İki değişkenli doğrusal bir denklem, aşağıdaki forma sahip herhangi bir denklemdir: a*x + b*y =с. Burada x ve y iki değişkendir, a,b,c bazı sayılardır.
Aşağıda birkaçı var Doğrusal denklem örnekleri.
1. 10*x + 25*y = 150;
Tek bilinmeyenli denklemler gibi, iki değişkenli (bilinmeyen) doğrusal denklemin de bir çözümü vardır. Örneğin, x=8 ve y=3 ile x-y=5 doğrusal denklemi, doğru özdeşlik 8-3=5'e dönüşür. Bu durumda x=8 ve y=3 sayı çiftinin x-y=5 doğrusal denkleminin bir çözümü olduğu söylenir. Ayrıca x=8 ve y=3 sayı çiftinin x-y=5 doğrusal denklemini karşıladığını da söyleyebilirsiniz.
Doğrusal Bir Denklemin Çözülmesi
Dolayısıyla, a*x + b*y = c doğrusal denkleminin çözümü, bu denklemi sağlayan herhangi bir (x,y) sayı çiftidir, yani x ve y değişkenlerini içeren denklemi doğru bir sayısal eşitliğe dönüştürür. Burada x ve y sayı çiftinin nasıl yazıldığına dikkat edin. Bu giriş daha kısa ve daha kullanışlıdır. Böyle bir kayıtta ilk sıranın x değişkeninin değeri, ikinci sıranın ise y değişkeninin değeri olduğunu hatırlamanız yeterlidir.
Lütfen x=11 ve y=8, x=205 ve y=200 x= 4,5 ve y= -0,5 sayılarının da x-y=5 doğrusal denklemini karşıladığını ve dolayısıyla bu doğrusal denklemin çözümleri olduğunu unutmayın.
İki bilinmeyenli doğrusal denklemi çözme tek değil.İki bilinmeyenli her doğrusal denklemin sonsuz sayıda farklı çözümü vardır. Yani var sonsuz sayıda farklı Doğrusal bir denklemi gerçek kimliğe dönüştüren iki x ve y sayısı.
İki değişkenli birden fazla denklemin çözümleri aynıysa, bu tür denklemlere eşdeğer denklemler denir. İki bilinmeyenli denklemlerin çözümleri yoksa, bunların da eşdeğer kabul edildiğine dikkat edilmelidir.
İki bilinmeyenli doğrusal denklemlerin temel özellikleri
1. Denklemdeki terimlerden herhangi biri bir bölümden diğerine aktarılabilir ancak işaretinin karşı tarafa değiştirilmesi gerekir. Ortaya çıkan denklem orijinaline eşdeğer olacaktır.
2. Denklemin her iki tarafı da sıfır olmayan herhangi bir sayıya bölünebilir. Sonuç olarak orijinaline eşdeğer bir denklem elde ederiz.
Talimatlar
Yerine Koyma Yöntemi Bir değişkeni ifade edin ve onu başka bir denklemde değiştirin. Herhangi bir değişkeni kendi takdirinize bağlı olarak ifade edebilirsiniz. Örneğin, ikinci denklemden y'yi ifade edin:
x-y=2 => y=x-2Sonra her şeyi ilk denklemde yerine koyun:
2x+(x-2)=10 “x” olmayan her şeyi sağ tarafa taşıyın ve hesaplayın:
2x+x=10+2
3x=12 Daha sonra x'i elde etmek için denklemin her iki tarafını da 3'e bölün:
x=4 Yani “x”i buldunuz. "Y"yi bulun. Bunu yapmak için, "y"yi ifade ettiğiniz denklemde "x"i değiştirin:
y=x-2=4-2=2
y=2.
Bir kontrol yapın. Bunu yapmak için ortaya çıkan değerleri denklemlerde değiştirin:
2*4+2=10
4-2=2
Bilinmeyenler doğru şekilde bulundu!
Denklemleri toplamanın veya çıkarmanın bir yolu Herhangi bir değişkenden hemen kurtulun. Bizim durumumuzda bunu “y” ile yapmak daha kolaydır.
