Або, суворо, – кінцева формальна сума виду
∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdots x_(n)^(i_(n))), деЗокрема, багаточлен від однієї змінної є кінцевою формальною сумою виду
c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x m (\displaystyle c_(0)+c_(1)x^(1)+\dots +c_(m)x^(m)), деЗа допомогою багаточлена виводяться поняття "алгебраїчне рівняння" та "алгебраїчна функція".
Вивчення та застосування[ | ]
Вивчення поліноміальних рівнянь та його рішень становило чи не головний об'єкт «класичної алгебри».
З вивченням багаточленів пов'язаний цілий ряд перетворень у математиці: введення в розгляд нуля, негативних, а потім і комплексних чисел, а також поява теорії груп як розділу математики та виділення класів спеціальних функцій в аналізі.
Технічна простота обчислень, пов'язаних з багаточленами, в порівнянні з більш складними класами функцій, а також той факт, що безліч багаточленів щільно в просторі безперервних функцій на компактних підмножинах евклідового простору (див. апроксимаційна теорема Вейєрштраса), сприяли розвитку методів розкладання інтерполяції в математичному аналізі.
Багаточлени також відіграють ключову роль в геометрії алгебри , об'єктом якої є множини, визначені як рішення систем многочленів.
Особливі властивості перетворення коефіцієнтів при множенні багаточленів використовуються в геометрії алгебри, алгебри, теорії вузлів та інших розділах математики для кодування або вираження багаточленами властивостей різних об'єктів.
Пов'язані визначення[ | ]
- Багаточлен виду c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n)))називається одночленомабо мономоммультиіндекс I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
- Одночлен, що відповідає мультиіндексу I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots ,\,0))називається вільним членом.
- Повним ступенем(ненульового) одночлена c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n)))називається ціле число | I | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)).
- Безліч мультиіндексів I, для яких коефіцієнти c I (\displaystyle c_(I))ненульові, називається носієм багаточлена, а його опукла оболонка - багатогранником Ньютона.
- Ступенем багаточленаназивається максимальна зі ступенів його одночленів. Ступінь тотожного нуля визначається значенням − ∞ (\displaystyle -\infty ).
- Багаточлен, який є сумою двох мономів, називається двочленомабо біномом,
- Багаточлен, який є сумою трьох мономів, називається тричленом.
- Коефіцієнти многочлена зазвичай беруться з певного комутативного кільця R (\displaystyle R)(найчастіше поля, наприклад, поля речових або комплексних чисел). У цьому випадку, щодо операцій складання та множення багаточлени утворюють кільце (більше асоціативно-комутативну алгебру над кільцем R (\displaystyle R)без дільників нуля) яке позначається R [x1, x2, …, xn]. (\displaystyle R.)
- Для багаточлена p(x) (\displaystyle p(x))однією змінною, рішення рівняння p(x) = 0 (\displaystyle p(x)=0)називається його коренем.
Поліноміальні функції[ | ]
Нехай A (\displaystyle A)є алгебра над кільцем R (\displaystyle R). Довільний багаточлен p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R)визначає поліноміальну функцію
p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\to A).Найчастіше розглядають випадок A = R (\displaystyle A = R).
У разі, якщо R (\displaystyle R)є поле речових чи комплексних чисел (а також будь-яке інше поле з нескінченним числом елементів), функція f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R)повністю визначає многочлен p. Однак у загальному випадку це не так, наприклад: багаточлени p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x)і p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2))з Z 2 [x] (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)[x])визначають тотожно рівні функції Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \mathbb (Z) _(2)).
Поліноміальна функція одного дійсного змінного називається цілою раціональною функцією.
Види багаточленів[ | ]
Властивості [ | ]
Подільність [ | ]
Роль неприведених багаточленів у кільці багаточленів подібна до участю простих чисел у кільці цілих чисел. Наприклад, вірна теорема: якщо добуток багаточленів p q (\displaystyle pq)ділиться на неприведений багаточлен, то pабо qділиться на λ (\displaystyle \lambda). Кожен многочлен, ступеня більшої за нуль, розкладається в даному полі до твір ненаведених множників єдиним чином (з точністю до множників нульового ступеня).
Наприклад, багаточлен x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), що не наводиться в полі раціональних чисел, розкладається на три множники в полі дійсних чисел і на чотири множники в полі комплексних чисел.
