Olasılık teorisi, rastgele olaylardaki kalıpları inceleyen bir matematik bilimidir. Teorinin ortaya çıkışı 17. yüzyılın ortalarına kadar uzanır ve Huygens, Pascal, Fermat, J. Bernoulli isimleriyle ilişkilendirilir.

Bazı deneylerin ayrıştırılamaz sonuçlarına... ve bunların bütünlüğüne temel olaylar diyeceğiz.

Temel olayların (sonlu) uzayı veya sonuçların uzayı.

Örnek 21. a) Bir zar atıldığında temel olaylar uzayı altı noktadan oluşur:

b) Bir parayı art arda iki kez attıktan sonra

G "arması", P "kafes" ve toplam sonuç sayısıdır

c) “Armanın” ilk ortaya çıkışına kadar yazı tura atın, ardından

Bu durumda buna temel olayların ayrık uzayı denir.

Kişi genellikle bir denemenin sonucunda hangi spesifik sonucun ortaya çıktığıyla değil, sonucun tüm sonuçların bir veya başka bir alt kümesine ait olup olmadığıyla ilgilenir. Deneysel koşullara göre iki türden birinin yanıtının mümkün olduğu tüm bu alt kümelere: "sonuç" veya "sonuç", olaylar adını vereceğiz.

Örnek 21 b)'de = (GG, GR, RG) kümesi en az bir "armanın" ortaya çıkması olayıdır. Olay uzayın üç temel sonucundan oluşur, dolayısıyla

İki olayın toplamı, bir olay veya olayın gerçekleşmesinden oluşan olaydır.

Olayların üretimi, bir olay ile bir olayın ortak yürütülmesinden oluşan bir olaydır.

Bir olayın zıddı, görünmemekten oluşan ve dolayısıyla onu tamamlayan bir olaydır.

Bir kümeye güvenilir olay, boş bir kümeye ise imkansız olay denir.

Bir olayın her ortaya çıkışına bir olay eşlik ediyorsa, o zaman önce gelen veya gerektiren şeyi yazar ve söylerler.

Olaylar ve eğer ve ise eşdeğer olduğu söylenir.

Tanım. Bir olayın olasılığı, olayı oluşturan temel sonuçların sayısının tüm temel sonuçların sayısına oranına eşit bir sayıdır.

Eşit olasılıklı olayların durumu ("klasik" olarak adlandırılır, dolayısıyla olasılık

"klasik" denir.

Etkinliğe dahil olan temel olaylara (deneyim sonuçları) “olumlu” denir.

Klasik olasılığın özellikleri:

If (ve uyumsuz olaylardır).

Örnek 22 (Huygens problemi). Torbada 2 beyaz ve 4 siyah top vardır. Bir kumarbaz, diğeriyle, çekilen 3 top arasında tam olarak bir beyaz topun bulunacağına dair bahse girer. Tartışmalı tarafların şansı ne durumda?

Çözüm 1 (geleneksel). Bu durumda, test = (3 topun çıkarılması) ve olay, tartışanlardan birinin lehinedir:

= (tam olarak bir beyaz top alın).

Üç topun çekilme sırası önemli olmadığından, o zaman

Durumlarda bir beyaz top ve iki siyah top elde edilebilir - ve daha sonra kombinatoriğin temel kuralına göre. Dolayısıyla ve olasılığın beşinci özelliğiyle Dolayısıyla,

Çözüm 2. Olasılığa dayalı bir sonuç ağacı oluşturalım:

Örnek 23. Her biri 2 rubleden üçü olmak üzere dört madeni paranın kaldığı bir kumbara düşünün. ve biri 5 ruble için. İki madeni para çıkarıyoruz.

Çözüm. a) Ardışık iki ekstraksiyon (geri dönüşlü) aşağıdaki sonuçlara yol açabilir:

Bu sonuçların her birinin olasılığı nedir?

Tablo on altı olası durumun tamamını göstermektedir.

Buradan,

Aşağıdaki ağaç aynı sonuçlara yol açar:

b) Ardışık iki ekstraksiyon (tekrarlama olmadan) aşağıdaki üç sonuca yol açabilir:

Tablo olası tüm sonuçları göstermektedir:

Buradan,

İlgili ağaç aynı sonuçlara yol açar:

Örnek 24 (de Mere problemi). İki kişi, beşe kadar galibiyetin olduğu bir bahis oyunu oynar. İlki dört, ikincisi üç oyun kazandığında oyun durdurulur. Bu durumda ilk bahis nasıl bölünmelidir?

Çözüm. Etkinlik = (ödül kazanan ilk oyuncu olun) olsun. O halde ilk oyuncu için olasılıksal kazanç ağacı aşağıdaki gibidir:

Bu nedenle bahsin üç kısmı birinci oyuncuya, bir kısmı da ikinci oyuncuya verilmelidir.

§1'de (örnek 2) ele aldığımız aşağıdaki örneği kullanarak olasılıksal problemleri çözmenin etkinliğini grafikler kullanarak gösterelim.

Örnek 25. "Sayma tablosu" kullanılarak yapılan seçim adil mi?

Çözüm. Olasılıksal bir sonuç ağacı oluşturalım:

ve bu nedenle "sayma oyunları" oynarken ikinci olmak daha karlı olur.

Son çözüm, olasılıkların toplama ve çarpma teoremlerinin grafik yorumlarını kullanır:

ve özellikle

Eğer ve uyumsuz olaylar ise

ve eğer ve - bağımsız olaylar.

