Гумова куля, мильна бульбашка можуть залишатися в рівновазі лише за умови, щоб тиск повітря всередині них було на певну величину більше тиску зовнішнього повітря. Обчислимо перевищення внутрішнього тиску над зовнішнім.
Нехай мильна бульбашка має радіус і нехай надлишок тиску всередині нього над зовнішнім тиском дорівнює різницею радіусів внутрішньої та зовнішньої поверхонь для простоти нехтуємо). Отже, маємо рівняння
з іншого боку,
Підставляючи вирази для вищенаведеного рівняння, отримуємо:
За законом протидії таку ж величину має тиск, що виробляється міхуром на повітря, що знаходиться усередині нього.
Якщо замість міхура, що має дві поверхневі плівки, будемо розглядати краплю, у якої тільки одна поверхня, то прийдемо до висновку, що поверхнева плівка робить на нутрощі краплі тиск, що дорівнює
де радіус краплі.
Взагалі внаслідок кривизни поверхневого шару рідини створюється надлишковий тиск: позитивний під опуклою поверхнею та негативний під увігнутою поверхнею. Таким чином, за наявності кривизни поверхневий шар рідини стає джерелом сили, спрямованої від опуклої сторони шару до увігнутої сторони.
Мал. 226. До пояснення формули Лапласа.
Лаплас дав формулу для надлишкового тиску, придатну для випадку, коли поверхня рідини має будь-яку форму, що допускається фізичною природою рідкого стану. Ця формула Лапласа має такий вигляд:
де мають таке значення. У якій-небудь точці поверхні рідини (рис. 226) потрібно уявити нормаль і через цю нормаль провести дві взаємно перпендикулярні площини, які перетнуть поверхню рідини по кривих і радіуси кривизни цих кривих у точці і позначаються через
Легко бачити, що з формули Лапласа для плоскої поверхні рідини виходить а для кульової поверхні, як це ми вивели раніше.
Якби поверхня була «сідлоподібною», то криві і лежали б по різні боки від дотичної площини
точці тоді радіуси мали б різні знаки. У геометрії доводиться, що з так званих мінімальних поверхонь т. е. мають при цьому контурі найменшу можливу площу, сума всюди дорівнює нулю. Саме цією властивістю мають мильні плівки, що затягують якийсь дротяний контур.
Піна є зібрання бульбашок, що мають спільні стіни. Кривизна такої стінки (яка визначається виразом + пропорційна різниці тисків по обидва боки стінки.
Якщо кінець чистої скляної палички занурити в чисту воду і вийняти паличку, то побачимо на кінці її краплю води, що висить. Очевидно, що молекули води сильніше притягуються до молекул скла, ніж одна до одної.
Подібно до цього мідною паличкою можна підняти краплю ртуті. У разі говорять, що тверде тіло змочується рідиною.
Інше буде, якщо опустимо чисту скляну паличку в чисту ртуть або якщо скляну паличку, вкриту жиром, опустимо у воду: тут паличка, вийнята з рідини, не забирає жодної краплі цієї останньої. У таких випадках говорять, що рідина не змочує твердого тіла.
Мал. 227. Стрілками показані напрямки сил, з якими поверхневий шар діє на стовпчик рідини, що знаходиться під ним.
Якщо занурити у воду вузьку чисту скляну трубку, то вода в трубці підніметься на відому висоту всупереч силі тяжіння (рис. 227, а). Вузькі трубки називаються капілярними, або капілярами, а звідси і саме явище зветься капілярністю. Рідини, що змочують стінки капілярної трубки, зазнають капілярного підняття. Рідини, які не змочують стінок капіляра (наприклад, ртуть у скляній трубці), зазнають, як показано на рис. 227 б, опускання. Капілярні підняття та опускання бувають тим більше, ніж капіляри.
Капілярні підняття та опускання викликаються надлишковим тиском, який виникає внаслідок викривлення поверхні рідини. Насправді, у трубці, яка змочується рідиною, рідина утворює увігнутий меніск. За сказаним
у попередньому параграфі поверхня такого меніска розвиватиме силу, спрямовану знизу вгору, і ця сила буде підтримувати в трубці стовпчик рідини всупереч дії тяжкості. Навпаки, у трубці, яка не змочується рідиною, вийде опуклий меніск; він дасть силу, спрямовану вниз і, отже, знижує рівень рідини,
Виведемо залежність між поверхневим натягом рідини, її щільністю радіусом трубки і висотою стовпчика, що піднявся в трубці. Нехай рідина «цілком змочує» стінки трубки (як вода скляну трубку), так що в місці зустрічі з трубкою поверхня рідини є дотичною до поверхні трубки. Цей дотик має місце за контуром, довжина якого є. Завдяки поверхневому натягу контур буде розвивати силу і ця сила, прикладена до стовпчика, буде врівноважувати силу його тяжіння, рівну де прискорення тяжкості.
