Matematik eğitimi sürecinde okul çocukları aritmetik ortalama kavramına aşina olurlar. Gelecekte istatistik ve diğer bazı bilimlerde öğrenciler başkalarının hesaplamalarıyla karşı karşıya kalacaklar ve birbirlerinden nasıl farklılar?
anlam ve farklılıklar
Doğru göstergeler her zaman durumun anlaşılmasını sağlamaz. Belirli bir durumu değerlendirmek için bazen çok sayıda rakamı analiz etmek gerekebilir. Ve sonra ortalamalar kurtarmaya gelir. Durumu bir bütün olarak değerlendirmemizi sağlıyorlar.
Okul günlerinden beri birçok yetişkin aritmetik ortalamanın varlığını hatırlıyor. Hesaplaması çok basittir; n terimden oluşan bir dizinin toplamı n'ye bölünür. Yani aritmetik ortalamayı 27, 22, 34 ve 37 değerlerinin sırasına göre hesaplamanız gerekiyorsa, o zaman 4 değer olduğundan (27+22+34+37)/4 ifadesini çözmeniz gerekir. Hesaplamalarda kullanılır. Bu durumda gerekli değer 30 olacaktır.
Geometrik ortalama genellikle okul dersinin bir parçası olarak incelenir. Bu değerin hesaplanması, n terimin çarpımının n'inci kökünün çıkarılmasına dayanmaktadır. Aynı sayıları alırsak: 27, 22, 34 ve 37, hesaplamaların sonucu 29,4'e eşit olacaktır.
Harmonik ortalama genellikle ortaöğretim okullarında bir çalışma konusu değildir. Ancak oldukça sık kullanılmaktadır. Bu değer aritmetik ortalamanın tersidir ve n - değer sayısı ile 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n toplamının bölümü olarak hesaplanır. Aynısını tekrar hesaplamaya alırsak harmonik 29,6 olacaktır.
Ağırlıklı ortalama: özellikler
Ancak yukarıdaki değerlerin tümü her yerde kullanılmayabilir. Örneğin istatistiklerde bazı hesaplamalarda, hesaplamalarda kullanılan her sayının “ağırlığı” önemli rol oynar. Sonuçlar daha gösterge niteliğinde ve doğrudur çünkü daha fazla bilgiyi hesaba katarlar. Bu miktar grubuna genellikle “ağırlıklı ortalama” adı verilir. Okulda öğretilmiyorlar, bu yüzden onlara daha detaylı bakmaya değer.
Öncelikle belirli bir değerin “ağırlığı” ile ne kastedildiğini anlatmakta fayda var. Bunu açıklamanın en kolay yolu spesifik bir örnektir. Hastanede günde iki kez her hastanın vücut ısısı ölçülüyor. Hastanenin farklı bölümlerindeki 100 hastadan 44'ünün ateşi normal 36,6 derece olacak. Diğer 30'un değeri artırılmış olacak - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39 ve geri kalan iki - 40. Ve aritmetik ortalamayı alırsak, o zaman hastane için genel olarak bu değer 38'den fazla olacaktır. derece! Ancak hastaların neredeyse yarısı kesinlikle var Ve burada ağırlıklı ortalama bir değer kullanmak daha doğru olacaktır ve her değerin "ağırlığı" kişi sayısı olacaktır. Bu durumda hesaplama sonucu 37,25 derece olacaktır. Fark açıktır.
Ağırlıklı ortalama hesaplamalarında “ağırlık”, gönderi sayısı, belirli bir günde çalışan kişi sayısı ve genel olarak ölçülebilen ve nihai sonucu etkileyen her şey olarak alınabilir.
Çeşitler
Ağırlıklı ortalama, makalenin başında tartışılan aritmetik ortalamayla ilgilidir. Ancak ilk değer, daha önce de belirtildiği gibi, hesaplamalarda kullanılan her sayının ağırlığını da dikkate alır. Ayrıca ağırlıklı geometrik ve harmonik değerler de bulunmaktadır.
Sayı serilerinde kullanılan başka ilginç bir varyasyon daha var. Bu ağırlıklı hareketli ortalamadır. Trendler bu temelde hesaplanıyor. Burada değerlerin kendileri ve ağırlıklarının yanı sıra periyodiklik de kullanılıyor. Belirli bir andaki ortalama değer hesaplanırken önceki zaman dilimlerine ait değerler de dikkate alınır.