Взагалі, кожен багаточлен від одного змінного x (\displaystyle x)розкладається в полі дійсних чисел на множники першого та другого ступеня, у полі комплексних чисел - на множники першого ступеня (основна теорема алгебри).
Для двох і більше змінних цього вже не можна стверджувати. Над будь-яким полем для будь-кого n > 2 (\displaystyle n>2)існують багаточлени від n (\displaystyle n)змінних, що не наводяться в будь-якому розширенні цього поля. Такі багаточлени називаються абсолютно непривідними.
Поняття багаточлена
Визначення багаточлена: багаточлен – це сума одночленів. Приклад багаточлена:
тут бачимо суму двох одночленів, але й є многочлен, тобто. сума одночленів.
Доданки, у тому числі складається многочлен, називаються членами многочлена.
Чи є різницю одночленів багаточленом? Так, є, адже різниця легко наводиться до суми, приклад: 5a - 2b = 5a + (-2b).
Одночлени також вважають багаточленами. Але в одночлені немає суми, тоді чому його вважають багаточленом? А до нього можна додати нуль та отримати його суму з нульовим одночленом. Отже, одночлен – це окремий випадок багаточлена, він складається з одного члена.
Число нуль - це нульовий багаточлен.
Стандартний вид багаточлену
Що таке багаточлен стандартного вигляду? Багаточлен є сума одночленів і якщо всі ці одночлени, що становлять багаточлен, записані у стандартному вигляді, крім того серед них не повинно бути подібних, тоді багаточлен записаний у стандартному вигляді.
Приклад багаточлена у стандартному вигляді:
тут багаточлен складається з 2 одночленів, кожен з яких має стандартний вигляд, серед одночленів немає подібних.
Тепер приклад багаточлена, який не має стандартного вигляду:
тут два одночлени: 2a і 4a є подібними. Треба їх скласти, тоді багаточлен набуде стандартного вигляду:
Ще приклад:
Цей багаточлен наведено до стандартного вигляду? Ні, у нього другий член не записаний у стандартному вигляді. Записавши його у стандартному вигляді, отримуємо багаточлен стандартного вигляду:
Ступінь багаточлена
Що таке ступінь багаточлена?
Ступінь багаточлена визначення:
Ступінь багаточлена - найбільший ступінь, який мають одночлени, що становлять даний багаточлен стандартного виду.
приклад. Який ступінь багаточлена 5h? Ступінь многочлена 5h дорівнює одному, адже цей многочлен входить лише один одночлен і ступінь його дорівнює одному.
Інший приклад. Який ступінь багаточлена 5a 2 h 3 s 4+1? Ступінь багаточлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 дорівнює дев'яти, адже до цього багаточлена входять два одночлени, найбільший ступінь має перший одночлен 5a 2 h 3 s 4 , а його ступінь дорівнює 9-ти.
Ще приклад. Який ступінь багаточлена 5? Ступінь многочлена 5 дорівнює нулю. Отже, ступінь многочлена, що складається лише у складі, тобто. без літер, що дорівнює нулю.
Останній приклад. Який ступінь нульового многочлена, тобто. нуля? Ступінь нульового багаточлена не визначено.
поліном, вираз виду
Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,
де х, у, ..., w - змінні, а А, В, ..., D (коефіцієнти М.) і k, l, ..., t (показники ступенів - цілі невід'ємні числа) - постійні. Окремі складові виду Ахkyl┘..wm називаються членами М. Порядок членів, а також порядок множників у кожному члені можна змінювати довільно; так само можна вводити або опускати члени з нульовими коефіцієнтами, а в кожному окремому члені - ступеня з нульовими показниками. У разі коли М. має один, два або три члени, його називають одночленом, двочленом або тричленом. Два члени М. називаються подібними, якщо в них показники ступенів однакових змінних попарно рівні. Подібні між собою члени
А"хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, ┘.., D"xkyl┘..wm
можна замінити одним (наведення подібних членів). Два М. називаються рівними, якщо після приведення подібних усі члени з відмінними від нуля коефіцієнтами виявляються попарно однаковими (але, можливо, записаними в різному порядку), а також якщо всі коефіцієнти цих М. виявляються рівними нулю. В останньому випадку М. називається тотожним нулем і позначають знаком 0. М. від одного змінного х можна завжди записати у вигляді
P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,
де a0, a1,..., an ≈ коефіцієнти.
