Dolayısıyla, 1637'de parlak Fransız matematikçi Pierre Fermat tarafından formüle edilen Fermat'ın Son Teoremi (genellikle Fermat'ın son teoremi olarak anılır), doğası gereği çok basittir ve orta öğretimi olan herkes için anlaşılabilir. a üzeri n + b üzeri n = c üzeri n formülünün n > 2 için doğal (yani kesirli olmayan) çözümleri olmadığını söylüyor. Her şey basit ve açık görünüyor, ancak en iyi matematikçiler ve sıradan amatörler üç buçuk asırdan fazla bir süre boyunca bir çözüm aramakla uğraştılar.
Neden bu kadar ünlü? Şimdi öğreneceğiz...
Kanıtlanmış, kanıtlanmamış ve henüz kanıtlanmamış çok sayıda teorem var mı? Buradaki önemli nokta, Fermat'ın Son Teoreminin, formülasyonun basitliği ile kanıtın karmaşıklığı arasındaki en büyük zıtlığı temsil etmesidir. Fermat'ın Son Teoremi inanılmaz derecede zor bir problemdir ve formülasyonu lise 5. sınıfa giden herkes tarafından anlaşılabilir ancak her profesyonel matematikçi bile ispatı anlayamaz. Ne fizikte, ne kimyada, ne biyolojide, ne matematikte bu kadar basit formüle edilip bu kadar uzun süre çözülemeyen tek bir problem yoktur. 2. Nelerden oluşur?
Pisagor pantolonuyla başlayalım. İlk bakışta ifadeler oldukça basit. Çocukluğumuzdan beri bildiğimiz gibi, "Pisagor pantolonu her tarafta eşittir." Sorun çok basit görünüyor çünkü herkesin bildiği matematiksel bir ifadeye dayanıyordu: Pisagor teoremi: herhangi bir dik üçgende, hipotenüs üzerine inşa edilen kare, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin toplamına eşittir.
MÖ 5. yüzyılda. Pisagor, Pisagor kardeşliğini kurdu. Pisagorcular, diğer şeylerin yanı sıra, x²+y²=z² eşitliğini sağlayan tamsayı üçlüleri üzerinde çalıştılar. Sonsuz sayıda Pisagor üçlüsü olduğunu kanıtladılar ve bunları bulmak için genel formüller elde ettiler. Muhtemelen C ve daha yüksek dereceleri aramaya çalıştılar. Bunun işe yaramayacağına inanan Pisagorcular, yararsız girişimlerinden vazgeçtiler. Kardeşliğin üyeleri matematikçilerden çok filozof ve estetikçilerdi.
Yani, x²+y²=z² eşitliğini tam olarak karşılayan bir sayı kümesini seçmek kolaydır
3, 4, 5'ten başlayarak aslında üçüncü sınıf öğrencisi 9 + 16 = 25 olduğunu anlar.
Veya 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Harika.
Ve benzeri. Benzer bir x³+y³=z³ denklemini alırsak ne olur? Belki böyle sayılar da vardır?
Ve benzeri (Şekil 1).
Yani onların OLMADIĞI ortaya çıkıyor. İşte hile burada başlıyor. Basitlik ortadadır, çünkü bir şeyin varlığını değil, tam tersine yokluğunu kanıtlamak zordur. Bir çözümün olduğunu kanıtlamanız gerektiğinde, bu çözümü basitçe sunabilirsiniz ve sunmalısınız.
Yokluğu kanıtlamak daha zordur: Mesela birisi şöyle diyor: falan denklemin çözümü yok. Onu bir su birikintisine mi koyacaksın? kolay: bam - ve işte çözüm! (çözüm verin). İşte bu kadar, rakip mağlup oldu. Devamsızlık nasıl kanıtlanır?
Şöyle deyin: "Böyle çözümler bulamadım"? Ya da belki iyi görünmüyordun? Ya varlarsa, sadece çok büyüklerse, çok büyüklerse, öyle ki süper güçlü bir bilgisayar bile hala yeterli güce sahip değilse? Zor olan da bu.
Bu görsel olarak şu şekilde gösterilebilir: Uygun boyutlarda iki kare alıp bunları birim karelere ayırırsanız, bu birim kareler yığınından üçüncü bir kare elde edersiniz (Şekil 2):
Ama hadi aynısını üçüncü boyut için de yapalım (Şekil 3) – işe yaramıyor. Yeterli küp yok veya fazladan küp kaldı:
Ancak 17. yüzyıl Fransız matematikçisi Pierre de Fermat x genel denklemini heyecanla inceledi. n +y n =z n . Ve son olarak şu sonuca vardım: n>2 için tam sayı çözüm yoktur. Fermat'ın kanıtı geri alınamayacak şekilde kayboldu. El yazmaları yanıyor! Geriye kalan tek şey Diophantus'un Aritmetiği'ndeki sözleridir: "Bu önermenin gerçekten şaşırtıcı bir kanıtını buldum, ancak buradaki kenarlar onu içeremeyecek kadar dar."
Aslında kanıtı olmayan bir teoreme hipotez denir. Ancak Fermat'ın asla hata yapmaması konusunda bir itibarı var. Bir ifadeye dair kanıt bırakmamış olsa bile sonradan doğrulandı. Ayrıca Fermat tezini n=4 için kanıtladı. Böylece Fransız matematikçinin hipotezi Fermat'ın Son Teoremi olarak tarihe geçti.
Fermat'tan sonra Leonhard Euler gibi büyük beyinler bir kanıt arayışı üzerinde çalıştılar (1770'de n = 3 için bir çözüm önerdi),
Adrien Legendre ve Johann Dirichlet (bu bilim adamları 1825'te n = 5'in kanıtını ortaklaşa buldular), Gabriel Lamé (n = 7'nin kanıtını bulan) ve diğerleri. Geçen yüzyılın 80'li yıllarının ortalarına gelindiğinde, bilim dünyasının Fermat'ın Son Teoreminin nihai çözümüne doğru ilerlediği açık hale geldi, ancak matematikçiler yalnızca 1993'te üç yüzyıllık bir kanıt arayışı destanının farkına varıp inandılar. Fermat'ın son teoremi neredeyse bitmişti.
Fermat teoremini yalnızca basit n için kanıtlamanın yeterli olduğu kolayca gösterilir: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Bileşik n için kanıt geçerli kalır. Ama sonsuz sayıda asal sayı var...
1825'te kadın matematikçiler Dirichlet ve Legendre, Sophie Germain'in yöntemini kullanarak bağımsız olarak n=5 teoremini kanıtladılar. 1839'da Fransız Gabriel Lame aynı yöntemi kullanarak teoremin n=7 için doğruluğunu gösterdi. Yavaş yavaş teorem yüzden az olan neredeyse tüm n'ler için kanıtlandı.
Son olarak Alman matematikçi Ernst Kummer harika bir çalışmayla teoremin genel olarak 19. yüzyıl matematik yöntemleri kullanılarak kanıtlanamayacağını gösterdi. Fermat teoreminin ispatı için 1847'de kurulan Fransız Bilimler Akademisi Ödülü verilmedi.
1907'de zengin Alman sanayici Paul Wolfskehl, karşılıksız aşkı nedeniyle kendi canına kıymaya karar verdi. Gerçek bir Alman gibi intiharın tarihini ve saatini belirledi: tam gece yarısı. Son gün bir vasiyetname hazırladı ve arkadaşlarına ve akrabalarına mektuplar yazdı. Olaylar gece yarısından önce sona erdi. Paul'un matematiğe ilgi duyduğu söylenmelidir. Yapacak başka işi olmadığından kütüphaneye gitti ve Kummer'in ünlü makalesini okumaya başladı. Aniden ona Kummer'in akıl yürütmesinde bir hata yapmış gibi geldi. Wolfskel elinde kalemle makalenin bu bölümünü incelemeye başladı. Gece yarısı geçti, sabah geldi. Kanıttaki boşluk doldurulmuştur. Ve intiharın nedeni artık tamamen saçma görünüyordu. Paul veda mektuplarını yırtıp vasiyetini yeniden yazdı.
Kısa süre sonra doğal nedenlerden öldü. Mirasçılar oldukça şaşırdılar: 100.000 mark (mevcut 1.000.000 sterlinden fazla), aynı yıl Wolfskehl Ödülü için bir yarışma ilan eden Göttingen Kraliyet Bilim Derneği'nin hesabına aktarıldı. Fermat teoremini kanıtlayan kişiye 100.000 puan verildi. Teoremi çürüttüğü için bir pfennig bile verilmedi...
Çoğu profesyonel matematikçi, Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını aramayı umutsuz bir görev olarak değerlendirdi ve böylesine yararsız bir alıştırmayla zaman kaybetmeyi kararlılıkla reddetti. Ancak amatörler çok eğlendi. Duyurudan birkaç hafta sonra Göttingen Üniversitesi'ni bir “kanıt” çığı vurdu. Sorumluluğu gönderilen kanıtları analiz etmek olan Profesör E.M. Landau, öğrencilerine kartlar dağıttı:
Canım. . . . . . . .
Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını içeren taslağı bana gönderdiğiniz için teşekkür ederim. İlk hata sayfada... satırda... . Bu nedenle tüm kanıt geçerliliğini kaybeder.
Profesör E. M. Landau
1963 yılında Paul Cohen, Gödel'in bulgularına dayanarak Hilbert'in yirmi üç probleminden biri olan süreklilik hipotezinin çözülemezliğini kanıtladı. Peki ya Fermat'ın Son Teoremi de karar verilemezse?! Ancak gerçek Büyük Teorem fanatikleri hiç de hayal kırıklığına uğramadılar. Bilgisayarların ortaya çıkışı, matematikçilere birdenbire yeni bir ispat yöntemi kazandırdı. İkinci Dünya Savaşı'ndan sonra programcı ve matematikçilerden oluşan ekipler, Fermat'ın Son Teoremini n'nin 500'e, ardından 1.000'e ve daha sonra 10.000'e kadar olan tüm değerleri için kanıtladılar.
1980'lerde Samuel Wagstaff sınırı 25.000'e çıkardı ve 1990'larda matematikçiler Fermat'ın Son Teoreminin n'den 4 milyona kadar tüm değerler için doğru olduğunu ilan ettiler. Ama sonsuzdan bir trilyon trilyon bile çıkarsanız küçülmez. Matematikçiler istatistiklere inanmazlar. Büyük Teoremi kanıtlamak, onu sonsuza giden TÜM n'ler için kanıtlamak anlamına geliyordu.
1954 yılında iki genç Japon matematikçi arkadaş modüler formları araştırmaya başladı. Bu formlar, her biri kendi serisine sahip olan sayı serileri üretir. Şans eseri Taniyama bu serileri eliptik denklemlerin ürettiği serilerle karşılaştırdı. Eşleştiler! Ancak modüler formlar geometrik nesnelerdir ve eliptik denklemler cebirseldir. Bu kadar farklı nesneler arasında hiçbir bağlantı bulunamadı.
Ancak dikkatli testlerden sonra arkadaşlar bir hipotez öne sürdüler: Her eliptik denklemin bir ikizi vardır - modüler bir form ve bunun tersi de geçerlidir. Matematikte bütün bir yönelimin temeli haline gelen şey bu hipotezdi, ancak Taniyama-Shimura hipotezi kanıtlanana kadar tüm bina her an çökebilir.
1984 yılında Gerhard Frey, Fermat denkleminin bir çözümünün, eğer varsa, bazı eliptik denklemlere dahil edilebileceğini gösterdi. İki yıl sonra Profesör Ken Ribet, bu varsayımsal denklemin modüler dünyada bir karşılığının olamayacağını kanıtladı. Artık Fermat'ın Son Teoremi Taniyama-Shimura varsayımıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıydı. Herhangi bir eliptik eğrinin modüler olduğunu kanıtladıktan sonra, Fermat denkleminin çözümü olan bir eliptik denklemin olmadığı ve Fermat'ın Son Teoreminin hemen kanıtlanacağı sonucuna varıyoruz. Ancak otuz yıl boyunca Taniyama-Shimura hipotezini kanıtlamak mümkün olmadı ve başarı umudu giderek azaldı.
Andrew Wiles, 1963 yılında henüz on yaşındayken matematiğe hayran kalmıştı. Büyük Teoremi öğrendiğinde ondan vazgeçemeyeceğini anladı. Bir okul çocuğu, öğrenci ve yüksek lisans öğrencisi olarak kendisini bu göreve hazırladı.
Ken Ribet'in bulgularını öğrenen Wiles, Taniyama-Shimura varsayımını kanıtlamaya daldı. Tamamen izolasyon ve gizlilik içinde çalışmaya karar verdi. "Fermat'ın Son Teoremi ile ilgisi olan her şeyin çok fazla ilgi uyandırdığını fark ettim... Çok fazla seyirci açıkça hedefe ulaşmayı engelliyor." Yedi yıllık sıkı çalışma meyvesini verdi; Wiles sonunda Taniyama-Shimura varsayımının kanıtını tamamladı.
1993 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles, Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını dünyaya sundu (Wiles, sansasyonel makalesini Cambridge'deki Sir Isaac Newton Enstitüsü'nde bir konferansta okudu), üzerinde yedi yıldan fazla süren çalışma.
Basında abartı devam ederken kanıtların doğrulanması için ciddi çalışmalar başladı. Kanıtların kesin ve doğru olarak kabul edilebilmesi için her kanıt dikkatlice incelenmelidir. Wiles, onların onayını kazanabileceğini umarak, eleştirmenlerden geri bildirim bekleyerek huzursuz bir yaz geçirdi. Ağustos ayının sonunda uzmanlar, kararın yeterince kanıtlanmadığını tespit etti.
