Kristallerin simetri kanunu. "Kristallerin simetrisi" konulu bilimsel çalışma

KRİSTALLERİN SİMETRİSİ- kristallerin dönme, yansıma, paralel aktarım sırasında veya bu işlemlerin bir kısmı veya birleşimi sırasında kendileriyle birleşme özelliği. dahili Bir kristalin şekli (kesilmesi), atomik yapısının simetrisi ile belirlenir ve kenarları da fiziksel yapının simetrisini belirler. kristalin özellikleri.

Pirinç. 1. a - kuvars kristali; 3 - 3. dereceden simetri ekseni, - 2. dereceden eksenler; b - sulu sodyum metasilikatın kristali; m - simetri düzlemi.

Şek. 1 A bir kuvars kristali tasvir edilmiştir. Dahili. şekli, eksen 3 etrafında 120° döndürülerek kendisiyle hizalanabilecek şekildedir (uyumlu eşitlik). Sodyum metasilikat kristali (Şekil 1, B) m simetri düzleminde (ayna eşitliği) yansıma ile kendisine dönüşür. Eğer - bir nesneyi tanımlayan bir işlev, ör. üç boyutlu uzayda bir kristalin şekli veya k-l. özelliği ve işlem nesnenin tüm noktalarının koordinatlarını dönüştürür, ardından G bir işlem veya simetri dönüşümüdür ve aşağıdaki koşullar karşılanırsa F simetrik bir nesnedir:

Maks. Genel formülasyonda simetri, nesnelerin ve yasaların, onları tanımlayan değişkenlerin belirli dönüşümleri altında değişmezliğidir (değişmezliği). Kristaller üç boyutlu uzaydaki nesnelerdir, dolayısıyla klasiktir. SK teorisi, iç gerçeği dikkate alarak üç boyutlu uzayın kendisine simetrik dönüşümlerinin teorisidir. kristallerin atomik yapısı ayrık, üç boyutlu periyodiktir. Simetri dönüşümleri sırasında uzay deforme olmaz, katı bir bütün olarak dönüştürülür. Bu tür dönüşümler oyuktur. ortogonal veya izometrik ve. Simetri dönüşümünden sonra cismin bir yerde bulunan parçaları başka bir yerde bulunan parçalarıyla çakışır. Bu, simetrik bir nesnenin eşit parçalara sahip olduğu (uyumlu veya yansıtılmış) anlamına gelir.

SK, yalnızca gerçek üç boyutlu uzaydaki yapısı ve özellikleriyle değil, aynı zamanda enerjinin tanımlanmasında da kendini gösterir. kristalin elektron spektrumu (bkz. Bölge teorisi), süreçleri analiz ederken X-ışını kırınımı, nötron kırınımı Ve elektron kırınımı karşılıklı boşluk kullanan kristallerde (bkz. Ters kafes), vesaire.

Kristallerin simetri grupları. Bir kristalin birden fazla özelliği olabilir. . Böylece bir kuvars kristali (Şekil 1, A) yalnızca kendi ekseni etrafında 120° döndürüldüğünde kendisiyle birleştirilmez 3 (operasyon gi), aynı zamanda bir eksen etrafında dönerken de 3 240°'de (çalışma g 2), & ayrıca eksenler etrafında 180° dönerken 2 X, 2 y, 2 W(operasyonlar g 3, g 4, g 5). Her simetri işlemi, verilen işlemin kendisine göre gerçekleştirildiği bir simetri elemanıyla (düz bir çizgi, bir düzlem veya bir nokta) ilişkilendirilebilir. Örneğin eksen 3 veya eksenler 2 x, 2 y, 2 w simetri eksenleri, düzlem T(Şekil 1,b) - ayna simetri düzlemi vb. Simetri işlemleri kümesi (g 1 , g 2 , ..., g n ) Belirli bir kristalin matematik anlamında bir simetri grubu oluşturur. teoriler gruplar. Tutarlı iki simetri işleminin gerçekleştirilmesi de bir simetri işlemidir. Grup teorisinde buna işlemlerin çarpımı denir: Her zaman bir kimlik operasyonu vardır g 0 Kristalde hiçbir şeyi değiştirmeyen maddeye denir. Tanımlama, geometrik olarak bir nesnenin hareketsizliğine veya herhangi bir eksen etrafında 360° dönmesine karşılık gelir. G grubunu oluşturan işlem sayısına denir. grup sırası.

Uzay dönüşümlerinin simetri grupları şu şekilde sınıflandırılır: sayıya göre N tanımlandıkları mekanın boyutları; numaraya göre T nesnenin periyodik olduğu (buna göre belirlenir) ve diğer bazı özelliklere göre uzayın boyutları. Kristalleri tanımlamak için çeşitli simetri grupları kullanılır; bunların en önemlileri dış görünüşü tanımlayan nokta simetri gruplarıdır. kristal şekli; onların isimleri aynı zamanda kristalografik. sınıflar; kristallerin atomik yapısını tanımlayan uzay simetri grupları.

Nokta simetri grupları. Nokta simetri işlemleri şunlardır: düzenin simetri ekseni etrafındaki dönüşler N eşit bir açıyla 360°/K(Şekil 2, a); simetri düzleminde yansıma T(ayna yansıması, Şekil 2, B); ters çevirme (bir noktaya göre simetri, Şekil 2, c); ters çevirme dönüşleri (bir açıda dönme kombinasyonu) 360°/K sn aynı zamanda ters çevirme, Şekil. 2,d). Ters dönmeler yerine, bazen eşdeğer ayna dönüşleri dikkate alınır. Nokta simetri işlemlerinin geometrik olarak olası kombinasyonları, kenarları genellikle stereografik biçimde gösterilen bir veya başka bir nokta simetri grubunu belirler. projeksiyonlar. Nokta simetrisi dönüşümleri sırasında nesnenin en az bir noktası hareketsiz kalır - kendine dönüşür. Simetrinin tüm unsurları burada kesişir ve stereografik merkezidir. projeksiyonlar. Farklı nokta gruplarına ait kristallerin örnekleri Şekil 2'de verilmiştir. 3.

Pirinç. 2. Simetri işlemlerine örnekler: a - döndürme; b - yansıma; c - ters çevirme; d - 4. dereceden ters çevirme dönüşü; d - 4. dereceden sarmal dönüş; e - kayan yansıma.

Pirinç. 3. Farklı nokta gruplarına (kristalografik sınıflar) ait kristal örnekleri: a - m sınıfına (bir simetri düzlemi); b - sınıfa (simetri merkezi veya ters çevirme merkezi); a - sınıf 2'ye (2. dereceden bir simetri ekseni); g - sınıfa (6. dereceden bir ters-döner eksen).

Nokta simetri dönüşümleri doğrusal denklemlerle tanımlanır

veya katsayı matrisi

Örneğin bir eksen etrafında dönerken x 1 açıda - =360°/N matris Dşu forma sahiptir:

ve bir düzleme yansıtıldığında x 1 x 2Dşu forma sahiptir:

Nokta gruplarının sayısı sonsuzdur. Ancak kristallerde kristal parçacıkların varlığı nedeniyle. kafesler, yalnızca işlemler ve buna bağlı olarak 6. sıraya kadar simetri eksenleri mümkündür (5. hariç; bir kristal kafeste 5. dereceden bir simetri ekseni olamaz, çünkü beşgen şekiller kullanılarak boşluğu boşluksuz doldurmak imkansızdır. ). Nokta simetrisi işlemleri ve karşılık gelen simetri elemanları sembollerle gösterilir: eksenler 1, 2, 3, 4, 6, ters çevirme eksenleri (simetri merkezi veya ters çevirme merkezi), (simetri düzlemi m olarak da bilinir), ( Şekil 4).

Pirinç. 4. Nokta simetrisi elemanlarının grafiksel gösterimleri: a - daire - simetri merkezi, simetri eksenleri, çizim düzlemine dik; b - çizim düzlemine paralel eksen 2; c - çizim düzlemine paralel veya eğik simetri eksenleri; g - çizim düzlemine dik simetri düzlemi; d - çizim düzlemine paralel simetri düzlemleri.

Bir nokta simetri grubunu tanımlamak için bir veya daha fazlasını belirtmek yeterlidir. Onu oluşturan simetri işlemleri, (eğer varsa) geri kalan işlemleri, üretenlerin etkileşimi sonucu ortaya çıkacaktır. Örneğin kuvars için (Şekil 1, a) üretim işlemleri 3 ve işlemlerden biri 2'dir ve bu grupta toplam 6 işlem bulunmaktadır. Grupların uluslararası tanımları simetri oluşturma işlemlerinin sembollerini içerir. Nokta grupları birim hücrenin şeklinin nokta simetrisine göre birleştirilir (periyotlar a, b, s ve açılar) 7 sisteme ayrılmıştır (Tablo 1).

Ch hariç içeren gruplar. eksenler N simetri düzlemleri T, olarak gösterilir N/m, eğer veya nm, eğer eksen düzlemde yer alıyorsa T. Grup Ch'ye ek olarak ise. birkaç aksı vardır. içinden geçen simetri düzlemleri, o zaman gösterilir Nmm.

Masa 1.- Kristal simetrinin nokta grupları (sınıfları)

Yalnızca dönme içeren gruplar, yalnızca uyumlu eşit parçalardan (1. türden gruplar) oluşan kristalleri tanımlar. Yansımaları veya ters dönmeleri içeren gruplar, ayna benzeri parçalara sahip kristalleri (2. tür gruplar) tanımlar. 1. tür gruplar tarafından tanımlanan kristaller, iki enantiyomorfik formda (her biri 2. türden simetri elemanları içermeyen “sağ” ve “sol”) kristalleşebilir, ancak birbirlerine ayna benzeridir (bkz. Enantiyomorfizm).

SK grupları geom taşır. anlamı: operasyonların her biri, örneğin bir simetri ekseni etrafında dönmeye, bir düzlemde yansımaya karşılık gelir. Yalnızca belirli bir gruptaki işlemlerin etkileşim kurallarını dikkate alan (ancak geometrik anlamlarını dikkate almayan) grup teorisi anlamında belirli nokta gruplarının birbirleriyle aynı veya izomorfik olduğu ortaya çıkar. Bunlar örneğin grup 4 ve tt2, 222. Toplamda S. k'nin 32 nokta gruplarından bir veya daha fazlasına izomorfik 18 soyut grup vardır.

Grupları sınırlayın. Bir kristalin çeşitli özelliklerinin yöne bağımlılığını tanımlayan işlevler, kristalin yüzünün simetri grubuyla benzersiz bir şekilde ilişkilendirilen belirli bir nokta simetrisine sahiptir. Ya onunla çakışıyor ya da simetri bakımından ondan daha yüksek ( Neumann ilkesi).

Makroskobik ile ilgili Özellikleri açısından bir kristal homojen, sürekli bir ortam olarak tanımlanabilir. Bu nedenle, bir veya başka bir nokta simetri grubuna ait kristallerin özelliklerinin çoğu, sözde olarak tanımlanmaktadır. simgesiyle gösterilen, sonsuz dereceden simetri eksenlerini içeren sınır noktası grupları. Bir eksenin varlığı, nesnenin sonsuz küçük bir açı da dahil olmak üzere herhangi bir açıyla döndürüldüğünde kendisiyle aynı hizada olduğu anlamına gelir. Bu tür 7 grup vardır (Şekil 5). Böylece kristallerin özelliklerinin simetrisini tanımlayan toplamda 32 + 7 = 39 nokta grubu vardır. Kristallerin simetri grubunu bilerek, içinde belirli fiziksel özelliklerin bulunup bulunmadığı olasılığını belirtebiliriz. özellikler (bkz. Kristal fiziği).

