Що таке логарифми визначення. Записи з міткою "логарифми"

Сьогодні ми поговоримо про формулах логарифміві дамо показові приклади рішення.

Самі собою мають на увазі шаблони рішення відповідно до основних властивостей логарифмів. Перш за все застосовувати формули логарифмів для вирішення нагадаємо для вас, спочатку всі властивості:

Тепер на основі цих формул (властивостей), покажемо приклади вирішення логарифмів.

Приклади розв'язання логарифмів виходячи з формул.

Логарифмпозитивного числа b на підставі a (позначається log a b) - це показник ступеня, в який треба звести a щоб отримати b, при цьому b > 0, a > 0, а 1.

Відповідно до визначення log a b = x, що рівносильно a x = b, тому log a a x = x.

Логарифми, Приклади:

log 28 = 3, т.к. 2 3 = 8

log 7 49 = 2, т.к. 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, т.к. 5 -1 = 1/5

Десятковий логарифм- це звичайний логарифм, на основі якого знаходиться 10. Позначається як lg.

log 10100 = 2, т.к. 10 2 = 100

Натуральний логарифм- також звичайний логарифм логарифм, але з підставою е (е = 2,71828... - ірраціональне число). Позначається як ln.

Формули чи властивості логарифмів бажано запам'ятати, тому що вони знадобляться нам надалі при розв'язанні логарифмів, логарифмічних рівнянь та нерівностей. Давайте ще раз відпрацюємо кожну формулу на прикладах.

Основне логарифмічне тотожність
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Логарифм твору дорівнює сумі логарифмів.
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4
Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 / 9 log 5 2 = 9 log 5 50 - log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Властивості ступеня логарифмованого числа та основи логарифму
Показник ступеня логарифмованого числа log a b m = mlog a b

Показник ступеня основи логарифму log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

якщо m = n, отримаємо log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Перехід до нової основи
log a b = log c b/log c a,
якщо c = b, отримаємо log b b = 1

тоді log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Як бачите, формули логарифмів не такі складні, як здаються. Тепер розглянувши приклади розв'язання логарифмів, ми можемо переходити до логарифмічних рівнянь. Приклади розв'язання логарифмічних рівнянь ми докладніше розглянемо у статті: " ". Не пропустіть!

Якщо у вас залишилися питання щодо вирішення, пишіть їх у коментарях до статті.

Замітка: вирішили здобути освіту іншого класу навчання за кордоном як варіант розвитку подій.

Логарифмом позитивного числа b на підставі a (a>0, a не дорівнює 1) називають таке число з, що a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) nbsp

Зверніть увагу: логарифм від позитивного числа не визначено. Крім того, в основі логарифму має бути позитивне число, не рівне 1. Наприклад, якщо ми зведемо -2 у квадрат, отримаємо число 4, але це не означає, що логарифм на підставі -2 від 4 дорівнює 2.

Основне логарифмічне тотожність

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Важливо, що області визначення правої та лівої частин цієї формули відрізняються. Ліва частина визначена тільки при b>0, a>0 і a ≠ 1. Права частина визначена за будь-якого b, а від a взагалі не залежить. Таким чином, застосування основної логарифмічної "тотожності" при вирішенні рівнянь та нерівностей може призвести до зміни ОДЗ.

Два очевидні наслідки визначення логарифму

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Дійсно, при зведенні числа a в перший ступінь ми отримаємо те саме число, а при зведенні в нульовий ступінь - одиницю.

Логарифм твору та логарифм приватного

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Хотілося б застерегти школярів від бездумного застосування даних формул під час вирішення логарифмічних рівнянь та нерівностей. При їх використанні "зліва направо" відбувається звуження ОДЗ, а при переході від суми чи різниці логарифмів до логарифму твору або приватного - розширення ОДЗ.

Дійсно, вираз log a (f (x) g (x)) визначено у двох випадках: коли обидві функції суворо позитивні або коли f (x) і g (x) обидві менше від нуля.

Перетворюючи цей вираз у суму log a f (x) + log a g (x) , ми змушені обмежуватися лише випадком, коли f(x)>0 і g(x)>0. В наявності звуження області допустимих значень, а це категорично неприпустимо, тому що може призвести до втрати рішень. Аналогічна проблема існує й у формули (6).

Ступінь можна виносити за знак логарифму

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

І знову хотілося б покликати до акуратності. Розглянемо наступний приклад:

Log a (f(x) 2 = 2 log a f(x)

Ліва частина рівності визначена, очевидно, за всіх значень f(х), крім нуля. Права частина - тільки за f(x)>0! Виносячи ступінь із логарифму, ми знову звужуємо ОДЗ. Зворотна процедура призводить до розширення області допустимих значень. Всі ці зауваження стосуються не тільки ступеня 2, але й будь-якого парного ступеня.

