Число бога, числа фібоначчі, золотий перетин. «Золотий перетин» та числа Фібоначчі

Останнім часом, працюючи в індивідуальних та групових процесах з людьми, я повертався до думок про поєднання всіх процесів (кармічних, психічних, фізіологічних, духовних, трансформаційних та ін.) в одне.

Друзі за завісою все ширше розкривали образ багатовимірної Людини та взаємозв'язку всього у всьому.

Внутрішнє спонукання підштовхнуло мене повернутися до старих досліджень із цифрами та ще раз переглянути книгу Друнвало Мельхиседека "Давня таємниця квітки життя".

У цей час у кінотеатрах показували фільм "Код да Вінчі". Я не маю наміру обговорювати якість, цінність та істинність цього фільму. Але момент із кодом, коли цифри стали стрімко прокручуватися, став для мене одним із ключових у цьому фільмі.

Інтуїція підказувала мені про те, що варто звернути увагу на числову послідовність Фібоначчі та Золоте Перетин. Якщо ви заглянете в Інтернет з метою знайти щось про Фібоначчі, то на вас обрушиться лавина інформації. Ви дізнаєтеся, що про цю послідовність знали за всіх часів. Вона представлена в природі та космосі, у техніці та науці, в архітектурі та живописі, у музиці та пропорціях у тілі людини, у ДНК та РНК. Багато дослідників цієї послідовності прийшли до думки, що ключові події у житті людини, держави, цивілізації також підпорядковані закону золотого перетину.

Складається враження, що Людині дана фундаментальна підказка.

Тоді виникає думка, що Людина усвідомлено може застосувати принцип Золотого Перетину на відновлення здоров'я та корекції долі, тобто. упорядкування процесів, що відбуваються у власному всесвіті, розширення Свідомості, повернення в Добробут.

Разом згадаємо послідовність Фібоначчі:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…

Кожне наступне число утворюється шляхом додавання двох попередніх:

1+1=2, 1+2=3, 2+3=5 тощо.

Тепер я пропоную кожне число ряду привести до однієї цифри: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…

Ось що в нас вийшло:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…

послідовність із 24 чисел, яка знову повторюється з 25-го:

75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…

Чи не здається вам дивним чи закономірним, що

на добу - 24 години,
космічних будинків - 24,
ниток ДНК - 24,
24 старця з Бого-Зірки Сіріус,
Послідовність, що повторюється, в ряді Фібоначчі — 24 цифри.

Якщо послідовність, що вийшла, записати наступним чином,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9

8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

то ми побачимо, що 1-е і 13-е число послідовності, 2-е і 14-е, 3-е і 15-е, 4-е та 16-е … 12-е та 24-е в сумі дають 9 .

3 3 6 9 6 6 3 9

При тестуванні цих числових рядів у нас вийшло:

Дитячий принцип;
Батьківський Принцип;
Матерінський Принцип;
Принцип єдності.

Матриця Золотого Перетину

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9

6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Практичне застосування ряду Фібоначчі

Один мій друг висловив намір індивідуально попрацювати з ним на тему розвитку своїх можливостей та здібностей.

Несподівано на самому початку процес прийшов Саї Баба і запросив слідувати за ним.

Ми стали підніматися вгору всередині Божественної Монади друга і, вийшовши з неї через Причинне Тіло, опинилися в іншій реальності на рівні Космічного Дому.

Хто вивчав праці Марка та Елізабет Клер Профетов, знають вчення про Космічний Годинник, яке їм передала Мати Марія.

На рівні Космічного Будинку Юрій побачив коло, що має внутрішній центр із 12-ма стрілками.

Старець, який зустрів нас на цьому рівні, сказав, що перед нами Божественний Годинник і 12 стрілок уособлюють 12 (24) Проявлень Божественних Аспектів… (можливо Творців).

Що стосується Космічного Годинника, то вони розташовувалися під Божественними за принципом енергетичної вісімки.

— У якому режимі по відношенню до тебе знаходиться Божественний Годинник?

— Стрілки біля Годинника стоять, немає руху.До мене приходять зараз думки про те, що багато років тому я відмовився від Божественної Свідомості і пішов іншим шляхом, шляхом Мага. Всі мої магічні артефакти та амулети, які в мене і в мені скупчилися за безліч втілень, на цьому рівні виглядають як дитячі брязкальця. На тонкому плані вони є образом магічних енергетичних одягів.

- Завершено.Проте я благословляю мій магічний досвід.Проживання цього досвіду щиро спонукало мене повернутися до першоджерела, цілісності.Мені пропонують зняти з себе магічні артефакти і стати в центр Годинника.

— Що потрібно зробити, щоб активувати Божественний Годинник?

— З'явився знову Саї Баба і пропонує висловити намір поєднати Срібну Струну з Годинником. Ще він каже, що в тебе є якийсь числовий ряд. Він – ключ до активації. Перед внутрішнім поглядом з'являється образ Людини Леонарда да Вінчі.