Bu kararın genel olarak doğru olmasına rağmen büyük bir hata içerdiği ortaya çıktı. Wiles pes etmedi, ünlü sayı teorisi uzmanı Richard Taylor'ın yardımını istedi ve 1994'te teoremin düzeltilmiş ve genişletilmiş kanıtını yayınladılar. En şaşırtıcı olanı ise bu çalışmanın Annals of Mathematics adlı matematik dergisinde 130 (!) sayfa kadar yer kaplamasıdır. Ancak hikaye burada da bitmedi - son noktaya ancak bir sonraki yıl, 1995'te, kanıtın matematiksel açıdan son ve "ideal" versiyonunun yayınlanmasıyla ulaşıldı.
“...doğum günü kutlama yemeğinin başlamasından yarım dakika sonra, Nadya'ya tüm kanıtın taslağını sundum” (Andrew Wales). Henüz matematikçilerin tuhaf insanlar olduğunu söylememiş miydim?
Bu sefer deliller konusunda hiçbir şüphe yoktu. İki makale çok dikkatli bir analize tabi tutuldu ve Mayıs 1995'te Annals of Mathematics'te yayınlandı.
O andan bu yana çok zaman geçti ama toplumda hala Fermat'ın Son Teoreminin çözülemez olduğuna dair bir görüş var. Ancak bulunan kanıtı bilenler bile bu yönde çalışmaya devam ediyor - çok azı Büyük Teoremin 130 sayfalık bir çözüm gerektirdiğinden memnun!
Bu nedenle, artık birçok matematikçinin (çoğunlukla amatörler, profesyonel bilim adamları değil) çabaları basit ve özlü bir kanıt arayışına atılıyor, ancak bu yol büyük olasılıkla hiçbir yere varmayacak... 5 Ağustos 2013
Dünyada Fermat'ın Son Teoremini duymamış pek fazla insan yok - belki de bu kadar yaygın olarak bilinen ve gerçek bir efsane haline gelen tek matematik problemi budur. Pek çok kitap ve filmde bundan bahsediliyor ve hemen hemen tüm bahsi geçenlerin ana bağlamı, teoremin kanıtlanmasının imkansızlığıdır.
Evet, bu teorem çok iyi biliniyor ve bir bakıma amatör ve profesyonel matematikçiler tarafından tapılan bir “idol” haline geldi, ancak çok az kişi onun kanıtının bulunduğunu biliyor ve bu 1995 yılında gerçekleşti. Ama önce ilk şeyler.
Dolayısıyla, 1637'de parlak Fransız matematikçi Pierre Fermat tarafından formüle edilen Fermat'ın Son Teoremi (genellikle Fermat'ın son teoremi olarak anılır), özünde çok basit ve orta öğretimi olan herkes için anlaşılabilir. a üzeri n + b üzeri n = c üzeri n formülünün n > 2 için doğal (yani kesirli olmayan) çözümleri olmadığını söylüyor. Her şey basit ve açık görünüyor, ancak en iyi matematikçiler ve sıradan amatörler üç buçuk yüzyıldan fazla bir süre boyunca bir çözüm aramakla uğraştılar.
Neden bu kadar ünlü? Şimdi öğreneceğiz...
Kanıtlanmış, kanıtlanmamış ve henüz kanıtlanmamış çok sayıda teorem var mı? Buradaki önemli nokta, Fermat'ın Son Teoreminin, formülasyonun basitliği ile kanıtın karmaşıklığı arasındaki en büyük zıtlığı temsil etmesidir. Fermat'ın Son Teoremi inanılmaz derecede zor bir iştir ve formülasyonu lise 5. sınıfa giden herkes tarafından anlaşılabilir, ancak her profesyonel matematikçi bile ispatı anlayamaz. Ne fizikte, ne kimyada, ne biyolojide, ne matematikte bu kadar basit formüle edilip bu kadar uzun süre çözülemeyen tek bir problem yoktur. 2. Nelerden oluşur?
Pisagor pantolonuyla başlayalım. İlk bakışta ifadeler gerçekten basit. Çocukluğumuzdan beri bildiğimiz gibi, "Pisagor pantolonu her tarafta eşittir." Sorun çok basit görünüyor çünkü herkesin bildiği matematiksel bir ifadeye dayanıyordu: Pisagor teoremi: Herhangi bir dik üçgende, hipotenüs üzerine inşa edilen kare, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin toplamına eşittir.
MÖ 5. yüzyılda. Pisagor, Pisagor kardeşliğini kurdu. Pisagorcular, diğer şeylerin yanı sıra, x²+y²=z² eşitliğini sağlayan tamsayı üçlüleri üzerinde çalıştılar. Sonsuz sayıda Pisagor üçlüsü olduğunu kanıtladılar ve bunları bulmak için genel formüller elde ettiler. Muhtemelen C ve daha yüksek dereceleri aramaya çalıştılar. Bunun işe yaramayacağına inanan Pisagorcular, yararsız girişimlerinden vazgeçtiler. Kardeşliğin üyeleri matematikçilerden çok filozof ve estetikçilerdi.
Yani, x²+y²=z² eşitliğini tam olarak karşılayan bir sayı kümesini seçmek kolaydır
3, 4, 5'ten başlayarak aslında üçüncü sınıf öğrencisi 9 + 16 = 25 olduğunu anlar.
Veya 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Harika.
Yani onların OLMADIĞI ortaya çıkıyor. İşte hile burada başlıyor. Basitlik ortadadır, çünkü bir şeyin varlığını değil, tam tersine yokluğunu kanıtlamak zordur. Bir çözümün olduğunu kanıtlamanız gerektiğinde, bu çözümü basitçe sunabilirsiniz ve sunmalısınız.
Yokluğu kanıtlamak daha zordur: Mesela birisi şöyle diyor: falan denklemin çözümü yok. Onu bir su birikintisine mi koyacaksın? kolay: bam - ve işte çözüm! (çözüm verin). İşte bu kadar, rakip mağlup oldu. Devamsızlık nasıl kanıtlanır?
Şöyle deyin: "Böyle çözümler bulamadım"? Ya da belki iyi görünmüyordun? Ya varlarsa, sadece çok büyüklerse, çok büyüklerse, öyle ki süper güçlü bir bilgisayar bile hala yeterli güce sahip değilse? Zor olan da bu.
Bu görsel olarak şu şekilde gösterilebilir: Uygun boyutlarda iki kare alıp bunları birim karelere ayırırsanız, bu birim kareler yığınından üçüncü bir kare elde edersiniz (Şekil 2):
Ama aynısını üçüncü boyut için de yapalım (Şekil 3) - işe yaramıyor. Yeterli küp yok veya fazladan küp kaldı:
Ancak 17. yüzyıl matematikçisi Fransız Pierre de Fermat, x n + y n = z n genel denklemini heyecanla inceledi. Ve son olarak şu sonuca vardım: n>2 için tam sayı çözüm yoktur. Fermat'ın kanıtı geri alınamayacak şekilde kayboldu. El yazmaları yanıyor! Geriye kalan tek şey Diophantus'un Aritmetiği'ndeki sözleridir: "Bu önermenin gerçekten şaşırtıcı bir kanıtını buldum, ancak buradaki kenarlar onu içeremeyecek kadar dar."
Aslında kanıtı olmayan bir teoreme hipotez denir. Ancak Fermat'ın asla hata yapmaması konusunda bir itibarı var. Bir ifadeye dair kanıt bırakmamış olsa bile sonradan doğrulandı. Ayrıca Fermat tezini n=4 için kanıtladı. Böylece Fransız matematikçinin hipotezi Fermat'ın Son Teoremi olarak tarihe geçti.
Fermat'tan sonra Leonhard Euler gibi büyük beyinler bir kanıt arayışı üzerinde çalıştılar (1770'de n = 3 için bir çözüm önerdi),
Adrien Legendre ve Johann Dirichlet (bu bilim adamları 1825'te n = 5'in kanıtını ortaklaşa buldular), Gabriel Lamé (n = 7'nin kanıtını bulan) ve diğerleri. Geçen yüzyılın 80'li yıllarının ortalarına gelindiğinde, bilim dünyasının Fermat'ın Son Teoreminin nihai çözümüne doğru ilerlediği açık hale geldi, ancak matematikçiler yalnızca 1993'te üç yüzyıllık bir kanıt arayışı destanının farkına varıp inandılar. Fermat'ın son teoremi neredeyse bitmişti.
Fermat teoremini yalnızca basit n için kanıtlamanın yeterli olduğu kolayca gösterilir: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Bileşik n için kanıt geçerli kalır. Ama sonsuz sayıda asal sayı var...
1825'te kadın matematikçiler Dirichlet ve Legendre, Sophie Germain'in yöntemini kullanarak bağımsız olarak n=5 teoremini kanıtladılar. 1839'da Fransız Gabriel Lame aynı yöntemi kullanarak teoremin doğruluğunu n=7 için gösterdi. Yavaş yavaş teorem yüzden az olan neredeyse tüm n'ler için kanıtlandı.
Son olarak Alman matematikçi Ernst Kummer harika bir çalışmayla teoremin genel olarak 19. yüzyıl matematik yöntemleri kullanılarak kanıtlanamayacağını gösterdi. Fermat teoreminin ispatı için 1847'de kurulan Fransız Bilimler Akademisi Ödülü verilmedi.
1907'de zengin Alman sanayici Paul Wolfskehl, karşılıksız aşkı nedeniyle kendi canına kıymaya karar verdi. Gerçek bir Alman gibi intiharın tarihini ve saatini belirledi: tam gece yarısı. Son gün bir vasiyetname hazırladı ve arkadaşlarına ve akrabalarına mektuplar yazdı. Olaylar gece yarısından önce sona erdi. Paul'un matematiğe ilgi duyduğu söylenmelidir. Yapacak başka işi olmadığından kütüphaneye gitti ve Kummer'in ünlü makalesini okumaya başladı. Aniden ona Kummer'in muhakemesinde bir hata yapmış gibi geldi. Wolfskel elinde kalemle makalenin bu bölümünü incelemeye başladı. Gece yarısı geçti, sabah geldi. Kanıttaki boşluk doldurulmuştur. Ve intiharın nedeni artık tamamen saçma görünüyordu. Paul veda mektuplarını yırtıp vasiyetini yeniden yazdı.
Kısa süre sonra doğal nedenlerden öldü. Mirasçılar oldukça şaşırdılar: 100.000 mark (mevcut 1.000.000 sterlinden fazla), aynı yıl Wolfskehl Ödülü için bir yarışma ilan eden Göttingen Kraliyet Bilim Derneği'nin hesabına aktarıldı. Fermat teoremini kanıtlayan kişiye 100.000 puan verildi. Teoremi çürüttüğü için bir pfennig bile verilmedi...
Çoğu profesyonel matematikçi, Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını aramayı umutsuz bir görev olarak değerlendirdi ve böylesine yararsız bir alıştırmayla zaman kaybetmeyi kararlılıkla reddetti. Ancak amatörler çok eğlendi. Duyurudan birkaç hafta sonra Göttingen Üniversitesi'ni bir “kanıt” çığı vurdu. Sorumluluğu gönderilen kanıtları analiz etmek olan Profesör E.M. Landau, öğrencilerine kartlar dağıttı:
Canım. . . . . . . .
Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını içeren taslağı bana gönderdiğiniz için teşekkür ederim. İlk hata sayfada... satırda... . Bu nedenle tüm kanıt geçerliliğini kaybeder.
Profesör E. M. Landau
1963 yılında Paul Cohen, Gödel'in bulgularına dayanarak Hilbert'in yirmi üç probleminden biri olan süreklilik hipotezinin çözülemezliğini kanıtladı. Peki ya Fermat'ın Son Teoremi de karar verilemezse?! Ancak gerçek Büyük Teorem fanatikleri hiç de hayal kırıklığına uğramadılar. Bilgisayarların ortaya çıkışı aniden matematikçilere yeni bir ispat yöntemi kazandırdı. İkinci Dünya Savaşı'ndan sonra programcı ve matematikçilerden oluşan ekipler, Fermat'ın Son Teoremini n'nin 500'e, ardından 1.000'e ve daha sonra 10.000'e kadar olan tüm değerleri için kanıtladılar.
1980'lerde Samuel Wagstaff sınırı 25.000'e çıkardı ve 1990'larda matematikçiler Fermat'ın Son Teoreminin n'den 4 milyona kadar tüm değerler için doğru olduğunu ilan ettiler. Ama sonsuzdan bir trilyon trilyon bile çıkarsanız küçülmez. Matematikçiler istatistiklere inanmazlar. Büyük Teoremi kanıtlamak, onu sonsuza giden TÜM n'ler için kanıtlamak anlamına geliyordu.
1954 yılında iki genç Japon matematikçi arkadaş modüler formları araştırmaya başladı. Bu formlar, her biri kendi serisine sahip olan sayı serileri üretir. Şans eseri Taniyama bu serileri eliptik denklemlerin ürettiği serilerle karşılaştırdı. Eşleştiler! Ancak modüler formlar geometrik nesnelerdir ve eliptik denklemler cebirseldir. Bu kadar farklı nesneler arasında hiçbir bağlantı bulunamadı.
Ancak dikkatli testlerden sonra arkadaşlar bir hipotez öne sürdüler: Her eliptik denklemin bir ikizi vardır - modüler bir form ve bunun tersi de geçerlidir. Matematikte bütün bir yönelimin temeli haline gelen şey bu hipotezdi, ancak Taniyama-Shimura hipotezi kanıtlanana kadar tüm bina her an çökebilir.