Формула переходу до нової основи

log a b = log c b log ca (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Той рідкісний випадок, коли ОДЗ не змінюється під час перетворення. Якщо ви розумно вибрали основу з (позитивна і не рівна 1), формула переходу до нової основи є абсолютно безпечною.

Якщо в якості нової основи вибрати число b, отримаємо важливий окремий випадок формули (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Декілька простих прикладів з логарифмами

Приклад 1. Обчисліть: lg2 + lg50.
Рішення. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Ми скористалися формулою суми логарифмів (5) та визначенням десяткового логарифму.

Приклад 2. Розрахуйте: lg125/lg5.
Рішення. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Ми використали формулу переходу до нової основи (8).

Таблиця формул, пов'язаних із логарифмами

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log ca (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Наведено основні властивості натурального логарифму, графік, область визначення, безліч значень, основні формули, похідна, інтеграл, розкладання в статечний ряд та представлення функції ln x за допомогою комплексних чисел.

Визначення

Натуральний логарифм- це функція y = ln x, зворотна до експоненти , x = e y , що є логарифмом на основі числа е : ln x = log e x.

Натуральний логарифм широко використовується в математиці, оскільки його похідна має найпростіший вид: (ln x)′ = 1/ x.

Виходячи з визначення, основою натурального логарифму є число е:
е ≅ 2,718281828459045...;
.

Графік функції y = ln x.

Графік натурального логарифму (функції y = ln x) Виходить з графіка експоненти дзеркальним відображенням щодо прямої y = x .

Натуральний логарифм визначено за позитивних значень змінної x . Він монотонно зростає у своїй області визначення.

При x → 0 межею натурального логарифму є мінус нескінченність (-∞).

При x → + ∞ межею натурального логарифму є плюс нескінченність ( + ∞ ). При великих логарифм зростає досить повільно. Будь-яка статечна функція x a з позитивним показником ступеня a зростає швидше за логарифму.

Властивості натурального логарифму

Область визначення, безліч значень, екстремуми, зростання, спадання

Натуральний логарифм є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні властивості натурального логарифму представлені у таблиці.

Значення ln x

ln 1 = 0

Основні формули натуральних логарифмів

Формули, що випливають із визначення зворотної функції:

Основна властивість логарифмів та його наслідки

Формула заміни основи

Будь-який логарифм можна виразити через натуральні логарифми за допомогою формули заміни основи:

Докази цих формул представлені у розділі "Логарифм".

Зворотня функція

Зворотною для натурального логарифму є експонента.

Якщо , то

Якщо, то.

Похідна ln x

Похідна натурального логарифму:
.
Похідна натурального логарифму від модуля x:
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Інтеграл

Інтеграл обчислюється інтегруванням частинами:
.
Отже,

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексної змінної z:
.
Виразимо комплексну змінну zчерез модуль rта аргумент φ :
.
Використовуючи властивості логарифму, маємо:
.
Або
.
Аргумент φ визначено неоднозначно. Якщо покласти
де n - ціле,
то буде тим самим числом при різних n .

Тому натуральний логарифм як функція від комплексного змінного є неоднозначною функцією.

Розкладання в статечний ряд

При має місце розкладання:

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

основними властивостями.

logax + logay = loga (x · y);
logax – logay = loga (x: y).

однакові підстави

Log6 4+log6 9.

Тепер трохи ускладнимо завдання.

Приклади вирішення логарифмів

Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x >

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Перехід до нової основи

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Дивіться також:

Основні властивості логарифму

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Експонента дорівнює 2,718281828. Щоб запам'ятати експоненту, можете вивчити правило: експонента дорівнює 2,7 і двічі рік народження Льва Миколайовича Толстого.

Основні властивості логарифмів

Знаючи це правило знатимете і точне значення експоненти, і дату народження Льва Толстого.

Приклади на логарифми

Прологарифмувати вирази

приклад 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

За властивостями 3,5 обчислюємо

4. де .

Приклад 2. Знайти х, якщо

Приклад 3. Нехай задано значення логарифмів

Обчислити log(x), якщо

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: logax та logay. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

logax + logay = loga (x · y);
logax – logay = loga (x: y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log2 48 − log2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log3 135 − log3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log7 496.

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 24; 49 = 72. Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо тільки зі знаменником.

Формули логарифмів. Логарифми – приклади рішення.

Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть те саме число: log2 7. Оскільки log2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x отримаємо:

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log5 16 · log2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбавимося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто у процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a? Правильно: вийде це число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що log25 64 = log5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

logaa = 1 – це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
loga 1 = 0 це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Скачайте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.

Дивіться також:

Логарифмом числа b на підставі a позначають вираз . Обчислити логарифм означає знайти такий ступінь x (), при якому виконується рівність

Основні властивості логарифму

Наведені властивості необхідно знати, оскільки, на їх основі вирішуються практично всі завдання та приклади пов'язані з логарифмами. Інші екзотичні властивості можна вивести шляхом математичних маніпуляцій з даними формулами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При обчисленнях формули суми та різниці логарифмів (3,4) зустрічаються досить часто. Інші дещо складні, але у ряді завдань є незамінними для спрощення складних виразів та обчислення їх значень.

Поширені випадки логарифмів

Одними з поширених логарифмів є такі в яких основа рівна десять, експоненті або двійці.
Логарифм на основі десять прийнято називати десятковим логарифмом і спрощено позначати lg(x).

Із запису видно, що основи запису не пишуть. Для прикладу

Натуральний логарифм – це логарифм, у якого за основу експонента (позначають ln(x)).

Експонента дорівнює 2,718281828. Щоб запам'ятати експоненту, можете вивчити правило: експонента дорівнює 2,7 і двічі рік народження Льва Миколайовича Толстого. Знаючи це правило знатимете і точне значення експоненти, і дату народження Льва Толстого.

І ще один важливий логарифм на основі два позначають

Похідна від логарифм функції дорівнює одиниці розділеної на змінну

Інтеграл чи первісна логарифма визначається залежністю

Наведеного матеріалу Вам достатньо, щоб вирішувати широкий клас завдань, пов'язаних з логарифмами та логарифмування. Для засвоєння матеріалу наведу лише кілька поширених прикладів зі шкільної програми та ВНЗ.

Приклади на логарифми

Прологарифмувати вирази

приклад 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

За властивостями 3,5 обчислюємо

2.
За властивістю різниці логарифмів маємо

3.
Використовуючи властивості 3,5 знаходимо

4. де .

На вигляд складне вираження з використанням низки правил спрощується до вигляду

Знаходження значень логарифмів

Приклад 2. Знайти х, якщо

Рішення. Для обчислення застосуємо до останнього доданку 5 і 13 властивості

Підставляємо в запис і сумуємо

Оскільки основи рівні, то прирівнюємо вирази

Логарифми. Початковий рівень.

Нехай задано значення логарифмів

Обчислити log(x), якщо

Рішення: Прологарифмуємо змінну, щоб розписати логарифм через суму доданків

На цьому знайомство з логарифмами та їх властивостями лише починається. Вправляйтеся в обчисленнях, збагачуйте практичні навички - отримані знання скоро знадобляться для вирішення логарифмічних рівнянь. Вивчивши основні методи вирішення таких рівнянь, ми розширимо Ваші знання для іншої не менш важливої теми — логарифмічні нерівності.

Основні властивості логарифмів

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: logax та logay. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

logax + logay = loga (x · y);
logax – logay = loga (x: y).

Завдання. Знайдіть значення виразу: log6 4 + log6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log2 48 − log2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log3 135 − log3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Як вирішувати логарифми

Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log7 496.

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 24; 49 = 72. Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо тільки зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Перехід до нової основи

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x отримаємо:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log5 16 · log2 25.

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбавимося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

logaa = 1 – це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
loga 1 = 0 це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Почнемо зі властивості логарифму одиниці. Його формулювання таке: логарифм одиниці дорівнює нулю, тобто, log a 1=0для будь-якого a>0, a≠1. Доказ не викликає складнощів: оскільки a 0 =1 для будь-якого a , що задовольняє зазначеним вище умовам a>0 і a≠1 , то рівність log a 1=0 відразу випливає з визначення логарифму.

Наведемо приклади застосування розглянутої якості: log 3 1=0 , lg1=0 і .

Переходимо до наступної властивості: логарифм числа, рівного підставі, дорівнює одиниці, тобто, log a a=1при a>0, a≠1. Справді, оскільки a 1 =a для будь-якого a , то визначення логарифму log a a=1 .

Прикладами використання цієї властивості логарифмів є рівності log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 і lne = 1 .

Наприклад, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 і .

Логарифм твору двох позитивних чисел x і y дорівнює добутку логарифмів цих чисел: log a (x · y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Доведемо властивість логарифму твору. В силу властивостей ступеня a log a x + log a y = log a x · log a y, а так як за основною логарифмічною тотожністю a log a x = x і a log a y = y, то a log a x a log a y = x y. Таким чином, a log a x + log a y = x · y, звідки за визначенням логарифму випливає рівність, що доводиться.