- 12 разів.

— Прошу богоцентрувати весь процес і спрямовую дію енергії числового ряду на активацію Божественного Годинника.

Читаю вголос 12 разів

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…

У процесі читання стрілки на Годиннику пішли.

Срібною струною пішла енергія, яка поєднала всі рівні Юриної Монади, а також земну і небесну енергії.

Найнесподіванішим у цьому процесі було те, що на Годиннику з'явилися чотири Сутності, які є деякими частинами Єдиного Цілого з Юрою.

Під час спілкування з'ясувалося, що колись відбувся поділ Центральної Душі, і кожна частина обрала свою сферу у світобудові для реалізації.

Було ухвалено рішення про інтеграцію, що й відбулося в центрі Божественного Годинника.

Результатом цього процесу стало створення цьому рівні Загального Кристалу.

Після цього я згадав, що Саї Баба якось говорив про певний План, який передбачає з'єднання спочатку двох Сутностей в одне, потім чотирьох і так далі за бінарним принципом.

Безумовно, що цей числовий ряд не є панацеєю. Це лише інструмент, що дозволяє швидко провести необхідну роботу з людиною, співналаштувати його вертикально з різними рівнями Буття.

Послідовність Фібоначчі, відома всім за фільмом "Код Да Вінчі" - ряд цифр, описаний у вигляді загадки Італійським математиком Леонардо Пізанським, більш відомим під прізвиськом Фібоначчі, у XIII столітті. Коротко суть загадки:

Хтось помістив пару кроликів у якомусь замкнутому просторі, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що кожен місяць пара кроликів виробляє на світ іншу пару, а здатність до виробництва потомства у них з'являється по досягненню двомісячного віку.

Послідовність Фібоначчі та Кролики
У результаті виходить такий ряд цифр: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, де через кому показано кількість пар кроликів у кожному з дванадцяти місяців. Його можна продовжувати нескінченно довго. Його суть у тому, що кожне наступне число є сумою двох попередніх.

Цей ряд має кілька математичних особливостей, яких обов'язково потрібно торкнутися. Він асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне деякому постійному співвідношенню. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто є числом з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр у дробовій частині. Його неможливо висловити точно.

Так відношення будь-якого члена ряду до попереднього йому коливається близько числа 1,618, через раз то перевершуючи, то не досягаючи його. Ставлення до наступного аналогічно наближається до 0,618, що обернено пропорційно 1,618. Якщо ми ділитимемо елементи через одне, то отримаємо числа 2,618 і 0,382, які є обернено пропорційними. Це звані коефіцієнти Фібоначчі.

Навіщо все це?

Так ми наближаємося до одного з найзагадковіших явищ природи. Кмітливий Леонардо по суті не відкрив нічого нового, він просто нагадав світу про таке явище, як Золоте Перетин, яке не поступається за значимістю теоремі Піфагора.

Всі навколишні предмети ми розрізняємо навіть формою. Якісь нам подобаються більше, які менше, деякі зовсім відштовхують погляд. Іноді інтерес може бути продиктований життєвою ситуацією, а часом красою об'єкта, що спостерігається. Симетрична та пропорційна форма, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та викликає відчуття краси та гармонії. Цілісний образ завжди складається з частин різного розміру, що перебувають у певному співвідношенні один з одним і цілим. Золотий перетин - найвищий прояв досконалості цілого та його частин у науці, мистецтві та природі.

Якщо на простому прикладі, то Золоте Перетин - це поділ відрізка на дві частини в такому співвідношенні, при якому більша частина відноситься до меншої, як їх сума (весь відрізок) до більшої.

Золоте Перетин - Відрізок
Якщо ми приймемо весь відрізок c за 1, то відрізок a дорівнюватиме 0,618, відрізок b - 0,382, тільки так буде дотримано умова Золотого Перетину (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Відношення c a дорівнює 1,618, а з b 2,618. Це ті самі, вже знайомі нам, коефіцієнти Фібоначчі.

Зрозуміло, є золотий прямокутник, золотий трикутник і навіть золотий кубоїд. Пропорції людського тіла у багатьох співвідношеннях близькі до Золотого Перетину.

Золотий перетин та Людське тіло

Зображення: marcus-frings.de

Послідовність Фібоначчі - Анімація

Але найцікавіше починається, коли ми поєднаємо отримані знання. На малюнку наочно показано зв'язок між послідовністю Фібоначчі та Золотим перетином. Ми починаємо із двох квадратів першого розміру. Зверху додаємо квадрат другого розміру. Підмальовуємо поруч квадрат зі стороною, що дорівнює сумі сторін двох попередніх, третього розміру. За аналогією з'являється квадрат п'ятого розміру. І так далі поки не набридне, головне, щоб довжина сторони кожного наступного квадрата дорівнювала сумі довжин сторін двох попередніх. Ми бачимо серію прямокутників, довжини сторін, яких є числами Фібоначчі, і, як не дивно, вони називаються прямокутниками Фібоначчі.

