Візьмемо довільний контур (Г) та довільну поверхню S у неоднорідному електростатичному полі (рис.3.7, а, б).
Тоді циркуляцією вектора за довільним контуром (Г) називають інтеграл виду:
а потоком ФЕ вектора через довільну поверхню S наступне вираз
Вхідні формули вектора і визначаються наступним чином. По модулю вони дорівнюють елементарній довжині dl контуру (Г) і площі dS елементарного майданчика поверхні S. Напрямок вектора збігається з напрямом обходу контуру (Г), а вектор направлений по вектору нормалі до майданчика dS (рис.3.7).
У разі електростатичного поля циркуляція вектора за довільним замкнутим контуром (Г) дорівнює відношенню роботи Акруг сил поля з переміщення точкового заряду q по цьому контуру до величини заряду і відповідно до формули (3.20) дорівнюватиме нулю
З теорії відомо, якщо для довільного поля вектора циркуляція вектора по довільному замкнутому контуру (Г) дорівнює нулю, то це поле є потенційним . Отже, електростатичне поле є потенційним і електричні заряди в ньому мають потенційну енергію..
Якщо врахувати, що густота ліній визначає модуль вектора в даній точці поля, тоді потік вектора буде чисельно дорівнює кількості N ліній , що пронизують поверхню S.
На рис.3.8 наведено приклади розрахунку потоку через різні поверхні S (рис.3.8, а, б, поверхню S - плоска; рис.3.8, г S - замкнута поверхня). В останньому випадку потік через замкнуту поверхню дорівнює нулю, так як кількість ліній , що входять () і що виходять () з неї, однаково, але вони беруться з протилежними знаками (+>0, -<0).
Для вектора можна сформулювати теорему Гауса, Що визначає потік вектора через довільну замкнуту поверхню.
Теорема Гауса без діелектрика (вакуум) формулюється наступним чином: потік вектора через довільну замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри вільних зарядів , охоплюваних цією поверхнею, поділене на .
Ця теорема є наслідком закону Кулона та принципу суперпозиції електростатичних полів.
Покажемо справедливість теореми для поля точкового заряду. Нехай замкнута поверхня є сферою радіусом R, у центрі якої знаходиться точковий позитивний заряд q (рис.3.9,а).
Отриманий результат не зміниться, якщо замість сфери вибрати довільну замкнуту поверхню (рис.3.9,б), оскільки потік вектора чисельно дорівнює кількості ліній , що пронизують поверхню, а число таких ліній у випадках а і б однаково.
Такі ж міркування з використанням принципу суперпозиції електростатичних полів можна навести і у випадку кількох зарядів, що потрапляють всередину замкнутої поверхні, що підтверджує теорему Гауса.
Термо Гауса для вектора. у присутності діелектрика.У цьому випадку крім вільних зарядів необхідно враховувати і пов'язані заряди, що з'являються на протилежних гранях діелектрика при його поляризації у зовнішньому електричному (докладніше див. розділ діелектрики). Тому теорема Гауса для вектора у присутності діелектрика запишеться таким чином
де праву частину формули входить алгебраїчна сума вільних і пов'язаних зарядів, охоплюваних поверхнею S.
З формули (3.28) випливає фізичний сенс теореми Гауса для вектора : джерелами електростатичного поля вектора є вільні та пов'язані заряди.
У окремому випадку симетричного розташування зарядів і діелектрика, за наявності осьової або сферичної симетрії або у разі ізотропного однорідного діелектрика, відносна діелектрична проникність середовища залишається постійною величиною, яка не залежить від розглянутої всередині діелектрика точки, і тому можна врахувати наявність діелектрика у формулі (3.2) лише запровадженням пов'язаних зарядів , а й параметром , що зручнішим при практичних розрахунках. Так, можна записати (див. параграф 3.1.12.6, формула (3.68))
Тоді теорема Гауса для вектора у цьому випадку запишеться так
де - відносна діелектрична проникність середовища, в якому знаходиться поверхня S.
Зазначимо, що формула (3.29) застосовується при вирішенні завдань на цей розділ, а також для більшості випадків, що зустрічаються на практиці.
кружок у знака інтеграла (3.14) позначає, що інтеграл береться по замкнутому контуру. Інтеграл виду (3.14) по замкнутому контурі називають циркуляцієювектора. Отже, циркуляція вектора електростатичного поля , обчислена за будь-яким замкнутим контуром, рівнонулю.Це загальна властивість усіх полів консервативних сил (потенційних полів).
