Vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı.
Vektörlerin temeli. Afin koordinat sistemi

Oditoryumda çikolatalarla dolu bir araba var ve bugün her ziyaretçi tatlı bir çiftle karşılaşacak: analitik geometri ve doğrusal cebir. Bu makale yüksek matematiğin iki bölümüne aynı anda değinecek ve bunların tek bir pakette nasıl bir arada var olduklarını göreceğiz. Biraz ara verin, bir Twix yiyin! ...kahretsin, ne kadar saçmalık. Her ne kadar tamam, puan vermeyeceğim, sonuçta çalışmaya karşı olumlu bir tutuma sahip olmalısınız.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığı, doğrusal vektör bağımsızlığı, vektör temeli ve diğer terimlerin yalnızca geometrik bir yorumu değil, her şeyden önce cebirsel bir anlamı vardır. Doğrusal cebir açısından "vektör" kavramı her zaman bir düzlemde veya uzayda tasvir edebileceğimiz "sıradan" bir vektör değildir. Kanıt için çok uzaklara bakmanıza gerek yok, beş boyutlu uzayın vektörünü çizmeyi deneyin . Veya az önce Gismeteo'ya gittiğim hava durumu vektörü: sırasıyla sıcaklık ve atmosfer basıncı. Örnek, elbette, vektör uzayının özellikleri açısından yanlıştır, ancak yine de hiç kimse bu parametrelerin bir vektör olarak resmileştirilmesini yasaklamaz. Sonbaharın nefesi...

Hayır, sizi teoriyle, doğrusal vektör uzaylarıyla sıkmayacağım. anlamak Tanımlar ve teoremler. Yeni terimler (doğrusal bağımlılık, bağımsızlık, doğrusal kombinasyon, temel vb.) cebirsel açıdan tüm vektörler için geçerlidir ancak geometrik örnekler verilecektir. Böylece her şey basit, erişilebilir ve anlaşılır. Analitik geometri problemlerine ek olarak bazı tipik cebir problemlerini de ele alacağız. Materyalde ustalaşmak için derslere aşina olmanız tavsiye edilir. Aptallar için vektörler Ve Determinant nasıl hesaplanır?

Düzlem vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı.
Düzlem temeli ve afin koordinat sistemi

Bilgisayar masanızın düzlemini düşünelim (sadece masa, komodin, zemin, tavan, ne isterseniz). Görev aşağıdaki eylemlerden oluşacaktır:

1) Düzlem tabanını seçin. Kabaca söylemek gerekirse, bir masa tablasının uzunluğu ve genişliği vardır, dolayısıyla temeli oluşturmak için iki vektörün gerekli olacağı sezgiseldir. Bir vektör kesinlikle yeterli değil, üç vektör çok fazla.

2) Seçilen esasa göre koordinat sistemini ayarla(koordinat ızgarası) tablodaki tüm nesnelere koordinatlar atamak için kullanılır.

Şaşırmayın, ilk başta açıklamalar parmaklarda kalacak. Üstelik seninkinde. Lütfen yerleştirin sol işaret parmağı monitöre bakması için masanın kenarına. Bu bir vektör olacak. Şimdi yer sağ küçük parmak aynı şekilde masanın kenarında - monitör ekranına yönlendirilecek şekilde. Bu bir vektör olacak. Gülümse, harika görünüyorsun! Vektörler hakkında ne söyleyebiliriz? Veri vektörleri eşdoğrusal, yani doğrusal karşılıklı olarak ifade edilir:
, peki, ya da tam tersi: burada sıfırdan farklı bir sayı var.

Bu eylemin bir resmini sınıfta görebilirsiniz. Aptallar için vektörler Burada bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını açıkladım.

Parmaklarınız bilgisayar masasının düzlemine temel oluşturacak mı? Açıkçası hayır. Doğrusal vektörler ileri geri hareket eder yalnız yönü vardır ve bir düzlemin uzunluğu ve genişliği vardır.

Bu tür vektörlere denir doğrusal bağımlı.

Referans: “Doğrusal”, “doğrusal” kelimeleri, matematiksel denklemlerde ve ifadelerde kare, küp, diğer kuvvetler, logaritma, sinüs vb. bulunmadığını ifade eder. Yalnızca doğrusal (1. derece) ifadeler ve bağımlılıklar vardır.

İki düzlem vektörü doğrusal bağımlı ancak ve ancak eşdoğrusal olmaları durumunda.

Parmaklarınızı masanın üzerinde, aralarında 0 veya 180 derece dışında herhangi bir açı olacak şekilde çaprazlayın. İki düzlem vektörüdoğrusal Olumsuz bağımlı ancak ve ancak eşdoğrusal değillerse. Böylece temel elde edilmiş olur. Temelin farklı uzunluklarda dik olmayan vektörlerle “çarpık” olduğu ortaya çıkmasından utanmanıza gerek yok. Çok yakında, yapımı için yalnızca 90 derecelik bir açının uygun olmadığını ve yalnızca eşit uzunluktaki birim vektörlerin uygun olmadığını göreceğiz.

Herhangi düzlem vektör tek yol esasına göre genişletilir:
, gerçek sayılar nerede? Numaralar denir vektör koordinatları bu temelde.

Ayrıca söyleniyor ki vektörolarak sunuldu doğrusal kombinasyon temel vektörleri. Yani ifade denir vektör ayrışmasıtemelde veya doğrusal kombinasyon temel vektörler.

Örneğin, vektörün düzlemin ortonormal bazında ayrıştırıldığını veya vektörlerin doğrusal bir birleşimi olarak temsil edildiğini söyleyebiliriz.

Hadi formüle edelim temelin tanımı resmi olarak: Uçağın temeli doğrusal olarak bağımsız (doğrusal olmayan) vektör çifti olarak adlandırılır, , sırasında herhangi bir düzlem vektörü temel vektörlerin doğrusal bir birleşimidir.

Tanımın önemli bir noktası, vektörlerin alınmış olmasıdır. belli bir sırayla. Üsler – bunlar tamamen farklı iki temel! Dedikleri gibi, sağ elinizin küçük parmağının yerine sol elinizin küçük parmağını koyamazsınız.

Temelini çözdük ama bilgisayar masanızdaki her öğeye bir koordinat ızgarası ayarlamak ve koordinatları atamak yeterli değil. Neden yeterli değil? Vektörler serbesttir ve tüm düzlem boyunca dolaşırlar. Peki, çılgın bir hafta sonundan kalan masadaki o küçük kirli noktalara koordinatları nasıl atarsınız? Bir başlangıç ​​noktasına ihtiyaç var. Ve böyle bir dönüm noktası herkesin bildiği bir noktadır - koordinatların kökeni. Koordinat sistemini anlayalım:

“Okul” sistemiyle başlayacağım. Zaten giriş dersinde Aptallar için vektörler Dikdörtgen koordinat sistemi ile ortonormal taban arasındaki bazı farklılıkların altını çizdim. İşte standart resim:

Onlar hakkında konuştuklarında dikdörtgen koordinat sistemi, o zaman çoğu zaman orijin, koordinat eksenleri ve eksenler boyunca ölçek anlamına gelir. Bir arama motoruna “dikdörtgen koordinat sistemi” yazmayı deneyin; birçok kaynağın size 5-6. Sınıflardan aşina olduğunuz koordinat eksenlerini ve düzlemdeki noktaların nasıl çizileceğini anlatacağını göreceksiniz.

Öte yandan, dikdörtgen bir koordinat sisteminin ortonormal temele göre tanımlanabileceği görülmektedir. Ve bu neredeyse doğru. İfade şu şekildedir:

köken, Ve ortonormal temel belirlendi Kartezyen dikdörtgen düzlem koordinat sistemi . Yani dikdörtgen koordinat sistemi kesinlikle tek bir nokta ve iki birim dik vektörlerle tanımlanır. Bu yüzden yukarıda verdiğim çizimi görüyorsunuz - geometrik problemlerde hem vektörler hem de koordinat eksenleri sıklıkla (ancak her zaman değil) çizilir.