Якщо ми проведемо плавну лінію через кути наших квадратів, то отримаємо ні що інше, як спіраль Архімеда, збільшення кроку якої завжди рівномірно.

Спіраль Фібоначчі

Нічого не нагадує?

Фото: ethanhein on Flickr

І не тільки в раковині молюска можна знайти спіралі Архімеда, а в багатьох кольорах та рослинах, просто вони не такі явні.

Червоний багатолистий:

Фото: brewbooks on Flickr

Броколі романеско:

Фото: beart.org.uk

Соняшник:

Фото: esdrascalderan on Flickr

Соснова шишка:

Фото: mandj98 on Flickr

І тут саме час згадати про Золоте Перетин! Чи не одні з найпрекрасніших і гармонійних творів природи зображені на цих фотографіях? І це далеко ще не все. Придивившись, можна знайти схожі закономірності у багатьох формах.

Звичайно, заява, що всі ці явища побудовані на послідовності Фібоначчі звучить занадто голосно, але тенденція в наявності. Та й до того ж сама вона далека від досконалості, як і все у цьому світі.

Є припущення, що ряд Фібоначчі - це спроба природи адаптуватися до більш фундаментальної і досконалої золоторубаної логарифмічної послідовності, яка практично така ж, тільки починається з нізвідки і йде в нікуди. Природі обов'язково потрібно якесь ціле початок, від якого можна відштовхнутися, вона не може створити щось з нічого. Відносини перших членів послідовності Фібоначчі далекі від Золотого Перетину. Але що далі ми просуваємося нею, то більше ці відхилення згладжуються. Для визначення будь-якого ряду достатньо знати три його члени, що йдуть один за одним. Але тільки не для золотої послідовності, їй достатньо двох, вона є геометричною та арифметичною прогресією одночасно. Можна подумати, ніби вона є основою для всіх інших послідовностей.

Кожен член золотої логарифмічної послідовності є мірою Золотої Пропорції (z). Частина ряду виглядає приблизно так: … z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Якщо ми округлимо значення Золотої пропорції до трьох знаків, то отримаємо z=1,618, тоді ряд має такий вигляд: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090... Кожен наступний член може бути отриманий не лише множенням попереднього на 1,618, але й додаванням двох попередніх. Таким чином, експоненційне зростання забезпечується шляхом простого складання двох сусідніх елементів. Це ряд без початку і кінця, і саме на нього намагається бути схожою на послідовність Фібоначчі. Маючи цілком певний початок, вона прагне ідеалу, ніколи його не досягаючи. Таке життя.

І все-таки, у зв'язку з усім побаченим і прочитаним виникають цілком закономірні питання:
Від куди взялися ці цифри? Хто цей архітектор всесвіту, який спробував зробити його ідеальним? Чи було колись так, як він хотів? І якщо так, то чому збилося? Мутації? Вільний вибір? Що буде далі? Спіраль скручується чи розкручується?

Знайшовши відповідь одне питання, отримаєш наступний. Розгадаєш його, отримаєш два нові. Розберешся з ними, з'явиться ще три. Вирішивши і їх, обзаведешся п'ятьма невирішеними. Потім вісім, потім тринадцять, 21, 34, 55...

Ви чули коли-небудь, що математику називають царицею всіх наук? Чи погоджуєтесь ви з таким твердженням? Поки математика залишається вам набором нудних завдань у підручнику, навряд можна відчути красу, універсальність і навіть гумор цієї науки.

Але є в математиці такі теми, які допомагають зробити цікаві спостереження за звичайними нам речами і явищами. І навіть спробувати проникнути за завісу таємниці створення нашого Всесвіту. У світі є цікаві закономірності, які можна описати за допомогою математики.

Представляємо вам числа Фібоначчі

Числами Фібоначчіназивають елементи числової послідовності. У ній кожне наступне число у ряді виходить підсумовуванням двох попередніх чисел.

Приклад послідовності: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Записати це можна так:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2 , n ≥ 2

Можна починати ряд чисел Фібоначчі та з негативних значень n. При цьому послідовність у такому разі є двосторонньою (тобто охоплює негативні та позитивні числа) і прагне нескінченності в обох напрямках.

Приклад такої послідовності: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Формула в цьому випадку виглядає так:

F n = F n+1 - F n+2або інакше можна так: F -n = (-1) n+1 Fn.

Те, що ми зараз знаємо під назвою "числа Фібоначчі", було відомо давньоіндійським математикам задовго до того, як ними почали користуватися в Європі. А з цією назвою взагалі один суцільний історичний анекдот. Почнемо з того, що сам Фібоначчі за життя ніколи не називав себе Фібоначчі – це ім'я почали застосовувати до Леонардо Пізанського лише через кілька століть після його смерті. Але давайте про все по порядку.

