Справжні числа розв'язання рівнянь із модулями. Рівняння з модулем

Не ми вибираємо математикусвоєю професією, а вона нас обирає.

Російський математик Ю.І. Манін

Рівняння з модулем

Найбільш складними завданнями шкільної математики є рівняння, що містять змінні під знаком модуля. Для успішного розв'язання таких рівнянь необхідно знати визначення та основні властивості модуля. Звичайно, що учні повинні мати навички розв'язання рівнянь такого типу.

Основні поняття та властивості

Модуль (абсолютна величина) дійсного числапозначається і визначається так:

До простих властивостей модуля належать такі співвідношення:

Зазначимо, що останні дві властивості справедливі для будь-якого парного ступеня.

Крім того, якщо, де, то і

Більш складні властивості модуля, які можна ефективно використовувати при вирішенні рівнянь із модулями, формулюються за допомогою наступних теорем:

Теорема 1.Для будь-яких аналітичних функційі справедлива нерівність

Теорема 2.Рівність рівнозначна нерівності.

Теорема 3.Рівність рівносильно нерівності.

Розглянемо типові приклади розв'язання задач на тему «Рівняння, що містять змінні під знаком модуля».

Розв'язання рівнянь із модулем

Найбільш поширеним у шкільній математиці методом розв'язання рівнянь із модулем є метод, заснований на розкритті модулів. Цей метод є універсальним, однак у загальному випадку його застосування може призвести до дуже громіздких обчислень. У зв'язку з цим учні повинні знати й інші, більш ефективні методи та прийоми розв'язання таких рівнянь. Зокрема, необхідно мати навички застосування теорем, наведених у цій статті.

приклад 1.Вирішити рівняння . (1)

Рішення. Рівняння (1) вирішуватимемо «класичним» методом – методом розкриття модулів. Для цього розіб'ємо числову вісьточками та на інтервали та розглянемо три випадки.

1. Якщо , то , , , і рівняння (1) набуває вигляду . Звідси випливає. Однак тут , тому знайдене значення не є коренем рівняння (1).

2. Якщо , то з рівняння (1) отримуємоабо .

Оскільки , то корінь рівняння (1).

3. Якщо , то рівняння (1) набуває виглядуабо . Відмітимо, що .

Відповідь: , .

При вирішенні наступних рівнянь з модулем активно використовуватимемо властивості модулів з метою підвищення ефективності розв'язання подібних рівнянь.

приклад 2.Вирішити рівняння.

Рішення.Так як і , то з рівняння випливає. В зв'язку з цим , , , і рівняння набуває вигляду. Звідси отримуємо. Однак, тому вихідне рівняння коренів немає.

Відповідь: коріння немає.

приклад 3.Вирішити рівняння.

Рішення.Так як, то. Якщо то , і рівняння набуває вигляду.

Звідси отримуємо.

приклад 4.Вирішити рівняння.

Рішення.Перепишемо рівняння у рівносильному вигляді. (2)

Отримане рівняння відноситься до рівнянь типу.

Беручи до уваги теорему 2, можна стверджувати, що рівняння (2) рівносильне нерівності. Звідси отримуємо.

Відповідь: .

Приклад 5.Вирішити рівняння .

Рішення. Дане рівняння має вигляд. Тому , згідно з теоремою 3, тут маємо нерівністьабо .

Приклад 6.Вирішити рівняння.

Рішення.Припустимо, що. Так як , то задане рівняння набуває вигляду квадратного рівняння, (3)

де . Оскільки рівняння (3) має єдиний позитивний коріньі то . Звідси отримуємо два корені вихідного рівняння:та .

Приклад 7. Вирішити рівняння. (4)

Рішення. Оскільки рівняннярівносильно сукупності двох рівнянь:і , то при вирішенні рівняння (4) необхідно розглянути два випадки.

1. Якщо , то чи .

Звідси отримуємо , та .

2. Якщо , то чи .

Так як, то.

Відповідь: , , , .

Приклад 8.Вирішити рівняння . (5)

Рішення.Так як і , то . Звідси і з рівняння (5) випливає, як і , тобто. тут маємо систему рівнянь

Однак дана система рівнянь є несумісною.

Відповідь: коріння немає.