Sanırım herkes bir nokta (köken) ve ortonormal temel kullanmanın bunu anladığını düşünüyorum. Düzlemdeki HERHANGİ BİR NOKTA ve düzlemdeki HERHANGİ BİR VEKTÖR koordinatlar atanabilir. Mecazi anlamda konuşursak, "bir düzlemdeki her şey numaralandırılabilir."

Koordinat vektörlerinin birim olması gerekiyor mu? Hayır, sıfır olmayan isteğe bağlı bir uzunluğa sahip olabilirler. Sıfır olmayan uzunlukta keyfi bir nokta ve iki dik vektör düşünün:

Böyle bir temel denir ortogonal. Vektörlerle koordinatların kökeni bir koordinat ızgarası ile tanımlanır ve düzlemdeki herhangi bir noktanın, herhangi bir vektörün belirli bir temelde koordinatları vardır. Örneğin veya. Bariz sakınca, koordinat vektörlerinin genel durumda birlik dışında farklı uzunluklara sahiptir. Uzunluklar bire eşitse olağan ortonormal taban elde edilir.

! Not : ortogonal temelde ve düzlem ve uzayın afin tabanlarında eksenler boyunca birimler dikkate alınır ŞARTLI. Örneğin, x ekseni boyunca bir birim 4 cm, ordinat ekseni boyunca bir birim 2 cm içerir. Bu bilgi, gerekirse "standart olmayan" koordinatları "her zamanki santimetremize" dönüştürmek için yeterlidir.

Aslında zaten yanıtlanmış olan ikinci soru ise temel vektörler arasındaki açının 90 dereceye eşit olup olmaması gerektiğidir. HAYIR! Tanımda belirtildiği gibi temel vektörler şu şekilde olmalıdır: yalnızca doğrusal olmayan. Buna göre açı 0 ile 180 derece dışında herhangi bir değer olabilir.

Uçakta adı verilen bir nokta köken, Ve doğrusal olmayan vektörler, , ayarlamak afin düzlem koordinat sistemi :

Bazen böyle bir koordinat sistemine denir eğik sistem. Örnek olarak çizimde noktalar ve vektörler gösterilmektedir:

Anladığınız gibi afin koordinat sistemi daha da az kullanışlıdır; dersin ikinci bölümünde tartıştığımız vektörlerin ve bölümlerin uzunluklarına ilişkin formüller bu sistemde çalışmıyor. Aptallar için vektörler ile ilgili birçok lezzetli formül vektörlerin skaler çarpımı. Ancak vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralları, bu açıdan bir parçayı bölme formülleri ve yakında ele alacağımız diğer bazı problem türleri geçerlidir.

Ve sonuç şu ki, afin koordinat sisteminin en uygun özel durumu Kartezyen dikdörtgen sistemdir. Bu yüzden onu en sık görmen gerekiyor canım. ...Ancak, bu hayatta her şey görecelidir; eğik bir açının (ya da örneğin başka bir açının) olduğu birçok durum vardır. kutupsal) koordinat sistemi. Ve insansılar bu tür sistemleri sevebilir =)

Pratik kısma geçelim. Bu dersteki tüm problemler hem dikdörtgen koordinat sistemi hem de genel afin durumu için geçerlidir. Burada karmaşık bir şey yok; tüm materyallere bir okul çocuğu bile erişebilir.

Düzlem vektörlerin doğrusallığı nasıl belirlenir?

Tipik bir şey. İki düzlem vektörü için eşdoğrusal olsaydı, karşılık gelen koordinatlarının orantılı olması gerekli ve yeterliydi Aslında bu, bariz ilişkinin koordinat bazında detaylandırılmasıdır.

Örnek 1

a) Vektörlerin doğrusal olup olmadığını kontrol edin .
b) Vektörler bir taban oluşturuyor mu? ?

Çözüm:
a) Vektörler için var olup olmadığını bulalım. eşitlikler sağlanacak şekilde orantı katsayısı:

Pratikte oldukça işe yarayan bu kuralı uygulamanın “züppece” versiyonunu size mutlaka anlatacağım. Buradaki fikir, hemen oranı telafi etmek ve doğru olup olmadığına bakmaktır:

Vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının oranlarından bir orantı kuralım:

Kısaltalım:
dolayısıyla karşılık gelen koordinatlar orantılıdır, bu nedenle,

İlişki tam tersi şekilde de yapılabilir; bu da eşdeğer bir seçenektir:

Kendi kendini test etmek için eşdoğrusal vektörlerin birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiği gerçeğini kullanabilirsiniz. Bu durumda eşitlik sağlanır . Geçerlilikleri, vektörlerle yapılan temel işlemlerle kolayca doğrulanabilir:

b) İki düzlem vektörü eşdoğrusal (doğrusal olarak bağımsız) değillerse bir temel oluştururlar. Doğrusallık açısından vektörleri inceliyoruz . Bir sistem oluşturalım:

İlk denklemden şu çıkıyor, ikinci denklemden şu çıkıyor, yani sistem tutarsız(çözüm yok). Dolayısıyla vektörlerin karşılık gelen koordinatları orantılı değildir.

Çözüm: vektörler doğrusal olarak bağımsızdır ve bir temel oluşturur.

Çözümün basitleştirilmiş bir versiyonu şuna benzer:

Vektörlerin karşılık gelen koordinatlarından bir orantı kuralım :
Bu, bu vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve bir temel oluşturduğu anlamına gelir.

Genellikle bu seçenek incelemeciler tarafından reddedilmez, ancak bazı koordinatların sıfıra eşit olduğu durumlarda sorun ortaya çıkar. Bunun gibi: . Veya bunun gibi: . Veya bunun gibi: . Burada orantı nasıl çalışılır? (aslında sıfıra bölemezsiniz). Bu nedenle basitleştirilmiş çözüme "züppe" adını verdim.

Cevap: a) , b) şeklinde.

Kendi çözümünüz için küçük, yaratıcı bir örnek:

Örnek 2

Vektörler parametrenin hangi değerindedir? doğrusal olacaklar mı?

Örnek çözümde parametre orantı yoluyla bulunur.

Vektörleri doğrusallık açısından kontrol etmenin zarif bir cebirsel yolu var. Bilgimizi sistematize edelim ve bunu beşinci nokta olarak ekleyelim:

İki düzlem vektör için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

2) vektörler bir temel oluşturur;
3) vektörler doğrusal değildir;

+ 5) Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfırdan farklıdır.

Sırasıyla, aşağıdaki zıt ifadeler eşdeğerdir:
1) vektörler doğrusal olarak bağımlıdır;
2) vektörler bir temel oluşturmaz;
3) vektörler doğrusaldır;
4) vektörler birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilebilir;
+ 5) Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfıra eşittir.

Şimdiye kadar karşılaştığınız tüm terimleri ve ifadeleri zaten anladığınızı gerçekten çok umuyorum.

Yeni beşinci noktaya daha yakından bakalım: iki düzlem vektörleri ancak ve ancak verilen vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması durumunda eşdoğrusaldırlar:. Bu özelliği uygulamak için elbette şunları yapabilmeniz gerekir: belirleyicileri bul.

Haydi karar verelimÖrnek 1 ikinci şekilde:

a) Vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım. :
Bu, bu vektörlerin doğrusal olduğu anlamına gelir.

b) İki düzlem vektörü eşdoğrusal (doğrusal olarak bağımsız) değillerse bir temel oluştururlar. Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım :
Bu, vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve bir temel oluşturduğu anlamına gelir.

Cevap: a) , b) şeklinde.

Orantılı bir çözümden çok daha kompakt ve daha güzel görünüyor.

Ele alınan malzemenin yardımıyla, yalnızca vektörlerin eşdoğrusallığını oluşturmak değil, aynı zamanda parçaların ve düz çizgilerin paralelliğini de kanıtlamak mümkündür. Belirli geometrik şekillerle ilgili birkaç problemi ele alalım.