Леонардо Пізанський, він же Фібоначчі

Син торговця, який став математиком, а згодом отримав визнання нащадків як перший великий математик Європи періоду Середніх віків. Не в останню чергу завдяки числам Фібоначчі (які тоді, нагадаємо, ще не називалися). Які він на початку XIII століття описав у своїй праці "Liber abaci" ("Книга абака", 1202).

Подорожую разом з батьком на Схід, Леонардо вивчав математику в арабських вчителів (а вони в ті часи були в цій справі та й у багатьох інших науках, одними з кращих фахівців). Праці математиків Античності та Стародавньої Індії він прочитав в арабських перекладах.

Як слід осмисливши все прочитане і підключивши власний допитливий розум, Фібоначчі написав кілька наукових трактатів з математики, включаючи згадану вище «Книгу абака». Крім неї створив:

"Practica geometriae" ("Практика геометрії", 1220);
«Flos» («Квітка», 1225 – дослідження, присвячене кубічним рівнянням);
«Liber quadratorum» («Книга квадратів», 1225 – завдання про невизначені квадратні рівняння).

Був великим любителем математичних турнірів, тому у своїх трактатах багато уваги приділяв розбору різних математичних завдань.

Про життя Леонардо залишилося дуже мало біографічних відомостей. Що ж до імені Фібоначчі, під яким він увійшов в історію математики, то воно закріпилося за ним тільки в XIX столітті.

Фібоначчі та його завдання

Після Фібоначчі залишилося багато завдань, які були дуже популярні серед математиків і в наступні століття. Ми з вами розглянемо завдання про кроликів, у вирішенні якої використовуються числа Фібоначчі.

Кролики – не тільки цінне хутро

Фібоначчі поставив такі умови: існує пара новонароджених кроликів (самець і самка) такої цікавої породи, що вони регулярно (починаючи з другого місяця) виробляють потомство – завжди одну нову пару кроликів. Теж, як можна здогадатися, самця та самку.

Ці умовні зайчики поміщені в замкнутий простір і із захопленням розмножуються. Зазначається також, що жоден кролик не вмирає від якоїсь загадкової кролячої хвороби.

Треба вирахувати, скільки кроликів ми отримаємо за рік.

На початку 1 місяця ми маємо 1 пара кроликів. Наприкінці місяця вони спаровуються.
Другий місяць – у нас вже 2 пари кроликів (у пари – батьки + 1 пара – їхнє потомство).
Третій місяць: Перша пара народжує нову пару, друга пара спарюється. Разом – 3 пари кроликів.
Четвертий місяць: Перша пара народжує нову пару, друга пара часу не втрачає і теж народжує нову пару, третя пара поки що тільки спарюється. Разом – 5 пар кроликів.

Число кроликів у n-ий місяць = кількість пар кроликів з попереднього місяця + число новонароджених пар (їх стільки ж, скільки пар кроликів було за 2 місяці до цього моменту). І все це описується формулою, яку ми вже навели вище: F n = F n-1 + F n-2.

Таким чином, отримуємо рекурентну (пояснення про рекурсії- Нижче) числову послідовність. У якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Продовжувати послідовність можна довго: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Але оскільки ми задали конкретний термін – рік, нас цікавить результат, отриманий на 12-му «ході». Тобто. 13-й член послідовності: 377.

Відповідь у завданні: 377 кроликів буде отримано за дотримання всіх заявлених умов.

Одна з властивостей послідовності чисел Фібоначчі дуже цікава. Якщо взяти дві послідовні пари з ряду і розділити більше на менше, результат буде поступово наближатися до золотого перерізу(прочитати про нього докладніше ви зможете далі у статті).

Говорячи мовою математики, «межа відносин a n+1до a nдорівнює золотому перерізу».

Ще завдання з теорії чисел

Знайдіть число, яке можна поділити на 7. Крім того, якщо поділити його на 2, 3, 4, 5, 6, у залишку вийде одиниця.
Знайдіть квадратне число. Про нього відомо, що якщо додати до нього 5 або відібрати 5, знову вийде квадратне число.

Відповіді на ці завдання ми пропонуємо пошукати самостійно. Свої варіанти ви можете залишати нам у коментарях до цієї статті. А ми потім підкажемо, чи були правильними ваші обчислення.

Пояснення про рекурсію

Рекурсія– визначення, опис, зображення об'єкта чи процесу, у якому міститься сам цей об'єкт чи процес. Тобто по суті об'єкт чи процес є частиною самого себе.

Рекурсія знаходить широке застосування в математиці та інформатиці, і навіть у мистецтві та масовій культурі.

Числа Фібоначчі визначаються за допомогою рекурентного співвідношення. Для числа n>2 n-е число дорівнює (n – 1) + (n – 2).

Пояснення про золотий переріз

Золотий перетин- розподіл цілого (наприклад, відрізка) на такі частини, які співвідносяться за таким принципом: більша частина відноситься до меншої так само, як і вся величина (наприклад, сума двох відрізків) до більшої частини.