Statik olasılık

Klasik tanım, karmaşık sorunları ele alırken aşılmaz nitelikteki zorluklarla karşılaşır. Özellikle bazı durumlarda eşit olasılıklı vakaları tespit etmek mümkün olmayabilir. Bildiğimiz gibi, madeni para durumunda bile, teorik değerlendirmelerle değerlendirilemeyen "üstünlüğün" düşmesi ihtimalinin eşit derecede muhtemel olmadığı açıktır (yalnızca bunun olası olmadığı ve bu değerlendirmenin oldukça zayıf olduğu söylenebilir). pratik). Bu nedenle olasılık teorisinin oluşumunun şafağında bile alternatif bir olasılık “frekans” tanımı önerildi. Yani, resmi olarak olasılık, gözlemlerin homojenliği (yani, tüm gözlem koşullarının aynılığı) ve birbirlerinden bağımsız oldukları varsayılarak, A olayının gözlem sıklığının sınırı olarak tanımlanabilir:

burada gözlem sayısı ve olayın meydana gelme sayısıdır.

Her ne kadar bu tanım daha ziyade bilinmeyen bir olasılığı -çok sayıda homojen ve bağımsız gözlem yoluyla- tahmin etmenin bir yolunu gösterse de, yine de bu tanım olasılık kavramının içeriğini yansıtmaktadır. Yani, eğer bir olaya, onun olasılığının nesnel bir ölçüsü olarak belirli bir olasılık atfedilirse, bu, sabit koşullar ve tekrarlanan tekrarlar altında, olayın gerçekleşme sıklığını buna yakın bir sıklıkta elde etmemiz gerektiği anlamına gelir (ne kadar yakınsa, o kadar çok gözlem vardır). Aslında olasılık kavramının asıl anlamı budur. Doğal olaylara nesnelci bir bakış açısına dayanmaktadır. Aşağıda, olasılığın frekans tahmini de dahil olmak üzere teorik bir temel sağlayan (aşağıda özetlenen modern aksiyomatik yaklaşım çerçevesinde) sözde büyük sayılar yasalarını ele alacağız.

Klasik olasılık ve özellikleri

Olasılık, olasılık teorisinin temel kavramlarından biridir. Bu kavramın çeşitli tanımları bulunmaktadır. Klasik denilen bir tanım verelim.

Olasılık olay, belirli bir olay için olumlu olan temel sonuçların sayısının, bu olayın ortaya çıkabileceği deneyimin eşit derecede olası tüm sonuçlarının sayısına oranıdır.

A olayının olasılığı şu şekilde gösterilir: P(A)(Burada R– Fransızca bir kelimenin ilk harfi olasılık- olasılık).

Tanıma göre

olayın meydana gelmesine elverişli temel test sonuçlarının sayısı nerede;

Olası temel test sonuçlarının toplam sayısı.

Olasılığın bu tanımına denir klasik. Olasılık teorisinin gelişiminin ilk aşamasında ortaya çıktı.

Bu sayıya genellikle bir olayın göreceli görülme sıklığı denir. A deneyimde.

Bir olayın olasılığı ne kadar yüksekse, o kadar sık ​​meydana gelir; bunun tersi de, bir olayın olasılığı ne kadar azsa, o kadar az sıklıkta meydana gelir. Bir olayın olasılığı bire yakın veya ona eşit olduğunda, hemen hemen tüm denemelerde bu olay meydana gelir. Böyle bir olayın olduğu söyleniyor neredeyse kesin yani bunun meydana geleceğine kesinlikle güvenilebilir.

Tam tersine olasılık sıfır veya çok küçük olduğunda olay son derece nadir gerçekleşir; böyle bir olayın olduğu söyleniyor neredeyse imkansız.

Bazen olasılık yüzde olarak ifade edilir: P(A)100% bir olayın meydana gelme sayısının ortalama yüzdesidir A.

Örnek 2.13. Abone, telefon numarasını çevirirken bir rakamı unutup rastgele çevirdi. Doğru numaranın çevrilme olasılığını bulun.

Çözüm.

ile belirtelim A olay - “gerekli numara çevrildi.”

Abone 10 rakamdan herhangi birini çevirebilir, dolayısıyla olası temel sonuçların toplam sayısı 10'dur. Bu sonuçlar uyumsuzdur, eşit derecede mümkündür ve tam bir grup oluşturur. Etkinliği tercih ediyor A yalnızca bir sonuç (gerekli yalnızca bir sayı vardır).

Gerekli olasılık, olaya uygun sonuçların sayısının tüm temel sonuçların sayısına oranına eşittir:

Klasik olasılık formülü olasılıkları hesaplamak için çok basit ve deney gerektirmeyen bir yol sağlar. Ancak bu formülün basitliği oldukça yanıltıcıdır. Gerçek şu ki, onu kullanırken genellikle iki çok zor soru ortaya çıkıyor:

1. Deneysel sonuçların eşit derecede mümkün olmasını sağlayacak bir sistem nasıl seçilir ve bunu yapmak mümkün müdür?

2. Sayılar nasıl bulunur? M Ve N?

Bir deneyde birden fazla nesne yer alıyorsa eşit derecede olası sonuçları görmek her zaman kolay değildir.

Büyük Fransız filozof ve matematikçi d'Alembert, olasılık teorisi tarihine ünlü hatasıyla girdi; bu hatanın özü, yalnızca iki madeni parayla yapılan bir deneyde sonuçların eş-olasılığını yanlış belirlemesiydi!

Örnek 2.14. ( d'Alembert'in hatası). Birbirinin aynısı iki madeni para atılıyor. Aynı tarafa düşme olasılıkları nedir?

D'Alembert'in çözümü.

Deneyin eşit derecede olası üç sonucu vardır:

1. Her iki madeni para da tura gelecek;

2. Her iki madeni para da tura gelecek;

3. Paralardan biri tura, diğeri yazı üzerine düşecektir.

Doğru çözüm.

Deneyin eşit derecede olası dört sonucu vardır:

1. İlk para tura düşecek, ikincisi de tura düşecek;

2. İlk para yazıya gelecek, ikincisi de yazıya gelecek;

3. İlk para tura, ikincisi yazı üzerine düşecektir;

4. İlk para yazıya, ikincisi yazıya gelecek.