Pirinç. 5. 32 kristalografik ve 2 ikosahedral grubun stereografik projeksiyonları. Gruplar, sembolleri üst satırda verilen ailelere göre sütunlar halinde düzenlenmiştir. Alt satırda her ailenin limit grubu ve limit grubunu gösteren rakamlar gösterilmektedir..

Uzay simetri grupları. Kristallerin atomik yapısının uzaysal simetrisi, uzay simetri grupları ile tanımlanır. Onlar denir ayrıca Fedorovsky, onları 1890'da bulan E. S. Fedorov'un onuruna; bu gruplar aynı yıl A. Schoenflies tarafından bağımsız olarak geliştirildi. Kristal formların yasalarının genelleştirilmesi olarak elde edilen nokta gruplarının aksine. çokyüzlüler (S.I. Gessel, 1830, A.V. Gadolin, 1867), uzay grupları matematiksel jeolojinin bir ürünüydü. deneyi öngören teori. X-ışını kırınımı kullanılarak kristal yapının belirlenmesi. ışınlar.

Kristallerin atomik yapısının karakteristik işlemleri, kristalin üç boyutlu periyodikliğini belirleyen, aynı düzlemde olmayan 3 a, b, c translasyonudur. ızgaralar. Kristal. Kafesin her üç boyutta da sonsuz olduğu kabul edilir. Böyle bir matematik. gözlemlenen kristallerdeki temel hücrelerin sayısı çok fazla olduğundan yaklaşım gerçekçidir. Yapının vektörlere aktarılması a, b, c veya herhangi bir vektör sayfa 1, sayfa 2, sayfa 3- herhangi bir tamsayı, kristalin yapısını kendisiyle birleştirir ve dolayısıyla bir simetri işlemidir (öteleme simetrisi).

Fizik. kristalin ayrıklığı Bir madde atomik yapısında ifade edilir. Uzay grupları, üç boyutlu homojen ayrık bir uzayın kendilerine dönüşen gruplarıdır. Ayrıklık, örneğin böyle bir uzayın tüm noktalarının simetrik olarak birbirine eşit olmaması gerçeğinde yatmaktadır. bir türden bir atom ve başka türden bir atom, çekirdek ve elektronlar. Homojenlik ve ayrıklık koşulları, uzay gruplarının üç boyutlu periyodik olması, yani herhangi bir grubun bir öteleme alt grubu içermesi gerçeğiyle belirlenir. T- kristal ızgara.

Ötelemeleri ve nokta simetri işlemlerini gruplar halinde bir kafeste birleştirme olasılığı nedeniyle, nokta simetri işlemlerine ek olarak işlemler ve bunlara karşılık gelen öteleme simetrisi elemanları ortaya çıkar. bileşen - çeşitli düzenlerin sarmal eksenleri ve kayan yansıma düzlemleri (Şekil 2, d,f).

Birim hücrenin (temel paralel yüzlü) şeklinin nokta simetrisine uygun olarak, nokta grupları gibi uzay grupları da 7 kristalografik gruba ayrılır. eş anlamlı(Tablo 2). Daha sonraki bölümleri yayına karşılık gelir. gruplar ve ilgili Barlara doğru. 14 Bravais kafesi vardır, bunlardan 7'si karşılık gelen sistemlerin ilkel kafesleridir. R(eşkenar dörtgen hariç R). Diğerleri - 7 merkezli. ızgaralar: taban (yan) - ortalanmış A(yüz ortalanmış bc), B(kenar ac), C(ab); vücut merkezli I, yüz merkezli (3 yüzün hepsinde) F. Çeviri işleminde merkezlemenin dikkate alınması T merkeze karşılık gelen merkezleme transferleri eklenir tc. Bu işlemleri birbiriyle birleştirirseniz T + bu ve karşılık gelen sistemin nokta gruplarının işlemleriyle 73 uzay grubu elde edilir. simmorfik.

Masa 2.-Uzay simetri grupları

Belirli kurallara dayalı olarak, simmorfik uzay gruplarından önemsiz olmayan alt gruplar çıkarılabilir, bu da başka bir 157 simmorfik olmayan uzay grubu verir. Bir noktayı dönüştürürken toplamda 230 uzay grubu vardır. X simetrik olarak eşit olanlara (ve dolayısıyla tüm uzayın kendi içine) şu şekilde yazılır: , burada D- nokta dönüşümleri, - sarmal transfer veya kayan yansımanın bileşenleri, - öteleme işlemleri. Bravais grubu. Helisel simetri işlemleri ve buna karşılık gelen simetri elemanları - sarmal eksenlerin bir açısı vardır. bileşen (N = 2, 3, 4, 6) ve öteleme t s = tq/N, Nerede T- kafesin ötelenmesi, dönme hareketi Zh ekseni boyunca öteleme ile eş zamanlı olarak gerçekleşir, Q- sarmal dönme indeksi. Helisel akslar için genel sembol Nq(Şekil 6). Vida eksenleri kanal boyunca yönlendirilir. birim hücrenin eksenleri veya köşegenleri. 3 1 ve 3 2, 4 1 ve 4 3, 6 1 ve 6 5, 6 2 ve 6 4 eksenleri çiftler halinde sağ ve sol helisel dönüşlere karşılık gelir. Uzay gruplarında ayna simetrisinin işleyişine ek olarak, yansıma a'nın geçişli düzlemleri de mümkündür, b, c: yansıma, karşılık gelen ızgara süresinin yarısı kadar transfer ile birleştirilir. Bir hücre yüzünün köşegeninin yarısı kadar ötelenmesi sözde buna karşılık gelir. klinoplan kayması n, ayrıca tetragonal ve kübiktir. gruplarda “elmas” uçaklar mümkündür D.

Pirinç. 6. a - Şekil düzlemine dik vida eksenlerinin grafiksel gösterimleri; b - şeklin düzleminde yatan vida ekseni; c - Şekil düzlemine dik sıyırma yansıması düzlemleri, burada a, b, c kaymanın meydana geldiği eksenler boyunca birim hücrenin periyotlarıdır (öteleme bileşeni a/2), n - sıyırma yansımasının çapraz düzlemi [öteleme bileşeni (a + b)/ 2], d - elmas kayma düzlemi; g - çizim düzleminde aynı.

Tabloda Şekil 2, 7 senkronizasyondan birine ve nokta simetri sınıfına ait olmalarına göre 230 uzay grubunun tamamının uluslararası sembollerini vermektedir.

Yayın uzay gruplarının mikrosimetri işlemlerinin bileşenleri, nokta gruplarında makroskobik olarak kendilerini göstermez; örneğin kristal kesmede sarmal eksen, buna karşılık gelen basit bir dönme ekseni olarak görünür. Bu nedenle, 230 grubun her biri makroskobik olarak 32 nokta grubundan birine benzer (homomorfik). Örneğin, bir nokta grubuna - ttt 28 uzay grubu homomorfik olarak haritalanmıştır.

Uzay grupları için Schönflies notasyonu, örneğin yukarıda tarihsel olarak kabul edilen sıra numarasının atandığı ilgili nokta grubunun (örneğin Tablo 1) gösterimidir. . Uluslararası gösterimler, Bravais kafes sembolünü ve her grubun simetri oluşturma işlemlerini vb. gösterir. Tablodaki uzay gruplarının düzenlenme sırası. Uluslararası notasyonlardaki 2, Schönflies notasyonlarındaki sayıya (üst simge) karşılık gelir.

Şek. Şekil 7'de mekanların bir görüntüsü gösterilmektedir. gruplar - Rpta Uluslararası Kristalografiye göre. tablolar. Birim hücre için belirtilen her uzay grubunun simetri işlemleri (ve bunlara karşılık gelen elemanlar), kristalin tamamı üzerinde etki eder. uzay, kristalin tüm atomik yapısı ve birbirleri üzerinde.

Pirinç. 7. Grubun görüntüsü - Uluslararası tablolarda Rpt.

Birim hücrenin içini belirtirseniz k-n. nokta x(x1x2x3), daha sonra simetri işlemleri onu kristalin boyunca simetrik olarak eşit noktalara dönüştürür. uzay; Bu türden sonsuz sayıda nokta vardır. Ancak konumlarını tek bir temel hücrede tanımlamak yeterlidir ve bu küme zaten kafes çevirileriyle çoğalacaktır. Belirli bir işlemden elde edilen bir dizi nokta ben gruplar G - x 1, x 2,...,x n-1, isminde doğru puan sistemi (PST). Şek. Sağdaki 7, grubun simetri elemanlarının konumu, soldaki ise bu grubun genel konumunun PST görüntüsüdür. Genel konumdaki noktalar, uzay grubunun nokta simetri elemanı üzerinde bulunmayan noktalardır. Bu noktaların sayısı (çokluğu) grubun sırasına eşittir. Nokta simetrisinin bir elemanı (veya elemanları) üzerinde bulunan noktalar, belirli bir pozisyonun bir PST'sini oluşturur ve karşılık gelen simetriye sahiptir; bunların sayısı, genel bir pozisyonun PST'sinin çokluğundan bir tam sayıdır. Şek. Soldaki 7, daireler genel konum noktalarını gösterir, birim hücre içinde 8 adet vardır, “+” ve “-”, “1/2+” ve “1/2-” sembolleri + koordinatlarını ifade eder. z, -z, 1/2 + z, sırasıyla , 1/2 - z. Virgül veya bunların yokluğu, bu grupta mevcut m simetri düzlemlerine göre karşılık gelen noktaların ikili ayna eşitliği anlamına gelir. en= 1/4 ve 3/4. Bir nokta m düzlemine düşüyorsa, genel konumdaki noktalarda olduğu gibi bu düzlem tarafından ikiye katlanmaz ve bu tür noktaların özel konumdaki sayısı (çokluğu) 4, simetrileri m'dir. Aynı şey bir nokta simetri merkezlerine çarptığında da olur.

Her uzamsal grubun kendi PST kümeleri vardır. Her grup için genel pozisyonda yalnızca bir doğru puan sistemi vardır. Ancak belirli bir durumun bazı PST'leri farklı gruplar için aynı olabilir. Uluslararası Tablolar, PST'lerin çeşitliliğini, simetrilerini ve koordinatlarını ve her bir uzay grubunun diğer tüm özelliklerini gösterir. PST kavramının önemi herhangi bir kristalin içinde bulunmasında yatmaktadır. Belirli bir uzay grubuna ait olan yapıda, atomlar veya molekül merkezleri PST (bir veya daha fazla) boyunca yer alır. Yapısal analizde atomların bir veya daha fazla sayıdaki dağılımı. Belirli bir uzay grubunun PST'si kimya dikkate alınarak gerçekleştirilir. f-ly kristali ve kırınım verileri. deney, atomların bulunduğu belirli veya genel konumlardaki noktaların koordinatlarını bulmanızı sağlar. Her PST bir veya daha fazla sayıda Bravais kafesinden oluştuğundan, atomların düzeni "birbirine itilmiş" bir Bravais kafesleri seti olarak hayal edilebilir. Bu temsil, uzay grubunun bir alt grup olarak çeviri içermesine eşdeğerdir. Cesur grup.

