Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Ders içeriğiİki değişkenli doğrusal denklemler
Bir okul çocuğunun okulda öğle yemeği yemesi için 200 rublesi var. Bir pasta 25 ruble, bir fincan kahve ise 10 ruble. 200 rubleye kaç tane kek ve fincan kahve satın alabilirsiniz?
Kek sayısını şu şekilde belirtelim: X ve içilen kahve fincanlarının sayısı sen. Daha sonra keklerin maliyeti 25 ifadesiyle gösterilecektir. X ve 10 fincan kahvenin maliyeti sen .
25X- fiyat X kekler
10y — fiyat sen fincan kahve
Toplam miktar 200 ruble olmalıdır. Daha sonra iki değişkenli bir denklem elde ederiz X Ve sen
25X+ 10sen= 200
Bu denklemin kaç kökü var?
Her şey öğrencinin iştahına bağlıdır. 6 kek ve 5 fincan kahve alırsa denklemin kökleri 6 ve 5 olacaktır.
6 ve 5 değer çiftinin denklem 25'in kökleri olduğu söyleniyor X+ 10sen= 200. İlk sayı değişkenin değeri olacak şekilde (6; 5) şeklinde yazılır X ve ikincisi - değişkenin değeri sen .
25 numaralı denklemi tersine çeviren tek kökler 6 ve 5 değil X+ 10sen= 200'den özdeşliğe kadar. İstenirse aynı 200 ruble karşılığında bir öğrenci 4 kek ve 10 fincan kahve alabilir:
Bu durumda denklem 25'in kökleri X+ 10sen= 200 bir değer çiftidir (4; 10).
Üstelik bir okul çocuğu hiç kahve satın almayabilir, ancak 200 rublenin tamamı için kek satın alabilir. O zaman denklem 25'in kökleri X+ 10sen= 200, 8 ve 0 değerleri olacaktır
Veya tam tersi, kek almayın, 200 rublenin tamamı için kahve alın. O zaman denklem 25'in kökleri X+ 10sen= 200 değerler 0 ve 20 olacaktır
Denklem 25'in tüm olası köklerini listelemeye çalışalım X+ 10sen= 200. Değerler konusunda hemfikir olalım X Ve sen tam sayılar kümesine aittir. Ve bu değerlerin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmasına izin verin:
X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Bu öğrencinin kendisi için uygun olacaktır. Bütün kekleri satın almak, örneğin birkaç tam kek ve yarım kek satın almaktan daha uygundur. Ayrıca kahveyi, örneğin birkaç tam fincan ve yarım fincan yerine bütün fincanlarda almak daha uygundur.
Tek sayı için şunu unutmayın X eşitliğin hiçbir koşulda sağlanması mümkün değildir sen. Daha sonra değerler X aşağıdaki sayılar 0, 2, 4, 6, 8 olacaktır. X kolayca belirlenebilir sen
Böylece aşağıdaki değer çiftlerini elde ettik (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Bu çiftler Denklem 25'in çözümleri veya kökleridir X+ 10sen= 200. Bu denklemi özdeşliğe dönüştürüyorlar.
Formun denklemi balta + by = c isminde iki değişkenli doğrusal denklem. Bu denklemin çözümü veya kökleri bir çift değerdir ( X; sen), bu da onu kimliğe dönüştürür.
Ayrıca iki değişkenli bir doğrusal denklemin şu şekilde yazıldığını unutmayın: balta + b y = c, sonra bunun yazıldığını söylüyorlar kanonik(normal) biçim.
İki değişkenli bazı doğrusal denklemler kanonik forma indirgenebilir.
Örneğin, denklem 2(16X+ 3y – 4) = 2(12 + 8X − sen) aklıma getirilebilir balta + by = c. Bu denklemin her iki tarafındaki parantezleri açalım ve 32X + 6sen − 8 = 24 + 16X − 2sen . Bilinmeyen içeren terimleri denklemin sol tarafında, bilinmeyen içermeyen terimleri ise sağ tarafta gruplandırıyoruz. Sonra alırız 32x− 16X+ 6sen+ 2sen = 24 + 8 . Her iki tarafta da benzer terimler sunarız, denklem 16'yı elde ederiz X+ 8sen= 32. Bu denklem şu şekle indirgenir: balta + by = c ve kanoniktir.
Denklem 25 daha önce tartışıldı X+ 10sen= 200 aynı zamanda kanonik formda iki değişkenli doğrusal bir denklemdir. Bu denklemdeki parametreler A , B Ve C sırasıyla 25, 10 ve 200 değerlerine eşittir.
Aslında denklem balta + by = c sayısız çözümü var. Denklemin çözümü 25X+ 10sen= 200, köklerini yalnızca tamsayılar kümesinde aradık. Sonuç olarak bu denklemi kimliğe dönüştüren birkaç değer çifti elde ettik. Ancak rasyonel sayılar kümesinde denklem 25 X+ 10sen= 200'ün sonsuz sayıda çözümü olacaktır.
Yeni değer çiftleri elde etmek için keyfi bir değer almanız gerekir. X, sonra ifade edin sen. Örneğin değişkeni ele alalım X değer 7. Sonra tek değişkenli bir denklem elde ederiz 25×7 + 10sen= 200 hangisinde ifade edilebilir sen
İzin vermek X= 15. Daha sonra denklem 25X+ 10sen= 200, 25 × 15 olur + 10sen= 200. Buradan bunu buluyoruz sen = −17,5
İzin vermek X= −3 . Daha sonra denklem 25X+ 10sen= 200, 25 × (−3) olur + 10sen= 200. Buradan bunu buluyoruz sen = −27,5
İki değişkenli iki doğrusal denklem sistemi
Denklem için balta + by = c istediğiniz kadar keyfi değerler alabilirsiniz X ve değerleri bulun sen. Ayrı olarak ele alındığında böyle bir denklemin sayısız çözümü olacaktır.
Ama aynı zamanda değişkenler de olur X Ve sen bir değil iki denklemle bağlanır. Bu durumda sözde oluştururlar iki değişkenli doğrusal denklem sistemi. Böyle bir denklem sistemi bir çift değere (veya başka bir deyişle: “tek çözüme”) sahip olabilir.
Sistemin hiçbir çözümü olmadığı da olabilir. Bir doğrusal denklem sisteminin nadir ve istisnai durumlarda sayısız çözümü olabilir.
İki doğrusal denklem, değerler aşağıdaki durumlarda bir sistem oluşturur: X Ve sen bu denklemlerin her birine girin.
İlk denklem 25'e geri dönelim X+ 10sen= 200. Bu denklemin değer çiftlerinden biri (6; 5) çiftiydi. Bu, 200 ruble karşılığında 6 kek ve 5 fincan kahve alabileceğiniz bir durumdur.
Sorunu, (6; 5) çiftinin 25 numaralı denklemin tek çözümü olacağı şekilde formüle edelim. X+ 10sen= 200. Bunu yapmak için aynı denklemi birbirine bağlayacak başka bir denklem oluşturalım. X kekler ve sen fincan kahve.
