Dönel cisimlerin hacimlerini bulmak için integralleri kullanma

Matematiğin pratik faydası, olmadan

Spesifik matematik bilgisi, cihazın prensiplerini ve modern teknolojinin kullanımını anlamayı zorlaştırır. Hayatındaki her insan oldukça karmaşık hesaplamalar yapmak, yaygın olarak kullanılan ekipmanları kullanmak, gerekli formülleri referans kitaplarından bulmak ve problemleri çözmek için basit algoritmalar oluşturmak zorundadır. Modern toplumda, yüksek düzeyde eğitim gerektiren giderek daha fazla uzmanlık, matematiğin doğrudan uygulanmasıyla ilişkilendirilmektedir. Böylece matematik öğrenci için mesleki açıdan önemli bir konu haline gelir. Algoritmik düşüncenin oluşumunda başrol matematiğe aittir; belirli bir algoritmaya göre hareket etme ve yeni algoritmalar oluşturma yeteneğini geliştirir.

Dönel cisimlerin hacimlerini hesaplamak için integrali kullanma konusunu incelerken, seçmeli derslerdeki öğrencilerin şu konuyu düşünmelerini öneririm: "İntegralleri kullanarak dönel cisimlerin hacimleri." Aşağıda bu konunun dikkate alınmasına yönelik metodolojik öneriler yer almaktadır:

1. Düz bir şeklin alanı.

Cebir dersinden, pratik nitelikteki problemlerin belirli integral kavramına yol açtığını biliyoruz..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width = "127" height = "25 src = ">.

Kırık bir çizgi y=f(x), Ox ekseni, x=a ve x=b düz çizgileriyle sınırlanan Ox ekseni etrafında eğrisel bir yamuğun dönmesiyle oluşan dönme cismin hacmini bulmak için şunu hesaplıyoruz: formülü kullanarak

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width = "352" height = "283 src = ">Y

3.Silindir hacmi.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" genişlik = "85" yükseklik = "51">..gif" genişlik = "13" yükseklik = "25">..jpg" width = "401" height = "355">Koni, ABC dik üçgeninin (C = 90), AC bacağının üzerinde bulunduğu Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilir.

AB segmenti y=kx+c düz çizgisi üzerinde yer alır; burada https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

a=0, b=H olsun (H, koninin yüksekliğidir), sonra Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.Kesik koninin hacmi.

Dikdörtgen bir yamuk ABCD'nin (CDOx) Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle kesik bir koni elde edilebilir.

AB doğru parçası y=kx+c düz çizgisi üzerinde yer alır; burada , c=r.

Doğru A noktasından geçtiği için (0;r).

Böylece düz çizgi şuna benzer: https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

a=0, b=H olsun (H, kesik koninin yüksekliğidir), sonra https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src = "> = .

6. Topun hacmi.

Top, merkezi (0;0) olan bir dairenin Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilebilir. Öküz ekseninin üzerinde bulunan yarım daire denklemle verilmiştir.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width = "13" height = "16 src = ">x R.

Dönen bir cismin hacmi nasıl hesaplanır
belirli bir integral mi kullanıyorsunuz?

Genel olarak integral hesabında pek çok ilginç uygulama vardır; belirli bir integrali kullanarak bir şeklin alanını, dönen bir cismin hacmini, bir yayın uzunluğunu, yüzey alanını hesaplayabilirsiniz. rotasyon ve çok daha fazlası. Bu yüzden eğlenceli olacak, lütfen iyimser kalın!

Koordinat düzleminde düz bir şekil hayal edin. Tanıtıldı mı? ... Acaba kim neyi sundu... =))) Biz zaten alanını bulduk. Ancak ek olarak, bu şekil iki şekilde de döndürülebilir ve döndürülebilir:

- apsis ekseni etrafında;
- ordinat ekseni etrafında.

Bu makale her iki durumu da inceleyecektir. İkinci döndürme yöntemi özellikle ilginçtir; en fazla zorluğa neden olur, ancak aslında çözüm, daha yaygın olarak x ekseni etrafında döndürmeyle hemen hemen aynıdır. Bonus olarak geri döneceğim bir şeklin alanını bulma problemi ve size alanı ikinci şekilde - eksen boyunca nasıl bulacağınızı anlatacağım. Materyal konuya çok iyi uyduğu için bu pek de bir bonus değil.

