\[(\Large(\text(Центральні та вписані кути)))]]
Визначення
Центральний кут – це кут, вершина якого лежить у центрі кола.
Вписаний кут - це кут, вершина якого лежить на колі.
Градусна міра дуги кола – це градусна міра центрального кута, що на неї спирається.
Теорема
Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, яку він спирається.
Доведення
Доказ проведемо у два етапи: спочатку доведемо справедливість затвердження для випадку, коли одна із сторін вписаного кута містить діаметр. Нехай точка \(B\) - вершина вписаного кута \(ABC\) і \(BC\) - діаметр кола:
Трикутник \(AOB\) - рівнобедрений, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) - зовнішній, тоді \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), звідки \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Тепер розглянемо довільний вписаний кут (ABC). Проведемо діаметр кола \(BD\) з вершини вписаного кута. Можливі два випадки:
1) діаметр розрізав кут на два кути \(\angle ABD, \angle CBD\) (для кожного з яких теорема вірна за доведеним вище, отже вірна і для вихідного кута, який є сумою цих двох і означає дорівнює напівсумі дуг, на які вони спираються, тобто дорівнює половині дуги, яку він спирається). Мал. 1.
2) діаметр не розрізав кут на два кути, тоді у нас з'являється ще два нових вписаних кута \(\angle ABD, \angle CBD\) , у яких сторона містить діаметр, отже, для них теорема вірна, тоді вірна і для вихідного кута (який дорівнює різниці цих двох кутів, отже, дорівнює напіврізності дуг, на які вони спираються, тобто дорівнює половині дуги, на яку він спирається). Мал. 2.
Наслідки
1. Вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні.
2. Вписаний кут, що спирається на півколо, прямий.
3. Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу.
\[(\Large(\text(Дотична до кола)))\]
Визначення
Існує три типи взаємного розташування прямого та кола:
1) пряма (a) перетинає коло у двох точках. Така пряма називається січною. У цьому випадку відстань (d) від центру кола до прямої менше радіуса (R) кола (рис. 3).
2) пряма (b) перетинає коло в одній точці. Така пряма називається дотичною, які загальна точка \(B\) – точкою дотику. У цьому випадку (d = R) (рис. 4).
Теорема
1. Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання.
2. Якщо пряма проходить через кінець радіуса кола і перпендикулярна до цього радіусу, то вона є дотичною до кола.
Слідство
Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні.
Доведення
Проведемо до кола з точки \(K\) дві дотичні \(KA\) і \(KB\):
Значить, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) як радіуси. Прямокутні трикутники \(\triangle KAO\) і \(\triangle KBO\) рівні по катету та гіпотенузі, отже, \(KA=KB\) .
Слідство
Центр кола \(O\) лежить на бісектрисі кута \(AKB\), утвореного двома дотичними, проведеними з однієї точки \(K\).
\[(\Large(\text(Теореми, пов'язані з кутами)))\]
Теорема про вугілля між січними
Кут між двома січними, проведеними з однієї точки, дорівнює напіврізності градусних заходів більшої і меншої дуг, що ними висікаються.
Доведення
Нехай \(M\) - точка, з якої проведено дві січучі як показано на малюнку:
Покажемо, що \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) – зовнішній кут трикутника \(MAD\), тоді \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), звідки \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\)але кути \(\angle DAB\) і \(\angle MDA\) – вписані, тоді \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), що й потрібно було довести.
Теорема про вугілля між хордами, що перетинаються.
Кут між двома хордами, що перетинаються, дорівнює півсумі градусних заходів дуг, що ними висікаються: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Доведення
\(\angle BMA = \angle CMD\) як вертикальні.
З трикутника \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Але \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), звідки укладаємо, що \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ smile\over(CD)).\]
Теорема про вугілля між хордою та дотичною
Кут між дотичною і хордою, що проходить через точку дотику, дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.
Доведення
Нехай пряма \(a\) стосується кола в точці \(A\) , \(AB\) - хорда цього кола, \(O\) - її центр. Нехай пряма, що містить (OB), перетинає (a) в точці (M). Доведемо, що \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Позначимо \(\angle OAB = \alpha\). Так як \(OA\) та \(OB\) - радіуси, то \(OA = OB\) і \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким чином, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Оскільки \(OA\) – радіус, проведений у точку торкання, то \(OA\perp a\) , тобто \(\angle OAM = 90^\circ\) , отже, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Теорема про дуги, що стягуються рівними хордами
Рівні хорди стягують рівні дуги, менші півкола.