Sorunun metnini şu şekilde ifade edelim:
“Öğrenci 200 rubleye birkaç kek ve birkaç fincan kahve aldı. Bir pasta 25 ruble, bir fincan kahve ise 10 ruble. Kek sayısının kahve fincan sayısından bir birim fazla olduğu biliniyorsa, öğrenci kaç tane kek ve fincan kahve satın almıştır?
Zaten ilk denklemimiz var. Bu denklem 25 X+ 10sen= 200. Şimdi bu durum için bir denklem oluşturalım “Keklerin sayısı kahve fincanlarının sayısından bir birim fazladır” .
Kek sayısı X ve fincan kahve sayısı sen. Bu ifadeyi denklemi kullanarak yazabilirsiniz. x−y= 1. Bu denklem kek ile kahve arasındaki farkın 1 olduğu anlamına gelecektir.
x = y+ 1 . Bu denklem kek sayısının kahve fincan sayısından bir fazla olduğu anlamına gelir. Bu nedenle eşitliği sağlamak için kahve fincanlarının sayısına bir eklenir. En basit problemleri incelerken dikkate aldığımız ölçek modelini kullanırsak, bu kolayca anlaşılabilir:
İki denklemimiz var: 25 X+ 10sen= 200 ve x = y+ 1. Değerlerden beri X Ve sen yani 6 ve 5 bu denklemlerin her birine dahil edilir ve birlikte bir sistem oluştururlar. Bu sistemi yazalım. Denklemler bir sistem oluşturuyorsa, sistem işaretiyle çerçevelenirler. Sistem sembolü süslü parantezdir:
Bu sistemi çözelim. Bu, 6 ve 5 değerlerine nasıl ulaştığımızı görmemizi sağlayacaktır. Bu tür sistemleri çözmek için birçok yöntem vardır. Bunlardan en popüler olanlarına bakalım.
Değiştirme yöntemi
Bu yöntemin adı kendisi için konuşur. Bunun özü, daha önce değişkenlerden birini ifade etmiş olan bir denklemi diğerinin yerine koymaktır.
Sistemimizde hiçbir şeyin ifade edilmesine gerek yoktur. İkinci denklemde X = sen+ 1 değişken X zaten ifade edildi. Bu değişken şu ifadeye eşittir: sen+ 1 . Daha sonra bu ifadeyi değişken yerine ilk denklemde kullanabilirsiniz. X
İfadeyi değiştirdikten sonra sen bunun yerine ilk denklemde +1 X denklemi elde ederiz 25(sen+ 1) + 10sen= 200 . Bu tek değişkenli doğrusal bir denklemdir. Bu denklemin çözümü oldukça kolaydır:
Değişkenin değerini bulduk sen. Şimdi bu değeri denklemlerden birinde yerine koyalım ve değeri bulalım. X. Bunun için ikinci denklemi kullanmak uygundur X = sen+ 1 . Değeri yerine koyalım sen
Bu, (6; 5) çiftinin, amaçladığımız gibi denklem sisteminin bir çözümü olduğu anlamına gelir. (6; 5) çiftinin sistemi karşıladığını kontrol edip emin oluyoruz:
Örnek 2
İlk denklemi yerine koyalım X= 2 + sen ikinci denklem 3'e x− 2sen= 9. İlk denklemde değişken X 2 + ifadesine eşittir sen. Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyalım. X
Şimdi değerini bulalım X. Bunu yapmak için değeri yerine koyalım sen ilk denklemin içine X= 2 + sen
Bu, sistemin çözümünün (5; 3) çifti değeri olduğu anlamına gelir.
Örnek 3. Aşağıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözün:
Burada önceki örneklerden farklı olarak değişkenlerden biri açıkça ifade edilmemiştir.
Bir denklemi başka bir denklemle değiştirmek için önce ihtiyacınız var.
Katsayısı bir olan değişkenin ifade edilmesi tavsiye edilir. Değişkenin katsayısı birdir X ilk denklemde yer alan X+ 2sen= 11. Bu değişkeni ifade edelim.
Değişken ifadesinden sonra X, sistemimiz aşağıdaki formu alacaktır:
Şimdi birinci denklemi ikincinin yerine koyalım ve değeri bulalım. sen
Hadi değiştirelim sen X
Bu, sistemin çözümünün bir değer çifti (3; 4) olduğu anlamına gelir.
Elbette bir değişkeni de ifade edebilirsiniz. sen. Bu kökleri değiştirmeyecektir. Ama eğer ifade edersen sen, Sonuç, çözülmesi daha fazla zaman alacak çok basit bir denklem değildir. Şunun gibi görünecek:
Bu örnekte ifade ettiğimizi görüyoruz. X ifade etmekten çok daha uygun sen .
Örnek 4. Aşağıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözün:
İlk denklemde ifade edelim X. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:
sen
Hadi değiştirelim sen ilk denkleme girin ve bulun X. Orijinal denklem 7'yi kullanabilirsiniz X+ 9sen= 8 veya değişkenin ifade edildiği denklemi kullanın X. Uygun olduğu için bu denklemi kullanacağız:
Bu, sistemin çözümünün bir değer çifti (5; −3) olduğu anlamına gelir
Ekleme yöntemi
Toplama yöntemi, sistem teriminde yer alan denklemlerin terim terim eklenmesinden oluşur. Bu ekleme, tek değişkenli yeni bir denklemle sonuçlanır. Ve böyle bir denklemi çözmek oldukça basittir.
Aşağıdaki denklem sistemini çözelim:
Birinci denklemin sol tarafını ikinci denklemin sol tarafıyla toplayalım. Ve birinci denklemin sağ tarafı ile ikinci denklemin sağ tarafı. Aşağıdaki eşitliği elde ederiz:
Benzer terimlere bakalım:
Sonuç olarak en basit denklem 3'ü elde ettik X= 27'nin kökü 9'dur. Değerini Bilmek X değerini bulabilirsin sen. Değeri yerine koyalım X ikinci denkleme x−y= 3 . 9 elde ederiz – sen= 3 . Buradan sen= 6 .
Bu, sistemin çözümünün bir değer çifti olduğu anlamına gelir (9; 6)
Örnek 2
Birinci denklemin sol tarafını ikinci denklemin sol tarafıyla toplayalım. Ve birinci denklemin sağ tarafı ile ikinci denklemin sağ tarafı. Ortaya çıkan eşitlikte benzer terimleri sunuyoruz:
Sonuç olarak en basit denklem 5'i elde ettik. X= 20, kökü 4'tür. Değerini Bilmek X değerini bulabilirsin sen. Değeri yerine koyalım X ilk denklem 2'ye x+y= 11. Hadi 8+ alalım sen= 11. Buradan sen= 3 .
Bu, sistemin çözümünün bir değer çifti (4;3) olduğu anlamına gelir.
Ekleme işlemi ayrıntılı olarak açıklanmamıştır. Bunun zihinsel olarak yapılması gerekir. Ekleme sırasında her iki denklemin de kanonik forma indirgenmesi gerekir. Yani bu arada ac + by = c .