Bunlardan iki sonuç olayımız için uygun olacaktır, yani gerekli olasılık eşittir.

D'Alembert olasılığı hesaplarken yapılan en yaygın hatalardan birini yaptı: iki temel sonucu tek bir sonuçta birleştirdi, böylece deneyin geri kalan sonuçlarının olasılık açısından eşitsiz olmasını sağladı.

Olasılık olay, belirli bir olay için olumlu olan temel sonuçların sayısının, bu olayın ortaya çıkabileceği deneyimin eşit derecede olası tüm sonuçlarının sayısına oranıdır. A olayının olasılığı P(A) ile gösterilir (burada P, Fransızca olasılık - olasılık kelimesinin ilk harfidir). Tanıma göre
(1.2.1)
A olayının lehine olan temel sonuçların sayısı nerede; - tam bir olay grubu oluşturan, deneyin eşit derecede mümkün olan tüm temel sonuçlarının sayısı.
Olasılığın bu tanımına klasik denir. Olasılık teorisinin gelişiminin ilk aşamasında ortaya çıktı.

Bir olayın olasılığı aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir. Güvenilir bir olayı harfle belirtelim. Bu nedenle belirli bir olay için
(1.2.2)
2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır. İmkansız bir olayı harfle belirtelim. İmkansız bir olay için bu nedenle
(1.2.3)
3. Rastgele bir olayın olasılığı birden küçük pozitif bir sayı olarak ifade edilir. Rastgele bir olay için , veya , eşitsizlikleri sağlandığına göre, o zaman
(1.2.4)
4. Herhangi bir olayın olasılığı eşitsizlikleri karşılıyor
(1.2.5)
Bu, (1.2.2) - (1.2.4) ilişkilerinden kaynaklanmaktadır.

Örnek 1. Bir kavanozda 4'ü kırmızı, 6'sı mavi olmak üzere eşit boyut ve ağırlıkta 10 top vardır. Torbadan bir top çekiliyor. Çekilen topun mavi olma olasılığı nedir?

Çözüm. "Çeken topun maviye dönmesi" olayını A harfiyle belirtiyoruz. Bu testin eşit derecede olası 10 temel sonucu vardır ve bunlardan 6'sı A olayını tercih eder. Formül (1.2.1)'e uygun olarak şunu elde ederiz:

Örnek 2. 1'den 30'a kadar olan tüm doğal sayılar aynı kartlara yazılarak bir torbaya konur. Kartlar iyice karıştırıldıktan sonra torbadan bir kart çıkarılır. Alınan karttaki sayının 5'in katı olma olasılığı nedir?

Çözüm.“Alınan kartın üzerindeki sayının 5’in katı olması” olayını A ile gösterelim. Bu testte, A olayının 6 sonuç (5, 10, 15, 20, 25, 30 sayıları) tarafından tercih edildiği 30 eşit olası temel sonuç vardır. Buradan,

Örnek 3.İki zar atılıyor ve üst yüzlerindeki puanların toplamı hesaplanıyor. Zarların üst yüzlerinin toplamı 9 puan olacak şekilde B olayının olasılığını bulun.

Çözüm. Bu testte yalnızca 6 2 = 36 eşit olası temel sonuç vardır. B Olayı 4 sonuç tarafından tercih edilir: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), dolayısıyla

Örnek 4. Rastgele 10'dan büyük olmayan bir doğal sayı seçildiğinde bu sayının asal olma olasılığı nedir?

Çözüm. Seçilen sayının asal olması olayını C harfi ile gösterelim. Bu durumda n = 10, m = 4 (asal sayılar 2, 3, 5, 7). Bu nedenle gerekli olasılık

Örnek 5. Simetrik iki madeni para atılıyor. Her iki madeni paranın üst yüzlerinde de sayı olma olasılığı nedir?

Çözüm.“Her paranın üst tarafında bir sayı vardır” olayını D harfiyle belirtelim. Bu testte eşit derecede olası 4 temel sonuç vardır: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). ((G, C) işareti, ilk madeni paranın arması, ikincisinin ise numarası olduğu anlamına gelir). D olayı bir temel sonuç (C, C) tarafından tercih edilir. m = 1, n = 4 olduğundan, o zaman

Örnek 6. Rastgele seçilen iki basamaklı bir sayının rakamlarının aynı olma olasılığı nedir?

Çözüm.İki basamaklı sayılar 10'dan 99'a kadar olan sayılardır; Toplamda bu tür 90 sayı vardır. 9 sayının rakamları aynıdır (bunlar 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 sayılarıdır). Bu durumda m = 9, n = 90 olduğundan, o zaman
,
burada A “aynı basamaklara sahip sayı” olayıdır.

Örnek 7. Kelimenin harflerinden diferansiyel Bir harf rastgele seçilir. Bu harfin a) sesli harf, b) ünsüz, c) harf olma olasılığı nedir? H?

Çözüm. Diferansiyel sözcüğünde 5'i ünlü, 7'si ünsüz olmak üzere 12 harf vardır. Edebiyat H bu kelimede hayır yok. Olayları belirtelim: A - “sesli harf”, B - “ünsüz harf”, C - “harf” H". Olumlu temel sonuçların sayısı: - A olayı için, - B olayı için, - C olayı için. n = 12 olduğundan, o zaman
, Ve .

Örnek 8.İki zar atılıyor ve her zarın üst kısmındaki puanların sayısı not ediliyor. Her iki zarın da aynı sayıda puan gösterme olasılığını bulun.

Çözüm. Bu olayı A harfiyle gösterelim. A olayı 6 temel sonuç tarafından tercih edilir: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Tam bir olay grubunu oluşturan eşit derecede olası temel sonuçların toplam sayısı, bu durumda n=6 2 =36. Bu, gerekli olasılığın

Örnek 9. Kitabın 300 sayfası var. Rastgele açılan bir sayfanın 5'e bölünebilen bir seri numarasına sahip olma olasılığı nedir?