En popüler rotasyon türüyle başlayalım.

bir eksen etrafında düz şekil

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Alanı bulma probleminde olduğu gibi, çözüm düz bir şekil çizmekle başlar. Yani düzlemde çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir ve denklemin ekseni belirlediğini unutmayın. Bir çizimin daha verimli ve hızlı bir şekilde nasıl tamamlanacağını sayfalarda bulabilirsiniz. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri Ve . Bu bir Çin hatırlatmasıdır ve bu noktada daha fazla üzerinde durmayacağım.

Buradaki çizim oldukça basit:

İstenilen düz şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir; eksen etrafında dönen şekildir. Dönme sonucunda eksen etrafında simetrik olan hafif oval bir uçan daire elde edilir. Aslında vücudun matematiksel bir adı var ama referans kitabında herhangi bir şeyi açıklığa kavuşturamayacak kadar tembelim, o yüzden devam ediyoruz.

Bir devrim cismin hacmi nasıl hesaplanır?

Bir devrim cismin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Formülde sayının integralden önce gelmesi gerekir. Böylece oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılıdır.

Tamamlanan çizimden “a” ve “be” entegrasyon sınırlarının nasıl belirleneceğini tahmin etmenin kolay olduğunu düşünüyorum.

İşlev... nedir bu işlev? Çizime bakalım. Düzlem şekli üstteki parabolün grafiğiyle sınırlanmıştır. Formülde ima edilen fonksiyon budur.

Pratik görevlerde bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki integralin karesi alınır: , dolayısıyla integral her zaman negatif değildir ki bu çok mantıklı.

Bu formülü kullanarak bir devrim cismin hacmini hesaplayalım:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl önemli olan dikkatli olmaktır.

Cevap:

Cevabınızda boyutu - kübik birimleri belirtmelisiniz. Yani dönme gövdemizde yaklaşık 3,35 "küp" vardır. Neden kübik birimler? Çünkü en evrensel formülasyon. Santimetreküp olabilir, metreküp olabilir, kilometreküp olabilir vs. hayal gücünüzün bir uçan daireye kaç tane yeşil adam koyabileceği budur.

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Pratikte de sıklıkla karşılaşılan iki karmaşık sorunu daha ele alalım.

, ve çizgileriyle sınırlanan şeklin apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Denklemin ekseni tanımladığını unutmadan, çizimde , , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil çizelim:

İstenilen şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir. Kendi ekseni etrafında döndüğünde dört köşeli gerçeküstü bir çörek haline geliyor.

Dönen cismin hacmini şu şekilde hesaplayalım: cisimlerin hacimleri arasındaki fark.

Öncelikle kırmızı daire içine alınmış şekle bakalım. Bir eksen etrafında döndüğünde kesik koni elde edilir. Bu kesik koninin hacmini ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli düşünün. Bu şekli eksen etrafında döndürürseniz, sadece biraz daha küçük olan kesik bir koni elde edersiniz. Hacmini ile gösterelim.

Ve açıkçası, hacimlerdeki fark tam olarak "çörekimizin" hacmidir.

Dönen cismin hacmini bulmak için standart formülü kullanırız:

1) Kırmızıyla daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

2) Yeşil daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

3) İstenilen dönme gövdesinin hacmi:

Cevap:

Bu durumda çözümün kesik koninin hacmini hesaplamak için okul formülü kullanılarak kontrol edilebilmesi ilginçtir.

Kararın kendisi genellikle daha kısa yazılır, şöyle bir şey:

Şimdi biraz dinlenelim ve size geometrik illüzyonlardan bahsedelim.

İnsanlar genellikle ciltlerle ilgili yanılsamalar yaşarlar, bu da Perelman'ın (başka biri) kitapta fark ettiği bir şeydir. Eğlenceli geometri. Çözülmüş problemdeki düz şekle bakın - alan olarak küçük görünüyor ve devrimin gövdesinin hacmi 50 kübik birimin biraz üzerinde, bu da çok büyük görünüyor. Bu arada, ortalama bir insan hayatı boyunca bir odanın 18 metrekaresine eşdeğer sıvı içer, bu da tam tersine çok küçük bir hacim gibi görünüyor.

