Matematik adı verilen bilimde integralleri çözme sürecine integral denir. Entegrasyonu kullanarak bazı fiziksel büyüklükleri bulabilirsiniz: alan, hacim, cisimlerin kütlesi ve çok daha fazlası.
İntegraller belirsiz veya belirli olabilir. Belirli integralin biçimini ele alalım ve fiziksel anlamını anlamaya çalışalım. Şu biçimde temsil edilir: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Belirli bir integrali belirsiz bir integralden yazmanın ayırt edici özelliği, a ve b integrallerinin limitlerinin olmasıdır. Şimdi bunlara neden ihtiyaç duyulduğunu ve belirli bir integralin gerçekte ne anlama geldiğini öğreneceğiz. Geometrik anlamda böyle bir integral, f(x) eğrisi, a ve b çizgileri ve Ox ekseni tarafından sınırlanan şeklin alanına eşittir.
Şekil 1'den belirli integralin gri renkle gösterilen alanla aynı olduğu açıktır. Bunu basit bir örnekle kontrol edelim. Aşağıdaki resimdeki şeklin alanını integral kullanarak bulalım ve sonra bunu her zamanki gibi uzunlukla genişliği çarparak hesaplayalım.
Şekil 2'den $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $ olduğu açıktır. Şimdi bunları integralin tanımına koyarsak, şunu elde ederiz: $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Kontrolü her zamanki gibi yapalım. Bizim durumumuzda uzunluk = 3, şeklin genişliği = 1. $$ S = \text(uzunluk) \cdot \text(genişlik) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ Yapabildiğiniz gibi bakın her şey mükemmel uyuyor.
Soru ortaya çıkıyor: Belirsiz integraller nasıl çözülür ve anlamları nedir? Bu tür integralleri çözmek, antiderivatif fonksiyonları bulmaktır. Bu süreç türevi bulmanın tersidir. Ters türevi bulmak için, matematik problemlerini çözmede yardımımızı kullanabilir veya integrallerin özelliklerini ve en basit temel fonksiyonların entegrasyon tablosunu bağımsız olarak ezberlemeniz gerekir. Bulgu şuna benzer: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(burada) F(x) $, $ f(x)'in terstürevidir, C = const $.
İntegrali çözmek için $ f(x) $ fonksiyonunun bir değişken üzerinden integralini almanız gerekir. Fonksiyon tablo şeklinde ise cevap uygun biçimde yazılır. Değilse, süreç zorlu matematiksel dönüşümler yoluyla $ f(x) $ fonksiyonundan tablo şeklinde bir fonksiyon elde etmeye gelir. Bunun için daha sonra ele alacağımız çeşitli yöntemler ve özellikler vardır.
Şimdi kuklalar için integralleri çözecek bir algoritma oluşturalım mı?
İntegral hesaplama algoritması
- Belirli integrali bulalım ya da bulamayalım.
- Tanımsızsa, $ f(x) $ integralinin ters türev fonksiyonunu $ F(x) $ bulmanız gerekir. Bunu, $ f(x) $ fonksiyonunun tablosal biçimine yol açan matematiksel dönüşümleri kullanarak bulmanız gerekir.
- Tanımlanmışsa, 2. adımı uygulamanız ve ardından $ a $ ve $ b $ limitlerini $ F(x) $ ters türev fonksiyonuna yerleştirmeniz gerekir. Bunu hangi formülle yapacağınızı “Newton-Leibniz Formülü” yazısında bulacaksınız.
Çözüm örnekleri
Böylece kuklalar için integrallerin nasıl çözüleceğini öğrendiniz, integral çözme örnekleri sıralandı. Fiziksel ve geometrik anlamlarını öğrendik. Çözüm yöntemleri diğer yazılarımızda anlatılacaktır.
Ders kitabındaki tanımlar çok karmaşık ve net değilse makalemizi okuyun. Belirli integraller gibi bir matematik dalının ana noktalarını mümkün olduğunca basit bir şekilde “parmaklarda” açıklamaya çalışacağız. İntegralin nasıl hesaplanacağını bu kılavuzda okuyun.