Приклад 9. Вирішити рівняння. (6)

Рішення.Якщо позначити, то і з рівняння (6) отримуємо

Або. (7)

Оскільки рівняння (7) має вигляд , це рівняння рівнозначно нерівності . Звідси отримуємо. Так як , то чи .

Відповідь: .

Приклад 10Вирішити рівняння. (8)

Рішення.Відповідно до теореми 1 можна записати

(9)

Беручи до уваги рівняння (8), робимо висновок у тому, що обидві нерівності (9) звертаються до рівності, тобто. має місце система рівнянь

Однак за теоремою 3 наведена вище система рівнянь рівносильна системі нерівностей

(10)

Вирішуючи систему нерівностей (10) отримуємо . Оскільки система нерівностей (10) дорівнює рівнянню (8), то вихідне рівняння має єдиний корінь .

Відповідь: .

Приклад 11. Вирішити рівняння. (11)

Рішення.Нехай і тоді з рівняння (11) випливає рівність .

Звідси випливає, що . Таким чином, тут маємо систему нерівностей

Розв'язанням даної системи нерівностей єта .

Відповідь: , .

Приклад 12Вирішити рівняння. (12)

Рішення. Рівняння (12) вирішуватимемо методом послідовного розкриття модулів. Для цього розглянемо кілька випадків.

1. Якщо, то.

1.1. Якщо , то , .

1.2. Якщо то . Однак, тому у разі рівняння (12) коренів немає.

2. Якщо, то.

2.1. Якщо , то , .

2.2. Якщо, то й.

Відповідь: , , , , .

приклад 13.Вирішити рівняння. (13)

Рішення.Оскільки ліва частина рівняння (13) невід'ємна, то і . У цьому зв'язку і рівняння (13)

набуває вигляду або .

Відомо, що рівняння рівносильно сукупності двох рівняньі , вирішуючи які отримуємо, . Так як , то рівняння (13) має один корінь.

Відповідь: .

приклад 14. Розв'язати систему рівнянь (14)

Рішення.Так як і , то і . Отже, із системи рівнянь (14) отримуємо чотири системи рівнянь:

Коріння наведених вище систем рівнянь є корінням системи рівнянь (14).

Відповідь: ,, , , , , , .

приклад 15. Розв'язати систему рівнянь (15)

Рішення.Так як, то. У цьому зв'язку із системи рівнянь (15) отримуємо дві системи рівнянь

Корінням першої системи рівнянь є і , та якщо з другої системи рівнянь отримуємо і .

Відповідь: , , , .

Приклад 16 Розв'язати систему рівнянь (16)

Рішення.З першого рівняння системи (16) випливає, що .

Оскільки , то . Розглянемо друге рівняння системи. Оскільки, то , і рівняння набуває вигляду, , або .

Якщо підставити значенняу перше рівняння системи (16), то або .

Відповідь: , .

Для більш глибокого вивчення методів розв'язання задач, пов'язаних із розв'язанням рівнянь, містять змінні під знаком модуля, можна порадити навчальні посібники зі списку літератури, що рекомендується.

1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / За ред. М.І. Сканаві. - М.: Світ та Освіта, 2013. - 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: завдання підвищеної складності. - М.: КД "Ліброком" / URSS, 2017. - 200 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшокласників: нестандартні методи розв'язання задач. - М.: КД "Ліброком" / URSS, 2017. - 296 с.

Залишились питання?

Щоб отримати допомогу репетитора – .

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Не ми вибираємо математикусвоєю професією, а вона нас обирає.

Російський математик Ю.І. Манін

Рівняння з модулем

Основні поняття та властивості

Модуль (абсолютна величина) дійсного числапозначається і визначається так:

До простих властивостей модуля належать такі співвідношення:

Зазначимо, що останні дві властивості справедливі для будь-якого парного ступеня.

Крім того, якщо, де, то і

Теорема 1.Для будь-яких аналітичних функційі справедлива нерівність

Теорема 2.Рівність рівнозначна нерівності.

Теорема 3.Рівність рівносильно нерівності.

Розглянемо типові приклади розв'язання задач на тему «Рівняння, що містять змінні під знаком модуля».

Розв'язання рівнянь із модулем

приклад 1.Вирішити рівняння . (1)

2. Якщо , то з рівняння (1) отримуємоабо .

Оскільки , то корінь рівняння (1).