Lirik bir incelemeden sonra, yaratıcı bir görevi çözmek tam olarak uygundur:

Çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan bir cismin hacmini hesaplayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Lütfen tüm durumların bantta gerçekleştiğini, yani aslında hazır entegrasyon sınırlarının verildiğini unutmayın. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini doğru çizin, size bununla ilgili ders materyalini hatırlatayım grafiklerin geometrik dönüşümleri: eğer argüman ikiye bölünürse: , grafikler eksen boyunca iki kez uzatılır. En az 3-4 puan bulmanız tavsiye edilir trigonometrik tablolara göreÇizimi daha doğru bir şekilde tamamlamak için. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Bu arada, görev çok rasyonel değil, rasyonel olarak çözülebilir.

Döndürülerek oluşturulan bir cismin hacminin hesaplanması
bir eksen etrafında düz şekil

İkinci paragraf birincisinden daha da ilginç olacak. Ordinat ekseni etrafında dönen bir cismin hacmini hesaplama görevi de test çalışmalarında oldukça yaygın bir konu. Yol boyunca dikkate alınacak bir şeklin alanını bulma problemi ikinci yöntem eksen boyunca entegrasyondur, bu sadece becerilerinizi geliştirmenize olanak sağlamakla kalmayacak, aynı zamanda size en karlı çözüm yolunu bulmayı da öğretecektir. Bunda pratik bir hayat anlamı da var! Matematik öğretme yöntemleri öğretmenimin gülümseyerek hatırladığı gibi, birçok mezun ona şu sözlerle teşekkür etti: "Konunuzun bize çok faydası oldu, artık etkili yöneticileriz ve personeli en iyi şekilde yönetiyoruz." Bu fırsatı değerlendirerek, özellikle edinilen bilgiyi amacına uygun olarak kullandığım için ona da büyük şükranlarımı sunuyorum =).

Herkese tavsiye ederim, hatta tam mankenler bile. Ayrıca, ikinci paragrafta öğrenilenler çift katlı integrallerin hesaplanmasında paha biçilmez yardım sağlayacaktır..

, , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil verildiğinde.

1) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun.
2) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun.

Dikkat! Sadece ikinci maddeyi okumak isteseniz bile, önce ilk maddeyi okumayı unutmayın!

Çözüm: Görev iki bölümden oluşmaktadır. Kareyle başlayalım.

1) Bir çizim yapalım:

Fonksiyonun parabolün üst dalını, fonksiyonun da parabolün alt dalını belirttiğini görmek kolaydır. Önümüzde "kendi tarafında duran" önemsiz bir parabol var.

Alanı bulunacak olan istenilen şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir.

Bir şeklin alanı nasıl bulunur? Sınıfta tartışılan “olağan” şekilde bulunabilir. Belirli integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır. Ayrıca şeklin alanı alanların toplamı olarak bulunur:
- segmentte ;
- segmentte.

Bu yüzden:

Bu durumda olağan çözüm neden kötü? Öncelikle iki integralimiz var. İkincisi, integrallerin altında kökler vardır ve integrallerin kökleri bir hediye değildir ve ayrıca integralin sınırlarını değiştirirken kafanız karışabilir. Aslında integraller elbette öldürücü değil ama pratikte her şey çok daha üzücü olabilir, ben sadece problem için "daha iyi" fonksiyonları seçtim.

Daha rasyonel bir çözüm var: Ters fonksiyonlara geçmek ve eksen boyunca integral almaktan ibarettir.

Ters fonksiyonlara nasıl ulaşılır? Kabaca söylemek gerekirse “x”i “y”ye kadar ifade etmeniz gerekiyor. İlk önce parabole bakalım:

Bu kadar yeter ama aynı fonksiyonun alt daldan da türetilebildiğinden emin olalım:

Düz bir çizgiyle daha kolaydır:

Şimdi eksene bakın: lütfen açıklarken başınızı periyodik olarak 90 derece sağa doğru eğin (bu bir şaka değil!). İhtiyacımız olan rakam kırmızı noktalı çizgiyle gösterilen segmentin üzerinde yer alıyor. Bu durumda, segmentte düz bir çizgi parabolün üzerinde bulunur; bu, şeklin alanının size zaten tanıdık gelen formül kullanılarak bulunması gerektiği anlamına gelir: . Formülde neler değişti? Sadece bir mektup ve daha fazlası değil.

! Not: Eksen boyunca entegrasyonun sınırları belirlenmeli kesinlikle aşağıdan yukarıya!