Tüm bu değerleri hesaplamak o kadar da zor değil ancak pratikte genellikle yalnızca olağan ağırlıklı ortalama kullanılır.
Hesaplama yöntemleri
Yaygın bilgisayarlaşma çağında, ağırlıklı ortalamanın manuel olarak hesaplanmasına gerek yoktur. Ancak elde edilen sonuçları kontrol edebilmeniz ve gerekirse ayarlayabilmeniz için hesaplama formülünü bilmek faydalı olacaktır.
En kolay yol, hesaplamayı belirli bir örnek kullanarak ele almaktır.
Bu işletmede ortalama ücretin ne olduğunu bulmak, şu veya bu maaşı alan işçi sayısını hesaba katmak gerekir.
Dolayısıyla ağırlıklı ortalama aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)
Örneğin hesaplama şu şekilde olacaktır:
x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48
Açıkçası, ağırlıklı ortalamanın manuel olarak hesaplanmasında özel bir zorluk yoktur. Bu değeri formüllerle en popüler uygulamalardan biri olan Excel'de hesaplamaya yönelik formül, SUMproduct (sayı serisi; ağırlık serisi) / SUM (ağırlık serisi) işlevine benzer.
Sosyo-ekonomik araştırmalarda kullanılan istatistiksel göstergelerin en yaygın biçimi, istatistiksel popülasyonun bir özelliğinin genelleştirilmiş niceliksel özelliği olan ortalama değerdir. Ortalama değerler, tüm gözlem serisinin “temsilcileridir”. Çoğu durumda ortalama, başlangıç ortalama oranı (ARR) veya bunun mantıksal formülü aracılığıyla belirlenebilir: . Dolayısıyla, örneğin bir işletmenin çalışanlarının ortalama ücretini hesaplamak için, toplam ücret fonunu çalışan sayısına bölmek gerekir: Ortalamanın başlangıç oranının payı, onun tanımlayıcı göstergesidir. Ortalama ücretler için böyle bir belirleyici gösterge ücret fonudur. Sosyo-ekonomik analizde kullanılan her gösterge için ortalamayı hesaplamak amacıyla yalnızca tek bir gerçek başlangıç oranı derlenebilir. Küçük örneklemlerde (element sayısı 30'dan az olanlarda) standart sapmanın daha doğru tahmin edilebilmesi için paydada kök altındaki ifadenin kullanılmaması gerektiği de eklenmelidir. N, A N- 1.
Ortalama kavramı ve türleri
Ortalama değer- bu, istatistiksel büyüklüklerin değerlerindeki bireysel farklılıkları ortadan kaldıran ve farklı popülasyonları birbiriyle karşılaştırmanıza olanak tanıyan istatistiksel bir popülasyonun genel bir göstergesidir. Var 2 sınıf ortalama değerler: güç ve yapısal. Yapısal ortalamalar şunları içerir: moda Ve medyan , ancak en sık kullanılan güç ortalamalarıçeşitli türleri.Güç ortalamaları
Güç ortalamaları şunlar olabilir: basit Ve ağırlıklı.
Basit bir ortalama, aşağıdaki genel güç ortalaması formülünü kullanarak (farklı k (m) değerleri için) rastgele sırayla düzenlenmiş iki veya daha fazla gruplanmamış istatistiksel nicelik olduğunda hesaplanır:
Ağırlıklı ortalama, aşağıdaki genel formül kullanılarak gruplandırılmış istatistiklerden hesaplanır:
nerede x - incelenen olgunun ortalama değeri; x i – ortalama karakteristiğin i-inci versiyonu;
f i – i-inci seçeneğin ağırlığı.
X'in bireysel istatistiksel değerlerin değerleri veya gruplama aralıklarının ortası olduğu durumlarda;
m, değeri aşağıdaki güç ortalama türlerini belirleyen bir üstür:
m = -1 harmonik ortalama olduğunda;
m = 0'da geometrik ortalama;
m = 1 aritmetik ortalama ile;
m = 2 ortalamanın karekökü olduğunda;
m = 3'te ortalama kübiktir.
Farklı m üsleri için basit ve ağırlıklı ortalamalar için genel formüller kullanarak, her tür için aşağıda ayrıntılı olarak tartışılacak olan özel formüller elde ederiz.
