Що таке послідовність визначення. Послідовність послідовний

Визначення.
Числовою послідовністю ( x n ) називається закон (правило), згідно з яким, кожному натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставиться у відповідність деяке число x n.
Елемент x n називають n-м членом чи елементом послідовності.

Послідовність позначається як n -го члена, укладеного у фігурні дужки: . Також можливі такі позначення: . Вони явно вказується, що індекс n належить безлічі натуральних чисел і сама послідовність має нескінченне число членів. Ось кілька прикладів послідовностей:
, , .

Тобто числова послідовність - це функція, областю визначення якої є безліч натуральних чисел. Число елементів послідовності нескінченне. Серед елементів можуть і члени, мають однакові значення. Також послідовність можна розглядати як нумеровану множину чисел, що складається з нескінченного числа членів.

Головним чином нас буде цікавити питання - як поводяться послідовності, що при n прагне до нескінченності: . Цей матеріал викладається в розділі Межа послідовності – основні теореми та властивості. А тут ми розглянемо кілька прикладів послідовностей.

Приклади послідовностей

Приклади послідовностей, що необмежено зростають

Розглянемо послідовність. Загальний член цієї послідовності. Випишемо кілька перших членів:
.
Видно, що зі зростанням номера n елементи необмежено зростають у бік позитивних значень. Можна сміливо сказати, що це послідовність прагне : при .

Тепер розглянемо послідовність із загальним членом. Ось її кілька перших членів:
.
Зі зростанням номера n елементи цієї послідовності необмежено зростають по абсолютній величині, але не мають постійного знака. Тобто ця послідовність прагне: при.

Приклади послідовностей, що сходяться до кінцевого числа

Розглянемо послідовність. Її загальний член. Перші члени мають такий вигляд:
.
Видно, що зі зростанням номера n елементи цієї послідовності наближаються до свого граничного значення a = 0 : при . Отже, кожен наступний член ближче до нуля, ніж попередній. У певному сенсі вважатимуться, що є наближене значення числа a = 0 з похибкою. Ясно, що зі зростанням n ця похибка прагне нуля, тобто вибором n , похибка можна зробити як завгодно малою. Причому для будь-якої заданої похибки ε > 0 можна вказати такий номер N, що для всіх елементів з номерами більшими за N:, відхилення числа від граничного значення a не перевищить похибки ε:.

Далі розглянемо послідовність. Її загальний член. Ось кілька її перших членів:
.
У цій послідовності члени з парними номерами дорівнюють нулю. Члени з непарними n рівні. Тому, зі зростанням n, їх величини наближаються до граничного значення a = 0 . Це випливає також із того, що
.
Також як і в попередньому прикладі, ми можемо вказати як завгодно малу похибку ε > 0 , для якої можна знайти такий номер N , що елементи з номерами більшими ніж N відхилятимуться від граничного значення a = 0 на величину, яка не перевищує заданої похибки. Тому ця послідовність сходить до значення a = 0 : при .

Приклади послідовностей, що розходяться

Розглянемо послідовність із наступним загальним членом:

Ось її перші члени:

.
Видно, що члени з парними номерами:
,
сходяться до значення a 1 = 0 . Члени з непарними номерами:
,
сходяться до значення a 2 = 2 . Сама ж послідовність, зі зростанням n, не сходиться до жодного значення.

Послідовність із членами, розподіленими в інтервалі (0;1)

Тепер розглянемо цікавішу послідовність. На числовий прямий візьмемо відрізок. Поділимо його навпіл. Отримаємо два відрізки. Нехай
.
Кожен із відрізків знову поділимо навпіл. Отримаємо чотири відрізки. Нехай
.
Кожен відрізок знову поділимо навпіл. Візьмемо

.
І так далі.

В результаті отримаємо послідовність, елементи якої розподілені у відкритому інтервалі (0; 1) . Яку б ми не взяли крапку із закритого інтервалу , ми завжди можемо знайти члени послідовності, які виявляться як завгодно близько до цієї точки, або збігаються з нею.

Тоді з вихідної послідовності можна виділити таку підпослідовність, яка сходитиметься до довільної точки з інтервалу . Тобто зі зростанням номера n, члени підпослідовності все ближче підходитимуть до вибраної точки.

Наприклад, для точки a = 0 можна вибрати наступну підпослідовність:
.
= 0 .

Для точки a = 1 виберемо таку підпослідовність:
.
Члени цієї підпослідовності сходяться до значення a = 1 .

Оскільки існують підпослідовності, що сходяться до різних значень, то сама вихідна послідовність не сходиться до жодного числа.

Послідовність, що містить усі раціональні числа

Тепер побудуємо послідовність, яка містить усі раціональні числа. Причому кожне раціональне число входитиме в таку послідовність нескінченне число разів.

Раціональне число r можна подати у такому вигляді:
,
де – ціле; - Натуральне.
Нам потрібно кожному натуральному числу n поставити у відповідність пару чисел p і q так, щоб будь-яка пара p і q входила до нашої послідовності.

