Нарешті у мене дісталися руки до великої та довгоочікуваної теми. аналітичної геометрії. Спочатку трохи про цей розділ вищої математики. Напевно, вам зараз згадався курс шкільної геометрії з численними теоремами, їх доказами, кресленнями тощо. Що приховувати, зненавиджений і часто малозрозумілий предмет для значної частки учнів. Аналітична геометрія, як не дивно, може здатися більш цікавою та доступною. Що означає прикметник «аналітична»? На думку відразу приходять два штамповані математичні обороти: «графічний метод рішення» та «аналітичний метод рішення». Графічний метод, зрозуміло, пов'язані з побудовою графіків, креслень. Аналітичнийж методпередбачає вирішення завдань переважноза допомогою алгебраїчних процесів. У зв'язку з цим алгоритм розв'язання практично всіх завдань аналітичної геометрії простий і прозорий, часто досить акуратно застосувати потрібні формули – і відповідь готова! Ні, звичайно, зовсім без креслень тут не обійдеться, до того ж для кращого розуміння матеріалу я намагатимусь наводити їх понад необхідність.
Відкривається курс уроків з геометрії не претендує теоретичну повноту, він орієнтований рішення практичних завдань. Я включу у свої лекції тільки те, що, на мій погляд, є важливим у практичному плані. Якщо вам потрібна повна довідка по якомусь підрозділу, рекомендую наступну цілком доступну літературу:
1) Річ, з якою, без жартів, знайомо кілька поколінь: Шкільний підручник з геометрії, автори – Л.С. Атанасян та Компанія. Ця вішалка шкільної роздягальні вже витримала 20 (!) перевидань, що, звичайно, не є межею.
2) Геометрія у 2 томах. Автори Л.С. Атанасян, Базильов В.Т. Це література для вищої школи, вам знадобиться перший том. З мого поля зору можуть випадати завдання, що рідко зустрічаються, і навчальний посібник надасть неоціненну допомогу.
Обидві книги можна завантажити безкоштовно в Інтернеті. Крім того, можете використовувати мій архів із готовими рішеннями, який можна знайти на сторінці Завантажити приклади з вищої математики.
З інструментальних засобів пропоную знову ж таки власну розробку – програмний комплексз аналітичної геометрії, який значно спростить життя та заощадить масу часу.
Передбачається, що читач знайомий з базовими геометричними поняттями та фігурами: точка, пряма, площина, трикутник, паралелограм, паралелепіпед, куб і т.д. Бажано пам'ятати деякі теореми, хоча б теорему Піфагора, привіт другорічникам)
Нині ж ми послідовно розглянемо: поняття вектора, дії з векторами, координати вектора. Далі рекомендую прочитати найважливішу статтю Скалярний добуток векторів, а також і Векторний та змішаний твір векторів. Не зайвою буде і локальне завдання - Розподіл відрізка в цьому відношенні. На основі вищезгаданої інформації можна освоїти рівняння прямої на площиніз найпростішими прикладами рішеньщо дозволить навчитися вирішувати завдання з геометрії. Також корисні такі статті: Рівняння площини у просторі, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину, інші розділи аналітичної геометрії. Природно, принагідно розглядатимуть типові завдання.
Концепція вектор. Вільний вектор
Спочатку повторимо шкільне визначення вектора. Векторназивається спрямованийвідрізок, для якого вказано його початок та кінець:
У разі початком відрізка є точка , кінцем відрізка – точка . Сам вектор позначений через . Напряммає важливе значення, якщо переставити стрілку в інший кінець відрізка, то вийде вектор , і це вже зовсім інший вектор. Поняття вектора зручно ототожнювати з рухом фізичного тіла: погодьтеся, зайти у двері інституту або вийти з дверей інституту – це різні речі.
Окремі точки площини, простору зручно вважати так званим нульовим вектором. У такого вектора кінець і початок збігаються.
!!! Примітка: Тут і далі можете вважати, що вектори лежать в одній площині або вважати, що вони розташовані в просторі - суть матеріалу, що викладається, справедлива і для площини і для простору.
Позначення:Багато хто відразу звернув увагу на паличку без стрілочки в позначенні і сказав, там же зверху ще стрілку ставлять! Правильно, можна записати зі стрілкою: , але допустима і запис , який я використовуватиму надалі. Чому? Мабуть, така звичка склалася з практичних міркувань, надто різнокаліберними та волохатими виходили мої стрілки у школі та ВНЗ. У навчальній літературі іноді взагалі не морочаться клинописом, а виділяють букви жирним шрифтом: , маючи на увазі тим самим, що це вектор.
То була стилістика, а зараз про способи запису векторів:
1) Вектори можна записати двома великими латинськими літерами: 
і таке інше. При цьому перша літера обов'язковопозначає точку-початок вектора, а друга літера - точку-кінець вектора.
2) Вектори також записують маленькими латинськими літерами:
Зокрема, наш вектор можна для стислості перепозначити маленькою латинською літерою.
Довжиноюабо модулемненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина нульового вектора дорівнює нулю. Логічно.
Довжина вектора позначається знаком модуля: ,
Як знаходити довжину вектора ми дізнаємося (або повторимо, для кого як) трохи згодом.