Kristal simetri gruplarının alt grupları. Operasyonun bir kısmı k-l ise. grupların kendisi bir grup oluşturur G r (g 1 ,...,gm),, ardından soyadı. birincinin alt grubu. Örneğin, nokta grubu 32'nin alt grupları (Şekil 1, a) gruptur 3 ve grup 2 . Ayrıca boşluklar arasında. gruplarda bir alt grup hiyerarşisi vardır. Uzay grupları, alt gruplar (bu tür 217 uzay grubu vardır) ve daha düşük düzeydeki uzay grupları olan alt gruplar olarak nokta gruplarına sahip olabilir. Buna göre alt grupların hiyerarşisi vardır.

Kristallerin uzay simetri gruplarının çoğu birbirinden farklıdır ve soyut gruplar halindedir; 230 uzay grubuna izomorf olan soyut grupların sayısı 219'dur. 11 aynaya eşit (enantiyomorfik) uzay grubunun soyut olarak eşit olduğu ortaya çıkar - biri yalnızca sağ elini kullanan, diğerleri sol elini kullanan sarmal eksenlere sahiptir. Bunlar örneğin: P 3 1 21 ve P 3 2 21. Bu uzay gruplarının her ikisi de kuvarsın ait olduğu nokta grubu 32'ye homomorfik olarak haritalanır, ancak kuvars sırasıyla sağ veya sol yönlü olabilir: bu durumda uzaysal yapının simetrisi makroskobik olarak ifade edilir, ancak nokta grubu her iki durumda da aynıdır.

Kristal simetrisinde uzay gruplarının rolü. Kristallerin uzay simetri grupları teorik teorinin temelini oluşturur. kristalografi kristallerin atomik yapısını belirlemek ve kristali tanımlamak için kırınım ve diğer yöntemler. yapılar.

X-ışını kırınımıyla elde edilen kırınım modeli şu şekildedir: nötronografi veya elektron kırınımı,simetrik ve geometrik ayarlamanıza olanak sağlar. özellikler karşılıklı kafes kristal ve dolayısıyla kristal yapının kendisi. Bir kristalin nokta grubu ve birim hücre bu şekilde belirlenir; Karakteristik yok oluşlara (belirli kırınım yansımalarının yokluğu) dayanarak, Bravais ızgarasının türü ve belirli bir uzay grubuna üyeliği belirlenir. Birim hücredeki atomların yerleşimi, kırınım yansımalarının yoğunluklarının toplamından belirlenir.

Uzay grupları önemli bir rol oynuyor kristal kimyası. 100 binden fazla kristal parçacık tespit edilmiştir. yapılar inorganik, organik ve biyolojik bağlantılar. Herhangi bir kristal 230 uzay grubundan birine aittir. Bazıları diğerlerinden daha yaygın olmasına rağmen neredeyse tüm uzay gruplarının kristal dünyasında gerçekleştiği ortaya çıktı. Çeşitli kimyasal türleri için uzay gruplarının yaygınlığına ilişkin istatistikler vardır. bağlantılar. Şu ana kadar incelenen yapılar arasında sadece 4 grup bulunamamıştır: Рсс2, P4 2 cm, P4nc 1, Р6тп. Belirli uzay gruplarının yaygınlığını açıklayan teori, yapıyı oluşturan atomların boyutlarını, atomların veya moleküllerin yakın paketlenmesi kavramını, simetri elemanlarının "paketleme" rolünü - kayan düzlemler ve vida eksenlerini dikkate alır.

Katı hal fiziğinde matrisler ve özel fonksiyonlar kullanan grup temsilleri teorisi kullanılır. işlevler, uzay grupları için bu işlevler periyodiktir. Evet, teoride yapısal faz geçişleri Daha az simetrik (düşük sıcaklık) fazın 2. tür uzay simetri grubu, daha simetrik fazın uzay grubunun bir alt grubudur ve faz geçişi, yüksek derecede simetrik fazın uzay grubunun indirgenemez temsillerinden biriyle ilişkilidir. Temsil teorisi aynı zamanda dinamik problemlerini çözmenize de olanak tanır kristal kafes, elektronik ve manyetiktir. yapılar, çok sayıda fiziksel özellikler. Teorik olarak Kristalografide uzay grupları, uzayın eşit bölgelere, özellikle çok yüzlü bölgelere bölünmesi teorisinin geliştirilmesini mümkün kılar.

Projeksiyonların, katmanların ve zincirlerin simetrisi. Kristal projeksiyonlar düzlem üzerindeki yapılar düz gruplarla tanımlanır, sayıları 17'dir. 1 veya 2 yönde periyodik olan üç boyutlu nesneleri, özellikle kristal yapının parçalarını tanımlamak için iki boyutlu periyodik ve tek boyutlu periyodik gruplar kullanılabilir. Bu gruplar biyoloji çalışmalarında önemli bir rol oynamaktadır. yapılar ve moleküller. Örneğin gruplar biyolojik yapıyı tanımlar. membranlar, zincir molekül grupları (Şekil 8, A), çubuk şeklindeki virüsler, küresel proteinlerin boru şeklindeki kristalleri (Şekil 8, B) Moleküllerin gruplar halinde mümkün olan spiral (sarmal) simetriye göre düzenlendiği (bkz. Biyolojik kristal).

Pirinç. 8. Spiral simetriye sahip nesneler: a - DNA molekülü; b - fosforilaz proteininin tübüler kristali (elektron mikroskobik görüntüsü, büyütme 220.000).

Yarı kristallerin yapısı. Yarı kristal(örneğin, A1 86 Mn 14) ikosahedraldir. kristallerde mümkün olmayan nokta simetrisi (Şekil 5). ızgara. Yarı kristallerdeki uzun menzilli düzen yarı periyodiktir ve neredeyse periyodik teorisine dayanarak tanımlanır. işlevler. Yarı kristallerin yapısı, altı boyutlu periyodik bir yapının üç boyutlu uzayına bir izdüşüm olarak temsil edilebilir. kübik 5. dereceden eksenlere sahip kafesler. Yüksek boyutta beş boyutlu simetriye sahip yarı kristaller 3 tip Bravais kafesine (ilkel, vücut merkezli ve yüz merkezli) ve 11 uzay grubuna sahip olabilir. Dr. olası yarı kristal türleri - ağlara dik üçüncü yön boyunca periyodiklik ile 5-, 7-, 8-, 10-, 12... dereceli eksenlere sahip yığılmış iki boyutlu atom ağları.

Genelleştirilmiş simetri. Simetrinin tanımı, (1,a) dönüşümü altındaki eşitlik (1,b) kavramına dayanmaktadır. Ancak fiziksel (ve matematiksel) bir nesne bazı açılardan kendine eşit olabilirken bazı açılardan eşit olmayabilir. Örneğin bir kristaldeki çekirdek ve elektronların dağılımı antiferromıknatıs sıradan uzaysal simetri kullanılarak tanımlanabilir, ancak içindeki manyetizma dağılımını dikkate alırsak. anlar (Şekil 9), sonra “sıradan”, klasik. Simetri artık yeterli değil. Bu tür simetriye ilişkin genellemeler arasında antisimetri ve renk simetrisi yer alır.

Pirinç. 9. Genelleştirilmiş simetri kullanılarak açıklanan, ferrimanyetik bir kristalin birim hücresindeki manyetik momentlerin (oklar) dağılımı.

Antisimetride üç uzaysal değişkene ek olarak x 1, x 2, x 3 ek olarak 4. bir değişken eklenir. Bu, (1,a) dönüşümü altında fonksiyon şu şekilde yorumlanabilir: F(1, b'de olduğu gibi) yalnızca kendisine eşit olmakla kalmayıp, aynı zamanda “anti-eşit” de olabilir; işaret değiştirir. 58 nokta antisimetri grubu ve 1651 uzay antisimetri grubu (Shubnpkov grupları) vardır.

Ek bir değişken iki değil, daha fazlasını alırsa (mümkünse 3,4,6,8, ..., 48) , sonra sözde Aşağıda renk simetrisi.

Böylece 81 nokta grubu ve 2942 grup bilinmektedir. Temel genelleştirilmiş simetrinin kristalografide uygulamaları - mıknatısın tanımı. yapılar.

Diğer antisimetri grupları (çoklu, vb.) bulunmuştur. Dört boyutlu uzayın ve daha yüksek boyutların tüm nokta ve uzay grupları teorik olarak türetilir. (3 + K) boyutlu uzayın simetrisi göz önüne alındığında, üç yönde orantısız modülerlikleri tanımlamak da mümkündür. yapılar (bkz. Orantısız yapı).

Dr. simetrinin genelleştirilmesi - bir şeklin parçalarının eşitliği benzerlikleriyle değiştirildiğinde benzerlik simetrisi (Şekil 10), eğrisel simetri, istatistiksel. Düzensiz kristallerin yapısını tanımlarken ortaya çıkan simetri, katı çözeltiler, sıvı kristaller vesaire.

Pirinç. 10. Benzerlik simetrisine sahip bir şekil.

Yandı: Shubnikov A.V., K o p c i k V. A., Bilim ve sanatta simetri, 2. baskı, M., 1972; Fedorov E.S., Kristallerin simetrisi ve yapısı, M., 1949; Shubnikov A.V., Sonlu figürlerin simetrisi ve antisimetrisi, M., 1951; X-ışını kristalografisi için uluslararası tablolar, v. 1 - Simetri grupları, Birmingham, 1952; Kovalev O.V., Uzay gruplarının indirgenemez temsilleri, K., 1961; V eil G., Simetri, çev. İngilizce'den, M., 1968; Modern kristalografi, cilt 1 - Weinstein B.K., Kristallerin simetrisi. Yapısal kristalografi yöntemleri, M., 1979; Galiulin R.V., Crystallographic Geometry, M., 1984; Kristalografi için uluslararası tablolar, v. A - Uzay grubu simetrisi, Dordrecht - , 1987. B. İLE. Weinştayn.

Kristallerin yapısında nokta simetri grubunda yer alan sonlu simetri dönüşümlerine sonsuz simetrik dönüşümler eklenir.

Temel sonsuz dönüşüm - yayın, onlar. Bir düz çizgi boyunca aynı belirli mesafeye kadar sonsuz tekrarlanan transfere çeviri periyodu adı verilir. Ötelemelerin her bir simetri öğesiyle birleşimi, uzayda sonsuzca tekrarlanan yeni simetri öğeleri üretir. Böylece, ortaklaşa hareket eden simetri düzlemleri ve düzlem boyunca öteleme periyodunun yarısı kadar paralel öteleme kümesi; kayan yansıma düzlemi. Kayan bir yansıma düzlemi ile simetrik bir dönüşüm, rastgele bir X, Y, Z noktasının koordinatlarının nasıl değiştiğinin belirtilmesiyle açıklanabilir. Simetri ekseni ve bu eksen boyunca ötelemenin kombinasyonu, birlikte hareket ederek sarmal simetri eksenini verir. Kristal uzaydaki sarmal eksenler yalnızca 2,3,4 ve 6 mertebelerinde olabilir. Sol ve sağ sarmal eksenler vardır.