Першу згадку про золотий переріз можна зустріти у Евкліда в його трактаті «Початку» (приблизно 300 років до н.е.). У контексті побудови правильного прямокутника.

Звичний нам термін в 1835 ввів в обіг німецький математик Мартін Ом.

Якщо описувати золотий переріз приблизно, воно є пропорційним розподілом на дві нерівних частини: приблизно 62% і 38%. У числовому вираженні золотий переріз є числом 1,6180339887 .

Золотий перетин знаходить практичне застосування в образотворчому мистецтві (картини Леонардо да Вінчі та інших живописців Ренесансу), архітектурі, кінематографі («Броненосець «Потьомкін» С. Езенштейна) та інших областях. Довгий час вважалося, що золотий переріз – найестетичніша пропорція. Така думка популярна і сьогодні. Хоча за результатами досліджень візуально більшість людей не сприймають таку пропорцію найвдалішим варіантом і вважають надто витягнутою (непропорційною).

Довжина відрізка з = 1, а = 0,618, b = 0,382.
Ставлення здо а = 1, 618.
Ставлення здо b = 2,618

А тепер повернемося до числа Фібоначчі. Візьмемо два наступні один за одним члени з його послідовності. Розділимо більше на менше і отримаємо приблизно 1,618. А тепер задіємо те ж більше число і наступний за ним член ряду (тобто ще більше) - їх відношення рано 0,618.

Ось приклад: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 та 233/377 = 0,618

До речі, якщо ви спробуєте зробити той самий експеримент із числами з початку послідовності (наприклад, 2, 3, 5), нічого не вийде. Ну майже. Правило золотого перерізу майже дотримується початку послідовності. Але в міру просування вздовж ряду і зростання чисел працює добре.

І для того, щоб обчислити весь ряд чисел Фібоначчі, достатньо знати три члени послідовності, що йдуть один за одним. Можете переконатись у цьому самі!

Золотий прямокутник та спіраль Фібоначчі

Ще одну цікаву паралель між числами Фібоначчі та золотим перерізом дозволяє провести так званий «золотий прямокутник»: його сторони співвідносяться в пропорції 1,618 до 1. Але ж ми вже знаємо, що за число 1,618, чи не так?

Наприклад, візьмемо два послідовні члени ряду Фібоначчі – 8 та 13 – і побудуємо прямокутник з такими параметрами: ширина = 8, довжина = 13.

А потім розіб'ємо великий прямокутник на менші. Обов'язкова умова: довжини сторін прямокутників повинні відповідати числам Фібоначчі. Тобто. довжина сторони більшого прямокутника повинна дорівнювати сумі сторін двох менших прямокутників.

Так як це виконано на цьому малюнку (для зручності фігури підписані латинськими літерами).

До речі, будувати прямокутники можна і у зворотному порядку. Тобто. почати побудову з квадратів зі стороною 1. До яких, керуючись озвученим вище принципом, добудовуються фігури зі сторонами, рівними числам Фібоначчі. Теоретично продовжувати так можна нескінченно довго – адже й низка Фібоначчі формально нескінченна.

Якщо з'єднати плавною лінією кути одержаних малюнку прямокутників, отримаємо логарифмічну спіраль. Точніше, її окремий випадок – спіраль Фібоначчі. Вона характеризується, зокрема, тим, що немає кордонів і змінює форми.

Подібна спіраль часто зустрічається у природі. Раковини молюсків – один із найяскравіших прикладів. Більше того, спіральну форму мають деякі галактики, які можна розглянути із Землі. Якщо ви звертаєте увагу на прогнози погоди по телевізору, то могли помітити, що подібну форму мають циклони при зйомці їх із супутників.

Цікаво, як і спіраль ДНК підпорядковується правилу золотого перерізу – відповідну закономірність можна побачити у інтервалах її вигинів.

Такі дивовижні «збіги» не можуть не хвилювати розуми і не породжувати розмови про єдиний алгоритм, якому підкоряються всі явища в житті Всесвіту. Тепер ви знаєте, чому ця стаття називається саме так? І двері в які дивовижні світи здатна відкрити вам математика?

Числа Фібоначчі у живій природі

Зв'язок чисел Фібоначчі та золотого перерізу наводить на думки про цікаві закономірності. Настільки цікавих, що виникає спокуса спробувати знайти подібні числам Фібоначчі послідовності у природі і навіть у ході історичних подій. І природа дійсно дає привід для таких припущень. Але чи все у нашому житті можна пояснити та описати за допомогою математики?

Приклади живої природи, які можуть бути описані за допомогою послідовності Фібоначчі:

порядок розташування листя (і гілок) у рослин – відстані між ними співвідносні з числами Фібоначчі (філлотаксіс);

розташування насіння соняшника (насіння розташовується двома рядами спіралей, закручених у різному напрямку: один ряд за годинниковою стрілкою, інший – проти);

розташування лусочок соснових шишок;
пелюстки квітів;
осередки ананаса;
співвідношення довжин фаланг пальців на руці людини (приблизно) і т.д.