Це були елементарні відомості про вектор, знайомі всім школярам. В аналітичній геометрії розглядається так званий вільний вектор.
Якщо дуже просто – вектор можна відкласти від будь-якої точки:
Такі вектори ми звикли називати рівними (визначення рівних векторів буде дано нижче), але чисто з математичної точки зору це ОДИН І ТОЙ Ж ВЕКТОР або вільний вектор. Чому вільний? Тому що в ході вирішення завдань ви можете «прилаштувати» той чи інший «шкільний» вектор у БУДЬ-ЯКУ, потрібну вам точку площини чи простору. Це дуже крута властивість! Уявіть спрямований відрізок довільної довжини та напрямки – його можна «клонувати» нескінченну кількість разів і в будь-якій точці простору, по суті, він існує СКРІЗЬ. Є така студентська приказка: Кожному лектору в ж**у по вектору. Адже не просто дотепна рима, все майже коректно – спрямований відрізок можна влаштувати і туди. Але не поспішайте радіти, частіше страждають самі студенти.
Отже, вільний вектор– це безліч однакових спрямованих відрізків. Шкільне визначення вектора, дане на початку параграфа: «Вектором називається спрямований відрізок…», має на увазі конкретнийспрямований відрізок, взятий з цієї множини, який прив'язаний до певної точки площини або простору.
Слід зазначити, що з погляду фізики поняття вільного вектора у випадку некоректно, і точка застосування має значення. Дійсно, прямий удар однакової сили по носі чи по лобі вистачить розвивати мій безглуздий приклад спричиняє різні наслідки. Втім, невільнівектори зустрічаються і в курсі вышмата (не ходіть туди:)).
Дії з векторами. Колінеарність векторів
У шкільному курсі геометрії розглядається ряд дій та правил із векторами: додавання за правилом трикутника, додавання за правилом паралелограма, правило різниці векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів та ін.Для затравки повторимо два правила, які особливо актуальні на вирішення завдань аналітичної геометрії.
Правило складання векторів за правилом трикутників
Розглянемо два довільні ненульові вектори і : 
Потрібно знайти суму даних векторів. Через те, що всі вектори вважаються вільними, відкладемо вектор від кінцявектор : 
Сумою векторів і є вектор. Для кращого розуміння правила в нього доцільно вкласти фізичний зміст: нехай деяке тіло зробило шлях вектором, а потім вектором. Тоді сума векторів є вектором результуючого шляху з початком у точці відправлення і кінцем у точці прибуття. Аналогічне правило формулюється для будь-якої кількості векторів. Як кажуть, тіло може пройти свій шлях сильно підданим по зигзагу, а може і на автопілоті - по результуючого вектора суми.
До речі, якщо вектор відкласти початкувектора , то вийде еквівалентне правило паралелограмадодавання векторів.
Спочатку про колінеарність векторів. Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, йдеться про паралельні вектори. Але стосовно них завжди використовують прикметник «колінеарні».
Уявіть два колінеарні вектори. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в однаковому напрямку, такі вектори називаються співспрямованими. Якщо стрілки дивляться в різні боки, вектори будуть протилежно спрямовані.
Позначення:колінеарність векторів записують звичним значком паралельності: при цьому можлива деталізація: (вектори сонаправлены) або (вектори спрямовані протилежно).
Творомненульового вектора на число є такий вектор, довжина якого дорівнює, причому вектори і сонаправлены і протилежно спрямовані при .
Правило множення вектора на число легко зрозуміти за допомогою малюнка: 
Розбираємось детальніше:
1) Напрямок. Якщо множник негативний, то вектор змінює напрямокна протилежне.
2) Довжина. Якщо множник укладено в межах або , то довжина вектора зменшується. Так, довжина вектора вдвічі менша за довжину вектора . Якщо множник за модулем більше одиниці, то довжина вектора збільшуєтьсяу раз.
3) Зверніть увагу, що всі вектори колінеарніпри цьому один вектор виражений через інший, наприклад, . Назад теж справедливоЯкщо один вектор можна виразити через інший, то такі вектори обов'язково колінеарні. Таким чином: якщо ми множимо вектор на число, то вийде колінеарний(По відношенню до вихідного) вектор.
4) Вектори спрямовані. Вектори також співспрямовані. Будь-який вектор першої групи протилежно спрямований стосовно будь-якого вектора другої групи.
Які вектори є рівними?
Два вектори рівні, якщо вони спрямовані і мають однакову довжину. Зауважте, що сонаправленность передбачає колінеарність векторів. Визначення буде неточним (надлишковим), якщо сказати: «Два вектори рівні, якщо вони колінеарні, співспрямовані та мають однакову довжину».
З погляду поняття вільного вектора, рівні вектори – це той самий вектор, що вже йшлося у попередньому параграфі.
Координати вектора на площині та у просторі
Першим пунктом розглянемо вектори на площині. Зобразимо декартову прямокутну систему координат і від початку координат відкладемо одиничнівектори та :
Вектори та ортогональні. Ортогональні = Перпендикулярні. Рекомендую потихеньку звикати до термінів: замість паралельності та перпендикулярності використовуємо відповідно слова колінеарністьі ортогональність.