"Y"de "+" işareti ve ikincisinde "-" olduğundan, toplama işlemini gerçekleştirebilirsiniz, yani. Sol tarafı solla ve sağ tarafı sağla katlayın:
2x+y+(x-y)=10+2Dönüştür:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4“x”i herhangi bir denklemde yerine koyun ve “y”yi bulun:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=21. yöntemle doğru bulunduklarını görebilirsiniz.
Açıkça tanımlanmış değişkenler yoksa denklemleri biraz dönüştürmek gerekir.
İlk denklemde "2x", ikincisinde ise sadece "x" var. Toplama sırasında x'in azalması için ikinci denklemi 2 ile çarpın:
x-y=2
2x-2y=4Daha sonra ikinciyi birinci denklemden çıkarın:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Parantezden önce bir eksi varsa, açtıktan sonra bunu tersiyle değiştirin:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
herhangi bir denklemden ifade ederek y=2x'i bulun;
x=4
Konuyla ilgili video
İpucu 2: İki değişkenli bir doğrusal denklem nasıl çözülür?
Denklem ax+bу+c=0 genel formuyla yazılan denkleme iki denklemli doğrusal denklem denir. değişkenler. Böyle bir denklemin kendisi sonsuz sayıda çözüm içerir, bu nedenle problemlerde her zaman bir şeyle desteklenir - başka bir denklem veya sınırlayıcı koşullar. Problemin sağladığı koşullara bağlı olarak iki denklemli bir doğrusal denklemi çözün. değişkenler farklı şekillerde takip eder.
İhtiyacın olacak
- - iki değişkenli doğrusal denklem;
- - ikinci denklem veya ek koşullar.
Talimatlar
İki doğrusal denklemden oluşan bir sistem verildiğinde, bunu aşağıdaki şekilde çözün. Katsayıların olduğu denklemlerden birini seçin değişkenler daha küçüktür ve değişkenlerden birini ifade eder, örneğin x. Daha sonra y'yi içeren bu değeri ikinci denklemde yerine koyun. Ortaya çıkan denklemde yalnızca bir y değişkeni olacak, y olan tüm parçaları sola, serbest olanları sağa taşıyın. Y'yi bulun ve x'i bulmak için orijinal denklemlerden herhangi birinin yerine koyun.
İki denklemli bir sistemi çözmenin başka bir yolu var. Denklemlerden birini bir sayıyla çarpın, böylece x gibi değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olur. Daha sonra denklemlerden birini diğerinden çıkarın (eğer sağ taraf 0 değilse aynı şekilde sağ tarafları da çıkarmayı unutmayın). X değişkeninin ortadan kaybolduğunu ve yalnızca bir y değişkeninin kaldığını göreceksiniz. Ortaya çıkan denklemi çözün ve y'nin bulunan değerini orijinal eşitliklerden herhangi birinin yerine koyun. x'i bulun.
İki doğrusal denklemden oluşan bir sistemi çözmenin üçüncü yolu grafikseldir. Bir koordinat sistemi çiziniz ve denklemleri sisteminizde verilen iki doğrunun grafiğini çiziniz. Bunu yapmak için, herhangi iki x değerini denklemde değiştirin ve karşılık gelen y'yi bulun - bunlar, çizgiye ait noktaların koordinatları olacaktır. Koordinat eksenleriyle kesişimi bulmanın en uygun yolu, x=0 ve y=0 değerlerini değiştirmektir. Bu iki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları görevler olacaktır.
Sorun koşullarında yalnızca bir doğrusal denklem varsa, o zaman size çözüm bulabileceğiniz ek koşullar verilmiştir. Bu koşulları bulmak için sorunu dikkatlice okuyun. Eğer değişkenler x ve y mesafeyi, hızı ve ağırlığı belirtir; x≥0 ve y≥0 sınırını ayarlamaktan çekinmeyin. X veya y'nin elma sayısını vb. gizlemesi oldukça mümkündür. – o zaman değerler yalnızca olabilir. Eğer x oğlunun yaşı ise babasından büyük olamayacağı açıktır, dolayısıyla bunu problemin koşullarında belirtin.
Kaynaklar:
- tek değişkenli denklem nasıl çözülür
Kendi başına denklemüç ile bilinmiyor birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak kararın gidişatı büyük ölçüde bağlı olacaktır.
İhtiyacın olacak
- - üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem.