Örnek 3

Bir dörtgenin köşeleri verilmiştir. Dörtgenin paralelkenar olduğunu kanıtlayın.

Kanıt: Çözüm tamamen analitik olacağından problemde çizim oluşturmaya gerek yoktur. Paralelkenarın tanımını hatırlayalım:
Paralelkenar Karşılıklı kenarları paralel olan çiftlere dörtgen denir.

Bu nedenle aşağıdakileri kanıtlamak gerekir:
1) karşıt tarafların paralelliği ve;
2) karşıt tarafların paralelliği ve.

Kanıtlıyoruz:

1) Vektörleri bulun:

2) Vektörleri bulun:

Sonuç aynı vektördür (“okula göre” – eşit vektörler). Eşdoğrusallık oldukça açıktır, ancak kararı düzenlemeyle net bir şekilde resmileştirmek daha iyidir. Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:
, bu, bu vektörlerin eşdoğrusal olduğu anlamına gelir ve .

Çözüm: Bir dörtgenin karşılıklı kenarları çiftler halinde paraleldir, bu da tanımı gereği bir paralelkenar olduğu anlamına gelir. Q.E.D.

Daha iyi ve farklı rakamlar:

Örnek 4

Bir dörtgenin köşeleri verilmiştir. Dörtgenin yamuk olduğunu kanıtlayın.

Kanıtın daha titiz bir formülasyonu için, elbette yamuğun tanımını almak daha iyidir, ancak neye benzediğini hatırlamak yeterlidir.

Bu sizin kendi başınıza çözmeniz gereken bir görevdir. Dersin sonunda tam çözüm.

Ve şimdi yavaş yavaş uçaktan uzaya geçme zamanı:

Uzay vektörlerinin doğrusallığı nasıl belirlenir?

Kural çok benzer. İki uzay vektörünün eşdoğrusal olabilmesi için karşılık gelen koordinatlarının orantılı olması gerekli ve yeterlidir..

Örnek 5

Aşağıdaki uzay vektörlerinin eşdoğrusal olup olmadığını öğrenin:

A) ;
B)
V)

Çözüm:
a) Vektörlerin karşılık gelen koordinatları için bir orantı katsayısı olup olmadığını kontrol edelim:

Sistemin çözümü yoktur, bu da vektörlerin doğrusal olmadığı anlamına gelir.

Oran kontrol edilerek “Basitleştirilmiş” resmileştirilir. Bu durumda:
– karşılık gelen koordinatlar orantılı değildir; bu, vektörlerin eşdoğrusal olmadığı anlamına gelir.

Cevap: vektörler eşdoğrusal değildir.

b-c) Bunlar bağımsız karar verme noktalarıdır. İki şekilde deneyin.

Üçüncü dereceden bir determinant aracılığıyla uzaysal vektörlerin eşdoğrusallık açısından kontrol edilmesine yönelik bir yöntem vardır; bu yöntem makalede ele alınmaktadır; Vektörlerin vektör çarpımı.

Düzlem durumuna benzer şekilde, dikkate alınan araçlar, uzaysal bölümlerin ve düz çizgilerin paralelliğini incelemek için kullanılabilir.

İkinci bölüme hoş geldiniz:

Üç boyutlu uzayda vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı.
Uzamsal temel ve afin koordinat sistemi

Uçakta incelediğimiz desenlerin birçoğu uzay için de geçerli olacaktır. Bilgideki aslan payı zaten çiğnendiğinden teori notlarını en aza indirmeye çalıştım. Ancak yeni terim ve kavramlar çıkacağı için giriş kısmını dikkatli okumanızı tavsiye ederim.

Artık bilgisayar masasının düzlemi yerine üç boyutlu uzayı keşfediyoruz. Öncelikle temelini oluşturalım. Birileri artık içeride, birileri dışarıda ama her halükarda üç boyuttan kaçamıyoruz: genişlik, uzunluk ve yükseklik. Bu nedenle, bir temel oluşturmak için üç uzaysal vektör gerekli olacaktır. Bir veya iki vektör yeterli değildir, dördüncüsü gereksizdir.

Ve yine parmaklarımızda ısınıyoruz. Lütfen elinizi kaldırın ve farklı yönlere yayın. başparmak, işaret parmağı ve orta parmak. Bunlar vektörler olacak, farklı yönlere bakıyorlar, farklı uzunluklara sahipler ve kendi aralarında farklı açılara sahipler. Tebrikler, üç boyutlu uzayın temeli hazır! Bu arada parmaklarınızı ne kadar bükerseniz çevirin bunu öğretmenlere göstermenize gerek yok ama tanımlardan kaçış yok =)

Sonra kendimize önemli bir soru soralım: herhangi üç vektör üç boyutlu uzayın temelini oluşturur mu?? Lütfen üç parmağınızı bilgisayar masasının üstüne sıkıca bastırın. Ne oldu? Üç vektör aynı düzlemde bulunur ve kabaca konuşursak boyutlardan birini kaybettik - yükseklik. Bu tür vektörler eş düzlemli ve üç boyutlu uzayın temelinin yaratılmadığı çok açıktır.

Eş düzlemli vektörlerin aynı düzlemde olması gerekmediğine dikkat edilmelidir, paralel düzlemlerde olabilirler (bunu parmaklarınızla yapmayın, bunu yalnızca Salvador Dali yaptı =)).

Tanım: vektörlere denir eş düzlemli, eğer paralel oldukları bir düzlem varsa. Buraya şunu eklemek mantıklıdır: Eğer böyle bir düzlem yoksa o zaman vektörler aynı düzlemde olmayacaktır.

Üç eş düzlemli vektör her zaman doğrusal olarak bağımlıdır yani birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilirler. Basitleştirmek için, yine aynı düzlemde olduklarını hayal edelim. İlk olarak, vektörler sadece eş düzlemli değildir, aynı zamanda doğrusal da olabilirler, bu durumda herhangi bir vektör herhangi bir vektör aracılığıyla ifade edilebilir. İkinci durumda, örneğin vektörler eşdoğrusal değilse, üçüncü vektör bunlar aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edilir: (ve önceki bölümdeki materyallerden nedenini tahmin etmek kolaydır).

Bunun tersi de doğrudur: eş düzlemli olmayan üç vektör her zaman doğrusal olarak bağımsızdır yani hiçbir şekilde birbirleri aracılığıyla ifade edilmezler. Ve açıkçası, yalnızca bu tür vektörler üç boyutlu uzayın temelini oluşturabilir.

Tanım: Üç boyutlu uzayın temeli doğrusal olarak bağımsız (eş düzlemli olmayan) vektörlerin üçlüsü olarak adlandırılır, belli bir sıraya göre alınır ve uzayın herhangi bir vektörü tek yol belirli bir temele göre ayrıştırılır; bu temeldeki vektörün koordinatları nerededir?

Vektörün formda temsil edildiğini de söyleyebileceğimizi hatırlatmama izin verin. doğrusal kombinasyon temel vektörler.

Koordinat sistemi kavramı, düzlem durumundakiyle tamamen aynı şekilde tanıtılmıştır; bir nokta ve herhangi üç doğrusal bağımsız vektör yeterlidir:

köken, Ve eş düzlemli olmayan vektörler, belli bir sıraya göre alınır, ayarlamak üç boyutlu uzayın afin koordinat sistemi :

Elbette koordinat ızgarası "eğik" ve elverişsizdir, ancak yine de oluşturulan koordinat sistemi bize izin verir kesinlikle herhangi bir vektörün koordinatlarını ve uzaydaki herhangi bir noktanın koordinatlarını belirler. Daha önce bahsettiğim bazı formüller tıpkı düzlem gibi uzayın afin koordinat sisteminde çalışmayacaktır.