Позначення:ортогональність векторів записують звичною позначкою перпендикулярності, наприклад: .
Вектори, що розглядаються, називають координатними векторамиабо ортами. Дані вектори утворюють базисна площині. Що таке базис, думаю, інтуїтивно багатьом зрозуміло, більш детальну інформацію можна знайти у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.Простими словами, базис і початок координат задають всю систему - це своєрідний фундамент, на якому вирує повне і насичене геометричне життя.
Іноді побудований базис називають ортонормованимбазисом площини: «орто» – оскільки координатні вектори ортогональні, прикметник «нормований» означає одиничний, тобто. Довжина векторів базису дорівнює одиниці.
Позначення:базис зазвичай записують у круглих дужках, усередині яких у суворій послідовностіперераховуються базисні вектори, наприклад: . Координатні вектори не можнапереставляти місцями.
Будь-якийвектор плоскості єдиним чиномвиражається у вигляді: 
, де - числаякі називаються координатами векторау цьому базисі. А сам вираз 
називається розкладання векторапо базису .
Вечеря подана:
Почнемо з першої літери алфавіту: . По кресленню добре видно, що з розкладанні вектора по базису використовуються щойно розглянуті:
1) правило множення вектора на число: і;
2) складання векторів за правилом трикутника: .
А тепер подумки відкладіть вектор від будь-якої іншої точки площини. Цілком очевидно, що його розкладання «невідступно слідуватиме за ним». Ось вона, свобода вектора - вектор "все носить при собі". Ця властивість, зрозуміло, слушна для будь-якого вектора. Смішно, що самі базисні (вільні) вектори не обов'язково відкладати від початку координат, один можна намалювати, наприклад, зліва внизу, а інший – праворуч вгорі, і від цього нічого не зміниться! Щоправда, робити так не потрібно, оскільки викладач теж виявить оригінальність і намалює вам зараховане в несподіваному місці.
Вектори , ілюструють в точності правило множення вектора на число, вектор направлений з базисним вектором , вектор направлений протилежно до базисного вектора . У даних векторів одна з координат дорівнює нулю, прискіпливо можна записати так:
А базисні вектори, до речі, так: (по суті вони виражаються самі через себе).
І, нарешті: , . До речі, що таке віднімання векторів, і чому я не розповів про правило віднімання? Десь у лінійній алгебрі, вже не пам'ятаю де, я зазначав, що віднімання – це окремий випадок складання. Так, розкладання векторів «де» і «е» спокійнісінько записуються як суми: , 
. Прослідкуйте за кресленням, як чітко у цих ситуаціях працює старе добре складання векторів за правилом трикутника.
Розглянуте розкладання виду 
іноді називають розкладанням вектора у системі орт(Тобто в системі одиничних векторів). Але це не єдиний спосіб запису вектора, поширений наступний варіант:
Або зі знаком рівності:
Самі базисні вектори записуються так: і
Тобто, у круглих дужках зазначаються координати вектора. У практичних завданнях використовуються усі три варіанти запису.
сумнівався, чи говорити, але все-таки скажу: координати векторів переставляти не можна. Суворо на першому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору , суворо на другому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору. Справді, і – це два різних вектори.
З координатами на площині розібралися. Тепер розглянемо вектори в тривимірному просторі, тут практично так само! Тільки додасться ще одна координата. Тривимірні креслення виконувати важко, тому обмежуся одним вектором, який для простоти відкладу від початку координат: 
Будь-якийвектор тривимірного простору можна єдиним способомрозкласти по ортонормованому базису: 
, де - Координати вектора (числа) в даному базисі.
Приклад з картинки: 
. Давайте подивимося, як тут працюють правила дій із векторами. По-перше, множення вектора на число: (червона стрілка), (зелена стрілка) та (малінова стрілка). По-друге, перед вами приклад додавання кількох, у разі трьох, векторов: . Вектор суми починається у вихідній точці відправлення (початок вектора) і втикається у підсумкову точку прибуття (кінець вектора).
Всі вектори тривимірного простору, природно, теж вільні, спробуйте подумки відкласти вектор від будь-якої іншої точки, і ви зрозумієте, що його розкладання залишиться при ньому.
Аналогічно плоскому випадку, крім запису 
широко використовуються версії з дужками: або .
Якщо у розкладанні відсутня один (або два) координатні вектори, то замість них ставляться нулі. Приклади:
вектор (прискіпливо 
) - Запишемо;
вектор (прискіпливо) - запишемо;
вектор (прискіпливо 
) – запишемо.
Базисні вектори записуються так:
Ось, мабуть, і всі мінімальні теоретичні знання, необхідні вирішення завдань аналітичної геометрії. Можливо забагато термінів та визначень, тому чайникам рекомендую перечитати та осмислити цю інформацію ще раз. Та й будь-якому читачеві буде корисно іноді звертатися до базового уроку для кращого засвоєння матеріалу. Колінеарність, ортогональність, ортонормований базис, розкладання вектора – ці та інші поняття часто використовуватимуться надалі. Зазначу, що матеріалів сайту недостатньо для складання теоретичного заліку, колоквіуму з геометрії, тому що всі теореми (до того ж без доказів) я акуратно шифрую – на шкоду науковому стилю викладу, але плюсом до вашого розуміння предмета. Для отримання докладної теоретичної довідки прошу слідувати на уклін до професора Атанасяна.