Alanı bulmak:

Bu nedenle segmentte:

Lütfen entegrasyonu nasıl yaptığımı not edin, bu en rasyonel yoldur ve görevin bir sonraki paragrafında bunun nedeni açıklanacaktır.

Entegrasyonun doğruluğundan şüphe duyan okuyucular için türevleri bulacağım:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilir, bu da entegrasyonun doğru yapıldığı anlamına gelir.

Cevap:

2) Bu şeklin eksen etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayalım.

Çizimi biraz farklı bir tasarımla yeniden çizeceğim:

Yani mavi renkle gölgelenen şekil eksen etrafında dönmektedir. Sonuç, kendi ekseni etrafında dönen bir "havada uçan kelebek"tir.

Dönen cismin hacmini bulmak için eksen boyunca integral alacağız. İlk önce ters fonksiyonlara gitmemiz gerekiyor. Bu zaten önceki paragrafta ayrıntılı olarak yapılmış ve açıklanmıştır.

Şimdi başımızı tekrar sağa eğip figürümüzü inceliyoruz. Açıkçası, bir devrim cismin hacminin hacimler arasındaki fark olarak bulunması gerekir.

Kırmızı daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürerek kesik bir koni elde ederiz. Bu hacmi ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürüyoruz ve elde edilen dönme gövdesinin hacmiyle belirtiyoruz.

Kelebeğimizin hacmi hacim farkına eşittir.

Dönen cismin hacmini bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:

Önceki paragraftaki formülden farkı nedir? Sadece mektupta.

Ancak yakın zamanda bahsettiğim entegrasyonun avantajını bulmak çok daha kolay , önce integrali 4'üncü kuvvete yükseltmek yerine.

Cevap:

Aynı düz şekil eksen etrafında döndürülürse, doğal olarak farklı hacimde, tamamen farklı bir dönüş gövdesi elde edeceğinizi unutmayın.

Çizgilerle ve bir eksenle sınırlanmış düz bir şekil verilmiştir.

1) Ters fonksiyonlara gidin ve bu doğruların sınırladığı bir düzlem şeklinin alanını değişken üzerinden integral alarak bulun.
2) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. İlgilenenler ayrıca bir şeklin alanını “olağan” şekilde bulabilir, böylece 1) noktasını kontrol edebilirler. Ancak tekrar ediyorum, düz bir şekli eksen etrafında döndürürseniz, farklı bir hacme sahip tamamen farklı bir dönme gövdesi elde edersiniz, bu arada, doğru cevap (ayrıca sorunları çözmeyi sevenler için).

Görevin önerilen iki noktasının tam çözümü dersin sonundadır.

Evet, dönme gövdelerini ve entegrasyonun sınırlarını anlamak için başınızı sağa eğmeyi unutmayın!

Makaleyi bitirmek üzereydim ama bugün sadece bir dönel cismin koordinat ekseni etrafındaki hacmini bulmak için ilginç bir örnek getirdiler. Taze:

ve eğrileriyle sınırlanan bir şeklin ekseni etrafında dönmesiyle oluşan bir cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Yol boyunca diğer bazı fonksiyonların grafikleriyle tanışıyoruz. İşte çift fonksiyonun ilginç bir grafiği...

T, üst yarı düzlemde bulunan ve apsis ekseni, x=a ve x=b düz çizgileri ve sürekli bir y= fonksiyonunun grafiği ile sınırlanan eğrisel bir yamuğun apsis ekseni etrafında dönmesiyle oluşan bir dönme cismi olsun. f(x) .

Bunun böyle olduğunu kanıtlayalım devrimin gövdesi küp şeklindedir ve hacmi formülle ifade edilir

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Öncelikle, dönme eksenine dik olan Oyz düzlemini \Pi olarak seçersek, bu dönme kütlesinin düzenli olduğunu kanıtlarız. Oyz düzleminden x kadar uzakta bulunan kesitin yarıçapı f(x) olan bir daire olduğuna ve S(x) alanının \pi f^2(x)'e eşit olduğuna dikkat edin (Şekil 46). Dolayısıyla S(x) fonksiyonu f(x)'in sürekliliğinden dolayı süreklidir. Sonraki ise S(x_1)\leqslant S(x_2), o zaman bu şu anlama gelir . Ancak kesitlerin Oyz düzlemine izdüşümleri O merkezli f(x_1) ve f(x_2) yarıçaplı dairelerdir ve O'dan itibaren f(x_1)\leqslant f(x_2) bundan, yarıçapı f(x_1) olan bir dairenin, yarıçapı f(x_2) olan bir dairenin içinde bulunduğu sonucu çıkar.