Таким чином,
т. е. висота капілярного підняття пропорційна поверхневому натягу і обернено пропорційна радіусу трубки та щільності рідини.
Ту ж формулу (11) для капілярного підняття можна отримати як наслідок формули Лапласа (10) або (в даному випадку симетричної поверхні) формули (9). Можна міркувати так: в рідині під увігнутою поверхнею тиск знижений на величину тому при рівновазі, коли тиск на рівні вільної поверхні рідини, налитої в посудину, дорівнює тиску рідини в капілярі на тому ж рівні, стовп рідини в капілярі повинен мати таку висоту, щоб його тиск урівноважував дефіцит тиску, створюваного увігнутістю поверхні меніска. Отже, звідки й виходить формула (11).
Розмірковуючи аналогічно, переконуємося, що коли рідина «цілком не змочує» стінок капіляра, при рівновазі вона перебуватиме в капілярі на рівні, зниженому на висоту, яка визначається тією ж формулою (11).
Вимір капілярного підняття є одним із простих способів визначення величини а.
На рис. 228 зображено капілярне підняття рідини між двома пластинками, що становлять двогранний кут. Неважко збагнути, що рідина, що піднялася, буде зверху обмежена
гіперболою; асимптотами цієї гіперболи будуть служити ребра двогранного кута та лінія, що лежить на рівні рідини в посудині.
Розглянемо умови рівноваги рідини, що стикається з твердою стінкою (рис. 229). Позначимо надлишкову вільну енергію кожного квадратного сантиметра поверхні твердого тіла 3, що межує з вакуумом або газом 2, Коли шар якої-небудь рідини змочуючи поверхню твердого тіла, розтікається по ній, поверхня розділу тверде тіло - газ замінюється поверхнею розділу тверде тіло - рідина, причому вільна енергія цієї нової поверхні буде вже інша, Очевидно, що спад вільної енергії кожного квадратного сантиметра поверхні твердого тіла дорівнює роботі сил, під дією яких 1 см периметра рідкої плівки переміщається на відстань в 1 см у напрямку, перпендикулярному до периметру плівки. Отже, різницю можна розглядати як силу, прикладену до 1 см периметра рідкої плівки, що діє стосовно поверхні твердого тіла і спонукає рідину просуватися по поверхні твердого тіла. Однак розтікання рідини по поверхні твердого тіла супроводжується збільшенням поверхні між рідиною 1 і вакуумом або газом 2, чому перешкоджає поверхневий натяг рідини. кутом до поверхні твердого тіла; цей кут називають крайовим кутом. Ми бачимо таким чином, що рідина, що межує з твердим тілом, буде перебувати в рівновазі тоді, коли
Звідси знаходимо, що крайовий кут, під яким при рівновазі вільна поверхня рідини зустрічає поверхню
Мал. 228. Капілярне підняття рідини між пластинками, що становлять двогранний кут.
Мал. 229. Рідина змочує тверду стінку (а); не змочує тверду стінку
твердого тіла, визначається формулою
За змістом виведення формули (12) ясно, що ця формула залишається справедливою і для випадку, коли рідина не змочує тверде тіло (рис. 229, б); тоді крайовий кут буде тупим; відсутність змочування означає, що (тобто вільна енергія твердого тіла на його поверхні розділу з вакуумом або газом менше, ніж на поверхні розділу того ж тіла з рідиною; інакше кажучи, в цьому випадку при просуванні рідини по поверхні твердого тіла робота не буде проводитися, але, навпаки, роботу треба буде витратити, щоб здійснити такий рух рідини).
При повному змочуванні крайовий кут а при повній відсутності змочування Крайовий кут залежить від природи речовин, що стикаються, і від температури. Якщо нахиляти стінку судини, крайовий кут від цього не змінюється.
Формула (12) пояснює форму краплі, що лежить на горизонтальній площині. На твердій підставці, що змочується рідиною, крапля набуває форми, зображеної на рис. 230; якщо підставка не змочується, то виходить форма краплі, зображена на рис. 231, де крайовий кут - тупий.
Мал. 230. Крапля рідини, що змочує.
Мал. 231. Крапля несмачивающей рідини.