А ми переходимо до практичної частини:
Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Дії з векторами в координатах
Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ять, навіть спеціально не запам'ятовувати, самі запам'ятаються =) Це дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарних прикладах базуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.
Виклад матеріалу піде паралельним курсом – і площині, і простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.
Як знайти вектор по двох точках?
Якщо дані дві точки площини і , то вектор має такі координати: 
Якщо дані дві точки простору і , то вектор має такі координати:
Тобто, з координат кінця векторапотрібно відняти відповідні координати початку вектора.
Завдання:Для тих самих точок запишіть формули знаходження координат вектора. Формули наприкінці уроку.
Приклад 1
Дано дві точки площини і . Знайти координати вектора
Рішення:за відповідною формулою:
Як варіант, можна було використати наступний запис:
Естети вирішать і так:
Особисто я звик до першої версії запису.
Відповідь:
За умовою не потрібно будувати креслення (що характерно для завдань аналітичної геометрії), але з метою пояснення деяких моментів чайникам, не полінуюся: 
Обов'язково потрібно розуміти відмінність між координатами точок та координатами векторів:
Координати точок- Це звичайні координати у прямокутній системі координат. Відкладати крапки на координатній площині, гадаю, всі вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має суворе місце на площині, і переміщати їх кудись не можна.
Координати ж вектора- Це його розкладання по базису, в даному випадку. Будь-який вектор є вільним, тому за бажання чи необхідності ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площини. Цікаво, що векторів можна взагалі будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, у разі ортонормований базис площини .
Записи координат точок і координат векторів начебто схожі: , а сенс координатабсолютно різний, і вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, зрозуміло, справедлива і для простору.
Пані та панове, набиваємо руку:
Приклад 2
а) Дані точки та . Знайти вектори та .
б) Дані точки 
та . Знайти вектори та .
в) Дані точки та . Знайти вектори та .
г) Дані точки. Знайти вектори 
.
Мабуть, достатньо. Це приклади для самостійного рішення, постарайтеся ними не ігнорувати, окупиться;-). Креслення робити не потрібно. Рішення та відповіді наприкінці уроку.
Що важливо під час вирішення завдань аналітичної геометрії?Важливо бути гранично уважним, щоб не припуститися майстерної помилки «два плюс два і нулю». Відразу перепрошую, якщо де помилився =)
Як знайти довжину відрізка?
Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.
Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою
Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою
Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант
Приклад 3
Рішення:за відповідною формулою:
Відповідь: 
Для наочності виконаю креслення 
Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.
Так, рішення коротке, але в ньому є ще кілька важливих моментів, які хотілося б пояснити:
По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».
По-друге, повторимо шкільний матеріал, який корисний не тільки для розглянутого завдання:
Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: 
. Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.
Ось інші поширені випадки: 
Нерідко під коренем виходить досить велика кількість, наприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: 
. А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: 
. У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.
Висновок:якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.
У ході вирішення різних завдань коріння зустрічаються нерідко, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.
Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені: 
Правила дій зі ступенями у загальному вигляді можна знайти у шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.
Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:
Приклад 4
Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.
Рішення та відповідь наприкінці уроку.
Як знайти довжину вектора?
Якщо дано вектор площини, його довжина обчислюється за такою формулою.
Якщо дано вектор простору, то його довжина обчислюється за формулою 
.
Зміну координати x2 - x1 прийнято позначати символом Δx12 (читається "дельта ікс один, два"). Цей запис означає, що за проміжок часу від моменту t1 до t2 зміна координати тіла Δx12 = x2 — x1. Таким чином, якщо тіло рухалося в позитивному напрямку осі X обраної системи координат (x2> x1), то Δx12>
На рис. 45 зображено точкове тіло, яке рухається в негативному напрямку осі X. За проміжок часу від t1 до t2 воно переміщається з точки з більшою координатою x1 в точку з меншою координатою x2. В результаті зміна координати точки B за аналізований проміжок часу Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) м = -3 м. Вектор переміщення в цьому випадку буде спрямований у негативному напрямку осі X, а його модуль | Δx12 | дорівнює 3 м. З розглянутих прикладів можна зробити такі висновки.
У розглянутих прикладах (див. рис. 44 і 45) тіло постійно рухалося в якомусь одному напрямку.
Як знайти модуль переміщення у фізиці? (Може є якась універсальна формула?)
Тому шлях, що пройдений, дорівнює модулю зміни координати тіла і модулю переміщення: s12 = |Δx12|.
Визначимо зміну координати та переміщення тіла за проміжок часу від t0 = 0 до t2 = 7 с. Відповідно до визначення зміна координати Δx02 = x2 - x0 = 2 м >
Тепер визначимо шлях, який пройшло тіло за той самий проміжок часу від t0 = 0 до t2 = 7 с. Спочатку тіло пройшло 8 м в одному напрямку (що відповідає модулю зміни координати x01), а потім 6 м у зворотному напрямку (ця величина відповідає модулю зміни координати x12). Отже, всього тіло пройшло 8+6=14 (м). За визначенням шляху за проміжок часу від t0 до t2 тіло пройшло шлях s02 = 14 м.