Суму показників ступенів якогось члена М. називають ступенем цього члена. Якщо М. не тотожний нуль, то серед членів з відмінними від нуля коефіцієнтами (передбачається, що всі подібні члени наведені) є один або кілька найбільших; цей найбільший ступінь називають ступенем М. Тотожний нуль не має ступеня. М. нульового ступеня зводиться одного члену А (постійному, не рівному нулю). Приклади: xyz + х + у + z є багаточлен третього ступеня, 2x + у ≈ z + 1 є багаточлен першого ступеня (лінійний М.), 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3х2 не має ступеня, тому що це тотожний нуль. М., всі члени якого однаковою мірою, називається однорідним М., або формою; форми першого, другого і третього ступенів називаються лінійними, квадратичними, кубічними, а за кількістю змінних (два, три) двійковими (бінарними), трійчастими (тернарними) (наприклад, x2 + y2 + z2 ≈ х ≈ yz ≈ xz є трійчаста квадратична форма ).
Щодо коефіцієнтів М. передбачається, що вони належать певному полю (див. алгебраїчне поле), наприклад полю раціональних, дійсних або комплексних чисел. Виконуючи над М. дії складання, віднімання та множення на підставі переміщувального, сполучного та розподільчого законів, отримують знову М. Таким чином, сукупність всіх М. з коефіцієнтами з даного поля утворює кільце (див. Кільце алгебраїчне) - кільце многочленів над даним полем; це кільце немає дільників нуля, т. е. твір М., не рівних 0, неспроможна дати 0.
Якщо двох многочленів Р(х) і Q(x) можна знайти такий многочлен R(x), що Р = QR, то кажуть, що Р ділиться на Q; Q називається дільником, a R ≈ приватним. Якщо Р не ділиться на Q, то можна знайти такі багаточлени Р(х) і S(x), що Р = QR + S, причому ступінь S(x) менший за ступінь Q(x).
Через повторне застосування цієї операції можна знаходити найбільший спільний дільник Р і Q, тобто такий дільник Р і Q, який ділиться на будь-який спільний дільник цих багаточленів (див. Евкліда алгоритм). М., який можна подати у вигляді твору М. нижчих ступенів з коефіцієнтами з даного поля, називається наведеним (в даному полі), в іншому випадку - ненаведеним. Неприведені М. грають у кільці М. роль, подібну до простих чисел у теорії цілих чисел. Так, наприклад, вірна теорема: якщо добуток PQ ділиться на непривідний багаточлен R, a P на R не ділиться, то тоді Q має ділитися на R. Кожен М. ступеня, більшого за нуль, розкладається в даному полі до твір ненаведених множників єдиним чином ( з точністю до множників нульового ступеня). Наприклад, багаточлен x4 + 1, що не наводиться в полі раціональних чисел, розкладається на два множники
у полі дійсних чисел і на чотири множники в полі комплексних чисел. Взагалі кожен М. від одного змінного х розкладається в полі дійсних чисел на множники першого та другого ступеня, у полі комплексних чисел на множники першого ступеня (основна теорема алгебри). Для двох і більшої кількості змінних цього не можна стверджувати; наприклад, многочлен x3 + yz2 + z3 не наводиться в будь-якому числовому полі.
Якщо змінним х, у, ..., w надати певні числові значення (наприклад, дійсні чи комплексні), то М. також отримає певне числове значення. Звідси випливає, кожен М. можна як функцію відповідних змінних. Ця функція безперервна і диференційована за будь-яких змінних змін; її можна характеризувати як цілу раціональну функцію, тобто функцію, що виходить із змінних та деяких постійних (коефіцієнтів) за допомогою виконаних у певному порядку дій додавання, віднімання та множення. Цілі раціональні функції входять у ширший клас раціональних функцій, де до перерахованих дій приєднується розподіл: будь-яку раціональну функцію можна як приватного двох М. Нарешті, раціональні функції містяться у класі алгебраїчних функцій.