(3.17)
Якщо ввести наступне позначення:
(3.18)
то формула (3.17) запишеться у компактному вигляді:
Введений нами математичний об'єкт називається оператором градієнтаі формула (3.19) читається так: "вектор дорівнює мінус градієнт j".
Еквіпотенційні поверхні, їх зв'язок із силовими лініями.
Із самої назви випливає, що еквіпотенційні поверхні – це поверхні рівного потенціалу. Отже, рівняння еквіпотенційної поверхнімає вигляд:
Форма еквіпотенційних поверхонь пов'язана з формою силових ліній: еквіпотенційні поверхні розташовані так, що в кожній точці простору силова лінія та еквіпотенційна поверхня взаємно перпендикулярні.
Якщо умовитися проводити еквіпотенційні поверхні так, щоб різниця потенціалів між двома сусідніми поверхнями була однакова, то по густотіеквіпотенційних поверхонь можна будувати висновки про величині напруженості поля.
Якщо розсікти еквіпотенційну поверхню площиною, то перерізі виходять лінії рівного потенціалу, еквіпотенційні лінії.
Провідники та діелектрики. Заряджений провідник. Провідник у зовнішньому електричному полі.
Провідники – це речовини, у яких є вільні електричні заряди. Концентрація вільних зарядів у металевих провідниках того ж порядку, що й концентрація атомів. Ці заряди можуть переміщуватись у межах провідника, якщо в ньому створено електричне поле.
Діелектрики -це речовини, в яких майже немає вільних електричних зарядів.
У моделі ідеального діелектрика вільні заряди відсутні.
Напівпровідникипо концентрації вільних зарядів займають проміжне положення між провідниками та діелектриками. Вони концентрація вільних зарядів дуже залежить від температури.
Якщо провідник зарядити, то вільні заряди в ньому почнуть рухатися і будуть рухатися до тих пір, поки напруженість електричного поля в провіднику не стане рівною нулю, оскільки сила, що діє на заряд, дорівнює:
Якщо , то згідно (3.16):
,
тобто. рівні нулю всі похідні потенціалу, отже, усередині зарядженого провідника потенціал постійний, тобто. обсяг провідника та його поверхня- Еквіпотенційні.
Якщо Е = 0 всюди всередині провідника, то дорівнює нулю потік вектора напруженості електричного поля через будь-яку замкнуту поверхню всередині провідника. Відповідно до теореми Гауса з цього випливає, що об'ємна щільність заряду всередині провідника дорівнює нулю. Весь заряд провідника розподілений по його поверхні. Напруженість електричного поля поза провідником перпендикулярна його поверхні, оскільки вона еквіпотенційна.
Візьмемо на поверхні провідника невелику ділянку площею і збудуємо на ньому «гаусову скриньку», як це робиться при розрахунку поля поблизу рівномірно зарядженої площини. Усередині провідника Е = 0, отже.
Потенційна енергія та потенціал електростатичного поля.
З розділу динаміки відомо, що будь-яке тіло (точка), перебуваючи в потенційному полі, має запас потенційної енергії W п, за рахунок якої силами поля здійснюється робота. Робота консервативних сил супроводжується втратою потенційної енергії A = W п1 -W п2. Використовуючи формулу роботи сили електростатичного поля по переміщенню заряду, одержимо може бути характеристикою поля і називається потенціалом електростатичного поля j. Потенціал поля j - скалярна фізична величина, енергетична характеристика поля, яка визначається потенційною енергією одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку .
Різниця потенціалів двох точок поля визначається роботою сил поля при переміщенні одиничного
потенціал точки поля чисельно дорівнює роботі, що здійснюється електричними силами при переміщенні одиничного позитивного заряду з цієї точки поля в нескінченність.
3) електр. Диполь- Ідеалізована система, що служить для наближеного опису статичного поля або поширення електромагнітних хвиль далеко від джерела (особливо - від джерела з нульовим сумарно, але просторово розділеним зарядом).