Підсумки
Переміщенням точки за проміжок часу називають спрямований відрізок прямої, початок якого збігається з початковим положенням точки, а кінець - з кінцевим положенням точки.
Запитання
Вправи
Векторні дії з векторами
теореми Піфагора теоремі косінусів
Довжину вектора будемо позначати. Аналогічне позначення має модуль числа і довжину вектора часто називають модулем вектора.
, звідки 
.
Таким чином, 
.
Розглянемо приклад.
:
.
Таким чином, довжина вектора 
.
Обчисліть довжину вектора 
, отже, 
На початок сторінки
Розглянемо рішення прикладів.
.
Переміщення
:
:
.
.
На початок сторінки
Отже, .
або ,або ,
Нема коли розбиратися?
Замовте рішення
На початок сторінки
Досі ми розглядали лише прямолінійний рівномірний рух. При цьому точкові тіла рухалися в обраній системі відліку або в позитивному або негативному напрямку осі координат X. Ми встановили, що в залежності від напрямку руху тіла, наприклад, за проміжок часу від моменту t1 до моменту t2 зміна координати тіла (x2 - x1 ) може бути позитивним, негативним або рівним нулю (якщо x2 = x1).
Зміну координати x2 - x1 прийнято позначати символом Δx12 (читається "дельта ікс один, два"). Цей запис означає, що за проміжок часу від моменту t1 до t2 зміна координати тіла Δx12 = x2 — x1. Таким чином, якщо тіло рухалося в позитивному напрямку осі X обраної системи координат (x2 > x1), то Δx12 > 0. Якщо ж рух відбувався у негативному напрямку осі X (x21), то Δx12
Результат руху зручно визначати за допомогою векторної величини. Такою векторною величиною є рух.
Переміщенням точки за проміжок часу називають спрямований відрізок прямої, початок якого збігається з початковим положенням точки, а кінець - з кінцевим положенням точки.
Як і будь-яку векторну величину, переміщення характеризують модулем та напрямком.
Записувати вектор переміщення точки за проміжок часу від t1 до t2 ми будемо у такий спосіб: Δx12.
Пояснимо сказане з прикладу. Нехай деяка точка A (точкове чоло) рухається у позитивному напрямку осі X і за проміжок часу від t1 до t2 переміщається з точки з координатою x1 до точки з більшою координатою x2 (рис. 44). В цьому випадку вектор переміщення направлений у позитивному напрямку осі X, а його модуль дорівнює зміні координати за проміжок часу, що розглядається: Δx12 = x2 - x1 = (5 - 2) м = 3 м.
На рис. 45 зображено точкове тіло, яке рухається в негативному напрямку осі X.
За проміжок часу від t1 до t2 воно переміщається з точки з більшою координатою x1 до точки з меншою координатою x2. В результаті зміна координати точки B за аналізований проміжок часу Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) м = -3 м. Вектор переміщення в цьому випадку буде спрямований у негативному напрямку осі X, а його модуль | Δx12 | дорівнює 3 м. З розглянутих прикладів можна зробити такі висновки.
Напрямок переміщення при прямолінійному русі одному напрямку збігається з напрямом руху.
Модуль вектора переміщення дорівнює модулю зміни координати тіла за проміжок часу, що розглядається.
У повсякденні для опису кінцевого результату руху використовують поняття «шлях». Зазвичай, шлях позначають символом S.
Шлях – це вся відстань, пройдена точковим тілом за розглянутий проміжок часу.
Як і будь-яку відстань, шлях – величина невід'ємна. Наприклад, шлях, пройдений точкою A у розглянутому прикладі (див. рис. 44), дорівнює трьом метрам. Шлях, пройдений точкою B, також дорівнює трьом метрам.
У розглянутих прикладах (див. рис. 44 і 45) тіло постійно рухалося в якомусь одному напрямку. Тому шлях, що пройдений, дорівнює модулю зміни координати тіла і модулю переміщення: s12 = |Δx12|.
Якщо тіло рухалося весь час в одному напрямку, то пройдений ним шлях дорівнює модулю переміщення та модулю зміни координати.
Ситуація зміниться, якщо тіло протягом розглянутого проміжку часу змінює напрямок руху.
На рис. 46 зображено, як рухалося точкове тіло з моменту t0 = 0 до t2 = 7 с. До моменту t1 = 4 с рух відбувався рівномірно в позитивному напрямку осі X. Внаслідок чого зміна координати Δx01 = x1 - x0 = (11 - 3) м = -8 м. Після цього тіло почало рухатися в негативному напрямку осі X до моменту t2 = 7 с. При цьому зміна координати Δx12 = x2 — x1 = (5 — 11) м = -6 м. Графік цього руху наведено на рис. 47.
Визначимо зміну координати та переміщення тіла за проміжок часу від t0 = 0 до t2 = 7 с. Відповідно до визначення зміна координати Δx02 = x2 - x0 = 2 м > 0. Тому переміщення Δx02 спрямоване в позитивному напрямку осі Х, а його модуль дорівнює 2 м.