Herkesin tahmin ettiği gibi, afin koordinat sisteminin en tanıdık ve kullanışlı özel durumu şudur: dikdörtgen uzay koordinat sistemi:

Uzayda bir noktaya denir köken, Ve ortonormal temel belirlendi Kartezyen dikdörtgen uzay koordinat sistemi . Tanıdık resim:

Pratik görevlere geçmeden önce bilgileri tekrar sistematize edelim:

Üç uzay vektörü için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:
1) vektörler doğrusal olarak bağımsızdır;
2) vektörler bir temel oluşturur;
3) vektörler eş düzlemli değildir;
4) vektörler birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilemez;
5) Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfırdan farklıdır.

Zıt ifadelerin anlaşılır olduğunu düşünüyorum.

Uzay vektörlerinin doğrusal bağımlılığı/bağımsızlığı geleneksel olarak bir determinant (nokta 5) kullanılarak kontrol edilir. Geri kalan pratik görevler belirgin bir cebirsel nitelikte olacaktır. Geometri çubuğunu bir kenara bırakıp doğrusal cebir beyzbol sopasını kullanmanın zamanı geldi:

Uzayın üç vektörü ancak ve ancak verilen vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması durumunda eş düzlemlidir: .

Dikkatinizi küçük bir teknik nüansa çekmek istiyorum: vektörlerin koordinatları yalnızca sütunlarda değil satırlarda da yazılabilir (bu nedenle determinantın değeri değişmeyecektir - determinantların özelliklerine bakın). Ancak bazı pratik sorunların çözümünde daha faydalı olduğu için sütunlarda çok daha iyidir.

Belirleyicileri hesaplama yöntemlerini biraz unutmuş veya belki de hiç anlamayan okuyuculara en eski derslerimden birini öneriyorum: Determinant nasıl hesaplanır?

Örnek 6

Aşağıdaki vektörlerin üç boyutlu uzayın temelini oluşturup oluşturmadığını kontrol edin:

Çözüm: Aslında tüm çözüm determinantın hesaplanmasından ibarettir.

a) Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım (determinant ilk satırda ortaya çıkıyor):

Bu, vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu (eş düzlemli olmadığı) ve üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğu anlamına gelir.

Cevap: bu vektörler bir temel oluşturur

b) Bu bağımsız karar verilmesi gereken bir noktadır. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Ayrıca yaratıcı görevler de vardır:

Örnek 7

Parametrenin hangi değerinde vektörler aynı düzlemde olacaktır?

Çözüm: Vektörler ancak ve ancak bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması durumunda eş düzlemlidir:

Temel olarak determinantı olan bir denklemi çözmeniz gerekir. Jerboas üzerindeki uçurtmalar gibi sıfırlara saldırıyoruz - ikinci satırdaki determinantı açmak ve eksilerden hemen kurtulmak en iyisidir:

Daha fazla basitleştirmeler yapıyoruz ve konuyu en basit doğrusal denklem haline getiriyoruz:

Cevap: saat

Burada kontrol etmek kolaydır; bunu yapmak için, elde edilen değeri orijinal determinantın yerine koymanız ve şu şekilde olduğundan emin olmanız gerekir: , tekrar açıyorum.

Sonuç olarak, doğası gereği daha cebirsel olan ve geleneksel olarak doğrusal cebir dersinde yer alan başka bir tipik probleme bakalım. O kadar yaygındır ki kendi konusunu hak etmektedir:

3 vektörün üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğunu kanıtlayın
ve bu temelde 4. vektörün koordinatlarını bulun

Örnek 8

Vektörler verilmiştir. Vektörlerin üç boyutlu uzayda bir taban oluşturduğunu gösterin ve bu tabandaki vektörün koordinatlarını bulun.

Çözüm: Öncelikle durumu ele alalım. Koşula göre dört vektör verilmiştir ve görebileceğiniz gibi bunların bazı temellerde koordinatları zaten vardır. Bu temelin ne olduğu bizi ilgilendirmiyor. Ve şu şey ilgi çekicidir: Üç vektör pekala yeni bir temel oluşturabilir. Ve ilk aşama, Örnek 6'nın çözümüyle tamamen örtüşmektedir; vektörlerin gerçekten doğrusal olarak bağımsız olup olmadığının kontrol edilmesi gerekmektedir:

Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:

Bu, vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğu anlamına gelir.

! Önemli : vektör koordinatları mutlaka yaz sütunlara determinant, dizelerde değil. Aksi takdirde ilerideki çözüm algoritmasında karışıklık yaşanacaktır.

Bu yazıda şunları ele alacağız:

• eşdoğrusal vektörler nelerdir;
• vektörlerin eşdoğrusallık koşulları nelerdir;
• eşdoğrusal vektörlerin hangi özellikleri mevcuttur;
• Doğrusal vektörlerin doğrusal bağımlılığı nedir?

Tanım 1

Doğrusal vektörler, bir doğruya paralel olan veya bir doğru üzerinde yer alan vektörlerdir.

Örnek 1

Vektörlerin eşdoğrusallık koşulları

Aşağıdaki koşullardan herhangi biri doğruysa iki vektör eşdoğrusaldır:

• durum 1 . a ve b vektörleri, a = λ b olacak şekilde bir λ sayısı varsa doğrusaldır;
• durum 2 . a ve b vektörleri eşit koordinat oranlarıyla aynı doğrultudadır:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• durum 3 . Çapraz çarpım ve sıfır vektörünün eşit olması koşuluyla, a ve b vektörleri eşdoğrusaldır:

bir ∥ b ⇔ bir , b = 0

Not 1

Durum 2 vektör koordinatlarından birinin sıfır olması durumunda geçerli değildir.

Not 2

Durum 3 yalnızca uzayda belirtilen vektörlere uygulanır.

Vektörlerin doğrusallığını incelemek için problem örnekleri

Örnek 1

Doğrusallık açısından a = (1; 3) ve b = (2; 1) vektörlerini inceliyoruz.

Nasıl çözülür?

Bu durumda 2. doğrusallık koşulunun kullanılması gerekmektedir. Verilen vektörler için şöyle görünür:

Eşitlik yanlıştır. Bundan a ve b vektörlerinin doğrusal olmadığı sonucuna varabiliriz.

Cevap : bir | | B

Örnek 2

Vektörlerin doğrusal olması için a = (1; 2) ve b = (- 1; m) vektörünün hangi m değeri gereklidir?

Nasıl çözülür?

İkinci eşdoğrusallık koşulunu kullanarak, koordinatları orantılıysa vektörler eşdoğrusal olacaktır:

Bu m = - 2 olduğunu gösterir.

Cevap: m = - 2 .

Vektör sistemlerinin doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı için kriterler

Teorem

Bir vektör uzayındaki bir vektör sistemi, yalnızca sistemin vektörlerinden birinin bu sistemin geri kalan vektörleri cinsinden ifade edilebilmesi durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt

Sistem e 1 , e 2 , olsun. . . , e n doğrusal olarak bağımlıdır. Bu sistemin sıfır vektörüne eşit doğrusal birleşimini yazalım:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

burada kombinasyon katsayılarından en az biri sıfıra eşit değildir.

a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , olsun. . . , N.

Eşitliğin her iki tarafını da sıfır olmayan bir katsayıya bölüyoruz:

a k - 1 (ak - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) ek + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Şunu belirtelim:

A k - 1 a m , burada m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Bu durumda:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

veya e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) ek + 1 + . . . + (- β n) e n

Buradan sistemin vektörlerinden birinin sistemin diğer tüm vektörleri aracılığıyla ifade edildiği sonucu çıkar. Kanıtlanması gereken şey buydu (vb.).

Yeterlilik

Vektörlerden birinin sistemin diğer tüm vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilmesine izin verin:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

e k vektörünü bu eşitliğin sağ tarafına taşırız:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

e k vektörünün katsayısı - 1 ≠ 0'a eşit olduğundan, e 1, e 2, vektörlerinden oluşan bir sistemle sıfırın önemsiz olmayan bir temsilini elde ederiz. . . , e n ve bu da bu vektörler sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir. Kanıtlanması gereken şey buydu (vb.).