Для цього на площині проводимо осі p і q. Проводимо лінії сітки через цілі значення p і q. Тоді кожен вузол цієї сітки буде відповідати раціональному числу. Усі безліч раціональних чисел буде представлено безліччю вузлів. Нам потрібно знайти спосіб пронумерувати всі вузли, щоби не пропустити жоден вузол. Це легко зробити, якщо нумерувати вузли квадратів, центри яких розташовані в точці (0; 0) (Див. малюнок). При цьому нижні частини квадратів з q < 1 нам не потрібні. Тому вони не відображені на малюнку.

Отже, для верхньої сторони першого квадрата маємо:
.
Далі нумеруємо верхню частину наступного квадрата:

.
Нумеруємо верхню частину наступного квадрата:

.
І так далі.

У такий спосіб ми отримуємо послідовність, що містить усі раціональні числа. Можна помітити, що будь-яке раціональне число входить до цієї послідовності нескінченне число разів. Справді, поруч із вузлом , у цю послідовність також входитимуть вузли , де - натуральне число. Але всі ці вузли відповідають тому самому раціональному числу.

Тоді з побудованої нами послідовності ми можемо виділити підпослідовність (що має нескінченну кількість елементів), всі елементи якої рівні наперед заданому раціональному числу. Оскільки побудована нами послідовність має підпослідовності, що сходяться до різних чисел, то послідовність не сходиться до якого числа.

Висновок

Тут ми дали точне визначення числової послідовності. Також ми порушили питання про її збіжність, ґрунтуючись на інтуїтивних уявленнях. Точне визначення збіжності розглядається на сторінці Визначення межі послідовності. Пов'язані з цим властивості та теореми викладені на сторінці

Послідовність

Послідовність- це набірелементів деякої множини:

для кожного натурального числа можна вказати елемент даної множини;
це число є номером елемента та позначає позицію даного елемента в послідовності;
для будь-якого елемента (члена) послідовності можна вказати наступний за ним елемент послідовності.

Таким чином, послідовність виявляється результатом послідовноговибору елементів заданої множини. І якщо будь-який набір елементів є кінцевим, і говорять про вибірку кінцевого об'єму, то послідовність виявляється вибіркою нескінченного об'єму.

Послідовність за своєю природою – відображення, тому його не слід змішувати з безліччю, яка «пробігає» послідовність.

У математиці розглядається безліч різних послідовностей:

тимчасові ряди як числової, так і не числової природи;
послідовності елементів метричного простору
послідовності елементів функціонального простору
послідовності станів систем управління та автоматів.

Метою вивчення різноманітних послідовностей є пошук закономірностей, прогноз майбутніх станів та генерація послідовностей.

Визначення

Нехай задано кілька елементів довільної природи. | Будь-яке відображення безлічі натуральних чисел у задану множину називається послідовністю(Елементів множини).

Образ натурального числа , а саме, елемент , називається - їм членомабо елементом послідовності, А порядковий номер члена послідовності - її індексом.

Пов'язані визначення

Якщо взяти зростаючу послідовність натуральних чисел, то її можна розглядати як послідовність індексів деякої послідовності: якщо взяти елементи вихідної послідовності з відповідними індексами (взято з зростаючої послідовності натуральних чисел), то можна знову отримати послідовність, яка називається підпослідовністюзаданої послідовності.

Коментарі

У математичному аналізі важливим поняттям є межа числової послідовності.

Позначення

Послідовності виду

прийнято компактно записувати за допомогою круглих дужок:

або

іноді використовуються фігурні дужки:

Допускаючи деяку вільність мови, можна розглядати і кінцеві послідовності виду

які є образ початкового відрізка послідовності натуральних чисел.

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Синоніми:

Дивитися що таке "Послідовність" в інших словниках:

НАСЛІДНІСТЬ. У І. В. Кірєєвського у статті «Дев'ятнадцяте століття» (1830) читаємо: «Від самого падіння Римської імперії до наших часів просвітництво Європи представляється нам у поступовому розвитку та в безперервній послідовності» (т. 1, с.… … Історія слів

НАСЛІДНІСТЬ, послідовності, мн. ні, дружин. (Книжковий.). відволікати. сущ. до послідовного. Послідовність якихось явищ. Послідовність у зміні припливів та відливів. Послідовність у міркуваннях. Тлумачний словник Ушакова. Тлумачний словник Ушакова

Постійність, наступність, логічність; ряд, прогресія, висновок, серія, низка, низка, ланцюг, ланцюжок, каскад, естафета; завзятість, обґрунтованість, набір, методичність, розстановка, стрункість, завзятість, підпослідовність, зв'язок, черга, … Словник синонімів

НАСЛІДНІСТЬ, числа або елементи, розташовані в організованому порядку. Послідовності можуть бути кінцевими (що мають обмежену кількість елементів) або нескінченними як повна послідовність натуральних чисел 1, 2, 3, 4 ....… … Науково-технічний енциклопедичний словник

НАСЛІДНІСТЬ, сукупність чисел (математичних виразів тощо; кажуть: елементів будь-якої природи), занумерованих натуральними числами. Послідовність записується як x1, x2,..., xn,... чи коротко (xi) … Сучасна енциклопедія

Одне з основних понять математики. Послідовність утворюється елементами будь-якої природи, занумерованими натуральними числами 1, 2, ..., n, ... і записується у вигляді x1, x2, ..., xn, ... або коротко (xn) … Великий Енциклопедичний словник