Тепер визначимо шлях, який пройшло тіло за той самий проміжок часу від t0 = 0 до t2 = 7 с. Спочатку тіло пройшло 8 м в одному напрямку (що відповідає модулю зміни координати x01), а потім 6 м у зворотному напрямку (ця величина відповідає модулю зміни координати x12).
Траєкторія
Отже, всього тіло пройшло 8+6=14 (м). За визначенням шляху за проміжок часу від t0 до t2 тіло пройшло шлях s02 = 14 м.
Розібраний приклад дозволяє зробити висновок:
У випадку, коли тіло протягом проміжку часу, що розглядається, змінює напрямок свого руху, шлях (все пройдена тілом відстань) більше і модуля переміщення тіла, і модуля зміни координати тіла.
Тепер уявіть, що тіло після моменту часу t2 = 7 с продовжило свій рух у негативному напрямку осі X до моменту t3 = 8 с відповідно до закону, зображеного на рис. 47 пунктирною лінією. В результаті в момент часу t3 = 8 з координати тіла дорівнювала x3 = 3 м. Неважко визначити, що в цьому випадку переміщення тіла за проміжок часу від t0 до t3 дорівнює Δx13 = 0.
Зрозуміло, якщо нам відомо лише переміщення тіла під час його руху, ми можемо сказати як рухалося тіло протягом цього часу. Наприклад, якби про тіло було відомо лише, що його початкова та кінцева координати рівні, то ми сказали б, що за час руху переміщення цього тіла дорівнює нулю. Сказати щось конкретніше про характер руху цього тіла було б не можна. Тіло могло за таких умов взагалі стояти дома протягом усього проміжку часу.
Переміщення тіла за деякий проміжок часу залежить тільки від початкової та кінцевої координат тіла та не залежить від того, як рухалося тіло протягом цього проміжку часу.
Підсумки
Переміщенням точки за проміжок часу називають спрямований відрізок прямої, початок якого збігається з початковим положенням точки, а кінець - з кінцевим положенням точки.
Переміщення точкового тіла визначається тільки кінцевою та початковою координатами тіла і не залежить від того, як рухалося тіло протягом розглянутого проміжку часу.
Шлях - вся відстань, пройдена точковим тілом за проміжок часу, що розглядається.
Якщо тіло у процесі руху не змінювало напрями руху, то пройдений цим тілом шлях дорівнює модулю його переміщення.
Якщо тіло протягом розглянутого проміжку часу змінювало напрямок свого руху, шлях більший і молуля переміщення тіла, і модуля зміни координати тіла.
Шлях завжди величина невід'ємна. Він дорівнює нулю тільки в тому випадку, якщо протягом всього проміжку часу, що розглядається, тіло спочивало (стояло на місці).
Запитання
- Що таке рух? Від чого залежить?
- Що таке шлях? Від чого залежить?
- Чим шлях відрізняється від переміщення та зміни координати за той самий проміжок часу, протягом якого тіло рухалося прямолінійно, не змінюючи напрямки руху?
Вправи
- Використовуючи закон руху на графічній формі, представлений на рис. 47, опишіть характер руху тіла (напрямок, швидкість) у різні проміжки часу: від t0 до t1, від t1 до t2, від t2 до t3.
- Собачка Протон вибіг з дому в момент часу t0 = 0, а потім по команді свого господаря в момент часу t4 = 4 с кинувся назад. Знаючи, що Протон весь час біг прямою і модуль його швидкості |v| = 4 м/с, визначте графічним способом: а) зміна координати та шлях Протона за проміжок часу від t0 = 0 до t6 = 6 с; б) шлях Протона за проміжок часу від t2 = 2 до t5 = 5 с.
Векторні дії з векторами
Знаходження довжини вектора, приклади та рішення.
За визначенням вектор – це спрямований відрізок, а довжина цього відрізка у заданому масштабі є довжиною вектора. Таким чином, завдання знаходження довжини вектора на площині та просторі зводиться до знаходження довжини відповідного відрізка. Для вирішення цього завдання у нашому розпорядженні всі засоби геометрії, хоча в більшості випадків достатньо теореми Піфагора. З її допомогою можна отримати формулу для обчислення довжини вектора за його координатами прямокутної системи координат, а також формулу знаходження довжини вектора за координатами точок його початку і кінця. Коли вектор є стороною трикутника, його довжина може бути знайдена по теоремі косінусівякщо відомі довжини двох інших сторін і кут між ними.
Знаходження довжини вектора за координатами.
Довжину вектора будемо позначати.
фізичний словник (кінематика)
Аналогічне позначення має модуль числа і довжину вектора часто називають модулем вектора.
Почнемо із знаходження довжини вектора на площині за координатами.
Введемо на площині прямокутну декартову систему координат Oxy. Нехай у ній заданий вектор і має координати . Отримаємо формулу, що дозволяє знаходити довжину вектора через координати та .
Відкладемо від початку координат (від точки О) вектор. Позначимо проекції точки на координатні осі як і відповідно і розглянемо прямокутник з діагоналлю ОА.