Ele alınan örneklerden, denklem eklemenin asıl amacının değişkenlerden birinden kurtulmak olduğu açıktır. Ancak bir denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak hemen çözmek her zaman mümkün değildir. Çoğu zaman sistem öncelikle bu sistemin içerdiği denklemlerin eklenebileceği bir forma getirilir.
Örneğin, sistem 
ekleme yöntemi kullanılarak hemen çözülebilir. Her iki denklemi toplarken terimler sen Ve −y toplamları sıfır olduğu için kaybolacaktır. Sonuç olarak, en basit denklem 11 oluşur X= 22, kökü 2'dir. O zaman şunu belirlemek mümkün olacaktır: sen 5'e eşittir.
Ve denklem sistemi 
Toplama yöntemi, değişkenlerden birinin kaybolmasına yol açmayacağından hemen çözülemez. Toplama denklem 8 ile sonuçlanacaktır X+ sen= 28, sonsuz sayıda çözümü var.
Denklemin her iki tarafı da sıfıra eşit olmayan aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir. Bu kural aynı zamanda iki değişkenli doğrusal denklem sistemi için de geçerlidir. Denklemlerden biri (veya her ikisi de) herhangi bir sayıyla çarpılabilir. Sonuç, kökleri bir öncekiyle örtüşecek eşdeğer bir sistem olacaktır.
Bir okul çocuğunun kaç tane kek ve fincan kahve aldığını açıklayan ilk sisteme dönelim. Bu sistemin çözümü bir değer çiftiydi (6; 5).
Bu sistemin içerdiği her iki denklemi de bazı sayılarla çarpalım. Diyelim ki ilk denklemi 2, ikincisini 3 ile çarpıyoruz.
Sonuç olarak elimizde bir sistem var. 
Bu sistemin çözümü hala (6; 5) değer çiftidir.
Bu, sistemde yer alan denklemlerin toplama yönteminin uygulanmasına uygun bir forma indirgenebileceği anlamına gelir.
Sisteme dönelim toplama yöntemini kullanarak çözemedik.
İlk denklemi 6 ile, ikincisini -2 ile çarpın
Daha sonra aşağıdaki sistemi elde ederiz:
Bu sistemin içerdiği denklemleri toplayalım. Bileşen ekleme 12 X ve −12 X sonuç 0, toplama 18 olacak sen ve 4 sen 22 verecek sen 108 ile −20'yi topladığımızda 88 elde ederiz. Sonra denklem 22'yi elde ederiz. sen= 88, buradan sen = 4 .
İlk başta denklemleri kafanızda eklemek zor geliyorsa, o zaman ilk denklemin sol tarafının ikinci denklemin sol tarafıyla ve ilk denklemin sağ tarafının ikinci denklemin sağ tarafıyla nasıl toplandığını yazabilirsiniz. ikinci denklem:
Değişkenin değerini bilmek sen 4'e eşittir, değeri bulabilirsiniz X. Hadi değiştirelim sen denklemlerden birine, örneğin ilk denklem 2'ye X+ 3sen= 18. Daha sonra tek değişkenli 2 denklemi elde ederiz X+ 12 = 18. 12'yi sağa kaydıralım, işaretini değiştirerek 2 elde edelim X= 6, buradan X = 3 .
Örnek 4. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:
İkinci denklemi -1 ile çarpalım. Daha sonra sistem aşağıdaki formu alacaktır:
Her iki denklemi de toplayalım. Bileşen ekleme X Ve −x 0 ile sonuçlanır, 5 eklenir sen ve 3 sen 8 verecek sen ve 7 ile 1'in eklenmesi 8 değerini verir. Sonuç, denklem 8'dir. sen= 8'in kökü 1'dir. Değerinin bilinmesi sen 1'e eşittir, değeri bulabilirsiniz X .
Hadi değiştirelim sen ilk denklemde şunu elde ederiz: X+ 5 = 7, dolayısıyla X= 2
Örnek 5. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:
Aynı değişkenleri içeren terimlerin alt alta yerleştirilmesi arzu edilir. Bu nedenle ikinci denklemde 5 terimi sen ve −2 X Yerleri değiştirelim. Sonuç olarak sistem şu şekli alacaktır:
İkinci denklemi 3 ile çarpalım. O zaman sistem şu şekli alacaktır:
Şimdi her iki denklemi de toplayalım. Toplama sonucunda denklem 8'i elde ederiz sen= 16, kökü 2'dir.
Hadi değiştirelim sen ilk denklemde 6 elde ederiz X- 14 = 40. −14 terimini sağa taşıyıp işaretini değiştirelim ve 6 elde edelim. X= 54. Buradan X= 9.
Örnek 6. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:
Kesirlerden kurtulalım. İlk denklemi 36, ikincisini 12 ile çarpın
Ortaya çıkan sistemde 
ilk denklem −5 ile, ikincisi ise 8 ile çarpılabilir
Ortaya çıkan sistemdeki denklemleri toplayalım. Daha sonra en basit denklem olan −13'ü elde ederiz. sen= −156 . Buradan sen= 12. Hadi değiştirelim sen ilk denkleme girin ve bulun X
Örnek 7. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:
Her iki denklemi de normal forma getirelim. Burada her iki denklemde de orantı kuralını uygulamak uygundur. İlk denklemde sağ taraf ile, ikinci denklemin sağ tarafı ise ile temsil edilirse sistem şu şekli alacaktır:
Bizim bir orantımız var. Ekstrem ve orta terimlerini çarpalım. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:
İlk denklemi -3 ile çarpalım ve ikincideki parantezleri açalım:
Şimdi her iki denklemi de toplayalım. Bu denklemlerin toplanması sonucunda her iki tarafta sıfır olan bir eşitlik elde ederiz:
Sistemin sayısız çözümü olduğu ortaya çıktı.
Ancak gökten rastgele değerler alamayız. X Ve sen. Değerlerden birini belirtebiliriz, diğeri de belirttiğimiz değere bağlı olarak belirlenecektir. Örneğin, izin ver X= 2 . Bu değeri sistemde yerine koyalım:
Denklemlerden birinin çözümü sonucunda elde edilen değer sen her iki denklemi de sağlayacak olan:
Ortaya çıkan değer çifti (2; −2) sistemi karşılayacaktır:
Başka bir değer çifti bulalım. İzin vermek X= 4. Bu değeri sistemde yerine koyalım:
Değerini gözlerinizle anlayabilirsiniz sen sıfıra eşittir. Daha sonra sistemimizi karşılayan bir çift değer (4; 0) elde ederiz:
Örnek 8. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:
İlk denklemi 6, ikincisini 12 ile çarpın
Geriye kalanları yeniden yazalım:
İlk denklemi -1 ile çarpalım. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:
Şimdi her iki denklemi de toplayalım. Toplama sonucunda denklem 6 oluşur B= 48, kökü 8'dir. Yerine B ilk denkleme girin ve bulun A
Üç değişkenli doğrusal denklem sistemi
Üç değişkenli bir doğrusal denklem, katsayılı üç değişkenin yanı sıra bir kesme terimi içerir. Kanonik formda şu şekilde yazılabilir:
balta + by + cz = d
Bu denklemin sayısız çözümü var. İki değişkene farklı değerler verilerek üçüncü bir değer bulunabilir. Bu durumda çözüm üçlü değerdir ( X; y; z) denklemi bir kimliğe dönüştürür.