1984 yılında Gerhard Frey, Fermat denkleminin bir çözümünün, eğer varsa, bazı eliptik denklemlere dahil edilebileceğini gösterdi. İki yıl sonra Profesör Ken Ribet, bu varsayımsal denklemin modüler dünyada bir karşılığının olamayacağını kanıtladı. Artık Fermat'ın Son Teoremi Taniyama-Shimura varsayımıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıydı. Herhangi bir eliptik eğrinin modüler olduğunu kanıtladıktan sonra, Fermat denkleminin çözümü olan bir eliptik denklemin olmadığı ve Fermat'ın Son Teoreminin hemen kanıtlanacağı sonucuna varıyoruz. Ancak otuz yıl boyunca Taniyama-Shimura hipotezini kanıtlamak mümkün olmadı ve başarı umudu giderek azaldı.
Andrew Wiles, 1963 yılında henüz on yaşındayken matematiğe hayran kalmıştı. Büyük Teoremi öğrendiğinde ondan vazgeçemeyeceğini anladı. Bir okul çocuğu, öğrenci ve yüksek lisans öğrencisi olarak kendisini bu göreve hazırladı.
Ken Ribet'in bulgularını öğrenen Wiles, Taniyama-Shimura hipotezini kanıtlamaya daldı. Tamamen izolasyon ve gizlilik içinde çalışmaya karar verdi. "Fermat'ın Son Teoremi ile ilgisi olan her şeyin çok fazla ilgi uyandırdığını fark ettim... Çok fazla seyirci açıkça hedefe ulaşmayı engelliyor." Yedi yıllık sıkı çalışmanın karşılığını alan Wiles, sonunda Taniyama-Shimura varsayımının kanıtını tamamladı.
1993 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles, Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını dünyaya sundu (Wiles, sansasyonel makalesini Cambridge'deki Sir Isaac Newton Enstitüsü'ndeki bir konferansta okudu). Bu çalışma üzerinde yedi yıldan fazla sürdü.
Basında abartı devam ederken kanıtların doğrulanması için ciddi çalışmalar başladı. Kanıtların kesin ve doğru kabul edilebilmesi için her kanıt parçası dikkatlice incelenmelidir. Wiles, onların onayını kazanabileceğini umarak, eleştirmenlerden geri bildirim bekleyerek huzursuz bir yaz geçirdi. Ağustos ayının sonunda uzmanlar, kararın yeterince kanıtlanmadığını tespit etti.
Bu kararın genel olarak doğru olmasına rağmen büyük bir hata içerdiği ortaya çıktı. Wiles pes etmedi, ünlü sayı teorisi uzmanı Richard Taylor'ın yardımını istedi ve 1994'te teoremin düzeltilmiş ve genişletilmiş kanıtını yayınladılar. En şaşırtıcı olanı ise bu çalışmanın Annals of Mathematics adlı matematik dergisinde 130 (!) sayfa kadar yer kaplamasıdır. Ancak hikaye burada da bitmedi - son noktaya ancak bir sonraki yıl, 1995'te, kanıtın matematiksel açıdan son ve "ideal" versiyonunun yayınlanmasıyla ulaşıldı.
“...doğum günü kutlama yemeğinin başlamasından yarım dakika sonra, Nadya'ya tüm kanıtın taslağını sundum” (Andrew Wales). Henüz matematikçilerin tuhaf insanlar olduğunu söylememiş miydim?
Bu sefer deliller konusunda hiçbir şüphe yoktu. İki makale çok dikkatli bir analize tabi tutuldu ve Mayıs 1995'te Annals of Mathematics'te yayınlandı.
O andan bu yana çok zaman geçti ama toplumda hala Fermat'ın Son Teoreminin çözülemez olduğuna dair bir görüş var. Ancak bulunan kanıtı bilenler bile bu yönde çalışmaya devam ediyor - çok azı Büyük Teoremin 130 sayfalık bir çözüm gerektirdiğinden memnun!
Bu nedenle, artık birçok matematikçinin (çoğunlukla amatörler, profesyonel bilim adamları değil) çabaları basit ve özlü bir kanıt arayışına atılıyor, ancak bu yol büyük olasılıkla hiçbir yere varmayacak...
kaynak
Andrew Wiles, Princeton Üniversitesi'nde matematik profesörüdür; nesiller boyu bilim adamlarının yüzlerce yıldır uğraştığı Fermat'ın Son Teoremini kanıtladı.
Tek görevde 30 yıl
Wiles, Fermat'ın son teoremini ilk kez on yaşındayken öğrendi. Okuldan eve dönerken kütüphaneye uğradı ve kendini Eric Temple Bell'in "Son Sorun" kitabını okumaya kaptırdı. Belki de farkında bile olmadan, o andan itibaren, üç yüzyıl boyunca gezegendeki en iyi beyinlerin gözünden kaçan bir şey olmasına rağmen, hayatını kanıt arayışına adadı.
Wiles, Fermat'ın son teoremini on yaşındayken öğrendi
Bunu 30 yıl sonra, başka bir bilim adamı olan Ken Ribet'in Japon matematikçiler Taniyama ve Shimura'nın teoremi ile Fermat'ın Son Teoremi arasındaki bağlantıyı kanıtlamasından sonra buldu. Wiles, şüpheci meslektaşlarının aksine bunun bu olduğunu hemen anladı ve yedi yıl sonra kanıta son verdi.
Kanıtlama sürecinin kendisinin çok dramatik olduğu ortaya çıktı: Wiles, çalışmasını 1993'te tamamladı, ancak kamuoyu önüne çıktığı anda, muhakemesinde önemli bir "boşluk" buldu. Hesaplamalarda bir hata bulmak iki ay sürdü (hata, denklemin çözümünün 130 basılı sayfası arasında gizlenmişti). Daha sonra bir buçuk yıl boyunca hatanın düzeltilmesi için yoğun bir çalışma yürütüldü. Dünyadaki tüm bilim camiası kayıptaydı. Wiles, çalışmasını 19 Eylül 1994'te tamamladı ve hemen kamuoyuna sundu.
Korkutucu Zafer
Andrew'un en büyük korkusu şöhret ve tanıtımdı. Uzun süre televizyona çıkmayı reddetti. John Lynch'in onu ikna edebildiğine inanılıyor. Wiles'a yeni nesil matematikçilere ilham verebileceğine ve matematiğin gücünü halka gösterebileceğine dair güvence verdi.
Andrew Wiles uzun süre televizyona çıkmayı reddetti
Kısa bir süre sonra minnettar bir toplum Andrew'u ödüllerle ödüllendirmeye başladı. Böylece 27 Haziran 1997'de Wiles, yaklaşık 50.000 $ tutarındaki Wolfskehl Ödülü'nü aldı. Bu, Wolfskehl'in bir yüzyıl önce ayrılmayı planladığı miktardan çok daha azdı, ancak hiperenflasyon bu miktarın azalmasına yol açtı.
Ne yazık ki Nobel Ödülü'nün matematiksel eşdeğeri olan Fields Ödülü, kırk yaşın altındaki matematikçilere verildiği için Wiles'a verilmedi. Bunun yerine Fields Madalyası töreninde önemli başarısının şerefine özel bir gümüş plaket aldı. Wiles ayrıca prestijli Kurt Ödülü'nü, Kral Faysal Ödülü'nü ve diğer birçok uluslararası ödülü kazandı.
Meslektaşlarının görüşleri
En ünlü modern Rus matematikçilerden biri olan Akademisyen V. I. Arnold'un kanıta tepkisi "aktif olarak şüpheci":
Bu gerçek matematik değil; gerçek matematik geometriktir ve fizikle güçlü bağlantıları vardır. Üstelik Fermat'ın probleminin kendisi doğası gereği matematiğin gelişimini sağlayamaz çünkü "ikili" olduğundan, yani problemin formülasyonu yalnızca "evet veya hayır" sorusunun cevabını gerektirir.
Aynı zamanda, V.I. Arnold'un son yıllardaki matematiksel çalışmalarının büyük ölçüde benzer sayı teorik konularına yönelik olduğu ortaya çıktı. Paradoksal olarak Wiles'ın bu faaliyetin dolaylı bir nedeni haline gelmesi mümkündür.
Gerçek bir rüya
Andrew'a 7 yıldan fazla bir süre boyunca dört duvar arasında oturup tek bir görevi yapmayı nasıl başardığı sorulduğunda Wiles, çalışması sırasında nasıl rüya gördüğünü anlatıyor:Üniversitelerdeki ve hatta okullardaki matematik derslerinin onun teoremi kanıtlama yöntemine göre ayarlanacağı zaman gelecek. Fermat'ın Son Teoreminin kanıtının yalnızca model bir matematik problemi değil aynı zamanda matematik öğretimi için metodolojik bir model olmasını istiyordu. Wiles, onun örneğini kullanarak matematik ve fiziğin tüm ana dallarını incelemenin mümkün olabileceğini hayal etti.
Onlar olmadan hiçbir kanıtın olmayacağı 4 bayan
Andrew evli ve üç kızı var; bunlardan ikisi "kanıtın ilk taslağının yedi yıllık süreci sırasında" doğmuş.
Wiles, ailesi olmasaydı başarılı olamayacağına inanıyor.
Bu yıllarda, yalnızca Andrew'un karısı Nada, onun matematiğin en ulaşılmaz ve en ünlü zirvesine tek başına fırtına gibi estiğini biliyordu. En önemli matematiksel çalışmaların yayınlandığı merkezi matematik dergisi Annals of Mathematics'te Wiles'ın ünlü son makalesi "Modüler eliptik eğriler ve Fermat'ın Son Teoremi", Nadya, Claire, Kate ve Olivia'ya ithaf edilmiştir. Ancak Wiles, ailesi olmasaydı başarılı olamayacağını kesinlikle inkar etmiyor.
"Fermat teoremi" sorgusunun popülaritesine bakılırsa - kısa kanıt" Bu matematik problemi gerçekten birçok insanı ilgilendiriyor. Bu teorem ilk olarak 1637'de Pierre de Fermat tarafından bir Aritmetik kopyasının kenarında ifade edildi ve burada kenara sığmayacak kadar büyük bir çözüme sahip olduğunu iddia etti.
İlk başarılı kanıt 1995 yılında Andrew Wiles tarafından Fermat teoreminin tam bir kanıtı olarak yayınlandı. Bu, "çarpıcı bir ilerleme" olarak tanımlandı ve Wiles'ın 2016'da Abel Ödülü'nü almasına yol açtı. Nispeten kısa bir şekilde açıklanmış olsa da, Fermat teoreminin kanıtı aynı zamanda modülerlik teoreminin çoğunu da kanıtlamış ve modülerliği artırmak için çok sayıda başka soruna ve etkili yöntemlere yeni yaklaşımlar açmıştır. Bu başarılar matematiği 100 yıl ilerletti. Fermat'ın küçük teoreminin ispatı bugün sıra dışı bir şey değil.
Çözülemeyen problem, 19. yüzyılda cebirsel sayılar teorisinin gelişimini ve 20. yüzyılda modülerlik teoreminin kanıtını aramayı teşvik etti. Matematik tarihinin en dikkate değer teoremlerinden biridir ve Fermat'ın son teoreminin bölme işlemiyle tam olarak kanıtlanmasından önce, özelliklerinden biri de "en zor matematik problemi" olarak Guinness Rekorlar Kitabı'nda yer alıyordu. en fazla sayıda başarısız kanıta sahip olduğu anlamına gelir.
Tarihsel arka plan
Pisagor denklemi x 2 + y 2 = z 2'nin x, y ve z için sonsuz sayıda pozitif tamsayı çözümü vardır. Bu çözümler Pisagor üçlüleri olarak bilinir. 1637 civarında, Fermat bir kitabın kenarına, n'nin 2'den büyük bir tamsayı olması durumunda, daha genel bir denklem olan a n + b n = c n'nin doğal sayılarda hiçbir çözümü olmadığını yazdı. Fermat'ın kendisi problemine bir çözüm bulduğunu iddia etmesine rağmen, o bunu yaptı. Kanıtı hakkında hiçbir ayrıntı bırakmayın. Fermat teoreminin yaratıcısı tarafından belirtilen temel kanıtı, onun övünen buluşuydu. Büyük Fransız matematikçinin kitabı ölümünden 30 yıl sonra keşfedildi. Fermat'ın Son Teoremi olarak adlandırılan bu denklem, matematikte üç buçuk yüzyıl boyunca çözümsüz kaldı.
Teorem sonunda matematikteki en dikkate değer çözülmemiş problemlerden biri haline geldi. Bunu kanıtlama çabaları sayılar teorisinde önemli gelişmelere yol açtı ve zamanla Fermat'ın Son Teoremi matematikte çözülemeyen bir problem olarak bilinmeye başlandı.
Kanıtların kısa tarihi
Fermat'ın kendisinin de kanıtladığı gibi n = 4 ise asal sayılar olan n indisleri için teoremi kanıtlamak yeterlidir. Sonraki iki yüzyıl boyunca (1637-1839) varsayım yalnızca 3, 5 ve 7 asal sayıları için kanıtlandı, ancak Sophie Germain tüm asal sayılar sınıfına uygulanan bir yaklaşımı güncelleyip kanıtladı. 19. yüzyılın ortalarında Ernst Kummer bu konuyu genişletti ve tüm normal asal sayılar için teoremi kanıtlayarak düzensiz asal sayıların ayrı ayrı analiz edilmesine neden oldu. Kummer'in çalışmasına dayanarak ve karmaşık bilgisayar araştırmaları kullanarak, diğer matematikçiler dört milyona kadar tüm büyük üsleri kapsamayı hedefleyerek çözümü teoreme kadar genişletmeyi başardılar, ancak tüm üslerin kanıtı hala mevcut değildi (bu, matematikçilerin genel olarak çözümü değerlendirdikleri anlamına geliyordu) (teoreme göre imkansız, son derece zor veya mevcut bilgilerle ulaşılamaz).