У силу теореми Піфагора справедлива рівність , звідки . З визначення координат вектора в прямокутній системі координат ми можемо стверджувати, що і , а по побудові довжина ОА дорівнює довжині вектора , отже, .
Таким чином, формула для знаходження довжини вектораза його координатами на площині має вигляд .
Якщо вектор представлений у вигляді розкладання за координатними векторами , то його довжина обчислюється за цією ж формулою , так як в цьому випадку коефіцієнти є координатами вектора в заданій системі координат.
Розглянемо приклад.
Знайдіть довжину вектора , заданого в системі декарт координат.
Відразу застосовуємо формулу для знаходження довжини вектора за координатами :
Тепер отримаємо формулу для знаходження довжини вектора за його координатами у прямокутній системі координат Oxyz у просторі.
Відкладемо від початку координат вектор і позначимо проекції точки на координатні осі як і . Тоді ми можемо збудувати на сторонах і прямокутний паралелепіпед, в якому ОА буде діагоналлю.
У цьому випадку (оскільки ОА – діагональ прямокутного паралелепіпеда), звідки . Визначення координат вектора дозволяє нам записати рівності , а довжина ОА дорівнює довжині вектора, що шукається, отже, .
Таким чином, довжина вектора у просторі дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координаттобто знаходиться за формулою .
Обчисліть довжину вектора , де - Орти прямокутної системи координат.
Нам дано розкладання вектора за координатними векторами виду , отже, . Тоді за формулою знаходження довжини вектора за координатами маємо .
На початок сторінки
Довжина вектора через координати точок його початку та кінця.
А як знайти довжину вектора, якщо дано координати точок його початку та кінця?
У попередньому пункті ми отримали формули для знаходження довжини вектора за його координатами на площині та тривимірному просторі. Тоді ми можемо ними скористатися, якщо знайдемо координати вектора координат точок його початку і кінця.
Таким чином, якщо на площині задані точки і то вектор має координати та його довжина обчислюється за формулою , а формула для знаходження довжини вектора за координатами точок і тривимірного простору має вигляд.
Розглянемо рішення прикладів.
Знайдіть довжину вектора, якщо у прямокутній декартовій системі координат .
Можна відразу застосувати формулу для знаходження довжини вектора за координатами точок початку та кінця на площині :
Другим варіантом рішення є визначення координат вектора через координати точок та застосування формули :
.
Визначте, за яких значень довжина вектора дорівнює , якщо .
Довжина вектора за координатами точок початку та кінця може бути знайдена як
Прирівнявши отримане значення довжини вектора до обчислимо шукані :
На початок сторінки
Знаходження довжини вектора за теоремою косінусів.
Більшість завдань перебування довжини вектора вирішуються в координатах. Однак, коли координати вектора невідомі, доводиться шукати інші шляхи вирішення.
Нехай відомі довжини двох векторів і кут між ними (або косинус кута), а потрібно знайти довжину вектора або . У цьому випадку можна по теоремі косінусів у трикутнику АВС обчислити довжину сторони ВС, яка дорівнює довжині вектора, що шукається.
Розберемо рішення прикладу для пояснення сказаного.
Довжини векторів і дорівнюють 3 і 7 відповідно, а кут між ними дорівнює . Обчисліть довжину вектора.
Довжина вектора дорівнює довжині сторони НД у трикутнику АВС. З умови нам відомі довжини сторін АВ та АС цього трикутника (вони дорівнюють довжинам відповідних векторів), а також кут між ними, тому нам достатньо даних для застосування теореми косінусів:
Отже, .
Отже, для знаходження довжини вектора за координатами використовуємо формули або ,
за координатами точок початку та кінця вектора або ,
у деяких випадках до результату наводить теорема косінусів.
Нема коли розбиратися?
Замовте рішення
На початок сторінки
- Бугров Я.С., Микільський С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдіна І.І. Геометрія. 7-9 класи: підручник для загальноосвітніх установ.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е.Г. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи.
Пошук лекцій
Скалярний квадрат вектор
Що буде, якщо вектор помножити на себе?
Число називається скалярним квадратомвектора і позначаться як .
Таким чином, скалярний квадрат вектордорівнює квадрату довжини даного вектора:
Або орт (поодинокий вектор нормованого векторного простору) вектор, норма (довжина) якого дорівнює одиниці. Поодинокий вектор … Вікіпедія
- (орт) вектор, довжина якого дорівнює одиниці обраного масштабу. Великий Енциклопедичний словник
- (орт), вектор, довжина якого дорівнює одиниці вибраного масштабу. * * * ЄДИНИЧНИЙ ВЕКТОР ЄДИНИЧНИЙ ВЕКТОР (орт), вектор, довжина якого дорівнює одиниці обраного масштабу … Енциклопедичний словник
Орт, вектор, довжина якого дорівнює одиниці вибраного масштабу. Будь-який вектор може бути отриманий з деякого коллінеарного йому Е. в. е множенням на число (скаляр) λ, тобто а = λе. також Векторний обчислення … Велика радянська енциклопедія
- (орт), вектор, довжина до рого дорівнює одиниці обраного масштабу … Природознавство. Енциклопедичний словник
Орт: У Вікісловарі є стаття «орт» Орф, або Орт двоголовий пес, породження Тифона та Єхидни, брат Цербера. Орт … Вікіпедія
А; м. [нім. Ort] 1. Горн. Горизонтальне підземне гірське вироблення, що не має безпосереднього виходу на поверхню. 2. Матем. Вектор, довжина якого дорівнює одиниці. * * * орт I (від грец. orthós прямий), те ж, що одиничний вектор. II (нім.… … Енциклопедичний словник
Одиничний вектор- це векторабсолютна величина (модуль) якого дорівнює одиниці. Для позначення одиничного вектора ми будемо використовувати нижній індекс е. Так, якщо заданий вектор а, то його одиничним вектором буде вектор ае. Цей одиничний вектор спрямований туди, куди спрямований і сам вектор а, та її модуль дорівнює одиниці, тобто а е = 1.
