Varyasyon serisinin türleri. V

Farklı örnek değerleri çağıralım seçenekler bir dizi değer ve şunu belirtir: X 1 , X 2,…. Öncelikle üreteceğiz değişen seçenekler, yani artan veya azalan düzende dizilişleri. Her seçeneğin kendi ağırlığı belirtilir; Belirli bir seçeneğin toplam nüfusa katkısını karakterize eden bir sayı. Frekanslar veya frekanslar ağırlık görevi görür.

Sıklık n ben seçenek x ben belirli bir seçeneğin söz konusu örnek popülasyonda kaç kez oluştuğunu gösteren bir sayıdır.

Frekans veya bağıl frekans ben seçenek x ben bir değişkenin frekansının tüm değişkenlerin frekanslarının toplamına oranına eşit bir sayıdır. Frekans, örnek popülasyondaki birimlerin ne kadarının belirli bir değişkene sahip olduğunu gösterir.

Artan (veya azalan) sırada yazılan, karşılık gelen ağırlıkları (frekanslar veya frekanslar) ile birlikte bir seçenekler dizisine denir. varyasyon serisi.

Varyasyon serileri ayrık ve aralıklıdır.

Ayrık bir varyasyon serisi için, karakteristiğin nokta değerleri belirtilir, bir aralık serisi için, karakteristik değerler aralıklar şeklinde belirtilir. Varyasyon serileri, her seçenek için hangi değerin (frekans veya frekans) belirtildiğine bağlı olarak frekansların veya göreceli frekansların (frekanslar) dağılımını gösterebilir.

Frekans dağılımının ayrık varyasyon serisişu forma sahiptir:

Frekanslar şu formülle bulunur: i = 1, 2, …, M.

w 1 +w 2 + … + w m = 1.

Örnek 4.1. Belirli bir sayı kümesi için

4, 6, 6, 3, 4, 9, 6, 4, 6, 6

Frekans ve frekans dağılımlarının ayrık değişim serilerini oluşturur.

Çözüm . Nüfusun hacmi eşittir N= 10. Ayrık frekans dağılım serisi şu şekildedir:

Aralık serileri de benzer bir kayıt biçimine sahiptir.

Frekans dağılımının aralık değişim serisişu şekilde yazılır:

Tüm frekansların toplamı, toplam gözlem sayısına eşittir; toplam hacim: N = N 1 +N 2 + … + N M.

Göreli frekansların (frekanslar) dağılımının aralık değişim serisişu forma sahiptir:

Frekans şu formülle bulunur: i = 1, 2, …, M.

Tüm frekansların toplamı bire eşittir: w 1 +w 2 + … + w m = 1.

Aralık serileri pratikte en sık kullanılır. Çok sayıda istatistiksel örnek veri varsa ve değerleri birbirinden keyfi olarak küçük bir miktarda farklılık gösteriyorsa, bu veriler için ayrı bir seri, daha fazla araştırma için oldukça hantal ve sakıncalı olacaktır. Bu durumda veri gruplaması kullanılır; Niteliğin tüm değerlerini içeren aralık birkaç kısmi aralığa bölünür ve her aralığın frekansı hesaplanarak bir aralık serisi elde edilir. Kısmi aralıkların uzunluklarının aynı olacağını varsayarak, bir aralık dizisi oluşturma şemasını daha ayrıntılı olarak yazalım.

2.2 Bir aralık serisinin oluşturulması

Bir aralık serisi oluşturmak için ihtiyacınız olan:

Aralık sayısını belirleyin;

Aralıkların uzunluğunu belirleyin;

Aralıkların eksen üzerindeki konumunu belirleyin.

Belirlemek için aralık sayısı k Sturges'in formülü var, buna göre

Nerede N- tüm agreganın hacmi.

Örneğin, bir özelliğin (varyant) 100 değeri varsa, bir aralık serisi oluşturmak için aralık sayısının aralıklara eşit olması önerilir.

Bununla birlikte, pratikte sıklıkla aralık sayısı, serinin hantal olmaması için bu sayının çok büyük olmaması gerektiği, aynı zamanda bazı dağılım özelliklerini kaybetmemek için de çok küçük olmaması gerektiği dikkate alınarak araştırmacının kendisi tarafından seçilir. .

Aralık uzunluğu H aşağıdaki formülle belirlenir:

Nerede X maksimum ve X min sırasıyla seçeneklerin en büyük ve en küçük değerleridir.

Boyut isminde kapsam sıra.

Aralıkları kendileri oluşturmak için farklı şekillerde ilerlerler. En basit yollardan biri aşağıdaki gibidir. İlk aralığın başlangıcı şu şekilde alınır:
. Daha sonra aralıkların kalan sınırları formülle bulunur. Açıkçası, son aralığın sonu A m+1 koşulu sağlamalıdır

Aralıkların tüm sınırları bulunduktan sonra bu aralıkların frekansları (veya frekansları) belirlenir. Bu sorunu çözmek için tüm seçeneklere göz atın ve belirli bir aralığa giren seçeneklerin sayısını belirleyin. Bir örnek kullanarak bir aralık serisinin tam yapısına bakalım.

Örnek 4.2. Artan sırada kaydedilen aşağıdaki istatistiksel veriler için, aralık sayısı 5'e eşit olan bir aralık serisi oluşturun:

11, 12, 12, 14, 14, 15, 21, 21, 22, 23, 25, 38, 38, 39, 42, 42, 44, 45, 50, 50, 55, 56, 58, 60, 62, 63, 65, 68, 68, 68, 70, 75, 78, 78, 78, 78, 80, 80, 86, 88, 90, 91, 91, 91, 91, 91, 93, 93, 95, 96.

Çözüm. Toplam N=50 değişken değeri.

Aralıkların sayısı problem ifadesinde belirtilir, yani. k=5.

Aralıkların uzunluğu
.

Aralıkların sınırlarını tanımlayalım:

A 1 = 11 − 8,5 = 2,5; A 2 = 2,5 + 17 = 19,5; A 3 = 19,5 + 17 = 36,5;

A 4 = 36,5 + 17 = 53,5; A 5 = 53,5 + 17 = 70,5; A 6 = 70,5 + 17 = 87,5;

A 7 = 87,5 +17 = 104,5.