Sonuçlar:

• Bir vektör sistemi, vektörlerinden hiçbiri sistemin diğer tüm vektörleri cinsinden ifade edilemediğinde doğrusal olarak bağımsızdır.
• Sıfır vektör veya iki eşit vektör içeren bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Doğrusal bağımlı vektörlerin özellikleri

1. 2 ve 3 boyutlu vektörler için aşağıdaki koşul karşılanır: doğrusal olarak bağımlı iki vektör aynı doğrultudadır. İki eşdoğrusal vektör doğrusal olarak bağımlıdır.
2. 3 boyutlu vektörler için aşağıdaki koşul karşılanır: doğrusal olarak bağımlı üç vektör eş düzlemlidir. (3 eş düzlemli vektör doğrusal olarak bağımlıdır).
3. N boyutlu vektörler için aşağıdaki koşul sağlanır: n + 1 vektör her zaman doğrusal olarak bağımlıdır.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığını veya doğrusal bağımsızlığını içeren problemlerin çözümüne örnekler

Örnek 3

Doğrusal bağımsızlık için a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 vektörlerini kontrol edelim.

Çözüm. Vektörler doğrusal olarak bağımlıdır çünkü vektörlerin boyutu vektör sayısından azdır.

Örnek 4

Doğrusal bağımsızlık için a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 vektörlerini kontrol edelim.

Çözüm. Doğrusal kombinasyonun sıfır vektörüne eşit olacağı katsayıların değerlerini buluyoruz:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektör denklemini doğrusal biçimde yazıyoruz:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Bu sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözüyoruz:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2. satırdan 1'inciyi, 3'üncü - 1'inci satırdan çıkarıyoruz:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1. satırdan 2.yi çıkarıyoruz, 3. satıra 2.yi ekliyoruz:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Çözümden sistemin birçok çözümü olduğu sonucu çıkar. Bu, a, b, c'nin doğrusal kombinasyonunun sıfır vektörüne eşit olduğu x 1, x 2, x 3 gibi sayıların sıfır olmayan bir değer kombinasyonunun olduğu anlamına gelir. Bu nedenle a, b, c vektörleri doğrusal bağımlı. ​​​​​​​

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Tanım 1. Vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu, bu vektörlerin ve skalerlerin çarpımlarının toplamıdır
:

Tanım 2. Vektör sistemi
doğrusal kombinasyonları (2.8) ortadan kalkarsa doğrusal bağımlı sistem olarak adlandırılır:

ve sayıların arasında
sıfırdan farklı en az bir tane var.

Tanım 3. Vektörler
Doğrusal kombinasyonları (2.8) yalnızca tüm sayıların olması durumunda ortadan kalkıyorsa doğrusal bağımsız olarak adlandırılırlar.

Bu tanımlardan aşağıdaki sonuçlar elde edilebilir.

Sonuç 1. Doğrusal olarak bağımlı bir vektör sisteminde, en az bir vektör diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir.

Kanıt. (2.9) sağlansın ve kesinlik için katsayı
. Daha sonra elimizde:
. Bunun tersinin de doğru olduğunu unutmayın.

Sonuç 2. Vektörler sistemi ise
sıfır vektör içeriyorsa, bu sistem (zorunlu olarak) doğrusal olarak bağımlıdır - kanıt açıktır.

Sonuç 3. Eğer arasında N vektörler
herhangi k(
) vektörler doğrusal olarak bağımlıdır, o zaman hepsi bu N vektörler doğrusal olarak bağımlıdır (ispatı atlayacağız).

2 0 . İki, üç ve dört vektörün doğrusal kombinasyonları. Düz bir çizgide, bir düzlemde ve uzayda vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı konularını ele alalım. İlgili teoremleri sunalım.

Teorem 1. İki vektörün doğrusal bağımlı olabilmesi için eşdoğrusal olmaları gerekli ve yeterlidir.

gereklilik. Vektörler olsun Ve doğrusal bağımlı. Bu onların doğrusal kombinasyonunun olduğu anlamına gelir
=0 ve (kesinlik adına)
. Bu eşitliği ifade eder
ve (bir vektörün bir sayıyla çarpılmasının tanımı gereği) vektörler Ve eşdoğrusal.

Yeterlilik. Vektörler olsun Ve eşdoğrusal ( ║) (sıfır vektörden farklı olduklarını varsayıyoruz; aksi halde doğrusal bağımlılıkları açıktır).

Teorem (2.7)'ye göre (bkz. §2.1, madde 2 0) o zaman
Öyle ki
, veya
– doğrusal kombinasyon sıfıra eşittir ve katsayı 1'e eşittir – vektörler Ve doğrusal bağımlı.

Bu teoremden aşağıdaki sonuç çıkar.

Sonuçlar. Eğer vektörler Ve eşdoğrusal değilse doğrusal olarak bağımsızdırlar.

Teorem 2. Üç vektörün doğrusal bağımlı olabilmesi için eş düzlemli olmaları gerekli ve yeterlidir.

gereklilik. Vektörler olsun ,Ve doğrusal bağımlı. Eş düzlemli olduklarını gösterelim.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığının tanımından sayıların varlığı çıkar.
Ve öyle ki doğrusal kombinasyon
ve aynı zamanda (daha spesifik olmak gerekirse)
. O zaman bu eşitlikten vektörü ifade edebiliriz. :=
yani vektör bu eşitliğin sağ tarafındaki vektörler üzerine oluşturulan bir paralelkenarın köşegenine eşittir (Şekil 2.6). Bu, vektörlerin ,Ve aynı düzlemde yatıyoruz.

Yeterlilik. Vektörler olsun ,Ve eş düzlemli. Lineer bağımlı olduklarını gösterelim.

Herhangi bir vektör çiftinin eşdoğrusallık durumunu hariç tutalım (çünkü o zaman bu çift doğrusal olarak bağımlıdır ve Sonuç 3'e göre (bkz. paragraf 10) üç vektörün tümü doğrusal olarak bağımlıdır). Bu varsayımın aynı zamanda bu üçü arasında sıfır vektörünün varlığını da dışladığını unutmayın.

Üç eş düzlemli vektörü bir düzleme taşıyalım ve bunları ortak bir kökene getirelim. Vektörün sonuna kadar vektörlere paralel çizgiler çizin Ve ; vektörleri alıyoruz Ve (Şekil 2.7) - onların varlığı vektörlerin olmasıyla sağlanır. Ve varsayım gereği eşdoğrusal olmayan vektörler. Bundan şu sonuç çıkıyor: vektör =+. Bu eşitliğin (–1) şeklinde yeniden yazılması ++=0, vektörlerin olduğu sonucuna varıyoruz ,Ve doğrusal bağımlı.

Kanıtlanmış teoremden iki sonuç çıkar.

Sonuç 1. İzin vermek Ve doğrusal olmayan vektörler, vektör – keyfi, vektörlerin tanımladığı düzlemde yer alan Ve , vektör. O zaman sayılar var Ve Öyle ki

=+. (2.10)

Sonuç 2. Eğer vektörler ,Ve eş düzlemli değilse doğrusal olarak bağımsızdırlar.

Teorem 3. Herhangi dört vektör doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıtı atlayacağız; bazı değişikliklerle Teorem 2'nin ispatını kopyalar. Bu teoremden bir sonuç çıkaralım.

Sonuçlar. Eş düzlemli olmayan vektörler için ,,ve herhangi bir vektör
Ve Öyle ki

. (2.11)

Yorum. (Üç boyutlu) uzaydaki vektörler için doğrusal bağımlılık ve bağımsızlık kavramları, yukarıdaki Teorem 1-3'te belirtildiği gibi basit bir geometrik anlama sahiptir.