Полярні- Це діелектрики, в молекулах яких центри розподілу позитивних і негативних зарядів розділені навіть у відсутнє поле, тобто. молекула є диполем. Поляризація: у зовнішньо-електр. Поле молекули орієнтуються вздовж вектора напруженості зовнішнього поля. Ео(при включенні поля молекули повертаються вздовж силових ліній поля)
Неполярні-діелектрики, в молекулах яких центри розподілу позитивних та негативних зарядів без поля збігаються. Поляризація: у зовнішньому електр.полі в результаті деформації молекул виникають диполі, орієнтовані вздовж вектора напруженості зовнішнього поля. Ео. (при включенні поля молекули поляризуються)
В електричному полі диполі грат деформуються: подовжуються, якщо їх осі спрямовані по полю і коротшають, якщо осі спрямовані проти поля. Такого роду поляризаціяназивається іонної. Ступінь іонної поляризації залежить від властивостей діелектрика та від напруженості поля.
Поляризація - явище виникнення зарядів на поверхні діелектрика, поле яких частково компенсує зовнішнє електр.
Величину компенсації описують за допомогою діелектричної проникності середовища, яка показує, у скільки разів це середовище зменшує електр.
Правила Кірхгофа для розгалужених ланцюгів
| . |
Перше правило Кірхгофа: алгебраїчна сума сил струмів у вузлі дорівнює нулю: .
Друге правило Кірхгофавідноситься до будь-якого замкнутого контуру, виділеного в розгалуженому ланцюгу: алгебраїчна сума творів струмів на опори, включаючи внутрішні, на всіх ділянках замкнутого контуру дорівнює алгебраїчній сумі електрорушійних сил, що зустрічаються в цьому контурі .
Циркуляція вектор напруженості електростатичного поля.
Інтеграл …. називається циркуляцією вектора напруженості. Таким чином, циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контуру дорівнює нулю.. Це умова потенційності поля.
Якщо електростатичному полі точкового заряду Q з точки 1 в точку 2 вздовж довільної траєкторії переміщається інший точковий заряд Q o , то сила, прикладена до заряду, здійснює роботу. Робота сили F на елементарному переміщенні dl дорівнює:
Робота при переміщенні заряду Q o з точки 1 до точки 2:
Рабата залежить від траєкторії переміщення, а визначається лише положеннями початкової 1 і кінцевої 2 точок. Отже, електростатичне поле точкового заряду є потенційним, а електростатичні сили – консервативними.
Робота, що здійснюється при переміщенні електричного заряду у зовнішньому електростатичному полі по будь-якому замкнутому шляху L, дорівнює нулю, тобто.
Цей інтеграл називається циркуляцією вектора напруженості. Таким чином, циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контуру дорівнює нулю. Силове поле, що має таку властивість, називається потенційним .
З обігу в нуль циркуляції вектора Е випливає, що лінії напруженості електростатичного поля не можуть бути замкнутими, вони починаються і закінчуються на зарядах (відповідно на позитивних або негативних) або йдуть у нескінченність.
Теорема про циркуляцію
Раніше ми з'ясували, що на заряд (q), який знаходиться в електростатичному полі, діють консервативні сили, робота ($A$) яких на будь-якому замкнутому шляху (L) дорівнює нулю:
де $\overrightarrow(s)$- вектор переміщення (не плутати з площею), $\overrightarrow(E)$ -- вектор напруженості поля.
Для одиничного позитивного заряду можемо записати:
Інтеграл у лівій частині рівняння (2) є циркуляція вектора напруженості по контуру L. Характерною властивістю електростатичного поля є те, що циркуляція вектора його напруженості по будь-якому замкнутому контуру дорівнює нулю. Таке твердження називається теоремою про циркуляцію вектора напруженості електростатичного поля.
Доведемо теорему про циркуляцію на підставі, що робота поля з переміщення заряду не залежить від траєкторії переміщення заряду в електростатичному полі, що виражається рівністю:
де $ L_1 \ і \ L_2 $ різні шляхи між точками А і В. Врахуємо, що при заміні місцями меж інтегрування отримаємо:
Вираз (4) представимо як:
де $ L = L_1 + L_2 $. Так теорему доведено.
Наслідком теореми про циркуляцію є те, що лінії напруженості електростатичного поля незамкнуті. Вони починаються на позитивних зарядах, а закінчуються на негативних або йдуть у нескінченність. Теорема вірна саме статичних зарядів. Інше наслідок теореми: безперервність тангенціальних складових напруженості (на відміну нормальних складових). Це означає, що компоненти напруженості, які стосуються обраної будь-якої поверхні у будь-якій її точці, мають по обидва боки поверхні рівні значення.
Виділимо довільну поверхню S, яка спирається на контур L (рис.1).