Aralıkların sıklığını belirlemek için belirli bir aralığa düşen seçeneklerin sayısını sayarız. Örneğin, 2,5'ten 19,5'e kadar olan ilk aralık 11, 12, 12, 14, 14, 15 seçeneklerini içerir. Sayıları 6'dır, dolayısıyla ilk aralığın sıklığı N 1 =6. İlk aralığın frekansı . 19,5'ten 36,5'e kadar olan ikinci aralık, sayısı 5 olan 21, 21, 22, 23, 25 seçeneklerini içerir. Dolayısıyla ikinci aralığın frekansı N 2 =5 ve frekans . Tüm aralıkların frekanslarını ve frekanslarını benzer şekilde bulduktan sonra aşağıdaki aralık serisini elde ederiz.

Frekans dağılımının aralık serisi şu şekildedir:

Frekansların toplamı 6+5+9+11+8+11=50'dir.

Frekans dağılımının aralık serisi şu şekildedir:

Frekansların toplamı 0,12+0,1+0,18+0,22+0,16+0,22=1'dir. ■

Aralık serileri oluşturulurken, ele alınan problemin özel koşullarına bağlı olarak diğer kurallar da uygulanabilir:

1. Aralık varyasyon serileri farklı uzunluktaki kısmi aralıklardan oluşabilir. Eşit olmayan aralık uzunlukları, istatistiksel bir popülasyonun özelliklerinin, karakteristiklerin eşit olmayan bir dağılımıyla vurgulanmasını mümkün kılar. Örneğin, aralıkların sınırları şehirlerde yaşayanların sayısını belirliyorsa, bu problemde eşit olmayan uzunlukta aralıkların kullanılması tavsiye edilir. Açıkçası, küçük şehirler için sakin sayısındaki küçük bir fark önemlidir, ancak büyük şehirler için onlarca veya yüzlerce nüfus farkı önemli değildir. Kısmi aralıkların eşit olmayan uzunluklarına sahip aralık serileri esas olarak genel istatistik teorisinde incelenir ve bunların dikkate alınması bu kılavuzun kapsamı dışındadır.

2. Matematiksel istatistiklerde, bazen ilk aralığın sol sınırının –∞'a ve son aralığın sağ sınırının +∞'a eşit olduğu varsayılan aralık serileri dikkate alınır. Bu, istatistiksel dağılımı teorik dağılıma yaklaştırmak için yapılır.

3. Aralık serileri oluştururken, bazı seçeneklerin değerinin aralığın sınırıyla tam olarak örtüştüğü ortaya çıkabilir. Bu durumda yapılacak en iyi şey aşağıdaki gibidir. Böyle bir tesadüf varsa, söz konusu seçeneğin sıklığı ile aralık serisinin ortasına daha yakın olan aralığa düştüğünü düşünün; eğer bu tür birkaç seçenek varsa, o zaman bunların hepsi aralıklara atanır; Bu seçeneklerin sağında veya tamamı solda atanır.

4. Aralıkların sayısı ve uzunlukları belirlendikten sonra aralıkların düzenlenmesi başka bir şekilde yapılabilir. Seçeneklerin dikkate alınan tüm değerlerinin aritmetik ortalamasını bulun XÇar ve ilk aralığı, bu örnek ortalamanın belirli bir aralığın içinde olacağı şekilde oluşturun. Böylece aralığı elde ederiz XÇar – 0,5 H ile X ortalama + 0,5 H. Daha sonra sola ve sağa aralığın uzunluğunu ekleyerek kalan aralıkları oluştururuz. X dk ve X max sırasıyla ilk ve son aralıklara düşmeyecektir.

5. Çok sayıda aralığa sahip aralık serileri uygun şekilde dikey olarak yazılır, yani. aralıkları ilk satıra değil, ilk sütuna, frekansları (veya frekansları) ikinci sütuna yazın.

Örnek veriler bazı rastgele değişkenlerin değerleri olarak düşünülebilir X. Rastgele bir değişkenin kendi dağılım yasası vardır. Olasılık teorisinden, ayrı bir rastgele değişkenin dağılım yasasının, dağılım yoğunluğu fonksiyonunu kullanarak bir dağılım serisi şeklinde ve sürekli bir dizi için belirtilebileceği bilinmektedir. Ancak hem kesikli hem de sürekli rastgele değişkenler için geçerli olan evrensel bir dağılım yasası vardır. Bu dağıtım yasası bir dağıtım fonksiyonu olarak verilmiştir. F(X) = P(X<X). Örnek veriler için dağıtım fonksiyonunun bir analogunu (ampirik dağıtım fonksiyonu) belirleyebilirsiniz.

İlgili bilgiler.

Belirli bir deney veya gözlemde incelenen parametrenin değere göre sıralanan (artış veya azalış) değerleri kümesine varyasyon serisi denir.

Kan basıncının üst eşiğini elde etmek için on hastanın kan basıncını ölçtüğümüzü varsayalım: sistolik basınç, yani. sadece bir numara.

10 gözlemdeki arteriyel sistolik basınca ilişkin bir dizi gözlemin (istatistiksel toplamın) aşağıdaki forma sahip olduğunu hayal edelim (Tablo 1):

Tablo 1

Bir varyasyon serisinin bileşenlerine varyantlar denir. Seçenekler, incelenen özelliğin sayısal değerini temsil eder.

İstatistiksel bir gözlem kümesinden bir varyasyon serisi oluşturmak, tüm kümenin özelliklerini anlama yolunda yalnızca ilk adımdır. Daha sonra, incelenen kantitatif özelliğin ortalama seviyesini (ortalama kan protein seviyesi, hastaların ortalama ağırlığı, ortalama anestezi başlangıç süresi vb.) belirlemek gerekir.

Ortalama seviye, ortalama adı verilen kriterler kullanılarak ölçülür. Ortalama değer, niteliksel olarak homojen değerlerin genelleştirici bir sayısal özelliğidir ve bir kritere göre tüm istatistiksel popülasyonu bir sayı ile karakterize eder. Ortalama değer, belirli bir gözlem kümesindeki bir karakteristikte ortak olanı ifade eder.

Yaygın olarak kullanılan üç tür ortalama vardır: mod (), medyan () ve aritmetik ortalama ().

Herhangi bir ortalama değeri belirlemek için, bireysel gözlemlerin sonuçlarını bir varyasyon serisi şeklinde kaydederek kullanmak gerekir (Tablo 2).

Moda- Bir dizi gözlemde en sık ortaya çıkan değer. Örneğimizde mod = 120. Eğer varyasyon serisinde tekrar eden değerler yoksa mod yok diyorlar. Birkaç değer aynı sayıda tekrarlanırsa, mod olarak bunlardan en küçüğü alınır.