Aritmetik ortalama
Aritmetik ortalama – birinci dereceden başlangıç anı, çok sayıda testle rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi;
Aritmetik ortalama, genel formülde m=1 yerine konulmasıyla elde edilen, en sık kullanılan ortalama değerdir. Aritmetik ortalama basit aşağıdaki forma sahiptir:
veya 
X, ortalama değerin hesaplanması gereken miktarların değerleridir; N, X değerlerinin toplam sayısıdır (incelenen popülasyondaki birimlerin sayısı).
Örneğin bir öğrenci 4 sınavı geçmiş ve şu notları almıştır: 3, 4, 4 ve 5. Basit aritmetik ortalama formülünü kullanarak ortalama puanı hesaplayalım: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4. Aritmetik ortalama ağırlıklı aşağıdaki forma sahiptir:
Burada f, X (frekans) değeri aynı olan büyüklüklerin sayısıdır. >Örneğin, bir öğrenci 4 sınavı geçti ve şu notları aldı: 3, 4, 4 ve 5. Ortalama puanı ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak hesaplayalım: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 . X değerleri aralık olarak belirtilirse, aralığın üst ve alt sınırlarının yarı toplamı olarak tanımlanan hesaplamalar için X aralıklarının orta noktaları kullanılır. Ve eğer X aralığının bir alt veya üst sınırı yoksa (açık aralık), o zaman onu bulmak için, bitişik X aralığının aralığını (üst ve alt sınır arasındaki fark) kullanın. Örneğin bir işletmede 3 yıla kadar deneyime sahip 10, 3 ila 5 yıl arasında deneyime sahip 20, 5 yıldan fazla deneyime sahip 5 çalışan bulunmaktadır. Daha sonra, hizmet aralıklarının (2, 4 ve 6 yıl) orta noktasını X olarak alarak, ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak çalışanların ortalama hizmet süresini hesaplıyoruz: (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 yıl.
ORTALAMA işlevi
Bu işlev, bağımsız değişkenlerinin ortalamasını (aritmetik) hesaplar.
ORTALAMA(sayı1; sayı2; ...)
Sayı1, sayı2, ... ortalamanın hesaplandığı 1 ile 30 arasında bağımsız değişkendir.
Bağımsız değişkenler sayılar veya adlar, diziler veya sayı içeren başvurular olmalıdır. Bir dizi veya başvuru olan bağımsız değişken metinler, boole'ler veya boş hücreler içeriyorsa bu tür değerler göz ardı edilir; ancak sıfır değer içeren hücreler sayılır.
ORTALAMA işlevi
Argüman listesinde verilen değerlerin aritmetik ortalamasını hesaplar. Hesaplama, sayılara ek olarak metin ve DOĞRU ve YANLIŞ gibi mantıksal değerleri de içerebilir.
ORTALAMA(değer1, değer2,...)
Değer1, değer2,... 1 ila 30 hücre, hücre aralığı veya ortalamanın hesaplandığı değerlerdir.
Bağımsız değişkenler sayılar, adlar, diziler veya referanslar olmalıdır. Metin içeren diziler ve bağlantılar 0 (sıfır) olarak yorumlanır.
Boş metin ("") 0 (sıfır) olarak yorumlanır. DOĞRU değerini içeren bağımsız değişkenler 1 olarak yorumlanır, YANLIŞ değerini içeren bağımsız değişkenler 0 (sıfır) olarak yorumlanır.
Aritmetik ortalama en sık kullanılır, ancak diğer ortalama türlerinin kullanılmasının gerekli olduğu zamanlar da vardır. Bu tür durumları daha ayrıntılı olarak ele alalım.
Harmonik ortalama
Karşılıklıların ortalama toplamını belirlemek için harmonik ortalama; Harmonik ortalama
kaynak verileri ayrı X değerleri için f frekanslarını içermediğinde ancak bunların Xf çarpımı olarak sunulduğunda kullanılır. Xf=w olarak belirledikten sonra f=w/X'i ifade ederiz ve bu gösterimleri aritmetik ağırlıklı ortalama formülünde değiştirerek harmonik ağırlıklı ortalama formülünü elde ederiz: 
Bu nedenle, f frekansları bilinmediğinde ve w=Xf bilindiğinde ağırlıklı harmonik ortalama kullanılır. Tüm w = 1'in, yani X'in bireysel değerlerinin bir kez meydana geldiği durumlarda, ortalama harmonik asal formül uygulanır: 
veya
Örneğin bir araba A noktasından B noktasına 90 km/saat hızla gidip geri 110 km/saat hızla gidiyordu. Ortalama hızı belirlemek için basit ortalama harmonik formülünü uygularız, çünkü örnekte w 1 =w 2 mesafesi verilmiştir (A noktasından B noktasına olan mesafe, B'den A'ya olan mesafeyle aynıdır), bu da şu şekildedir: hız (X) ve zamanın (f) çarpımına eşittir. Ortalama hız = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 km/saat.