Talimatlar
Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeye çalışın ve bunları yerine koyun. denklemüç ile bilinmiyor. Bu durumda amacınız durumu normale çevirmek denklem bilinmeyen bir kişiyle. Eğer öyleyse, sonraki çözüm oldukça basittir; bulunan değeri diğer denklemlerde yerine koyun ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.
Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğerine çıkarılabilir. İki bilinmeyenin aynı anda iptal edilmesi için bir değişkeni veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın. Böyle bir fırsat varsa, bundan yararlanın; büyük olasılıkla sonraki çözüm zor olmayacaktır. Bir sayıyla çarparken hem sol hem de sağ tarafı çarpmanız gerektiğini unutmayın. Aynı şekilde denklemlerde çıkarma işlemi yaparken sağ tarafın da çıkarılması gerektiğini unutmamalısınız.
Önceki yöntemler yardımcı olmadıysa, herhangi bir denklemi üç ile çözmenin genel yöntemini kullanın. bilinmiyor. Bunu yapmak için denklemleri a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x için bir katsayılar matrisi (A), bilinmeyenler matrisi (X) ve serbest olanlardan oluşan bir matris (B) oluşturun. Katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarptığınızda serbest terimler matrisi elde edeceğinizi, yani A*X=B'yi elde edeceğinizi lütfen unutmayın.
A matrisinin (-1) üssünü ilk önce bularak bulun, sıfıra eşit olmaması gerektiğine dikkat edin. Bundan sonra, ortaya çıkan matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini alacaksınız.
Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için sistem matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Daha sonra karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç determinant daha bulun: ∆1, ∆2 ve ∆3. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Kaynaklar:
- üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri
Bir denklem sistemini çözmek zorlu ve heyecan vericidir. Sistem ne kadar karmaşıksa onu çözmek de o kadar ilginç olur. Ortaokul matematiğinde çoğunlukla iki bilinmeyenli denklem sistemleri vardır, ancak yüksek matematikte daha fazla değişken olabilir. Sistemler çeşitli yöntemler kullanılarak çözülebilir.
Talimatlar
Bir denklem sistemini çözmenin en yaygın yöntemi ikamedir. Bunu yapmak için bir değişkeni diğerine göre ifade etmeniz ve onu ikincinin yerine koymanız gerekir. denklem sistemler, dolayısıyla lider denklem bir değişkene. Örneğin şu denklemler verilmiştir: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
İkinci ifadeden, değişkenlerden birini ifade etmek, diğer her şeyi ifadenin sağ tarafına taşımak, katsayının işaretini değiştirmeyi unutmamak uygundur: x = 3-y.
Parantezleri açın: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Ortaya çıkan y değerini şu ifadeye koyarız: x=3-y;x=3-1;x=2. .
İlk ifadede tüm terimler 2'dir, çarpma işleminin dağılma özelliğine 2'yi parantez dışına alabilirsiniz: 2*(2x-y-3)=0. Artık ifadenin her iki kısmı da bu sayı kadar azaltılabilir ve modül katsayısı bire eşit olduğundan y olarak ifade edilebilir: -y = 3-2x veya y = 2x-3.
İlk durumda olduğu gibi, bu ifadeyi ikinci durumda değiştiriyoruz. denklem ve şunu elde ederiz: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Ortaya çıkan değeri ifadede değiştirin: y=2x -3;y=4-3=1.
Y'nin katsayısının değer olarak aynı, işaret olarak farklı olduğunu görüyoruz, dolayısıyla bu denklemleri toplarsak y'den tamamen kurtulacağız: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2. Sistemin iki denkleminden herhangi birinde x değerini yerine koyarsak y=1 elde ederiz.
Konuyla ilgili video
Biquadratic denklem temsil etmek denklem dördüncü derece, genel formu ax^4 + bx^2 + c = 0 ifadesiyle temsil edilir. Çözümü, bilinmeyenlerin ikamesi yönteminin kullanımına dayanmaktadır. Bu durumda x^2'nin yerini başka bir değişken alır. Böylece sonuç sıradan bir karedir denklemçözülmesi gereken bir konu.