Medyan- bir dağılımı iki eşit parçaya bölen bir değer; artan veya azalan sırada sıralanan bir dizi gözlemin merkezi veya ortanca değeri. Yani, bir varyasyon serisinde 5 değer varsa, o zaman medyanı varyasyon serisinin üçüncü terimine eşittir; seride çift sayıda terim varsa, o zaman medyan, ikisinin aritmetik ortalamasıdır. merkezi gözlemler, yani bir seride 10 gözlem varsa medyan 5. ve 6. gözlemlerin aritmetik ortalamasına eşittir. Örneğimizde.

Modun ve medyanın önemli bir özelliğine dikkat edelim: değerleri, uç değişkenlerin sayısal değerlerinden etkilenmez.

Aritmetik ortalama formülle hesaplanır:

-'inci gözlemde gözlemlenen değer nerede ve gözlem sayısıdır. Bizim durumumuz için.

Aritmetik ortalamanın üç özelliği vardır:

Ortalama, varyasyon serisinde orta sırayı işgal eder. Kesinlikle simetrik bir sırada.

Ortalama genelleştirici bir değerdir ve bireysel verilerdeki rastgele dalgalanmalar ve farklılıklar ortalamanın arkasında görülmez. Tüm popülasyonun tipik özelliklerini yansıtır.

Tüm seçeneklerin ortalamadan sapmalarının toplamı sıfırdır: . Seçeneğin ortalamadan sapması belirtilir.

Varyasyon serisi, varyantlardan ve bunlara karşılık gelen frekanslardan oluşur. Elde edilen on değerden 120 sayısı 6 defa, 115 - 3 defa, 125 - 1 defa meydana geldi. Sıklık () - toplamdaki bireysel değişkenlerin mutlak sayısı; belirli bir değişkenin bir varyasyon serisinde kaç kez oluştuğunu gösterir.

Varyasyon serileri basit olabilir (frekanslar = 1) veya gruplandırılmış ve 3-5 seçenekli kısaltılmış olabilir. Az sayıda gözlem için basit bir seri kullanılır (), çok sayıda gözlem için gruplandırılmış bir seri kullanılır ().

Varyasyon serisi - karşılaştırılan bir seri (artış veya azalma derecesine göre) seçenekler ve karşılık gelen frekanslar

Seçenekler, bir özelliğin bireysel niceliksel ifadeleridir. Latin harfiyle gösterilir V . “Varyant” kavramının klasik anlayışında, tekrar sayısı dikkate alınmaksızın, bir özelliğin kendine özgü her değerinin bir varyant olarak adlandırıldığı varsayılır.

Örneğin, on hastada ölçülen sistolik kan basıncı göstergelerinin varyasyon serisinde:

110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;

Yalnızca 6 değer mevcuttur:

110, 120, 130, 140, 160, 170.

Frekans, bir seçeneğin kaç kez tekrarlandığını gösteren bir sayıdır. Latin harfiyle gösterilir P . Tüm frekansların toplamı (elbette incelenenlerin sayısına eşittir) şu şekilde gösterilir: N.

seçenek 110 için frekans P = 1 (110 değeri bir hastada oluşur),
seçenek 120 için frekans P = 2 (120 değeri iki hastada ortaya çıkar),
seçenek 130 için frekans P = 3 (130 değeri üç hastada ortaya çıkar),
seçenek 140 için frekans P = 2 (140 değeri iki hastada ortaya çıkar),
seçenek 160 için frekans P = 1 (160 değeri bir hastada oluşur),
seçenek 170 için frekans P = 1 (170 değeri bir hastada oluşur),

Varyasyon serisi türleri:

basit- bu, her seçeneğin yalnızca bir kez gerçekleştiği bir seridir (tüm frekanslar 1'e eşittir);
askıya alınmış- bir veya daha fazla seçeneğin birden fazla kez göründüğü bir seri.

Varyasyon serisi, büyük sayı dizilerini tanımlamak için kullanılır; çoğu tıbbi çalışmanın toplanan verileri başlangıçta bu biçimde sunulur. Varyasyon serisini karakterize etmek için, ortalama değerler, değişkenlik göstergeleri (sözde dağılım) ve örnek verilerin temsil edilebilirliğine ilişkin göstergeler dahil olmak üzere özel göstergeler hesaplanır.

Varyasyon serisi göstergeleri

1) Aritmetik ortalama, incelenen özelliğin boyutunu karakterize eden genel bir göstergedir. Aritmetik ortalama şu şekilde gösterilir: M , en yaygın ortalama türüdür. Aritmetik ortalama, tüm gözlem birimlerinin gösterge değerlerinin toplamının çalışılan tüm konuların sayısına oranı olarak hesaplanır. Aritmetik ortalamayı hesaplama yöntemi, basit ve ağırlıklı varyasyon serileri için farklılık gösterir.

Hesaplama formülü basit aritmetik ortalama:

Hesaplama formülü ağırlıklı aritmetik ortalama:

M = Σ(V * P)/ n

2) Mod, en sık tekrarlanan seçeneğe karşılık gelen, varyasyon serisinin başka bir ortalama değeridir. Veya başka bir deyişle en yüksek frekansa karşılık gelen seçenektir. Olarak gösterilir Ay . Mod yalnızca ağırlıklı seriler için hesaplanır, çünkü basit serilerde seçeneklerin hiçbiri tekrarlanmaz ve tüm frekanslar bire eşittir.

Örneğin, kalp atış hızı değerlerinin varyasyon serisinde:

80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;

mod değeri 86 olup bu seçenek 3 kez geçtiğinden frekansı en yüksektir.

3) Medyan - varyasyon serisini ikiye bölen seçeneğin değeri: her iki tarafında da eşit sayıda seçenek vardır. Medyan, aritmetik ortalama ve mod gibi ortalama değerleri ifade eder. Olarak gösterilir Ben

4) Standart sapma (eş anlamlılar: standart sapma, sigma sapma, sigma) - varyasyon serisinin değişkenliğinin bir ölçüsü. Ortalamadan tüm sapma durumlarını birleştiren ayrılmaz bir göstergedir. Aslında şu soruyu yanıtlıyor: Değişkenler aritmetik ortalamadan ne kadar uzağa ve ne sıklıkta yayılır? Yunan harfiyle gösterilir σ ("sigma").