İki doğrusal bağımlı vektör olsun Ve . Bu durumda, bunlardan biri ikincinin doğrusal bir birleşimidir, yani ondan sadece sayısal bir faktörle farklıdır (örneğin,
). Geometrik olarak bu, her iki vektörün de ortak bir çizgi üzerinde olduğu anlamına gelir; aynı veya zıt yönlere sahip olabilirler (Şekil 2.8 xx).

İki vektör birbirine açılı olarak yerleştirilmişse (Şekil 2.9 xx), bu durumda bunlardan biri diğerinin bir sayı ile çarpılmasıyla elde edilemez - bu tür vektörler doğrusal olarak bağımsızdır. Bu nedenle iki vektörün doğrusal bağımsızlığı Ve bu vektörlerin tek bir düz çizgi üzerine yerleştirilemeyeceği anlamına gelir.

Üç vektörün doğrusal bağımlılığının ve bağımsızlığının geometrik anlamını bulalım.

Vektörler olsun ,Ve doğrusal olarak bağımlıdır ve (spesifik olmak gerekirse) vektöre izin verin vektörlerin doğrusal bir birleşimidir Ve yani vektörleri içeren düzlemde bulunur Ve . Bu, vektörlerin ,Ve aynı düzlemde yatıyoruz. Bunun tersi de doğrudur: eğer vektörler ,Ve aynı düzlemde bulunuyorlarsa doğrusal olarak bağımlıdırlar.

Böylece vektörler ,Ve ancak ve ancak aynı düzlemde bulunmamaları durumunda doğrusal olarak bağımsızdırlar.

3 0 . Temel kavramı. Lineer ve vektör cebirdeki en önemli kavramlardan biri taban kavramıdır. Bazı tanımları tanıtalım.

Tanım 1. Bu çiftin hangi vektörünün birinci, hangisinin ikinci olarak kabul edildiği belirtilirse, bir vektör çiftine sıralı vektör denir.

Tanım 2. Sıralı çift ,Doğrusal olmayan vektörlere, verilen vektörler tarafından tanımlanan düzlem üzerindeki temel denir.

Teorem 1. Herhangi bir vektör düzlemde vektörlerin temel sisteminin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir ,:

(2.12)

ve bu temsil tek temsildir.

Kanıt. Vektörler olsun Ve bir temel oluşturur. Daha sonra herhangi bir vektör şeklinde temsil edilebilir
.

Benzersizliği kanıtlamak için bir ayrışmanın daha olduğunu varsayalım.
. O zaman = 0 elde ederiz ve farklardan en az biri sıfırdan farklıdır. İkincisi, vektörlerin olduğu anlamına gelir Ve doğrusal olarak bağımlı, yani eşdoğrusal; bu durum onların temel teşkil ettiği iddiasıyla çelişmektedir.

Ancak o zaman yalnızca ayrışma olur.

Tanım 3. Hangi vektörün birinci, hangisinin ikinci ve hangisinin üçüncü olduğu belirtilirse, üçlü vektöre sıralı vektör denir.

Tanım 4. Eş düzlemli olmayan vektörlerin sıralı üçlüsüne uzayda taban denir.

Ayrıştırma ve teklik teoremi burada da geçerlidir.

Teorem 2. Herhangi bir vektör temel vektör sisteminin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir ,,:

(2.13)

ve bu gösterim benzersizdir (teoremin kanıtını atlayacağız).

(2.12) ve (2.13) numaralı açılımlardaki büyüklükler vektör koordinatları denir belirli bir temelde (daha kesin olarak afin koordinatlara göre).

Sabit bir esasla
Ve
yazabilirsin
.

Örneğin, temel verilirse
ve bu verilmiştir
, o zaman bu bir temsilin (ayrıştırma) olduğu anlamına gelir
.

4 0 . Koordinat formundaki vektörler üzerinde doğrusal işlemler. Bir bazın getirilmesi, vektörler üzerindeki doğrusal işlemlerin, sayılar (bu vektörlerin koordinatları) üzerindeki sıradan doğrusal işlemlerle değiştirilmesine olanak tanır.

Biraz temel verilsin
. Açıkçası, vektör koordinatlarının bu temelde belirtilmesi tamamen vektörün kendisini belirler. Aşağıdaki öneriler geçerlidir:

a) iki vektör
Ve
ancak ve ancak karşılık gelen koordinatları eşitse eşittir:

b) bir vektörü çarparken
sayı başına koordinatları bu sayıyla çarpılır:

; (2.15)

c) vektörleri eklerken karşılık gelen koordinatları eklenir:

Bu özelliklerin kanıtlarını atlayacağız; Sadece örnek olarak b) özelliğini kanıtlayalım. Sahibiz

==

Yorum. Uzayda (uçakta) sonsuz sayıda üs seçebilirsiniz.

Bir tabandan diğerine geçişe örnek verelim ve farklı tabanlardaki vektör koordinatları arasında ilişkiler kuralım.

Örnek 1. Temel sistemde
üç vektör verilmiştir:
,
Ve
. temelde ,,vektör ayrışma vardır. Vektör koordinatlarını bulun temelde
.

Çözüm. Genişletmelerimiz var:
,
,
; buradan,
=
+2
+
= =
yani
temelde
.

Örnek 2. Biraz temel alalım
dört vektör koordinatlarına göre verilmiştir:
,
,
Ve
.

Vektörlerin oluşup oluşmadığını öğrenin
temel; cevap pozitifse vektörün ayrışmasını bulun bu temelde.

Çözüm. 1) Vektörler doğrusal olarak bağımsızlarsa bir temel oluştururlar. Vektörlerin doğrusal bir kombinasyonunu yapalım
(
) ve ne olduğunu öğrenin
Ve sıfıra gidiyor:
=0. Sahibiz:

=
+
+
=

Vektörlerin eşitliğini koordinat biçiminde tanımlayarak aşağıdaki (doğrusal homojen cebirsel) denklem sistemini elde ederiz:
;
;
, kimin determinantı
=1
yani sistemin (yalnızca) önemsiz bir çözümü var
. Bu, vektörlerin doğrusal bağımsızlığı anlamına gelir
dolayısıyla bir temel oluşturuyorlar.

2) vektörü genişletin bu temelde. Sahibiz: =
veya koordinat biçiminde.

Koordinat formundaki vektörlerin eşitliğine geçerek, doğrusal homojen olmayan cebirsel denklemlerden oluşan bir sistem elde ederiz:
;
;
. Bunu çözersek (örneğin Cramer kuralını kullanarak), şunu elde ederiz:
,
,
Ve (
)
. Vektör ayrışımına sahibiz temelde
:=.

5 0 . Bir vektörün bir eksene izdüşümü. İzdüşümlerin özellikleri. Bir eksen olsun ben, yani üzerinde bir yön seçilen ve bir vektör verilse de düz bir çizgi Vektör projeksiyonu kavramını tanımlayalım eksen başına ben.

Tanım. Vektör projeksiyonu eksen başına ben bu vektörün modülü ile eksen arasındaki açının kosinüsünün çarpımına denir ben ve vektör (Şekil 2.10):

. (2.17)

Bu tanımın bir sonucu, eşit vektörlerin eşit projeksiyonlara (aynı eksende) sahip olduğu ifadesidir.

İzdüşümlerin özelliklerine dikkat edelim.

1) vektörlerin toplamının bir eksene yansıtılması ben vektörlerin terimlerinin aynı eksene izdüşümlerinin toplamına eşittir:

2) bir skalerin çarpımının bir vektör tarafından izdüşümü, bu skalerin çarpımına, vektörün aynı eksene izdüşümü ile eşittir:

=
. (2.19)

Sonuçlar. Vektörlerin doğrusal bir kombinasyonunun eksene izdüşümü, bunların izdüşümlerinin doğrusal birleşimine eşittir:

Özelliklerin kanıtlarını atlayacağız.