İşlev SRGARM
Bir veri kümesinin harmonik ortalamasını döndürür.
Sayı1, sayı2, ... ortalamanın hesaplandığı 1 ile 30 arasında bağımsız değişkendir. Noktalı virgülle ayrılmış bağımsız değişkenler yerine bir dizi veya dizi başvurusu kullanabilirsiniz.
Harmonik ortalama her zaman geometrik ortalamadan, geometrik ortalama ise her zaman aritmetik ortalamadan küçüktür.
Geometrik ortalama
Rastgele değişkenlerin ortalama büyüme oranını tahmin etmek için geometrik ortalama, minimum ve maksimum değerlerden eşit uzaklıktaki bir özelliğin değerini bulma;
Geometrik ortalama ortalama bağıl değişimlerin belirlenmesinde kullanılır. Görev, X'in hem maksimum hem de minimum değerlerinden eşit uzaklıkta olacak bir X değeri bulmaksa, geometrik ortalama en doğru ortalama sonucunu verir. Örneğin 2005-2008 yılları arasındaenflasyon endeksi Rusya'da: 2005'te - 1.109; 2006'da - 1.090; 2007'de - 1.119; 2008'de - 1.133. Enflasyon endeksi göreceli bir değişim (dinamik endeks) olduğundan, ortalama değerin geometrik ortalama kullanılarak hesaplanması gerekir: (1.109*1.090*1.119*1.133)^(1/4) = 1.1126, yani 2005 yılından itibaren. 2008 yılına kadar yıllık fiyatlar ortalama %11,26 arttı. Aritmetik ortalama kullanılarak yapılan hatalı bir hesaplama %11,28 oranında yanlış sonuç verecektir.SRGEOM işlevi
Pozitif sayılar dizisinin veya aralığının geometrik ortalamasını döndürür. Örneğin, değişken oranlı bileşik gelir belirtilirse ortalama büyüme oranını hesaplamak için SRGEOM işlevi kullanılabilir.
SRGEOM (sayı1; sayı2; ...)
Sayı1, sayı2, ... geometrik ortalamanın hesaplandığı 1 ile 30 arasında bağımsız değişkendir.
Noktalı virgülle ayrılmış bağımsız değişkenler yerine bir dizi veya dizi başvurusu kullanabilirsiniz.
Ortalama kare
Ortalama kare – ikinci dereceden başlangıç momenti. Ortalama kare
örneğin ortalama sapmaları hesaplarken, X'in başlangıç değerlerinin hem pozitif hem de negatif olabildiği durumlarda kullanılır. İkinci dereceden ortalamanın ana uygulaması X değerlerinin değişimini ölçmektir.
Ortalama kübik
İkinci dereceden ortalamanın ana uygulaması X değerlerinin değişimini ölçmektir. Ortalama kübik üçüncü derecenin başlangıç anıdır.
örneğin BM tarafından önerilen ve hesaplanan, gelişmekte olan ülkeler (TIN-1) ve gelişmiş ülkeler (TIN-2) için yoksulluk endekslerinin hesaplanmasında son derece nadiren kullanılır.
En önemlisi denklemde. Uygulamada basit ve ağırlıklı aritmetik ortalama olarak hesaplanabilen aritmetik ortalamayı kullanmak zorundayız.Aritmetik ortalama (SA) En yaygın ortalama türü. Tüm popülasyon için değişen bir özelliğin hacminin, bireysel birimlerinin karakteristik değerlerinin toplamı olduğu durumlarda kullanılır. Sosyal olgular, değişen karakteristik hacimlerin toplanabilirliği (toplamlığı) ile karakterize edilir; bu, SA'nın uygulama kapsamını belirler ve genel bir gösterge olarak yaygınlığını açıklar. örneğin: genel maaş fonu tüm çalışanların maaşlarının toplamıdır.
SA'yı hesaplamak için tüm özellik değerlerinin toplamını sayılarına bölmeniz gerekir. SA 2 biçimde kullanılır.
Öncelikle basit bir aritmetik ortalamayı ele alalım.