3. Якщо , то рівняння (1) набуває виглядуабо . Відмітимо, що .

Відповідь: , .

приклад 2.Вирішити рівняння.

Відповідь: коріння немає.

приклад 3.Вирішити рівняння.

Рішення.Так як, то. Якщо то , і рівняння набуває вигляду.

Звідси отримуємо.

приклад 4.Вирішити рівняння.

Рішення.Перепишемо рівняння у рівносильному вигляді. (2)

Отримане рівняння відноситься до рівнянь типу.

Беручи до уваги теорему 2, можна стверджувати, що рівняння (2) рівносильне нерівності. Звідси отримуємо.

Відповідь: .

Приклад 5.Вирішити рівняння .

Рішення. Дане рівняння має вигляд. Тому , згідно з теоремою 3, тут маємо нерівністьабо .

Приклад 6.Вирішити рівняння.

Рішення.Припустимо, що. Так як , то задане рівняння набуває вигляду квадратного рівняння, (3)

Приклад 7. Вирішити рівняння. (4)

1. Якщо , то чи .

Звідси отримуємо , та .

2. Якщо , то чи .

Так як, то.

Відповідь: , , , .

Приклад 8.Вирішити рівняння . (5)

Рішення.Так як і , то . Звідси і з рівняння (5) випливає, як і , тобто. тут маємо систему рівнянь

Однак дана система рівнянь є несумісною.

Відповідь: коріння немає.

Приклад 9. Вирішити рівняння. (6)

Рішення.Якщо позначити, то і з рівняння (6) отримуємо

Або. (7)

Оскільки рівняння (7) має вигляд , це рівняння рівнозначно нерівності . Звідси отримуємо. Так як , то чи .

Відповідь: .

Приклад 10Вирішити рівняння. (8)

Рішення.Відповідно до теореми 1 можна записати

(9)

Однак за теоремою 3 наведена вище система рівнянь рівносильна системі нерівностей

(10)

Відповідь: .

Приклад 11. Вирішити рівняння. (11)

Рішення.Нехай і тоді з рівняння (11) випливає рівність .

Звідси випливає, що . Таким чином, тут маємо систему нерівностей

Розв'язанням даної системи нерівностей єта .

Відповідь: , .

Приклад 12Вирішити рівняння. (12)

1. Якщо, то.

1.1. Якщо , то , .

1.2. Якщо то . Однак, тому у разі рівняння (12) коренів немає.

2. Якщо, то.

2.1. Якщо , то , .

2.2. Якщо, то й.

Відповідь: , , , , .

приклад 13.Вирішити рівняння. (13)

Рішення.Оскільки ліва частина рівняння (13) невід'ємна, то і . У цьому зв'язку і рівняння (13)

набуває вигляду або .

Відповідь: .

приклад 14. Розв'язати систему рівнянь (14)

Рішення.Так як і , то і . Отже, із системи рівнянь (14) отримуємо чотири системи рівнянь:

Коріння наведених вище систем рівнянь є корінням системи рівнянь (14).

Відповідь: ,, , , , , , .

приклад 15. Розв'язати систему рівнянь (15)

Рішення.Так як, то. У цьому зв'язку із системи рівнянь (15) отримуємо дві системи рівнянь

Корінням першої системи рівнянь є і , та якщо з другої системи рівнянь отримуємо і .

Відповідь: , , , .

Приклад 16 Розв'язати систему рівнянь (16)

Рішення.З першого рівняння системи (16) випливає, що .

Оскільки , то . Розглянемо друге рівняння системи. Оскільки, то , і рівняння набуває вигляду, , або .

Якщо підставити значенняу перше рівняння системи (16), то або .

Відповідь: , .

1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / За ред. М.І. Сканаві. - М.: Світ та Освіта, 2013. - 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: завдання підвищеної складності. - М.: КД "Ліброком" / URSS, 2017. - 200 с.

Залишились питання?

Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

МБОУ ЗОШ №17 м. Іванова

« Рівняння з модулем»
Методична розробка

Складено

вчителем математики

Лебедєвої Н.В.