До найважливіших властивостей М. відноситься те, що будь-яку безперервну функцію можна з довільно малою помилкою замінити М. (теорема Вейєрштрасса; точна її формулювання вимагає, щоб дана функція була безперервна на якомусь обмеженому, замкнутому множині точок, наприклад на відрізку числової осі ). Цей факт, що доводиться засобами математичного аналізу, дає можливість приблизно висловлювати М. будь-який зв'язок між величинами, що вивчається в будь-якому питанні природознавства та техніки. Способи такого вираження досліджуються у спеціальних розділах математики (див. наближення та інтерполювання функцій, найменших квадратів метод).
В елементарній алгебрі багаточленом іноді називаються такі вирази алгебри, в яких останнім дією є складання або віднімання, наприклад
Літ. : Курош А. Р., Курс вищої алгебри, 9 видавництво, М., 1968; Мішина А. П., Проскуряков І. Ст, Вища алгебра, 2 видавництва, М., 1965.
Після вивчення одночленів переходимо до багаточленів. Ця стаття розповість про всі необхідні відомості, необхідні виконання дій над ними. Ми визначимо багаточлен із супутніми визначеннями члена багаточлена, тобто вільний і подібний, розглянемо багаточлен стандартного виду, введемо ступінь та навчимося його знаходити, попрацюємо з його коефіцієнтами.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Багаточлен та його члени – визначення та приклади
Визначення многочлена треба було ще в 7 клас після вивчення одночленів. Розглянемо повне визначення.
Визначення 1
Багаточленомвважається сума одночленів, причому сам одночлен – це окремий випадок багаточлена.
З визначення випливає, що приклади багаточленів можуть бути різними: 5 , 0 , − 1 , x, 5 · a · b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z і так далі. З визначення маємо, що 1+x, a 2 + b 2 і вираз x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5, 2 · y · x є многочленами.
Розглянемо ще визначення.
Визначення 2
Членами багаточленуназиваються його складові одночлени.
Розглянемо такий приклад, де маємо багаточлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , що складається з 4 членів: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 та − y 3. Такий одночлен вважатимуться многочленом, що з одного члена.
Визначення 3
Багаточлени, які мають у своєму складі 2 , 3 тричлени мають відповідну назву – двочлені тричлен.
Звідси випливає, що вираз виду x + y– є двочленом, а вираз 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – тричленом.
За шкільною програмою працювали з лінійним двочленом виду a x + b , де а і b є деякими числами, а х - змінною. Розглянемо приклади лінійних двочленів виду: x + 1, x · 7, 2 - 4 з прикладами квадратних тричленів x 2 + 3 · x - 5 і 2 5 · x 2 - 3 x + 11.
Для перетворення та рішення необхідно знаходити та наводити подібні доданки. Наприклад, багаточлен виду 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x має подібні доданки 1 і - 3, 5 х та 2 х. Їх поділяють на особливу групу під назвою таких членів многочлена.
Визначення 4
Подібні члени багаточлену– це подібні доданки, що перебувають у багаточлені.
У наведеному вище прикладі маємо, що 1 і - 3 , 5 х і 2 х є подібними членами многочлена або подібними доданками. Для того, щоб спростити вираз, застосовують знаходження та приведення подібних доданків.
Багаточлен стандартного вигляду
У всіх одночленів і багаточленів є певні назви.
Визначення 5
Багаточлен стандартного видуназивають багаточлен, у якого кожен член, що входить до нього, має одночлен стандартного вигляду і не містить подібних членів.
З визначення видно, що можливе приведення багаточленів стандартного виду, наприклад, 3 · x 2 - x · y + 1 та __formula__, причому запис у стандартному вигляді. Вирази 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z та 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z багаточленами стандартного виду не є, тому що перший з них має подібні доданки у вигляді 3 · x 2 та − x 2, а другий містить одночлен виду x · y 3 · x · z 2 відрізняється від стандартного многочлена.
Якщо цього вимагають обставини, іноді многочлен наводиться до стандартного виду. Багаточлен стандартного виду вважається і поняття вільного члена многочлена.
Визначення 6
Вільним членом багаточленає багаточлен стандартного вигляду, що не має буквеної частини.
Інакше висловлюючись, коли запис многочлена у стандартному вигляді має число, його називають вільним членом. Тоді число 5 є вільним членом многочлена x 2 · z + 5 а багаточлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 вільного члена не має.
Ступінь багаточлена - як її знайти?
Визначення самого ступеня багаточлена базується на визначенні багаточлена стандартного виду та на ступенях одночленів, які є його складовими.