Değişkenler ise x, y, züç denklemle birbirine bağlanır, ardından üç değişkenli üç doğrusal denklemden oluşan bir sistem oluşturulur. Böyle bir sistemi çözmek için iki değişkenli doğrusal denklemlere uygulanan yöntemlerin aynısını kullanabilirsiniz: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.
Örnek 1. Aşağıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözün:
Üçüncü denklemde ifade edelim X. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:
Şimdi yerine koyma işlemini yapalım. Değişken X ifadeye eşittir 3 − 2sen − 2z . Bu ifadeyi birinci ve ikinci denklemlerde yerine koyalım:
Her iki denklemdeki parantezleri açalım ve benzer terimleri sunalım:
İki değişkenli bir doğrusal denklem sistemine ulaştık. Bu durumda ekleme yöntemini kullanmak uygundur. Sonuç olarak değişken sen kaybolacak ve değişkenin değerini bulabiliriz z
Şimdi değerini bulalım sen. Bunu yapmak için denklemi kullanmak uygundur – sen+ z= 4. Değeri yerine koyun z
Şimdi değerini bulalım X. Bunu yapmak için denklemi kullanmak uygundur. X= 3 − 2sen − 2z . Değerleri yerine koyalım sen Ve z
Dolayısıyla (3; −2; 2) değer üçlüsü sistemimize bir çözümdür. Kontrol ederek bu değerlerin sistemi karşıladığından emin oluyoruz:
Örnek 2. Toplama yöntemini kullanarak sistemi çözün
İlk denklemi ikinciyle -2 ile çarparak toplayalım.
İkinci denklem -2 ile çarpılırsa şu formu alır: −6X+ 6y – 4z = −4 . Şimdi bunu ilk denkleme ekleyelim:
Temel dönüşümler sonucunda değişkenin değerinin belirlendiğini görüyoruz. X. Bire eşittir.
Ana sisteme dönelim. İkinci denklemi üçüncüyle -1 ile çarparak ekleyelim. Üçüncü denklem -1 ile çarpılırsa şu formu alır: −4X + 5sen − 2z = −1 . Şimdi bunu ikinci denkleme ekleyelim:
Denklemi bulduk x− 2sen= −1 . Değeri yerine koyalım X bunu daha önce bulduk. O zaman değeri belirleyebiliriz sen
Artık anlamlarını biliyoruz X Ve sen. Bu, değeri belirlemenizi sağlar z. Sistemde yer alan denklemlerden birini kullanalım:
Dolayısıyla (1; 1; 1) değer üçlüsü sistemimizin çözümüdür. Kontrol ederek bu değerlerin sistemi karşıladığından emin oluyoruz:
Doğrusal denklem sistemlerinin oluşturulmasıyla ilgili problemler
Denklem sistemlerini oluşturma görevi birkaç değişken girilerek çözülür. Daha sonra problemin koşullarına göre denklemler derlenir. Derlenen denklemlerden bir sistem oluşturur ve çözerler. Sistemi çözdükten sonra, çözümün problemin koşullarını karşılayıp karşılamadığını kontrol etmek gerekir.
Sorun 1. Bir Volga arabası şehirden kolektif çiftliğe doğru yola çıktı. İlkinden 5 km daha kısa olan başka bir yoldan geri döndü. Toplamda, araba gidiş-dönüş 35 km yol kat etti. Her bir yolun uzunluğu kaç kilometredir?
Çözüm
İzin vermek X-İlk yolun uzunluğu, sen- saniyenin uzunluğu. Araba gidiş-dönüş 35 km yol kat ettiyse ilk denklem şu şekilde yazılabilir: X+ sen= 35. Bu denklem her iki yolun uzunluklarının toplamını tanımlamaktadır.
Otomobilin ilk yola göre 5 kilometre daha kısa bir yoldan geri döndüğü söyleniyor. O zaman ikinci denklem şu şekilde yazılabilir: X− sen= 5. Bu denklem yol uzunlukları arasındaki farkın 5 km olduğunu göstermektedir.
Veya ikinci denklem şu şekilde yazılabilir: X= sen+ 5. Bu denklemi kullanacağız.
Çünkü değişkenler X Ve sen her iki denklem de aynı sayıyı gösteriyorsa onlardan bir sistem oluşturabiliriz:
Bu sistemi daha önce incelenen yöntemlerden bazılarını kullanarak çözelim. Bu durumda ikame yöntemini kullanmak uygundur çünkü ikinci denklemde değişken X zaten ifade edildi.
İkinci denklemi birincinin yerine koy ve bul sen
Bulunan değeri yerine koyalım sen ikinci denklemde X= sen+5 ve bulacağız X
İlk yolun uzunluğu değişken aracılığıyla belirlendi X. Artık anlamını bulduk. Değişken X 20'ye eşittir. Bu, ilk yolun uzunluğunun 20 km olduğu anlamına gelir.
Ve ikinci yolun uzunluğu şu şekilde belirtildi: sen. Bu değişkenin değeri 15'tir. Bu da ikinci yolun uzunluğunun 15 km olduğu anlamına gelir.
Kontrol edelim. Öncelikle sistemin doğru çözüldüğünden emin olalım:
Şimdi çözümün (20; 15) problemin koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
Otomobilin gidiş-dönüş toplam 35 kilometre yol kat ettiği söylendi. Her iki yolun uzunluğunu topluyoruz ve çözümün (20; 15) bu koşulu karşıladığından emin oluyoruz: 20 km + 15 km = 35 km
Aşağıdaki durum: araba ilkinden 5 km daha kısa olan başka bir yoldan geri döndü . 15 km, 20 km x 5 km'den kısa olduğundan (20; 15) çözümünün de bu koşulu sağladığını görüyoruz: 20 km – 15 km = 5 km
Bir sistem oluşturulurken bu sistemde yer alan tüm denklemlerde değişkenlerin aynı sayıları temsil etmesi önemlidir.
Yani sistemimiz iki denklem içeriyor. Bu denklemler sırasıyla değişkenler içerir X Ve sen Her iki denklemde de aynı sayıları temsil eden 20 km ve 15 km yol uzunlukları.
Sorun 2. Platforma meşe ve çam traversler yüklendi, toplam 300 travers. Tüm meşe traverslerinin tüm çam traverslerinden 1 ton daha hafif olduğu bilinmektedir. Her meşe traversin ağırlığı 46 kg ve her çam traversin ağırlığı 28 kg ise, ayrı ayrı kaç meşe ve çam traversinin bulunduğunu belirleyin.
Çözüm
İzin vermek X meşe ve sen Platforma çam traversleri yüklendi. Toplamda 300 uyuyan varsa ilk denklem şu şekilde yazılabilir: x+y = 300 .
Tüm meşe traversler 46 ağırlığındaydı X kg ve çam olanlar 28 ağırlığındaydı sen kilogram. Meşe traverslerinin ağırlığı çam traverslerinden 1 ton daha hafif olduğundan ikinci denklem şu şekilde yazılabilir: 28y – 46X= 1000 . Bu denklem meşe ve çam traversleri arasındaki kütle farkının 1000 kg olduğunu göstermektedir.