1-CA basit (orijinal, tanımlayıcı form), ortalaması alınan özelliğin bireysel değerlerinin basit toplamının, bu değerlerin toplam sayısına bölünmesine eşittir (özelliğin gruplanmamış endeks değerleri olduğunda kullanılır):
Yapılan hesaplamalar aşağıdaki formüle genelleştirilebilir:
(1)
Nerede 
- değişen özelliğin ortalama değeri, yani basit aritmetik ortalama;
toplama, yani bireysel özelliklerin eklenmesi anlamına gelir;
X- değişken adı verilen, değişen bir özelliğin bireysel değerleri;
N - nüfusun birim sayısı
Örnek 1, 15 işçinin her birinin kaç parça ürettiği biliniyorsa, bir işçinin (tamircinin) ortalama çıktısını bulmak gerekir; bir dizi ind verildi. nitelik değerleri, adet: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
Basit SA, formül (1) kullanılarak hesaplanır, adet:
Örnek2. Ticaret şirketine dahil olan 20 mağazanın koşullu verilerine dayanarak SA'yı hesaplayalım (Tablo 1). Tablo.1
"Vesna" ticaret şirketinin mağazalarının satış alanına göre dağılımı, m2 M
|
Mağaza no. |
Mağaza no. | ||
Ortalama mağaza alanını hesaplamak için ( 
) tüm mağazaların alanlarını toplamak ve elde edilen sonucu mağaza sayısına bölmek gerekir:
Dolayısıyla bu perakende işletme grubu için ortalama mağaza alanı 71 m2'dir.
Bu nedenle, basit bir SA belirlemek için, belirli bir özelliğin tüm değerlerinin toplamını, bu özelliğe sahip birimlerin sayısına bölmeniz gerekir.
2
Nerede F 1
,
F 2
,
… ,F N
–
ağırlık (aynı işaretlerin tekrarlanma sıklığı); - özelliklerin büyüklüğü ve frekanslarının çarpımlarının toplamı; – nüfus birimlerinin toplam sayısı.
(2)
Nerede X- seçenekler;
F- frekans (ağırlık).
Ağırlıklı SA, seçeneklerin çarpımlarının ve bunlara karşılık gelen frekansların toplamının tüm frekansların toplamına bölünmesiyle elde edilen bölümdür. Frekanslar ( F SA formülünde görünen ) genellikle denir terazi Bunun sonucunda ağırlıklar dikkate alınarak hesaplanan SA'ya ağırlıklı denir.
Yukarıda tartışılan Örnek 1'i kullanarak ağırlıklı SA hesaplama tekniğini göstereceğiz. Bunu yapmak için başlangıç verilerini gruplandıracağız ve bunları tabloya yerleştireceğiz.
Gruplandırılan verilerin ortalaması şu şekilde belirlenir: Önce seçenekler frekanslarla çarpılır, ardından ürünler toplanır ve elde edilen toplam, frekansların toplamına bölünür.
Formül (2)'ye göre, ağırlıklı SA eşittir adet: 
P
Vesna mağazalarının satış alanlarına göre dağılımı, m2 M
Böylece sonuç aynı oldu. Ancak bu zaten ağırlıklı bir aritmetik ortalama değeri olacaktır.
Önceki örnekte mutlak frekansların (depo sayısının) bilinmesi şartıyla aritmetik ortalamayı hesapladık. Bununla birlikte, bazı durumlarda mutlak frekanslar mevcut değildir ancak bağıl frekanslar bilinmektedir veya genel olarak adlandırıldığı gibi, oranı gösteren frekanslar veya tüm setteki frekansların oranı.
SA ağırlıklı kullanımı hesaplarken frekanslar Frekans büyük, çok basamaklı sayılarla ifade edildiğinde hesaplamaları basitleştirmenize olanak tanır. Hesaplama aynı şekilde yapılır ancak ortalama değer 100 kat arttığından sonucun 100'e bölünmesi gerekir.
O zaman aritmetik ağırlıklı ortalamanın formülü şöyle görünecektir:
Nerede D- sıklık, yani her frekansın tüm frekansların toplamındaki payı.
(3)2. örneğimizde öncelikle Vesna firmasının toplam mağaza sayısı içerisinde grup bazında mağazaların payını belirliyoruz. Yani birinci grup için özgül ağırlık %10'a karşılık gelir. 