Послідовність- НАСЛІДНІСТЬ, сукупність чисел (математичних виразів тощо; кажуть: елементів будь-якої природи), занумерованих натуральними числами. Послідовність записується як x1, x2, ..., xn, ... чи коротко (xi). … Ілюстрований енциклопедичний словник

НАСЛІДНІСТЬ, і, дружин. 1. див. Послідовний. 2. У математиці: нескінченний упорядкований набір чисел. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

Англ. succession/sequence; ньому. Konsequenz. 1. Порядок проходження одного за іншим. 2. Одне з основних понять математики. 3. Якість правильного логічного мислення, при тому міркування вільно від внутрішніх протиріч по одному й тому ... ... Енциклопедія соціології

Послідовність- «функція, визначена на множині натуральних чисел, безліч значень якої може складатися з елементів будь-якої природи: чисел, точок, функцій, векторів, множин, випадкових величин та ін, занумерованих натуральними числами … Економіко-математичний словник

Книги

Вибудовуємо послідовність. Кошенята. 2-3 роки, . Гра "Кошенята". Вибудовуємо послідовність. 1 рівень. Серія "Дошкільна освіта". Веселі кошенята вирішили позасмагати на пляжі! Але не можуть поділити місця. Допоможи їм…

Послідовність як якість особистості – схильність невідступно слідувати чомусь, неухильно проводити в життя що-небудь, здійснювати дії, які безперервно йдуть одна за одною.

Один знатний купець, почувши про дивовижні здібності побожного старця, прийшов до нього в печеру з проханням: «О, шановний праведнику! Напиши для моєї родини якесь добре побажання. Я дуже люблю своїх дітей та онуків. І я хочу, щоб вони були щасливими. Дай нам свій заповіт». Благочестивий старець узяв папір, перо — і купець одразу отримав те, про що питав. Побажання було дуже коротким: "Помер дід, помер син, помер онук". — Що ти тут написав, божевільний?! – замахав руками розгніваний купець. - Хіба я прийшов до тебе за прокльонами? - Ти нічого не зрозумів, - відповів праведник. – Усі ми колись повернемося до Небесного Батька. Але прокляття було б, якби я написав: «Помер онук, помер син, помер дід». А ця послідовність правильна. Якщо ви підете у такому порядку, це буде щастям.

Послідовна людина – герой нашого часу, у якому як ніколи високо цінуються практично-аналітичний склад розуму, здоровий прагматизм та реалізм. Роботодавці, які представляють великі організації з амбітними цілями та завданнями, віддають перевагу людям, у яких послідовність стала яскраво вираженою якістю особистості. У претендентах їх спокушає надійність, передбачуваність, розважливість, рішучість та переконаність у своїх поглядах. Будь-якому керівнику буде до душі впевнена в собі людина, яка вивіреними, відточеними та непохитними діями послідовно найкоротшим шляхом виконує поставлене перед ним завдання.

Послідовність – рідна сестра цілеспрямованості – здатності рішуче, наполегливо й наполегливо прагнути реалізації своєї мети. Послідовна людина не впустить мети, вона знає свій шлях і нікуди з неї не зверне. Шлях до високої мети може бути звивистим і довгим. Сторонньому спостерігачеві можуть здатися абсурдними якісь окремі дії послідовності. А «скринька просто відкривається» — вона чітко бачить кінцевий результат своїх дій. Окремі дії складаються в логічний ланцюжок, що приводить послідовність до задуманої мети.

Послідовність – улюблениця мети, їй внутрішньо притаманні постійність і зосередженість на якомусь виді робіт, без яких неможливо досягти гідної мети. Послідовна людина безперервно, не відволікаючись від поставленого завдання, виконує до кінця одну справу і потім переходить до іншого. Він точно і правильно розподіляє час за етапами та періодами, причому постійно обмірковуючи, де і як можна заощадити час.

Найчастіше люди заграють із послідовністю і, не будучи її справжнім власником, відразу отримують від життя повчальний урок за її ілюзію. Необдумано і швидко прийнявши якесь рішення вчора, вони вже вранці не знаходять собі місця – бути непослідовним соромно і неавторитетно. Тому вчорашнє рішення, хоч би яким дурним воно було, доводиться неохоче виконувати, щоб не «впустити честь мундира». Але раптом з'ясовується його суперечливість і шкідливість для справи. Включати впертість? Собі ще більше зашкодити. Піти назад? Говоритимуть, що має сім п'ятниць на тижні. І починається шарахання в думках, діях та вчинках. Людину лихоманить страх перед покаранням, а й перед начальством невигідно оголювати фрагментарність своєї натури. У результаті лжепретенденту на послідовність дорого обходиться ілюзія своєї особистісної цілісності.

Послідовність завжди високо котирувалася громадською думкою, вважалася одним із атрибутів справедливості, тому люди успадкували від своїх далеких предків прагнення виглядати послідовними у своїх словах та справах. Вона завжди асоціювалася з інтелектуальністю, силою, логікою, раціональністю, стабільністю та чесністю. Як сказав великий англійський фізик Майкл Фарадей, послідовність часом схвалюється більшою мірою, ніж правота. Коли Фарадея якось після лекції запитали, чи не вважає він, що ненавидимий ним вчений суперник завжди неправий, Фарадей сердито подивився на запитувача і відповів: «Він не настільки послідовний». Непослідовна людина – невигідний соціальний статус як символ легковажності, непостійності та ненадійності. З ним ніхто не хоче мати справи. Цілком зрозуміло, чому люди побоюються уславитися непослідовними – це пряма загроза опинитися на громадських задвірках.