І навпаки: рівні дуги стягуються рівними хордами.
Доведення
1) Нехай (AB = CD). Доведемо, що менші півкола дуги .
По трьох сторонах, отже, \(\angle AOB=\angle COD\) . Але т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) - центральні кути, що спираються на дуги \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)відповідно, то \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Якщо \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\)по обидва боки \(AO=BO=CO=DO\) і кут між ними \(\angle AOB=\angle COD\) . Отже, і (AB = CD) .
Теорема
Якщо радіус ділить хорду навпіл, він їй перпендикулярний.
Вірне і зворотне: якщо радіус перпендикулярний хорді, то точкою перетину він ділить її навпіл.
Доведення
1) Нехай \ (AN = NB \). Доведемо, що (OQ perp AB) .
Розглянемо \(\triangle AOB\): він рівнобедрений, т.к. \ (OA = OB \) - Радіуси кола. Т.к. \ (ON \) - Медіана, проведена до основи, то вона також є і висотою, отже, \ (ON \ perp AB \) .
2) Нехай (OQ perp AB). Доведемо, що (AN = NB) .
Аналогічно \(\triangle AOB\) - рівнобедрений, \(ON\) - висота, отже, \(ON\) - медіана. Отже, (AN = NB) .
\[(\Large(\text(Теореми, пов'язані з довжинами відрізків)))\]
Теорема про створення відрізків хорд
Якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої хорди.
Доведення
Нехай хорди (AB) і (CD) перетинаються в точці (E).
Розглянемо трикутники \(ADE\) та \(CBE\). У цих трикутниках кути \(1\) і \(2\) рівні, оскільки вони вписані і спираються на ту саму дугу \(BD\) , а кути \(3\) і \(4\) рівні як вертикальні. Трикутники \(ADE\) і (CBE\) подібні (за першою ознакою подоби трикутників).
Тоді \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), Звідки \ (AE \ cdot BE = CE \ cdot DE \) .
Теорема про дотичну та січну
Квадрат відрізка дотичної дорівнює добутку січе на її зовнішню частину.
Доведення
Нехай дотична проходить через точку \(M\) і стосується кола в точці \(A\). Нехай січна проходить через точку \(M\) і перетинає коло в точках \(B\) і \(C\) так що \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Розглянемо трикутники \(MBA\) і \(MCA\): \(\angle M\) - загальний, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). За теоремою про вугілля між дотичною та січною, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Таким чином, трикутники \(MBA\) і \(MCA\) подібні по двох кутах.
З подоби трикутників \(MBA\) та \(MCA\) маємо: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)що рівносильно \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Слідство
Твір січної, проведеної з точки \(O\), на її зовнішню частину не залежить від вибору січної, проведеної з точки \(O\).
Планіметрія - це розділ геометрії, що вивчає властивості плоских фігур. До них відносяться не тільки всім відомі трикутники, квадрати, прямокутники, а й прямі та кути. У планіметрії також є такі поняття, як кути в колі: центральний і вписаний. Але що вони означають?
Що таке центральний кут?
Щоб зрозуміти, що таке центральний кут, потрібно дати визначення кола. Коло - це сукупність всіх точок, рівновіддалених від цієї точки (центру кола).
Дуже важливо відрізняти її від кола. Потрібно запам'ятати, що коло - це замкнута лінія, а коло - це частина площини, обмежена нею. В коло може бути вписаний багатокутник або кут.
Центральний кут - це такий кут, вершина якого збігається з центром кола, а сторони перетинають коло у двох точках. Дуга, яку кут обмежує точками перетину, називається дугою, яку спирається даний кут.
Розглянемо приклад №1.
На малюнку кут AOB - центральний, тому що вершина кута та центр кола - це одна точка О. Він спирається на дугу AB, яка не містить точку С.
Чим вписаний кут відрізняється від центрального?
Однак, крім центральних, існують також вписані кути. У чому їхня відмінність? Як і центральний, вписаний у коло кут спирається певну дугу. Але його вершина не збігається з центром кола, а лежить на ньому.