. Aşağıdaki verileri alıyoruz Tablo3
Ortalamanın en önemli özelliği, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı yansıtmasıdır. Nüfusun bireysel birimlerinin karakteristik değerleri, aralarında hem temel hem de rastgele olabilecek birçok faktörün etkisi altında değişir. Ortalamanın özü, rastgele faktörlerin eyleminin neden olduğu bir özelliğin değerlerindeki sapmaları karşılıklı olarak telafi etmesi ve ana faktörlerin eyleminin neden olduğu değişiklikleri biriktirmesi (dikkate alması) gerçeğinde yatmaktadır. . Bu, ortalamanın özelliğin tipik düzeyini yansıtmasına ve bireysel birimlerin doğasında bulunan bireysel özelliklerden soyutlanmasına olanak tanır.
Ortalamanın gerçek anlamda temsili olabilmesi için belirli ilkeler dikkate alınarak hesaplanması gerekir.
Ortalamaları kullanmanın temel ilkeleri.
1. Niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için ortalama belirlenmelidir.
2. Yeterince fazla sayıda birimden oluşan bir popülasyon için ortalama hesaplanmalıdır.
3. Ortalama, sabit koşullar altındaki nüfus için hesaplanmalıdır (etkileyen faktörler değişmediğinde veya önemli ölçüde değişmediğinde).
4. Ortalama, incelenen göstergenin ekonomik içeriği dikkate alınarak hesaplanmalıdır.
En spesifik istatistiksel göstergelerin hesaplanması aşağıdakilerin kullanımına dayanmaktadır:
· ortalama toplam;
· ortalama güç (harmonik, geometrik, aritmetik, ikinci dereceden, kübik);
· ortalama kronolojik (bkz. bölüm).
Toplam ortalama dışındaki tüm ortalamalar, ağırlıklı ve ağırlıksız olmak üzere iki şekilde hesaplanabilir.
Ortalama agrega. Kullanılan formül şöyledir:
Nerede ben= x ben* ben;
x ben- ortalaması alınan özelliğin i-inci versiyonu;
ben, - ağırlık Ben- seçenek.
Orta güç. Genel olarak hesaplama formülü şöyledir:
derece nerede k– orta güç tipi.
Aynı başlangıç verileri için güç ortalamaları esas alınarak hesaplanan ortalamaların değerleri aynı değildir. k üssü arttıkça karşılık gelen ortalama değer de artar:
Ortalama kronolojik. Tarihler arasında eşit aralıklara sahip bir an zaman serisi için aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
,
Nerede x 1 Ve XN göstergenin başlangıç ve bitiş tarihindeki değeri.
Güç ortalamalarını hesaplamak için formüller
Örnek. Tabloya göre. 2.1, üç işletme için ortalama maaşın bir bütün olarak hesaplanmasını gerektirir.
Tablo 2.1
JSC işletmelerinin ücretleri
|
Girişim |
Sanayi sayısı üretmepersonel (PPP), kişi. |
Aylık Fon maaşlar, ovmak. |
Ortalama ücretler, ovmak. |
|
564840 |
2092 |
||
|
332750 |
2750 |
||
|
517540 |
2260 |
||
|
Toplam |
1415130 |
Özel hesaplama formülü, tablodaki hangi verilere bağlıdır. 7 tanesi orjinaldir. Buna göre aşağıdaki seçenekler mümkündür: 1. sütundan (çalışan sayısı) ve 2'den (aylık maaş bordrosu) veriler; veya - 1 (SAGP sayısı) ve 3 (ortalama maaş); veya 2 (aylık maaş bordrosu) ve 3 (ortalama maaş).
Yalnızca 1. ve 2. sütun verileri mevcutsa. Bu sütunların sonuçları, istenen ortalamanın hesaplanması için gerekli değerleri içerir. Ortalama agrega formülü kullanılır:
Yalnızca 1. ve 3. sütun verileri mevcutsa ise orijinal oranın paydası biliniyor ancak payı bilinmiyor. Ancak ortalama ücretin öğretim elemanı sayısıyla çarpılmasıyla ücret fonu elde edilebilir. Bu nedenle genel ortalama şu formül kullanılarak hesaplanabilir: aritmetik ortalama ağırlıklı:
Ağırlığın dikkate alınması gerekir ( ben) bazı durumlarda iki hatta üç değerin çarpımı olabilir.
Ayrıca ortalama istatistik uygulamalarında da kullanılır. aritmetik ağırlıksız:
burada n nüfusun hacmidir.