Çözüm. Sorunun koşullarından, tam bir olay grubunu oluşturan eşit derecede olası tüm temel sonuçların n = 300 olacağı sonucu çıkar. Bunlardan m = 60'ı belirtilen olayın oluşmasını destekler. Aslında, 5'in katı olan bir sayı 5k biçimindedir; burada k bir doğal sayıdır ve bu nedenle . Buradan,
, burada A - "sayfa" olayı 5"in katı olan bir sıra numarasına sahiptir.

Örnek 10. İki zar atılıyor ve üst yüzlerindeki puanların toplamı hesaplanıyor. Toplamda 7 mi yoksa 8 mi alma olasılığı daha yüksek?

Çözüm. Olayları belirtelim: A - “7 puan atılır”, B – “8 puan atılır”. A olayı 6 temel sonuç tarafından tercih edilir: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) ve B olayı tercih edilir 5 sonuca göre: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Eşit derecede olası tüm temel sonuçlar n = 6 · 2 = 36'dır. Dolayısıyla, Ve .

Yani P(A)>P(B), yani toplam 7 puan almak, toplam 8 puan almaktan daha olası bir olaydır.

Görevler

1. Rastgele 30'u geçmeyen bir doğal sayı seçiliyor, bu sayının 3'ün katı olma olasılığı nedir?
2. Vazoda A kırmızı ve B Boyutları ve ağırlıkları aynı olan mavi toplar. Bu torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı nedir?
3. Rastgele 30'u geçmeyen bir sayı seçiliyor, bu sayının 30'a bölen olma olasılığı nedir?
4. Vazoda A mavi ve B Boyutları ve ağırlıkları aynı olan kırmızı toplar. Bu torbadan bir top alınıp bir kenara konuluyor. Bu topun kırmızı olduğu ortaya çıktı. Daha sonra torbadan bir top daha çekiliyor. İkinci topun da kırmızı olma olasılığını bulun.
5. Rastgele 50'yi aşmayan bir ulusal sayı seçiliyor, bu sayının asal olma olasılığı nedir?
6. Üç zar atılıyor ve üst yüzlerindeki puanların toplamı hesaplanıyor. Toplamda 9 veya 10 puan alma olasılığı daha yüksek olan şey nedir?
7. Üç zar atılıyor ve atılan puanların toplamı hesaplanıyor. Toplamda 11 puan mı (A olayı) yoksa 12 puan mı (B olayı) alma olasılığı daha yüksektir?

Yanıtlar

1. 1/3. 2 . B/(A+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(A+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - toplamda 9 puan alma olasılığı; p 2 = 27/216 - toplamda 10 puan alma olasılığı; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Sorular

1. Adı verilen bir olayın olasılığı nedir?
2. Güvenilir bir olayın olasılığı nedir?
3. İmkansız bir olayın olasılığı nedir?
4. Rastgele bir olayın olasılığının sınırları nelerdir?
5. Herhangi bir olayın olasılığının sınırları nelerdir?
6. Olasılığın hangi tanımına klasik denir?

3) P(Æ)=0.

Verileni söyleyeceğiz olasılık alanı, eğer temel sonuçların9 alanı verilirse ve yazışmalar belirlenirse

w i ® P(wi ) =Pi .

Şu soru ortaya çıkıyor: Çözülmekte olan problemin spesifik koşullarından bireysel temel sonuçların P (wi) olasılığı nasıl belirlenir?

Olasılığın klasik tanımı.

Belirli bir deneyin belirli koşullarının analiz edilmesini içeren (deneyin kendisini gerçekleştirmeden önce) a priori bir yaklaşım kullanarak P (wi) olasılıklarını hesaplamak mümkündür.

Temel sonuçlar uzayının sonlu sayıda N temel sonuçtan oluştuğu ve rastgele deneyin bu N temel sonuçların her birinin olasılığının eşit göründüğü bir durum mümkündür. Bu tür rastgele deneylerin örnekleri şunlardır: simetrik bir paranın atılması, adil bir zarın atılması veya karıştırılmış bir desteden rastgele bir oyun kartının çekilmesi. Her bir temel olasılığın olasılık aksiyomundan dolayı

bu durumda sonuçlar N'ye eşittir. Bundan, eğer A olayı N A temel sonuçları içeriyorsa, o zaman tanıma uygun olarak (*)

P(A) = Bir

Bu tür durumlarda, bir olayın olasılığı, olumlu sonuçların sayısının tüm olası sonuçların toplam sayısına oranı olarak tanımlanır.

Örnek. Birbirinin aynısı olan 10 adet elektrik lambası içeren bir setten 4'ü arızalı 5 lamba rastgele seçiliyor. Seçilen lambalardan 2 tanesinin arızalı olma olasılığı nedir?

Her şeyden önce, herhangi bir beş lambanın seçiminin aynı olasılığa sahip olduğunu not ediyoruz. Toplamda, böyle bir ilk beşe girmenin C 10 5 yolu vardır, yani bu durumda rastgele bir deneyin C 10 5 eşit olası sonuçları vardır.

Bu sonuçların kaç tanesi “ilk beşte iki adet arızalı lamba var” koşulunu sağlıyor, yani kaç tanesi bizi ilgilendiren olaya ait?

Bizi ilgilendiren her bir beşli şu şekilde oluşturulabilir: C42'ye eşit çeşitli şekillerde yapılabilecek iki arızalı lambayı seçin. Her bir arızalı lamba çifti, arızasız üç lambayla tamamlanabilecek sayıda, yani 6 3 defa, kaç farklı şekilde meydana gelebilir. İki içeren beşli sayısının olduğu ortaya çıktı

Olasılığın istatistiksel tanımı.