Наведемо такий приклад.
Кут ACB називається кутом, вписаним у коло з центром у точці О. Точка З належить колу, тобто лежить у ньому. Кут спирається на дугу АВ.
Для того щоб успішно справлятися із завданнями з геометрії, недостатньо вміти розрізняти вписаний та центральний кути. Як правило, для їх вирішення потрібно точно знати, як знайти центральний кут у колі, та вміти обчислити його значення у градусах.
Отже, центральний кут дорівнює градусній мірі дуги, яку він спирається.
На малюнку кут АОВ спирається на дугу АВ, що дорівнює 66 °. Значить, кут АОВ також дорівнює 66 °.
Таким чином, центральні кути, що спираються на рівні дуги, дорівнюють.
На малюнку дуга DC дорівнює дузі AB. Отже, кут АОВ дорівнює куту DOC.
Може здатися, що кут, вписаний в коло, дорівнює центральному кутку, що спирається на ту саму дугу. Однак, це груба помилка. Насправді, навіть просто подивившись на креслення та порівнявши ці кути між собою, можна побачити, що їхні градусні заходи матимуть різні значення. Тож чому дорівнює вписаний в коло кут?
Градусна міра вписаного кута дорівнює одній другій від дуги, яку він спирається, чи половині центрального кута, якщо вони спираються однією дугу.
Розглянемо приклад. Кут АСВ спирається на дугу, що дорівнює 66°.
Значить, кут АСВ = 66 °: 2 = 33 °
Розглянемо деякі наслідки цієї теореми.
- Вписані кути, якщо вони спираються на ту саму дугу, хорду або рівні дуги, рівні.
- Якщо вписані кути спираються на одну хорду, але їх вершини лежать по різні боки від неї, сума градусних мір таких кутів становить 180 °, так як в цьому випадку обидва кути спираються на дуги, градусна міра яких в сумі становить 360 ° (все коло) , 360 °: 2 = 180 °
- Якщо вписаний кут спирається на діаметр даного кола, його градусна міра дорівнює 90 °, так як діаметр стягує дугу рівну 180 °, 180 °: 2 = 90 °
- Якщо центральний і вписаний кути в колі спираються однією дугу чи хорду, то вписаний кут дорівнює половині центрального.
Де можуть зустрітися завдання на цю тему? Їх види та способи вирішення
Так як коло та його властивості - це один з найважливіших розділів геометрії, планіметрії зокрема, то вписаний і центральний кути в колі - це тема, яка широко та докладно вивчається у шкільному курсі. Завдання, присвячені їх властивостям, зустрічаються в основному державному екзамені (ОДЕ) та єдиному державному іспиті (ЄДІ). Як правило, для вирішення цих завдань слід знайти кути на колі в градусах.
Кути, що спираються на одну дугу
Цей тип завдань є, мабуть, одним із найлегших, тому що для його вирішення потрібно знати всього дві прості властивості: якщо обидва кути є вписаними і спираються на одну хорду, вони рівні, якщо один з них – центральний, то відповідний вписаний кут дорівнює його половині. Однак при їх вирішенні потрібно бути вкрай уважним: іноді буває складно помітити цю властивість, і учні при вирішенні таких найпростіших завдань заходять у глухий кут. Розглянемо приклад.
Завдання №1
Дано коло з центром у точці О. Кут АОВ дорівнює 54 °. Знайти градусний захід кута АСВ.
Це завдання вирішується на одну дію. Єдине, що потрібно для того, щоб знайти відповідь на неї швидко - помітити, що дуга, на яку спираються обидва кути - загальна. Побачивши це, можна використовувати вже знайоме властивість. Кут АСВ дорівнює половині кута АОВ. Значить,
1) АОВ = 54 °: 2 = 27 °.
Відповідь: 54 °.
Кути, що спираються на різні дуги одного кола
Іноді за умов завдання безпосередньо не прописана величина дуги, яку спирається шуканий кут. Щоб її обчислити, необхідно проаналізувати величину даних кутів і зіставити їх із відомими властивостями кола.
Завдання 2
У колі з центром у точці О кут АОС дорівнює 120 °, а кут АОВ - 30 °. Знайдіть кут ВАС.