Цілком чисте скло цілком змочується водою, етиловим спиртом, метиловим спиртом, хлороформом, бензолом. Для ртуті на чистому склі крайовий кут становить 52 ° (для свіжоутвореної краплі 41 °), для скипидару 17 °, для ефіру 16 °.
Коли рідина цілком змочує підставку, краплі не виникає, а рідина розтікається по всій поверхні. Це відбувається, наприклад, із краплею води на абсолютно чистій скляній пластинці. Але зазвичай скляна пластина буває дещо забруднена, що перешкоджає розтіканню краплі і створює вимірний крайовий кут.
Мал. 232. Масляна крапля на воді
Міркування, на основі яких була отримана формула, можна застосувати також і на випадок, коли замість твердого тіла ми маємо другу рідину, наприклад, коли масляна крапля плаває на поверхні води (рис. 232). Але в цьому випадку напрямки сил вже не протилежні; при дотику рідини з твердим тілом нормальна складова поверхневого
натяг урівноважується опором твердої стінки, а при дотику рідин це немає місця; тому в даному випадку умова рівноваги має бути записана інакше, а саме як рівність повної сили та геометричної суми (взятої зі зворотним знаком) сил
Якщо, наприклад, на воді плаває оливкова олія, то дин/див, дин/див і дан/див. Таким чином, тут поверхневий натяг на межі повітря і води більший за суму обох поверхневих натягів, які має масло по відношенню як до повітря, так і до води; ми будемо тому мати необмежену розтікання краплі. Товщина масляного шару дійде до розмірів однієї молекули (приблизно см), а потім шар розпадатиметься. Але якщо вода забруднена, то її поверхневе натяг робиться менше, і тоді на поверхні може залишатися велика масляна крапля, після того як по воді поширився дуже тонкий шар олії.
Рідина, що проникає внаслідок дії молекулярних сил у тонкий зазор між двома поверхнями твердих тіл, надає на ці поверхні дію, що розклинює. Розклинюючу дію тонких шарів рідини було експериментально доведено вправними дослідами проф. Б. В. Дерягіна, який розробив також теорію цього явища та пояснив на основі розклинюючої дії рідини ефект Ребіндера (§ 46).
Розв'яжемо наступне завдання (завдання Банаха). Хтось носить у кишені дві коробки сірників (по 60 сірників кожна) і щоразу, коли потрібний сірник, навмання бере коробку і виймає сірник. Яка ймовірність того, що коли перша коробка буде порожня, у другій все ще залишиться 20 сірників? Вибір коробки можна як незалежне випробування, у якому з ймовірністю вибирається перша коробка. Усього дослідів проводиться n= 60 + 40 = 100, і в цих ста дослідах перша коробка повинна бути обрана 60 разів. Імовірність цього дорівнює:
.
З запису видно, що за великих nкористуватися формулою Бернуллі важко через громіздкі обчислення. Існують спеціальні наближені формули, які дозволяють знаходити ймовірність 
, якщо nвелике. Одну з таких формул дає така теорема.
Теорема 2.1. (Лапласа локальна ).
Якщо у схемі Бернуллі 
, то ймовірність того, що подія Aнастане рівно kраз, задовольняє при великих nспіввідношенню
де 
.
Для зручності вводиться на розгляд функція 
– локальна функція Лапласа, за допомогою якої теорему Лапласа можна записати так:
Існують спеціальні таблиці функції 
, за якими для будь-якого значення: 
можна знайти відповідне значення функції. Отримано ці таблиці шляхом розкладання функції 
у ряд.
Геометрично цей результат означає, що для великих nбагатокутник розподілу добре вписується у графік функції, що стоїть у формулі праворуч (рис. 2.3) та замість істинного значення ймовірності 
можна для кожного kбрати значення функції у точці k.
Мал. 2.3. Локальна функція Лапласа
Повернемося тепер до завдання. Використовуючи формулу (2.1) знаходимо:
,
де значення 
визначено за таблицею.
2.2.2. Інтегральна теорема Лапласа
Теорема 2.2(Лапласа інтегральна) . Імовірність того, що у схемі nнезалежних випробувань подія настане від k 1 до k 2 раз, приблизно дорівнює
P n
(k 1
k 2
)
,
– інтегральна функція Лапласа, на яку складено таблиці. Функція Ф(х)непарна: Ф(-х)=-Ф(х)і Ф(х 
4)=0,5.
Розглянемо поки що без доказу ще одне твердження.
Відхилення відносної частоти від ймовірності pв nнезалежних випробуваннях одно
(
.
Зауваження.Обґрунтування цих фактів буде розглянуто в розділі 7 (підрозд. 7.2, 7.3). Теореми Лапласа іноді називають теорем Муавра-Лапласа.