Popülasyon büyüklüğü 30 birimden fazla ise standart sapma aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Küçük popülasyonlar için (30 gözlem birimi veya daha az) standart sapma farklı bir formül kullanılarak hesaplanır:

Bu bölümde uzmanlaşmanın bir sonucu olarak öğrenci: Bilmek

varyasyon göstergeleri ve ilişkileri;
özelliklerin dağılımının temel yasaları;
rıza kriterlerinin özü; yapabilmek
varyasyon indekslerini ve uyum iyiliği kriterlerini hesaplamak;
dağıtım özelliklerini belirlemek;
istatistiksel dağılım serilerinin temel sayısal özelliklerini değerlendirmek;

sahip olmak

dağılım serilerinin istatistiksel analiz yöntemleri;
varyans analizinin temelleri;
İstatistiksel dağılım serilerinin temel dağıtım yasalarına uygunluğunu kontrol etme teknikleri.

Değişim göstergeleri

Çeşitli istatistiksel popülasyonların özelliklerinin istatistiksel olarak incelenmesinde, popülasyonun bireysel istatistiksel birimlerinin karakteristik özelliklerinin varyasyonunun yanı sıra bu özelliğe göre birimlerin dağılımının doğasını incelemek büyük ilgi görmektedir. Varyasyon - bunlar, incelenen popülasyonun birimleri arasındaki bir özelliğin bireysel değerlerindeki farklılıklardır. Varyasyonun incelenmesi büyük pratik öneme sahiptir. Çeşitliliğin derecesine göre, bir özelliğin varyasyonunun sınırları, belirli bir özellik için popülasyonun homojenliği, ortalamanın tipikliği ve varyasyonu belirleyen faktörlerin ilişkisi değerlendirilebilir. İstatistiksel popülasyonları karakterize etmek ve düzenlemek için varyasyon göstergeleri kullanılır.

İstatistiksel dağılım serisi şeklinde sunulan istatistiksel gözlem materyallerinin özeti ve gruplandırılmasının sonuçları, gruplandırma (değişen) kriterlerine göre gruplar halinde incelenen popülasyon birimlerinin sıralı bir dağılımını temsil eder. Gruplandırma için niteliksel bir özellik esas alınırsa, böyle bir dağılım serisine denir. niteliksel(meslek, cinsiyet, renk vb. göre dağılım). Bir dağılım serisi niceliksel olarak oluşturulmuşsa, böyle bir seriye denir. varyasyonel(boy, kilo, maaş vb. göre dağılım). Bir varyasyon serisi oluşturmak, popülasyon birimlerinin niceliksel dağılımını karakteristik değerlere göre düzenlemek, bu değerlere (frekans) sahip popülasyon birimlerinin sayısını saymak ve sonuçları bir tablo halinde düzenlemek anlamına gelir.

Bir değişkenin frekansı yerine, frekans (göreceli frekans) adı verilen toplam gözlem hacmine oranını kullanmak mümkündür.

İki tür varyasyon serisi vardır: kesikli ve aralıklı. Ayrık seri- Bu, yapısı süreksiz değişikliklere (ayrık özellikler) sahip özelliklere dayanan bir varyasyon serisidir. İkincisi, işletmedeki çalışan sayısını, tarife kategorisini, ailedeki çocuk sayısını vb. içerir. Ayrık bir varyasyon serisi, iki sütundan oluşan bir tabloyu temsil eder. İlk sütun, özelliğin spesifik değerini gösterirken, ikinci sütun, popülasyondaki özelliğin belirli bir değerine sahip birimlerin sayısını gösterir. Bir özelliğin sürekli bir değişimi varsa (belirli sınırlar dahilinde herhangi bir değer alabilen gelir miktarı, hizmet süresi, işletmenin sabit varlıklarının maliyeti vb.), o zaman bu özellik için inşa etmek mümkündür. aralık varyasyon serisi. Bir aralık varyasyon serisi oluştururken tablonun ayrıca iki sütunu vardır. Birincisi, özelliğin “başlangıç - bitiş” aralığındaki değerini (seçenekler), ikincisi ise aralığa dahil edilen birim sayısını (frekans) gösterir. Frekans (tekrarlama sıklığı) - belirli bir özellik değerleri değişkeninin tekrar sayısı. Aralıklar kapalı veya açık olabilir. Kapalı aralıklar her iki tarafta da sınırlıdır; hem alt (“başlangıç”) hem de üst (“bitiş”) sınırına sahiptir. Açık aralıkların bir sınırı vardır: üst veya alt. Seçenekler artan veya azalan sırada düzenlenmişse satırlar çağrılır. sıralanmıştır.

Değişim serileri için iki tür frekans yanıtı seçeneği vardır: birikmiş frekans ve birikmiş frekans. Birikmiş frekans, karakteristik değerinin kaç gözlemin belirli bir değerden daha düşük değerler aldığını gösterir. Birikmiş frekans, belirli bir grup için bir özelliğin frekans değerlerinin önceki grupların tüm frekanslarıyla toplanmasıyla belirlenir. Birikmiş frekans, nitelik değerleri verilen grubun üst sınırını aşmayan gözlem birimlerinin oranını karakterize eder. Böylece, birikmiş frekans, toplamdaki, verilenden daha büyük olmayan bir değere sahip olan seçeneklerin oranını gösterir. Frekans, frekans, mutlak ve bağıl yoğunluklar, birikmiş frekans ve frekans, varyantın büyüklüğünün özellikleridir.

Nüfusun istatistiksel birimlerinin özelliklerindeki farklılıklar ve dağılımın doğası, serinin ortalama seviyesini, ortalama doğrusal sapmayı, standart sapmayı, dağılımı içeren varyasyon serisinin göstergeleri ve özellikleri kullanılarak incelenir. , salınım katsayıları, varyasyon, asimetri, basıklık vb.

Dağıtım merkezini karakterize etmek için ortalama değerler kullanılır. Ortalama, incelenen popülasyonun üyelerinin sahip olduğu bir özelliğin tipik düzeyinin ölçüldüğü genelleştirici bir istatistiksel özelliktir. Bununla birlikte, farklı dağılım modellerine sahip aritmetik ortalamaların çakışması durumları mümkündür, bu nedenle, varyasyon serilerinin istatistiksel özellikleri olarak, yapısal araçlar olarak adlandırılan mod, medyan ve dağılım serisini eşit parçalara bölen nicelikler hesaplanır. (çeyrekler, ondalıklar, yüzdelikler vb.).