Визначення 7
Ступенем багаточлена стандартного виглядуназивають найбільший зі ступенів, що входять до його запису.
Розглянемо з прикладу. Ступінь многочлена 5 · x 3 - 4 дорівнює 3 тому, як одночлени, що входять до його складу, мають ступеня 3 і 0, а більше з них 3 відповідно. Визначення ступеня із многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x дорівнює найбільшому з чисел, тобто 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 і 1, отже 5 .
Слід з'ясувати, як знаходиться сама ступінь.
Визначення 8
Ступінь багаточлена довільного числа- це ступінь відповідного багаточлена в стандартному вигляді.
Коли многочлен записаний над стандартному вигляді, але потрібно знайти його ступінь, необхідно приведення до стандартного, після чого шукати ступінь.
Приклад 1
Знайти ступінь багаточлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 - 2 · a 12 − a 12.
Рішення
Для початку представимо багаточлен у стандартному вигляді. Отримаємо вираз виду:
3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = (3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
При отриманні многочлена стандартного виду отримуємо, що чітко виділяються два з них - 2 · a 2 · b 2 · c 2 та y 2 · z 2 . Для знаходження ступенів порахуємо та отримаємо, що 2 + 2 + 2 = 6 та 2 + 2 = 4 . Видно, що найбільша їх дорівнює 6 . З визначення випливає, що саме 6 є ступенем многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , отже вихідного значення.
Відповідь: 6 .
Коефіцієнти членів багаточлену
Визначення 9Коли всі члени багаточлена є одночленами стандартного виду, то у такому випадку вони мають назву коефіцієнтів членів багаточлену.Інакше висловлюючись, їх можна називати коефіцієнтами многочлена.
При розгляді прикладу видно, що багаточлен виду 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 має у своєму складі 4 багаточлени: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x та 7 з відповідними коефіцієнтами 2 , − 0 , 5 , 3 і 7 . Значить, 2 , − 0 , 5 , 3 та 7 вважаються коефіцієнтами членів заданого багаточлена виду 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При перетворенні важливо звертати увагу на коефіцієнти, що стоять перед змінними.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Відповідно до визначення, многочлен це алгебраїчне вираз являє собою суму одночленів.
Наприклад: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 - многочлени, а вираз z/(x - x*y^2 + 4) перестав бути многочленом оскільки вона перестав бути сумою одночленів. Багаточлен ще іноді називають поліномом, а одночлени, які входять до складу багаточлена членами багаточлена або мономами.
Комплексне поняття багаточлена
Якщо многочлен складається з двох доданків, його називають двочлен, якщо з трьох - трехчлен. Назви чотиричленів, п'ятичленів та інші не використовуються, а в таких випадках говорять просто, багаточлени. Такі назви, залежно від кількості доданків, ставлять усі на свої місця.
І термін одночлен стає інтуїтивно зрозумілим. З погляду математики, одночлен є окремим випадком многочлена. Одночлен це багаточлен, що складається з одного доданку.
Так само як і в одночлена, багаточлен має свій стандартний вигляд. Стандартним видом багаточлена називається такий запис багаточлена, при якому всі одночлени, що входять до нього як складові, записані в стандартному вигляді і наведені подібні члени.
Стандартний вид багаточлену
Процедура приведення багаточлена до стандартного виду полягає в тому, щоб привести кожен із одночленів до стандартного вигляду, а потім усі подібні одночлени між собою скласти. Додавання подібних членів багаточлена називають приведенням подібних.
Наприклад, наведемо подібні доданки в багаточлені 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.
Подібними тут є доданки 4*a*b^2*c^3 та 6*a*b^2*c^3. Сумою цих доданків буде одночлен 10*a*b^2*c^3. Отже, вихідний багаточлен 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b можна переписати у вигляді 10*a*b^2*c^3 - a*b . Цей запис і буде стандартним видом багаточлена.
З того, що будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду, випливає також і той факт, що будь-який багаточлен можна привести до стандартного вигляду.
Коли багаточлен приведено до стандартного вигляду, можна говорити про таке поняття, як ступінь багаточлена. Ступенем многочлена називається найбільша ступінь одночлена, що входить до цього багаточлена.
Так, наприклад, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 - багаточлен п'ятого ступеня, тому що максимальний ступінь одночлена входить до багаточлену (5*x^3*y^2) п'ятий.