Для початку варто сказати, що можливе вирішення цього завдання за допомогою властивостей рівнобедрених трикутників, проте для цього потрібно виконати більшу кількість математичних дій. Тому тут буде наведено розбір рішення за допомогою властивостей центральних та вписаних кутів у колі.
Отже, кут АОС спирається на дугу АС і є центральним, отже, дуга АС дорівнює куту АОС.
Так само кут АОВ спирається на дугу АВ.
Знаючи це і градусну міру всього кола (360 °), можна легко знайти величину дуги ВС.
НД = 360 ° - АС - АВ
НД = 360 ° - 120 ° - 30 ° = 210 °
Вершина кута САВ, точка А, лежить на колі. Отже, кут САВ є вписаним і дорівнює половині дуги СВ.
Кут САВ = 210 °: 2 = 110 °
Відповідь: 110°
Завдання, засновані на співвідношенні дуг
Деякі завдання взагалі не містять даних про величини кутів, тому їх потрібно шукати, виходячи лише з відомих теорем та властивостей кола.
Завдання 1
Знайдіть кут, вписаний у коло, який спирається на хорду, що дорівнює радіусу даного кола.
Якщо подумки провести лінії, що з'єднують кінці відрізка з центром кола, то вийде трикутник. Розглянувши його, можна побачити, що це лінії є радіусами кола, отже, всі сторони трикутника рівні. Відомо, що всі кути рівностороннього трикутника дорівнюють 60°. Значить, дуга АВ, що містить вершину трикутника, дорівнює 60 °. Звідси знайдемо дугу АВ, яку спирається шуканий кут.
АВ = 360 ° - 60 ° = 300 °
Кут АВС = 300 °: 2 = 150 °
Відповідь: 150°
Завдання 2
У колі з центром у точці О дуги співвідносяться як 3:7. Знайдіть менший вписаний кут.
Для вирішення позначимо одну частину за Х тоді одна дуга дорівнює 3Х, а друга відповідно 7Х. Знаючи, що градусна міра кола дорівнює 360 °, складемо рівняння.
3Х + 7Х = 360 °
За умовою потрібно знайти менший кут. Вочевидь, що й величина кута прямо пропорційна дузі, яку він спирається, то шуканий (менший) кут відповідає дузі, що дорівнює 3Х.
Значить, менший кут дорівнює (36 ° * 3): 2 = 108 °: 2 = 54 °
Відповідь: 54°
У колі з центром у точці О кут АОВ дорівнює 60°, а довжина меншої дуги - 50. Обчисліть довжину більшої дуги.
Щоб обчислити довжину більшої дуги, потрібно скласти пропорцію - як менша дуга належить до більшої. Для цього обчислимо величину обох дуг у градусах. Менша дуга дорівнює куту, що на неї спирається. Її градусний захід становитиме 60°. Велика дуга дорівнює різниці градусної міри кола (вона дорівнює 360 ° незалежно від інших даних) і меншої дуги.
Велика дуга дорівнює 360 ° - 60 ° = 300 °.
Оскільки 300°: 60° = 5, то більша дуга в 5 разів більша за меншу.
Велика дуга = 50*5 = 250
Отже, звичайно, існують і інші підходи до вирішення подібних завдань, але вони так чи інакше засновані на властивостях центральних та вписаних кутів, трикутників та кола. Для того, щоб успішно їх вирішувати, необхідно уважно вивчати креслення та зіставляти його з даними завдання, а також вміти застосовувати свої теоретичні знання на практиці.
Поняття вписаного та центрального кута
Введемо спочатку поняття центрального кута.
Зауваження 1
Відмітимо, що градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається.
Введемо тепер поняття вписаного кута.
Визначення 2
Кут, вершина якого лежить на колі і сторони якого перетинають це ж коло, називається вписаним кутом (рис. 2).
Малюнок 2. Вписаний кут
Теорема про вписаний вугілля
Теорема 1
Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, яку він спирається.
Доведення.
Нехай нам дано коло з центром у точці $O$. Позначимо вписаний кут $ ACB $ (рис. 2). Можливі три наступні випадки:
- Промінь $CO$ збігається з будь-якою стороною кута. Нехай це буде сторона $CB$ (рис. 3).