Yani devrimin gövdesi düzenlidir. Bu nedenle küp şeklindedir ve hacmi formülle hesaplanır.

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Eğrisel bir yamuk, hem altından hem de üstünden y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) eğrileriyle sınırlanmışsa, o zaman

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Formül (3), dönen bir şeklin sınırının parametrik denklemlerle belirlendiği durumda, dönen bir cismin hacmini hesaplamak için de kullanılabilir. Bu durumda, belirli integral işaretinin altındaki değişken değişikliğini kullanmanız gerekir.

Bazı durumlarda, dönme cisimlerini düz dairesel silindirlere değil, farklı türden şekillere ayırmanın uygun olduğu ortaya çıkıyor.

Örneğin, bulalım Kavisli bir yamuğun ordinat ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmi. İlk olarak, tabanında doğru parçasının bulunduğu, yüksekliği y# olan bir dikdörtgenin döndürülmesiyle elde edilen hacmi bulalım. Bu hacim iki düz dairesel silindirin hacimleri farkına eşittir.

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Ancak artık gerekli hacmin yukarıdan ve aşağıdan şu şekilde tahmin edildiği açıktır:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Buradan kolayca takip edilir Ordinat ekseni etrafında dönen bir cismin hacminin formülü:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Örnek 4. R yarıçaplı bir topun hacmini bulalım.

Çözüm. Genelliği kaybetmeden, merkezi orijinde olan R yarıçaplı bir çemberi ele alacağız. Ox ekseni etrafında dönen bu daire bir top oluşturur. Bir dairenin denklemi x^2+y^2=R^2'dir, yani y^2=R^2-x^2. Dairenin ordinat eksenine göre simetrisini hesaba katarak önce gerekli hacmin yarısını buluruz

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Bu nedenle topun tamamının hacmi eşittir \frac(4)(3)\pi R^3.

Örnek 5. Yüksekliği h ve taban yarıçapı r olan bir koninin hacmini hesaplayın.

Çözüm. Ox ekseni h yüksekliğiyle çakışacak şekilde bir koordinat sistemi seçelim (Şekil 47) ve koninin tepe noktasını koordinatların orijini olarak alalım. Daha sonra OA düz çizgisinin denklemi y=\frac(r)(h)\,x biçiminde yazılacaktır.

Formül (3)'ü kullanarak şunu elde ederiz:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Örnek 6. Asteroitin x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulalım \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Şek. 48).

Çözüm. Hadi bir asteroit inşa edelim. Asteroitin ordinat eksenine göre simetrik olarak yerleştirilmiş üst kısmının yarısını ele alalım. Formül (3)'ü kullanarak ve belirli integral işareti altındaki değişkeni değiştirerek, yeni t değişkeni için integral sınırlarını buluruz.

Eğer x=a\cos^3t=0 ise t=\frac(\pi)(2) ve eğer x=a\cos^3t=a ise t=0 olur. y^2=a^2\sin^6t olduğunu düşünürsek ve dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, şunu elde ederiz:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a) \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Asteroitin dönmesiyle oluşan tüm vücudun hacmi \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Örnek 7. X ekseni ve sikloidin ilk yayının sınırladığı eğrisel bir yamuğun ordinat ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulalım. \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t))).\end(cases).

Çözüm. Formül (4)'ü kullanalım: V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx ve sikloidin ilk yayının t değişkeni 0'dan 2\pi'ye değiştiğinde oluştuğunu hesaba katarak integral işaretinin altındaki değişkeni değiştirin. Böylece,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\sağ)= 6\pi^3a^3. \end(hizalanmış)

Tarayıcınızda Javascript devre dışı.
Hesaplamaları gerçekleştirmek için ActiveX kontrollerini etkinleştirmelisiniz!

Konu: “Belirli bir integral kullanarak dönel cisimlerin hacimlerini hesaplamak”

Ders türü: birleştirildi.

Dersin amacı:İntegralleri kullanarak dönel cisimlerin hacimlerini hesaplamayı öğrenin.