приклад 2.3.
Імовірність появи події у кожному із 900 незалежних випробувань дорівнює 0.5. 1) знайти ймовірність того, що подія відбудеться від 400 до 500 разів; 2) знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,02.
Рішення
1) Р 900
(400<k<500)=
=
2)
=
2.3. Формула Пуассона
Якщо зафіксувати кількість дослідів nа ймовірність появи події в одному досвіді рзмінювати, то багатокутник розподілу матиме різний вигляд залежно від величини р(Рис.2.4). При значеннях p, близькі до 1/2, багатокутник майже симетричний і добре вписується в симетричний графік функції Лапласа. Тому наближена формула Лапласа дає відмінну точність.
Для малих р(на практиці менших 
) наближення погане через несиметричність багатокутника розподілу. Тому постає завдання знайти наближену формулу для обчислення ймовірностей 
у разі великих nта малих р. Відповідь це питання дає формула Пуассона.
Отже, розглянемо схему незалежних випробувань, у якій nвелике (чим більше, тим краще), а рмало (що менше, то краще). Позначимо nр=λ . Тоді за формулою Бернуллі маємо
.
Остання рівність вірна через те, що 
(Друга чудова межа). При отриманні формули найімовірнішого числа появи події k 0 було розглянуто ставлення ймовірностей. З нього випливає, що
Таким чином, при kбагато менших nмаємо рекурентне співвідношення
.
Для k=0 врахуємо отриманий раніше результат: 
тоді
………………
Отже, якщо у схемі незалежних випробувань nвелико, а рмало, то має місце формула Пуассона
Р n (к) 
де λ =
nнар.
Закон Пуассон ще називають законом рідкісних явищ.
Приклад 2.4.
Імовірність випуску бракованої деталі дорівнює 0,02. Деталі пакуються в коробки по 100 штук. Яка ймовірність того, що а) у коробці немає бракованих деталей; б) у коробці більше двох бракованих деталей?
Рішення
a)
Оскільки nвелике, а рмало, маємо ; Р 100
(0)
;
б)Р 100
(k>2)=
1-Р
1-
Таким чином, у схемі незалежних випробувань для обчислення ймовірності Р n (k) слід користуватися формулою Бернуллі, якщо nневелико, а якщо nвелике, то залежно від величини рвикористовується одна із наближених формул Лапласа або формула Пуассона.
тиск безпосередньо під опуклою поверхнею рідини більший за тиск під плоскою поверхнею рідини, а тиск під увігнутою поверхнею рідини менше тиску, ніж під плоскою поверхнею.
Розрахунок тиску під сферичною поверхнею рідини
Вона являє собою тонкий шар води, який має дві поверхні, що обмежують: внутрішню і зовнішню. Радіуси кривизни цих поверхонь можна вважати однаковими, тому що товщина плівки в тисячі разів менша за радіус міхура. Вода з цього шару поступово стікає, шар витончується і рветься. Так що бульбашки по воді плавають не дуже довго: від часток секунди до десятка секунд. Слід зазначити, що з потоншення водяної плівки розмір міхура мало змінюється.
Розрахуємо надлишковий тиск у такому міхурі. Для простоти розглянемо одношарову напівсферу радіусу r, що розташовується на горизонтальній поверхні, так само вважатимемо, що зовні повітря немає. Плівка утримується на заштрихованій поверхні за рахунок змочування (рис. 2.3). При цьому на неї вздовж межі контакту з поверхнею діє сила поверхневого натягу, що дорівнює
де - коефіцієнт поверхневого натягу рідини,
Довжина межі розділу плівка-поверхня дорівнює.
Т. е. маємо:
.
Ця сила, що діє на плівку, а через неї і на повітря, спрямована перпендикулярно до поверхні (див. рис 2.3). Так що тиск повітря на поверхню і, отже, усередині міхура можна розрахувати так:
Де F - сила поверхневого натягу, рівна ,
S - площа поверхні: .
Підставляючи значення сили F та площі S у формулу розрахунку тиску отримаємо:
і остаточно.
У нашому прикладі з повітряним міхуром на поверхні води плівка подвійна і, отже, надлишковий тиск дорівнює .
На малюнку 2.4 наведено приклади одношарових сферичних поверхонь, які можуть утворитися на поверхні рідини. Над рідиною знаходиться газ, що має тиск.