Talimatlar
İkinci dereceden denklemi çöz denklem değiştirilmesinden kaynaklanmaktadır. Bunu yapmak için önce değeri şu formüle göre hesaplayın: D = b^2? 4ac. Bu durumda a, b, c değişkenleri denklemimizin katsayılarıdır.
Biquadratic denklemin köklerini bulun. Bunu yapmak için elde edilen çözümlerin karekökünü alın. Bir çözüm varsa, o zaman iki tane olacaktır - karekökün pozitif ve negatif değeri. Eğer iki çözüm varsa, iki ikinci dereceden denklemin dört kökü olacaktır.
Konuyla ilgili video
Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin klasik yöntemlerinden biri Gauss yöntemidir. Basit dönüşümler kullanan bir denklem sistemi, son değişkenlerden başlayarak tüm değişkenlerin sırayla bulunduğu adım adım bir sisteme dönüştürüldüğünde, değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasından oluşur.
Talimatlar
İlk olarak denklem sistemini tüm bilinmeyenlerin kesin olarak tanımlanmış bir düzende olacağı bir forma getirin. Örneğin, tüm bilinmeyen X'ler her satırda ilk önce görünecek, tüm Y'ler X'lerden sonra gelecek, tüm Z'ler Y'lerden sonra gelecek, vb. Her denklemin sağ tarafında bilinmeyen olmamalıdır. Her bilinmeyenin önündeki katsayıları ve her denklemin sağ tarafındaki katsayıları zihinsel olarak belirleyin.
Eşitlik f(x; y) = 0 iki değişkenli bir denklemi temsil eder. Böyle bir denklemin çözümü, iki değişkenli denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren bir çift değişken değerdir.
Eğer iki değişkenli bir denklemimiz varsa o zaman gelenek gereği x'i birinci sıraya, y'yi ikinci sıraya koymalıyız.
x – 3y = 10 denklemini düşünün. (10; 0), (16; 2), (-2; -4) çiftleri söz konusu denklemin çözümleridir, (1; 5) çifti ise bir çözüm değildir.
Bu denklemin diğer çözüm çiftlerini bulmak için bir değişkeni diğerine göre ifade etmek gerekir; örneğin x'i y cinsinden ifade etmek gerekir. Sonuç olarak denklemi elde ederiz
x = 10 + 3y. Y'nin keyfi değerlerini seçerek x'in değerlerini hesaplayalım.
Eğer y = 7 ise x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.
Eğer y = -2 ise x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.
Dolayısıyla (31; 7), (4; -2) çiftleri de verilen denklemin çözümleridir.
İki değişkenli denklemlerin kökleri aynıysa bu tür denklemlere eşdeğer denir.
İki değişkenli denklemler için denklemlerin eşdeğer dönüşümlerine ilişkin teoremler geçerlidir.
İki değişkenli bir denklemin grafiğini düşünün.
İki değişkeni f(x; y) = 0 olan bir denklem verilsin. Bu denklemin tüm çözümleri, düzlem üzerinde belirli bir nokta kümesi elde edilerek koordinat düzlemindeki noktalarla temsil edilebilir. Düzlemdeki bu noktalar kümesine f(x; y) = 0 denkleminin grafiği denir.
Dolayısıyla y – x 2 = 0 denkleminin grafiği y = x 2 parabolüdür; y – x = 0 denkleminin grafiği düz bir çizgidir; y – 3 = 0 denkleminin grafiği x eksenine paralel bir düz çizgidir vb.
x ve y'nin değişken ve a, b ve c'nin sayı olduğu ax + by = c biçimindeki bir denkleme doğrusal denir; a, b sayılarına değişkenlerin katsayıları denir, c ise serbest terimdir.
Doğrusal denklem ax + by = c'nin grafiği:
2x – 3y = -6 denklemini çizelim.
1. Çünkü Değişkenlerin katsayılarından hiçbiri sıfıra eşit değilse bu denklemin grafiği düz bir çizgi olacaktır.
2. Bir doğru çizebilmek için onun en az iki noktasını bilmemiz gerekir. X değerlerini denklemlerde yerine koyun ve y değerlerini alın ve bunun tersi de geçerlidir:
eğer x = 0 ise y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);
y = 0 ise x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6). 
Böylece grafikte iki noktamız var: (0; 2) ve (-3; 0).