Görevler:

çeşitli geometrik şekillerden eğrisel yamukları tanımlama yeteneğini pekiştirmek ve eğrisel yamukların alanlarını hesaplama becerisini geliştirmek;

üç boyutlu figür kavramını tanımak;

Dönen cisimlerin hacimlerini hesaplamayı öğrenin;

Mantıksal düşüncenin gelişimini, yetkin matematiksel konuşmayı, çizimleri oluştururken doğruluğu teşvik etmek;

konuya olan ilgiyi geliştirmek, matematiksel kavram ve görsellerle çalışmak, nihai sonuca ulaşmada iradeyi, bağımsızlığı ve azmi geliştirmek.

Ders ilerlemesi

I. Organizasyon anı.

Gruptan selamlar. Ders hedeflerini öğrencilere iletin.

Bugünkü dersimize bir benzetmeyle başlamak istiyorum. “Bir zamanlar her şeyi bilen bilge bir adam yaşarmış. Bir adam bilgenin her şeyi bilmediğini kanıtlamak istedi. Elinde bir kelebeği tutarak sordu: "Söyle bana adaçayı, ellerimde hangi kelebek var: ölü mü, diri mi?" Ve şöyle düşünüyor: “Yaşayan derse onu öldürürüm; ölü derse onu serbest bırakırım.” Bilge düşündükten sonra cevap verdi: "Her şey senin elinde."

Bu nedenle bugün verimli çalışalım, yeni bir bilgi birikimi edinelim ve edinilen beceri ve yetenekleri gelecekteki yaşamda ve pratik faaliyetlerde uygulayalım.

II. Daha önce çalışılan materyalin tekrarı.

Daha önce çalışılan materyalin ana noktalarını hatırlayalım. Bunu yapmak için "Fazla kelimeyi ortadan kaldırın" görevini tamamlayalım.

(Öğrenciler ekstra bir kelime söylerler.)

Sağ "Diferansiyel". Kalan kelimeleri ortak bir kelimeyle adlandırmaya çalışın. (İntegral hesabı.)

İntegral hesabıyla ilgili ana aşamaları ve kavramları hatırlayalım.

Egzersiz yapmak. Boşlukları kurtarın. (Öğrenci dışarı çıkar ve gerekli kelimeleri keçeli kalemle yazar.)

Defterlerde çalışın.

Newton-Leibniz formülü İngiliz fizikçi Isaac Newton (1643-1727) ve Alman filozof Gottfried Leibniz (1646-1716) tarafından türetilmiştir. Ve bu şaşırtıcı değil çünkü matematik doğanın kendisinin konuştuğu dildir.

Bu formülün pratik sorunları çözmek için nasıl kullanıldığını düşünelim.

Örnek 1: Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Çözüm: Koordinat düzleminde fonksiyonların grafiklerini oluşturalım . Şeklin bulunması gereken alanını seçelim.

III. Yeni materyal öğrenme.

Ekrana dikkat edin. İlk resimde ne gösteriliyor? (Şekilde düz bir şekil gösterilmektedir.)

İkinci resimde ne gösteriliyor? Bu rakam düz mü? (Şekilde üç boyutlu bir şekil gösterilmektedir.)

Uzayda, yeryüzünde ve günlük yaşamda sadece düz figürlerle değil, üç boyutlu figürlerle de karşılaşıyoruz, peki bu tür cisimlerin hacimlerini nasıl hesaplayabiliriz? Örneğin: bir gezegenin, kuyruklu yıldızın, göktaşının vb. hacmi.

İnsanlar hem ev inşa ederken hem de bir kaptan diğerine su dökerken hacmi düşünüyorlar. Hacimleri hesaplamaya yönelik kural ve tekniklerin ortaya çıkması gerekiyordu; bunların ne kadar doğru ve haklı olduğu başka bir konudur.

1612 yılı, ünlü gökbilimci Johannes Kepler'in yaşadığı Avusturya'nın Linz kenti sakinleri için özellikle üzüm konusunda oldukça verimli geçti. İnsanlar şarap fıçıları hazırlıyorlardı ve hacimlerini pratik olarak nasıl belirleyeceklerini bilmek istiyorlardı.