Капілярність (від латів. capillaris - волосяний), капілярний ефект - фізичне явище, що полягає в здатності рідин змінювати рівень у трубках, вузьких каналах довільної форми, пористих тілах. Підняття рідини відбувається у випадках змочування каналів рідинами, наприклад води у скляних трубках, піску, грунті тощо. п. Зниження рідини відбувається у трубках і каналах, що не змочуються рідиною, наприклад, ртуть у скляній трубці.
На основі капілярності заснована життєдіяльність тварин і рослин, хімічні технології, побутові явища (наприклад, підйом гасу за ґнотом у гасовій лампі, витирання рук рушником). Капілярність ґрунту визначається швидкістю, з якою вода піднімається у ґрунті та залежить від розміру проміжків між ґрунтовими частинками.
Формула Лапласа
Розглянемо тонку рідку плівку, завтовшки якої можна знехтувати. Прагнучи мінімізувати свою вільну енергію, плівка створює різницю тиску з різних боків. Цим пояснюється існування мильних бульбашок: плівка стискається доти, доки тиск усередині міхура не перевищуватиме атмосферне на величину додаткового тиску плівки. Додатковий тиск у точці поверхні залежить від середньої кривизни у цій точці і дається формулою Лапласа:
Тут R 1,2 – радіуси головних кривизн у точці. Вони мають однаковий знак, якщо відповідні центри кривизни лежать по один бік від дотичної площини в точці, і різний знак - якщо по різну сторону. Наприклад, для сфери центри кривизни у будь-якій точці поверхні збігаються з центром сфери, тому
Для випадку поверхні кругового циліндра радіуса R маємо
Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p (0< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Таблиця значень функції φ(x); для негативних значень x користуються цією ж таблицею (функція φ(x) парна: φ(-x) = φ(x)).
Приклад №1. У кожному із 700 незалежних випробувань подія A відбувається з постійною ймовірністю 0,35. Знайдіть ймовірність того, що подія A відбувається: а) рівно 270 разів; б) менше ніж 270 та більше ніж 230 разів; в) більше ніж 270 разів.
Рішення.Оскільки кількість дослідів n = 700 досить велика, то використовуємо формули Лапласа.
а) Вказано: n = 700, p = 0,35, k = 270.
Знайдемо P 700 (270). Використовуємо локальну теорему Лапласа.
Знаходимо:
Значення функції φ(x) знайдемо з таблиці:
б) Вказано: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
Знайдемо P 700 (230< k < 270).
Використовуємо інтегральну теорему Лапласа (23) (24). Знаходимо: 
Значення функції Ф(x) знайдемо з таблиці:
в) Вказано: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
Знайдемо P 700 (k> 270).
Маємо:
Приклад №2. При технологічному процесі на ткацькій фабриці відбувається 10 обривів нитки на 100 веретен на годину. Визначте: а) ймовірність того, що протягом години на 80 веретенах станеться 7 обривів нитки; б) найбільше число обривів нитки на 80 веретенах протягом години.
Рішення.Статистична можливість обриву нитки протягом години дорівнює p = 10/100 = 0,1 і, отже, q = 1 - 0,1 = 0,9; n = 80; k = 7.
Оскільки n велике, то використовується локальна теорема Лапласа (23). Обчислюємо: 
Скористаємося властивістю φ(-x) = φ(x), знаходимо φ(0,37) ≈ 0,3726, а потім обчислюємо ймовірність: 
Таким чином, ймовірність того, що протягом години на 80 веретенах відбудеться 7 обривів нитки, приблизно дорівнює 0,139.
Найімовірніше число k 0 настання події при повторних випробуваннях визначимо за формулою (14). Знаходимо: 7,1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.
Приклад №3. Імовірність того, що деталь першого ґатунку дорівнює 0.4. Зроблено 150 деталей. Знайти ймовірність, що серед них 68 деталей першого сорту.
Приклад №4. Імовірність появи події у кожному з незалежних випробувань дорівнює p.
Знайти ймовірність того, що подія відбудеться n разів, якщо проведення m випробувань.
Відповідь подати з точністю до трьох значущих цифр.
р=0.75, n=87, m=120
Властивості рідкого стану. Поверхневий шар. Поверхневий натяг. Змочування. Формула Лапласа. Капілярні явища.
Рідинами називаються речовини, що знаходяться в конденсованому стані, що є проміжним між твердим кристалічним станом і газоподібним станом.
Область існування рідин обмежена із боку високих температур переходом їх у газоподібний стан, із боку низьких температур – переходом у твердий стан.
У рідинах відстань між молекулами значно менша, ніж у газах (щільність рідин в ~ 6000 разів більша за щільність насиченої пари далеко від критичної температури) (рис.1).