3. Elde edilen noktalardan düz bir çizgi çizelim ve denklemin grafiğini elde edelim.
2x – 3y = -6.
Eğer ax + by = c doğrusal denklemi 0 ∙ x + 0 ∙ y = c formuna sahipse, o zaman iki durumu dikkate almamız gerekir:
1. c = 0. Bu durumda herhangi bir (x; y) çifti denklemi karşılar ve dolayısıyla koordinat düzleminin tamamı denklemin grafiğidir;
2. c ≠ 0. Bu durumda denklemin çözümü yoktur, yani grafiği tek bir nokta içermez.
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Ders:Doğrusal fonksiyon
Ders:İki değişkenli doğrusal denklem ve grafiği
Koordinat ekseni ve koordinat düzlemi kavramlarına aşina olduk. Düzlemdeki her noktanın benzersiz bir şekilde bir (x; y) sayı çiftini tanımladığını biliyoruz; ilk sayı noktanın apsisi, ikincisi ise ordinattır.
Çözümü koordinat düzleminde temsil edilebilen bir sayı çifti olan, iki değişkenli bir doğrusal denklemle çok sık karşılaşacağız.
Formun denklemi:
a, b, c sayılardır ve 
Buna iki değişken x ve y olan doğrusal denklem denir. Böyle bir denklemin çözümü herhangi bir x ve y sayı çifti olacaktır; bunları denklemde yerine koyarsak doğru sayısal eşitliği elde ederiz.
Koordinat düzleminde bir nokta olarak bir çift sayı gösterilecektir.
Bu tür denklemler için birçok çözüm, yani birçok sayı çifti göreceğiz ve bunlara karşılık gelen tüm noktalar aynı düz çizgi üzerinde yer alacak.
Bir örneğe bakalım:
Bu denklemin çözümlerini bulmak için karşılık gelen x ve y sayı çiftlerini seçmeniz gerekir:
Let , o zaman orijinal denklem bir bilinmeyenli bir denkleme dönüşüyor:
,
Yani, belirli bir denklemin (0; 3) çözümü olan ilk sayı çifti. A(0;3) noktasını elde ettik
İzin vermek . Orijinal denklemi tek değişkenle elde ederiz: 
buradan B(3; 0) noktasını elde ederiz
Sayı çiftlerini tabloya koyalım:
Grafikteki noktaları işaretleyelim ve düz bir çizgi çizelim: 
Belirli bir doğru üzerindeki herhangi bir noktanın verilen denklemin çözümü olacağını unutmayın. Hadi kontrol edelim; koordinatı olan bir nokta alalım ve ikinci koordinatını bulmak için grafiği kullanalım. Bu noktada şu açıkça görülüyor. Bu sayı çiftini denklemde yerine koyalım. 0=0 elde ederiz - doğru bir sayısal eşitlik, bu da bir doğru üzerinde bulunan noktanın bir çözüm olduğu anlamına gelir.
Şimdilik, çizilen doğru üzerinde bulunan herhangi bir noktanın denklemin çözümü olduğunu kanıtlayamayız, bu nedenle bunu doğru olarak kabul ediyoruz ve daha sonra kanıtlayacağız.
Örnek 2 - denklemin grafiğini çizin:
Bir tablo yapalım; düz bir çizgi oluşturmak için yalnızca iki noktaya ihtiyacımız var, ancak kontrol için üçüncüyü alacağız:
İlk sütunda uygun olanı aldık, onu şuradan bulacağız:
, ,
İkinci sütunda uygun olanı aldık, x'i bulalım:
, , ,
Kontrol edip bulalım:
, ,
Bir grafik oluşturalım:
Verilen denklemi ikiyle çarpalım:
Böyle bir dönüşümden sonra çözüm kümesi değişmeyecek ve grafik aynı kalacaktır.