Her yapı, kendi temel çevirileri veya yayın grubu, hangisi belirler uzaysal kafes.

Üç ana ötelemenin a, b, c büyüklüklerinin ve karşılıklı yönelimlerinin oranına bağlı olarak, simetrileri birbirinden farklı olan kafesler elde edilir. Simetri olası kafeslerin sayısını sınırlar. Tüm kristal yapılar 14 Bravais kafesine karşılık gelen 14 çeviri grubuyla tanımlanır. Bravais kafesi Bir noktanın öteleme tekrarından oluşan sonsuz nokta sistemi denir.

14 Bravais kafesi birim hücre şekli ve simetri açısından birbirinden farklıdır ve 6 sisteme bölünmüştür (tabloya bakınız).

Bravais kafeslerindeki birim hücreler, 1) simetrileri tüm kafesin simetrisine karşılık gelecek şekilde seçilir (daha kesin olarak, kristalin ait olduğu sistemin holohedral sınıfının simetrisiyle örtüşmelidir), 2) hücre sayısı dik açılar ve eşit kenarlar maksimumdur ve 3) hacim hücreleri minimumdur.

Bir kristalin yapısında, Wrawe kafesleri birbirinin içine yerleştirilebilir ve farklı kafeslerin yerleri, hem küresel olarak simetrik hem de gerçek kristalografik simetriye sahip olan hem aynı hem de farklı atomları içerebilir. Tüm yapı türleri, sonsuz yapıların simetri elemanlarının birleşiminden oluşan 230 uzay simetri grubuyla tanımlanır. (Uzay grubu simetri, kristal yapının tüm olası simetri dönüşümlerinin birleşimidir).

Yapıların simetri elemanlarının çarpımı Teorem 1-6'ya uygundur. Ayrıca sonsuz tekrarların eklenmesiyle yeni kombinasyonlar ortaya çıkıyor.

Teorem 7.İki paralel simetri düzlemindeki ardışık yansıma, a'nın düzlemler arasındaki mesafe olduğu t=2a parametresine çevrilmeye eşdeğerdir.

Teorem 7a. Herhangi bir t ötelemesi, birbirinden T/2 uzaklığı ile ayrılan iki paralel düzlemdeki yansıma ile değiştirilebilir. .

Teorem 8. Simetri düzlemi ve t parametresi ile ona dik olan öteleme, üreten düzleme paralel, tip olarak ona benzer ve ondan aralıklı yeni "eklenmiş" simetri düzlemleri üretir.

Teorem 9. Simetri düzlemi ve öteleme t, düzlemle açı yapma , üreten düzleme paralel ve öteleme yönünde ondan ( T/2), günah oluşturulan düzlem boyunca kayma miktarı t*cos'a eşittir

Teorem 10. Dönme açısına sahip simetri ekseni ve buna dik olan T ötelemesi, verilen eksene paralel, (t/2) sin( uzaklığında konumlanan aynı simetri eksenini üretir. ) ve ortadaki çeviriye dik bir çizgi üzerinde bulunur.

Teorem 11.ve buna dik öteleme t ve öteleme t, aynı açıya ve aynı ötelemeye sahip, verilene paralel, ondan (t/2) aralıklı bir sarmal eksen oluşturur günah(/2) ve ortasındaki öteleme t'ye dik bir çizgi üzerinde bulunur.

Teorem 12. Dönme açısına sahip simetri ekseni ve çeviri bununla bir açı oluşturuyor , sarmal bir simetri ekseni oluşturun.

Teorem 13. Dönme açılı sarmal simetri ekseni ve öteleme t 1 ve öteleme t, eksenle açı oluşturma aynı dönme açısına sahip sarmal bir simetri ekseni oluşturur.

Teorem 14. Dönme açılı ters dönme ekseni ve buna dik bir çeviri üreten eksene paralel aynı ters dönme-dönme eksenini oluşturur.

Teorem 15. Ters çevirme - dönme açısına sahip döner eksen ve yayın , bu eksenle açı , aynı dönüşe sahip bir ters çevirme ekseni oluşturun buna paralel.

GÖREVLER

1. mmm nokta grubunda yer alan tüm simetri işlemlerinin matris gösterimini yazın.

2. Kuvarsın düşük sıcaklık modifikasyonunun simetri grubunun matris gösterimini ve sırasını bulun.

3. Euler teoremi iyi bilinmektedir: kesişen iki simetri ekseninin sonucu, ilk ikisinin kesişme noktasından geçen üçüncü simetri eksenidir. Simetri elemanlarının matris gösterimini kullanarak, 4 2 2 sınıfı örneğini kullanarak Euler teoremini açıklayın.

4. Kristal 90° döndürülür, ardından ters çevirme merkezinde yansıma yapılır, ardından ilk dönme eksenine dik bir yön etrafında 180° döndürülür. Aynı sonuca yol açan simetri işleminin matris gösterimini bulun.

5. Kristal 120° döndürülür, ardından ters çevirme merkezine yansıtılır. Aynı sonuca yol açan simetri işleminin matris gösterimini bulun. Bu işlem hangi simetri eleman grubuna aittir?

Sorunları çözmek için kristallerle ilgili gerekli tüm bilgiler görmek açıklamanın sonunda bulunan tablolar.

6. Simetri elemanlarının matris gösterimini kullanarak, eylemi 90° açıyla kesişen ikinci dereceden iki eksenin eylemiyle aynı sonucu verecek bir simetri işlemi bulun.

7. Eylemi birbirine 60° açıyla yerleştirilmiş ikinci dereceden eksenlerin eylemiyle aynı sonucu veren simetri işleminin matris gösterimini bulun. Bu işlem hangi simetri eleman grubuna aittir?

8. Kristalofiziksel koordinat eksenlerinin standart ve standart dışı (4m2) seçimi için potasyum dihidrojen fosfatın (KDP) nokta simetri grubunun matris gösterimini ve sırasını bulun.

9. 6 2 2 nokta simetri grubunun matris gösterimini bulun.

10. 6. grubun matris gösterimini ve sırasını bulun.

11. Simetri işlemlerinin matris gösterimini kullanarak, 2 2 2 nokta grubu örneğini kullanarak EULER teoreminin geçerliliğini kontrol edin,

12. Birbirine 45° açıyla yerleştirilmiş ikinci dereceden eksenler örneğini kullanarak Euler teoreminin geçerliliğini doğrulayın.

13. Aşağıdaki simetri gruplarının sırası nedir: m t, 2 2 2, 4 m m, 422?

14. Grup 4/mmm için jeneratör sistemini yazınız.

15. Nokta simetri grubu 2/m örneğini kullanarak tüm grup aksiyomlarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin.

16. Simetri işlemlerinin matris gösterimini kullanarak teoremin geçerliliğini kontrol edin: eşit sıralı bir eksen ile ona dik bir düzlemin birleşimi simetri merkezini verir.

17. Kristal kafeste beşinci dereceden simetri ekseninin olmadığını kanıtlayın.

18. a) basit, b) cisim merkezli ve c) yüzey merkezli kübik kafeslerde birim hücredeki atom sayısı nedir?

19. Altıgen sıkı paket örgünün birim hücresindeki atom sayısı nedir?

20. Düzlem (125) tarafından kafes eksenlerinde kesilen parçaları belirleyin.

21. Kafes parametreleri a = 3 ise, 9 10 30 koordinatlı kristal kafesin düğüm noktalarından geçen düzlemlerin indekslerini bulun, B=5 ve c==6.

22. Yüzler (320) ve (11О) verilmiştir. Kesişmelerinin kenarlarının sembolünü bulun,

23. Verilen iki kenar ve . Aynı anda yattıkları yüzün sembolünü bulun.

24. Altıgen sistemdeki düzlemlerin konumu dört indeks kullanılarak belirlenir. Altıgen sistemin (100), (010), (110) ve (211) düzlemlerindeki i indeksini bulun.

25. Magnezyumun birim hücresi altıgen sisteme aittir ve a=3.20 parametrelerine sahiptir. ve c=5.20. Karşılıklı kafes vektörlerini belirleyin.

26. Karşılıklı kafes vektörleri arasındaki açıları doğrudan kafesin açıları cinsinden ifade edin.

27. Cisim merkezli kübik örgünün tersinin yüz merkezli kübik kafes olacağını gösterin.

28. Bir kalsit kristali (CaCO 3) için karşılıklı kafes vektörlerini bulun: A=6,36 , =46°6".

29. Düzlemler arasındaki mesafenin (hkl) kristal kafes, r*hkl vektörünün orijinden karşılıklı kafesin hkl noktasına kadar olan uzunluğunun tersine eşittir.

30. Kyanitin triklinik kafesinde (Al 2 O 3, SiO 2) a, b, c parametreleri ve açılar , , birim hücre sırasıyla 7,09'a eşittir; 7.72; 5.56 Ve; 90°55; 101°2; 105°44. Düzlemler (102) arasındaki mesafeyi belirleyin.

31. parametresi ile kübik bir kafeste (100), (110) ve (111) düzlemleri arasındaki mesafeler nedir? A

32. Eşkenar dörtgen kükürtte (201) ve (310) düzlemleri arasındaki açıyı a=10.437 kafes parametreleriyle belirleyin. ,B=12,845 Ve, İLE. =24,369

33. Kafes parametreleri a=4.50 olan bir tetragonal galyum kristalinin (111) ve (102) düzlemleri arasındaki açıyı hesaplayın. ,c= 7,64 8.

34. Kübik kristalin (100) ve (010) yüzlerinin oluşturduğu açıyı bulun.

35. Kübik bir kristalde herhangi bir yönün düzleme dik olduğunu kanıtlayın (hkl) Miller endekslerinin aynı değerleri ile.

36. Katı köşegen ile küpün kenarı arasındaki açıyı belirleyin.

37. Bir triglisin sülfat ((NH 2 CH 2 COOH) 3 * H 2 SO 4) kristalinde iki yön arasındaki açıyı birim hücre parametreleri a = 9,42 ile belirleyin. ,B=12,64,c=5.73 ve monoklinisite açısı =PO°23 .

38. Kafes parametreleriyle iki düz çizgi arasındaki ve eşkenar dörtgen bakır sülfat kafesindeki açıyı hesaplayın A =4,88 ,b=6.66 Ve. C =8.32 .

KRİSTALLERİN SİMETRİSİ

Kristallerin dönme, yansıma, paralel transfer veya bu işlemlerin bir kısmı veya bir kombinasyonu sırasında kendileriyle hizalanma özelliği. Simetri, bir nesneyi kendisiyle birleştirerek dönüştürme yeteneği anlamına gelir. Simetri dahili Bir kristalin şekli (kesilmesi), atomik yapısının simetrisi ile belirlenir ve kenarları da fiziksel yapının simetrisini belirler. kristalin özellikleri.

Pirinç. 1. a - kuvars kristali: 3 - 3. dereceden simetri ekseni, 2x, 2y, 2w - 2. dereceden eksenler; b - sulu sodyum meta-silikatın kristali: m - simetri düzlemi.