Страх бути непослідовним – напрочуд цікавий та привабливий об'єкт маніпуляцією людьми. Послідовність, як велика людська гідність, як чудова якість особистості, стає гачком, за який маніпулятори чіпляють люди задля досягнення своїх корисливих цілей. Справа в тому, що атрибутом послідовності є автоматизм, певна машинальність у виконанні своїх дій. В цілому автоматизм раціональний і корисний, дозволяючи людині не замислюватися щоразу над кожною своєю дією і тим самим економити масу часу.

Роберт Б. Чалдіні зауважив: «Оскільки нам зазвичай корисно бути послідовними, ми піддаємося спокусі бути такими автоматично, навіть у ситуаціях, коли це нерозсудливо. Якщо послідовність проявляється бездумно, вона може бути згубною… Автоматичне прагнення до послідовності є свого роду щитом, який виставляє мислення. Не дивно, що цей механізм інтенсивно використовується тими, хто воліє, щоб ми не реагували на їхні вимоги. Для таких експлуататорів наше автоматичне прагнення до послідовності є золотою жилою. Вони вміють так спритно змусити нас програвати свої «магнітофонні записи послідовності», коли їм це вигідно, що ми навіть не усвідомлюємо, що нас упіймали. У чудово відточеному стилі джиу-джитсу такі люди вибудовують взаємини з нами таким чином, що наше власне бажання бути послідовним приносить їм прямий зиск».

Розглянемо прийом маніпуляторів «Починай із малого». Одного разу сказавши «Так», підтвердивши свою згоду, надалі людина стає поступливішою і поступливішою. Поступившись у дрібницях, наступне прохання, якщо вона буде логічним продовженням першого прохання, людина виконує, відштовхуючись тільки від принципу послідовності. «Ми їдемо у відпустку, – каже сусід, – у нас до Вас величезне прохання – поливати квіти у квартирі. Ось ключі». Ви даєте згоду і почуваєтеся безкорисливою людиною, чи не альтруїстом. Через півроку він знову звертається до Вас: «Ми відлітаємо з дружиною на два тижні до Тайланду. Знову до Вас величезне прохання – поливати квіти та доглядати за нашим песиком. Його треба вранці та ввечері вигулювати, а корм ми Вам залишаємо». Вам вже незручно бути непослідовним, можна, звичайно, відмовитись, але Ви вже розумієте, як неприємно потім буде на душі, адже Ви – альтруїст, треба відповідати високому значенню цього слова.

До прийомів маніпуляції на прагненні людей бути послідовними можна також віднести письмову згоду. Більшість людей, підписуючись під якоюсь заявою чи анкетою, надалі автоматично починають захищати те, що там було прописано, навіть якщо підпис ставився на «автопілоті», машинально чи під впливом обставин.

"Добре" себе зарекомендував прийом "публічна заява про хороший стан справ". Коли з людей хочуть вивудити гроші на благодійність, починають здалеку: наприклад, із питань про фінансовий стан фірми чи саму людину. «Як ваша фірма почувається на ринку? Чи вважаєте ви себе успішною та активною людиною?». Коли люди розслабляються, йде атака: «Чи погодитеся ви допомогти нужденним?» Людям, які заявили про добрий стан справ, вже важко бути непослідовними. Маніпулятори досить потирають руки і радіють, що люди мають таку якість особистості як «годувальниця ти наша, Послідовність!»

Петро Ковальов

Математика - наука, що будує світ. Як вчений, так і проста людина - ніхто не зможе обійтися без неї. Спочатку маленьких дітей вчать рахувати, потім складати, віднімати, множити і ділити, до середньої школи вступають літерні позначення, а старшій без них вже не обійтися.

Але сьогодні йтиметься про те, на чому будується вся відома математика. Про угруповання чисел під назвою «межі послідовностей».

Що таке послідовності і де їхня межа?

Значення слова "послідовність" трактувати неважко. Це така побудова речей, де хтось чи щось розташований у певному порядку чи черзі. Наприклад, черга за квитками до зоопарку — це послідовність. До того ж вона може бути тільки одна! Якщо, наприклад, подивитися на чергу до магазину – це одна послідовність. А якщо одна людина з цієї черги раптом піде, то це вже інша черга, інший порядок.

Слово "межа" також легко трактується - це кінець чогось. Однак у математиці межі послідовностей — це значення на числової прямий, яких прагне послідовність чисел. Чому прагне, а чи не закінчується? Все просто, у числовій прямій немає кінця, а більшість послідовностей, як промені, мають тільки початок і виглядають так:

х 1, х 2, х 3, … х n …

Звідси визначення послідовності – функція натурального аргументу. Простішими словами - це ряд членів деякої множини.

Як будується числова послідовність?

Найпростіший приклад числової послідовності може мати такий вигляд: 1, 2, 3, 4, …n…

Найчастіше для практичних цілей послідовності будуються із цифр, причому кожен наступний член ряду, позначимо його Х, має своє ім'я. Наприклад:

х 1 - перший член послідовності;

х 2 - другий член послідовності;

х 3 - третій член;

х n - енний член.