Рис.1. Водяна пара (1) та вода (2). Молекули води збільшені приблизно 5·10 7 разів
Отже, сили міжмолекулярної взаємодії рідинах, на відміну газів, є основним чинником, який визначає властивості рідин. Тому рідини, як і тверді тіла, зберігають свій об'єм та мають вільну поверхню. Подібно до твердих тіл рідини характеризуються дуже малою стисливістю і опираються розтягуванню.
Однак сили зв'язків між молекулами рідини не настільки великі, щоб перешкоджати ковзанню шарів рідини щодо один одного. Тому рідини, як і гази, мають плинність. У полі сили тяжіння рідини набувають форми судини, в яку вони налиті.
Властивості речовин визначаються рухом та взаємодією частинок, з яких вони складаються.
У газах у сутичках беруть участь переважно дві молекули. Отже, теорія газів зводиться до розв'язання задачі двох тіл, яка може бути вирішена точно. У твердих тілах молекули здійснюють коливальний рух у вузлах кристалічних ґрат у періодичному полі, створеному іншими молекулами. Таке завдання поведінки частинок у періодичному полі як і вирішується точно.
У рідинах кожну молекулу оточують кілька інших. Завдання подібного типу (завдання багатьох тіл) у загальному вигляді, незалежно від природи молекул, характеру їх розташування досі точно не вирішено.
Досліди щодо дифракції рентгенівських променів, нейтронів, електронів допомогли визначити будову рідин. На відміну від кристалів, у яких спостерігається далекий порядок (регулярність розміщення частинок у великих обсягах), у рідинах на відстанях близько 3 – 4 молекулярних діаметрів порядок розміщення молекул порушується. Отже, у рідинах спостерігається так званий ближній порядок розміщення молекул (рис.2):
Рис.2. Приклад ближнього порядку молекул рідини та далекого порядку молекул кристалічної речовини: 1 – вода; 2 – лід
У рідинах молекули здійснюють малі коливання в межах обмежених міжмолекулярними відстанями. Однак іноді в результаті флуктуацій молекула може отримати від сусідніх молекул енергію, якої вистачить, щоб стрибком переміститися в нове положення рівноваги. У новому положенні рівноваги молекула перебуватиме деякий час, поки знову, в результаті флуктуацій, не отримає енергію необхідну для стрибка. Стрибок молекули відбувається на відстань порівнянна з розмірами молекули. Коливання, які змінюються стрибками, є тепловим рухом молекул рідини.
Середній час, який молекула перебуває в стані рівноваги, називається часом релаксації.. При підвищенні температури енергія молекул збільшується, отже, збільшується ймовірність флуктуацій, час релаксації при цьому зменшується:
(1)
де τ - Час релаксації, B- Коефіцієнт, що має сенс періоду коливань молекули, W – енергія активаціїмолекули, тобто. енергія необхідна для здійснення стрибка молекули.
Внутрішнє тертя в рідинах, як і в газах, виникає при русі шарів рідини через перенос імпульсу в напрямку нормалі до напрямку руху шарів рідини. Перенесення імпульсу від шару до шару відбувається при скачках молекул. Проте, переважно, імпульс переноситься через взаємодії (тяжіння) молекул сусідніх верств.
Відповідно до механізму теплового руху молекул рідини, залежність коефіцієнта в'язкості від температури має вигляд:
(2)
де A- Коефіцієнт, що залежить від дальності стрибка молекули, частоти її коливань і температури, W – енергія активації.
Рівняння (2) – формула Френкеля-Андраді. Температурна залежність коефіцієнта в'язкості переважно визначається експоненційним множником.
Величина зворотна в'язкості називається плинністю. При зниженні температури в'язкість деяких рідин збільшується настільки, що вони практично перестають текти, утворюючи аморфні тіла (скло, пластмаси, смоли тощо).
Кожна молекула рідини взаємодіє із сусідніми молекулами, що знаходяться в зоні дії її молекулярних сил. Результати цієї взаємодії неоднакові для молекул усередині рідини та на поверхні рідини. Молекула, що перебуває всередині рідини, взаємодіє з сусідніми молекулами, що оточують її і, рівнодіюча сила, яка на неї діє, дорівнює нулю (рис.3).
Рис.3. Сили, що діють на молекули рідини
Молекули поверхневого шару знаходяться за інших умов. Щільність пари над рідиною значно менша за щільність рідини. Тому на кожну молекулу поверхневого шару діє рівнодіюча сила, спрямована нормалі всередину рідини (рис.3). Поверхневий шар чинить тиск на решту рідини подібно до пружної плівки. Молекули, що у цьому шарі також притягуються друг до друга (рис.4).