20010

Пояснювальна записка

Розділ 1. Вступ

Розділ 2. Основні властивості Розділ 3. Геометрична інтерпретація поняття модуля числа Розділ 4. Графік функції у = | х | Розділ 5. Умовні позначення

Розділ 2. Розв'язання рівнянь, що містять модуль

Розділ 1.Рівняння виду | F (х) | = m (найпростіші) Розділ 2. Рівняння виду F(|х|) = m Розділ 3. Рівняння виду | F (x) | = G(х) Розділ 4. Рівняння виду | F (x) | = ± F(х) (найкрасивіші) Розділ 5. Рівняння виду | F (x) | = | G (x) | Розділ 6. Приклади розв'язання нестандартних рівнянь Розділ 7. Рівняння виду | F (х) | + | G (x) | = 0 Розділ 8. Рівняння виду | а 1 х ± 1 | ± |а 2 х ± 2 | ± …|а n х ± у n | = m Розділ 9. Рівняння, що містять декілька модулів

Глава 3. Приклади розв'язання різних рівнянь із модулем.

Розділ 1. Тригонометричні рівняння Розділ 2. Показові рівняння Розділ 3. Логарифмічні рівняння Розділ 4. Ірраціональні рівняння Розділ 5. Завдання підвищеної складності Відповіді до вправ Список літератури

Пояснювальна записка.

Поняття абсолютної величини (модуля) дійсного числа є одним із суттєвих його характеристик. Це поняття має стала вельми поширеною у різних розділах фізико-математичних і технічних наук. У практиці викладання курсу математики в середній школі відповідно до Програми МО РФ поняття «абсолютна величина числа» зустрічається неодноразово: у 6-му класі вводиться визначення модуля, його геометричний зміст; у 8-му класі формується поняття абсолютної похибки, розглядається вирішення найпростіших рівнянь і нерівностей, що містять модуль, вивчаються властивості арифметичного квадратного кореня; в 11-му класі поняття зустрічається в розділі «Корінь n-ой ступеня».Досвід викладання показує, що учні часто стикаються з труднощами під час вирішення завдань, що вимагають знання даного матеріалу, а нерідко пропускають, не приступаючи до виконання. У текстах екзаменаційних завдань за курс 9-ого та 11-ого класів також включені подібні завдання. Крім того, вимоги, які пред'являють до випускників шкіл ВНЗ, відрізняються, а саме, вищого рівня, ніж вимоги шкільної програми.

Для життя в суспільстві дуже важливим є формування математичного стилю мислення, що проявляється в певних розумових навичках. У процесі вирішення завдань із модулями потрібно вміння застосовувати такі прийоми, як узагальнення та конкретизація, аналіз, класифікація та систематизація, аналогія. Вирішення подібних завдань дозволяє перевірити знання основних розділів шкільного курсу, рівень логічного мислення, початкові навички дослідницької діяльності.

Ця робота присвячена одному з розділів - вирішення рівнянь, що містять модуль. Вона складається із трьох розділів. У першому розділі вводяться основні поняття та найважливіші теоретичні викладки. У другому розділі пропонуються дев'ять основних типів рівнянь, що містять модуль, розглядаються методи їх вирішення, розбираються приклади різного рівня складності. У третьому розділі пропонуються складніші і нестандартні рівняння (тригонометричні, показові, логарифмічні та ірраціональні). До кожного типу рівнянь є вправи для самостійного вирішення (відповіді та вказівки додаються). .

Основне призначення даної роботи - це надання методичної допомоги викладачам при підготовці до уроків та при організації факультативних курсів. Матеріал також може бути використаний як навчальний посібник для старшокласників. Завдання, запропоновані у роботі, цікаві не завжди прості у вирішенні, що дозволяє зробити навчальну мотивацію учнів більш усвідомленої, перевірити свої здібності, підвищити рівень підготовки випускників шкіл до вступу до ВНЗ. Диференційований підбір пропонованих вправ передбачає перехід від репродуктивного рівня засвоєння матеріалу до творчого, і навіть можливість навчити застосовувати свої знання під час вирішення нестандартних завдань. : Глава 1. Вступ. Розділ 1. Визначення абсолютної величиниВизначення Розділ 1. Визначення абсолютної величиниАбсолютною величиною (модулем) дійсного числа а називається невід'ємне число: │ Розділ 1. Визначення абсолютної величини │ або

│ -А.