Очевидно, а= а · ае (а - модуль вектора а). Це випливає з правила, яким виконується операція множення скаляра на вектор .
Поодинокі векторичасто пов'язують із координатними осями системи координат (зокрема, з осями декартової системи координат). Напрями цих векторівзбігаються з напрямками відповідних осей, які початку часто поєднують з початком системи координат.
Нагадаю, що декартовою системою координату просторі традиційно називається трійка взаємно перпендикулярних осей, що перетинаються у точці, яка називається початком координат. Координатні осі зазвичай позначають буквами X, Y, Z і називають відповідно віссю абсцис, віссю ординат і віссю аплікат. Сам Декарт користувався лише однією віссю, де відкладалися абсциси. Заслуга використання системиосей належить його учням. Тому фраза декартова система координатісторично хибна. Краще говорити прямокутна система координатабо ортогональна система координат. Тим не менш, змінювати традиції ми не станемо і надалі вважатимемо, що декартова та прямокутна (ортогональна) системи координат – це те саме.
Одиничний вектор, спрямований уздовж осі Х, позначається i, одиничний вектор, спрямований уздовж осі Y , позначається j, а одиничний вектор, спрямований уздовж осі Z, позначається k. Вектори i, j, kназиваються ортами(рис. 12, зліва), вони мають одиничні модулі, тобто
i = 1, j = 1, k = 1.
Осі та орти прямокутної системи координату деяких випадках мають інші назви та позначення. Так, вісь абсцис X може називатися дотичною віссю, а її орт позначається τ (грецька рядкова літера тау), вісь ординат - віссю нормалі, її орт позначається n, вісь аплікат - віссю бінормалі, її орт позначається b. Навіщо змінювати назви, якщо суть залишається такою самою?
Річ у тім, що, наприклад, у механіці щодо руху тіл прямокутна система координат використовується дуже часто. Так от, якщо сама система координат нерухома, а зміна координат об'єкта, що рухається, відстежується в цій нерухомій системі, то зазвичай осі позначають X, Y, Z, а їх ортивідповідно i, j, k.
Але нерідко, коли об'єкт рухається якоюсь криволінійною траєкторією (наприклад, по колу) буває зручніше розглядати механічні процеси в системі координат, що рухається з цим об'єктом. Саме для такої системи координат, що рухається, і використовуються інші назви осей та їх ортів. Просто так заведено. У цьому випадку вісь X направляють по дотичній траєкторії в тій її точці, в якій в даний момент цей об'єкт знаходиться. І тоді цю вісь називають вже не віссю X, а дотичною віссю, а її орт позначають уже не i, а τ . Вісь Y направляють по радіусу кривизни траєкторії (у разі руху по колу - до центру кола). А оскільки радіус перпендикулярний дотичній, то вісь називають віссю нормалі (перпендикуляр і нормаль - це те саме). Орт цієї осі позначають вже не j, а n. Третя вісь (колишня Z) перпендикулярна двом попереднім. Це - бінормаль з ортом b(Рис. 12, праворуч). До речі, у цьому випадку таку прямокутну систему координатчасто називають «природною» чи натуральною.
Вектором у геометрії називають спрямований відрізок або впорядковану пару точок евклідового простору. Ортом векторає одиничний вектор нормованого векторного простору або вектор, норма (довжина) якого дорівнює одиниці.
Вам знадобиться
- Знання з геометрії.
Інструкція
Для початку необхідно обчислити довжину вектора. Як відомо, довжина (модуль) векторадорівнює кореню квадратному із суми квадратів координат. Нехай дано вектор із координатами: a(3, 4). Тоді його довжина дорівнює | = (9 + 16) ^ 1/2 чи |a|=5.
Щоб знайти орт вектора a, необхідно поділити кожну його з його довжину. Результатом буде вектор, який називається ортом чи одиничним вектором. Для вектораа(3, 4) ортом буде вектор а(3/5, 4/5). Вектор a` буде одиничним для вектораа.
Для перевірки, чи правильно знайдений орт, можна зробити таке: знайти довжину отриманого орта, якщо вона дорівнює одиниці, то все знайдено правильно, якщо ні, то розрахунки закралася помилка. Перевіримо, чи правильно знайдений орт a`. Довжина вектора a` дорівнює: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Отже, довжина вектора a` дорівнює одиниці, отже орт знайдено правильно.