $t=0$, ($\varphi $)- носить назву початкової фази. Усталеного позначення фази немає, у нас початкова фаза позначена $ Varphi $. Іноді, щоб підкреслити, що початкова фаза відноситься до часу $t=0$ до літери, що позначає початкову фазу, додають індекс 0, пишуть, наприклад, $(\varphi )_0.$
Одиницею виміру початкової фази є одиниця виміру кута - радіан (рад) чи градус.
Початкова фаза коливань та спосіб збудження коливань
Припустимо, що з $t=0$ усунення системи від положення рівноваги дорівнює $(\xi )_0$, а початкова швидкість $(\dot(\xi ))_0$. Тоді рівняння (1) набуває вигляду:
\[\xi \left(0\right)=A(\cos \varphi =\ )(\xi )_0\left(2\right);;\] \[\ \frac(d\xi )(dt) =-A(\omega )_0(\sin \varphi =\ )(\dot(\xi ))_0\to -A(\sin \varphi =\frac((\dot(\xi ))_0)(( \omega )_0)\ )\ \left(3\right).\]
Зведемо в квадрат обидва рівняння (2) і складемо їх:
\[(\xi )^2_0+(\left(\frac((\dot(\xi )))_0)((\omega )_0)\right))^2=A^2\left(4\right). \]
З виразу (4) маємо:
Розділимо рівняння (3) на (2), отримаємо:
Вирази (5) та (6) показують, що початкова фаза та амплітуда залежать від початкових умов коливань. Це означає, що амплітуда і початкова фаза залежить від способу порушення коливань. Наприклад, якщо вантаж пружного маятника відхиляють від положення рівноваги на відстань $x_0$ і відпускають без поштовху, тоді рівнянням руху маятника є рівняння:
з початковими умовами:
При такому збудженні коливання пружинного маятника можна описувати:
Складання коливань та початкова фаза
Тіло, що здійснює коливання, здатне брати участь у кількох коливальних процесах одночасно. У такому разі виникає необхідність з'ясувати, яким буде результуюче коливання.
Припустимо, що два коливання з рівними частотами відбуваються по одній прямій. Рівнянням результуючих коливань буде вираз:
\[\xi =(\xi )_1+(\xi )_2=A(\cos \left((\omega )_0t+\varphi \right),\ )\]
тоді амплітуда сумарного коливання дорівнює:
де $A_1$; $A_2$ - амплітуди коливань, що складаються; $(\varphi )_2;;(\varphi )_1$ - початкові фази сумуються коливань. При цьому початкову фазу отриманого коливання ($ Varphi $) обчислюють, застосовуючи формулу:
Рівняння траєкторії точки, яка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з амплітудами $A_1$і $A_2$ і початковими фазами $(\varphi)_2і(\varphi)_1$:
\[\frac(x^2)(A^2_1)+\frac(y^2)(A^2_2)-\frac(2xy)(A_1A_2)(\cos \left((\varphi )_2-(\) varphi )_1\right)\ )=(sin)^2\left((\varphi )_2-(\varphi )_1\right)\left(12\right).
У разі рівності початкових фаз складових коливань рівняння траєкторії має вигляд:
що говорить про рух точки прямої лінії.
Якщо різниця початкових фаз коливань становить $\Delta \varphi =(\varphi )_2-(\varphi )_1=\frac(\pi )(2),$ рівнянням траєкторії стає формула:
\[\frac(x^2)(A^2_1)+\frac(y^2)(A^2_2)=1\left(14\right),\]
що означає траєкторія руху еліпс.
Приклади завдань із розв'язанням
Приклад 1
Завдання.Коливання пружинного осцилятора збуджені поштовхом із положення рівноваги, при цьому вантажу повідомляють миттєву швидкість $v_0$. Запишіть початкові умови для такого коливання та функцію $x(t)$, яка описує дані коливання.
Рішення.Повідомлення вантажу пружинного маятника миттєвої швидкості, що дорівнює $v_0$ означає, що при описі його коливань за допомогою рівняння:
початковими умовами будуть:
Підставимо у вираз (1.1) $t=0$, маємо:
Оскільки $A\ne 0$, то $(\cos \left(\varphi \right)\ )=0\to \varphi =\pm \frac(\pi )(2).$
Візьмемо першу похідну $\frac(dx)(dt)$ підставимо момент часу $t=0$:
\[\dot(x)\left(0\right)=-A(\omega )_(0\ )(\sin \left(\varphi \right)\ )=v_0\to A=\frac(v_0) ((\omega )_(0\ ))\ \left(1.4\right).\]
З (1.4) випливає, що початкова фаза виходить $\varphi =-\frac(\pi )(2).
Відповідь.$x(t)=\frac(v_0)((\omega )_(0\ ))(\sin (\ )(\omega )_0t)$
Приклад 2
Завдання.Два коливання одного напряму складаються. Рівняння цих коливань мають вигляд: $x_1=(\cos \pi (t+\frac(1)(6))\ );;\ x_2=2(\cos \pi (t+\frac(1)(2))\ ) $. Якою є початкова фаза отриманого коливання?
Рішення.Запишемо рівняння гармонійних коливань по осі X:
Перетворимо задані за умови завдання рівняння до цього виду:
\;;\ x_2=2(\cos \left[\pi t+\frac(\pi )(2)\right](2.2).\ )\]
Порівнюючи рівняння (2.2) з (2.1) отримаємо, що початкові фази коливань дорівнюють:
\[(\varphi )_1=\frac(\pi )(6);;\ (\varphi )_2=\frac(\pi )(2).\]
Зобразимо на рис.1 векторну діаграму коливань.
$tg\ \ varphi $ сумарних коливань можна знайти з рис.1:
\ \[\varphi =arctg\ \left(2,87\right)\approx 70,9()^\circ \]
Відповідь.$ \ Varphi = 70,9 () ^ \ circ $