│а│ = │ 0, якщо а = 0 (1)

│ - а, якщо а
Приклади: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1
Розкрити модуль виразу:
а) │х - 8│, якщо х > 12 б) │2х + 3│, якщо х ≤ -2 │х – 8│= х – 8 │ 2х + 3│= - 2х – 3
Розділ 2. Основні характеристики.
Розглянемо основні властивості абсолютної величини. Властивість №1: Протилежні числа мають рівні модулі, тобто. │а│=│- а│Покажемо вірність рівності. Запишемо визначення числа – а : │- а│= (2) Порівняємо сукупності (1) та (2). Очевидно, що визначення абсолютних величин чисел Розділ 1. Визначення абсолютної величиниі – азбігаються. Отже, │а│=│- а│
При розгляді наступних властивостей обмежимося їх формулюванням, оскільки їх доказ наводиться в Властивість №2: Абсолютна величина суми кінцевого числа дійсних чисел не перевищує суми абсолютних величин доданків: │а 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │+ … + │а n │ Властивість №3: Абсолютна величина різниці двох дійсних чисел не перевищує суми їх абсолютних величин: │а - в│ ≤│а│+│в│ Властивість №4: Абсолютна величина добутку кінцевого числа дійсних чисел дорівнює добутку абсолютних величин множників: │а · в│=│а│·│в│ Властивість №5: Абсолютна величина частки дійсних чисел дорівнює частці їх абсолютних величин:

Розділ 3. Геометрична інтерпретація поняття модуля числа.

Кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку на числовій прямій, яка буде геометричним зображенням цього дійсного числа. Кожній точці на числовій прямий відповідає відстань від початку відліку, тобто. довжина відрізка від початку відліку до цієї точки. Ця відстань сприймається завжди як величина неотрицательная. Тому довжина відповідного відрізка і буде геометричною інтерпретацією абсолютної величини цього дійсного числа.

Подана геометрична ілюстрація наочно підтверджує якість №1, тобто. модулі протилежних чисел рівні. Звідси легко розуміється справедливість рівності: │х – а│= │а – х│. Також очевиднішим ставати рішення рівняння │х│= m, де m ≥ 0, а саме х 1,2 = ± m. Приклади: 1) │х│= 4 х 1,2 = ± 4 2) │х - 3│= 1

х 1,2 = 2; 4

Розділ 4. Графік функції у = │х│

Область визначення цієї функції все дійсні числа.

Розділ 5. Умовні позначення.

Надалі при розгляді прикладів розв'язання рівнянь буде використано такі умовні позначення: ( - знак системи [ - знак сукупності При розв'язанні системи рівнянь (нерівностей) знаходиться перетин рішень входять до системи рівнянь (нерівностей). При розв'язанні сукупності рівнянь (нерівностей) перебуває об'єднання рішень рівнянь (нерівностей), що входять до сукупності.

Розділ 2. Розв'язання рівнянь, що містять модуль.

У цьому розділі ми розглянемо способи розв'язання алгебри рівнянь, що містять один або більше модуль.

Розділ 1. Рівняння виду │F(х)│= m

Рівняння цього виду називається найпростішим. Воно має рішення тоді і тільки тоді, коли m ≥ 0. За визначенням модуля, вихідне рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: │ F(х)│=m

Приклади:
№1. Розв'яжіть рівняння: │7х - 2│= 9

Відповідь: х 1 = - 1; х 2 = 1 4 / 7 №2
│х 2 + 3х + 1│= 1

х 2 + 3х + 2 = 0 х 2 +3х = 0 х 1 = -1; х 2 = -2 х · (х + 3) = 0 х 1 = 0; х 2 = -3 Відповідь: сума коренів дорівнює - 2.№3
│х 4 -5х 2 + 2│= 2 х 4 – 5х 2 = 0 х 4 – 5х 2 + 4 = 0 х 2 · (х 2 – 5) = 0 позначимо х 2 = m, m ≥ 0 х = 0 ; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 – обидва значення задовольняють умові m ≥ 0 х 2 = 1 х 2 = 4 х = ± 1 х = ± 2 Відповідь: кількість коренів рівняння 7. Вправи:
№1. Розв'яжіть рівняння та вкажіть суму коренів: │х - 5│= 3 №2 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть менший корінь: │х 2 + х│= 0 №3 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть більший корінь: │х 2 – 5х + 4│= 4 №4 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть цілий корінь: │2х 2 – 7х + 6│= 1 №5 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть кількість коренів: │х 4 – 13х 2 + 50│= 14