Рис.4. Взаємодія молекул поверхневого шару
Ця взаємодія створює сили, спрямовані по дотичній до поверхні рідини і прагнуть скоротити поверхню рідини.
Якщо на поверхні рідини провести довільну лінію, то нормалі до лінії і дотичної до поверхні будуть діяти сили поверхневого натягу. Величина цих сил пропорційна числу молекул, що знаходяться вздовж цієї лінії, отже, пропорційна довжині лінії:
(3)
де σ - Коефіцієнт пропорційності, який називається коефіцієнтом поверхневого натягу:
(4)
Коефіцієнт поверхневого натягу чисельно дорівнює силі поверхневого натягу, що діє на одиницю довжини контуру, що обмежує поверхню рідини.
Коефіцієнт поверхневого натягу вимірюється Н/м. Величина σ залежить від роду рідини, температури, домішок. Речовини, що зменшують поверхневий натяг, називаються поверхнево – активними(Спирт, мило, пральний порошок і т.д.).
Щоб збільшити площу поверхні рідини, необхідно виконати роботу проти сил поверхневого натягу. Визначимо величину цієї роботи. Нехай є рамка з рідкою плівкою (наприклад, мильною) та рухомою поперечиною (рис.5).
Рис.5. Рухомий бік дротяної рамки знаходиться в рівновазі під дією зовнішньої сили F вн і результуючої сил поверхневого натягу F н
Розтягнемо плівку силою F вн на dx. Очевидно:
де Fн = σL-Сила поверхневого натягу. Тоді:
де dS = Ldx- Збільшення площі поверхні плівки. З останнього рівняння:
(5)
Відповідно (5) коефіцієнт поверхневого натягу чисельно дорівнює роботі необхідної збільшення площі поверхні на одиницю за постійної температурі. З (5) видно, що може вимірюватися в Дж/м 2 .
Якщо рідина межує з іншою рідиною або з твердим тілом, то через те, що щільності дотичних речовин можна порівняти, не можна не звертати уваги на взаємодію молекул рідини з молекулами речовин, що межують з нею.
Якщо при контакті рідини та твердого тіла взаємодія між їх молекулами сильніша, ніж взаємодія між молекулами самої рідини, то рідина прагне збільшити поверхню дотику та розтікається поверхнею твердого тіла. У цьому випадку рідина змочує тверде тіло. Якщо взаємодія між молекулами рідини сильніша, ніж взаємодія між молекулами рідини та твердого тіла, то рідина скорочує поверхню зіткнення. У цьому випадку рідина не змочує тверде тіло. Наприклад: вода змочує скло, але змочує парафін, ртуть змочує поверхні металів, але з змочує скло.
Рис.6. Різні форми краплі на поверхні твердого тіла для випадків несмачивающей (а) і змочує (б) рідин
Розглянемо краплю рідини лежить на поверхні твердого тіла (рис.7):
Рис.7. Схеми до розрахунку рівноваги краплі на поверхні твердого тіла для випадків несмачивающей (а) і змочує (б) рідин: 1 - газ, 2 - рідина, 3 - тверде тіло
Форма краплі визначається взаємодією трьох середовищ: газу – 1, рідини – 2 та твердого тіла – 3. У всіх цих середовищ є загальна межа – коло, що обмежує краплю. На елемент довжини dlцього контуру, діятимуть сили поверхневого натягу: F 12 = σ 12 dl– між газом та рідиною, F 13 = σ 13 dl- між газом та твердим тілом, F 23 = σ 23 dl– між рідиною та твердим тілом. Якщо dl=1м, то F 12 = σ 12 , F 13 = σ 13 , F 23 = σ 23 . Розглянемо випадок коли:
Це означає, що<θ = π (Рис.7, а). Окружність, яка обмежує місце зіткнення рідини з твердим тілом, стягуватиметься в крапку і крапля набуває еліпсоїдальної або сферичної форми. Це випадок повного незмочування. Повне незмочування спостерігається також і у разі: σ 23 > σ 12 + σ 13 .
Інший граничний випадок спостерігатиметься якщо:
Це означає, що<θ = 0 (рис.7, б), спостерігається повне змочування. Повне змочування спостерігатиметься і у разі коли: σ 13 > σ 12 + σ 23 . У цьому випадку рівноваги не буде, ні за яких значень кута θ , і рідина розтікатиметься по поверхні твердого тіла аж до мономолекулярного шару.