Moda - Bu, bir özelliğin dağılım serisinde diğer değerlerinden daha sık ortaya çıkan değeridir. Ayrık seriler için bu, en yüksek frekansa sahip seçenektir. Aralık değişim serilerinde modu belirlemek için öncelikle modal aralık olarak adlandırılan aralığın belirlenmesi gerekir. Eşit aralıklara sahip bir varyasyon serisinde modal aralık, eşit olmayan aralıklara sahip serilerde en yüksek frekansla, ancak en yüksek dağılım yoğunluğuyla belirlenir. Formül daha sonra modu eşit aralıklarla satırlar halinde belirlemek için kullanılır.

burada Mo moda değeridir; xMo - modal aralığın alt sınırı; H- modal aralık genişliği; / Mo - modal aralığın frekansı; / Mo j premodal aralığın frekansıdır; / Mo+1 post-modal aralığın frekansıdır ve bu hesaplama formülünde aralıkları eşit olmayan bir seri için / Mo, / Mo, / Mo frekansları yerine dağılım yoğunlukları kullanılmalıdır. Akıl 0 _| , Akıl 0> UMO+"

Tek bir mod varsa, rastgele değişkenin olasılık dağılımına tek modlu denir; birden fazla mod varsa, iki mod durumunda buna multimodal (polimodal, multimodal) denir - bimodal. Kural olarak çok modluluk, incelenen dağılımın normal dağılım yasasına uymadığını gösterir. Homojen popülasyonlar, kural olarak, tek tepe dağılımlarıyla karakterize edilir. Multivertex ayrıca incelenen popülasyonun heterojenliğini de gösterir. İki veya daha fazla köşenin ortaya çıkması, daha homojen grupların tanımlanması için verilerin yeniden gruplandırılmasını gerekli kılar.

Bir aralık varyasyon serisinde mod, bir histogram kullanılarak grafiksel olarak belirlenebilir. Bunu yapmak için histogramın en yüksek sütununun üst noktalarından iki bitişik sütunun üst noktalarına kadar kesişen iki çizgi çizin. Daha sonra kesiştikleri noktadan apsis eksenine bir dik indirilir. Özelliğin x ekseni üzerindeki dikliğe karşılık gelen değeri moddur. Çoğu durumda, bir popülasyonu karakterize ederken, genelleştirilmiş bir gösterge olarak aritmetik ortalama yerine mod tercih edilir.

Medyan - Bu, özelliğin merkezi değeridir; dağılımın sıralı serisinin merkezi üyesi tarafından sahip olunmaktadır. Kesikli serilerde medyanın değerini bulmak için öncelikle seri numarası belirlenir. Bunun için birim sayısı tek ise tüm frekansların toplamına bir eklenir ve sayı ikiye bölünür. Bir satırda çift sayıda birim varsa, iki ortanca birim olacaktır, dolayısıyla bu durumda ortanca, iki ortanca birimin değerlerinin ortalaması olarak tanımlanır. Dolayısıyla ayrık bir varyasyon serisindeki medyan, seriyi aynı sayıda seçeneği içeren iki parçaya bölen değerdir.

Aralık serilerinde, medyanın seri numarası belirlendikten sonra, biriken frekanslar (frekanslar) kullanılarak orta aralık bulunur ve ardından ortancayı hesaplama formülü kullanılarak ortancanın değeri belirlenir:

burada Me medyan değerdir; x Ben - medyan aralığın alt sınırı; H- medyan aralığın genişliği; - dağıtım serisinin frekanslarının toplamı; /D - medyan öncesi aralığın birikmiş frekansı; /Me - medyan aralığın frekansı.

Medyan, bir kümülasyon kullanılarak grafiksel olarak bulunabilir. Bunu yapmak için, kümülatın birikmiş frekansları (frekansları) ölçeğinde, medyanın sıra numarasına karşılık gelen noktadan, apsis eksenine kümülat ile kesişene kadar paralel bir düz çizgi çizilir. Daha sonra belirtilen çizginin kümülat ile kesiştiği noktadan itibaren apsis eksenine bir dik indirilir. Özniteliğin x ekseni üzerinde çizilen ordinat (dik) değerine karşılık gelen değeri medyandır.

Medyan aşağıdaki özelliklerle karakterize edilir.

1. Her iki tarafında bulunan özellik değerlerine bağlı değildir.
2. Minimalite özelliğine sahiptir; bu, nitelik değerlerinin medyandan mutlak sapmalarının toplamının, nitelik değerlerinin başka herhangi bir değerden sapmasına kıyasla minimum bir değeri temsil ettiği anlamına gelir.
3. İki dağılımı bilinen medyanlarla birleştirirken, yeni dağılımın medyanının değerini önceden tahmin etmek imkansızdır.

Medyanın bu özellikleri, kamu hizmeti noktalarının (okullar, klinikler, benzin istasyonları, su pompaları vb.) yerini tasarlarken yaygın olarak kullanılır. Örneğin şehrin belirli bir bloğuna klinik yapılması planlanıyorsa, bunu blokta bloğun uzunluğunu değil, sakin sayısını yarıya indirecek bir noktaya yerleştirmek daha doğru olacaktır.

Mod, medyan ve aritmetik ortalamanın oranı, özelliğin toplamdaki dağılımının doğasını gösterir ve dağılımın simetrisini değerlendirmemizi sağlar. Eğer x O zaman serinin sağ tarafında bir asimetrisi var. Normal dağılımlı X - Hafıza.

K. Pearson, çeşitli eğri türlerinin hizalanmasına dayanarak, orta derecede asimetrik dağılımlar için aritmetik ortalama, medyan ve mod arasında aşağıdaki yaklaşık ilişkilerin geçerli olduğunu belirledi:

burada Me medyan değerdir; Mo - modanın anlamı; x aritmi - aritmetik ortalamanın değeri.

Varyasyon serisinin yapısını daha ayrıntılı olarak incelemeye ihtiyaç varsa, medyana benzer karakteristik değerleri hesaplayın. Bu tür karakteristik değerler, tüm dağıtım birimlerini eşit sayılara böler; bunlara nicelikler veya gradyanlar denir. Nicelikler çeyreklere, ondalık dilimlere, yüzdelik dilimlere vb. bölünmüştür.

Çeyrekler nüfusu dört eşit parçaya böler. İlk çeyrek, daha önce ilk üç aylık aralığı belirledikten sonra, ilk çeyreği hesaplamak için kullanılan formül kullanılarak medyana benzer şekilde hesaplanır:

burada Qi ilk çeyreğin değeridir; xQ^- birinci çeyrek aralığının alt sınırı; H- ilk çeyrek aralığının genişliği; /, - aralık serisinin frekansları;

Birinci çeyrek aralığından önceki aralıktaki kümülatif frekans; Jq ( - ilk çeyrek aralığının frekansı.