6 0 . Uzayda dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi.Bir vektörün eksenlerin birim vektörlerine ayrıştırılması. Temel olarak birbirine dik üç birim vektör seçilsin; onlar için özel notasyonlar sunuyoruz
. Başlangıçlarını bir noktaya yerleştirerek O, onları yönlendireceğiz (ortlara uygun olarak)
) koordinat eksenleri Öküz,oy veO z(üzerinde pozitif yön, başlangıç ​​noktası ve uzunluk birimi seçilmiş olan bir eksene koordinat ekseni adı verilir).

Tanım. Ortak bir kökene ve ortak bir uzunluk birimine sahip, karşılıklı olarak dik üç koordinat ekseninden oluşan düzenli bir sisteme, uzayda dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi denir.

Eksen Öküz apsis ekseni denir, oy– koordinat ekseni uO z – eksen aplikatörü

Temelde keyfi bir vektörün açılımını ele alalım
. Teoremden (bkz. §2.2, paragraf 3 0, (2.13)) şu sonuç çıkıyor:
temel üzerinde benzersiz şekilde genişletilebilir
(burada koordinatları belirtmek yerine
kullanmak
):

. (2.21)

B (2.21)
öz (Kartezyen dikdörtgen) vektör koordinatları . Kartezyen koordinatların anlamı aşağıdaki teorem ile belirlenir.

Teorem. Kartezyen dikdörtgen koordinatlar
vektör sırasıyla bu vektörün eksen üzerindeki izdüşümleridir Öküz,oy veO z.

Kanıt. Vektörü yerleştirelim koordinat sisteminin kökenine - nokta O. O zaman sonu bir noktaya denk gelecek
.

Hadi noktayı çizelim
koordinat düzlemlerine paralel üç düzlem Oyz,Öküz Ve Oksi(Şekil 2.11 xx). Daha sonra şunu elde ederiz:

. (2.22)

(2.22)'deki vektörler
Ve
vektör bileşenleri denir
eksenler boyunca Öküz,oy veO z.

Geçmesine izin ver
Ve vektörün oluşturduğu açılar sırasıyla gösterilir ortlarla
. Daha sonra bileşenler için aşağıdaki formülleri elde ederiz:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

(2.21), (2.22) (2.23)'ten şunu buluruz:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

– koordinatlar
vektör bu vektörün koordinat eksenlerine izdüşümleri var Öküz,oy veO z sırasıyla.

Yorum. Sayılar
vektörün yön kosinüsleri denir .

Vektör modülü (dikdörtgen bir paralel borunun köşegeni) aşağıdaki formülle hesaplanır:

. (2.24)

(2.23) ve (2.24) formüllerinden yön kosinüslerinin aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabileceği sonucu çıkar:

=
;
=
;
=
. (2.25)

(2.25)'teki eşitliklerin her iki tarafını da yükselterek ve elde edilen eşitliklerin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayarak aşağıdaki formüle ulaşırız:

– uzayda herhangi bir üç açı belirli bir yön oluşturmaz, yalnızca kosinüsleri bağıntı ile ilişkili olan açılar (2.26).

7 0 . Yarıçap vektörü ve nokta koordinatları.Bir vektörün başlangıcına ve sonuna göre belirlenmesi. Bir tanım sunalım.

Tanım. Yarıçap vektörü (gösterilen ) orijini bağlayan vektördür O bu noktayla (Şekil 2.12 xx):

. (2.27)

Uzaydaki herhangi bir nokta belirli bir yarıçap vektörüne karşılık gelir (ve bunun tersi de geçerlidir). Böylece uzaydaki noktalar vektör cebirinde yarıçap vektörleriyle temsil edilir.

Açıkçası koordinatlar
puan M yarıçap vektörünün izdüşümleridir
koordinat eksenlerinde:

(2.28’)

ve böylece

(2.28)

– bir noktanın yarıçap vektörü, koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleri bu noktanın koordinatlarına eşit olan bir vektördür. Bu iki girişe yol açar:
Ve
.

Vektör projeksiyonlarını hesaplamak için formüller elde ediyoruz
başlangıç ​​noktasının koordinatlarına göre
ve son nokta
.

Yarıçap vektörlerini çizelim
ve vektör
(Şekil 2.13). Bunu anlıyoruz

=
=(2.29)

– vektörün koordinat birim vektörleri üzerindeki izdüşümleri, vektörün sonu ve başlangıcının karşılık gelen koordinatları arasındaki farklara eşittir.

8 0 . Kartezyen koordinatlarla ilgili bazı problemler.

1) vektörlerin eşdoğrusallığı koşulları . Teoremden (bkz. §2.1, paragraf 2 0, formül (2.7)) şu sonuç çıkıyor: vektörlerin eşdoğrusallığı için Ve Aşağıdaki ilişkinin geçerli olması gerekli ve yeterlidir: =. Bu vektör eşitliğinden koordinat biçiminde üç eşitlik elde ederiz: bu, koordinat biçiminde vektörlerin doğrusal olma koşulunu ifade eder:

(2.30)

– vektörlerin doğrusallığı için Ve karşılık gelen koordinatlarının orantılı olması gerekli ve yeterlidir.

2) noktalar arasındaki mesafe . Gösterimden (2.29) şu sonuç çıkıyor: mesafe
noktalar arasında
Ve
formülle belirlenir

=
=. (2.31)

3) bir parçanın belirli bir oranda bölünmesi . Puanlar verilsin
Ve
ve tutum
. Bulması gerekiyor
– nokta koordinatları M (Şekil 2.14).

Vektörlerin eşdoğrusallık koşulundan elimizde:
, Neresi
Ve

. (2.32)

(2.32)'den koordinat formunu elde ederiz:

(2.32') formüllerinden parçanın orta noktasının koordinatlarını hesaplamak için formüller elde edebiliriz.
, varsayarak
:

Yorum. Segmentleri sayacağız
Ve
Yönlerinin başlangıçtan itibaren yön ile çakışmasına bağlı olarak pozitif veya negatif
sonuna kadar bölüm
, veya eşleşmiyor. Daha sonra (2.32) – (2.32”) formüllerini kullanarak doğru parçasını bölen noktanın koordinatlarını bulabilirsiniz.
dışarıdan, yani ayırma noktasının M bölümün devamı niteliğinde
ve içinde değil. Aynı zamanda elbette
.

4) küresel yüzey denklemi . Küresel bir yüzey için bir denklem oluşturalım - noktaların geometrik yeri
, eşit uzaklıkta sabit bir merkezden - bir nokta
. Bu durumda açıkça görülüyor ki
ve formül (2.31) dikkate alınarak

Denklem (2.33) istenilen küresel yüzeyin denklemidir.

Görev 1. Vektör sisteminin doğrusal bağımsız olup olmadığını öğrenin. Vektör sistemi, sütunları vektörlerin koordinatlarından oluşan sistemin matrisi tarafından belirlenecektir.

.

Çözüm. Doğrusal kombinasyona izin verin sıfıra eşittir. Bu eşitliği koordinatlarda yazdıktan sonra aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:

.

Böyle bir denklem sistemine üçgen denir. Onun tek bir çözümü var . Bu nedenle vektörler doğrusal bağımsız.

Görev 2. Vektör sisteminin doğrusal bağımsız olup olmadığını öğrenin.

.

Çözüm. Vektörler doğrusal bağımsız (bkz. problem 1). Vektörün, vektörlerin doğrusal birleşimi olduğunu kanıtlayalım. . Vektör genişleme katsayıları denklem sisteminden belirlenir

.

Bu sistemin üçgen gibi benzersiz bir çözümü var.

Bu nedenle vektör sistemi doğrusal bağımlı.

Yorum. Problem 1'deki ile aynı tipteki matrislere denir. üçgen ve problem 2'de – kademeli üçgen . Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı sorunu, bu vektörlerin koordinatlarından oluşan matris adım üçgen ise kolayca çözülür. Matrisin özel bir formu yoksa, o zaman kullanılır. temel dize dönüşümleri Sütunlar arasındaki doğrusal ilişkiler korunarak basamaklı üçgen forma indirgenebilir.