Завдання з комбінаторики

Числа Фібоначчі знаходять широке застосування під час вирішення завдань з комбінаторики.

Комбінаторика- Це розділ математики, який займається дослідженням вибірки певного заданого числа елементів з позначеної множини, перерахуванням і т.п.

Давайте розглянемо приклади завдань з комбінаторики, розрахованих до рівня старшої школи (джерело - http://www.problems.ru/).

Завдання №1:

Льоша піднімається сходами з 10 сходинок. За один раз він стрибає нагору або на одну сходинку, або на дві сходинки. Скільки способами Льоша може піднятися сходами?

Число способів, якими Льоша може піднятися на сходи з nсходинок, позначимо а n.Звідси випливає, що a 1 = 1, a 2= 2 (адже Льоша стрибає або одну, або через дві сходинки).

Обговорено також, що Льоша стрибає сходами з n > 2 сходинок. Припустимо, з першого разу він стрибнув на дві сходинки. Отже, за умовою завдання йому потрібно застрибнути ще на n – 2сходинки. Тоді кількість способів закінчити підйом описується як a n–2. А якщо вважати, що вперше Льоша стрибнув лише на одну сходинку, тоді кількість способів закінчити підйом опишемо як a n–1.

Звідси отримуємо таку рівність: a n = a n-1 + a n-2(виглядає знайомо, чи не так?).

Якщо ми знаємо a 1і a 2і пам'ятаємо, що сходинок за умовою задачі 10, обчисли по порядку все а n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Відповідь: 89 способів.

Завдання №2:

Потрібно знайти кількість слів завдовжки 10 літер, які складаються лише з літер «а» та «б» і не повинні містити дві літери «б» поспіль.

Позначимо за a nкількість слів довжиною в nлітер, які складаються лише з літер «а» та «б» та не містять двох літер «б» поспіль. Значить, a 1= 2, a 2= 3.

У послідовності a 1, a 2, <…>, a nми висловимо кожен наступний її член через попередні. Отже, кількість слів довжиною в nлітер, які до того ж не містять подвоєної літери «б» і починаються з літери «а», це a n–1. А якщо слово довжиною в nлітер починається з літери «б», логічно, що наступна літера в такому слові – «а» (адже двох «б» не може за умовою завдання). Отже, кількість слів довжиною в nбукв у цьому випадку позначимо як a n–2. І в першому, і в другому випадку далі може йти будь-яке слово (довжиною в n – 1і n – 2букв відповідно) без подвоєних "б".

Ми змогли довести, чому a n = a n-1 + a n-2.

Обчислимо тепер a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8= 144. І отримаємо знайому нам послідовність Фібоначчі.

Відповідь: 144.

Завдання №3:

Уявіть, що є стрічка, розбита на клітини. Вона йде праворуч і триває нескінченно довго. На першу клітинку стрічки помістимо коника. На якій би із клітин стрічки він не знаходився, він може переміщатися лише праворуч: або на одну клітинку, або на дві. Скільки існує способів, якими коник може дострибати від початку стрічки до n-ї клітини?

Позначимо кількість способів переміщення коника по стрічці до n-ої клітини як a n. У такому разі a 1 = a 2= 1. Також у n + 1-ую клітину коник може потрапити або з n-ой клітини, або перестрибнувши її. Звідси a n + 1 = a n – 1 + a n. Звідки a n = F n – 1.

Відповідь: F n – 1.

Ви можете і самі скласти подібні завдання та спробувати вирішити їх на уроках математики разом із однокласниками.

Числа Фібоначчі у масовій культурі

Зрозуміло, таке незвичайне явище, як числа Фібоначчі, не може привертати увагу. Є все ж таки в цій строго вивіреній закономірності щось привабливе і навіть таємниче. Не дивно, що послідовність Фібоначчі так чи інакше «засвітилася» у багатьох творах сучасної масової культури різних жанрів.

Ми розповімо вам про деякі з них. А ви спробуйте пошукати самі ще. Якщо знайдете, поділіться з нами в коментарях – адже нам теж цікаво!

Числа Фібоначчі згадуються в бестселері Дена Брауна "Код да Вінчі": послідовність Фібоначчі служить кодом, за допомогою якого головні герої книги відкривають сейф.
В американському фільмі 2009 року «Пан Ніхто» в одному з епізодів адреса будинку є частиною послідовності Фібоначчі – 12358. Крім цього, в іншому епізоді головний герой повинен зателефонувати за телефонним номером, який по суті – та сама, але трохи спотворена (зайва цифра після цифри 5) послідовність: 123-581-1321.
У серіалі 2012 року «Зв'язок» головний герой, хлопчик, який страждає на аутизм, здатний розрізняти закономірності в подіях, що відбуваються у світі. У тому числі за допомогою чисел Фібоначчі. І керувати цими подіями також за допомогою чисел.
Розробники java-ігри для мобільних телефонів Doom RPG розмістили на одному з рівнів секретні двері. Код, що її відкриває - послідовність Фібоначчі.
У 2012 році російський рок-гурт «Сплін» випустив концептуальний альбом «Обман зору». Восьмий трек зветься «Фібоначчі». У віршах лідера групи Олександра Васильєва обіграно послідовність чисел Фібоначчі. На кожен із дев'яти послідовних членів припадає відповідна кількість рядків (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Рушнув у дорогу склад

1 Клацнув один суглоб

1 Здригнувся один рукав

2 Все, діставайте стафф

Все, діставайте стафф

3 Проханням про окроп

Потяг іде до річки

Потяг йде у тайзі<…>.