Şek. Şekil 1'de bir kuvars kristali tasvir edilmiştir. Dahili. şekli, eksen 3 etrafında 120° döndürülerek kendisiyle hizalanabilecek şekildedir (uyumlu eşitlik). Sodyum metasilikat kristali (Şekil 1, 6), m simetri düzleminde (ayna eşitliği) yansıma yoluyla kendisine dönüşür.

Örneğin F(xlx2.x3) bir nesneyi tanımlayan bir fonksiyon ise. üç boyutlu uzayda kristal şekli veya k.-l. özelliği ve g(x1, x2, x3) işlemi nesnenin tüm noktalarının koordinatlarını dönüştürürse, o zaman g bir simetri işlemi veya dönüşümüdür ve aşağıdaki koşullar karşılanırsa F simetrik bir nesnedir:

En genel formülasyonda - nesnelerin ve yasaların, onları tanımlayan değişkenlerin belirli dönüşümleri altında değişmezliği (değişmezliği).

SK, yalnızca gerçek üç boyutlu uzaydaki yapısı ve özellikleriyle değil, aynı zamanda enerjinin tanımlanmasında da kendini gösterir. X-ışını kırınım süreçlerini analiz ederken kristalin elektron spektrumu (bkz. BANT TEORİSİ). karşılıklı uzaydaki kristallerdeki ışınlar ve elektronlar (bkz. TERS KAFES), vb.

Kristal simetri grubu. Bir kristalin birden fazla özelliği olabilir. simetri işlemleri. Böylece, bir kuvars kristali (Şekil 1, a), yalnızca eksen 3 etrafında 120° döndürüldüğünde (işlem g1) değil, aynı zamanda eksen 3 etrafında 240° döndürüldüğünde (işlem g2) ve ayrıca 2x, 2y, 2w eksenleri etrafında 180 ° döndürülür (g3, g4, g5 işlemleri). Her biri, belirli bir işlemin gerçekleştirildiği bir simetri unsuruyla (düz bir çizgi, bir düzlem veya bir nokta) ilişkilendirilebilir. Örneğin, eksen 3 veya eksenler 2x, 2y, 2w simetri eksenleridir, m düzlemi (Şekil 1.6) ayna simetri düzlemidir vb. Simetri işlemleri (g1, g2, ..., gn) kümesi Belirli bir kristal, Matematik anlamında bir G simetri grubunu oluşturur. grup teorisi. Tutarlı iki simetri işleminin gerçekleştirilmesi de bir simetri işlemidir. Kristalde hiçbir şeyi değiştirmeyen, her zaman bir g0 özdeşlik işlemi vardır. geometrik olarak nesnenin hareketsizliğine veya herhangi bir eksen etrafında 360° dönmesine karşılık gelen tanımlama. G grubunu oluşturan işlem sayısına denir. grup sırası.

Simetri grupları şu şekilde sınıflandırılır: tanımlandıkları uzay boyutlarının n sayısına göre; nesnenin periyodik olduğu uzayın boyutlarının m sayısına göre (buna göre Gnm ile gösterilirler) ve diğer bazı özelliklere göre. Kristalleri tanımlamak için ayrıştırma kullanılır. En önemlileri simetri gruplarıdır. Kristallerin atomik yapısını ve simetri nokta gruplarını tanımlayan G33 ve dış şekillerini açıklayan G30. Soyadı ayrıca kristalografik sınıflar.

Nokta simetri grupları. Nokta simetrisinin işlemleri şunlardır: N dereceli bir simetri ekseni etrafında 360°/N'ye eşit bir açıyla dönüşler (Şekil 2, a), simetri düzleminde yansıma ( ; Şekil 2, b), ters T (bir noktaya göre simetri; Şekil 2, c), ters çevirme dönüşleri N= (360°/N'lik bir açı boyunca bir dönüşün eşzamanlı ters çevirme ile kombinasyonu; Şekil 2, d).

Pirinç. 2. En basit simetri işlemleri: a - döndürme; b - yansıma; c - ters çevirme; d - 4. dereceden ters çevirme dönüşü; d - 4. dereceden sarmal dönüş; e - kayan yansıma.

Bazen ters dönüşler yerine N= ayna dönüşleri dikkate alınır. Bu işlemlerin geometrik olarak mümkün olan kombinasyonları, genellikle stereografik biçimde gösterilen bir veya daha fazla nokta simetri grubunu belirler. projeksiyonlar. Nokta simetrisi dönüşümleri sırasında nesnenin en az bir noktası hareketsiz kalır - kendine dönüşür. Tüm simetriler onun içinde kesişir ve stereografinin merkezidir. projeksiyonlar. Ayrışmaya ait kristal örnekleri. Şekilde nokta grupları verilmiştir. 3.

Pirinç. 3. Farklı nokta gruplarına (kristalografik sınıflar) ait kristal örnekleri: o - m sınıfına (bir simetri düzlemi); b - c sınıfına (simetri merkezi); c - sınıf 2'ye (2. dereceden bir simetri ekseni); g - sınıf 6'ya (6. dereceden bir ters dönme ekseni).

Nokta simetri dönüşümleri g(x1, x2, x3) = x"1, x"2, x"3 doğrusal denklemlerle tanımlanır:

yani katsayı matrisi (aij). Örneğin x1 ekseni etrafında a=360°/N katsayısı açısıyla döndürüldüğünde. şu forma sahiptir:

ve x1, x2 düzlemine yansıtıldığında şöyle görünür:

Git noktası gruplarının sayısı sonsuzdur. Ancak kristallerde kristaların varlığı nedeniyle. kafesler, yalnızca işlemler ve buna bağlı olarak 6. dereceye kadar simetri eksenleri mümkündür (5. hariç; bir kristal kafeste 5. dereceden simetri eksenleri olamaz, çünkü beşgenler kullanılarak boşluklar olmadan doldurulması imkansızdır), bunlar belirlenmiş sembollerdir: 1, 2, 3, 4, 6 ve ayrıca ters çevirme eksenleri 1 (diğer adıyla simetri merkezi), 2 (diğer adıyla simetri düzlemi), 3, 4, 6. Bu nedenle nokta sayısı kristalografik. dışsallığı tanımlayan simetri grupları kristallerin şekli sınırlıdır, bunlardan sadece 32 tanesi vardır (tabloya bakınız). Uluslararası Nokta gruplarının tanımları, onları oluşturan simetri işlemlerinin sembollerini içerir. Bu gruplar birim hücrenin şeklinin simetrisine göre (o, b, c periyotları ve a, b, g açılarıyla) 7 sistemde birleştirilir.

Yalnızca dönme içeren gruplar, yalnızca uyumlu eşit parçalardan oluşan grupları (1. türden gruplar) tanımlar. Yansımaları veya ters dönmeleri içeren gruplar, ayna benzeri parçalara sahip kristalleri (2. tür gruplar) tanımlar. 1. tür gruplar tarafından tanımlanan kristaller, iki enantiyomorfik formda (her biri 2. türden simetri elemanları içermeyen “sağ” ve “sol”) kristalleşebilir, ancak birbirine eşit ayna (bkz. ENANTİYOMORFİZM).

Nokta grupları yalnızca kristallerin değil, herhangi bir sonlu şeklin simetrisini de tanımlar. Canlı doğada, kristalografide yasak olan 5., 7. derece ve daha yüksek eksenlerle simetri sıklıkla gözlenir. Örneğin küresel bir cismin düzenli yapısını tanımlamak için Kabuklarında yoğun molekül paketleme prensiplerinin gözlendiği virüsler, ikosahedral 532'nin önemli olduğu ortaya çıktı (bkz. BİYOLOJİK KRİSTALLER).

Grupları sınırlayın. Çeşitli bağımlılığı açıklayan işlevler. Yöne bağlı olarak kristalin özellikleri, kristal kesiminin simetri grubuyla benzersiz bir şekilde ilişkilendirilen belirli bir nokta simetrisine sahiptir. Ya onunla çakışır ya da simetri bakımından ondan yüksektir (Neumann ilkesi).

Belirli nokta simetri gruplarına ait kristallerin özelliklerinin çoğu, KRİSTAL FİZİĞİ olarak adlandırılan şeyle açıklanmaktadır.

Kristallerin atomik yapısının uzaysal simetrisi boşluklarla tanımlanır. G33 simetri grupları (bunları 1890'da keşfeden E. S. Fedorov'un onuruna Fedorov grupları olarak da adlandırılır). Bir kafesin işlem karakteristiği, aynı düzlemde olmayan üç işlemdir, bunlar a, b, c olarak adlandırılır. kristallerin atomik yapısının üç boyutlu periyodikliğini belirleyen çeviriler. Yapının a, b, c vektörlerine veya p1, p2, p3'ün herhangi bir pozitif veya negatif tamsayı olduğu herhangi bir t=р1a+p2b+p3c vektörüne kaydırılması (aktarılması), kristalin yapısını kendisiyle birleştirir ve dolayısıyla, bir simetri işlemidir ( öteleme simetrisi).

Ötelemeleri ve nokta simetri işlemlerini G33 gruplarında bir kafeste birleştirme olasılığı nedeniyle, işlemler ve karşılık gelen öteleme simetrisi elemanları ortaya çıkar. bileşen - vida eksenleri farklı. otlatma yansıma düzenleri ve düzlemi (Şekil 2, e, f). Toplam 230 alan bilinmektedir. simetri grupları G33, herhangi bir kristal bu gruplardan birine aittir. Yayın Örneğin mikrosimetrinin unsurları makroskobik olarak ortaya çıkmaz. Kristal kesmede sarmal eksen, buna karşılık gelen basit bir dönme ekseni olarak görünür. Bu nedenle 230 G33 grubunun her biri makroskobik olarak 32 nokta grubundan birine benzer (homomorfik). Örneğin, 28 boşluk mmm nokta grubuna homomorfik olarak eşlenir. gruplar. Belirli bir uzay grubunun doğasında bulunan çeviriler kümesi, onun çeviri alt grubu veya Bravais kafesidir; Bu tür 14 kafes var.

Katmanların ve zincirlerin simetrisi. 1 veya 2 yönde periyodik olan nesneleri, özellikle kristal yapının parçalarını tanımlamak için, G32 - iki boyutlu periyodik ve G31 - üç boyutlu uzayda tek boyutlu periyodik grupları kullanılabilir. Bu gruplar biyol araştırmalarında önemli bir rol oynamaktadır. yapılar ve moleküller. Örneğin, G| grupları Biyolün yapısını açıklar. membranlar, G31 zincirli molekül grupları (Şekil 5, a) çubuk şeklindeki virüsler, küresel proteinlerin boru şeklindeki kristalleri (Şekil 5, b), G31 gruplarında mümkün olan spiral (sarmal) simetriye göre düzenlendikleri (bkz. BİYOLOJİK KRİSTALLER).

Pirinç. 5. Spiral simetriye sahip nesneler: a - DNA; b - fosforilaz proteininin tübüler kristali (elektron mikroskobik görüntüsü, büyütme 220000).