Heterojen bir malzemeden yapılmış bir zarın atıldığı rastgele bir deneyi düşünün. Ağırlık merkezi geometrik merkezde değildir. Bu durumda sonuçların (bir, iki kaybetme vb.) eşit derecede olası olduğunu düşünemeyiz. Kemiğin ağırlık merkezine daha yakın olan yüze daha sık düşeceği fizikten bilinmektedir. Örneğin üç puan alma olasılığı nasıl belirlenir? Yapabileceğiniz tek şey, bu zarı n kez atmak (burada n oldukça büyük bir sayıdır, örneğin n = 1000 veya n = 5000), atılan üç noktanın sayısını n 3 saymak ve üç atışın sonucunun olasılığını dikkate almaktır. noktalar n 3 / n olacak - yuvarlanan üç noktanın bağıl sıklığı. Benzer şekilde, diğer temel sonuçların (bir, iki, dört vb.) olasılıklarını da belirleyebilirsiniz. Teorik olarak, bu eylem tarzı şu şekilde tanıtılırsa haklı gösterilebilir: olasılığın istatistiksel belirlenmesi.

Olasılık P(M i), rastgele deney sayısı n'deki sınırsız bir artış sürecinde M i sonucunun göreceli oluşma sıklığının sınırı olarak tanımlanır;

P ben = P (M ben ) = lim m n (M ben ) , n ®¥n

burada mn(Mi), temel bir sonuç olan Mi'nin oluşumunun kaydedildiği rastgele deneylerin sayısıdır (gerçekleştirilen rastgele deneylerin toplam sayısı n'den).

Burada hiçbir delil verilmediğine göre, son formüldeki sınırın var olduğunu, yaşam deneyimine ve sezgilere dayanarak umut edebiliriz.

Geometrik olasılık

Özel bir durumda, sayılamayan sonuçları olan rastgele bir deney için bir olayın olasılığının tanımını vereceğiz.

Rastgele bir deneyin temel sonuçlarının W kümesi ile belirli bir düz şekil S'nin (büyük sigma) noktaları kümesi arasında bire bir yazışma kurulabiliyorsa ve bire bir yazışma da kurulabilirse A olayına uygun temel sonuçlar kümesi ile S şeklinin bir parçası olan düz bir I şeklinin (küçük sigma) noktaları kümesi arasında, o zaman

P(A) = S,

burada s, şeklin alanıdır, S, S şeklinin alanıdır.

Örnek. 12 ila 13 saat arası açık olan yemek salonunda iki kişi öğle yemeği yiyor. Her biri rastgele bir zamanda gelir ve 10 dakika içinde öğle yemeğini yerler. Karşılaşma olasılıkları nedir?

Yemek odasına ilk kişinin geliş zamanı x olsun, ikincisinin geliş zamanı olsun

12 £ x 13 £; 12 £ ila 13 £.

Tüm sayı çiftleri (x;y) (veya sonuç kümesi) ile koordinat düzleminde kenarı 1'e eşit olan bir karenin (kökenin buna karşılık geldiği) noktaları kümesi arasında bire bir yazışma kurmak mümkündür. şekil 6'da gösterildiği gibi X ekseni boyunca ve Y ekseni boyunca 12 sayısına. Burada örneğin A noktası, ilkinin 12.30'da, ikincisinin ise 13.00'de geldiği sonucuna karşılık geliyor. Bu durumda açıkçası

toplantı gerçekleşmedi.

Birincisi ikinciden daha geç gelmemişse (y ³ x), o zaman

toplantı 0 £ y - x £ 1/6 koşulu altında gerçekleşecektir

(10 dakika 1/6 saattir).

Eğer ikincisi ilkinden daha geç gelmezse (x ³ y), o zaman

toplantı 0 £ x - y £ 1/6 koşulu altında gerçekleşecektir.

Olumlu birden fazla sonuç arasında

toplantı ve bölgede tasvir edilen bir dizi nokta

Şekil 7'yi gölgeli biçimde kurabilirsiniz

bire bir yazışmalar.

Gerekli olasılık p alan oranına eşittir

alan s bölü tüm karenin alanı.. Meydanın alanı

birliğe eşittir ve bölgenin alanı şu şekilde tanımlanabilir:

bir ile ikinin toplam alanı arasındaki fark

Şekil 7'de gösterilen üçgenler. Aşağıdaki gibidir:

p =1 -

Sürekli olasılık uzayı.

Daha önce de belirtildiği gibi, temel sonuçlar kümesi sayılabilir olmaktan çok daha fazlası olabilir (yani sayılamaz). Bu durumda W kümesinin herhangi bir alt kümesi bir olay olarak değerlendirilemez.

Rastgele bir olayın tanımını tanıtmak için, W temel sonuçlarının uzayının A 1 , A 2 ,... A n alt kümelerinden oluşan bir sistemi (sonlu veya sayılabilir) düşünün.

Eğer üç koşul karşılanırsa: 1) W bu sisteme aittir;

2) A'nın bu sisteme ait olmasından A'nın bu sisteme ait olduğu sonucu çıkar;

3) A i ve A j'nin bu sisteme üyeliğinden A i U A j'nin bu sisteme ait olduğu sonucu çıkar

Böyle bir alt küme sistemine cebir denir.

W temel sonuçların yer aldığı bir uzay olsun. İki sistemin alt küme olduğundan emin olun:

1) W, Ж; 2) W , A , A , Ж (burada A, W'nin bir alt kümesidir) cebirlerdir.

A 1 ve A 2 bir cebire ait olsun. A 1 \A 2 ve A 1 ∩ A 2'nin bu cebire ait olduğunu kanıtlayın.

Sayılamayan bir temel sonuç kümesi 9'un bir alt kümesi A, eğer bir cebire aitse bir olaydır.

A.N.'nin aksiyomu adı verilen bir aksiyomu formüle edelim. Kolmogorov.