Відповідно до формули Стокса (теорема Стокса) інтеграл від ротора вектора напруженості ($rot\overrightarrow(E)$), взятий по поверхні S дорівнює циркуляції вектора напруженості вздовж контуру, на який спирається дана поверхня:
де $d\overrightarrow(S)=dS\cdot \overrightarrow(n)$, $\overrightarrow(n)$ - одиничний вектор перпендикулярний ділянці dS. Ротор ($rot\overrightarrow(E)$) характеризує інтенсивність «завихрення» вектора. Наочне уявлення про вектор ротора можна отримати, якщо маленьку легку крильчатку (мал.2) помістити в потік рідини. У тих місцях, де ротор не дорівнює нулю, крильчатка обертатиметься, причому швидкість її обертання буде тим більшою, чим більша проекція модуль проекції ротора на вісь крильчатки.
При практичному обчисленні ротора найчастіше використовують формули:
Оскільки відповідно до рівняння (6) циркуляція вектора напруженості дорівнює нулю, ми отримуємо:
Умова (8) повинна виконуватися для будь-якої поверхні S, яка спирається на контур L. Це можливе лише в тому випадку, якщо підінтегральний вираз:
причому кожної точки поля.
За аналогією з крильчаткою на рис. 2 уявімо електричну «крильчатку». На кінцях такої крильчатки розташовані однакові за величиною заряди q. Система поміщена в однорідне поле з напруженістю E. У тих місцях, де $rot\overrightarrow(E)\ne 0$ такий "пристрій" буде обертатися з прискоренням, яке залежить від проекції ротора на вісь крильчатки. У разі електростатичного поля такий «пристрій» не став би обертатися за жодної орієнтації осі. Оскільки характерною рисою електростатичного поля і те, що його безвихрове. Рівняння (9) представляє теорему про циркуляцію у диференціальній формі.
Приклад 1
Завдання: На рис. 3 зображено електростатичне поле. Що можна сказати про характеристики даного поля з малюнка?
Про це поле можна сказати, що існування такого електростатичного поля неможливе. Якщо виділити контур (зображений пунктиром). Для такого контуру циркуляція вектора напруженості:
\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)\ne 0)\left(1.1\right),\]
що суперечить теоремі про циркуляцію для електростатичного поля. Напруженість поля визначається густотою силових ліній, вона у різних частинах поля не однакова, в результаті робота по замкнутому контуру відрізнятиметься від нуля, отже, циркуляція вектора напруженості не дорівнює нулю.
Приклад 2
Завдання: Виходячи з теореми про циркуляцію, покажіть, що тангенціальні складові вектора напруженості електростатичного поля не змінюються під час переходу через межу розділу діелектриків.
Розглянемо кордон між двома діелектриками з діелектричними проникностями $(\varepsilon)_2\ і\(\varepsilon)_1$ (рис.4). Виберемо на цій межі невеликий прямокутний контур з параметрами a – довжина, b – ширина. Вісь Х проходить через середини сторін b.
Для електростатичного поля виконується теорема про циркуляцію, яка виражається рівнянням:
\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)=0\ \left(2.1\right).)\]
При невеликих розмірах контуру циркуляція вектора напруженості та відповідно до зазначеного напрямку обходу контуру інтеграл у формулі (2.1) можна представити як:
\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)=E_(1x)a-E_(2x)a+\left\langle E_b\right\rangle 2b=0\ \left(2.2\right) ,)\]
де $ \ left \ langle E_b \ right \ rangle $ - Середнє значення $ \ overrightarrow (E) $ на ділянках перпендикулярних до межі розділу.
З (2.2) випливає, що:
\[((E)_(2x)-E_(1x))a=\left\langle E_b\right\rangle 2b\ (2.3).\]
Якщо $b\to 0$, то отримуємо, що:
Вираз (2.4) виконується при довільному виборі осі X, що лежить межі розділу діелектриків. Якщо уявити вектор напруженості у вигляді двох складових (тангенціальної $E_(\tau )\ $ і нормальної $E_n$):
\[\overrightarrow(E_1)=\overrightarrow(E_(1n))+\overrightarrow(E_(1\tau )),\overrightarrow(E_2)=\overrightarrow(E_(2n))+\overrightarrow(E_(2\) tau)) \ \ left (2.5 \ right).
У такому випадку з (2.4) запишемо:
де $E_(\tau i)$- проекція вектора напруженості на орт $\tau $, спрямований уздовж межі розділу діелектриків.