Малюнок 3.
У цьому випадку $AB$ менше $(180)^(()^\circ )$, отже, центральний кут $AOB$ дорівнює дузі $AB$. Оскільки $AO=OC=r$, то трикутник $AOC$ рівнобедрений. Отже, кути при основі $CAO$ і $ACO$ рівні між собою. За теоремою про зовнішній кут трикутника, маємо:
- Промінь $CO$ ділить внутрішній кут на два кути. Нехай він перетинає коло у точці $D$ (рис. 4).
Малюнок 4.
Отримуємо
- Промінь $CO$ не ділить внутрішній кут на два кути і не збігається з жодною його стороною (Рис. 5).
Малюнок 5.
Розглянемо окремо кути $ACD$ та $DCB$. За доведеним у пункті 1, отримаємо
Отримуємо
Теорему доведено.
Наведемо слідстваз цієї теореми.
Наслідок 1:Вписані кути, які спираються на одну й тугішу дугу рівні між собою.
Наслідок 2:Вписаний кут, що спирається на діаметр - прямий.
Це кут, сформований двома хордами, що беруть початок в одній точці кола. Про вписане вугілля говорять, що він спираєтьсяна дугу, укладену між його сторонами.
Вписаний кутдорівнює половині дуги, яку він спирається.
Іншими словами, вписаний кутвключає стільки кутових градусів, хвилин і секунд, скільки дугових градусів, хвилин і секунд укладено в половині дуги, яку він спирається. Для обґрунтування проаналізуємо три випадки:
Перший випадок:
Центр O розташований на стороні вписаного кута ABС. Прокресливши радіус AO, отримаємо ΔABO, у ньому OA = OB (як радіуси) і, відповідно, ∠ABO = ∠BAO. Стосовно цього трикутнику, кут AOС – зовнішній. І значить, він дорівнює сумі кутів ABO та BAO, або дорівнює подвійному куту ABO. Значить ∠ABO дорівнює половині центрального кута AOС. Але цей кут вимірюється дугою AC. Тобто вписаний кут ABС вимірюється половиною дуги AC.
Другий випадок:
Центр O розташований між сторонами вписаного кута ABС.Накресливши діаметр BD, ми поділимо кут ABС на два кути, з яких, за встановленим у першому випадку, один вимірюється половиною дуги AD, а іншою половиною дуги СD. І відповідно кут ABС вимірюється (AD+DС) /2, тобто. 1/2 AC.
Третій випадок:
Центр O розташований поза вписаного кута ABС. Накресливши діаметр BD, ми матимемо: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Але кути ABD і CBD вимірюються, виходячи з обгрунтованого раніше половинами дуг AD та СD. І оскільки ∠ABС вимірюється (AD-СD)/2, тобто половиною дуги AC.
Наслідок 1.Будь-які , що спираються на ту саму дугу однакові, тобто рівні між собою. Оскільки кожен з них вимірюється половиною однієї і тієї ж дуги .
Наслідок 2. Вписаний кут, що спирається на діаметр - прямий кут. Оскільки кожен такий кут вимірюється половиною півкола і, відповідно, містить 90 °.
Спочатку розберемося на відміну між колом і окружністю. Щоб побачити цю різницю, достатньо розглянути, чим є обидві фігури. Це незліченну кількість точок площини, що знаходяться на рівній відстані від єдиної центральної точки. Але, якщо коло складається і з внутрішнього простору, то коло воно не належить. Виходить, що коло це і коло, що обмежує його (о-кружність), і незліченну кількість точок, що всередині кола.
Для будь-якої точки L, що лежить на колі, діє рівність OL=R. (Довжина відрізка OL дорівнює радіусу кола).
Відрізок, який з'єднує дві точки кола, є її хордий.
Хорда, що проходить прямо через центр кола, є діаметромцього кола (D) . Діаметр можна обчислити за такою формулою: D=2R
Довжина колаобчислюється за формулою: C=2\pi R
Площа кола: S=\pi R^(2)
Дугого коланазивається та її частина, яка розташовується між двома її точками. Ці дві точки визначають дві дуги кола. Хорда CD стягує дві дуги: CMD та CLD. Однакові хорди стягують однакові дуги.