У практичних методах послідовність задається загальною формулою, де є деяка змінна. Наприклад:

Х n =3n, тоді сам ряд чисел виглядатиме так:

Варто не забувати, що при загальному записі послідовностей можна використовувати будь-які латинські літери, а не лише Х. Наприклад: y, z, k і т.д.

Арифметична прогресія як частина послідовностей

Перш ніж шукати межі послідовностей, доцільно глибше поринути у саме поняття подібного числового ряду, з яким усі стикалися, будучи середніх класах. Арифметична прогресія — це низка чисел, у якому різниця між сусідніми членами стала.

Завдання: «Нехай а 1 = 15, а крок прогресії числового ряду d = 4. Побудуйте перші 4 члени цього ряду»

Рішення: а 1 = 15 (за умовою) - перший член прогресії (числового ряду).

а 2 = 15 + 4 = 19 - другий член прогресії.

а 3 = 19 + 4 = 23 - третій член.

а 4 = 23 + 4 = 27 - четвертий член.

Однак подібним методом важко дістатися великих значень, наприклад до а 125. . Спеціально для таких випадків було виведено зручну для практики формулу: а n =a 1 +d(n-1). У разі а 125 =15+4(125-1)=511.

Види послідовностей

Більшість послідовностей нескінченні, це варто запам'ятати протягом усього життя. Існує два цікаві види числового ряду. Перший задається формулою а n = (-1) n . Математики часто називають цю послідовність мигалкою. Чому? Перевіримо її числовий ряд.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 і т. д. На подібному прикладі стає ясно, що числа в послідовностях можуть легко повторюватися.

Факторіальна послідовність. Легко здогадатися - у формулі, що задає послідовність, є факторіал. Наприклад: а n = (n+1)!

Тоді послідовність буде виглядати так:

а 2 = 1х2х3 = 6;

а 3 = 1х2х3х4 = 24 і т.д.

Послідовність, задана арифметичною прогресією, називається нескінченно спадною, якщо всім її членів дотримується нерівність -1

а 3 = - 1/8 тощо.

Існує навіть послідовність, що складається з одного й того ж числа. Так, а n = 6 складається з нескінченної множини шісток.

Визначення межі послідовності

Межі послідовностей давно існують у математиці. Звичайно, вони заслужили на своє власне грамотне оформлення. Отже, час дізнатися про визначення меж послідовностей. Для початку докладно розглянемо межу для лінійної функції:

Усі межі позначаються скорочено lim.
Запис межі складається зі скорочення lim, будь-якої змінної, що прагне до певного числа, нуля або нескінченності, а також самої функції.

Легко зрозуміти, що визначення межі послідовності може бути сформульовано так: це деяке число, до якого нескінченно наближаються всі члени послідовності. Простий приклад: x = 4x+1. Тоді сама послідовність буде виглядати так.

5, 9, 13, 17, 21 ... x ...

Таким чином, дана послідовність нескінченно збільшуватиметься, а, отже, її межа дорівнює нескінченності при x→∞, і записувати це слід так:

Якщо ж взяти схожу послідовність, але їх буде прагнути до 1, то отримаємо:

А ряд чисел буде таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 і т. д. Щоразу потрібно підставляти число дедалі більше наближене до одиниці (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). З цього ряду видно, що межа функції це п'ять.

З цієї частини варто запам'ятати, що така межа числової послідовності, визначення та метод вирішення простих завдань.

Загальне позначення межі послідовностей

Розібравши межу числової послідовності, визначення його та приклади, можна приступити до більш складної теми. Абсолютно всі межі послідовностей можна сформулювати однією формулою, яку зазвичай розбирають у першому семестрі.

Отже, що означає цей набір букв, модулів і знаків нерівностей?

∀ - квантор загальності, що замінює фрази "для всіх", "для всього" і т.п.

∃ — квантор існування, у разі означає, що існує деяке значення N, що належить безлічі натуральних чисел.

Довга вертикальна паличка, наступна за N, означає, що це безліч N «таке, що». Насправді вона може означати «така, що», «такі, що» тощо.

Для закріплення матеріалу прочитайте формулу вголос.

Невизначеність та визначеність межі

Метод знаходження межі послідовностей, який розглядався вище, нехай і простий у застосуванні, але не такий раціональний на практиці. Спробуйте знайти межу для такої функції:

Якщо підставляти різні значення «ікс» (щоразу збільшуються: 10, 100, 1000 і т. д.), то в чисельнику отримаємо ∞, але в знаменнику теж ∞. Виходить досить дивний дріб:

Але чи це так насправді? Обчислити межу числової послідовності у разі здається досить легко. Можна було б залишити все, як є, адже відповідь готова, і отримана вона на розумних умовах, однак є ще один спосіб спеціально для таких випадків.

Для початку знайдемо старший ступінь у чисельнику дробу - це 1, тому що х можна уявити як х 1 .

Тепер знайдемо старший ступінь у знаменнику. Теж 1.

Розділимо і чисельник, і знаменник на змінну найвищою мірою. У разі дроб ділимо на х 1 .