Meşe ve çam traverslerinin kütleleri kilogram cinsinden ölçüldüğü için tonlar kilograma çevrildi.
Sonuç olarak sistemi oluşturan iki denklem elde ederiz.
Bu sistemi çözelim. İlk denklemde ifade edelim X. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:
Birinci denklemi ikinciyle değiştirip buluruz sen
Hadi değiştirelim sen denklemin içine X= 300 − sen ve ne olduğunu öğren X
Bu da platforma 100 meşe ve 200 çam traversinin yüklendiği anlamına geliyor.
Çözümün (100; 200) problemin koşullarını karşılayıp karşılamadığını kontrol edelim. Öncelikle sistemin doğru çözüldüğünden emin olalım:
Toplamda 300 uyuyan olduğu söylendi. Meşe ve çam traverslerinin sayısını topluyoruz ve çözümün (100; 200) bu koşulu karşıladığından emin oluyoruz: 100 + 200 = 300.
Aşağıdaki durum: tüm meşe traversleri tüm çam traverslerinden 1 ton daha hafifti . 46 × 100 kg meşe traversin 28 × 200 kg çam traversinden daha hafif olması nedeniyle çözümün (100; 200) de bu koşulu sağladığını görüyoruz: 5600 kg – 4600 kg = 1000 kg.
Sorun 3. Ağırlıkça 2: 1, 3: 1 ve 5: 1 oranlarında üç adet bakır-nikel alaşımı aldık. Bunlardan 12 kg ağırlığındaki bir parça, bakır ve nikel içeriği 4: 1 oranında eritildi. İlk parçanın kütlesi ikincinin kütlesinin iki katı ise, her orijinal parçanın kütlesini bulun.
Tutarlılık açısından bir doğrusal yaş denklemleri sistemini (SLAE'ler) incelemek, bu sistemin çözümlerinin olup olmadığını bulmak anlamına gelir. Peki, çözümler varsa kaç tane olduğunu belirtin.
"Doğrusal cebirsel denklemler sistemi. Temel terimler. Gösterimin matris biçimi" konusundan bilgiye ihtiyacımız olacak. Kronecker-Capelli teoreminin formülasyonu bunlara dayandığından özellikle sistem matrisi ve genişletilmiş sistem matrisi gibi kavramlara ihtiyaç vardır. Her zamanki gibi sistem matrisini $A$ harfiyle ve sistemin genişletilmiş matrisini $\widetilde(A)$ harfiyle göstereceğiz.
Kronecker-Capelli teoremi
Bir doğrusal cebirsel denklem sistemi ancak ve ancak sistem matrisinin sıralaması sistemin genişletilmiş matrisinin sıralamasına eşitse tutarlıdır; $\rang A=\rang\widetilde(A)$.
Bir sistemin en az bir çözümü varsa eklem olarak adlandırıldığını hatırlatayım. Kronecker-Capelli teoremi şunu söylüyor: Eğer $\rang A=\rang\widetilde(A)$ ise, o zaman bir çözüm vardır; $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ ise bu SLAE'nin hiçbir çözümü yoktur (tutarsız). Bu çözümlerin sayısıyla ilgili sorunun cevabı Kronecker-Capelli teoreminin bir sonucu olarak verilmektedir. Sonuç formülasyonunda, verilen SLAE'nin değişken sayısına eşit olan $n$ harfi kullanılır.
Kronecker-Capelli teoreminin sonucu
- $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ ise SLAE tutarsızdır (çözümleri yoktur).
- Eğer $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
- $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$ ise, SLAE kesindir (tam olarak bir çözümü vardır).
Lütfen formüle edilen teoremin ve onun sonucunun SLAE'ye nasıl bir çözüm bulunacağını göstermediğini unutmayın. Onların yardımıyla, yalnızca bu çözümlerin var olup olmadığını ve varsa kaç tane olduğunu öğrenebilirsiniz.
Örnek No.1
SLAE $'ı keşfedin \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned) Uyumluluk için )\right.$ SLAE uyumluysa çözüm sayısını belirtin.
Belirli bir SLAE'ye yönelik çözümlerin varlığını bulmak için Kronecker-Capelli teoremini kullanırız. $A$ sisteminin matrisine ve $\widetilde(A)$ sisteminin genişletilmiş matrisine ihtiyacımız olacak, bunları yazacağız:
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(dizi) \sağ). $$
$\rang A$ ve $\rang\widetilde(A)$'ı bulmamız gerekiyor. Bunu yapmanın birçok yolu vardır ve bunlardan bazıları Matrix Sıralaması bölümünde listelenmiştir. Tipik olarak, bu tür sistemleri incelemek için iki yöntem kullanılır: "Bir matrisin sıralamasının tanımına göre hesaplanması" veya "Bir matrisin sıralamasının temel dönüşümler yöntemiyle hesaplanması".
Yöntem numarası 1. Tanım gereği bilgi işlem sıralanır.
Tanıma göre sıra, bir matrisin minörlerinin en yüksek sırasıdır ve aralarında sıfırdan farklı en az bir tane bulunur. Genellikle çalışma birinci dereceden küçüklerle başlar, ancak burada $A$ matrisinin üçüncü dereceden küçüklerini hesaplamaya hemen başlamak daha uygundur. Üçüncü dereceden küçük elemanlar, söz konusu matrisin üç satırının ve üç sütununun kesişiminde bulunur. $A$ matrisi yalnızca 3 satır ve 3 sütun içerdiğinden, $A$ matrisinin üçüncü dereceden küçük değeri $A$ matrisinin determinantıdır, yani. $\Delta A$. Belirleyiciyi hesaplamak için “İkinci ve üçüncü dereceden belirleyicilerin hesaplanmasına yönelik formüller” konusundaki 2 numaralı formülü uyguluyoruz:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$
Yani $A$ matrisinin sıfıra eşit olmayan üçüncü dereceden bir minörü vardır. Dördüncü dereceden bir minör oluşturmak imkansızdır çünkü 4 satır ve 4 sütun gerektirir ve $A$ matrisinde yalnızca 3 satır ve 3 sütun bulunur. Yani, aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane bulunan $A$ matrisinin minörlerinin en yüksek sırası 3'tür. Dolayısıyla $\rang A=3$ olur.
Ayrıca $\rang\widetilde(A)$ bulmamız gerekiyor. $\widetilde(A)$ matrisinin yapısına bakalım. $\widetilde(A)$ matrisindeki satıra kadar $A$ matrisinin elemanları vardır ve $\Delta A\neq 0$ olduğunu bulduk. Sonuç olarak, $\widetilde(A)$ matrisinin üçüncü dereceden bir minörü vardır ve bu sıfıra eşit değildir. $\widetilde(A)$ matrisinin dördüncü dereceden küçüklerini oluşturamayız, dolayısıyla şu sonuca varırız: $\rang\widetilde(A)=3$.