İlk çeyrek, nüfus birimlerinin %25'inin değerinden az, %75'inin ise fazla olduğunu göstermektedir. İkinci çeyrek medyana eşittir, yani. S2 = Ben.

Benzer şekilde, üçüncü çeyrek, ilk önce üçüncü üç aylık aralığı bulduktan sonra hesaplanır:

üçüncü çeyrek aralığının alt sınırı nerede; H- üçüncü çeyrek aralığının genişliği; /, - aralık serisinin frekansları; /X" -önceki aralıkta birikmiş frekans

üçüncü çeyrek aralığı; Jq üçüncü çeyrek aralığının frekansıdır.

Üçüncü çeyrek, nüfus birimlerinin %75'inin değerinden az, %25'inin ise fazla olduğunu göstermektedir.

Üçüncü ve birinci çeyrekler arasındaki fark çeyrekler arası aralıktır:

burada Aq çeyrekler arası aralığın değeridir; S 3 -üçüncü çeyrek değeri; Q, ilk çeyreğin değeridir.

Ondalıklar nüfusu 10 eşit parçaya böler. Ondalık, bir dağılım serisinde popülasyon büyüklüğünün onda birine karşılık gelen bir özelliğin değeridir. Çeyrek dilimlere benzer şekilde, ilk ondalık dilim nüfus birimlerinin %10'unun değerinden az, %90'ının büyük olduğunu gösterirken, dokuzuncu ondalık dilim nüfus birimlerinin %90'ının değerinden az, %10'unun ise değerinden az olduğunu gösterir. daha büyük. Dokuzuncu ve ilk ondalık dilimlerin oranı, yani. Ondalık katsayı, en varlıklı %10 ile en az varlıklı nüfusun %10'unun gelir düzeylerinin oranını ölçmek için gelir farklılaşması çalışmasında yaygın olarak kullanılır. Yüzdelikler sıralanan nüfusu 100 eşit parçaya böler. Yüzdelik dilimlerin hesaplanması, anlamı ve uygulanması ondalık dilimlere benzer.

Çeyrekler, ondalıklar ve diğer yapısal özellikler, kümülatlar kullanılarak medyanla analoji yapılarak grafiksel olarak belirlenebilir.

Değişimin boyutunu ölçmek için aşağıdaki göstergeler kullanılır: varyasyon aralığı, ortalama doğrusal sapma, standart sapma, dağılım. Değişim aralığının büyüklüğü tamamen serinin uç üyelerinin dağılımının rastgeleliğine bağlıdır. Bu gösterge, bir özelliğin değerlerindeki dalgalanmaların büyüklüğünün ne olduğunu bilmenin önemli olduğu durumlarda ilgi çekicidir:

Nerede R- varyasyon aralığının değeri; x max - özelliğin maksimum değeri; x tt -özelliğin minimum değeri.

Değişim aralığı hesaplanırken seri üyelerinin büyük çoğunluğunun değeri dikkate alınmazken, varyasyon seri üyesinin her değeriyle ilişkilendirilir. Bir özelliğin bireysel değerlerinin ortalama değerlerinden sapmalarından elde edilen ortalamalar olan göstergeler bu dezavantaja sahip değildir: ortalama doğrusal sapma ve standart sapma. Ortalamadan bireysel sapmalar ile belirli bir özelliğin değişkenliği arasında doğrudan bir ilişki vardır. Dalgalanma ne kadar güçlü olursa, ortalamadan sapmaların mutlak boyutu da o kadar büyük olur.

Ortalama doğrusal sapma, bireysel seçeneklerin ortalama değerlerinden sapmalarının mutlak değerlerinin aritmetik ortalamasıdır.

Gruplandırılmamış Veriler için Ortalama Doğrusal Sapma

burada /pr ortalama doğrusal sapmanın değeridir; x, - özelliğin değeridir; X - P - Popülasyondaki birim sayısı.

Gruplandırılmış serilerin ortalama doğrusal sapması

nerede / vz - ortalama doğrusal sapmanın değeri; x, özelliğin değeridir; X - incelenen popülasyon için özelliğin ortalama değeri; / - ayrı bir gruptaki nüfus birimlerinin sayısı.

Bu durumda sapma işaretleri göz ardı edilir, aksi takdirde tüm sapmaların toplamı sıfıra eşit olacaktır. Analiz edilen verilerin gruplandırılmasına bağlı olarak ortalama doğrusal sapma, çeşitli formüller kullanılarak hesaplanır: gruplandırılmış ve gruplanmamış veriler için. Konvansiyonu nedeniyle, diğer varyasyon göstergelerinden ayrı olarak ortalama doğrusal sapma, uygulamada nispeten nadiren kullanılır (özellikle, teslimatın tekdüzeliğine ilişkin sözleşmeden doğan yükümlülüklerin yerine getirilmesini karakterize etmek için; dış ticaret cirosunun analizinde, kompozisyon çalışanların sayısı, üretimin ritmi, ürün kalitesi, üretimin teknolojik özelliklerinin dikkate alınması vb.).

Standart sapma, incelenen özelliğin bireysel değerlerinin ortalama olarak popülasyonun ortalama değerinden ne kadar saptığını karakterize eder ve incelenen özelliğin ölçüm birimleriyle ifade edilir. Ana varyasyon ölçümlerinden biri olan standart sapma, homojen bir popülasyondaki bir özelliğin varyasyon sınırlarının değerlendirilmesinde, normal bir dağılım eğrisinin ordinat değerlerinin belirlenmesinde ve ayrıca aşağıdakilerle ilgili hesaplamalarda yaygın olarak kullanılır: numune gözleminin organizasyonu ve numune özelliklerinin doğruluğunun belirlenmesi. Gruplandırılmamış verilerin standart sapması aşağıdaki algoritma kullanılarak hesaplanır: ortalamadan her sapmanın karesi alınır, tüm kareler toplanır, ardından karelerin toplamı serinin terim sayısına bölünür ve karekök elde edilir. bölüm:

burada bir Iip standart sapmanın değeridir; Xj-özellik değeri; X- incelenen popülasyona ilişkin özelliğin ortalama değeri; P - Popülasyondaki birim sayısı.

Gruplandırılmış analiz edilen veriler için, verilerin standart sapması ağırlıklı formül kullanılarak hesaplanır.

Nerede - standart sapma değeri; Xj-özellik değeri; X - incelenen popülasyon için özelliğin ortalama değeri; f x - Belirli bir gruptaki nüfus birimlerinin sayısı.

