Трикутник MNP зі сторонами MP = 6 \ sqrt (3)і MN=NP лежить в основі прямої призми MNPM_(1)N_(1)P_(1) . Точка K обрана на ребрі NN_(1) таким чином, що NK:N_(1)K=3:4 . У цьому кут між площиною MNP і площиною MKP становить 60^(\circ) .
а) Доведіть, що відстань між прямими MN і M_1P_1 дорівнює боковому ребру призми.
б) За умови KP=9 обчисліть відстань між прямими MN і M_(1)P_(1) .
Показати рішенняРішення
а) Пряма MN лежить у площині \left (MNN_(1) \right) , \left (M_(1)P_(1) \right) і перетинає \left (MNN_(1) \right) у точці M_(1) , Тоді за ознакою прямих, що схрещуються, MN і M_(1)P_(1) - прямі, що схрещуються.
Площини MNP і M_(1)N_(1)P_(1) паралельні як підстави призми. За умовою, призма пряма, отже, кожне бічне ребро перпендикулярно до основ, отже, є відстанню між схрещувальними прямими MN і M_(1)P_(1) , що й вимагалося довести.
б) Проведемо NH\perp MP, тоді NH - висота і медіана в рівнобедреному \bigtriangleup MNP. KH - медіана \ bigtriangleup MKP. NH - проекція KH на \left (MPN \right) і NH\perp MP . Отже, KHperp MP (за теоремою про три перпендикуляри).
\angle KHN - Лінійний кут двогранного кута KMPN , звідки \angle KHN = 60^(\circ) .
У \bigtriangleup KPH катет KH=\sqrt(KP^(2)-PH^(2))= \ sqrt (81-27) = sqrt (54) = 3 sqrt (6).
Завдання C2 №29
В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник
Додано 22.03.2011 23:17
Умова:
В основі прямої призми ABCA1B1C1 лежить рівнобедрений трикутник ABC, у якого основа BC дорівнює 3. Бічна поверхня призми дорівнює 32. Знайдіть площу перерізу призми площини, що проходить через CB1, паралельно висоті основи AD. Відстань від A до площини перерізу дорівнює 6/5.Рішення:
1. Розберемося з перетином. Оскільки воно паралельно AD, його площині належить пряма LK, паралельна AD і проходить через середину CB1. Відрізок LK дорівнює AD, оскільки K - середина CB1, то L - середина AA1.
2. Раз L - середина AA1, то LC = LB1, отже, трикутник CLB1 - рівнобедрений, та її площа, яку треба знайти, дорівнює CB1*LK/2.
3. Нехай x = AD = LK, у = AA1 = BB1 = CC1.
Тоді з умов, що площа бічної поверхні призми дорівнює 32 а BC=3 отримуємо
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32, або
Y*(3+sqrt(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. Відстань AH від точки A до площини CLB1 дорівнює відстані від A до прямої LM, паралельної CB1 і через точку L.
LAM – прямокутний трикутник, де AM = DC = 3/2, AL = y/2.
Його площа дорівнює
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Звідси отримуємо
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*sqrt((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*sqrt(9+y^2) (2)
5. З рівняння (2)
бачимо, що висота призми y = 4.
6. З рівняння (1)
знаючи y, знаходимо, що висота підстави призми x = 2.
7. Площа трикутника CLB1
S = x * sqrt (3 2 + y 2) / 2 = 2 * sqrt (9 +16) / 2 = 5
Завдання C2 №29
В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник
Додано 22.03.2011 23:17
Умова:
В основі прямої призми ABCA1B1C1 лежить рівнобедрений трикутник ABC, у якого основа BC дорівнює 3. Бічна поверхня призми дорівнює 32. Знайдіть площу перерізу призми площини, що проходить через CB1, паралельно висоті основи AD. Відстань від A до площини перерізу дорівнює 6/5.Рішення:
1. Розберемося з перетином. Оскільки воно паралельно AD, його площині належить пряма LK, паралельна AD і проходить через середину CB1. Відрізок LK дорівнює AD, оскільки K - середина CB1, то L - середина AA1.
2. Раз L - середина AA1, то LC = LB1, отже, трикутник CLB1 - рівнобедрений, та її площа, яку треба знайти, дорівнює CB1*LK/2.
3. Нехай x = AD = LK, у = AA1 = BB1 = CC1.
Тоді з умов, що площа бічної поверхні призми дорівнює 32 а BC=3 отримуємо
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32, або
Y*(3+sqrt(9+4*x^2)) = 32 (1)
4. Відстань AH від точки A до площини CLB1 дорівнює відстані від A до прямої LM, паралельної CB1 і через точку L.
LAM – прямокутний трикутник, де AM = DC = 3/2, AL = y/2.
Його площа дорівнює
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Звідси отримуємо
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*sqrt((3/2)^2+(y/2)^2)
Y = 4/5*sqrt(9+y^2) (2)
5. З рівняння (2)
бачимо, що висота призми y = 4.
6. З рівняння (1)
знаючи y, знаходимо, що висота підстави призми x = 2.
7. Площа трикутника CLB1
S = x * sqrt (3 2 + y 2) / 2 = 2 * sqrt (9 +16) / 2 = 5