$\rang A=\rang\widetilde(A)$ olduğundan, Kronecker-Capelli teoremine göre sistem tutarlıdır, yani. bir çözümü var (en az bir). Çözüm sayısını belirtmek için SLAE'mizin 3 bilinmeyen içerdiğini hesaba katarız: $x_1$, $x_2$ ve $x_3$. Bilinmeyenlerin sayısı $n=3$ olduğundan şu sonuca varıyoruz: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, dolayısıyla Kronecker-Capelli teoreminin sonucuna göre sistem belirlidir, yani. benzersiz bir çözümü var.
Sorun çözüldü. Bu yöntemin ne gibi dezavantajları ve avantajları var? Öncelikle avantajlarından bahsedelim. Öncelikle tek bir determinant bulmamız gerekiyordu. Bundan sonra hemen çözüm sayısı hakkında bir sonuca vardık. Tipik olarak standart standart hesaplamalar, üç bilinmeyen içeren ve benzersiz bir çözümü olan denklem sistemlerini verir. Bu tür sistemler için bu yöntem çok uygundur çünkü bir çözümün olduğunu önceden biliyoruz (aksi takdirde örnek standart hesaplamada olmazdı). Onlar. Tek yapmamız gereken çözümün varlığını en hızlı şekilde göstermek. İkinci olarak, sistem matrisinin determinantının hesaplanan değeri (yani $\Delta A$) daha sonra faydalı olacaktır: belirli bir sistemi Cramer yöntemini veya ters matrisi kullanarak çözmeye başladığımızda.
Bununla birlikte, $A$ sisteminin matrisi dikdörtgen ise, sıralamayı hesaplama yönteminin kullanılması tanım gereği arzu edilmez. Bu durumda aşağıda tartışılacak olan ikinci yöntemi kullanmak daha iyidir. Ayrıca $\Delta A=0$ ise belirli bir homojen olmayan SLAE'nin çözüm sayısı hakkında hiçbir şey söyleyemeyiz. Belki SLAE'nin sonsuz sayıda çözümü vardır, belki de hiçbiri yoktur. $\Delta A=0$ ise ek araştırma gerekir ve bu genellikle zahmetlidir.
Söylenenleri özetlemek gerekirse, ilk yöntemin sistem matrisi kare olan SLAE'ler için iyi olduğunu belirtmek isterim. Ayrıca SLAE'nin kendisi üç veya dört bilinmeyen içerir ve standart standart hesaplamalardan veya testlerden alınır.
Yöntem numarası 2. Temel dönüşümler yöntemiyle rütbenin hesaplanması.
Bu yöntem ilgili başlıkta ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. $\widetilde(A)$ matrisinin rütbesini hesaplamaya başlayacağız. Neden $\widetilde(A)$ matrisleri $A$ değil de? Gerçek şu ki, $A$ matrisi $\widetilde(A)$ matrisinin bir parçasıdır, dolayısıyla $\widetilde(A)$ matrisinin sırasını hesaplayarak aynı anda $A$ matrisinin sırasını da bulacağız. .
\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(birinci ve ikinci satırları değiştirin)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(aligned)
$\widetilde(A)$ matrisini yamuk forma indirdik. Ortaya çıkan matrisin ana köşegeninde $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ sıfır olmayan üç öğe içerir: -1, 3 ve -7. Sonuç: $\widetilde(A)$ matrisinin sıralaması 3'tür, yani. $\rang\widetilde(A)=3$. $\widetilde(A)$ matrisinin elemanlarıyla dönüşümler yaparken, satırın önündeki $A$ matrisinin elemanlarını aynı anda dönüştürdük. $A$ matrisi de yamuk biçimine indirgenir: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \sağ )$. Sonuç: $A$ matrisinin sıralaması da 3'tür, yani. $\rang A=3$.
$\rang A=\rang\widetilde(A)$ olduğundan, Kronecker-Capelli teoremine göre sistem tutarlıdır, yani. bir çözümü var. Çözüm sayısını belirtmek için SLAE'mizin 3 bilinmeyen içerdiğini hesaba katarız: $x_1$, $x_2$ ve $x_3$. Bilinmeyenlerin sayısı $n=3$ olduğundan şu sonuca varırız: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, dolayısıyla Kronecker-Capelli teoreminin sonucuna göre sistem tanımlanır, yani. benzersiz bir çözümü var.
İkinci yöntemin avantajları nelerdir? Ana avantajı çok yönlülüğüdür. Sistemin matrisinin kare olup olmaması bizim için önemli değil. Ayrıca aslında Gauss yönteminin ileri dönüşümlerini de gerçekleştirdik. Yalnızca birkaç adım kaldı ve bu SLAE'ye bir çözüm bulabiliriz. Dürüst olmak gerekirse ikinci yöntemi birinciden daha çok seviyorum ama seçim bir zevk meselesi.
Cevap: Verilen SLAE tutarlı ve tanımlanmıştır.
Örnek No.2
SLAE'yi keşfedin $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- Uyumluluk için 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(aligned) \right.$.
Temel dönüşümler yöntemini kullanarak sistem matrisinin ve genişletilmiş sistem matrisinin sıralarını bulacağız. Genişletilmiş sistem matrisi: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Sistemin genişletilmiş matrisini dönüştürerek gerekli sıraları bulalım:
Sistemin genişletilmiş matrisi kademeli bir forma indirgenir. Bir matris basamak biçimine indirgenirse, sıralaması sıfır olmayan satırların sayısına eşittir. Bu nedenle, $\rang A=3$. $A$ matrisi (çizgiye kadar) yamuk forma indirgenir ve derecesi 2, $\rang A=2$ olur.
$\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ olduğundan, Kronecker-Capelli teoremine göre sistem tutarsızdır (yani hiçbir çözümü yoktur).
Cevap: Sistem tutarsızdır.
Örnek No.3
SLAE'yi keşfedin $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 Uyumluluk için ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(aligned) \right.$.
Sistemin genişletilmiş matrisi şu şekildedir: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$. Bu matrisin birinci ve ikinci satırlarını, ilk satırın ilk elemanı bir olacak şekilde değiştirelim: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.
Sistemin genişletilmiş matrisini ve sistemin kendi matrisini yamuk forma indirgedik. Sistemin genişletilmiş matrisinin sıralaması üçe eşittir, sistemin matrisinin sıralaması da üçe eşittir. Sistem $n=5$ bilinmeyen içerdiğinden, yani. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.
Cevap: Sistem belirsizdir.
İkinci bölümde, yüksek matematikte standart hesaplamalara veya testlere sıklıkla dahil edilen örnekleri analiz edeceğiz: tutarlılık araştırması ve SLAE'nin, içerdiği parametrelerin değerlerine bağlı olarak çözümü.
Bu derste bir doğrusal denklem sistemini çözme yöntemlerine bakacağız. Yüksek matematik dersinde, doğrusal denklem sistemlerinin hem ayrı görevler biçiminde, örneğin "Cramer formüllerini kullanarak sistemi çözün" hem de diğer problemleri çözme sırasında çözülmesi gerekir. Doğrusal denklem sistemleri yüksek matematiğin neredeyse tüm dallarında ele alınmalıdır.