Her iki durumda da kökün altındaki ifadeye varyans denir. Böylece dağılım, nitelik değerlerinin ortalama değerlerinden sapmalarının ortalama karesi olarak hesaplanır. Ağırlıklandırılmamış (basit) nitelik değerleri için varyans aşağıdaki şekilde belirlenir:

Ağırlıklandırılmış karakteristik değerler için

Varyansı hesaplamak için özel, basitleştirilmiş bir yöntem de vardır: genel olarak

ağırlıklandırılmamış (basit) karakteristik değerler için ağırlıklı karakteristik değerler için
sıfır tabanlı yöntemi kullanarak

burada a 2 dağılım değeridir; x, - özelliğin değeridir; X -özelliğin ortalama değeri, H- grup aralığı değeri, t 1 - ağırlık (A =

Dağılımın istatistiklerde kendine has bir ifadesi vardır ve varyasyonun en önemli göstergelerinden biridir. İncelenen özelliğin ölçüm birimlerinin karesine karşılık gelen birimlerle ölçülür.

Dispersiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir.

1. Sabit bir değerin varyansı sıfırdır.
2. Bir özelliğin tüm değerlerinin aynı A değeri kadar azaltılması, dağılımın değerini değiştirmez. Bu, ortalama sapma karesinin, bir özelliğin verilen değerlerinden değil, bazı sabit sayıdan sapmalarından hesaplanabileceği anlamına gelir.
3. Herhangi bir karakteristik değerin azaltılması k kez varyansı azaltır k 2 kez ve standart sapma k kez, yani özelliğin tüm değerleri sabit bir sayıya bölünebilir (örneğin seri aralığının değerine göre), standart sapma hesaplanabilir ve daha sonra sabit bir sayı ile çarpılabilir.
4. Herhangi bir değerden sapmaların ortalama karesini hesaplarsak Ve aritmetik ortalamadan bir dereceye kadar farklıysa, her zaman aritmetik ortalamadan hesaplanan sapmaların ortalama karesinden daha büyük olacaktır. Sapmaların ortalama karesi, ortalama ile geleneksel olarak alınan bu değer arasındaki farkın karesi kadar çok belirli bir miktarda daha büyük olacaktır.

Alternatif bir özelliğin varyasyonu, popülasyon birimlerinde incelenen özelliğin varlığı veya yokluğundan oluşur. Niceliksel olarak, alternatif bir özelliğin değişimi iki değerle ifade edilir: incelenen özelliğin bir biriminin varlığı bir (1) ile gösterilir ve yokluğu sıfır (0) ile gösterilir. İncelenen özelliğe sahip birimlerin oranı P ile, bu özelliğe sahip olmayan birimlerin oranı ise ile gösterilmektedir. G. Dolayısıyla, alternatif bir özelliğin varyansı, bu özelliğe (P) sahip olan birimlerin oranının, bu özelliğe sahip olmayan birimlerin oranına eşittir. (G). Popülasyondaki en büyük varyasyon, popülasyonun toplam hacminin %50'sini oluşturan popülasyonun bir kısmının bir özelliğe sahip olduğu ve yine %50'ye eşit olan popülasyonun diğer bir kısmının bu özelliğe sahip olmadığı durumlarda elde edilir, ve dağılım maksimum 0,25 değerine ulaşır, t.e. P = 0,5, g= 1 - P = 1 - 0,5 = 0,5 ve o2 = 0,5 0,5 = 0,25. Bu göstergenin alt sınırı sıfır olup, toplamda herhangi bir değişimin olmadığı bir duruma karşılık gelmektedir. Alternatif bir özelliğin varyansının pratik uygulaması, örnek gözlemler yapılırken güven aralıkları oluşturmaktır.

Varyans ve standart sapma ne kadar küçükse, popülasyon o kadar homojen ve ortalama da o kadar tipik olacaktır. İstatistik uygulamalarında sıklıkla çeşitli özelliklerin varyasyonlarını karşılaştırmaya ihtiyaç vardır. Örneğin, işçilerin yaşı ve nitelikleri, hizmet süresi ve ücretler, maliyet ve kâr, hizmet süresi ve işgücü verimliliği vb. değişkenleri karşılaştırmak ilginç olacaktır. Bu tür karşılaştırmalar için, özelliklerin mutlak değişkenliğine ilişkin göstergeler uygun değildir: Yıllar olarak ifade edilen iş deneyimi değişkenliğini, ruble cinsinden ifade edilen ücretlerdeki değişiklikle karşılaştırmak imkansızdır. Bu tür karşılaştırmaları gerçekleştirmek ve aynı özelliğin değişkenliğinin farklı aritmetik ortalamalara sahip çeşitli popülasyonlarda karşılaştırılması için, varyasyon göstergeleri kullanılır - ölçüm değerini gösteren salınım katsayısı, doğrusal varyasyon katsayısı ve varyasyon katsayısı. ortalama etrafında aşırı değerlerin dalgalanmaları.

Salınım katsayısı:

Nerede VR - salınım katsayısı değeri; R- varyasyon aralığının değeri; X -

Doğrusal varyasyon katsayısı".

Nerede Vj... doğrusal varyasyon katsayısının değeri; BEN - ortalama doğrusal sapmanın değeri; X - incelenen popülasyon için özelliğin ortalama değeri.

Değişim katsayısı:

Nerede Va - varyasyon değeri katsayısı; a standart sapmanın değeridir; X - incelenen popülasyon için özelliğin ortalama değeri.

Salınım katsayısı, varyasyon aralığının incelenen özelliğin ortalama değerine olan yüzde oranıdır ve doğrusal varyasyon katsayısı, ortalama doğrusal sapmanın incelenen özelliğin ortalama değerine oranıdır ve şu şekilde ifade edilir: yüzde. Değişim katsayısı, incelenen özelliğin standart sapmasının ortalama değerine oranıdır. Yüzde olarak ifade edilen göreceli bir değer olarak varyasyon katsayısı, çeşitli özelliklerin varyasyon derecesini karşılaştırmak için kullanılır. Varyasyon katsayısı kullanılarak istatistiksel bir popülasyonun homojenliği değerlendirilir. Varyasyon katsayısı %33'ün altındaysa incelenen popülasyon homojendir ve varyasyon zayıftır. Varyasyon katsayısı %33'ün üzerindeyse, incelenen popülasyon heterojendir, varyasyon güçlüdür ve ortalama değer atipiktir ve bu popülasyon için genel bir gösterge olarak kullanılamaz. Ek olarak varyasyon katsayıları, farklı popülasyonlardaki bir özelliğin değişkenliğini karşılaştırmak için kullanılır. Örneğin, iki işletmedeki işçilerin hizmet süresindeki farklılığı değerlendirmek. Katsayı değeri ne kadar yüksek olursa, karakteristikteki değişim de o kadar anlamlı olur.