Розділ 2. Рівняння виду F(│х│) = m

Аргумент функції у лівій частині перебуває під знаком модуля, а права частина залежить від змінної. Розглянемо два способи розв'язання рівнянь даного виду. 1 спосіб:За визначенням абсолютної величини вихідне рівняння рівносильне сукупності двох систем. У кожній з яких накладається умова підмодульний вираз. F(│х│) =m

Оскільки функція F(│х│) – парна по всій області визначення, то коріння рівнянь F(х) = m і F(-х) = m – це пари протилежних чисел. Тому достатньо вирішити одну із систем (при розгляді прикладів вказаним способом буде наводиться рішення однієї системи). 2 спосіб:Застосування методу запровадження нової змінної. При цьому вводиться позначення │х│= а де а ≥ 0. Даний спосіб менш об'ємний по оформленню.
Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння: 3х 2 – 4│х│= - 1 Скористаємося введенням нової змінної. Позначимо │х│= а де а ≥ 0. Отримаємо рівняння 3а 2 - 4а + 1 = 0 Д = 16 – 12 = 4 а 1 = 1 а 2 = 1 / 3 Повертаємося до вихідної змінної: │х│=1 і │х│= 1/3 . Кожне рівняння має два корені. Відповідь: х 1 = 1; х 2 = - 1; х 3 = 1 / 3 ; х 4 = - 1 / 3 . №2. Розв'яжіть рівняння: 5х 2 + 3│х│- 1 = 1 / 2 │х│ + 3х 2

Знайдемо рішення першої системи сукупності: 4х 2 + 5х – 2 =0 Д = 57 х 1 = -5+√57 / 8 х 2 = -5-√57 / 8 Зауважимо, що х 2 не задовольняє умову х ≥ 0. Рішенням другий системи буде число, протилежне значенню х 1 . Відповідь: х 1 = -5+√57 / 8 ; х 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Розв'яжіть рівняння: х 4 – │х│= 0 Позначимо │х│= а, де а ≥ 0. Отримаємо рівняння а 4 – а = 0 а · (а 3 – 1) = 0 а 1 = 0 а 2 = 1 Повертаємось до вихідної змінної: │х│=0 та │х│= 1 х = 0; ± 1 Відповідь: х 1 = 0; х 2 = 1; х 3 = - 1.
Вправи: №6. Розв'яжіть рівняння: 2│х│ - 4,5 = 5 – 3 / 8 │х│ №7 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість коренів: 3х 2 - 7│х│ + 2 = 0 №8 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть цілі рішення: х 4 + │х│ - 2 = 0

Розділ 3. Рівняння виду │F(х)│ = G(х)

Права частина рівняння цього виду залежить від змінної і, отже, має рішення тоді і тільки тоді, коли права частина функція G(х) ≥ 0. Вихідне рівняння можна вирішити двома способами: 1 спосіб:Стандартний, заснований на розкритті модуля, виходячи з його визначення і полягає в рівносильному переході до сукупності двох систем. │ F(х)│ =G(х)

Даний спосіб раціонально використовувати у разі складного вираження для функції G(x) і менш складного – для функції F(х), оскільки передбачається вирішення нерівностей з функцією F(х). 2 спосіб:Складається у переході до рівносильної системи, у якій накладається умова праву частину. │ F(x)│= G(x)

Даний спосіб зручніше застосовувати, якщо вираз для функції G(х) менш складний, ніж для функції F(х), оскільки передбачається вирішення нерівності G(х) ≥ 0. Крім того, у випадку кількох модулів цей спосіб рекомендується застосовувати другий варіант. Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння: │х + 2│= 6 -2х

(1 спосіб) Відповідь: х = 1 1 / 3 №2.
│х 2 – 2х - 1│= 2·(х + 1)

(2 спосіб) Відповідь: Твір коріння – 3.
№3. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів:
│х - 6│= х 2 - 5х + 9

Відповідь: сума коренів дорівнює 4.
Вправи: №9. │х + 4│= - 3х №10. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть число розв'язків: │х 2 + х - 1│= 2х – 1 №11 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння: │х + 3│= х 2 + х – 6