Далі знайдемо, якого значення прагне кожне доданок, що містить змінну. У разі розглядаються дроби. При х→∞ значення кожного дробу прагне нуля. При оформленні роботи в письмовому вигляді варто зробити такі виноски:

Виходить наступне вираз:

Звичайно, дроби, що містять х, не стали нулями! Але їх значення настільки мало, що можна не враховувати його при розрахунках. Насправді ж х ніколи не дорівнюватиме 0 в даному випадку, адже на нуль ділити не можна.

Що таке околиця?

Припустимо, у розпорядженні професора складна послідовність, задана, очевидно, не менш складною формулою. Професор знайшов відповідь, але чи підходить він? Адже всі люди помиляються.

Огюст Коші свого часу вигадав відмінний спосіб для доведення меж послідовностей. Його спосіб назвали оперуванням околицями.

Припустимо, що є певна точка а, її околиця в обидві сторони на числової прямої дорівнює ε («епсілон»). Оскільки остання змінна — відстань, її значення завжди позитивно.

Тепер поставимо деяку послідовність х n і покладемо, що десятий член послідовності (x 10) входить в околицю а. Як записати цей факт математичною мовою?

Припустимо, х 10 знаходиться правіше від точки а тоді відстань х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Тепер настав час роз'яснити практично ту формулу, про яку йшлося вище. Деяке число а справедливо називати кінцевою точкою послідовності, якщо для будь-якої її межі виконується нерівність ε>0, причому вся околиця має свій натуральний номер N, такий, що всі члени послідовності з більш значними номерами виявляться всередині послідовності | x n - a |< ε.

З такими знаннями легко здійснити вирішення меж послідовності, довести чи спростувати готову відповідь.

Теореми

Теореми про межі послідовностей - важлива складова теорії, без якої неможлива практика. Є лише чотири головні теореми, запам'ятавши які, можна в рази полегшити хід рішення чи докази:

Єдиність межі послідовності. Межа в будь-якій послідовності може бути тільки одна або не бути зовсім. Той самий приклад із чергою, в якої може бути лише один кінець.
Якщо ряд чисел має межу, то послідовність цих чисел обмежена.
Межа суми (різниці, твори) послідовностей дорівнює сумі (різниці, твору) їх меж.
Межа приватного від поділу двох послідовностей дорівнює приватній межі тоді і тільки тоді, коли знаменник не звертається в нуль.

Доказ послідовностей

Іноді потрібно вирішити обернену задачу, довести задану межу числової послідовності. Розглянемо з прикладу.

Довести, що межа послідовності, заданої формулою, дорівнює нулю.

За розглянутим вище правилом, для будь-якої послідовності має виконуватися нерівність | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Виразимо n через «епсілон», щоб показати існування певного номера та довести наявність межі послідовності.

На цьому етапі важливо нагадати, що «епсілон» та «ен» - числа позитивні і не дорівнюють нулю. Тепер можна продовжувати подальші перетворення, використовуючи знання про нерівності, отримані у середній школі.

Звідки виходить, що n> -3 + 1/ε. Оскільки варто пам'ятати, що йдеться про натуральні числа, то результат можна округлити, занісши його в квадратні дужки. Таким чином, було доведено, що для будь-якого значення околиці «епсілон» точки а=0 знайшлося таке, що виконується початкова нерівність. Звідси можна сміливо стверджувати, що число є межа заданої послідовності. Що й потрібно було довести.

Ось таким зручним методом можна довести межу числової послідовності, якою б складною вона на перший погляд не була. Головне — не впадати в паніку, побачивши завдання.

А може, його нема?

Існування межі послідовності необов'язково практично. Легко можна зустріти такі ряди чисел, які справді не мають кінця. Наприклад, та сама «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, що послідовність, що складається лише з двох цифр, циклічно повторюваних, не може мати межі.

Та ж історія повторюється з послідовностями, що складаються з одного числа, дробовими, що мають під час обчислень невизначеність будь-якого порядку (0/0, ∞/∞, ∞/0 тощо). Однак слід пам'ятати, що неправильне обчислення теж має місце. Іноді межу послідовностей знайти допоможе повторно перевіряти своє рішення.

Монотонна послідовність

Вище розглядалися кілька прикладів послідовностей, методи їх вирішення, а тепер спробуємо взяти певніший випадок і назвемо його «монотонною послідовністю».

Визначення: будь-яку послідовність справедливо називати монотонно зростаючою, якщо для неї виконується сувора нерівність x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Поряд із цими двома умовами існують також подібні несуворі нерівності. Відповідно, x n ≤ x n +1 (незменшуюча послідовність) і x n ≥ x n +1 (незростаюча послідовність).

Але легше розуміти таке на прикладах.

Послідовність, задана формулою х n = 2+n, утворює наступний ряд чисел: 4, 5, 6 тощо. буд. Це монотонно зростаюча послідовність.

А якщо взяти x n = 1/n, то отримаємо ряд: 1/3, ¼, 1/5 і т. д. Це монотонно спадна послідовність.

Межа схожої та обмеженої послідовності

Обмежена послідовність - послідовність, що має межу. Сходящаяся послідовність — ряд чисел, що має нескінченно малу межу.

Таким чином, межа обмеженої послідовності – це будь-яке дійсне чи комплексне число. Пам'ятайте, що межа може бути лише одна.