Shimura ve Taniyama'nın çalışması
1955 yılında Japon matematikçiler Goro Shimura ve Yutaka Taniyama, matematiğin tamamen farklı iki alanı olan eliptik eğriler ve modüler formlar arasında bir bağlantı olduğundan şüpheleniyorlardı. O zamanlar Taniyama-Shimura-Weil varsayımı ve (sonunda) modülerlik teoremi olarak bilinen bu teori, Fermat'ın son teoremiyle görünürde hiçbir bağlantısı olmaksızın kendi başına ayakta duruyordu. Yaygın olarak kendi başına önemli bir matematik teoremi olarak kabul edildi, ancak (Fermat'ın teoremi gibi) kanıtlanmasının imkansız olduğu düşünülüyordu. Aynı zamanda, Fermat'ın büyük teoreminin kanıtı (bölme yöntemi ve karmaşık matematiksel formüllerin kullanılmasıyla) yalnızca yarım yüzyıl sonra gerçekleştirildi.
1984 yılında Gerhard Frey, daha önce ilgisiz ve çözülmemiş bu iki sorun arasında bariz bir bağlantı olduğunu fark etti. İki teoremin birbiriyle yakından ilişkili olduğuna dair tam kanıt, Jean-Pierre Serres'in "epsilon varsayımı" olarak bilinen, bir kısmı hariç hepsini kanıtlayan kısmi kanıtını temel alan Ken Ribet tarafından 1986 yılında yayınlandı. Basitçe söylemek gerekirse, Frey, Serres ve Ribe'nin bu çalışmaları, eğer modülerlik teoremi en azından yarı kararlı bir eliptik eğri sınıfı için kanıtlanabilirse, o zaman Fermat'nın son teoreminin kanıtının da er ya da geç keşfedileceğini gösterdi. Fermat'ın son teoremiyle çelişebilecek herhangi bir çözüm, modülerlik teoremiyle çelişmek için de kullanılabilir. Dolayısıyla modülerlik teoremi doğru çıktıysa, tanım gereği Fermat'ın son teoremiyle çelişen bir çözüm olamaz, yani yakın zamanda kanıtlanması gerekir.
Her iki teorem de matematikte çözülemez kabul edilen zor problemler olmasına rağmen, iki Japonun çalışması, Fermat'ın son teoreminin sadece bazı sayılar için değil, tüm sayılar için nasıl genişletilip kanıtlanabileceğine dair ilk öneriydi. Araştırma konusunu seçen araştırmacılar için önemli olan, Fermat'ın son teoreminden farklı olarak, modülerlik teoreminin sadece tarihsel bir tuhaflık değil, kendisi için kanıt geliştirilen önemli bir aktif araştırma alanı olmasıydı. üzerinde çalışmak profesyonel açıdan haklı görülebilir. Ancak genel fikir birliği, Taniyama-Shimura varsayımını çözmenin pratik olmadığı yönündeydi.
Fermat'ın Son Teoremi: Wiles Kanıtı
Çocukluğundan beri Fermat'ın son teoremine ilgi duyan ve eliptik eğriler ve ilgili alanlarla çalışma deneyimi olan İngiliz matematikçi Andrew Wiles, Ribet'in Frey'in teorisinin doğruluğunu kanıtladığını öğrendikten sonra Taniyama-Shimura varsayımını kanıtlamayı denemeye karar verdi. Fermat'ın son teoremini kanıtlayın. 1993 yılında, amacını açıkladıktan altı yıl sonra, teoremi çözme problemi üzerinde gizlice çalışırken Wiles, Fermat'nın son teoremini kanıtlamasına yardımcı olacak ilgili bir varsayımı kanıtlamayı başardı. Wiles'ın belgesi boyut ve kapsam açısından muazzamdı.
Kusur, hakem değerlendirmesi sırasında orijinal makalesinin bir bölümünde keşfedildi ve teoremi ortaklaşa çözmek için Richard Taylor ile bir yıl daha işbirliği yapılması gerekti. Sonuç olarak, Wiles'ın Fermat'nın son teoremine ilişkin nihai kanıtının gelmesi uzun sürmedi. 1995 yılında, Wiles'ın önceki matematiksel çalışmasından çok daha küçük bir ölçekte yayınlandı ve bu, onun teoremi kanıtlama olasılığı hakkındaki önceki sonuçlarında yanılmadığını açıkça gösterdi. Wiles'ın başarısı popüler basında geniş çapta yer aldı ve kitaplarda ve televizyon programlarında popüler hale getirildi. Taniyama-Shimura-Weil varsayımının artık kanıtlanmış olan ve modülerlik teoremi olarak bilinen geri kalan kısımları, Wiles'ın 1996 ile 2001 yılları arasındaki çalışmalarını temel alan diğer matematikçiler tarafından daha sonra kanıtlandı. Başarısından dolayı Wiles onurlandırıldı ve 2016 Abel Ödülü de dahil olmak üzere çok sayıda ödül aldı.
Wiles'ın Fermat'ın son teoremine ilişkin kanıtı, eliptik eğriler için modülerlik teoreminin çözümünün özel bir durumudur. Ancak bu, bu kadar büyük ölçekli bir matematik işleminin en ünlü örneğidir. İngiliz matematikçi, Ribet teoremini çözmenin yanı sıra Fermat'ın son teoreminin kanıtını da elde etti. Fermat'ın Son Teoremi ve Modülerlik Teoremi, modern matematikçiler tarafından neredeyse evrensel olarak kanıtlanamaz olarak kabul edildi, ancak Andrew Wiles, uzmanların bile yanılabileceğini tüm bilim dünyasına kanıtlamayı başardı.
Wiles, keşfini ilk olarak 23 Haziran 1993 Çarşamba günü Cambridge'de "Modüler Formlar, Eliptik Eğriler ve Galois Temsilleri" başlıklı bir konferansta duyurdu. Ancak Eylül 1993'te hesaplamalarında hata olduğu tespit edildi. Bir yıl sonra, 19 Eylül 1994'te, kendi deyimiyle "çalışma hayatının en önemli anı"nda, Wiles, problemin çözümünü matematiksel hesaplamaları tatmin edecek noktaya kadar düzeltmesine olanak tanıyan bir açıklamayla karşılaştı. toplum.
İşin özellikleri
Andrew Wiles'ın Fermat teoreminin kanıtında cebirsel geometri ve sayılar teorisinden birçok teknik kullanılıyor ve matematiğin bu alanlarında birçok sonucu var. Aynı zamanda şema kategorisi ve Iwasawa teorisi gibi modern cebirsel geometrinin standart yapılarının yanı sıra Pierre Fermat'ın elinde olmayan diğer 20. yüzyıl yöntemlerini de kullanıyor.
Kanıtları içeren iki makale toplam 129 sayfadır ve yedi yıl boyunca yazılmıştır. John Coates bu keşfi sayı teorisinin en büyük başarılarından biri olarak tanımladı ve John Conway bunu 20. yüzyılın ana matematiksel başarısı olarak nitelendirdi. Wiles, yarı kararlı eliptik eğrilerin özel durumu için modülerlik teoremini kanıtlayarak Fermat'ın son teoremini kanıtlamak için modülerliği kaldırmak için güçlü yöntemler geliştirdi ve diğer birçok probleme yeni yaklaşımlar keşfetti. Fermat'ın son teoremini çözdüğü için kendisine şövalye unvanı verildi ve başka ödüller de aldı. Wiles'ın Abel Ödülü'nü kazandığı haberi çıktığında, Norveç Bilimler Akademisi onun başarısını "Fermat'ın son teoreminin muhteşem ve basit bir kanıtı" olarak tanımladı.
Nasıldı
Wiles'ın teoremin orijinal taslağını inceleyen kişilerden biri Nick Katz'dı. İncelemesi sırasında Britanyalıya bir dizi açıklayıcı soru sordu ve bu da Wiles'ı çalışmasının açıkça bir boşluk içerdiğini kabul etmeye zorladı. İspatın belirli bir grubun mertebesine ilişkin tahmin veren kritik bir bölümünde hata vardı: Kolyvagin ve Flach yöntemini genişletmek için kullanılan Euler sistemi eksikti. Ancak bu hata, çalışmasını işe yaramaz hale getirmedi; Wiles'ın çalışmasının her bir parçası, kendi içinde çok önemli ve yenilikçiydi, tıpkı çalışması sırasında yarattığı ve çalışmanın yalnızca bir bölümünü etkileyen birçok gelişme ve yöntem gibi. el yazması. Ancak 1993 yılında yayınlanan bu orijinal çalışma aslında Fermat'ın Son Teoreminin bir kanıtını sunmuyordu.
Wiles, önce tek başına, sonra eski öğrencisi Richard Taylor'la birlikte teoremin çözümünü yeniden keşfetmeye neredeyse bir yıl harcadı, ancak hepsi boşuna görünüyordu. 1993'ün sonuna gelindiğinde Wiles'ın kanıtının testlerde başarısız olduğuna dair söylentiler yayıldı, ancak başarısızlığın ne kadar ciddi olduğu bilinmiyordu. Matematikçiler, Wiles'a, tamamlanmış olsun ya da olmasın, çalışmasının ayrıntılarını açıklaması için baskı yapmaya başladı, böylece daha geniş bir matematikçi topluluğu onun başardığı her şeyi keşfedip kullanabilirdi. Wiles, hatasını hızla düzeltmek yerine, Fermat'ın son teoreminin kanıtında yalnızca ek karmaşıklıklar keşfetti ve sonunda bunun ne kadar zor olduğunu fark etti.
Wiles, 19 Eylül 1994 sabahı pes etmenin ve pes etmenin eşiğinde olduğunu, başarısız olduğunu neredeyse kabullendiğini belirtiyor. Başkalarının onun üzerine inşa edip nerede hata yaptığını bulabilmesi için tamamlanmamış çalışmasını yayınlamaya istekliydi. İngiliz matematikçi, kendine son bir şans vermeye karar verdi ve yaklaşımının neden işe yaramadığını anlamak için teoremi son bir kez analiz etti; aniden Kolyvagin-Flac yaklaşımının kanıtları da dahil edene kadar işe yaramayacağını fark etti. süreç Iwasawa'nın teorisinin işe yaramasını sağlıyor.
6 Ekim'de Wiles, üç meslektaşından (Faltins dahil) yeni çalışmasını incelemelerini istedi ve 24 Ekim 1994'te "Modüler eliptik eğriler ve Fermat'ın son teoremi" ve "Bazı Hecke cebirlerinin halkasının teorik özellikleri" olmak üzere iki makale sundu. ", Wiles'ın Taylor'la birlikte yazdığı ikincisi, ana makaledeki düzeltilmiş adımı haklı çıkarmak için gerekli belirli koşulların karşılandığını savundu.
Bu iki makale gözden geçirildi ve sonunda Annals of Mathematics'in Mayıs 1995 sayısında tam metin baskısı olarak yayınlandı. Andrew'un yeni hesaplamaları geniş çapta analiz edildi ve sonunda bilim camiası tarafından kabul edildi. Bu çalışmalar, Fermat'ın Son Teoremini oluşturulduktan 358 yıl sonra kanıtlamaya yönelik son adım olan yarı kararlı eliptik eğriler için modülerlik teoremini oluşturdu.
Büyük Sorunun Tarihi
Bu teoremi çözmek yüzyıllardır matematiğin en büyük problemi olarak kabul edilmiştir. 1816 ve 1850'de Fransız Bilimler Akademisi, Fermat'nın son teoreminin genel ispatına bir ödül teklif etti. 1857'de Akademi, ideal sayılara ilişkin araştırması nedeniyle Kummer'e 3.000 frank ve altın madalya verdi, ancak kendisi ödüle başvurmadı. 1883'te Brüksel Akademisi tarafından kendisine bir ödül daha teklif edildi.
Wolfskehl Ödülü
1908'de Alman sanayici ve amatör matematikçi Paul Wolfskehl, Fermat'ın Son Teoreminin tam bir kanıtı için ödül olarak Göttingen Bilimler Akademisi'ne 100.000 altın mark (o zaman için büyük bir meblağ) miras bıraktı. 27 Haziran 1908'de Akademi dokuz ödül kuralını yayınladı. Diğer şeylerin yanı sıra, bu kurallar kanıtların hakemli bir dergide yayınlanmasını gerektiriyordu. Ödül, yayınlandıktan iki yıl sonrasına kadar verilmeyecekti. Yarışma, başlangıcından yaklaşık bir asır sonra, 13 Eylül 2007'de sona erecekti. 27 Haziran 1997'de Wiles, Wolfschel'in para ödülünü ve ardından 50.000 $ daha aldı. Mart 2016'da, "Sayı teorisinde yeni bir çağ açan, yarı kararlı eliptik eğriler için modülerlik varsayımını kullanan Fermat'ın son teoreminin çarpıcı kanıtı" nedeniyle Abel Ödülü'nün bir parçası olarak Norveç hükümetinden 600.000 € aldı. Mütevazi İngiliz için bu bir dünya zaferiydi.
Wiles'ın kanıtından önce, daha önce de belirtildiği gibi, Fermat'ın teoreminin yüzyıllar boyunca kesinlikle çözülemez olduğu düşünülüyordu. Wolfskehl'in komitesine çeşitli zamanlarda binlerce yanlış kanıt sunuldu; bu da yaklaşık 3 metrelik yazışmaya tekabül ediyordu. Ödülün yalnızca ilk yılında (1907-1908), teoremi çözdüğü iddiasıyla 621 başvuru yapıldı, ancak 1970'lerde bu sayı ayda yaklaşık 3-4 başvuruya düştü. Wolfschel'i inceleyen F. Schlichting'e göre, kanıtların çoğu okullarda öğretilen ilkel yöntemlere dayanıyordu ve genellikle "teknik geçmişi olan ancak başarısız bir kariyere sahip kişiler" tarafından sunuluyordu. Matematik tarihçisi Howard Aves'e göre Fermat'ın son teoremi bir tür rekor kırdı; en yanlış ispatlara sahip teoremdir.