Böylece Kepler'in ele alınan çalışmaları, 17. yüzyılın son çeyreğinde doruğa ulaşan bütün bir araştırma akışının başlangıcını işaret ediyordu. I. Newton ve G.V.'nin eserlerinde tasarım. Diferansiyel ve integral hesabının Leibniz'i. O andan itibaren değişkenlerin matematiği, matematiksel bilgi sisteminde öncü bir yer edindi.

Bugün sen ve ben bu tür pratik faaliyetlerle meşgul olacağız, bu nedenle,

Dersimizin konusu: “Belirli bir integral kullanarak dönen cisimlerin hacimlerinin hesaplanması.”

Aşağıdaki görevi tamamlayarak devrim grubunun tanımını öğreneceksiniz.

"Labirent".

Egzersiz yapmak. Kafa karıştırıcı durumdan bir çıkış yolu bulun ve tanımını yazın.

IVHacimlerin hesaplanması.

Belirli bir integral kullanarak belirli bir cismin, özellikle de dönen cismin hacmini hesaplayabilirsiniz.

Bir devrim gövdesi, kavisli bir yamuğun tabanı etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir gövdedir (Şekil 1, 2)

Bir devrim cismin hacmi formüllerden biri kullanılarak hesaplanır:

1. OX ekseni etrafında.

2. , eğer kavisli bir yamuğun dönüşü op-amp'in ekseni etrafında.

Öğrenciler temel formülleri bir deftere yazarlar.

Öğretmen tahtadaki örneklerin çözümlerini açıklar.

1. Çizgilerle sınırlanan eğrisel bir yamuğun ordinat ekseni etrafında döndürülerek elde edilen cismin hacmini bulun: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Çözüm.

Cevap: 1163 cm3.

2. Parabolik bir yamuğun x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun y = , x = 4, y = 0.

Çözüm.

V. Matematik simülatörü.

2. Belirli bir fonksiyonun tüm antiderivatiflerinin kümesine denir

A) belirsiz bir integral,

B) fonksiyon,

B) farklılaşma.

7. Çizgilerle sınırlanan eğrisel bir yamuğun apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun:

D/Z. Yeni malzemenin konsolidasyonu

Taç yaprağının x ekseni etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayın y = x2, y2 = x.

Fonksiyonun grafiklerini oluşturalım. y = x2, y2 = x. y2 = x grafiğini y = formuna dönüştürelim.

Elimizde V = V1 – V2 var. Her fonksiyonun hacmini hesaplayalım:

Çözüm:

Belirli integral, pratik problemlerin çözümüne yeri doldurulamaz bir katkı sağlayan matematik çalışması için kesin bir temeldir.

“İntegral” konusu matematik ile fizik, biyoloji, ekonomi ve teknoloji arasındaki bağlantıyı açıkça göstermektedir.

Modern bilimin gelişimi integral kullanılmadan düşünülemez. Bu bakımdan ortaöğretim uzmanlık eğitimi çerçevesinde çalışmaya başlamak gerekir!

VI. Derecelendirme.(Yorumlu olarak.)

Büyük Ömer Hayyam - matematikçi, şair, filozof. Bizi kendi kaderimizin efendisi olmaya teşvik ediyor. Eserinden bir alıntıyı dinleyelim:

Bu hayat bir an diyorsun.
Onu takdir edin, ondan ilham alın.
Harcadıkça geçecek.
Unutmayın: o sizin eseriniz.

Tanım 3. Dönel cisim, düz bir şeklin, şekille kesişmeyen ve onunla aynı düzlemde yer alan bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cisimdir.

Dönme ekseni, şeklin simetri ekseni ise şekille kesişebilir.

Teorem 2.
, eksen
ve düz bölümler
Ve

bir eksen etrafında döner
. Daha sonra ortaya çıkan dönme gövdesinin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir.

(2)

Kanıt. Böyle bir gövde için apsisli kesit yarıçaplı bir dairedir
, Araç
ve formül (1) gerekli sonucu verir.

Şekil iki sürekli fonksiyonun grafikleriyle sınırlıysa
Ve
ve çizgi bölümleri
Ve
, Ve
Ve
sonra x ekseni etrafında döndürüldüğünde hacmi

Örnek 3. Bir daireyle sınırlanan bir dairenin döndürülmesiyle elde edilen torusun hacmini hesaplayın

apsis ekseni etrafında.