Розділ 4. Рівняння виду │F(x)│= F(x) та │F(x)│= - F(x)

Рівняння цього виду іноді називають «красивими». Оскільки права частина рівнянь залежить від змінної, рішення існують і тоді, коли права частина неотрицательна. Тому вихідні рівняння рівносильні нерівностям:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 та │F(x)│= - F(x) F(x) Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший цілий корінь: │5х - 3│= 5х - 3 5х - 3 ≥ 0 5х ≥ 3 х ≥ 0,6 Відповідь: х = 1№2. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть довжину проміжку: │х 2 - 9│= 9 – х 2 х 2 – 9 ≤ 0 (х – 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Відповідь: довжина проміжку дорівнює 6.№3 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть число цілих рішень: │2 + х – х 2 │= 2 + х – х 2 2 + х – х 2 ≥ 0 х 2 – х – 2 ≤ 0 [-1; 2] Відповідь: 4 цілих рішення.№4 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть найбільший корінь:
│4 – х -

│= 4 – х –

х 2 - 5х + 5 = 0 Д = 5 х 1,2 =

≈ 1,4

Відповідь: х = 3.

Вправи: №12. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть ціле коріння: │х 2 + 6х + 8│= х 2 + 6х + 8 №13. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть число цілих рішень: │13х – х 2 - 36│+ х 2 – 13х + 36 = 0 №14. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть ціле число, що не є коренем рівняння:

Розділ 5. Рівняння виду │F(x)│= │G(x)│

Так як обидві частини рівняння невід'ємні, рішення передбачає розгляд двох випадків: підмодульні вирази рівні або протилежні за знаком. Отже, вихідне рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: │ F(x)│= │ G(x)│

Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть цілий корінь: │х + 3│=│2х - 1│

Відповідь: ціле коріння х = 4.№2. Розв'яжіть рівняння: │ х – х 2 - 1│=│2х – 3 – х 2 │

Відповідь: х = 2.№3 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння:

Корні рівняння 4х 2 + 2х - 1 = 0 х 1,2 = - 1±√5 / 4 Відповідь: добуток коренів дорівнює – 0,25. Вправи: №15 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть ціле рішення: │х 2 – 3х + 2│= │х 2 + 6х - 1│ №16. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший корінь:│5х - 3│=│7 - х│ №17 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів:

Розділ 6. Приклади розв'язання нестандартних рівнянь

У розділі ми розглянемо приклади нестандартних рівнянь, під час вирішення яких абсолютна величина висловлювання розкривається за визначенням. Приклади:

№1. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: х · │х│- 5х – 6 = 0
Відповідь: сума коренів дорівнює 1 №2. . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший корінь: х 2 - 4х ·
- 5 = 0
Відповідь: менший корінь х = – 5. №3. Розв'яжіть рівняння:

Відповідь: х = -1. Вправи: №18. Розв'яжіть рівняння та вкажіть суму коренів: х · │3х + 5│= 3х 2 + 4х + 3
№19. Розв'яжіть рівняння: х 2 – 3х =

№20. Розв'яжіть рівняння:

Розділ 7. Рівняння виду │F(x)│+│G(x)│=0

Неважко помітити, що у лівій частині рівняння цього виду сума неотрицательных величин. Отже, вихідне рівняння має рішення тоді і тільки тоді, коли обидва доданки одночасно дорівнюють нулю. Рівняння рівносильне системі рівнянь: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння:

Відповідь: х = 2. №2. Розв'яжіть рівняння: Відповідь: х = 1. Вправи: №21. Розв'яжіть рівняння: №22 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: №23 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість рішень:

Розділ 8. Рівняння виду │а 1 х + у 1 │±│а 2 х + у 2 │± … │а n х +в n │= m

Для вирішення рівнянь цього виду застосовується метод інтервалів. Якщо його вирішувати послідовним розкриттям модулів, то отримаємо nсукупностей систем, що дуже громіздко та незручно. Розглянемо алгоритм методу інтервалів: 1). Знайти значення змінної х, При яких кожен модуль дорівнює нулю (нулі підмодульних виразів):