Bu ortalama ağırlıklar ( ben) yoktur (özelliğin her bir çeşidi yalnızca bir kez meydana gelir) veya birbirine eşittir.
Yalnızca 2. ve 3. sütunlardan veriler varsa. yani orijinal oranın payı biliniyor ancak paydası bilinmiyor. Her işletmenin çalışan sayısı bordronun ortalama maaşa bölünmesiyle elde edilebilir. Daha sonra bir bütün olarak üç işletmenin ortalama maaşı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: ağırlıklı harmonik ortalama:
Ağırlıklar eşitse ( ben) ortalamanın hesaplanması şu şekilde yapılabilir: harmonik ortalama ağırlıksız:
Örneğimizde farklı ortalama biçimleri kullandık ancak aynı cevabı aldık. Bunun nedeni, belirli veriler için her seferinde aynı başlangıç ortalama oranının uygulanmasıdır.
Ortalama göstergeler ayrık ve aralıklı değişim serileri kullanılarak hesaplanabilir. Bu durumda hesaplama ağırlıklı aritmetik ortalama kullanılarak yapılır. Ayrık bir seri için bu formül yukarıdaki örnekte olduğu gibi kullanılır. Aralık serisinde hesaplama için aralıkların orta noktaları belirlenir.
Örnek. Tabloya göre. 2.2 Koşullu bir bölgede aylık kişi başına düşen ortalama parasal gelir miktarını belirliyoruz.
Tablo 2.2
Başlangıç verileri (varyasyon serisi)
| Aylık kişi başına ortalama nakit geliri, x, rub. | Nüfus, toplamın yüzdesi/ |
| 400'e kadar | 30,2 |
| 400 — 600 | 24,4 |
| 600 — 800 | 16,7 |
| 800 — 1000 | 10,5 |
| 1000-1200 | 6,5 |
| 1200 — 1600 | 6,7 |
| 1600 — 2000 | 2,7 |
| 2000 ve üzeri | 2,3 |
| Toplam | 100 |
Ortalama değerler istatistiklerde yaygın olarak kullanılmaktadır. Ortalama değerler ticari faaliyetin niteliksel göstergelerini karakterize eder: dağıtım maliyetleri, kar, karlılık vb.
Ortalama - Bu yaygın genelleme tekniklerinden biridir. Ortalamanın özünün doğru anlaşılması, ortalamanın bireysel ve rastgele yoluyla genel ve gerekli olanı belirlememize, ekonomik gelişme kalıplarının eğilimini belirlememize olanak sağladığında, piyasa ekonomisindeki özel önemini belirler.
Ortalama değer - bunlar, incelenen olgunun genel koşullarının ve kalıplarının etkilerinin ifade edildiği genelleştirici göstergelerdir.
İstatistiksel ortalamalar, istatistiksel olarak doğru şekilde organize edilmiş kütle gözlemlerinden (sürekli ve seçici) elde edilen kütle verilerine dayanarak hesaplanır. Bununla birlikte, istatistiksel ortalama, niteliksel olarak homojen bir nüfusa (kitle olgusu) ilişkin kitle verilerinden hesaplanırsa nesnel ve tipik olacaktır. Örneğin, kooperatiflerde ve devlete ait işletmelerde ortalama ücreti hesaplarsanız ve sonucu tüm nüfusa genişletirseniz, o zaman ortalama, heterojen bir nüfus için hesaplandığı için hayalidir ve böyle bir ortalama tüm anlamını yitirir.
Ortalamanın yardımıyla, bireysel gözlem birimlerinde şu veya bu nedenle ortaya çıkan bir özelliğin değerindeki farklılıklar düzeltilir.
Örneğin, bir satış elemanının ortalama üretkenliği birçok nedene bağlıdır: nitelikler, hizmet süresi, yaş, hizmet biçimi, sağlık vb.
Ortalama çıktı tüm nüfusun genel özelliğini yansıtır.
Ortalama değer, çalışılan özelliğin değerlerinin bir yansımasıdır, dolayısıyla bu özellik ile aynı boyutta ölçülür.
Her ortalama değer, incelenen popülasyonu herhangi bir özelliğe göre karakterize eder. Bir dizi temel özelliğe göre incelenen popülasyonun tam ve kapsamlı bir şekilde anlaşılmasını sağlamak için, genel olarak olguyu farklı açılardan tanımlayabilen bir ortalama değerler sistemine sahip olmak gerekir.