лімерик (короткий вірш певної форми - зазвичай це п'ять рядків, з певною схемою римування, жартівливий за змістом, в якому перший і останній рядок повторюються або частково дублюють один одного) Джеймса Ліндона також використовує відсилання до послідовності Фібоначчі як гумористичний мотив:

Щільна їжа дружин Фібоначчі

Тільки на користь їм йшла не інакше.

Важили дружини, згідно з мовою,

Кожна – як попередні дві.

Підбиваємо підсумки

Ми сподіваємося, що змогли розповісти вам сьогодні багато цікавого та корисного. Ви, наприклад, тепер можете пошукати спіраль Фібоначчі в навколишній природі. Раптом саме вам вдасться розгадати «секрет життя, Всесвіту та взагалі».

Користуйтеся формулою для чисел Фібоначчі під час вирішення задач з комбінаторики. Ви можете спиратися на приклади, описані у цій статті.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Послідовність Фібоначчі, відома всім за фільмом "Код Да Вінчі" - ряд цифр, описаний у вигляді загадки Італійським математиком Леонардо Пізанським, більш відомим під прізвиськом Фібоначчі, у XIII столітті. Коротко суть загадки:

У результаті виходить така низка цифр: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , де через кому показано кількість пар кроликів у кожному з дванадцяти місяців. Його можна продовжувати нескінченно довго. Його суть у тому, що кожне наступне число є сумою двох попередніх.

Так ставлення будь-якого члена ряду до попереднього йому коливається біля числа 1,618 , Через раз то перевершуючи, то не досягаючи його. Ставлення до наступного аналогічно наближається до 0,618 , що обернено пропорційно 1,618 . Якщо ми ділитимемо елементи через одне, то отримаємо числа 2,618 і 0,382 , які також є обернено пропорційними. Це звані коефіцієнти Фібоначчі.

Навіщо все це? Так ми наближаємося до одного з найзагадковіших явищ природи. Кмітливий Леонардо по суті не відкрив нічого нового, він просто нагадав світові про таке явище, як Золоте Перетин, яке поступається за значимістю теоремі Піфагора.

Всі навколишні предмети ми розрізняємо навіть формою. Якісь нам подобаються більше, які менше, деякі зовсім відштовхують погляд. Іноді інтерес може бути продиктований життєвою ситуацією, а часом красою об'єкта, що спостерігається. Симетрична та пропорційна форма, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та викликає відчуття краси та гармонії. Цілісний образ завжди складається з частин різного розміру, що перебувають у певному співвідношенні один з одним і цілим. Золотий перетин- Вищий прояв досконалості цілого та його частин у науці, мистецтві та природі.

Якщо ми приймемо весь відрізок c за 1 , то відрізок a дорівнюватиме 0,618 , відрізок b - 0,382 , тільки так буде дотримано умови Золотого Перетину (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . Ставлення c до a одно 1,618 , а з до b 2,618 . Це ті самі, вже знайомі нам, коефіцієнти Фібоначчі.

Зображення: marcus-frings.de

Але найцікавіше починається, коли ми поєднаємо отримані знання. На малюнку наочно показано зв'язок між послідовністю Фібоначчі та Золотим перетином. Ми починаємо із двох квадратів першого розміру. Зверху додаємо квадрат другого розміру. Підмальовуємо поруч квадрат зі стороною, що дорівнює сумі сторін двох попередніх, третього розміру. За аналогією з'являється квадрат п'ятого розміру. І так далі поки не набридне, головне, щоб довжина сторони кожного наступного квадрата дорівнювала сумі довжин сторін двох попередніх. Ми бачимо серію прямокутників, довжини сторін, яких є числами Фібоначчі, і, як не дивно, вони називаються прямокутниками Фібоначчі.

Нічого не нагадує?

Фото: ethanhein on Flickr

Червоний багатолистий:

Фото: brewbooks on Flickr

Фото: beart.org.uk

Фото: esdrascalderan on Flickr

Фото: mandj98 on Flickr

Кожен член золотої логарифмічної послідовності є ступенем Золотої Пропорції ( z). Частина ряду виглядає приблизно так: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z 0; z 1; z 2; z 3; z 4; z 5 ...Якщо округлимо значення Золотої пропорції до трьох знаків, то отримаємо z=1,618тоді ряд виглядає так: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Кожен наступний член може бути отриманий не тільки множенням попереднього 1,618 , але й додаванням двох попередніх. Таким чином, експоненційне зростання забезпечується шляхом простого складання двох сусідніх елементів. Це ряд без початку і кінця, і саме на нього намагається бути схожою на послідовність Фібоначчі. Маючи цілком певний початок, вона прагне ідеалу, ніколи його не досягаючи. Таке життя.