İlk önce küçük bir teori. Bu durumda matematiksel “doğrusal” kelimesi ne anlama geliyor? Bu, sistemin denklemlerinin Tüm dahil edilen değişkenler birinci derecede: gibi süslü şeyler olmadan 
sadece matematik olimpiyatlarına katılanların memnun olduğu vb.
Yüksek matematikte değişkenleri belirtmek için yalnızca çocukluktan aşina olduğumuz harfler kullanılmaz.
Oldukça popüler bir seçenek, indeksli değişkenlerdir: .
Veya Latin alfabesinin küçük ve büyük baş harfleri:
Yunan harflerini bulmak o kadar da nadir değildir: – birçok kişi tarafından “alfa, beta, gama” olarak bilinir. Ve ayrıca örneğin “mu” harfinin yer aldığı endekslerden oluşan bir set:
Bir veya daha fazla harf grubunun kullanımı, yüksek matematiğin bir doğrusal denklem sistemiyle karşı karşıya olduğumuz bölümüne bağlıdır. Dolayısıyla, örneğin integralleri ve diferansiyel denklemleri çözerken karşılaşılan doğrusal denklem sistemlerinde, notasyonu kullanmak gelenekseldir.
Ancak değişkenler nasıl belirlenirse belirlensin, bir doğrusal denklem sistemini çözmenin ilkeleri, yöntemleri ve yöntemleri değişmez. Bu nedenle, eğer . Ve ne kadar komik görünse de, bu gösterimlere sahip bir doğrusal denklem sistemi de çözülebilir.
Makalenin oldukça uzun olacağına dair bir his var, bu yüzden küçük bir içindekiler tablosu. Yani, sıralı “bilgilendirme” şu şekilde olacaktır:
– Bir doğrusal denklem sistemini ikame yöntemini (“okul yöntemi”) kullanarak çözme;
– Sistem denklemlerini terim terim toplayarak (çıkararak) sistemi çözmek;
– Sistemin Cramer formüllerini kullanarak çözümü;
– Ters matris kullanarak sistemi çözme;
– Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözme.
Herkes okul matematik derslerinden doğrusal denklem sistemlerine aşinadır. Temel olarak tekrarla başlıyoruz.
İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme
Bu yönteme “okul yöntemi” ya da bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi de denilebilir. Mecazi anlamda "tamamlanmamış bir Gauss yöntemi" olarak da adlandırılabilir.
Örnek 1
Burada bize iki bilinmeyenli iki denklem sistemi veriliyor. Serbest terimlerin (5 ve 7 sayıları) denklemin sol tarafında bulunduğunu unutmayın. Genel olarak konuşursak, nerede oldukları önemli değil, solda veya sağda, sadece yüksek matematik problemlerinde genellikle bu şekilde konumlandırılırlar. Ve böyle bir kayıt gerekirse karışıklığa yol açmamalı, sistem her zaman "her zamanki gibi" yazılabilir: . Bir terimi bir bölümden diğerine taşırken işaretinin değişmesi gerektiğini unutmayın.
Bir doğrusal denklem sistemini çözmek ne anlama gelir? Bir denklem sistemini çözmek, çözümlerinin çoğunu bulmak anlamına gelir. Bir sistemin çözümü, içinde yer alan tüm değişkenlerin değerlerinin bir kümesidir, bu da sistemin HER denklemini gerçek bir eşitliğe dönüştürür. Ayrıca sistem şu şekilde olabilir: ortak olmayan (çözümleri yok).Utanmayın, bu genel bir tanım =) Her c-we denklemini sağlayan sadece bir “x” değeri ve bir “y” değerimiz olacak.
Sistemi çözmek için sınıfta aşina olabileceğiniz grafiksel bir yöntem var. Bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Orada bahsetmiştim geometrik anlamda iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi. Ama artık cebirin, sayıların-sayıların, eylem-eylemlerin çağı geldi.
Haydi karar verelim: ifade ettiğimiz ilk denklemden:
Ortaya çıkan ifadeyi ikinci denklemde değiştiririz:
Parantezleri açıyoruz, benzer terimleri ekliyoruz ve değeri buluyoruz: 
Sonra ne için dans ettiğimizi hatırlıyoruz:
Değerini zaten biliyoruz, geriye kalan tek şey bulmak:
Cevap:
HERHANGİ bir denklem sistemi HERHANGİ bir şekilde çözüldükten sonra, kontrol etmenizi şiddetle tavsiye ederim. (sözlü olarak, taslak üzerinde veya hesap makinesinde). Neyse ki bu kolay ve hızlı bir şekilde yapılır.
1) Bulunan cevabı ilk denklemde değiştirin:
– doğru eşitlik elde edilir.
2) Bulunan cevabı ikinci denklemde değiştirin: 
– doğru eşitlik elde edilir.
Ya da daha basit bir ifadeyle “her şey bir araya geldi”
Dikkate alınan çözüm yöntemi, ilk denklemden ifade edilmesi mümkün olan tek çözüm değildir.
Bunun tersini de yapabilirsiniz; ikinci denklemden bir şeyi ifade edebilir ve onu ilk denklemde değiştirebilirsiniz. Bu arada, dört yöntemden en dezavantajlı olanının ikinci denklemden ifade etmek olduğunu unutmayın:
Sonuç kesirler, ama neden? Daha rasyonel bir çözüm var.
Ancak bazı durumlarda yine de kesirler olmadan yapamazsınız. Bu bağlamda ifadeyi NASIL yazdığıma dikkatinizi çekmek isterim. Böyle değil: ve hiçbir durumda böyle değil: 
.
Yüksek matematikte kesirli sayılarla ilgileniyorsanız, tüm hesaplamaları sıradan uygunsuz kesirlerle yapmaya çalışın.
Kesinlikle ve değil ya da!
Virgül yalnızca bazen kullanılabilir, özellikle de bir sorunun nihai yanıtıysa ve bu numarayla başka bir işlem yapılmasına gerek yoksa.
Pek çok okuyucu muhtemelen "düzeltme dersi için neden bu kadar ayrıntılı bir açıklama, her şey açık" diye düşünmüştür. Öyle bir şey yok, çok basit bir okul örneği gibi görünüyor, ama ÇOK önemli pek çok sonuç var! İşte bir tane daha:
Herhangi bir görevi en akılcı şekilde tamamlamaya çalışmalısınız.. Sadece zamandan ve sinirlerden tasarruf sağladığı ve aynı zamanda hata yapma olasılığını azalttığı için.
Yüksek matematikte bir problemde iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemiyle karşılaşırsanız, o zaman her zaman ikame yöntemini kullanabilirsiniz (sistemin başka bir yöntemle çözülmesi gerektiği belirtilmediği sürece). enayi olduğunuzu ve “okul yöntemini” kullandığınız için notunuzu düşüreceğinizi düşünün "
Ayrıca bazı durumlarda daha fazla sayıda değişkenle ikame yönteminin kullanılması da tavsiye edilebilir.