Geometrik açıdan bakıldığında, bir fonksiyonun integrali, belirli bir fonksiyonun grafiğinin ve entegrasyon sınırları içindeki eksenin oluşturduğu şeklin alanıdır. İntegrali yazın, fonksiyonu integralin altında analiz edin: eğer integral basitleştirilebiliyorsa (integralin işaretiyle çarpılarak, iki basit integrale bölünerek azaltılabilir), yapın. Hangi fonksiyon türevinin integralin altında olduğunu belirlemek için integral tablosunu açın. Cevabı buldunuz mu? İntegrale eklenen faktörü yazın (eğer bu gerçekleştiyse), tablodan bulunan fonksiyonu yazın ve integralin sınırlarını yerine koyun.
Tabii ki burada integrallerin yalnızca en basit versiyonları ele alınıyor - bazıları aslında çok sayıda integral çeşidi var; bunlar üniversitelerde teknik uzmanlık öğrencileri için yüksek matematik, matematiksel analiz ve diferansiyel denklemler dersinde inceleniyor. .
İntegralleri çözmek kolay bir iştir, ancak yalnızca seçilmiş birkaç kişi için. Bu makale integralleri anlamayı öğrenmek isteyen ancak onlar hakkında hiçbir şey bilmeyen veya neredeyse hiçbir şey bilmeyenler içindir. İntegral... Neden gerekli? Nasıl hesaplanır? Belirli ve belirsiz integraller nelerdir?
İntegral için bildiğiniz tek kullanım, ulaşılması zor yerlerden yararlı bir şey elde etmek için integral simgesi şeklinde bir tığ işi kanca kullanmaksa, o zaman hoş geldiniz! En basit ve diğer integralleri nasıl çözeceğinizi ve matematikte neden onsuz yapamayacağınızı öğrenin.
Konsepti inceliyoruz « integral »
Entegrasyon Eski Mısır'da biliniyordu. Elbette modern haliyle değil ama yine de. O zamandan bu yana matematikçiler bu konu üzerine pek çok kitap yazdılar. Özellikle kendilerini öne çıkardılar Newton Ve Leibniz ama şeylerin özü değişmedi.
İntegraller sıfırdan nasıl anlaşılır? Mümkün değil! Bu konuyu anlamak için yine de matematiksel analizin temelleri hakkında temel bilgiye ihtiyacınız olacak. İntegralleri anlamak için gerekli olan limitler ve türevler hakkında zaten bloğumuzda bilgimiz var.
Belirsiz integral
Biraz fonksiyonumuz olsun f(x) .
Belirsiz integral fonksiyonu f(x) bu fonksiyon denir F(x) türevi fonksiyona eşit olan f(x) .
Başka bir deyişle integral ters veya ters türevdir. Bu arada türevlerin nasıl hesaplanacağıyla ilgili yazımızı okuyun.
Tüm sürekli fonksiyonlar için bir antiderivatif mevcuttur. Ayrıca, sabit bir farklılık gösteren fonksiyonların türevleri çakıştığından, antiderivatife sıklıkla sabit bir işaret eklenir. İntegrali bulma sürecine entegrasyon denir.
Basit örnek:
Temel fonksiyonların ters türevlerini sürekli hesaplamamak için bunları bir tabloya koymak ve hazır değerleri kullanmak uygundur.
Öğrenciler için tam integral tablosu
Kesin integral
İntegral kavramıyla uğraşırken sonsuz küçük niceliklerle uğraşıyoruz. İntegral, bir şeklin alanını, düzgün olmayan bir cismin kütlesini, düzensiz hareket sırasında kat edilen mesafeyi ve çok daha fazlasını hesaplamaya yardımcı olacaktır. Bir integralin sonsuz sayıda sonsuz küçük terimin toplamı olduğu unutulmamalıdır.