Genelleştirilmiş simetri. Simetrinin tanımı, (1, a) dönüşümü altındaki eşitlik (1, b) kavramına dayanmaktadır. Ancak fiziksel (ve matematiksel) bir nesne bazı açılardan kendine eşit olabilirken bazı açılardan eşit olmayabilir. Örneğin bir antiferromıknatıs kristalindeki çekirdekler ve elektronlar sıradan boşluklar kullanılarak tanımlanabilir. simetri, ancak manyetikliği hesaba katarsanız anlar (Şekil 6), sonra sıradan”, klasik. Simetri artık yeterli değil. Bu tür simetri genellemeleri arasında antisimetri ve . Antisimetride üç boşluğa ek olarak. x1, x2, x3 değişkenlerine ek olarak 4. değişken x4=±1 eklenir. Bu, (1, a) dönüşümü sırasında F fonksiyonunun (1, b'de olduğu gibi) yalnızca kendisine eşit olabileceği, aynı zamanda “anti-eşit” - değişim işareti olabileceği şekilde yorumlanabilir. Geleneksel olarak böyle bir işlem renk değiştirilerek gösterilebilir (Şekil 7).

Pirinç. 6. Genelleştirilmiş simetri kullanılarak açıklanan, ferrimanyetik bir kristalin birim hücresindeki manyetik momentlerin (oklar) dağılımı.

58 adet C30 noktalı antisimetri grubu ve 1651 adet boşluk bulunmaktadır. antisimetri G33,a (Shubnikovskiy grubu). Ek değişken iki değil birden fazla değer alırsa. (olası sayılar 3, 4, 6, 8, ..., 48'dir), o zaman Belov renk simetrisi ortaya çıkar. Böylece 81 adet G30,ts nokta grubu ve 2942 adet C33,ts grubu bilinmektedir. Genelleştirilmiş simetrinin kristalografideki ana uygulamaları mıknatısların tanımlanmasıdır. yapılar.

Pirinç. 7. Nokta antisimetri grubu tarafından tanımlanan bir şekil.

Dr. simetri genellemeleri: bir şeklin parçalarının eşitliği benzerlikleriyle değiştirildiğinde benzerlik simetrisi (Şekil 8), eğrisel simetri, istatistiksel. Düzensiz kristallerin, katı çözeltilerin, sıvı kristallerin vb. yapısını tanımlarken ortaya çıkan simetri.

Fiziksel ansiklopedik sözlük. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. Genel Yayın Yönetmeni A. M. Prokhorov. 1983 .

KRİSTALLERİN SİMETRİSİ

Kristallerin dönme, yansıma, paralel transfer veya bu işlemlerin bir kısmı veya bir kombinasyonu sırasında kendileriyle birleşme özelliği. Simetri dahili Bir kristalin şekli (kesilmesi), fiziksel yapının simetrisini de belirleyen atomik yapısının simetrisi tarafından belirlenir. kristalin özellikleri.

Pirinç. 1. a - kuvars kristali; 3 - 3. dereceden simetri ekseni, - 2. dereceden eksenler; b - sulu sodyum metasilikatın kristali; m - simetri düzlemi.

Şek. 1 A bir kuvars kristali tasvir edilmiştir. Dahili. formu öyledir ki b) m simetri düzleminde (ayna eşitliği) yansıma ile kendisine dönüşür. Eğer - bir nesneyi tanımlayan bir işlev, ör. üç boyutlu uzayda kristal şekli veya k.-l. özelliği ve işlem nesnenin tüm noktalarının koordinatlarını dönüştürür, ardından G simetrinin bir işlemi veya dönüşümüdür ve F simetrik bir nesnedir,

Maks. Genel formülasyonda simetri, nesnelerin ve yasaların, onları tanımlayan değişkenlerin belirli dönüşümleri altında değişmezliğidir (değişmezliği). SK, yalnızca gerçek üç boyutlu uzaydaki yapısı ve özellikleriyle değil, aynı zamanda enerjinin tanımlanmasında da kendini gösterir. kristalin elektron spektrumu (bkz. Bölge teorisi), süreçleri analiz ederken X-ışını kırınımı, nötron kırınımı Ve elektron kırınımı karşılıklı boşluk kullanan kristallerde (bkz. Ters kafes)BT. P.

Kristallerin simetri grupları. Bir kristalin birden fazla özelliği olabilir, anesk. simetri işlemleri. Böylece bir kuvars kristali (Şekil 1, A) yalnızca kendi ekseni etrafında 120° döndürüldüğünde kendisiyle birleştirilmez 3 (operasyon gi), bir eksen etrafında dönerken hayır 3 240°'de (çalışma g2)& ayrıca eksenler etrafında 180° dönerken 2 X, 2 y, 2 W(operasyonlar g 3, g 4, g 5) Her simetri işlemi bir simetri elemanıyla (düz çizgi, 3 veya eksen) ilişkilendirilebilir. 2 x, 2 y, 2 w simetri eksenleri, düzlem T(Şekil 1, b) - ayna simetri düzlemi vb. Simetri işlemleri kümesi (g 1 , g 2 ,..., g n ) Belirli bir kristalin matematik anlamında bir simetri grubu oluşturur. teoriler gruplar. Tutarlı iki simetri işleminin gerçekleştirilmesi de bir simetri işlemidir. Grup teorisinde buna işlemlerin çarpımı denir: Her zaman bir özdeşlik işlemi vardır. g0, adı verilen kristaldeki hiçbir şeyi değiştirmez. Tanımlama, geometrik olarak bir nesnenin hareketsizliğine veya herhangi bir eksen etrafında 360° dönmesine karşılık gelir. G grubunu oluşturan işlem sayısına denir. grup sırası.

Uzay dönüşümlerinin simetri grupları şu şekilde sınıflandırılır: sayıya göre . tanımlandıkları mekanın boyutları; numaraya göre . nesnenin periyodik olduğu (buna göre belirlenir) ve diğer bazı özelliklere göre uzayın boyutları. Kristalleri tanımlamak için çeşitli simetri grupları kullanılır; bunların en önemlileri dış görünüşü tanımlayanlardır. kristal şekli; onların isimleri aynı zamanda kristalografik. kristallerin atomik yapısını tanımlayan sınıflar; uzay simetri grupları;

Nokta simetri grupları. Nokta simetri işlemleri şunlardır: düzenin simetri ekseni etrafındaki dönüşler N eşit bir açıyla 360°/K(Şekil 2, a); simetri düzleminde yansıma T(ayna yansıması, b); ters çevirme (bir noktaya göre simetri, Şekil 2, c); ters çevirme dönüşleri (bir açıda dönme kombinasyonu) 360°/K sn aynı zamanda ters çevirme, Şekil 2, d). Ters dönmeler yerine, eşdeğer ayna dönüşleri bazen dikkate alınır. Nokta simetri işlemlerinin geometrik olarak olası kombinasyonları, genellikle stereografik biçimde gösterilen bir veya başka bir nokta simetri grubunu belirler.

Pirinç. 2. Simetri işlemlerine örnekler: a - döndürme; b - yansıma; c- ters çevirme; d - 4. dereceden ters çevirme dönüşü; d - 4. derecenin vida dönüşü; e - kayan yansıma.

Pirinç. 3. Farklı nokta gruplarına (kristalografik sınıflar) ait kristal örnekleri: a - m sınıfına (bir simetri düzlemi); b - sınıfına (simetri merkezi veya ters dönme merkezi); a - sınıf 2'ye (2. dereceden bir simetri ekseni); g - sınıfa (6. dereceden bir ters çevirme-döner eksen).

Nokta simetri dönüşümleri doğrusal denklemlerle tanımlanır

veya katsayı matrisi

Örneğin bir eksen etrafında dönerken x 1 bir açıda -=360°/N matris Dşu forma sahiptir:

ve bir düzleme yansıtıldığında x 1 x 2Dşu forma sahiptir:

Nokta gruplarının sayısı sonsuzdur. Ancak kristallerde kristal parçacıkların varlığı nedeniyle. kafesler, yalnızca işlemler ve buna bağlı olarak 6. sıraya kadar simetri eksenleri mümkündür (5. hariç; bir kristal kafeste 5. dereceden bir simetri ekseni olamaz, çünkü beşgen şekiller kullanılarak boşluğu boşluksuz doldurmak imkansızdır. ) Nokta simetri işlemleri ve karşılık gelen simetri elemanları sembollerle gösterilir: eksenler 1, 2, 3, 4, 6, ters çevirme eksenleri (simetri merkezi veya ters çevirme merkezi), (simetri düzlemi m olarak da bilinir) , (Şekil 4).

Pirinç. 4. Nokta simetrisi elemanlarının grafiksel gösterimleri: a - daire - simetri merkezi, çizim düzlemine dik simetri eksenleri b - eksen 2, çizim düzlemine paralel; c - çizim düzlemine paralel veya eğik simetri eksenleri; g - çizim düzlemine dik simetri düzlemi; d - çizim düzlemine paralel simetri düzlemleri.

Bir nokta simetri grubunu tanımlamak için bir veya daha fazlasını belirtmek yeterlidir. b, c ve açılar) 7 sistemde (Tablo 1).

Ch hariç içeren gruplar. eksenler N simetri düzlemleri T, olarak belirlenmiş N/m eğer veya Nm, eksen düzlemde yer alıyorsa T. Eğer grup bunun yanında birkaç aksı vardır. içinden geçen simetri düzlemleri, o zaman gösterilir Nmm.

Masa 1.- Kristal simetrinin nokta grupları (sınıfları)

SK grupları geom taşır. anlamı: operasyonların her biri, örneğin bir simetri ekseni etrafında dönmeye, bir düzlemde yansımaya karşılık gelir. belirli bir gruptaki (ancak coğrafi anlamları değil) aynı veya birbirleriyle izomorfik olduğu ortaya çıkar. Bunlar örneğin grup 4 ve , tt2, 222. Toplamda S.k.'nin 32 nokta gruplarından birine veya birkaçına izomorfik olan 18 soyut grup vardır.

Nokta grupları yalnızca kristallerin değil, herhangi bir sonlu şeklin simetrisini de tanımlar. Canlı doğada, kristalografide yasaklanan 5., 7. derece ve üzeri eksenlerle nokta simetrisi sıklıkla gözlenir. Küresel bir cismin düzenli yapısını açıklamak kabuklarında moleküllerin yoğun paketlenmesi ilkelerinin gözlendiği virüsler ve bazıları inorganiktir. moleküllerin önemli ikosahedral olduğu ortaya çıktı. (santimetre. Biyolojik kristal).İkosahedrik. simetri de gözlenir yarı kristaller.

Grupları sınırlayın. Bir kristalin çeşitli özelliklerinin yöne bağımlılığını tanımlayan işlevler, kristal yüzeyinin simetri grubuyla benzersiz bir şekilde ilişkilendirilen belirli bir nokta simetrisine sahiptir. Ya onunla çakışıyor ya da simetri bakımından ondan daha yüksek ( Neumann ilkesi).

Pirinç. 5. 32 kristalografik ve 2 ikosahedral grubun stereografik projeksiyonları. Gruplar, sembolleri üst sırada verilen ailelere göre sütunlar halinde düzenlenmiştir. Alt satırda her ailenin limit grubu gösterilir ve limit grubunu gösteren rakamlar gösterilir.