Her olay, A olayının olasılığı adı verilen, birini aşmayan, negatif olmayan bir P(A) sayısına karşılık gelir ve P(A) fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1)P(9)=1

2) A 1 ,A 2 ,...,A n olayları tutarsızsa, o zaman

P (A 1 U A 2 U ... U A n ) =P (A 1 ) +P (A 2 ) +... +P (A n )

Eğer W temel sonuçlarından oluşan bir uzay, bir olaylar cebiri ve üzerinde tanımlanan ve verilen aksiyomun koşullarını karşılayan bir P fonksiyonu verilirse, o zaman şunu söylerler: olasılık alanı.

Olasılık uzayının bu tanımı, W temel sonuçlarının sonlu uzayı durumuna genişletilebilir. O halde bir cebir olarak W kümesinin tüm alt kümelerinin sistemini alabiliriz.

Olasılıkları eklemek için formüller.

Yukarıdaki aksiyomun 2. noktasından şu sonuç çıkar: Eğer A1 ve A2 uyumsuz olaylarsa, o zaman

P (A 1 U A 2 ) =P (A 1 ) +P (A 2 )

A 1 ve A 2 ortak olaylarsa, o zaman A 1 U A 2 =(A 1 \A 2 )U A 2 ve A 1 \A 2 ve A 2'nin uyumsuz olaylar olduğu açıktır. Bu şu anlama gelir:

P (A 1 U A 2 ) = P (A1 \ A 2 ) + P (A2 )

Ayrıca şu da açıktır: A 1 = (A1 \A 2 )U (A 1 ∩ A 2 ) ve A1 \A 2 ve A 1 ∩ A 2 uyumsuz olaylardır ve şu şekildedir: P (A 1 ) =P (A1) \A 2 ) +P (A 1 ∩ A 2 ) Bu formülden P (A1 \A 2 ) ifadesini bulalım ve onu (*) formülünün sağ tarafına koyalım. Sonuç olarak olasılıkları eklemek için formül elde ederiz:

P (A 1 U A 2 ) =P (A 1 ) +P (A 2 ) –P (A 1 ∩ A 2 )

Son formülden, A 1 ∩ A 2 =Æ şeklinde ayarlayarak uyumsuz olayların olasılıklarını eklemek için bir formül elde etmek kolaydır.

Örnek. 32 sayfalık bir desteden rastgele bir kart seçerken as veya kupa çekme olasılığını bulun.

P (As) = 4/32 = 1/8, P (Kalp Takımı) = 8/32 = 1/4;

P (KALPLERİN ASI) = 1/32;

P ((ACE)U (TAKIM DEĞER)) = 1/8 + 1/4 - 1/32 =11/32

Aynı sonuca, klasik olasılık tanımı kullanılarak, olumlu sonuçların sayısı yeniden hesaplanarak da ulaşılabilir.

Koşullu olasılıklar.

Sorunu ele alalım. Sınav öncesinde bir öğrenci 30 adet biletten 1'den 5'e ve 26'dan 30'a kadar sayıların yer aldığı biletleri öğrenmiştir. Sınav sırasında öğrencinin numarası 20'yi geçmeyen bir bilet çektiği bilinmektedir. Öğrencinin sınava girme olasılığı nedir? hafızaya alınan bileti çıkardınız mı?

Temel sonuçların uzayını tanımlayalım: W =(1,2,3,...,28,29,30). A olayı öğrencinin öğrenilmiş bir bilet çıkarması olsun: A = (1,...,5,25,...,30,) ve B olayı öğrencinin ilk yirmiden bir bilet çıkarması olsun. : B = ( 1,2,3,...,20)

A ∩ B olayı beş sonuçtan oluşur: (1,2,3,4,5) ve olasılığı 5/30'dur. Bu sayı 5/20 ve 20/30 kesirlerinin çarpımı olarak gösterilebilir. 20/30 sayısı B olayının olasılığıdır. 5/20 sayısı, B olayının gerçekleşmesi koşuluyla A olayının olasılığı olarak kabul edilebilir (bunu P (A / B) olarak belirtiyoruz). Böylece sorunun çözümü formülle belirlenir.

P (A ∩ B) =P (A /B)P (B)

Bu formüle olasılık çarpım formülü denir ve P (A / B) olasılığı, A olayının koşullu olasılığıdır.

Örnek: İçinde 7 beyaz ve 3 siyah top bulunan bir torbadan, birbiri ardına (yer değiştirmeden) rastgele iki top çekiliyor. Birinci topun beyaz, ikinci topun siyah olma olasılığı nedir?

İlkinin beyaz top çekmesi olayı X, ikincisinin siyah top çekmesi olayı Y olsun. O zaman X ∩ Y, ilk topun beyaz, ikincisinin siyah olması olayıdır P (Y / X ) =3/9 =1/3, eğer beyaz top varsa ikincinin siyah top çekmesinin koşullu olasılığıdır. ilk olarak çekildi. P(X) = 7/10 olduğunu düşünürsek olasılık çarpım formülünü kullanarak şunu elde ederiz: P (X ∩ Y) = 7/30

P (A / B) = P (A) ise A olayı B olayından bağımsız olarak adlandırılır (başka bir deyişle: A ve B olayları bağımsız olarak adlandırılır) ). Bağımsız olayların tanımı son formül ve çarpma formülünün bir sonucu olarak alınabilir.

P (A ∩ B) =P (A)P (B)

A ve B bağımsız olaylarsa, A ve B'nin de bağımsız olaylar olduğunu kendinize kanıtlayın.

Örnek: Öncekine benzer bir problem düşünün, ancak ek bir koşulla: ilk topu çıkardıktan sonra rengini hatırlayın ve topu torbaya geri koyun, ardından tüm topları karıştırırız. Bu durumda, ikinci çıkarmanın sonucu hiçbir şekilde ilk çıkarma sırasında hangi topun (siyah veya beyaz) ortaya çıktığına bağlı değildir. Beyaz topun ilk önce gelme olasılığı (A olayı) 7/10'dur. B olayının (ikinci siyah topun ortaya çıkması) olasılığı 3/10'dur. Şimdi olasılık çarpım formülü şunu verir: P (A ∩ B) = 21/100.