Örnek 2
Üç bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözme
Kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini bulduğumuzda, belirsiz katsayılar yöntemi denilen yöntemi kullanırken sıklıkla benzer bir denklem sistemi ortaya çıkar. Söz konusu sistem tarafımdan oradan alınmıştır.
İntegrali bulurken amaç hızlı Cramer formüllerini, ters matris yöntemini vb. kullanmak yerine katsayıların değerlerini bulun. Dolayısıyla bu durumda ikame yöntemi uygundur.
Herhangi bir denklem sistemi verildiğinde, her şeyden önce onu HEMEN basitleştirmenin mümkün olup olmadığını bulmak arzu edilir. Sistemin denklemlerini incelediğimizde sistemin ikinci denkleminin 2'ye bölünebileceğini görüyoruz ve şunu yapıyoruz:
Referans: matematiksel işaret “bundan şunu çıkar” anlamına gelir ve sıklıkla problem çözmede kullanılır.
Şimdi denklemleri inceleyelim; bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmemiz gerekiyor. Hangi denklemi seçmeliyim? Muhtemelen bu amaç için en kolay yolun sistemin ilk denklemini almak olduğunu zaten tahmin etmişsinizdir:
Burada hangi değişken ifade edilirse edilsin, aynı kolaylıkla veya ifade edilebilir.
Daha sonra, ifadesini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinde yerine koyarız: 
Parantezleri açıyoruz ve benzer terimleri sunuyoruz: 
Üçüncü denklemi 2'ye bölün: 
İkinci denklemden üçüncü denklemi ifade edip yerine koyuyoruz:
Bulduğumuz üçüncü denklemden hemen hemen her şey hazır:
İkinci denklemden: 
İlk denklemden:
Kontrol edin: Değişkenlerin bulunan değerlerini sistemin her denkleminin sol tarafına değiştirin:
1)
2)
3)
Denklemlerin karşılık gelen sağ tarafları elde edilir, böylece çözüm doğru bulunur.
Örnek 3
4 bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözme
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonundadır).
Sistem denklemlerinin terim terim toplanması (çıkarılması) yoluyla sistemin çözülmesi
Doğrusal denklem sistemlerini çözerken, “okul yöntemini” değil, sistemin denklemlerini dönem dönem toplama (çıkarma) yöntemini kullanmaya çalışmalısınız. Neden? Bu, zamandan tasarruf sağlar ve hesaplamaları basitleştirir, ancak artık her şey daha net hale gelecektir.
Örnek 4
Bir doğrusal denklem sistemini çözün: 
İlk örnekteki sistemin aynısını aldım.
Denklem sistemini analiz ettiğimizde, değişkenin katsayılarının büyüklük bakımından aynı ve işaret bakımından zıt (-1 ve 1) olduğunu fark ederiz. Böyle bir durumda denklemler terim terim eklenebilir: 
Kırmızıyla daire içine alınmış eylemler ZİHİNSEL olarak gerçekleştirilir.
Gördüğünüz gibi terim terim toplama işlemi sonucunda değişkeni kaybettik. Aslında olan da bu yöntemin özü değişkenlerden birinden kurtulmaktır.
Bu matematik programını kullanarak, iki değişkenli iki doğrusal denklem sistemini, yerine koyma yöntemini ve toplama yöntemini kullanarak çözebilirsiniz.
Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm adımlarının açıklamalarıyla iki şekilde ayrıntılı bir çözüm sunuyor: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.
Bu program, genel eğitim okullarındaki lise öğrencileri için test ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavı öncesinde bilgileri test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir.
Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.
Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.
Denklem girme kuralları
Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb. Denklemleri girerken parantez kullanabilirsiniz
. Bu durumda denklemler öncelikle basitleştirilir.
Sadeleştirmelerden sonra denklemler doğrusal olmalıdır; elemanların sırasının doğruluğu ile ax+by+c=0 formundadır.
Örneğin: 6x+1 = 5(x+y)+2
Ondalık kesirlerdeki tamsayı ve kesirli kısımlar nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin: 2,1n + 3,5m = 55
Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.
Payda negatif olamaz.
Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &
Örnekler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)
Denklem sistemini çözme
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.
Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...
eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.
Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:
Küçük bir teori.
Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü. Değiştirme yöntemi
İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) sistemin bazı denklemlerindeki bir değişkeni diğerine göre ifade etmek;
2) elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin;
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right.$$
İlk denklemden y'yi x cinsinden ifade edelim: y = 7-3x. İkinci denklemde y yerine 7-3x ifadesini yerine koyarsak şu sistemi elde ederiz:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right.$$
Birinci ve ikinci sistemlerin aynı çözümlere sahip olduğunu göstermek kolaydır. İkinci sistemde ikinci denklem yalnızca bir değişken içerir. Bu denklemi çözelim:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
y=7-3x eşitliğinde x yerine 1 sayısını yerine koyarsak, y'nin karşılık gelen değerini buluruz:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Çift (1;4) - sistemin çözümü
Çözümleri aynı olan iki değişkenli denklem sistemlerine denir. eş değer. Çözümü olmayan sistemler de eşdeğer kabul edilir.
Doğrusal denklem sistemlerini toplama yoluyla çözme
Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin başka bir yolunu, yani toplama yöntemini ele alalım. Sistemleri bu şekilde çözerken ve yerine koyma yoluyla çözerken, bu sistemden denklemlerden birinin yalnızca bir değişken içerdiği başka bir eşdeğer sisteme geçiyoruz.
Toplama yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) değişkenlerden birinin katsayılarının zıt sayılara dönüşmesi için faktörleri seçerek sistem teriminin denklemlerini terimle çarpın;
2) sistem denklemlerinin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayın;
3) ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün;
4) ikinci değişkenin karşılık gelen değerini bulun.
Örnek. Denklem sistemini çözelim:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$
Bu sistemin denklemlerinde y'nin katsayıları zıt sayılardır. Denklemlerin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayarak tek değişkenli 3x=33 denklemi elde ederiz. Sistemin denklemlerinden birini, örneğin birincisini, 3x=33 denklemiyle değiştirelim. Sistemi alalım
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$
3x=33 denkleminden x=11'i buluyoruz. Bu x değerini \(x-3y=38\) denkleminde yerine koyarsak, y: \(11-3y=38\) değişkenli bir denklem elde ederiz. Bu denklemi çözelim:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
Böylece denklem sisteminin çözümünü \(x=11; y=-9\) veya \((11;-9)\) ekleyerek bulduk.
Sistem denklemlerinde y'nin katsayılarının zıt sayılar olması gerçeğinden yararlanarak, çözümünü eşdeğer bir sistemin çözümüne indirgedik (orijinal sistemin denklemlerinin her birinin her iki tarafını toplayarak), burada bir tanesi Denklemlerin sadece bir değişkeni vardır.
Kitaplar (ders kitapları) Birleşik Devlet Sınavı özetleri ve Çevrimiçi Birleşik Devlet Sınavı testleri Oyunlar, bulmacalar İşlev grafikleri çizme Rus dilinin yazım sözlüğü Gençlik argo sözlüğü Rus okulları kataloğu Rusya orta öğretim kurumları kataloğu Rus üniversiteleri kataloğu Liste görevlerin