Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!
Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.
Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.
Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.
Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.
На дошці написано 100 різних натуральних чисел із сумою 5120.
а) Чи може бути записано число 230?
б) Чи можна обійтися без числа 14?
в) Яка найменша кількість чисел, кратних 14, може бути на дошці?
Рішення.
а) Нехай на дошці написано число 230 та 99 інших різних натуральних чисел. Мінімально можлива сума чисел на дошці досягається за умови, що сума 99 різних натуральних чисел мінімальна. А це, у свою чергу, можливо, якщо 99 різних натуральних числа - арифметична прогресія з першим членом та різницею. Сума цих чисел, за формулою суми арифметичної прогресії, складе:
Сума всіх чисел на дошці Sдорівнюватиме:
Неважко помітити, що отримана сума більша, ніж 5120, а це означає, що і будь-яка сума 100 різних натуральних чисел, серед яких є 230, більше 5120, отже, числа 230 на дошці бути не може.
б) Нехай на дошці не записано число 14. У такому разі мінімально можлива сума Sчисел на дошці складатиметься з двох сум арифметичних прогресій: суми перших 13 членів прогресії з першим членом, різницею (тобто ряду 1,2,3,..13) та суми перших 87 членів прогресії з першим членом, різницею (тобто ряду 15,16,17,..101). Знайдемо цю суму:
Неважко помітити, що отримана сума більша, ніж 5120, а це означає, що і будь-яка сума 100 різних натуральних чисел, серед яких немає 14, більше 5120, отже, без числа 14 на дошці обійтися не можна.
в) Припустимо, що на дошці виписані всі числа від 1 до 100. Тоді виходить, що отриманий ряд становить арифметичну прогресію з першим членом, різницею. За формулою для суми арифметичної прогресії знайдемо суму всіх чисел на дошці:
Отримана сума не задовольняє умову завдання. Тепер, щоб збільшити суму всіх чисел, написаних на дошці до зазначеної в умові, спробуємо замінити числа, кратні 14 на інші числа, наступні за сотнею: 70 замінимо на 110, 84 – на 104, а 98 – на 108. Отримана сума Sдорівнюватиме:
При подальшій заміні чисел, кратних 14 числа, більші 100, сума буде збільшуватися і не відповідати умові завдання. Таким чином, найменша кількість чисел, кратних 14, дорівнює 4.
Наведемо інше рішення пункту в).
Наведемо приклад, коли на дошці написано чотири числа, кратних 14 (14, 28, 42, 56):
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Доведемо, що не може бути трьох чисел, кратних 14. Щоб усунути максимальну кількість чисел, кратних 14, необхідно, щоб різниці між новими і старими числами були мінімальними. Тобто замінювати треба найбільші числа, кратні 14, найменші можливі, великі ста числа. Нехай кількість чисел, кратних 14, дорівнює 3. Тоді мінімальна сума записаних на дошці чисел дорівнює:
Отримана сума більша, ніж 5120. При подальшій заміні чисел, кратних 14, на числа, більші за 100, сума буде збільшуватися, отже, на дошці не може бути менше чотирьох чисел, кратних 14.
А) Ні б) Ні в) 4.
На дошці написано 100 різних натуральних чисел із сумою 5120.
а) Чи може бути записано число 230?
б) Чи можна обійтися без числа 14?
в) Яка найменша кількість чисел, кратних 14, може бути на дошці?
Рішення.
а) Нехай на дошці написано число 230 та 99 інших різних натуральних чисел. Мінімально можлива сума чисел на дошці досягається за умови, що сума 99 різних натуральних чисел мінімальна. А це, у свою чергу, можливо, якщо 99 різних натуральних числа - арифметична прогресія з першим членом та різницею. Сума цих чисел, за формулою суми арифметичної прогресії, складе:
Сума всіх чисел на дошці Sдорівнюватиме:
Неважко помітити, що отримана сума більша, ніж 5120, а це означає, що і будь-яка сума 100 різних натуральних чисел, серед яких є 230, більше 5120, отже, числа 230 на дошці бути не може.
б) Нехай на дошці не записано число 14. У такому разі мінімально можлива сума Sчисел на дошці складатиметься з двох сум арифметичних прогресій: суми перших 13 членів прогресії з першим членом, різницею (тобто ряду 1,2,3,..13) та суми перших 87 членів прогресії з першим членом, різницею (тобто ряду 15,16,17,..101). Знайдемо цю суму:
Неважко помітити, що отримана сума більша, ніж 5120, а це означає, що і будь-яка сума 100 різних натуральних чисел, серед яких немає 14, більше 5120, отже, без числа 14 на дошці обійтися не можна.
в) Припустимо, що на дошці виписані всі числа від 1 до 100. Тоді виходить, що отриманий ряд становить арифметичну прогресію з першим членом, різницею. За формулою для суми арифметичної прогресії знайдемо суму всіх чисел на дошці:
Отримана сума не задовольняє умову завдання. Тепер, щоб збільшити суму всіх чисел, написаних на дошці до зазначеної в умові, спробуємо замінити числа, кратні 14 на інші числа, наступні за сотнею: 70 замінимо на 110, 84 – на 104, а 98 – на 108. Отримана сума Sдорівнюватиме:
При подальшій заміні чисел, кратних 14 числа, більші 100, сума буде збільшуватися і не відповідати умові завдання. Таким чином, найменша кількість чисел, кратних 14, дорівнює 4.
Наведемо інше рішення пункту в).
Наведемо приклад, коли на дошці написано чотири числа, кратних 14 (14, 28, 42, 56):
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Доведемо, що не може бути трьох чисел, кратних 14. Щоб усунути максимальну кількість чисел, кратних 14, необхідно, щоб різниці між новими і старими числами були мінімальними. Тобто замінювати треба найбільші числа, кратні 14, найменші можливі, великі ста числа. Нехай кількість чисел, кратних 14, дорівнює 3. Тоді мінімальна сума записаних на дошці чисел дорівнює:
Отримана сума більша, ніж 5120. При подальшій заміні чисел, кратних 14, на числа, більші за 100, сума буде збільшуватися, отже, на дошці не може бути менше чотирьох чисел, кратних 14.
А) Ні б) Ні в) 4.