Центральним кутомназивається такий кут, що знаходиться між двома радіусами.
Довжину дугиможна знайти за формулою:
- Використовуючи градусний захід: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Використовуючи радіальний захід: CD = \alpha R
Діаметр, що перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягнуті нею дуги навпіл.
Якщо хорди AB і CD кола мають перетин у точці N , то твори відрізків хорд, розділені точкою N , рівні між собою.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Стосовно кола
Стосовно колаприйнято називати пряму, у якої є одна загальна точка з коло.
Якщо ж у прямої є дві спільні точки, її називають січучою.
Якщо провести радіус у точку торкання, він буде перпендикулярний дотичній до кола.
Проведемо дві дотичні з цієї точки до нашого кола. Вийде, що відрізки дотичних зрівняються один з одним, а центр кола розташується на бісектрисі кута з вершиною в цій точці.
AC = CB
Тепер до кола з нашої точки проведемо дотичну та січну. Отримаємо, що квадрат довжини відрізка дотичної дорівнюватиме добутку всього відрізка січної на його зовнішню частину.
AC^(2) = CD \cdot BC
Можна зробити висновок: добуток цілого відрізка першої січної на його зовнішню частину дорівнює добутку цілого відрізка другої сікної на його зовнішню частину.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Кути в колі
Градусні заходи центрального кута і дуги, яку той спирається, рівні.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Вписаний кут- Це кут, вершина якого знаходиться на колі, а сторони містять хорди.
Обчислити його можна, дізнавшись величину дуги, оскільки він дорівнює половині цієї дуги.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Який спирається на діаметр, вписаний кут, прямий.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Вписані кути, що спираються на одну дугу, тотожні.
Опирающиеся однією хорду вписані кути тотожні чи його сума дорівнює 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180 ^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
На одному колі знаходяться вершини трикутників з тотожними кутами та заданою основою.
Кут з вершиною всередині кола і розташований між двома хордами тотожний половині суми кутових величин дуг кола, які полягають усередині даного та вертикального кутів.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Кут з вершиною поза коло і розташований між двома січними тотожний половині різниці кутових величин дуг кола, які полягають усередині кута.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Вписане коло
Вписане коло- Це коло, що стосується сторін багатокутника.
У точці, де перетинаються бісектриси кутів багатокутника, розташовується її центр.
Коло може бути вписане не в кожен багатокутник.
Площа багатокутника з вписаним колом знаходиться за формулою:
S = pr,
p - напівпериметр багатокутника,
r - радіус вписаного кола.
Звідси випливає, що радіус вписаного кола дорівнює:
r = \frac(S)(p)
Суми довжин протилежних сторін будуть тотожні, якщо коло вписано у опуклий чотирикутник. І навпаки: у опуклий чотирикутник вписується коло, якщо у ньому суми довжин протилежних сторін тотожні.
AB + DC = AD + BC
У будь-який з трикутників можна вписати коло. Лише одну єдину. У точці, де перетинаються бісектриси внутрішніх кутів фігури, лежатиме центр цього вписаного кола.
Радіус вписаного кола обчислюється за такою формулою:
r = \frac(S)(p) ,
де p = \frac(a + b + c)(2)
Описане коло
Якщо коло проходить через кожну вершину багатокутника, то таке коло прийнято називати описаної біля багатокутника.
У точці перетину серединних перпендикулярів сторін цієї фігури буде центр описаного кола.
Радіус можна знайти, обчисливши його як радіус кола, яка описана біля трикутника, визначеного будь-якими трьома вершинами багатокутника.
Є така умова: коло можна описати близько чотирикутника лише, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180^(\circ) .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180 (\circ)
Біля будь-якого трикутника можна описати коло, причому одне-єдине. Центр такого кола буде розташований у точці, де перетинаються серединні перпендикуляри сторін трикутника.
Радіус описаного кола можна обчислити за формулами:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = frac(abc)(4 S)
a, b, c - довжини сторін трикутника,
S – площа трикутника.
Теорема Птолемея
Насамкінець, розглянемо теорему Птолемея.
Теорема Птолемея свідчить, що добуток діагоналей тотожний сумі творів протилежних сторін вписаного чотирикутника.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)