Sonuç: İki değişkenli denklemleri çözmeyi ve grafiklerini oluşturmayı öğrendik, böyle bir denklemin grafiğinin düz bir çizgi olduğunu ve bu doğru üzerindeki herhangi bir noktanın denklemin çözümü olduğunu öğrendik
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir 7. 6. baskı. M.: Aydınlanma. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebir 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ve diğerleri Cebir 7.M.: Aydınlanma. 2006
2. Aile görüntüleme portalı ().
Görev 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebir 7, Sayı 960, Madde 210;
Görev 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebir 7, Sayı 961, Madde 210;
Görev 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebir 7, Sayı 962, Madde 210;
§ 1 Gerçek durumlarda denklem köklerinin seçimi
Bu gerçek durumu ele alalım:
Usta ve çırak birlikte 400 özel parça yaptı. Üstelik usta 3 gün, öğrenci ise 2 gün çalıştı. Her kişi kaç parça yaptı?
Bu durumun cebirsel bir modelini oluşturalım. Usta 1 günde parça üretsin. Ve öğrenci ayrıntılardadır. Daha sonra usta 3 parçayı 3 günde, öğrenci ise 2 parçayı 2 günde yapacak. Birlikte 3+2 parça üretecekler. Koşula göre toplam 400 parça üretildiği için denklemi elde ederiz:
Ortaya çıkan denklem iki değişkenli doğrusal denklem olarak adlandırılır. Burada denklemin gerçek sayısal eşitlik biçimini alacağı bir x ve y sayısı çifti bulmamız gerekiyor. Eğer x = 90, y = 65 ise eşitliği elde ettiğimizi unutmayın:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Doğru sayısal eşitlik elde edildiğine göre 90 ve 65 sayı çifti bu denklemin çözümü olacaktır. Ancak bulunan çözüm tek çözüm değil. Eğer x = 96 ve y = 56 ise eşitliği elde ederiz:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Bu aynı zamanda gerçek bir sayısal eşitliktir, yani 96 ve 56 sayı çifti de bu denklemin bir çözümüdür. Ancak x = 73 ve y = 23 sayı çifti bu denklemin çözümü olmayacaktır. Aslında 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 bize hatalı sayısal eşitlik olan 265 = 400'ü verecektir. Denklemi bu gerçek durumla ilişkili olarak ele alırsak, o zaman sayı çiftlerinin olacağını belirtmek gerekir ki, Bu denklemin çözümü, problemin çözümü olmayacaktır. Örneğin birkaç sayı:
x = 200 ve y = -100
denklemin çözümüdür ancak öğrenci -100 parça yapamaz ve dolayısıyla böyle bir sayı çifti problemin sorusunun cevabı olamaz. Bu nedenle, her spesifik gerçek durumda, denklemin köklerinin seçiminde makul bir yaklaşım benimsemek gerekir.
İlk sonuçları özetleyelim:
a, b, c'nin herhangi bir sayı olduğu ax + bу + c = 0 formundaki bir denkleme iki değişkenli doğrusal denklem denir.
İki değişkenli bir doğrusal denklemin çözümü, denklemin gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştüğü x ve y'ye karşılık gelen bir sayı çiftidir.
§ 2 Doğrusal bir denklemin grafiği
(x;y) çiftinin kaydedilmesi bizi, onu bir düzlem üzerinde xy y koordinatlarına sahip bir nokta olarak tasvir etme olasılığını düşünmeye sevk eder. Bu, belirli bir durumun geometrik modelini elde edebileceğimiz anlamına gelir. Örneğin şu denklemi düşünün:
2x + y - 4 = 0
Bu denklemin çözümü olacak birkaç sayı çiftini seçelim ve bulunan koordinatlarla noktalar oluşturalım. Bunlar noktalar olsun:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).
Tüm noktaların aynı doğru üzerinde olduğuna dikkat edin. Bu doğruya iki değişkenli bir doğrusal denklemin grafiği denir. Belirli bir denklemin grafiksel (veya geometrik) modelidir.
Eğer bir (x;y) sayı çifti denklemin çözümü ise
ax + vy + c = 0 ise M(x;y) noktası denklemin grafiğine aittir. Bunun tersini de söyleyebiliriz: M(x;y) noktası ax + y + c = 0 denkleminin grafiğine aitse, o zaman (x;y) sayı çifti bu denklemin bir çözümüdür.