Uzay simetri grupları. Kristallerin atomik yapısının uzaysal simetrisi, uzay simetri grupları ile tanımlanır. Onlar denir ayrıca Fedorovsky, onları 1890'da bulan E. S. Fedorov'un onuruna; bu gruplar, kristal formların kalıplarının genelleştirilmesi olarak elde edilen nokta gruplarının aksine, aynı yıl bağımsız olarak türetildi. çokyüzlü (S.I. Gessel, 1830, A. Kristallerin atom yapısının karakteristik işlemleri, eş düzlemli olmayan çevirilerdir a, b , İle , kristalin üç boyutlu periyodikliğini belirler. ızgaralar. Kristal. Kafesin her üç boyutta da sonsuz olduğu kabul edilir. Böyle bir matematik. gerçek, a, b, c veya herhangi bir vektör sayfa 1, sayfa 2, sayfa 3 - herhangi bir tamsayı, Phys. kristalin ayrıklığı Bir madde atomik yapısında ifade edilir. üç boyutlu homojen ayrık bir uzayın kendilerine dönüşüm gruplarıdır. Ayrıklık, örneğin böyle bir uzayın tüm noktalarının simetrik olarak birbirine eşit olmaması gerçeğinde yatmaktadır. biri ve diğeri atom, çekirdekler ve elektronlar. Homojenlik ve ayrıklık koşulları, uzay gruplarının üç boyutlu periyodik olması, yani herhangi bir grubun bir öteleme alt grubu içermesi gerçeğiyle belirlenir. T- kristal ızgara.

Ötelemeleri ve nokta simetri işlemlerini gruplar halinde bir kafeste birleştirme olasılığı nedeniyle, nokta simetri işlemlerine ek olarak ötelemeli işlemler ve bunlara karşılık gelen simetri elemanları ortaya çıkar. bileşen - çeşitli düzenlerin sarmal eksenleri ve kayan yansıma düzlemleri (Şekil 2, d, f).

Birim hücrenin (temel paralel yüzlü) şeklinin nokta simetrisine uygun olarak, nokta grupları gibi uzay grupları da 7 kristalografik gruba ayrılır. eş anlamlı(Tablo 2). Daha sonraki bölümleri yayına karşılık gelir. gruplar ve ilgili Barlara doğru. 14 Bravais kafesi vardır, bunlardan 7'si ilgili sistemlerin ilkel kafesleridir, P (eşkenar dörtgen hariç) R). Diğerleri - 7 merkezli. A (yüz ortalanmış bc),B(kenar ac), C(ab); vücut merkezli I, yüz merkezli (3 yüzün hepsinde) F.Çeviri işleminde merkezlemenin dikkate alınması T merkeze karşılık gelen merkezleme transferleri eklenir tc. Bu işlemleri birbiriyle birleştirirseniz T+ bu ve ilgili sistemin nokta gruplarının işlemleri ile 73 adet uzaysal grup elde edilir. simmorfik.

Masa 2.-Uzay simetri grupları

Belirli kurallara dayalı olarak, simmorfik uzay gruplarından önemsiz olmayan alt gruplar çıkarılabilir, bu da başka bir 157 simmorfik olmayan uzay grubu verir. Bir noktayı dönüştürürken toplamda 230 uzay grubu vardır. X simetrik olarak ona eşit (ve dolayısıyla tüm uzay kendi içine) şu şekilde yazılır:, burada D- nokta dönüşümleri, - sarmal transfer veya kayan yansımanın bileşenleri, - öteleme işlemleri. Bravais grubu. Helisel simetri işlemleri ve buna karşılık gelen simetri elemanları - sarmal eksenlerin bir açısı vardır. bileşen (N = 2, 3, 4, 6) ve öteleme t s = tq/N, Nerede T-şebeke yayını, aç Zh ekseni boyunca öteleme ile eşzamanlı olarak meydana gelir, Q- sarmal dönme indeksi. Helisel akslar için genel sembol Nq(Şekil 6). Vida eksenleri kanal boyunca yönlendirilir. birim hücrenin eksenleri veya köşegenleri. 3 1 ve 3 2, 4 1 ve 4 3, 6 1 ve 6 5, 6 2 ve 6 4 eksenleri çiftler halinde sağ ve sol helisel dönüşlere karşılık gelir. Uzay gruplarında ayna simetrisinin çalışmasının yanı sıra kayan yansıma düzlemleri de mümkündür, b, c: yansıma, ilgili ızgara süresinin yarısı kadar öteleme ile birleştirilir. Hücre yüzünün köşegeninin yarısının hareket ettirilmesi şuna karşılık gelir: N. klinoplan kayması n, ayrıca tetragonal ve kübiktir. D.

Pirinç. 6. a - Şekil düzlemine dik vida eksenlerinin grafiksel gösterimleri; b - şeklin düzleminde yatan vida ekseni; c - Şekil düzlemine dik kayma yansıması düzlemleri; burada a, b, c, kaymanın meydana geldiği eksenler boyunca birim hücrenin periyotlarıdır (öteleme bileşeni a/2), n - sıyırma yansımasının çapraz düzlemi [öteleme bileşeni (a + b)/2], d - elmas kayma düzlemi; d - çizim düzleminde aynı.

Tabloda Şekil 2, 7 sistemden birine ve nokta simetri sınıfına ait olmalarına göre 230 uzay grubunun tamamının uluslararası sembollerini vermektedir.

Yayın uzay gruplarının mikrosimetri işlemlerinin bileşenleri makroskopik olarak nokta gruplarında görünmez; örneğin kristal kesmede sarmal bir eksen, buna karşılık gelen basit bir dönme ekseni olarak görünür. Bu nedenle, 230 grubun her biri makroskobik olarak 32 nokta grubundan birine benzer (homomorfik). Örneğin, bir nokta grubuna - ttt 28 uzay grubu homomorfik olarak haritalanmıştır.

Uzay gruplarının Schönflies notasyonu, tarihsel olarak kabul edilenin yukarıda atandığı karşılık gelen nokta grubunun (örneğin Tablo 1) gösterimidir. Uluslararası notasyonda, Bravais kafes sembolü ve her grubun simetri oluşturma işlemleri vb. belirtilir. Tablo 2'deki uzay gruplarının uluslararası notasyondaki düzenlenme sırası, Schönflies notasyonundaki sayıya (üst simge) karşılık gelir.

Şek. Şekil 7'de mekanların bir görüntüsü gösterilmektedir. gruplar - Rpta Uluslararası Kristalografiye göre. tablolar. Her uzay grubunun simetrisine ilişkin işlemler (ve bunlara karşılık gelen unsurlar),

Pirinç. 7. Uluslararası Tablolarda -Ppta grubunun görüntüsü.

Birim hücrenin içine k.-n'yi ayarlarsanız. nokta x(x1x2x3), daha sonra simetri işlemleri onu kristalin boyunca simetrik olarak eşit noktalara dönüştürür. uzay; Bu türden sonsuz sayıda nokta vardır. Ancak konumlarını tek bir temel hücrede tanımlamak yeterlidir ve bu küme zaten kafes çevirileriyle çoğalacaktır. Belirli bir işlemden elde edilen bir dizi nokta ben gruplar G - x 1 ,x 2 ,...,x n-1, isminde Düzenli nokta sistemi (PST). Sağdaki 7, grubun simetri elemanlarının konumu, soldaki ise bu grubun genel konumunun PST görüntüsüdür. Genel konum noktaları, uzay grubunun nokta simetri elemanı üzerinde bulunmayan noktalardır. Bu noktaların sayısı (çokluğu) grubun sırasına eşittir. y= 1/4 ve 3/4. Bir nokta bir düzlem üzerine düşerse, genel konumdaki noktalarda olduğu gibi bu düzlem tarafından ikiye katlanmaz. Her uzamsal grup için kendi PST kümeleri vardır. Her grup için genel pozisyonda yalnızca bir doğru puan sistemi vardır. Ancak PST'ye özgü bazı hükümlerin farklı gruplar için aynı olduğu ortaya çıkabilir. Uluslararası tablolar PST'lerin çeşitliliğini, simetrilerini ve koordinatlarını ve her bir uzay grubunun diğer tüm özelliklerini gösterir. PST kavramının önemi herhangi bir kristalin içinde bulunmasında yatmaktadır. Belirli bir uzay grubuna ait yapı,

Kristal simetri gruplarının alt grupları. Operasyonun bir parçası ise kendisi bir grup oluşturur G r (g 1 ,...,g m),, sonra soyadı birincinin alt grubu. Örneğin, nokta grubunun32 alt grupları (Şekil 1, a) gruptur 3 ve grup 2. Ayrıca boşluklar arasında. gruplarda bir alt grup hiyerarşisi vardır. Uzay grupları, alt gruplar olarak nokta gruplarına (bu tür 217 uzay grubu vardır) ve daha düşük düzeydeki uzay grupları olan alt gruplara sahip olabilir. Buna göre alt grupların hiyerarşisi vardır.

Kristallerin uzay simetri gruplarının çoğu birbirinden farklıdır ve soyut gruplar halindedir; 230 uzay grubuna izomorf olan soyut grupların sayısı 219'dur. 11 ayna-eşit (enantiomorfik) uzay grubunun soyut olarak eşit olduğu ortaya çıkar - biri yalnızca sağ elini kullanan, diğeri sol elini kullanan sarmal eksenlere sahiptir. Bunlar örneğin: P 3 1 21 ve P 3 2 21. Bu uzay gruplarının her ikisi de kuvarsın ait olduğu bir nokta grubuna32 homomorfik olarak haritalanır, ancak kuvars buna göre sağ veya sol yönlüdür: bu durumda uzaysal yapının simetrisi makroskobik olarak ifade edilir, Kristallerin uzay simetri gruplarının rolü. Kristallerin uzay simetri grupları teorik teorinin temelini oluşturur. kristalografi, kırınım ve kristallerin atomik yapısının belirlenmesi ve kristalin tanımlanması için diğer yöntemler. X-ışını kırınımıyla elde edilen kırınım modeli şu şekildedir: nötronografi veya elektronografi, simetrik ve geometrik ayarlamanıza olanak sağlar. kristalin karşılıklı kafesi ve dolayısıyla kristal yapısının kendisi. Kristalin ve birim hücrenin nokta grubu bu şekilde belirlenir; Karakteristik yok oluşlara (belirli kırınım yansımalarının yokluğu) dayanarak Bravais ızgarasının türü ve belirli bir uzaysal gruba üyeliği belirlenir. Birim hücredeki atomların yerleşimi, kırınım yansımalarının yoğunluklarının toplamı tarafından belirlenir.

Uzay grupları önemli bir rol oynuyor kristal kimyası. 100 binden fazla kristal parçacık tespit edilmiştir. yapılar inorganik, organik ve biyolojik bağlantılar. Рсс2, P4 2 cm, P4nc 1, Р6тп. Teknolojinin ve diğer uzay gruplarının yaygınlığını açıklayan teori, kurucu atomların boyutlarını, atomların veya moleküllerin yakın paketlenmesi kavramını, simetri elemanlarının "paketleme" rolünü - kayan düzlemler ve vida eksenlerini dikkate alır.