Örnek olarak, bir fonksiyonun grafiğini hayal edin.
Bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan bir şeklin alanı nasıl bulunur? İntegral kullanma! Fonksiyonun koordinat eksenleri ve grafiği ile sınırlanan eğrisel yamuğu sonsuz küçük parçalara bölelim. Bu şekilde şekil ince sütunlara bölünecektir. Sütunların alanlarının toplamı yamuğun alanı olacaktır. Ancak böyle bir hesaplamanın yaklaşık bir sonuç vereceğini unutmayın. Ancak segmentler ne kadar küçük ve dar olursa hesaplama da o kadar doğru olacaktır. Bunları uzunluğu sıfıra yakın olacak kadar azaltırsak, bölümlerin alanlarının toplamı şeklin alanına yönelecektir. Bu belirli bir integraldir ve şu şekilde yazılır:
a ve b noktalarına integralin sınırları denir.
« İntegral »
Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var. her türlü iş
Aptallar için integral hesaplama kuralları
Belirsiz integralin özellikleri
Belirsiz bir integral nasıl çözülür? Burada örnekleri çözerken işinize yarayacak belirsiz integralin özelliklerine bakacağız.
- İntegralin türevi integrale eşittir:
- Sabit, integral işaretinin altından çıkarılabilir:
- Toplamın integrali, integrallerin toplamına eşittir. Bu aynı zamanda fark için de geçerlidir:
Belirli bir integralin özellikleri
- Doğrusallık:
- İntegral sınırları değiştirilirse integralin işareti değişir:
- Şu tarihte: herhangi puan A, B Ve İle:
Belirli bir integralin bir toplamın limiti olduğunu zaten öğrenmiştik. Ancak bir örneği çözerken belirli bir değer nasıl elde edilir? Bunun için Newton-Leibniz formülü var:
İntegral çözme örnekleri
Aşağıda belirsiz integrali ve çözüm örneklerini ele alacağız. Çözümün inceliklerini kendiniz çözmenizi ve net olmayan bir şey varsa yorumlarda sorular sormanızı öneririz.
Materyali güçlendirmek için integrallerin pratikte nasıl çözüldüğüne dair bir video izleyin. İntegral hemen verilmezse umutsuzluğa kapılmayın. Öğrenciler için profesyonel bir servisle iletişime geçin; kapalı bir yüzey üzerindeki herhangi bir üçlü veya eğri integral sizin gücünüz dahilinde olacaktır.
Bu hesap makinesi belirli bir integrali çevrimiçi çözmenizi sağlar. Aslında, belirli integral hesaplaması bir fonksiyonun grafiğinin altındaki alana eşit olan bir sayıyı bulmaktır. Çözüm için entegrasyonun sınırlarını ve entegre edilecek fonksiyonu belirlemek gerekir. Entegrasyondan sonra sistem, verilen fonksiyon için antiderivatifi bulacak, entegrasyonun sınırlarındaki noktalardaki değerlerini hesaplayacak, aralarındaki farkı bulacak, bu da belirli integralin çözümü olacaktır. Belirsiz integrali çözmek için, web sitemizde bağlantıda bulunan benzer bir çevrimiçi hesap makinesini kullanmanız gerekir - Belirsiz integrali çözün.
İzin veriyoruz belirli integrali çevrimiçi hesaplama hızlı ve güvenilir bir şekilde. Her zaman doğru kararı alacaksınız. Ayrıca tablo halindeki integraller için cevap klasik biçimde sunulacaktır, yani "pi" sayısı, "üs" vb. gibi bilinen sabitlerle ifade edilecektir. Tüm hesaplamalar tamamen ücretsizdir ve kayıt gerektirmez. Belirli bir integrali bizimle çözerek kendinizi zaman alıcı ve karmaşık hesaplamalardan kurtaracak veya integrali kendiniz çözerek elde ettiğiniz çözümü kontrol edebileceksiniz.