Fermat defneleri Japonlara gitti
Daha önce de belirtildiği gibi, 1955 civarında, Japon matematikçiler Goro Shimura ve Yutaka Taniyama, matematiğin görünüşte tamamen farklı iki dalı - eliptik eğriler ve modüler formlar - arasında olası bir bağlantıyı keşfettiler. Araştırmalarından elde edilen modülerlik teoremi (daha sonra Taniyama-Shimura varsayımı olarak biliniyordu), her eliptik eğrinin modüler olduğunu, yani benzersiz bir modüler formla ilişkilendirilebileceğini belirtir.
Teori başlangıçta olası olmadığı veya son derece spekülatif olduğu gerekçesiyle reddedildi, ancak sayı teorisyeni Andre Weyl Japonların bulgularını destekleyecek kanıtlar bulduğunda daha ciddiye alındı. Sonuç olarak, varsayıma genellikle Taniyama-Shimura-Weil varsayımı adı verildi. Gelecekte kanıtlanması gereken önemli hipotezlerin bir listesi olan Langlands programının bir parçası haline geldi.
Ciddi bir ilgiden sonra bile, modern matematikçiler tarafından bu varsayımın kanıtlanmasının son derece zor veya belki de imkansız olduğu kabul edildi. Şimdi, çözümüyle tüm dünyayı şaşırtabilecek Andrew Wiles'ı bekleyen işte bu teoremdir.
Fermat teoremi: Perelman'ın kanıtı
Popüler efsaneye rağmen, Rus matematikçi Grigory Perelman'ın tüm dehasına rağmen Fermat'ın teoremiyle hiçbir ilgisi yoktur. Ancak bu hiçbir şekilde bilim camiasına yaptığı sayısız hizmete gölge düşürmüyor.
Son yirminci yüzyılda, matematik tarihi boyunca eşi benzeri görülmemiş bir olay meydana geldi. 19 Eylül 1994'te Pierre de Fermat (1601-1665) tarafından 350 yıldan daha uzun bir süre önce 1637'de formüle edilen bir teorem kanıtlandı. Aynı zamanda "Fermat'ın son teoremi" veya "Fermat'ın son teoremi" olarak da bilinir çünkü "Fermat'ın küçük teoremi" olarak da bilinir. Bu, o ana kadar matematik camiasında pek dikkat çekmeyen ve matematik standartlarına göre zaten orta yaşlı olan 41 yaşındaki Princeton Üniversitesi profesörü Andrew Wiles tarafından kanıtlandı.
Sadece sıradan Rus sakinlerimizin değil, bilimle ilgilenen birçok insanın, hatta Rusya'da matematiği şu veya bu şekilde kullanan önemli sayıda bilim insanının bile bu olaydan haberi olmaması şaşırtıcıdır. Bu, Rus popüler gazetelerinde ve televizyonda Fermat teoreminin "temel kanıtları" hakkında sürekli "sansasyonel" raporlarla gösterilmektedir. En son kanıtlar, sanki Wiles'ın en yetkili incelemelerden geçmiş ve dünya çapında yaygın olarak bilinen kanıtları yokmuş gibi bilgi verici bir güçle kaplıydı. Uzun zaman önce elde edilen kesin bir kanıt bağlamında, Rus matematik camiasının bu ön sayfa haberine tepkisi şaşırtıcı derecede yavaştı. Amacımız, Fermat'nın büyük teoreminin büyüleyici tarihi bağlamında Wiles ispatının büyüleyici ve dramatik tarihini özetlemek ve ispatın kendisinden biraz söz etmektir. Burada öncelikle Wiles'ın ispatının erişilebilir bir sunumunun mümkün olup olmadığı sorusuyla ilgileniyoruz; elbette dünyadaki çoğu matematikçi bunu biliyor, ancak yalnızca çok çok azı bu ispatın anlaşılması hakkında konuşabiliyor.
Fermat'ın ünlü teoremini hatırlayalım. Çoğumuz bunu okuldan beri öyle ya da böyle duymuşuzdur. Bu teorem çok önemli bir denklemle ilgilidir. Bu belki de üç bilinmeyen ve bir tane daha tam pozitif tamsayı parametresi kullanarak yazabileceğiniz en basit anlamlı denklemdir.
İşte:
Fermat'ın Son Teoremi, parametrenin (denklemin derecesi) ikiden büyük değerleri için, belirli bir denklemin tamsayı çözümlerinin olmadığını belirtir (tabii ki, tüm bu değişkenlerin sıfıra eşit olduğu çözüm hariç). aynı zamanda).
Fermat teoreminin kamuoyu için çekici gücü açıktır: Formülasyonu bu kadar basit olan, kanıtın görünürde erişilebilirliğine ve toplumun gözündeki "statüsünün" çekiciliğine sahip başka bir matematiksel ifade yoktur.
Buna ek olarak, Fermat'ın kendisi Diophantus'un Aritmetik çevirisinin kenarına şunu yazarak "kanıtladığı" için ispatın olası temel doğası her zaman dikkat çekmiştir: "Bunun gerçekten harika bir kanıtını buldum, ancak buradaki kenar boşlukları onu içeremeyecek kadar dar."
Bu nedenle, burada ünlü Amerikalı matematikçi R. Murty'ye ait olan Wiles'ın Fermat problemine ilişkin kanıtını popülerleştirmenin önemine ilişkin bir değerlendirme yapmak yerinde olacaktır (kitabın yakında yayınlanacak olan çevirisinden alıntı yapıyoruz). Yu. Manin ve A. Panchishkin “Modern Sayılar Teorisine Giriş”):
“Fermat'ın Son Teoremi uygarlık tarihinde özel bir yere sahiptir. Dışa dönük sadeliğiyle hem amatörleri hem de profesyonelleri her zaman cezbetmiştir... Her şey, yüzyıllar boyunca çeşitli düşünce çizgileri geliştiren ve daha sonra bunları Büyük Sorunu çözmek için heyecan verici bir füzyon halinde yeniden birleştiren daha yüksek bir zihin tarafından tasarlanmış gibi görünüyor. Fermat'ın teoremleri. Hiç kimse bu “mucize” kanıtta kullanılan fikirlerin tamamı konusunda uzman olduğunu iddia edemez. Evrensel uzmanlaşma çağında, her birimizin "gittikçe daha az hakkında giderek daha fazlasını" bildiğimiz bir çağda, bu şaheser hakkında genel bir bakışa sahip olmak kesinlikle gereklidir..."
Simon Singh'in büyüleyici kitabı Fermat'ın Son Teoremi'nden ilham alan kısa bir tarihi geziyle başlayalım. Görünürdeki sadeliğiyle cezbeden sinsi teoremin etrafında her zaman ciddi tutkular kaynıyordu. Kanıtının tarihi dram, mistisizm ve hatta doğrudan kurbanlarla doludur. Belki de en ikonik kurban Yutaka Taniyama'dır (1927-1958). Wiles'ın 1955'teki saldırısının temelini oluşturan, hayattaki büyük savurganlığıyla öne çıkan bu genç yetenekli Japon matematikçiydi. Goro Shimura ve Andre Weil, onun fikirlerine dayanarak birkaç yıl sonra (60-67) nihayet ünlü varsayımı formüle ettiler; bunun önemli bir kısmını kanıtlayan Wiles, Fermat'ın teoremini sonuç olarak elde etti. Önemsiz olmayan Yutaka'nın ölüm öyküsünün tasavvufu, onun fırtınalı mizacıyla ilişkilidir: mutsuz aşk nedeniyle otuz bir yaşında kendini astı.
Gizemli teoremin tüm uzun tarihine, Fermat'ın kendisinden başlayarak, onun kanıtıyla ilgili sürekli duyurular eşlik ediyordu. Sonsuz kanıt akışındaki sürekli hatalar yalnızca amatör matematikçilerin değil, aynı zamanda profesyonel matematikçilerin de başına geldi. Bu durum, Fermat'ın teoremini kanıtlayanlar için kullanılan "Fermatist" teriminin ortak bir isim haline gelmesine yol açtı. Kanıtıyla sürekli entrika bazen komik olaylara yol açtı. Böylece, Wiles'ın zaten geniş çapta duyurulan kanıtının ilk versiyonunda bir boşluk keşfedildiğinde, New York metro istasyonlarından birinde kötü niyetli bir yazı belirdi: “Fermat'ın Son Teoreminin gerçekten harika bir kanıtını buldum, ama trenim geldi ve bunu yazmaya zamanım yok.”
1953'te İngiltere'de doğan Andrew Wiles, Cambridge'de matematik okudu; yüksek lisansta Profesör John Coates ile çalıştı. Andrew, onun rehberliğinde, klasik sayılar teorisi ile modern cebirsel geometrinin sınırında yer alan Japon matematikçi Iwasawa'nın teorisini kavradı. Birbirinden uzak görünen matematik disiplinlerinin bu birleşimine aritmetik cebirsel geometri adı veriliyor. Andrew, birçok profesyonel matematikçi için bile zor olan bu sentetik teoriye tam olarak dayanarak Fermat'ın problemine meydan okudu.
Yüksek lisans eğitimini tamamladıktan sonra Wiles, halen çalışmakta olduğu Princeton Üniversitesi'ndeki bir pozisyonu kabul etti. Evli ve üç kızı var; bunlardan ikisi "kanıtın ilk versiyonunun yedi yıllık süreci sırasında" doğmuş. Bu yıllarda, yalnızca Andrew'un karısı Nada, onun matematiğin en ulaşılmaz ve en ünlü zirvesine tek başına fırtına gibi estiğini biliyordu. En önemli matematiksel çalışmaların yayınlandığı merkezi matematik dergisi Annals of Mathematics'te Wiles'ın ünlü son makalesi "Modüler eliptik eğriler ve Fermat'ın Son Teoremi", Nadya, Claire, Kate ve Olivia'ya ithaf edilmiştir.
Kanıtın etrafındaki olaylar oldukça dramatik bir şekilde ortaya çıktı. Bu heyecan verici senaryoya “fermatist – profesyonel matematikçi” denebilir.
Aslında Andrew gençliğinden beri Fermat'ın teoremini kanıtlamayı hayal ediyordu. Ancak Fermatistlerin ezici çoğunluğunun aksine, bunun için en karmaşık matematiğin tüm katmanlarına hakim olmanın gerekli olduğu onun için açıktı. Hedefine doğru ilerleyen Andrew, ünlü Cambridge Üniversitesi Matematik Fakültesi'nden mezun olur ve cebirsel geometri ile kesişme noktasında bulunan modern sayılar teorisi konusunda uzmanlaşmaya başlar.
Parlayan zirveye saldırma fikri oldukça basit ve temeldir - mümkün olan en iyi mühimmat ve rotanın dikkatli bir şekilde geliştirilmesi.
Kendisine zaten tanıdık gelen ve Wiles tarafından geliştirilen derin tarihsel köklere sahip olan Iwasawa teorisi, hedefe ulaşmak için güçlü bir araç olarak seçilmiştir. Bu teori, tarihsel olarak Fermat'ın problemine saldıran ve 19. yüzyılda ortaya çıkan ilk ciddi matematik teorisi olan Kummer'in teorisini genelleştirdi. Buna karşılık, Kummer'in teorisinin kökleri, yirmi bir yaşında bir kızın onurunu savunmak için bir düelloda ölen efsanevi ve parlak romantik devrimci Evariste Galois'in ünlü teorisinde yatmaktadır (dikkat edin, Taniyama ile olan hikayeyi hatırlayın). , güzel hanımların matematik tarihindeki ölümcül rolüne kadar).
Wiles tamamen kanıta dalmış durumda, hatta bilimsel konferanslara katılımı durduruyor. Ve Princeton'daki matematik topluluğundan yedi yıllık bir geri çekilmenin sonucu olarak, Mayıs 1993'te Andrew, metnine son verdi; iş bitmişti.
İşte tam bu sırada, bilim dünyasını keşfi hakkında bilgilendirmek için mükemmel bir fırsat ortaya çıktı - Haziran ayında memleketi Cambridge'de tam olarak istenen konu hakkında bir konferans düzenlenecekti. Isaac Newton'un Cambridge Enstitüsü'nde verdiği üç ders sadece matematik dünyasını değil, kamuoyunu da heyecanlandırıyor. 23 Haziran 1993'teki üçüncü dersin sonunda Wiles, Fermat'ın Son Teoreminin kanıtını duyurdu. Kanıt, Taniyama-Shimura-Weil varsayımına yeni bir yaklaşım, çok gelişmiş bir Iwasawa teorisi, Galois temsillerinin yeni bir "deformasyon kontrol teorisi" gibi bir dizi yeni fikirle doludur. Matematik camiası, ispat metninin aritmetik cebirsel geometri uzmanları tarafından incelenmesini sabırsızlıkla bekliyor.
Dramatik dönüşün geldiği yer burasıdır. Wiles, eleştirmenlerle iletişim kurma sürecinde, kanıtlarında bir boşluk keşfeder. Çatlak, kendisinin icat ettiği "deformasyon kontrol" mekanizmasından (kanıtın destekleyici yapısı) kaynaklandı.
Aradaki fark, birkaç ay sonra Wiles'ın Princeton'daki öğretim üyesi meslektaşı Nick Katz'a kanıtını satır satır açıklamasıyla ortaya çıktı. Andrew'la uzun süredir dostane ilişkiler içinde olan Nick Katz, ona gelecek vaat eden genç İngiliz matematikçi Richard Taylor ile işbirliği yapmasını tavsiye ediyor.