R karar. Belirtilen daire aşağıda fonksiyonun grafiği ile sınırlandırılmıştır.
ve yukarıdan –
. Bu fonksiyonların karelerinin farkı:

Gerekli hacim

(İntegral grafiği üst yarım dairedir, dolayısıyla yukarıda yazılan integral yarım dairenin alanıdır).

Örnek 4. Tabanlı parabolik segment
ve yükseklik , tabanın etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmini hesaplayın (Cavalieri'nin "limon").

R karar. Parabolünü şekilde gösterildiği gibi yerleştirin. Daha sonra denklemi
, Ve
. Parametrenin değerini bulalım :
. Yani gerekli hacim:

Teorem 3. Negatif olmayan sürekli bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanmış eğrisel bir yamuk olsun
, eksen
ve düz bölümler
Ve
, Ve
, bir eksen etrafında döner
. Daha sonra ortaya çıkan devrim gövdesinin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

(3)

Kanıt fikri. Segmenti ayırdık
noktalar

parçalara ayırın ve düz çizgiler çizin
. Yamuğun tamamı, yaklaşık olarak tabanı olan dikdörtgenler olarak kabul edilebilecek şeritlere ayrılacaktır.
ve yükseklik
.

Ortaya çıkan silindiri, böyle bir dikdörtgeni kendi ekseni boyunca döndürerek kesip açıyoruz. Boyutlarla “neredeyse” paralel yüzlü bir elde ediyoruz:
,
Ve
. hacmi
. Yani, bir devrim cismin hacmi için yaklaşık eşitliğe sahip olacağız

Tam eşitliği elde etmek için limite gidilmelidir.
. Yukarıda yazılan toplam, fonksiyonun integral toplamıdır.
bu nedenle limitte formül (3)'ten integrali elde ederiz. Teorem kanıtlandı.

Not 1. Teorem 2 ve 3'teki koşul
ihmal edilebilir: formül (2) genellikle işarete duyarsızdır
ve formül (3)'te yeterlidir
şununla değiştir:
.

Örnek 5. Parabolik segment (taban
, yükseklik ) yükseklik etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmini bulun.

Çözüm. Parabolünü şekildeki gibi yerleştirelim. Ve dönme ekseni şekille kesişse de, bu eksen bir simetri eksenidir. Bu nedenle segmentin yalnızca sağ yarısını dikkate almamız gerekiyor. Parabol denklemi
, Ve
, Araç
. Hacim için elimizde:

Not 2. Eğrisel bir yamuğun eğrisel sınırı parametrik denklemlerle verilirse
,
,
Ve
,
daha sonra değiştirme işlemiyle (2) ve (3) formüllerini kullanabilirsiniz. Açık
Ve
Açık
değiştirirken T itibaren
ile .

Örnek 6. Şekil sikloidin ilk yayı ile sınırlıdır
,
,
ve x ekseni. Bu şeklin aşağıdakiler etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun: 1) eksen
; 2) eksenler
.

Çözüm. 1) Genel formül
Bizim durumumuzda:

2) Genel formül
Figürümüz için:

Öğrencileri tüm hesaplamaları kendileri yapmaya davet ediyoruz.

Not 3. Sürekli bir çizgiyle sınırlanan kavisli bir sektör olsun
ve ışınlar
,

, kutupsal bir eksen etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmi formül kullanılarak hesaplanabilir.

Örnek 7. Bir kardioid ile sınırlandırılmış bir figürün parçası
, çemberin dışında uzanmak
, kutupsal bir eksen etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmini bulun.

Çözüm. Her iki çizgi ve dolayısıyla sınırladıkları şekil kutup eksenine göre simetriktir. Bu nedenle sadece ilgili kısmı dikkate almak gerekir.
. Eğriler kesişiyor
Ve

en
. Ayrıca rakam iki sektörün farkı olarak kabul edilebilir ve dolayısıyla hacim iki integralin farkı olarak hesaplanabilir. Sahibiz:

Görevler Bağımsız bir karar için.

1. Tabanı
, yükseklik , tabanın etrafında döner. Dönen cismin hacmini bulun.

2. Tabanı eşit olan bir devrim paraboloidinin hacmini bulun. ve yüksekliği .

3. Bir asteroit tarafından sınırlanan şekil
,
apsis ekseni etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmini bulun.

4. Çizgilerle sınırlanmış şekil
Ve
x ekseni etrafında döner. Dönen cismin hacmini bulun.