Межа послідовності, що сходить, - це величина нескінченно мала (дійсна або комплексна). Якщо накреслити діаграму послідовності, то певній точці вона буде сходитися, прагнути звернутися у певну величину. Звідси і назва - послідовність, що збігається.

Межа монотонної послідовності

Межа такої послідовності може бути, а може і не бути. Спочатку корисно зрозуміти, коли він є, звідси можна відштовхнутися за доказом відсутності межі.

Серед монотонних послідовностей виділяють схожу і розбіжну. Східна - це така послідовність, яка утворена безліччю х і має в даній множині дійсну або комплексну межу. Розбіжна - послідовність, яка не має межі у своїй множині (ні дійсної, ні комплексної).

Причому послідовність сходиться, якщо з геометричному зображенні її верхній і нижній межі сходяться.

Межа послідовності, що сходить, у багатьох випадках може дорівнювати нулю, так як будь-яка нескінченно мала послідовність має відому межу (нуль).

Яку послідовність, що сходить, не візьми, всі вони обмежені, проте далеко не всі обмежені послідовності сходяться.

Сума, різниця, добуток двох послідовностей, що сходяться - також послідовність, що сходить. Однак приватне може бути також схожим, якщо воно визначено!

Різні дії з межами

Межі послідовностей - це така ж істотна (у більшості випадків) величина, як і цифри та числа: 1, 2, 15, 24, 362 і т. д. Виходить, що з межами можна проводити деякі операції.

По-перше, як і цифри та числа, межі будь-яких послідовностей можна складати та віднімати. Виходячи з третьої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа суми послідовностей дорівнює сумі їх меж.

По-друге, виходячи з четвертої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа добутку n-ої кількості послідовностей дорівнює добутку їх меж. Те ж справедливо і для поділу: межа приватного двох послідовностей дорівнює частці їх меж, за умови що межа не дорівнює нулю. Адже якщо межа послідовностей дорівнюватиме нулю, то вийде поділ на нуль, що неможливо.

Властивості величин послідовностей

Здавалося б, межа числової послідовності вже розібрано досить докладно, проте неодноразово згадуються такі фрази, як «нескінченно маленькі» і «нескінченно великі» числа. Очевидно, якщо є послідовність 1/х, де x→∞, то такий дріб нескінченно малий, а якщо той самий послідовність, але межа прагне нуля (х→0), то дріб стає нескінченно великою величиною. А такі величини мають свої особливості. Властивості межі послідовності, що має будь-які малі або великі величини, полягають у наступному:

Сума будь-якої кількості скільки завгодно малих величин буде також малою величиною.
Сума будь-якої кількості великих величин буде нескінченно великою величиною.
Твір як завгодно малих величин нескінченно мало.
Добуток скільки завгодно великих чисел — величина нескінченно більша.
Якщо вихідна послідовність прагне нескінченно великому числу, то величина, їй зворотна, буде нескінченно малою і прагнути нуля.

Насправді обчислити межу послідовності – не таке складне завдання, якщо знати простий алгоритм. Але межі послідовностей — тема, яка потребує максимуму уваги та посидючості. Звичайно, досить просто вловити суть вирішення подібних виразів. Починаючи з малого, згодом можна досягти великих вершин.

Вступ………………………………………………………………………………3

1.Теоретична частина……………………………………………………………….4

Основні поняття та терміни…………………………………………………....4

1.1 Види послідовностей…………………………………………………...6

1.1.1.Обмежені та необмежені числові послідовності…..6

1.1.2.Монотонність послідовностей…………………………………6

1.1.3.Нескінченно великі і нескінченно малі послідовності…….7

1.1.4.Властивості нескінченно малих послідовностей…………………8

1.1.5.Сходящиеся і розбіжні послідовності та його свойства..…9

1.2 Межа послідовності………………………………………………….11

1.2.1.Теореми про межі послідовностей……………………………15

1.3.Арифметична прогресія…………………………………………………17

1.3.1. Властивості арифметичної прогресії…………………………………..17

1.4 Геометрична прогресія…………………………………………………..19

1.4.1. Властивості геометричної прогресії…………………………………….19

1.5. Числа Фібоначчі……………………………………………………………..21

1.5.1 Зв'язок чисел Фібоначчі з іншими галузями знань…………………….22

1.5.2. Використання ряду чисел Фібоначчі для опису живої та неживої природи…………………………………………………………………………….23

2. Власні дослідження…………………………………………………….28

Заключение……………………………………………………………………….30

Список використаної литературы…………………………………………....31

Вступ.

Числові послідовності це дуже цікава та пізнавальна тема. Ця тема зустрічається в завданнях підвищеної складності, які пропонують учням автори дидактичних матеріалів, завдання математичних олімпіад, вступних іспитів у Вищі Навчальні Заклади та на ЄДІ. Мені цікаво дізнатися зв'язок математичних послідовностей з іншими галузями знань.

Мета дослідницької роботи: Розширити знання про числову послідовність.

1. Розглянути послідовність;

2. Розглянути її властивості;

3. Розглянути аналітичне завдання послідовності;

4. Продемонструвати її роль розвитку інших галузей знань.

5. Продемонструвати використання ряду чисел Фібоначчі для опису живої та неживої природи.

1. Теоретична частина.

Основні поняття та терміни.