2). Знайдені значення відзначити на числовій прямій, яка розбивається на інтервали (кількість інтервалів відповідно дорівнює n+1 ) 3). Визначити, з яким знаком розкривається кожен модуль кожному з отриманих інтервалів (при оформленні рішення можна використовувати числову пряму, відзначивши у ньому знаки) 4). Вихідне рівняння рівносильне сукупності n+1 систем, у кожному у тому числі вказується приналежність змінної ходному із інтервалів. Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть найбільший корінь:

1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 2; х = -3 2). Зазначимо знайдені значення на числовій прямій і визначимо, з яким знаком розкривається кожен модуль отриманих інтервалах:
х - 2 х - 2 х - 2 - - + - 3 2 х 2х + 6 2х + 6 2х + 6 - + + 3)

- немає рішень Рівняння має два корені. Відповідь: найбільший корінь x = 2. №2. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть цілий корінь:

1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 1,5; х = - 1 2). Зазначимо знайдені значення на числовій прямій і визначимо, з яким знаком розкривається кожен модуль на отриманих інтервалах: х + 1 х + 1 х + 1 - + +
-1 1,5 х 2х - 3 2х - 3 2х - 3 - - +
3).

Остання система не має рішень, отже, рівняння має два корені. Під час розв'язання рівняння слід звернути увагу на знак «-» перед другим модулем. Відповідь: ціле коріння х = 7. №3. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: 1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 5; х = 1; х = - 2 2). Зазначимо знайдені значення на числовій прямій і визначимо, з яким знаком розкривається кожен модуль на отриманих інтервалах: х – 5 х – 5 х – 5 х – 5 - - - +
-2 1 5 х х – 1 х – 1 х – 1 х – 1 - - + + х + 2 х + 2 х + 2 х + 2 - + + +
3).

Рівняння має два корені х = 0 та 2. Відповідь: сума коренів дорівнює 2. №4 . Розв'яжіть рівняння: 1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 1; х = 2; х = 3. 2). Визначимо, з яким знаком відкривається кожен модуль отриманих інтервалах. 3).

Об'єднаємо рішення перших трьох систем. Відповідь: ; х = 5.
Вправи: №24. Розв'яжіть рівняння:

№25. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: №26. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший корінь: №27. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть більший корінь:

Розділ 9. Рівняння, що містять декілька модулів

Рівняння, що містять кілька модулів, передбачають наявність абсолютних величин у підмодульних виразах. Основний принцип розв'язання рівнянь даного виду – це послідовне розкриття модулів, починаючи із зовнішнього. У результаті рішення використовуються прийоми, розглянуті розділах №1, №3.

Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння:
Відповідь: х = 1; - 11. №2. Розв'яжіть рівняння:
Відповідь: х = 0; 4; - 4. №3. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння:
Відповідь: добуток коренів дорівнює - 8. №4. Розв'яжіть рівняння:
Позначимо рівняння сукупності (1) і (2) та розглянемо рішення кожного з них окремо для зручності оформлення. Так як обидва рівняння містять більше одного модуля, зручніше здійснити рівносильний перехід до сукупностей систем. (1)

(2)

Відповідь:
Вправи: №36. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: 5 │3х-5│ = 25 х №37. Розв'яжіть рівняння, якщо коріння більше одного, у відповіді вкажіть суму коренів: │х + 2│ х – 3х – 10 = 1 №38. Розв'яжіть рівняння: 3 │2х -4│ = 9 │х│ №39. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість коренів на : 2 │ sin х│ = √2 №40 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість коренів:

Розділ 3. Логарифмічні рівняння.

Перед розв'язанням наступних рівнянь необхідно повторити властивості логарифмів та логарифмічної функції. Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння: log 2 (х+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 О.Д.З. х+1≠0 х≠ - 1

1 випадок: якщо х ≥ - 1, то log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – задовольняє умові х ≥ - 1 2 випадок: якщо х log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – задовольняє умові х - 1
Відповідь: добуток коренів дорівнює - 15.
№2. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: lg
О.Д.З.

Відповідь: сума коренів дорівнює 0,5.
№3. Розв'яжіть рівняння: log 5
О.Д.З.

Відповідь: х = 9. №4. Розв'яжіть рівняння: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ О.Д.З. х > 0 Скористаємося формулою переходу до іншої основи. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 25; х = Ці числа ділять область допустимих значень на три інтервали, тому рівняння рівносильне сукупності трьох систем.
Відповідь: )