Bu örnekte anlatıldığı şekilde topların alınmasına denir. dönüşlü örnek veya geri örnekleme.

Son iki örnekte beyaz ve siyah topların başlangıç ​​sayılarını sırasıyla 7000 ve 3000'e eşitlersek, aynı olasılıkları hesaplamanın sonuçlarının yinelenen ve yinelenmeyen örnekler için ihmal edilebilir derecede farklı olacağına dikkat edilmelidir.

BELEDİYE EĞİTİM KURUMU

6 Nolu SPOR SALONU

“Olasılığın klasik tanımı” konulu.

8. sınıf "B" öğrencisi tarafından tamamlandı

Klimantova Alexandra.

Matematik öğretmeni: Videnkina V. A.

Voronej, 2008

Birçok oyunda zar kullanılır. Küpün 6 ​​tarafı vardır ve her iki tarafta da 1'den 6'ya kadar farklı sayıda nokta işaretlenmiştir. Oyuncu zarları atar ve düşen tarafta (üst tarafta) kaç nokta olduğuna bakar. . Çoğu zaman küpün yüzeyindeki noktalar karşılık gelen sayıyla değiştirilir ve ardından 1, 2 veya 6'nın atılmasından bahsedilir. Bir zarın atılması bir deneyim, bir deney, bir test olarak düşünülebilir ve elde edilen sonuç şu şekildedir: Bir testin veya temel bir olayın sonucu. İnsanlar şu ya da bu olayın meydana geldiğini tahmin etmek ve sonucunu tahmin etmekle ilgileniyorlar. Zar attıklarında ne gibi tahminlerde bulunabilirler? Örneğin, bunlar:

1) A olayı - 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 sayısının atılması;

2) olay B - 7, 8 veya 9 sayısı belirir;

3) olay C - 1 sayısı belirir.

İlk durumda tahmin edilen A olayı kesinlikle gerçekleşecektir. Genel olarak, belirli bir deneyimde gerçekleşmesi kesin olan bir olaya denir. güvenilir olay .

İkinci durumda tahmin edilen B olayı asla gerçekleşmeyecek, kesinlikle imkansızdır. Genel olarak belirli bir deneyimde gerçekleşemeyen bir olaya denir. imkansız olay .

Peki üçüncü durumda tahmin edilen C olayı gerçekleşecek mi, gerçekleşmeyecek mi? 1 düşebileceği veya düşmeyebileceği için bu soruya tam bir kesinlik ile cevap veremiyoruz. Belirli bir deneyimde meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek bir olaya denir rastgele olay .

Güvenilir bir olayın meydana geldiğini düşünürken büyük ihtimalle “muhtemelen” kelimesini kullanmayacağız. Örneğin bugün Çarşamba ise yarın Perşembe ise bu güvenilir bir olaydır. Çarşamba günü “Muhtemelen yarın Perşembe” demeyeceğiz, kısa ve net bir şekilde “Yarın Perşembe” diyeceğiz. Doğru, güzel sözlere yatkınsak şunu söyleyebiliriz: “Yüzde yüz olasılıkla yarının perşembe olduğunu söylüyorum.” Aksine, bugün Çarşamba ise yarın Cuma'nın başlaması imkansız bir olaydır. Çarşamba günü yaşanan bu olayı değerlendirdiğimizde şunu söyleyebiliriz: “Yarının Cuma olmadığına eminim.” Veya şu: "Yarının Cuma olması inanılmaz." Peki güzel sözlere yatkınsak şunu söyleyebiliriz: “Yarının Cuma olma ihtimali sıfırdır.” Yani güvenilir bir olay, belirli koşullar altında meydana gelen bir olaydır. yüzde yüz olasılıkla(yani 10 vakanın 10'unda, 100 vakanın 100'ünde vb. meydana gelir). İmkansız olay, belirli koşullar altında asla meydana gelmeyen bir olaydır. sıfır olasılıkla .

Ancak ne yazık ki (ve belki de neyse ki), hayatta her şey o kadar açık ve kesin değil: her zaman olacak (belirli bir olay), hiçbir zaman olmayacak (imkansız bir olay). Çoğu zaman, bazıları daha olası, bazıları daha az olası olan rastgele olaylarla karşı karşıya kalırız. Genellikle insanlar "daha muhtemel" veya "daha az muhtemel" kelimelerini, kendi dedikleri gibi, sağduyu denilen şeye dayanarak bir hevesle kullanırlar. Ancak çoğu zaman bu tür tahminler yetersiz kalıyor çünkü bilmek önemli. ne kadar süreliğine yüzde muhtemelen rastgele bir olay veya kaç sefer rastgele bir olayın olasılığı diğerinden daha yüksektir. Başka bir deyişle, doğru bir şekilde ihtiyacımız var nicel olasılıkları bir sayıyla karakterize edebilmeniz gerekir.

Bu yönde ilk adımları zaten atmış durumdayız. Belirli bir olayın meydana gelme olasılığının şu şekilde karakterize edildiğini söylemiştik: yüzde yüz ve imkansız bir olayın meydana gelme olasılığı şu şekildedir: sıfır. % 100'ün 1'e eşit olduğu göz önüne alındığında, insanlar aşağıdakiler üzerinde anlaştılar:

1) güvenilir bir olayın olasılığı eşit kabul edilir 1;

2) imkansız bir olayın olasılığı eşit kabul edilir 0.

Rastgele bir olayın olasılığı nasıl hesaplanır? Sonuçta oldu kazara yani yasalara, algoritmalara veya formüllere uymaz. Rastgelelik dünyasında olasılıkların hesaplanmasına izin veren belirli yasaların geçerli olduğu ortaya çıktı. Bu, matematiğin dalı olarak adlandırılan - olasılık teorisi .