Zorlu bir soruna saldırmak için ek bir silahın incelenmesiyle ilgili bir yıl daha sıkı çalışma geçiyor - 80'lerde yurttaşımız Viktor Kolyvagin (zaten New York Üniversitesi'nde uzun süredir çalışıyor) tarafından bağımsız olarak keşfedilen sözde Euler sistemleri. ) ve Thain.
Ve işte yeni bir test. Tamamlanmamış ama yine de çok etkileyici olan Wiles'ın çalışmasının sonucu, kendisi tarafından Ağustos 1994'ün sonunda Zürih'teki Uluslararası Matematikçiler Kongresi'ne sunuldu. Wiles sıkı mücadele ediyor. Görgü tanıklarının ifadesine göre, kelimenin tam anlamıyla rapordan önce, hararetle başka bir şey yazıyordu ve "sarkma" kanıtlarıyla durumu maksimum düzeyde iyileştirmeye çalışıyordu.
Wiles'ın raporuna göre, dünyanın önde gelen matematikçilerinden oluşan bu ilgi çekici dinleyici kitlesinin ardından matematik camiası "neşeyle nefes veriyor" ve anlayışla alkışlıyor: sorun değil dostum, ne olursa olsun, ama o ileri düzeyde bilime sahip, böylesine zaptedilemez bir hipotezi çözmenin mümkün olduğunu gösteriyor. Başarılı bir şekilde ilerledim ki bunu daha önce hiç kimse yapmamıştı, bunu yapmayı düşünmedim bile. Başka bir Fermatçı olan Andrew Wiles, birçok matematikçinin Fermat teoremini kanıtlamaya yönelik gizli hayalini ortadan kaldıramadı.
Wiles'ın o andaki durumunu hayal etmek doğal. Meslektaşlarının desteği ve dostluğu bile onun yaşadığı psikolojik yıkımı telafi edemedi.
Ve böylece, yalnızca bir ay sonra, Wiles'ın Annals'daki son makalesinin girişinde son kanıtla birlikte yazdığı gibi, "Bu argümanı kanıt için yeniden canlandırmak amacıyla Euler sistemlerine son bir kez bakmaya karar verdim" ve bu gerçekleşti. . Wiles, 19 Eylül 1994'te bir anlık fikir sahibi oldu. Kanıttaki boşluk işte o gün kapandı.
Daha sonra işler hızla ilerledi. Kolyvagin ve Thain'in Eulerian sistemlerinin incelenmesinde Richard Taylor ile halihazırda kurulmuş olan işbirliği, kanıtın Ekim ayında iki büyük makale halinde sonuçlandırılmasına olanak sağladı.
Bunu Annals of Mathematics'in tüm sayısını dolduran yayınları Kasım 1994'te izledi. Bütün bunlar yeni ve güçlü bir bilgi dalgasına neden oldu. Wiles'ın ispatının hikayesi Amerika Birleşik Devletleri'nde büyük ilgi gördü, bir film çekildi ve matematikte fantastik bir atılımın yazarı hakkında kitaplar yayınlandı. Kendi çalışmasının bir değerlendirmesinde Wiles, geleceğin matematiğini icat ettiğini belirtti.
(Acaba öyle mi? Tüm bu bilgi fırtınasıyla, Rusya'da bugüne kadar devam eden neredeyse sıfır bilgi rezonansı ile keskin bir tezat oluşturduğunu belirtelim).
Kendimize bir soru soralım: Olağanüstü sonuçlar elde etmenin “iç mutfağı” nedir? Sonuçta bir bilim insanının işini nasıl organize ettiğini, neye odaklandığını, faaliyetlerinin önceliklerini nasıl belirlediğini bilmek ilginçtir. Bu anlamda Andrew Wiles hakkında ne söylenebilir? Ve beklenmedik bir şekilde, aktif bilimsel iletişimin ve kolektif çalışma tarzının modern çağında, Wiles'ın süper problemler üzerinde çalışma tarzına ilişkin kendi görüşüne sahip olduğu ortaya çıktı.
Wiles, muhteşem sonucunu yoğun, sürekli ve uzun yıllar süren bireysel çalışmaya dayanarak elde etti. Resmi dilde konuşursak, faaliyetlerinin organizasyonu son derece plansız bir nitelikteydi. Bu, kategorik olarak belirli bir hibe çerçevesindeki, düzenli olarak raporlama yapılması ve yine her seferinde belirli bir tarihe kadar belirli sonuçların elde edilmesinin planlanması gereken bir faaliyet olarak adlandırılamaz.
Konferanslarda bile meslektaşlarıyla doğrudan bilimsel iletişimi gerektirmeyen, toplum dışındaki bu tür faaliyetler, modern bir bilim adamının çalışmalarının tüm kanonlarıyla çelişiyor gibi görünüyordu.
Ancak halihazırda belirlenmiş standart kavram ve yöntemlerin ötesine geçmeyi mümkün kılan bireysel çalışmaydı. Biçim olarak kapalı ve aynı zamanda özünde özgür olan bu çalışma tarzı, yeni güçlü yöntemler icat etmeyi ve yeni düzeyde sonuçlar elde etmeyi mümkün kıldı.
Wiles'ın karşılaştığı sorun (Taniyama-Shimura-Weil varsayımı), o yıllarda modern matematiğin fethedebileceği en yakın zirveler arasında bile değildi. Aynı zamanda, uzmanların hiçbiri onun muazzam önemini inkar etmedi ve sözde modern matematiğin "ana akışında" yer aldı.
Dolayısıyla, Wiles'ın faaliyetleri belirgin bir şekilde sistemik olmayan bir yapıya sahipti ve sonuç, güçlü motivasyon, yetenek, yaratıcı özgürlük, irade, Princeton'da çalışmak için uygun maddi koşulların ötesinde ve en önemlisi aile içindeki karşılıklı anlayış sayesinde elde edildi.
Wiles'ın birdenbire ortaya çıkan kanıtı, uluslararası matematik camiası için bir tür test haline geldi. Bir bütün olarak bu topluluğun en ilerici kesiminin bile tepkisi, tuhaf bir şekilde oldukça tarafsız çıktı. Dönüm noktası niteliğindeki kanıtların ortaya çıkmasının ardından ilk seferin duyguları ve zevki yatıştıktan sonra, herkes sakin bir şekilde işine devam etti. Aritmetik cebirsel geometri uzmanları, dar çevrelerinde yavaş yavaş "güçlü kanıtı" incelerken, geri kalanlar, daha önce olduğu gibi birbirlerinden giderek uzaklaşarak matematiksel yollarını sürdüler.
Hem objektif hem de subjektif sebepleri olan bu durumu anlamaya çalışalım. Garip bir şekilde, algılanmamanın nesnel faktörlerinin modern bilimsel faaliyetin organizasyon yapısında kökleri vardır. Bu faaliyet, eğimli bir yolda ilerleyen ve muazzam bir atalet sahibi olan bir buz pateni pistine benzer: kendi okulu, kendi belirlenmiş öncelikleri, kendi finansman kaynakları vb. Bütün bunlar, bağış verene yönelik yerleşik bir raporlama sistemi açısından iyidir, ancak başınızı kaldırıp etrafa bakmanızı zorlaştırır: Bilim ve toplum için gerçekte önemli olan ve ilgili olan, bir sonraki kısmı için değil. hibe mi?
Sonra - yine - her şeyin çok tanıdık olduğu rahat deliğinizden çıkmak ve tamamen tanıdık olmayan başka bir deliğe tırmanmak istemezsiniz. Orada ne bekleneceği bilinmiyor. Üstelik izinsiz giriş için para vermedikleri de çok açık.
Rusya da dahil olmak üzere farklı ülkelerde bilimi organize eden bürokratik yapıların hiçbirinin, yalnızca Andrew Wiles'ın kanıtı olgusundan değil, aynı zamanda Grigory Perelman'ın yine ünlü bir başka matematiksel kanıtın sansasyonel kanıtı gibi benzer olgusundan da sonuç çıkarmamış olması oldukça doğaldır. sorun.
Matematik dünyasının "milenyum olayı"na tepkisinin tarafsızlığının öznel faktörleri oldukça sıradan sebeplerde yatmaktadır. Kanıt gerçekten olağanüstü derecede karmaşık ve uzundur. Aritmetik cebirsel geometri konusunda uzman olmayan birine göre, en soyut matematik disiplinlerinin terminoloji ve yapılarının katmanlarından oluşuyormuş gibi görünür. Görünüşe göre yazar, mümkün olduğu kadar çok sayıda ilgili matematikçi tarafından anlaşılması için kendisine bir hedef koymamış.
Bu metodolojik karmaşıklık maalesef yakın zamanların büyük kanıtlarının kaçınılmaz bir bedeli olarak mevcut (örneğin Grigory Perelman'ın Poincaré varsayımına ilişkin son kanıtlarının analizi bugün de devam ediyor).
Aritmetik cebirsel geometrinin matematiğin çok egzotik bir alt dalı olması, profesyonel matematikçiler için bile zorluklara neden olması, algının karmaşıklığını daha da artırmaktadır. Son yıllarda çok sayıda matematikçinin yarattığı çeşitli modern araçları kullanan Wiles'ın ispatının olağanüstü sentetik doğası da meseleyi daha da kötüleştirdi.
Ancak Wiles'ın metodolojik açıklama göreviyle karşı karşıya olmadığını hesaba katmalıyız; o yeni bir yöntem inşa ediyordu. Yöntemde işe yarayan şey, tam olarak Wiles'ın kendi parlak fikirlerinin sentezi ve çeşitli matematiksel yönlerden elde edilen en son sonuçların bir araya getirilmesiydi. Ve zaptedilemez sorunu ortadan kaldıran da tam olarak bu kadar güçlü bir yapıydı. Kanıt bir kaza değildi. Kristalleşmesi gerçeği hem bilimin gelişiminin mantığıyla hem de bilginin mantığıyla tamamen tutarlıydı. Böyle bir süper ispatı açıklama görevi, oldukça umut verici olmasına rağmen tamamen bağımsız, çok zor bir problem gibi görünüyor.
Kamuoyunun görüşünü kendiniz test edebilirsiniz. Wiles'ın kanıtı hakkında tanıdığınız matematikçilere sorular sormayı deneyin: kim anladı? En azından temel fikirleri kim anladı? Kim anlamak istedi? Bunun yeni matematik olduğunu kim hissetti? Bu soruların cevapları retorik gibi görünüyor. Ve sadece çok egzotik bir denklemi çözmek için özel terimler perdesini aşmak ve yeni kavram ve yöntemlerde ustalaşmak isteyen pek çok insanla tanışmanız pek olası değildir. Ve bu özel görev uğruna tüm bunları incelemek neden gerekli?!
Size komik bir örnek vereyim. Birkaç yıl önce, cebirsel geometri ve sayı teorisi alanında önde gelen uzmanlardan biri olan ünlü Fransız matematikçi Fields ödüllü Pierre Deligne, yazar tarafından Wiles'ın ispatının temel nesnelerinden birinin - sözde " deformasyon halkası” - yarım saatlik düşünmenin ardından, bu nesnenin anlamını tam olarak anlamadığını söyledi. Bu noktaya kadar ispatın üzerinden on yıl geçti.
Artık Rus matematikçilerin tepkisini yeniden üretebiliriz. Ana tepki neredeyse tamamen yokluğudur. Bunun temel nedeni Wiles'ın "ağır" ve "alışılmadık" matematiğidir.
Örneğin klasik sayılar teorisinde Wiles'ınki kadar uzun kanıtları bulamazsınız. Sayı teorisyenlerinin dediği gibi, "bir kanıt bir sayfa uzunluğunda olmalıdır" (Wiles'ın Taylor'la işbirliği yaparak dergi versiyonundaki kanıtı 120 sayfa sürer).
Ayrıca değerlendirmenizin profesyonellikten uzak olmasından kaynaklanan korku faktörünü de göz ardı edemezsiniz: tepki vererek kanıtları değerlendirme sorumluluğunu üstlenirsiniz. Bu matematiği bilmeden bunu nasıl yapacaksınız?
Sayı teorisinde doğrudan uzmanların aldıkları pozisyon karakteristiktir: "... ve matematik tarihinin en büyük gizemlerinden biri karşısında hayranlık, yakıcı ilgi ve ihtiyat" (Paulo Ribenboim'in kitabının önsözünden) “Fermat'ın Amatörler İçin Son Teoremi” - bugün doğrudan Wiles'ın genel okuyucu için kanıtından kaynakta mevcut olan tek teorem.
En ünlü modern Rus matematikçilerinden Akademisyen V.I.'nin tepkisi. Arnold kanıt konusunda "aktif olarak şüpheci": Bu gerçek matematik değil; gerçek matematik geometriktir ve fizikle güçlü bağlantıları vardır. Üstelik Fermat'ın probleminin kendisi doğası gereği matematiğin gelişimini sağlayamaz çünkü "ikili" olduğundan, yani problemin formülasyonu yalnızca "evet veya hayır" sorusunun cevabını gerektirir. Aynı zamanda V.I.'nin son yıllardaki matematiksel çalışmaları. Arnold'un çalışmalarının büyük ölçüde benzer sayılara ilişkin teorik konulardaki çeşitlemelere ayrıldığı ortaya çıktı. Paradoksal olarak Wiles'ın bu faaliyetin dolaylı bir nedeni haline gelmesi mümkündür.