Джерела: ; ; ;

(Числа Фібоначчі, англ. Fibonacci sequence, Fibonacci numbers) - ряд чисел, виведений відомим математиком Фібоначчі. Має наступний вигляд: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 та ін.

Історія ряду Фібоначчі

Леонардо з Пізи (Фібоначчі) прийшов у математику через практичну потребу у встановленні ділових контактів. У молодості Фібоначчі багато подорожував, супроводжував батька у різних ділових поїздках, що дозволяло йому спілкуватися з місцевими вченими.

Ряд чисел, що сьогодні носить його ім'я, було виведено завдяки проблемі з кроликами, яку автор виклав у книзі під назвою «Liber abacci» (1202 рік): одна людина посадила в загін, з усіх боків оточена стіною, кілька кроликів. Питання: скільки пар кроликів може зробити ця пара за рік, якщо відомо, що щомісяця, починаючи з другого місяця, кожна пара робить на світ ще одну пару кроликів.

У результаті Фібоначчі визначив, що кількість пар кроликів у кожен із наступних дванадцяти місяців буде відповідно:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Де кожне наступне число – це сума двох попередніх. Це ряд (числа) Фібоначчі. Ця послідовність має безліч властивостей, цікавих з математичної точки зору. Наприклад, якщо розділити лінію на 2 сегменти таким чином, щоб співвідношення між меншим і більшим сегментом було пропорційне співвідношенню між великим сегментом і всією лінією, вийде коефіцієнт пропорційності, відомий як золотий переріз. Він приблизно дорівнює 0,618. Вчені епохи Відродження вважали, що саме ця пропорція, якщо її дотримуватись в архітектурних спорудах, здатна найбільше тішити око.

Застосування ряду Фібоначчі

Ряд Фібоначчі знайшов широке застосування в різних галузях науки і життя. Наприклад, у природі: у будові ураганів, раковин і навіть галактик. Не став винятком і валютний ринок Форекс, де послідовний ряд чисел став використовуватись для прогнозування трендів. Слід зазначити, що між цими числами є постійні стосунки. Наприклад, як згадувалося вище, відношення попереднього числа до наступного асимптотично прагне 0,618 (золотий переріз). Відношення деякого числа до попереднього прагне до величині 0,618.

Крім прогнозування трендів, числа Фібоначчі на Форекс використовуються для прогнозу напряму руху ціни. Наприклад, розворот тренду із золотого перерізу відбувається на рівні близько 61,8% від попередньої зміни ціни (див. рис. 1). Відповідно, найвигіднішим варіантом у такому разі буде закриття позиції трохи нижче за цей рівень. Спираючись на ряд Фібоначчі, можна розраховувати найбільш вигідні моменти закриття та відкриття угод.

Також одним із способів застосування послідовних чисел ряду Фібоначчі на ринку Форекс є побудова дуг. Вибір центру для такої дуги відбувається у точці важливого дна чи стелі. Радіус дуг розраховується за допомогою множення коефіцієнтів Фібоначчі на значення попереднього суттєвого підйому чи спаду цін.

Коефіцієнти, що вибираються, мають значення 0.333, 0.382, 0.4, 0.5, 0.6, 0.618, 0.666. Розташування дуг визначає їх роль: підтримки чи опору. Щоб отримати уявлення про час виникнення рухів ціни, дуги, зазвичай, використовують разом із швидкісними чи віяловими лініями.

Принцип їх побудови аналогічний: потрібно вибрати точки минулих екстремумів та побудувати горизонтальну лінію з вершини першого з них та вертикальну – з вершини другого. Потім слід поділити вертикальний відрізок, що вийшов, на відповідні коефіцієнтам частини, намалювати промені, що йдуть з першої точки крізь тільки що обрані. З використанням відносин 2/3 і 1/3 виходять швидкісні лінії, за суворіших 0,618, 0,5 і 0,382 – віялові лінії. Всі вони є лініями підтримки або опору для цінового тренду (див. рис. 2).

Перетинання віялових дуг і ліній є сигналами для визначення поворотних точок тренду - як за часом, так і за ціною.

(Рис. 2 – Ряд Фібоначчі, побудова дуг)

Найбільш волатильні пари валют характеризуються досягненням високих рівнів Фібоначчі порівняно з менш волатильними. Максимальні рухи фіксуються по парах Долар/Франк та Фунт/Долар, потім йдуть Долар/Єна та Євро/Долар.

Використання ряду Фібоначчі на валютному ринку Форекс має одну особливість – їх можна застосовувати лише для добрих імпульсних рухів.