Matematik ilgilenir modeli etrafımızdaki gerçekliğin bir fenomeni. Olasılık teorisinde kullanılan tüm modeller arasında kendimizi en basitiyle sınırlayacağız.

Klasik olasılık şeması

Bir deney yaparken A olayının olasılığını bulmak için şunları yapmalısınız:

1) bu deneyin tüm olası sonuçlarının N sayısını bulun;

2) tüm bu sonuçların eşit olasılık (eşit olasılık) varsayımını kabul edin;

3) A olayının meydana geldiği deneysel sonuçların N(A) sayısını bulun;

4) bölümü bul ; A olayının olasılığına eşit olacaktır.

A olayının olasılığını P(A) olarak belirtmek gelenekseldir. Bu adlandırmanın açıklaması çok basittir: Fransızca'daki "olasılık" kelimesi olasılık, İngilizce- olasılık.Adlandırmada kelimenin ilk harfi kullanılır.

Bu gösterimi kullanarak, klasik şemaya göre A olayının olasılığı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

P(A)=.

Çoğunlukla yukarıdaki klasik olasılık şemasının tüm noktaları oldukça uzun bir cümleyle ifade edilir.

Olasılığın klasik tanımı

Belirli bir test sırasında A olayının olasılığı, A olayının meydana geldiği sonuçların sayısının, bu testin eşit derecede olası tüm sonuçlarının toplam sayısına oranıdır.

örnek 1. Bir zar atıldığında sonucun şu şekilde olma olasılığını bulun: a) 4; b) 5; c) çift sayıda nokta; d) 4'ten büyük nokta sayısı; e) Üçe bölünmeyen puanların sayısı.

Çözüm. Toplamda N=6 olası sonuç vardır: noktaları 1, 2, 3, 4, 5 veya 6'ya eşit olan bir küp yüzünden düşmek. Hiçbirinin diğerlerine göre herhangi bir avantajı olmadığına inanıyoruz, yani biz bu sonuçların eşit olasılıklı olduğu varsayımını kabul edin.

a) Sonuçlardan tam olarak birinde bizi ilgilendiren A olayı gerçekleşecek, 4 sayısı ortaya çıkacak, yani N(A)=1 ve

P ( A )= =.

b) Çözüm ve cevap bir önceki paragraftakiyle aynıdır.

c) İlgilendiğimiz B olayı, puan sayısının 2, 4 veya 6 olduğu tam üç durumda gerçekleşecektir. Bu şu anlama gelir:

N ( B )=3 ve P ( B )==.

d) İlgilendiğimiz C olayı, puan sayısının 5 veya 6 olduğu tam olarak iki durumda gerçekleşecektir. Bu şu anlama gelir:

N ( C ) =2 ve Р(С)=.

e) Çekilen olası altı sayıdan dördü (1, 2, 4 ve 5) üçün katı değildir ve geri kalan ikisi (3 ve 6) üçe bölünebilir. Bu, bizi ilgilendiren olayın, deneyin altı olası ve eşit olasılıklı ve eşit olasılıklı sonucundan tam olarak dördünde meydana geldiği anlamına gelir. Bu nedenle cevap şu şekilde çıkıyor:

. ; B) ; V) ; G) ; D).

Gerçek bir zar, ideal (model) bir küpten çok farklı olabilir, bu nedenle davranışını tanımlamak için, bir yüzün diğerine göre avantajlarını, mıknatısların olası varlığını vb. dikkate alarak daha doğru ve ayrıntılı bir model gereklidir. Ancak "Şeytan ayrıntıda gizlidir" ve daha fazla doğruluk, daha fazla karmaşıklığa yol açma eğilimindedir ve bir yanıt almak sorun haline gelir. Kendimizi tüm olası sonuçların eşit derecede olası olduğu en basit olasılıksal modeli düşünmekle sınırlıyoruz.

Not 1. Başka bir örneğe bakalım. Şu soru soruldu: "Bir zar atışında üç gelme olasılığı nedir?" Öğrenci cevap verdi: “Olasılık 0,5.” Cevabını da şöyle açıkladı: “Üçü ya çıkacak, ya çıkmayacak. Bu, toplamda iki sonucun olduğu ve bunlardan tam olarak birinde bizi ilgilendiren olayın meydana geldiği anlamına gelir. Klasik olasılık şemasını kullanarak 0,5 cevabını alıyoruz.” Bu mantıkta bir hata var mı? İlk bakışta hayır. Ancak hâlâ var ve temel bir biçimde. Evet, gerçekten de, kuranın sonucunun N=2 tanımına göre ya bir üçlü gelecektir ya da gelmeyecektir. Ayrıca N(A) = 1 olduğu da doğrudur ve elbette ki doğrudur

=0,5, yani olasılık şemasının üç noktası dikkate alınır, ancak 2) numaralı maddenin uygulanması şüphelidir. Elbette tamamen yasal bir bakış açısıyla, üç atmanın düşmeme olasılığının eşit olduğuna inanma hakkımız var. Peki kenarların “aynılığı” konusundaki doğal varsayımlarımızı ihlal etmeden böyle düşünebilir miyiz? Tabii ki değil! Burada belli bir model dahilinde doğru akıl yürütmeyle uğraşıyoruz. Ancak bu modelin kendisi "yanlıştır" ve gerçek olguya karşılık gelmemektedir.

Not 2. Olasılığı tartışırken aşağıdaki önemli durumu gözden kaçırmayın. Bir zarı atarken bir puan alma olasılığının ne kadar olduğunu söylersek

Bu hiç de zarları 6 kez atarak tam bir kez bir puan alacağınız, 12 kez atarak tam iki kez bir puan alacağınız, zarları 18 kez atarak bir puan tam olarak üç alacağınız anlamına gelmez. kez vb. Kelime muhtemelen spekülatiftir. Olabilecek en muhtemel şeyi varsayıyoruz. Muhtemelen zarları 600 kez atarsak, 100 kez, yani yaklaşık 100 kez bir puan gelecektir.