Farklı ortalamalar vardır:
aritmetik ortalama;
geometrik ortalama;
harmonik ortalama;
ortalama kare;
ortalama kronolojik.
İstatistiklerde en sık kullanılan bazı ortalama türlerine bakalım.
Aritmetik ortalama
Basit aritmetik ortalama (ağırlıksız), özelliğin bireysel değerlerinin toplamının bu değerlerin sayısına bölünmesine eşittir.
Bir özelliğin bireysel değerlerine değişkenler denir ve x() ile gösterilir; nüfus birimlerinin sayısı n ile gösterilir, özelliğin ortalama değeri ile gösterilir 
. Bu nedenle aritmetik basit ortalama şuna eşittir:
Ayrık dağılım serisi verilerine göre aynı karakteristik değerlerin (varyantların) birkaç kez tekrarlandığı açıktır. Böylece, x seçeneği toplamda 2 kez, x seçeneği ise 16 kez vb. ortaya çıkar.
Dağılım serisindeki bir özelliğin özdeş değerlerinin sayısına frekans veya ağırlık denir ve n sembolüyle gösterilir.
Bir işçinin ortalama maaşını hesaplayalım 
ovmak.:
Her işçi grubu için ücret fonu, seçenekler ve sıklığın çarpımına eşittir ve bu çarpımların toplamı, tüm işçilerin toplam ücret fonunu verir.
Buna uygun olarak hesaplamalar genel formda sunulabilir:
Ortaya çıkan formüle ağırlıklı aritmetik ortalama adı verilir.
İşleme sonucunda istatistiksel materyal sadece ayrık dağılım serileri şeklinde değil aynı zamanda kapalı veya açık aralıklı aralık varyasyon serileri şeklinde de sunulabilmektedir.
Gruplandırılmış verilerin ortalaması, ağırlıklı aritmetik ortalama formülü kullanılarak hesaplanır:
Ekonomik istatistiklerin uygulanmasında bazen ortalamanın grup ortalamaları veya nüfusun bireysel bölümlerinin ortalamaları (kısmi ortalamalar) kullanılarak hesaplanması gerekebilir. Bu gibi durumlarda, grup veya özel ortalamalar (x) seçeneği olarak alınır ve buna dayanarak genel ortalama, olağan ağırlıklı aritmetik ortalama olarak hesaplanır.
Aritmetik ortalamanın temel özellikleri .
Aritmetik ortalamanın bir takım özellikleri vardır:
1. Aritmetik ortalamanın değeri, x karakteristiğinin her değerinin frekansının n kat artması veya azalmasıyla değişmeyecektir.
Tüm frekanslar herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa ortalama değer değişmeyecektir.
2. Bir özelliğin bireysel değerlerinin ortak çarpanı, ortalamanın işaretinin ötesine alınabilir:
3. İki veya daha fazla niceliğin toplamının (farkının) ortalaması, ortalamalarının toplamına (farkına) eşittir:
4. Eğer c sabit bir değer olmak üzere x = c ise, o zaman 
.
5. X özelliğinin değerlerinin aritmetik ortalama x'ten sapmalarının toplamı sıfıra eşittir:
Harmonik ortalama.
İstatistikler, aritmetik ortalamanın yanı sıra, özelliğin ters değerlerinin aritmetik ortalamasının tersi olan harmonik ortalamayı da kullanır. Aritmetik ortalama gibi basit ve ağırlıklı olabilir.
Ortalamalarla birlikte varyasyon serisinin özellikleri mod ve medyandır.
Moda - bu, incelenen popülasyonda en sık tekrarlanan bir özelliğin (varyantın) değeridir. Ayrık dağıtım serileri için mod, en yüksek frekansa sahip değişkenin değeri olacaktır.
Eşit aralıklara sahip aralık dağılım serileri için mod aşağıdaki formülle belirlenir:
Nerede 
- modu içeren aralığın başlangıç değeri;
- modal aralığın değeri;
- modal aralığın frekansı;
- modal olandan önceki aralığın frekansı;
- modal olanı takip eden aralığın frekansı.
Medyan - bu, varyasyon serisinin ortasında yer alan bir seçenektir. Dağıtım serisi ayrıksa ve tek sayıda üyeye sahipse, medyan sıralı serinin ortasında yer alan seçenek olacaktır (sıralı bir seri, popülasyon birimlerinin artan veya azalan sırada düzenlenmesidir).