Якщо крапля знаходиться в рівновазі, то рівнодіюча всіх сил, що діють елемент довжини контуру дорівнює нулю. Умова рівноваги у разі:
Кут між дотичними до поверхні твердого тіла і поверхні рідини, який відраховується всередині рідини,називається крайовим кутом.
Його значення визначається з (6):
(7)
Якщо σ 13 > σ 23 , то cos θ > 0, кут θ гострий – має місце часткове змочування, якщо σ 13 < σ 23 , то cos θ < 0 – угол θ тупий - має місце часткове незмочування. Таким чином, крайовий кут є величиною, що характеризує ступінь змочування або незмочування рідини
Кривизна поверхні рідини призводить до виникнення додаткового тиску, що діє на рідину під цією поверхнею. Визначимо величину додаткового тиску під викривленою поверхнею рідини. Виділимо на довільній поверхні рідини елемент площею ∆ S(Рис.8):
Рис.8. До розрахунку величини додаткового тиску
O′ O– нормаль до поверхні у точці O. Визначимо сили поверхневого натягу, що діють на елементи контуру. ABі CD. Сили поверхневого натягу Fі F′, які діють на ABі CD, перпендикулярні ABі CDта спрямовані по дотичній до поверхні ∆ S. Визначимо величину сили F:
Розкладемо силу Fна дві складові f 1 і f′. Сила f 1 паралельна O′ Oта спрямована всередину рідини. Ця сила збільшує тиск на внутрішні області рідини (друга складова розтягує поверхню і величину тиску не впливає).
Проведемо площину перпендикулярну ∆ Sчерез крапки M, Oі N. Тоді R 1 – радіус кривизни поверхні у бік цієї площини. Проведемо площину перпендикулярну ∆ Sта першої площини. Тоді R 2 – радіус кривизни поверхні у бік цієї площини. У загальному випадку R 1 ≠ R 2 . Визначимо складову f 1 . З малюнка видно:
Врахуємо, що:
(8)
Силу F′ розкладемо на такі самі дві складові та аналогічно визначимо складову f 2 (на малюнку не показано):
(9)
Розмірковуючи аналогічно, визначимо складові сил, що діють на елементи. ACі BD, враховуючи, що замість R 1 буде R 2:
(10)
Знайдемо суму всіх чотирьох сил, що діють на контур ABDCі надають додатковий тиск на внутрішні області рідини:
Визначимо величину додаткового тиску:
Отже:
(11)
Рівняння (11) називається формулою Лапласа. Додатковий тиск, який чинить викривлена поверхня рідини на внутрішні області рідини, називається лапласівським тиском.
Лапласівський тиск явно спрямований до центру кривизни поверхні. Тому у разі опуклої поверхні воно спрямоване всередину рідини та додається до нормального тиску рідини. У разі увігнутої поверхні рідина буде під меншим тиском, ніж рідина під плоскою поверхнею, т.к. Лапласівський тиск спрямований за межі рідини.
Якщо поверхня сферична, то: R 1 = R 2 = R:
Якщо поверхня циліндрична, то: R 1 = R, R 2 = ∞:
Якщо поверхня пласка то: R 1 = ∞, R 2 = ∞:
Якщо поверхонь дві, наприклад, мильна бульбашка, то лапласівський тиск подвоюється.
З явищами змочування та незмочування пов'язані так звані капілярні явища. Якщо рідина опустити капіляр (трубка малого діаметра), то поверхня рідини в капілярі приймає увігнуту форму, близьку до сферичної у разі змочування і опуклу у разі незмочування. Такі поверхні називаються меніски.
Капілярами називаються такі трубки, в яких радіус меніска приблизно дорівнює радіусу трубки.
Мал. 9. Капіляр у змочуючій (а) та не змочуючій (б) рідинах
Рис.10. Підйом рідини у капілярі у разі змочування
У разі увігнутого меніска додатковий тиск спрямований до центру кривизни поза рідиною. Тому тиск під меніском менший за тиск під плоскою поверхнею рідини в посудині на величину лапласівського тиску:
R– радіус меніска, r- Радіус капілярної трубки.
Отже, лапласівський тиск викличе підйом рідини в капілярі на таку висоту. h(рис.9), поки гідростатичний тиск стовпа рідини не врівноважить лапласівський тиск:
З останнього рівняння:
(12)
Рівняння (12) називається формулою Жюрена. Якщо рідина не змочує стінки капіляра, меніск опуклий, cos θ < 0, то жидкость в этом случае опускается ниже уровня жидкости в сосуде на такую же глубину hзгідно з формулою (12) (рис.9).