Katı hal fiziğinde matrisler ve özel fonksiyonlar kullanan grup temsilleri teorisi kullanılır. işlevler, uzay grupları için bu işlevler periyodiktir. 2. türden yapısal faz geçişleri, daha az simetrik (düşük sıcaklık) fazın uzay simetri grubu, daha simetrik fazın uzay grubunun bir alt grubudur ve faz geçişi, uzayın indirgenemez temsillerinden biriyle ilişkilidir. son derece simetrik fazın grubu. Temsil teorisi aynı zamanda dinamik problemlerini çözmenize de olanak tanır kristal kafes, elektronik ve manyetik yapılar, çok sayıda fiziksel özellikler. Teorik olarak İzdüşümlerin, katmanların ve zincirlerin simetrisi. Kristal projeksiyonlar Yapısal düzlem düz gruplarla tanımlanır, sayıları 17'dir. 1 veya 2 yönde periyodik olan üç boyutlu nesneleri, özellikle kristal yapısının parçalarını tanımlamak için iki boyutlu periyodik ve tek boyutlu periyodik gruplar kullanılabilir. Bu gruplar biyoloji çalışmalarında önemli bir rol oynamaktadır. Biyolojik yapının tanımlanması membranlar, zincir molekül grupları (Şekil 8, A),çubuk şeklindeki virüsler, tübüler kristaller, küresel proteinler (Şekil 8, B), gruplar halinde mümkün olan spiral (sarmal) simetriye göre düzenlendikleri (bkz. Biyolojik kristal).

Pirinç. 8. Spiral simetriye sahip nesneler: a - DNA molekülü; b - fosforilaz proteininin tübüler kristali (elektron mikroskobik görüntüsü, büyütme 220.000).

Yarı kristallerin yapısı.Yarı kristal(örneğin, A1 86 Mn 14) ikosahedraldir. kristallerde mümkün olmayan nokta simetrisi (Şekil 5). Genelleştirilmiş simetri. Simetrinin tanımı, (1,a) dönüşümü altındaki eşitlik (1,b) kavramına dayanmaktadır. Ancak fiziksel (ve matematiksel) bir nesne bazı açılardan kendine eşit olabilirken bazı açılardan eşit olmayabilir. Örneğin bir kristaldeki çekirdek ve elektronların dağılımı antiferromıknatıs sıradan uzaysal simetri kullanılarak tanımlanabilir, ancak içindeki manyetik alanların dağılımını hesaba katarsak. anlar (Şekil 9), sonra “sıradan”, klasik. Simetri artık yeterli değil.

Pirinç. 9. Genelleştirilmiş simetri kullanılarak açıklanan, ferrimanyetik bir kristalin temel hücresindeki manyetik momentlerin (oklar) dağılımı.

Ek bir değişken iki değil, daha fazlasını alırsa (mümkünse 3,4,6,8, ..., 48), sonra sözde Aşağıda renk simetrisi.

Böylece 81 nokta grubu ve 2942 grup bilinmektedir. Temel genelleştirilmiş simetrinin kristalografide uygulamaları - mıknatısın tanımı. Diğer antisimetri grupları (çoklu, vb.) bulunmuştur. En yüksek boyutlardaki dört boyutlu uzayın tüm nokta ve uzay grupları teorik olarak türetilir. (3 + K) boyutlu uzayın simetrisi dikkate alınarak, üç yönde orantısız modülerlikleri tanımlamak da mümkündür. Orantısız yapı).

Pirinç. 10. Benzerlik simetrisine sahip bir şekil. Büyük Ansiklopedik Sözlük

Kristallerin atomik yapısının düzenliliği, dış şekli ve fiziksel özellikleri, bir kristalin dönmeler, yansımalar, paralel transferler (ötelemeler) ve diğer simetri dönüşümleri yoluyla kendisiyle birleştirilebilmesinden oluşur... Ansiklopedik Sözlük

Kristallerin, dönme, yansıma, paralel transferler veya bu işlemlerin bir kısmı veya birleşimi yoluyla çeşitli konumlarda kendileriyle hizalanma özelliği. Bir kristalin dış şeklinin (kesilmesinin) simetrisi, atomik simetrisi ile belirlenir... ...

Atomik yapının düzenliliği, dahili. formlar ve fiziksel Bir kristalin dönmeler, yansımalar, paralel transferler (ötelemeler) ve diğer simetri dönüşümleri yoluyla kendisiyle birleştirilebilmesinden oluşan kristallerin özellikleri ve ayrıca... ... Doğa bilimi. Ansiklopedik Sözlük

Kristal simetrisi- kristallerin dönme, yansıma, paralel aktarım veya bu işlemlerin birleşimi yoluyla kendileriyle birleşebilme özelliği. Dış şeklin (kesilmiş) simetrisi, aynı zamanda belirleyen atomik yapısının simetrisi ile belirlenir ... Ansiklopedik Metalurji Sözlüğü

Matematikte simetri (Yunan simetrisinden - orantılılık), 1) simetri (dar anlamda) veya uzaydaki bir düzleme göre yansıma (ayna) (bir düzlemdeki düz bir çizgiye göre) - dönüşümü uzay (düzlem), ... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Bir molekülün, denge konfigürasyonu için olası nokta simetri işlemleri kümesiyle belirlenen özelliği. Nokta simetrisinin dört işlemi (360°'ye eşit veya daha küçük belirli bir açıda bir eksen etrafında dönme; bir düzlemden yansıma; ters çevirme... ... Fiziksel ansiklopedi

I Matematikte simetri (Yunanca simetria orantılılığından), 1) simetri (dar anlamda) veya uzaydaki α düzlemine göre (düzlemdeki a doğrusuna göre) yansıma (ayna), uzayın dönüşümü .. ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

- (Yunanca orantılılıktan), üzerlerinde bir belirleme yapıldığında nesnelerin kendilerine veya birbirlerine geçişini karakterize eden bir kavram. dönüşümler (S. dönüşümleri); geniş anlamda, bazılarının değişmezliği (değişmezliği) özelliği... ... Felsefi Ansiklopedi

- (Yunanca simetri orantılılığından) fizik yasaları. Fiziksel özellikleri karakterize eden nicelikler arasındaki ilişkiyi kuran yasalar ise sistem veya bu miktarların zaman içindeki değişiminin belirlenmesi, belirli işlemler sırasında değişmez... ... Fiziksel Ansiklopedi, E.S. Fedorov. Yayında Evgraf Stepanovich Fedorov'un kristalografi üzerine klasik çalışmaları yer alıyor. E. S. Fedorov'un en büyük başarısı, olası tüm uzay gruplarının titizlikle türetilmesiydi (1891). O...

Farklı yöntemlerle elde edilen, örneğin bir eriyikten veya çözeltiden büyütülen kristallerin görünümü, birbirinden önemli ölçüde farklı olabilir. Aynı zamanda kristalografideki ilk keşiflerden biri, aynı maddeden oluşan bir kristalin yüzleri arasındaki köşelerin değişmediğinin tespit edilmesiydi. Açıların bu şekilde sabit olması, artık bilindiği gibi, kristalin içindeki atomların veya atom gruplarının düzenli dizilişinden, yani kristalin bir katı içindeki atomların dizilişinde belirli bir simetrinin varlığından kaynaklanmaktadır.

Öteleme simetrisi. Bir kristalin öteleme simetrisi kavramı, bir kristalde birim hücre adı verilen ve uzaysal tekrarı şu şekilde olan en küçük parçanın seçilebileceği anlamına gelir: yayın -Üç yönde (hücrenin kenarları boyunca) kristalin tamamı oluşur. Öteleme simetrisi ve bir kristalin temel hücresi kavramları, aynı maddenin kristallerinde, tüm kristalin inşa edilebileceği temel bir geometrik elemanın zihinsel olarak izole edilebileceği şeklindeki deneysel gerçeğin bilimsel bir genellemesiydi. Bu kavramların derin bilimsel anlamı daha sonra katıların X-ışını yapısal analizine yönelik yöntemlerin geliştirilmesiyle ortaya çıktı.

Bir birim hücre, hücre içindeki uzaysal düzenlemesi sabit olan bir veya daha fazla molekül, atom veya iyon içerebilir. Birim hücre elektriksel olarak nötrdür. Bir kristalde tekrarlanan bir birim hücre bir nokta ile temsil edilirse, bu noktanın üç yönde (mutlaka dik olması gerekmez) öteleme tekrarının bir sonucu olarak, kristal kafesi adı verilen üç boyutlu bir nokta kümesi elde edilecektir. madde. Bu durumda noktaların kendilerine kristal kafesin düğümleri denir. Kristal kafes, temel öteleme vektörleri ile karakterize edilebilir A ( Ve bir 2,Şekil 2'de iki boyutlu durum için gösterildiği gibi. 1.14.

Şekil 2'de görülebileceği gibi. 1.14'te ana çevirilerin vektörlerinin seçimi açık değildir. Önemli olan, kristal kafesin tüm eşdeğer noktalarının konumunun, temel öteleme vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu ile tanımlanabilmesidir. Bu durumda tüm kafes vektörlerinin kümesi oluşur Bravais kafesi kristal. Kafes vektörlerinin uçları, kafesteki düğüm noktalarının konumunu belirler.

Pirinç. 1.14. Olası çeviri vektörleri a 1 ve a 2 ve ilkel kafes seçimi için seçenekler (seçenekler) 1,2,3,4)

Temel çevirilerin vektörleri üzerine inşa edilen paralel yüzlü bir ilkel kristal hücre olarak adlandırılır ve kristalde seçimi de belirsizdir. Birim hücre 4 Şek. Öteleme vektörlerinin orta noktalarından oluşturulan 1.14'e denir Wigner hücresi - Seitz.

Kristalografik indeksler. Şekil 2'de gösterilen iki boyutlu bir kristal kafesin birim hücresinde J? 1.14, vektöre paralel düz çizgi parçaları çizin bir 2 a ve |3 düğümlerinden geçerek i vektörünü üç eşit parçaya bölecekler. Hücre yayını yaparken 3 çeviri vektörleri A ( Ve bir 2 kristal kafes düz çizgilerle doldurulacak ve kristal kafesin tüm düğümleri bu çizgiler üzerinde olacaktır. Benzer bir işlem, üç boyutlu bir kristal kafesin içinden bir düzlem sistemi geçirilerek gerçekleştirilebilir ve bu durumda, üç boyutlu kristal kafesin tüm düğümleri bu düzlemlerde görünecektir. Bu düzlemlere kristalografik kafes düzlemleri denir. Bir kristal kafes boyunca birçok farklı kristalografik düzlem ailesinin çizilebileceği açıktır. Bir ailedeki düzlemler arasındaki mesafe ne kadar küçük olursa, her bir düzleme (belirli bir düzlem ailesinin) düşen kristal kafes düğümlerinin yoğunluğunun da o kadar düşük olacağı açıktır.

Kristalografik düzlemler karakterize eder Miller endeksleri, parantez içindeki üç sayıyla gösterilir ( hkl). Bu sayılar, kristalografik düzlem ailesinin ana öteleme vektörlerine bölündüğü segmentlerin sayısına eşittir. Düzlemler herhangi bir öteleme vektörüne paralelse, karşılık gelen Miller indeksinin değeri sıfıra eşittir. Düzlemler herhangi bir öteleme vektörünün negatif yönü ile kesişirse, bu durumda karşılık gelen indekse, bu indeksin üzerine bir çizgi konularak negatif bir değer atanır. Verilen düzlem aileleriyle iki boyutlu bir kristal kafes için söylenenler (10), (01) Ve (12), ve aileden bir uçak (12), Şekil 2'de iyi bir şekilde gösterilmiştir. 1.15.

Pirinç. 1.15. Kristalografik düzlemler }