Temel dize dönüşümleri Matrisler (EPS) Bir matris üzerinde aşağıdaki işlemlere denir:

1) dizelerin yeniden düzenlenmesi;

2) bir dizgiyi sıfır olmayan bir sayıyla çarpmak;

3) bir dizeye rastgele bir sayıyla çarpılarak başka bir dize eklemek.

Görev 3. Maksimum doğrusal bağımsız alt sistemi bulun ve vektörler sisteminin sıralamasını hesaplayın

.

Çözüm. Sistemin matrisini EPS kullanarak basamaklı üçgen forma indirgeyelim. Prosedürü açıklamak için, dönüştürülecek matrisin numarasının bulunduğu satırı sembolüyle gösteririz. Oktan sonraki sütun, yeni matrisin satırlarını elde etmek için dönüştürülmekte olan matrisin satırları üzerindeki eylemleri gösterir.

.

Açıkçası, ortaya çıkan matrisin ilk iki sütunu doğrusal olarak bağımsızdır, üçüncü sütun bunların doğrusal birleşimidir ve dördüncüsü ilk ikisine bağlı değildir. Vektörler temel denir. Sistemin maksimum doğrusal olarak bağımsız bir alt sistemini oluştururlar. ve sistemin rütbesi üçtür.

Temel, koordinatlar

Görev 4. Koordinatları koşulu karşılayan geometrik vektörler kümesinde bu tabandaki vektörlerin tabanını ve koordinatlarını bulun. .

Çözüm. Küme orijinden geçen bir düzlemdir. Bir düzlemdeki keyfi bir temel, doğrusal olmayan iki vektörden oluşur. Seçilen bazdaki vektörlerin koordinatları, karşılık gelen doğrusal denklem sisteminin çözülmesiyle belirlenir.

Koordinatları kullanarak temeli bulabileceğinizde bu sorunu çözmenin başka bir yolu var.

Koordinatlar uzaylar düzlemdeki koordinatlar değildir, çünkü bunlar ilişkiyle ilişkilidir yani bağımsız değillerdir. Bağımsız değişkenler (serbest olarak adlandırılırlar) düzlemdeki bir vektörü benzersiz bir şekilde tanımlarlar ve bu nedenle de koordinatlar olarak seçilebilirler. Daha sonra temel serbest değişken kümelerinin içinde yer alan ve bunlara karşılık gelen vektörlerden oluşur Ve yani.

Görev 5. Tek koordinatları birbirine eşit olan uzaydaki tüm vektörler kümesinde bu tabandaki vektörlerin tabanını ve koordinatlarını bulun.

Çözüm. Önceki problemde olduğu gibi uzaydaki koordinatları seçelim.

Çünkü , ardından serbest değişkenler vektörü benzersiz bir şekilde belirler ve bu nedenle koordinatlardır. Karşılık gelen taban vektörlerden oluşur.

Görev 6. Formun tüm matrisleri kümesinde bu temelde vektörlerin temelini ve koordinatlarını bulun , Nerede – keyfi sayılar.

Çözüm. Her matris aşağıdaki biçimde benzersiz bir şekilde temsil edilebilir:

Bu ilişki vektörün tabana göre açılımıdır.
koordinatlarla .

Görev 7. Bir vektör sisteminin doğrusal gövdesinin boyutunu ve tabanını bulun

.

Çözüm. EPS'yi kullanarak matrisi sistem vektörlerinin koordinatlarından adım üçgen formuna dönüştürüyoruz.

.

Sütunlar son matrisler doğrusal olarak bağımsızdır ve sütunlar bunlar aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir. Bu nedenle vektörler bir temel oluşturmak , Ve .

Yorum. Temel belirsiz bir şekilde seçilmiştir. Örneğin, vektörler aynı zamanda bir temel oluşturur .

Formun ifadesi isminde vektörlerin doğrusal kombinasyonu A 1 , A 2 ,...,A n ihtimalli λ1, λ2,...,λn.

Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığının belirlenmesi

Vektör sistemi A 1 , A 2 ,...,A n isminde doğrusal bağımlı, sıfırdan farklı bir sayı kümesi varsa λ1, λ2,...,λn, burada vektörlerin doğrusal birleşimi λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n sıfır vektörüne eşit yani denklem sistemi: sıfır olmayan bir çözümü vardır.
Sayı kümesi λ1, λ2,...,λn sayılardan en az biri sıfır değilse λ1, λ2,...,λn sıfırdan farklı.

Bir vektör sisteminin doğrusal bağımsızlığının belirlenmesi

Vektör sistemi A 1 , A 2 ,...,A n isminde doğrusal bağımsız, eğer bu vektörlerin doğrusal birleşimi λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n yalnızca sıfır sayı kümesi için sıfır vektörüne eşittir λ1, λ2,...,λn yani denklem sistemi: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ benzersiz bir sıfır çözümü vardır.

Örnek 29.1

Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlı olup olmadığını kontrol edin

Çözüm:

1. Bir denklem sistemi oluşturuyoruz:

2. Gauss yöntemini kullanarak çözüyoruz. Sistemin Jordanano dönüşümleri Tablo 29.1'de verilmiştir. Hesaplama yapılırken sistemin sağ tarafları sıfıra eşit olduğundan ve Jordan dönüşümleri sırasında değişmediklerinden yazılmaz.

3. Tablonun son üç satırından Orijinal sisteme eşdeğer çözümlenmiş bir sistem yazın sistem:

4. Sistemin genel çözümünü elde ediyoruz:

5. Serbest değişkenin değerini x 3 =1 olarak kendi takdirinize göre ayarladıktan sonra, sıfır olmayan belirli bir çözüm elde ederiz X=(-3,2,1).

Yanıt: Dolayısıyla, sıfır olmayan bir sayı kümesi için (-3,2,1), vektörlerin doğrusal birleşimi sıfır vektörü -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ'ye eşittir. Buradan, vektör sistemi doğrusal bağımlı.

Vektör sistemlerinin özellikleri

Mülk (1)
Bir vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıysa, vektörlerden en az biri diğerleri cinsinden genişletilir ve bunun tersine, sistemin vektörlerinden en az biri diğerleri cinsinden genişletilirse, o zaman vektörler sistemi doğrusal bağımlıdır.

Mülk (2)
Herhangi bir vektör alt sistemi doğrusal olarak bağımlıysa, sistemin tamamı doğrusal olarak bağımlıdır.

Mülk (3)
Bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımsızsa, alt sistemlerinden herhangi biri doğrusal olarak bağımsızdır.

Mülk (4)
Sıfır vektör içeren herhangi bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Mülk (5)
M boyutlu vektörlerden oluşan bir sistem, eğer vektörlerin sayısı n, boyutlarından büyükse (n>m) her zaman doğrusal olarak bağımlıdır.

Vektör sisteminin temeli

Vektör sisteminin temeli A 1 , A 2 ,..., A n böyle bir alt sisteme B 1 , B 2 ,...,B r denir(B 1,B 2,...,B r vektörlerinin her biri A 1, A 2,..., A n vektörlerinden biridir), bu da aşağıdaki koşulları karşılar:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r doğrusal bağımsız vektör sistemi;
2. herhangi bir vektör bir j A 1 , A 2 ,..., An sistemi B 1 , B 2 ,..., B r vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir

R- Tabana dahil edilen vektörlerin sayısı.

Teorem 29.1 Bir vektör sisteminin birim bazında.

Eğer m boyutlu vektörlerden oluşan bir sistem m farklı birim vektör E 1 E 2 ,..., E m içeriyorsa, bunlar sistemin temelini oluşturur.

Bir vektör sisteminin temelini bulmak için algoritma

A 1 ,A 2 ,...,A n vektörleri sisteminin temelini bulmak için gereklidir:

• Vektörler sistemine karşılık gelen homojen bir denklem sistemi oluşturun A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Bu sistemi getir