Визначення. Числова послідовність – функція виду y = f(x), x N, де N – безліч натуральних чисел (або функція натурального аргументу), позначається y = f(n) або y1, y2,…, yn,…. Значення y1, y2, y3, називають відповідно першим, другим, третім, ... членами послідовності.

Число a називається межею послідовності x = (x n ), якщо довільного заздалегідь заданого скільки завгодно малого позитивного числа ε знайдеться таке натуральне число N, що з усіх n>N виконується нерівність |x n - a|< ε.

Якщо число a є межа послідовності x = (x n ), то кажуть, що x n прагне a і пишуть

Послідовність (yn) називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Послідовність (yn) називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.

Послідовність називається періодичною, якщо існує таке натуральне число T, що, починаючи з деякого n, виконується рівність yn = yn+T . Число T називається довжиною періоду.

Арифметична прогресія- це послідовність (an), кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена і одного і того ж числа d називають арифметичною прогресією, а число d - різницею арифметичної прогресії.

Таким чином, арифметична прогресія – це числова послідовність (an), задана рекурентно співвідношеннями

a1 = a, an = an-1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Геометрична прогресія- це послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням на одне і те число q.

Таким чином, геометрична прогресія – це числова послідовність (bn), задана рекурентно співвідношеннями

b1 = b, bn = bn-1q (n = 2, 3, 4 ...).

1.1 Види послідовностей.

1.1.1 Обмежені та необмежені послідовності.

Послідовність (bn) називають обмеженою зверху, якщо є таке число М, що з будь-якого номера n виконується нерівність bn≤ M;

Послідовність (bn) називають обмеженою знизу, якщо існує таке число М, що для будь-якого номера n виконується нерівність bn≥ М;

Наприклад:

1.1.2 Монотонність послідовностей.

Послідовність (bn) називають незростаючою (неубутньою), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Послідовність (bn) називають спадною (зростаючою), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність bn> bn+1 (bn

Убутні і зростаючі послідовності називають строго монотонними, незростаючі-монотонними у сенсі.

Послідовності, обмежені одночасно зверху та знизу, називаються обмеженими.

Послідовність всіх цих типів носять загальну назву-монотонні.

1.1.3 Нескінченно великі та малі послідовності.

Нескінченно мала послідовність - це числова функція або послідовність, яка прагне нуля.

Послідовність an називається нескінченно малою, якщо

Функція називається нескінченно малою в околиці точки x0, якщо ℓimx→x0 f(x)=0.

Функція називається нескінченно малою на нескінченності, якщо ℓimx→.+∞ f(x)=0 або ℓimx→-∞ f(x)=0

Також нескінченно малою є функція, що є різницею функції та її межі, тобто якщо ℓimx→.+∞ f(x)=а, то f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a) = 0.

Нескінченно велика послідовність-числова функція чи послідовність, яка прагне нескінченності.

Послідовність an називається нескінченно великою, якщо

ℓimn→0 an=∞.

Функція називається нескінченно великою в околиці точки x0, якщо ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Функція називається нескінченно великою на нескінченності, якщо

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ або ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Властивості нескінченно малих послідовностей.

Сума двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.

Різниця двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.

Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей сама є нескінченно малою послідовністю.

Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність.

Добуток будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Будь-яка нескінченно мала послідовність обмежена.

Якщо стаціонарна послідовність є нескінченно малою, всі її елементи, починаючи з деякого, рівні нулю.

Якщо вся нескінченно мала послідовність складається з однакових елементів, ці елементи - нулі.

Якщо (xn) - нескінченно велика послідовність, що не містить нульових членів, існує послідовність (1/xn) , яка є нескінченно малою. Якщо ж все ж таки (xn) містить нульові елементи, то послідовність (1/xn) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, і все одно буде нескінченно малою.

Якщо (an) - нескінченно мала послідовність, яка містить нульових членів, існує послідовність (1/an), яка є нескінченно великий. Якщо ж все ж таки (an) містить нульові елементи, то послідовність (1/an) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, і все одно буде нескінченно великий.

1.1.5 Схожі та розбіжні послідовності та їх властивості.

Сходящаяся послідовність- це послідовність елементів множини Х, що має межу в цьому множині.

Розбіжна послідовність- це послідовність, яка не є схожою.

Будь-яка нескінченно мала послідовність є схожою. Її межа дорівнює нулю.

Видалення будь-якого кінцевого числа елементів із нескінченної послідовності не впливає ні на збіжність, ні на межу цієї послідовності.

Будь-яка послідовність обмежена. Однак не будь-яка обмежена послідовність сходиться.

Якщо послідовність (xn) сходиться, але не є дуже малою, то, починаючи з деякого номера, визначена послідовність (1/xn), яка є обмеженою.

Сума послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться.

Різниця послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться.

Твор послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходить.

Приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, починаючи з деякого елемента, якщо тільки друга послідовність не є нескінченно малою. Якщо приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, то воно являє собою послідовність, що сходиться.

Якщо послідовність, що сходить, обмежена знизу, то жодна з її нижніх граней не перевищує її межі.

Якщо послідовність, що сходить, обмежена зверху, то її межа не перевищує жодної з її верхніх граней.

Якщо для будь-якого номера члени однієї послідовності, що сходить, не перевищують членів іншої послідовності, що сходить, то і межа першої послідовності також не перевищує межі другої.