Покажемо приклади використання властивості логарифму добутку: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 і .

Властивість логарифму твору можна узагальнити добуток кінцевого числа n позитивних чисел x 1 , x 2 , …, x n як log a (x 1 · x 2 · ... · x n) = log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Ця рівність без проблем доводиться.

Наприклад, натуральний логарифм твору можна замінити сумою трьох натуральних логарифмів чисел 4 , e , і .

Логарифм приватного двох позитивних чисел x і y дорівнює різниці логарифмів цих чисел. Властивості приватного логарифму відповідає формула виду , де a>0 , a≠1 , x і y – деякі позитивні числа. Справедливість цієї формули доводиться як і формула логарифму твору: оскільки , то щодо визначення логарифму .

Наведемо приклад використання цієї властивості логарифму: .

Переходимо до властивості логарифму ступеня. Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм модуля основи цього ступеня. Запишемо цю властивість логарифму ступеня у вигляді формули: log a b p = log a | b |, де a>0 , a≠1 , b та p такі числа, що ступінь b p має сенс і b p >0 .

Спочатку доведемо цю властивість для позитивних b. Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам уявити число b як a log a b тоді b p = (a log a b) p , а отримане вираз в силу властивість ступеня дорівнює a p · log a b . Так ми приходимо до рівності b p = a p · log a b , з якого за визначенням логарифму укладаємо, що log a b p = p · log a b .

Залишилося довести цю властивість для негативних b. Тут зауважуємо, що вираз log a b p при негативних b має сенс лише при парних показниках ступеня p (оскільки значення ступеня b p має бути більшим за нуль, в іншому випадку логарифм не матиме сенсу), а в цьому випадку b p =|b| p. Тоді b p = | b | p = (a log a | b |) p = a p · log a | b |, Звідки log a b p = p log a | b | .

Наприклад, і ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Із попередньої властивості випливає властивість логарифму з кореня: логарифм кореня n-ого ступеня дорівнює добутку дробу 1/n на логарифм підкореного виразу, тобто, , де a>0, a≠1,n - натуральне число, більше одиниці, b>0.

Доказ базується на рівності (дивіться ), яка справедлива для будь-яких позитивних b і властивості логарифму ступеня: .

Ось приклад використання цієї властивості: .

Тепер доведемо формулу переходу до нової основи логарифмувиду . Для цього достатньо довести справедливість рівності log c b = log a b log c a . Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам число b уявити як a log a b тоді log c b = log c a log a b . Залишилося скористатися властивістю логарифму ступеня: log ca log ab = log a b log c a. Так доведено рівність log c b = log a b log ca , а значить, доведено і формулу переходу до нової основи логарифму.

Покажемо кілька прикладів застосування цієї властивості логарифмів: і .

Формула переходу до нової основи дозволяє переходити до роботи з логарифмами, що мають «зручну» основу. Наприклад, з її допомогою можна перейти до натуральних або десяткових логарифмів, щоб можна було обчислити значення логарифму таблиці логарифмів. Формула переходу до нової основи логарифму також дозволяє в деяких випадках знаходити значення логарифму, коли відомі значення деяких логарифмів з іншими основами.

Часто використовується окремий випадок формули переходу до нової основи логарифму при c=b виду . Звідси видно, що log ab і log ba – . Наприклад, .

Також часто використовується формула яка зручна при знаходженні значень логарифмів. Для підтвердження своїх слів покажемо, як за допомогою обчислюється значення логарифму виду . Маємо . Для доказу формули достатньо скористатися формулою переходу до нової основи логарифму a: .

Залишилося довести властивості порівняння логарифмів.

Доведемо, що для будь-яких позитивних чисел b 1 і b 2 b 1 log a b 2 , а за a>1 – нерівність log a b 1

Нарешті, залишилося довести останню з перерахованих властивостей логарифмів. Обмежимося доказом його першої частини, тобто доведемо, що якщо a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b>log a 2 b . Інші твердження цієї властивості логарифмів доводяться за аналогічним принципом.

Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що за a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . За властивостями логарифмів ці нерівності можна переписати як і відповідно, а з них випливає, що log b a 1 ≤ log b a 2 і log b a 1 ≥ log b a 2 відповідно. Тоді за властивостями ступенів з однаковими основами повинні виконуватися рівності b log b a 1 b log b a 2 і b log b a 1 b log b a 2 , тобто, a 1 a 2 . Так ми дійшли суперечності умові a 1

Список литературы.

Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.

Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).