Hesaplanan çeyreklere dayanarak, aşağıdaki formülü kullanarak üç aylık değişimin göreceli göstergesini hesaplamak da mümkündür.

nerede Q 2 Ve

Çeyrekler arası aralık formülle belirlenir

Aşırı değerlerin kullanılmasıyla ilgili dezavantajları önlemek için varyasyon aralığı yerine çeyreklik sapma kullanılır:

Eşit olmayan aralıklı değişim serileri için dağılım yoğunluğu da hesaplanır. Karşılık gelen frekansın veya frekansın aralığın değerine bölümü olarak tanımlanır. Eşit olmayan aralık serilerinde mutlak ve bağıl dağılım yoğunlukları kullanılır. Mutlak dağılım yoğunluğu, aralığın birim uzunluğu başına frekanstır. Bağıl dağılım yoğunluğu, aralığın birim uzunluğu başına frekanstır.

Yukarıdakilerin tümü, dağıtım kanunu normal dağılım kanunu tarafından iyi tanımlanan veya ona yakın olan dağıtım serileri için doğrudur.

Gruplandırma yöntemi aynı zamanda ölçüm yapmanıza da olanak tanır varyasyon işaretlerin (değişkenlik, dalgalanma). Bir popülasyondaki birim sayısı nispeten küçük olduğunda varyasyon, popülasyonu oluşturan birimlerin sıralanmış sayısına göre ölçülür. Seri denir sıralanmış, birimler karakteristiğin artan (azalan) sırasına göre düzenlenmişse.

Bununla birlikte, karşılaştırmalı bir varyasyon karakteristiğine ihtiyaç duyulduğunda sıralanmış seriler oldukça gösterge niteliğindedir. Ek olarak, birçok durumda, belirli bir seri biçiminde temsil edilmesi pratik olarak zor olan, çok sayıda birimden oluşan istatistiksel popülasyonlarla uğraşmak zorundayız. Bu bağlamda, istatistiksel verilerle ilk genel tanışma için ve özellikle özelliklerdeki çeşitliliğin incelenmesini kolaylaştırmak için, incelenen olgular ve süreçler genellikle gruplar halinde birleştirilir ve gruplandırma sonuçları grup tabloları şeklinde sunulur.

Bir grup tablosunun yalnızca iki sütunu varsa - seçilen özelliğe (seçenekler) ve grup sayısına (frekans veya frekans) göre gruplar, buna denir yakın dağıtım.

Dağıtım aralığı - Karakteristiğin varyantlarını ve sıklıklarını içeren iki sütunlu bir grup tablosunda görüntülenen, tek bir özelliğe dayalı en basit yapısal gruplandırma türü. Çoğu durumda, böyle bir yapısal gruplamayla; Dağıtım serilerinin derlenmesiyle ilk istatistiksel materyalin incelenmesi başlar.

Bir dağılım serisi şeklindeki yapısal gruplama, seçilen grupların sadece frekanslarla değil aynı zamanda diğer istatistiksel göstergelerle de karakterize edilmesi durumunda gerçek bir yapısal gruplamaya dönüştürülebilir. Dağılım serilerinin temel amacı özelliklerin değişimini incelemektir. Dağılım serisi teorisi matematiksel istatistiklerle ayrıntılı olarak geliştirilmiştir.

Dağıtım serisi şu şekilde ayrılmıştır: niteliksel(Nüfusun cinsiyete, uyruğa, medeni duruma vb. göre bölünmesi gibi niteleyici özelliklere göre gruplandırma) ve varyasyonel(niceliksel özelliklere göre gruplandırma).

Varyasyon serisi iki sütun içeren bir grup tablosudur: birimlerin bir niceliksel özelliğe göre gruplandırılması ve her gruptaki birim sayısı. Varyasyon serilerindeki aralıklar genellikle eşit ve kapalı olarak oluşturulur. Varyasyon serisi, Rus nüfusunun kişi başına düşen ortalama parasal gelire göre aşağıdaki gruplandırılmasıdır (Tablo 3.10).

Tablo 3.10

2004-2009 yıllarında Rusya nüfusunun kişi başına düşen ortalama gelire göre dağılımı.

Kişi başına ortalama nakit gelire göre nüfus grupları, rub./ay	Gruptaki nüfus, toplamın yüzdesi





8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
25.000,0'ın üzerinde
Tüm nüfus

Varyasyon serileri ise ayrık ve aralıklı olarak ikiye ayrılır. ayrık varyasyon serileri, dar sınırlar içinde değişen farklı karakteristiklerin varyantlarını birleştirir. Ayrık bir varyasyon serisinin bir örneği, Rus ailelerin sahip oldukları çocuk sayısına göre dağılımıdır.

Aralık Varyasyon serileri, sürekli karakteristiklerin veya geniş bir aralıkta değişen ayrık karakteristiklerin varyantlarını birleştirir. Aralık, Rusya nüfusunun kişi başına düşen ortalama parasal gelirin değerine göre dağılımının varyasyon serisidir.

Ayrık varyasyon serileri pratikte çok sık kullanılmaz. Bu arada, grupların bileşimi, incelenen gruplandırma özelliklerinin gerçekte sahip olduğu belirli değişkenler tarafından belirlendiğinden, bunları derlemek zor değildir.

Aralıklı varyasyon serileri daha yaygındır. Bunları derlerken, grup sayısı ve oluşturulması gereken aralıkların büyüklüğü konusunda zor bir soru ortaya çıkıyor.

Bu sorunu çözmeye yönelik ilkeler, istatistiksel gruplamaların oluşturulmasına yönelik metodoloji bölümünde ortaya konmuştur (bkz. paragraf 3.3).

Varyasyon serileri, çeşitli bilgileri kompakt bir formda daraltmanın veya sıkıştırmanın bir yoludur; bunlardan biri, varyasyonun doğası hakkında oldukça net bir yargıya varabilir ve incelenen sette yer alan fenomenlerin özelliklerindeki farklılıkları inceleyebilir. Ancak varyasyon serilerinin en önemli önemi, varyasyonun özel genelleştirici özelliklerinin bu serilere dayanarak hesaplanmasıdır (bkz. Bölüm 7).