Ancak Moskova Devlet Üniversitesi Mekanik ve Matematik Fakültesi'nde kanıt meraklıları ortaya çıkıyor. Dikkate değer bir matematikçi ve popüler bilim adamı Yu.P. Soloviev (zamansız bir şekilde aramızdan ayrıldı), E. Knapp'ın eliptik eğriler hakkındaki kitabının Taniyama-Shimura-Weil varsayımına ilişkin gerekli materyalle çevirisine başlıyor. Şu anda Fransa'da çalışan Alexey Panchishkin, 2001 yılında Mekanik ve Matematik Fakültesi'nde dersler verdi ve bu, Yu.I. ile ilgili bölümünün temelini oluşturdu. Manin'in yukarıda bahsedilen modern sayılar teorisi üzerine mükemmel kitabı (Rusça çevirisi Sergei Gorchinsky tarafından yayınlandı ve düzenlemesi Alexei Parshin tarafından 2007'de yapıldı).
Rus matematik dünyasının merkezi olan Moskova Steklov Matematik Enstitüsü'nde Wiles'ın kanıtının seminerlerde tartışılmaması, yalnızca bireysel uzman uzmanlar tarafından incelenmesi biraz şaşırtıcı. Üstelik zaten tamamlanmış olan Taniyama-Shimura-Weil varsayımının kanıtı anlaşılmamıştı (Wiles, Fermat teoremini kanıtlamak için yeterli olan yalnızca kendi kısmını kanıtladı). Bu kanıt, 2000 yılında, Fermat teoreminin kanıtlanmasının son aşamasında Wiles'ın ortak yazarı Richard Taylor da dahil olmak üzere, yabancı matematikçilerden oluşan bir ekip tarafından verildi.
Wiles'ın ispatıyla ilgili olarak ünlü Rus matematikçiler tarafından herhangi bir kamu açıklaması yapılmadı, tartışmalar da yapılmadı. Rus V. Arnold (“kanıt yöntemine şüpheyle yaklaşan”) ile Amerikalı S. Lang (“kanıt yöntemine meraklı”) arasında oldukça keskin bir tartışma vardır, ancak bunun izleri Batı'da kaybolmuştur. yayınlar. Rus merkezi matematik basınında, Wiles'ın ispatının yayınlanmasından bu yana geçen süre boyunca ispatın konusuyla ilgili hiçbir yayın yapılmadı. Belki de bu konuyla ilgili tek yayın, 1995 yılında Advances in Mathematical Sciences dergisinde Kanadalı matematikçi Henry Darmon'un yazdığı bir makalenin çevirisiydi, hatta kanıtın eksik bir versiyonuydu (kanıtın tamamının zaten yayınlanmış olması komik).
Bu "uykulu" matematiksel arka plana karşı, Wiles'ın kanıtının son derece soyut doğasına rağmen, bazı cesur teorik fizikçiler onu potansiyel ilgi alanlarına dahil ettiler ve er ya da geç Wiles'ın matematiğinin uygulamalarını bulmayı umarak onu incelemeye başladılar. Bu, sırf bu matematik tüm bu yıllar boyunca pratik olarak kendi kendine izolasyon içinde olduğu için de olsa, sevinmekten başka bir şey olamaz.
Bununla birlikte, uygulamalı potansiyelini aşırı derecede ağırlaştıran kanıt uyarlama sorunu devam etti ve çok alakalı olmaya devam ediyor. Bugüne kadar, Wiles'ın makalesinin son derece uzmanlaşmış orijinal metni ve Wiles ile Taylor'ın ortak makalesi, yalnızca oldukça dar bir profesyonel matematikçiler çevresi için olsa da, halihazırda uyarlanmıştır. Bu, Yu Manin ve A. Panchishkin'in söz konusu kitabında yapıldı. Orijinal kanıtın belirli bir yapaylığını başarılı bir şekilde düzeltmeyi başardılar. Buna ek olarak, Wiles'ın ispatının ateşli bir destekçisi olan (ne yazık ki Eylül 2005'te vefat eden) Amerikalı matematikçi Serge Lang, klasik üniversite ders kitabı Cebir'in üçüncü baskısında ispatın en önemli yapılarından bazılarına yer verdi.
Orijinal ispatın yapaylığına bir örnek olarak, bu izlenimi yaratan özellikle dikkat çekici özelliklerden birinin, bireysel doğal sayıların yanı sıra 2, 3, 5, 11, 17 gibi bireysel asal sayıların özel rolü olduğunu belirtiyoruz. 15, 30 ve 60 gibi. Diğer şeylerin yanı sıra, ispatın en sıradan anlamda geometrik olmadığı oldukça açıktır. Metnin daha iyi anlaşılabilmesi için eklenebilecek doğal geometrik görseller içermez. Süper güçlü "terminolojikleştirilmiş" soyut cebir ve "ileri" sayı teorisi, nitelikli bir matematik okuyucusunun bile kanıtı algılama yeteneğini tamamen psikolojik olarak zayıflatır.
Böyle bir durumda Wiles'ın kendisi de dahil olmak üzere kanıt uzmanlarının neden bunu "parlatmadıkları", kendi ana matematik topluluklarında bile bariz bir "matematiksel başarıyı" teşvik etmedikleri ve popülerleştirmedikleri merak edilebilir.
Yani kısacası, bugün Wiles ispatı olgusu, Fermat teoreminin ispatının ilk doğru ispat statüsünde olması ve içinde “bir çeşit süper güçlü matematik” kullanılmasıdır.
Geçen yüzyılın ortalarında ünlü Rus matematikçi, Mekanik ve Matematik Fakültesi'nin eski dekanı V.V., güçlü ancak henüz uygulanmamış matematik hakkında çok net konuştu. - Golubev:
“... F. Klein'ın esprili sözlerine göre, matematiğin pek çok bölümü, silah üreten firmalarda bulunan en son silah modellerinin sergilendiği sergilere benziyor; Mucitlerin tüm zekasına rağmen, gerçek bir savaş başladığında, bu yeni ürünlerin şu veya bu nedenle kullanılamaz hale geldiği sıklıkla görülür... Modern matematik öğretimi de tam olarak aynı tabloyu sunar; öğrencilerin ellerine çok gelişmiş ve güçlü matematiksel araştırma araçları verilir... ancak o zaman öğrenciler, tüm bilimlerin ana görevini çözmede bu güçlü ve ustaca yöntemlerin nerede ve nasıl uygulanabileceği konusunda hiçbir fikre sahip olamazlar: anlamada. Çevremizdeki dünya ve onu etkileyen, insanın yaratıcı iradesidir. Bir zamanlar A.P. Çehov, eğer bir oyunun ilk perdesinde sahnede asılı bir silah varsa, en azından üçüncü perdede silahın ateşlenmesi gerektiğini söyledi. Bu açıklama tamamen matematik öğretimi için geçerlidir: Eğer öğrencilere herhangi bir teori sunulursa, o zaman bu teoriden öncelikle mekanik, fizik veya teknoloji alanında ve diğer alanlarda hangi uygulamaların yapılabileceğini er ya da geç göstermek gerekir. alanlar.”
Bu benzetmeye devam edersek, Wiles'ın kanıtının modern temel matematiğin çok büyük bir katmanını incelemek için son derece uygun bir materyal temsil ettiğini söyleyebiliriz. Burada öğrencilere, klasik sayılar teorisi probleminin, modern cebirsel sayılar teorisi, modern Galois teorisi, p-adik matematik, aritmetik cebirsel geometri, değişmeli ve değişmeli olmayan cebir gibi saf matematiğin dallarıyla nasıl yakından ilişkili olduğu gösterilebilir.
Wiles'ın, icat ettiği matematiğin -yeni bir seviyedeki matematiğin- güveni doğrulansaydı adil olurdu. Ve bu gerçekten çok güzel ve sentetik matematiğin "ateşlenmemiş silah" kaderine maruz kalmasını gerçekten istemiyorum.
Yine de şimdi şu soruyu soralım: Wiles'ın kanıtını geniş bir ilgili kitle için yeterince anlaşılır terimlerle tanımlamak mümkün mü?
Uzmanların bakış açısından bu tam bir ütopyadır. Ama yine de, Fermat teoreminin yalnızca sıradan üç boyutlu Öklid uzayımızın tamsayı noktalarıyla ilgili bir ifade olduğu şeklindeki basit düşüncenin rehberliğinde deneyelim.
Fermat denkleminde tamsayı koordinatlı noktaları sırayla değiştireceğiz.
Wiles, tamsayı noktalarını yeniden hesaplamak ve bunları Fermat teoreminin denklemini sağlayacak şekilde test etmek için en uygun mekanizmayı bulur (gerekli tanımları getirdikten sonra, böyle bir yeniden hesaplama, "rasyonel sayılar alanı üzerindeki eliptik eğrilerin modülerlik özelliği" olarak adlandırılan şeye tam olarak karşılık gelecektir. , Taniyama-Shimura-Weil varsayımıyla açıklanmıştır).
Yeniden hesaplama mekanizması, Fermat denkleminin olası bir çözümünü keyfi bir üsle tamamen farklı bir denklemle birleştiren Alman matematikçi Gerhard Frey'in dikkat çekici bir keşfinin yardımıyla optimize edildi. Bu yeni denklem özel bir eğri (Frey'in eliptik eğrisi adı verilen) ile verilmektedir. Bu Frey eğrisi çok basit bir denklemle verilir:
Frey'in fikrinin sürprizi, problemin sayı-teorik doğasından "gizli" geometrik yönüne geçişti. Yani: Fermat denkleminin her çözümüyle ilişkili Frey, yani ilişkiyi karşılayan sayılar
Yukarıdaki eğri. Şimdi bu tür eğrilerin mevcut olmadığını göstermek kalıyor.
Frey'in, Wiles'ın "başlangıç" zamanındaki icadı oldukça yeniydi (1985 yılı) ve aynı zamanda Diophantine denklemlerine çözüm bulmak için eliptik eğrilerin kullanılmasını öneren Fransız matematikçi Helleguarche'nin (1970'ler) nispeten yeni yaklaşımını da yansıtıyordu. Fermat denklemine benzer denklemler.
Şimdi Frey eğrisine farklı bir bakış açısından, yani Öklid uzayındaki tamsayı noktalarının yeniden hesaplanmasına yönelik bir araç olarak bakmaya çalışalım. Başka bir deyişle Frey eğrimiz böyle bir yeniden hesaplama için algoritmayı belirleyen formül rolünü oynayacaktır.
Bu bağlamda Wiles'ın bu yeniden hesaplamayı kontrol etmek için araçlar (özel cebirsel yapılar) icat ettiğini söyleyebiliriz. Aslına bakılırsa Wiles'ın bu incelikli araç seti, kanıtın merkezi çekirdeğini ve ana karmaşıklığını oluşturur. Wiles'ın anlaşılması çok zor olan temel karmaşık cebirsel keşifleri bu aletlerin üretiminde ortaya çıkıyor.
Ancak yine de kanıtın belki de en beklenmedik etkisi, tamamen basit, neredeyse "okul" bağımlılığıyla temsil edilen yalnızca bir "Freevian" eğrisi kullanmanın yeterliliğidir.
Şaşırtıcı bir şekilde, böyle bir eğrinin yalnızca bir tanesinin kullanılması, üç boyutlu Öklid uzayındaki tüm noktaların tamsayı koordinatlarla test edilmesi ve bunların Fermat'ın Son Teoremini keyfi bir üsle karşılayıp karşılamadıklarını görmek için yeterlidir.
Başka bir deyişle, sıradan bir lise öğrencisinin anlayabileceği tek bir eğrinin (belirli bir formu olmasına rağmen) kullanılması, sıradan üç boyutlu uzayın tüm noktalarının ardışık olarak yeniden hesaplanması için bir algoritma (program) oluşturmaya eşdeğer olduğu ortaya çıkıyor. Ve sadece bir yeniden hesaplama değil, aynı zamanda Fermat denkleminin "tatmin edilmesi" açısından tüm noktanın eş zamanlı olarak test edildiği bir yeniden hesaplama.
İşte Pierre de Fermat'ın hayaleti burada ortaya çıkıyor, çünkü böyle bir yeniden hesaplamayla genellikle Fermat'ın "Ferma't inişi" veya indirgeme (veya "sonsuz iniş yöntemi") olarak adlandırılan şey hayat buluyor.
Bu bağlamda, Fermat'ın ispatının geometrik fikrini iyi bir şekilde "görebilmesine" rağmen, neden nesnel nedenlerle teoremini kanıtlayamadığı hemen anlaşılıyor.
Burada en önemli şey bu araçların “minimal” olmasıdır, yani. basitleştirilemezler. Her ne kadar bu "minimalizm" kendi içinde çok zor olsa da. Ve kanıtın belirleyici son adımı Wiles'ın bu önemsiz olmayan "minimalliğin" farkındalığı oldu. Bu tam olarak 19 Eylül 1994’teki “salgın”dı.
Memnuniyetsizliğe neden olan bazı sorunlar hala burada varlığını sürdürüyor - Wiles bu minimal yapıyı açıkça tanımlamıyor. Bu nedenle Fermat'ın problemi ile ilgilenenlerin hâlâ yapacak ilginç işleri var; bu “minimalliğin” net bir şekilde yorumlanması gerekiyor.
“Cebirleştirilmiş” ispatın geometrisinin burada saklanması muhtemeldir. Fermat'ın incelemesinin dar kenar boşluklarına şu meşhur girişi yaptığında hissettiği şeyin tam olarak bu geometri olması mümkündür: "Gerçekten dikkate değer bir kanıt buldum...".
Şimdi doğrudan sanal deneye geçelim ve matematikçi-avukat Pierre de Fermat'ın düşüncelerini "kazmaya" çalışalım.