Geometri dersinden biliyoruz:
Düz bir çizgi çizmek için 2 noktaya ihtiyacınız vardır, bu nedenle iki değişkenli bir doğrusal denklemin grafiğini çizmek için yalnızca 2 çift çözüm bilmek yeterlidir. Ancak kökleri tahmin etmek her zaman uygun veya rasyonel bir prosedür değildir. Başka bir kurala göre hareket edebilirsiniz. Bir noktanın apsisi (değişken x) bağımsız bir değişken olduğundan, ona herhangi bir uygun değer verebilirsiniz. Bu sayıyı denklemde yerine koyarak y değişkeninin değerini buluruz.
Örneğin denklem verilsin:
X = 0 olsun, o zaman 0 - y + 1 = 0 veya y = 1 elde ederiz. Bu, x = 0 ise y = 1 anlamına gelir. Bir sayı çifti (0;1) bu denklemin çözümüdür. X değişkenine başka bir değer ayarlayalım: x = 2. Sonra 2 - y + 1 = 0 veya y = 3 elde ederiz. (2;3) sayı çifti de bu denklemin bir çözümüdür. Bulunan iki noktayı kullanarak x - y + 1 = 0 denkleminin bir grafiğini oluşturmak zaten mümkündür.
Bunu yapabilirsiniz: önce y değişkenine belirli bir değer atayın ve ancak bundan sonra x'in değerini hesaplayın.
§ 3 Denklem sistemi
Toplamları 11 ve farkı 1 olan iki doğal sayıyı bulun.
Bu sorunu çözmek için öncelikle bir matematiksel model (yani cebirsel bir model) oluşturuyoruz. Birinci sayıya x, ikinci sayıya y diyelim. Daha sonra x + y sayılarının toplamı = 11 ve x - y sayılarının farkı = 1 olur. Her iki denklem de aynı sayıları ele aldığından bu koşulların aynı anda sağlanması gerekir. Genellikle bu gibi durumlarda özel bir kayıt kullanılır. Denklemler alt alta yazılır ve küme paranteziyle birleştirilir.
Böyle bir kayda denklem sistemi denir.
Şimdi her denklemin çözüm kümelerini oluşturalım; denklemlerin her birinin grafikleri. İlk denklemi ele alalım:
Eğer x = 4 ise y = 7. Eğer x = 9 ise y = 2 olur.
(4;7) ve (9;2) noktalarından geçen düz bir çizgi çizelim.
İkinci denklemi ele alalım x - y = 1. Eğer x = 5 ise y = 4. Eğer x = 7 ise y = 6. Ayrıca (5;4) ve (7;6) noktalarından geçen düz bir çizgi çiziyoruz. ). Problemin geometrik modelini elde ettik. İlgilendiğimiz sayı çifti (x;y) her iki denklemin de çözümü olmalıdır. Şekilde her iki doğrunun üzerinde bulunan tek bir nokta görüyoruz; bu, doğruların kesişme noktasıdır.
Koordinatları (6;5)'tir. Bu nedenle sorunun çözümü şu şekilde olacaktır: İlk gereken sayı 6, ikincisi 5'tir.
Kullanılan literatürün listesi:
- Mordkovich A.G., Cebir 7. sınıf 2 bölüm halinde, Bölüm 1, Genel eğitim kurumları için ders kitabı / A.G. Mordkoviç. – 10. baskı, gözden geçirilmiş – Moskova, “Mnemosyne”, 2007
- Mordkovich A.G., Cebir 7. sınıf 2 bölüm halinde, Bölüm 2, Eğitim kurumları için problem kitabı / [A.G. Mordkovich ve diğerleri]; A.G. tarafından düzenlendi. Mordkovich - 10. baskı, revize edilmiş - Moskova, “Mnemosyne”, 2007
- O. Tulchinskaya, Cebir 7. sınıf. Blitz araştırması: genel eğitim kurumlarının öğrencileri için bir kılavuz, 4. baskı, gözden geçirilmiş ve genişletilmiş, Moskova, Mnemosyne, 2008
- Alexandrova L.A., Cebir 7. sınıf. A.G. tarafından düzenlenen, genel eğitim kurumlarının öğrencileri için yeni bir formda tematik test kağıtları. Mordkovich, Moskova, “Mnemosyne”, 2011
- Alexandrova L.A. Cebir 7. sınıf. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için bağımsız çalışmalar, A.G. Mordkovich - 6. baskı, basmakalıp, Moskova, “Mnemosyne”, 2010