Fermat'ın sözde küçük teoreminin geometrik görüntüsü, düz bir çizgi boyunca "kaymadan" yuvarlanan ve tüm noktaları kendi etrafında "saran" bir daire olarak temsil edilebilir. Fermat'ın küçük teoreminin bu yorumdaki denklemi aynı zamanda fiziksel bir anlam da kazanır - bu tür hareketin tek boyutlu ayrık zamanda korunumu yasasının anlamı.
Bu geometrik ve fiziksel görüntüleri problemin boyutunun (denklemdeki değişken sayısı) arttığı ve Fermat'ın küçük teoreminin denkleminin Fermat'ın büyük teoreminin denklemine dönüştüğü duruma aktarmayı deneyebilirsiniz. Şöyle ki: Fermat'ın son teoreminin geometrisinin, bir düzlem boyunca yuvarlanan ve bu düzlem üzerindeki tüm noktaları kendi etrafında "saran" bir küre ile temsil edildiğini varsayalım. Bu yuvarlamanın keyfi değil “periyodik” olması önemlidir (matematikçiler ayrıca “siklotomik” derler). Yuvarlanmanın periyodikliği, belirli bir sabit süre (dönem) sonrasında en genel şekilde yuvarlanan bir kürenin doğrusal ve açısal hız vektörlerinin büyüklük ve yönde tekrarlanması anlamına gelir. Bu periyodiklik, "küçük" Fermat denklemini modelleyen, bir daireyi düz bir çizgi boyunca yuvarlamanın doğrusal hızının periyodikliğine benzer.
Buna göre “büyük” Fermat denklemi, kürenin yukarıda bahsedilen hareketinin zaten iki boyutlu ayrık zamanda korunumu yasası anlamını kazanır. Şimdi bu iki boyutlu zamanın köşegenini alalım (tüm zorluk bu adımda yatıyor!). Bu son derece çetrefilli ve denklemin üssünün tam iki olduğu Fermat'ın Son Teoreminin tek köşegen denklemi olduğu ortaya çıkıyor.
Tek boyutlu bir durumda - Fermat'ın küçük teoremindeki durum - zaman tek boyutlu olduğundan ve köşegen almanın bir nedeni olmadığından böyle bir köşegen bulmaya gerek olmadığını belirtmek önemlidir. Bu nedenle Fermat'ın küçük teoreminin denklemindeki bir değişkenin derecesi keyfi olabilir.
Böylece, hiç beklenmedik bir şekilde, Fermat'nın büyük teoreminin "fizikselleştirilmesine", yani onun fiziksel anlamının ortaya çıkmasına giden bir köprüye ulaşıyoruz. Fermat'ın fiziğe yabancı olmadığını nasıl hatırlamazsınız?
Bu arada, fizik deneyimi aynı zamanda yukarıdaki türdeki mekanik sistemlerin korunum yasalarının problemin fiziksel değişkenlerinde ikinci dereceden olduğunu göstermektedir. Ve son olarak, tüm bunlar okuldan bilinen Newton mekaniğinin enerjinin korunumu yasalarının ikinci dereceden yapısıyla oldukça tutarlıdır.
Fermat'ın son teoreminin yukarıdaki "fiziksel" yorumu açısından, "minimallik" özelliği, korunum yasasının derecesinin minimalliğine karşılık gelir (bu ikidir). Ve Fermat ve Wiles'ın indirgenmesi, noktaların yeniden hesaplanmasının korunumu yasalarının en basit biçim yasasına indirgenmesine karşılık gelir. Hem geometrik hem de cebirsel olarak bu en basit (karmaşıklık açısından minimum) yeniden hesaplama, bir kürenin bir düzlem üzerinde yuvarlanmasıyla temsil edilir, çünkü bir küre ve bir düzlem, tamamen anladığımız gibi, iki boyutlu geometrik nesneler "minimaldir".
İlk bakışta eksik olan tüm karmaşıklık, bir kürenin görünüşte "basit" bir hareketinin doğru bir şekilde tanımlanmasının hiç de kolay olmaması gerçeğinde yatmaktadır. Gerçek şu ki, kürenin "periyodik" yuvarlanması, üç boyutlu uzayımızın bir grup sözde "gizli" simetrisini "emiyor". Bu gizli simetrilere, kürenin doğrusal ve açısal hareketinin önemsiz olmayan kombinasyonları (bileşimleri) neden olur - bkz. Şekil 1.
 |
Wiles'ın cebirsel yapıları tam olarak kürenin bu kadar zorlu bir yuvarlanması ile geometrik olarak kodlanan (tamsayı koordinatlara sahip noktalar çizilen kafesin düğümlerinde "oturur") bu gizli simetrilerin kesin açıklaması için gereklidir.
Şekil 1'de gösterilen geometrik yorumlamada, kürenin merkezinin doğrusal hareketi düzlemdeki tüm noktaları "sayar" ve açısal (veya dönme) hareketi, yeniden hesaplamanın uzamsal (veya dikey) bileşenini sağlar. Kürenin dönme hareketi, kürenin düzlem boyunca keyfi yuvarlanmasında hemen "görülemez". Yukarıda bahsedilen Öklid uzayının gizli simetrilerine karşılık gelen dönme hareketidir.
Yukarıda tanıtılan Frey eğrisi, sarmal bir merdiven boyunca hareketi anımsatarak, uzaydaki bütün noktaların estetik açıdan en güzel yeniden hesaplamasını tam olarak "kodlar". Aslında küre üzerindeki belirli bir noktanın bir periyotta taradığı eğriyi takip ederseniz, işaretli noktamızın Şekil 2'de gösterilen eğriyi taradığını göreceksiniz. 2, grafiğin uzaysal bir benzeri olan "çift uzaysal sinüzoide" benziyor. Bu güzel eğri, (yani) Frey eğrisinin "minimum"unun bir grafiği olarak yorumlanabilir. Bu, test yeniden hesaplamamızın programıdır.
Bu resmin çağrışımsal algısını bir miktar ilişkilendirdikten sonra, eğrimizin sınırladığı yüzeyin, biyolojinin "köşe tuğlası" olan DNA molekülünün yüzeyine çarpıcı biçimde benzediğini göreceğiz! Wiles'ın kanıtındaki DNA kodlayan yapılara yönelik terminolojinin Singh'in Fermat'ın Son Teoremi kitabında kullanılması belki de tesadüf değildir.
Yorumumuzdaki belirleyici noktanın, Fermat'ın küçük teoremi için korunum yasasının analoğunun (derecesi keyfi olarak büyük olabilir), tam da bu durumda Fermat'ın Büyük Teoreminin denklemi olduğu gerçeği olduğunu bir kez daha vurgulayalım.
 |
Fermat'ın Son Teoreminin ifadesine karşılık gelen şey, "bir kürenin bir düzlem üzerinde yuvarlanması için korunum yasası derecesinin minimumluğu" etkisidir.
Şimdi modern fiziğe bir köprü kuralım. Wiles'ın burada öne sürdüğü kanıtın geometrik görüntüsü, yerçekiminin doğasının gizemine, kuantum genel görelilik teorisine ulaşmaya çalışan modern fiziğin geometrisine çok yakındır. Fermat'ın Son Teoremi ile Büyük Fizik arasındaki ilk bakışta beklenmedik etkileşimi doğrulamak için, yuvarlanan kürenin çok büyük olduğunu ve altındaki düzlemi "ittiğini" hayal edelim. Bu "ileriye doğru ilerlemenin" Şekil 2'deki yorumu. Şekil 3, Einstein'ın genel görelilik teorisinin tam olarak "yerçekimi geometrisini" tanımlayan iyi bilinen geometrik yorumunu çarpıcı bir şekilde anımsatıyor.
Ayrıca, bir düzlem üzerinde ayrık bir tamsayı kafesi tarafından somutlaştırılan resmimizin mevcut ayrıklaşmasını da hesaba katarsak, o zaman aslında "kuantum yerçekimini" kendi gözlerimizle gözlemleriz!
 |
Wiles'ın "süper soyut" kanıtının görsel bir yorumunu sunmaya yönelik "süvari" girişimimizi, işte bu büyük "birleştirici" fiziko-matematik notu üzerinde sonlandıracağız.
Şimdi, belki de, Fermat teoreminin doğru ispatı ne olursa olsun, şu ya da bu şekilde Wiles ispatının yapılarını ve mantığını kullanması gerektiğini vurgulamak gerekir. Wiles'ın ispat için kullandığı matematiksel araçların bahsedilen "minimumluk özelliği" nedeniyle tüm bunları atlamak kesinlikle imkansızdır. Bu kanıtın "geometrik-dinamik" yorumunda, bu "minimumluk özelliği", bir test algoritmasının doğru (yani "yakınsak") yapısı için "gerekli minimum koşulları" sağlar.
Bir yandan bu, amatör çiftçiler için büyük bir hayal kırıklığıdır (tabii ki öğrenirlerse; dedikleri gibi, “ne kadar az bilirseniz o kadar iyi uyursunuz”). Öte yandan, Wiles'ın ispatının doğal olarak "basitleştirilmemesi", resmi olarak profesyonel matematikçiler için hayatı kolaylaştırır - Wiles'ın ispatıyla yazışma eksikliğinden dolayı amatör matematikten periyodik olarak ortaya çıkan "temel" ispatları okuyamayabilirler.
Genel sonuç, her ikisinin de esasen "tüm matematiği" kapsayan bu "vahşi" kanıtı "zorlaması" ve anlaması gerektiğidir.
Tanık olduğumuz bu eşsiz hikayeyi özetlerken gözden kaçırmamamız gereken başka ne var? Wiles'ın kanıtının gücü, bunun yalnızca biçimsel bir mantıksal argüman olmaması, aynı zamanda geniş ve güçlü bir yöntemi temsil etmesidir. Bu yaratım, tek bir sonucu kanıtlamak için ayrı bir araç değil, çok çeşitli sorunları "bölmenize" olanak tanıyan, iyi seçilmiş mükemmel bir araç setidir. Wiles'ın ispatında gökdelenin yüksekliğinden aşağı baktığımızda önceki matematiğin tamamını görecek olmamız da temelde önemlidir. İşin acı tarafı bunun bir "yama işi" değil, panoramik bir vizyon olacağıdır. Bütün bunlar sadece bilimsel değil, aynı zamanda bu gerçekten büyülü kanıtın metodolojik sürekliliğinden de bahsediyor. Geriye kalan tek şey "hiçbir şey"; sadece anlayın ve uygulamayı öğrenin.
Acaba çağdaş kahramanımız Wiles bugün ne yapıyor? Andrew hakkında özel bir haber yok. Doğal olarak, birinci iç savaş sırasında amortismana tabi tutulan ünlü Alman Wolfskehl Ödülü de dahil olmak üzere çeşitli ödüller ve ödüller aldı. Fermat'ın probleminin kanıtlanmasının zaferinden bugüne kadar geçen tüm zaman içinde, aynı "Annals"da (Skinner'la birlikte yazılmıştır) her zaman olduğu gibi büyük de olsa yalnızca bir makale fark etmeyi başardım. Belki Andrew yeni bir matematiksel buluş beklentisiyle yeniden saklanıyordur; örneğin, yakın zamanda formüle edilen (1986'da Masser ve Oesterle tarafından) ve günümüzün sayı teorisindeki en önemli problem olarak kabul edilen "abc" varsayımı ("abc" varsayımı) Yüzyılın sorunu” Serge Lang'ın sözleriyle).
Kanıtın son bölümünde Wiles'ın ortak yazarı Richard Taylor hakkında çok daha fazla bilgi var. Taniyama-Shmura-Weil varsayımının tamamının ispatının dört yazarından biriydi ve 2002 Çin Matematik Kongresi'nde Fields Madalyası için güçlü bir yarışmacıydı. Ancak bunu almadı (o zaman sadece iki matematikçi aldı - Princeton'dan Rus matematikçi Vladimir Voevodsky "güdü teorisi için" ve Fransız Laurent Laforgue "Langlands programının önemli bir kısmı için"). Taylor bu süre zarfında önemli sayıda dikkate değer eser yayınladı. Ve son zamanlarda Richard yeni bir büyük başarı elde etti - çok ünlü bir varsayımı kanıtladı - aynı zamanda aritmetik cebirsel geometriyle de ilgili olan ve Almanca sonuçlarının genelleştirilmesiyle ilgili Tate-Saito varsayımı. 19. yüzyıl matematikçisi G. Frobenius ve 20. yüzyıl Rus matematikçisi N. Chebotarev.
Sonunda biraz hayal kuralım. Belki de üniversitelerdeki ve hatta okullardaki matematik derslerinin Wiles'ın ispat yöntemlerine göre uyarlanacağı zaman gelecek. Bu, Fermat'ın Son Teoreminin yalnızca model bir matematik problemi değil aynı zamanda matematik öğretimi için metodolojik bir model olacağı anlamına gelir. Onun örneğini kullanarak aslında matematiğin tüm ana dallarını incelemek mümkün olacak. Üstelik geleceğin fiziği, hatta belki biyoloji ve ekonomi bile bu matematiksel aygıta güvenmeye başlayacak. Farzedelim?
Görünüşe göre bu yönde ilk adımlar çoktan atılmış durumda. Bu, örneğin Amerikalı matematikçi Serge Lang'in Wiles'ın ispatının ana yapılarını cebir üzerine klasik el kitabının üçüncü baskısına dahil etmesiyle kanıtlanmaktadır. Ruslar Yuri Manin ve Alexey Panchishkin, "Modern Sayılar Teorisi"nin yukarıda adı geçen yeni baskısında daha da ileri gidiyorlar ve kanıtın kendisini modern matematik bağlamında ayrıntılı olarak ortaya koyuyorlar.
Ve şimdi nasıl haykırmamak mümkün değil: Fermat'ın büyük teoremi "ölüdür" - yaşasın Wiles'ın yöntemi!