Silindir (Yunanca'dan "rulo", "rulo" kelimelerinden gelir), dışarıdan silindirik adı verilen bir yüzey ve iki düzlemle sınırlanan geometrik bir cisimdir. Bu düzlemler şeklin yüzeyini keser ve birbirine paraleldir.
Silindirik bir yüzey, uzayda düz bir çizginin oluşturduğu bir yüzeydir. Bu hareketler, bu düz çizginin seçilen noktasının düzlem tipi bir eğri boyunca hareket edeceği şekildedir. Böyle bir düz çizgiye generatrix denir ve kavisli bir çizgiye kılavuz denir.
Silindir bir çift taban ve bir yan silindirik yüzeyden oluşur. Birkaç çeşit silindir vardır:
1. Dairesel, düz silindir. Böyle bir silindirin üretim hattına dik bir tabanı ve kılavuzu vardır ve
2. Eğimli silindir. Jeneratör hattı ile taban arasındaki açısı düz değildir.
3. Farklı şekle sahip bir silindir. Hiperbolik, eliptik, parabolik ve diğerleri.
Bir silindirin alanı ve herhangi bir silindirin toplam yüzey alanı, bu şeklin tabanlarının alanları ile yan yüzeyin alanının eklenmesiyle bulunur.
Dairesel, düz bir silindir için silindirin toplam alanını hesaplama formülü:
Sp = 2pRh + 2pR2 = 2pR(h+R).
Yan yüzeyin alanı, tüm silindirin alanından biraz daha karmaşıktır; genetik çizginin uzunluğunun dik bir düzlemin oluşturduğu bölümün çevresi ile çarpılmasıyla hesaplanır. generatrix çizgisine.
Dairesel, düz bir silindir için verilen silindir, bu nesnenin geliştirilmesiyle tanınır.
Bir gelişme, yüksekliği h ve uzunluğu P olan ve tabanın çevresine eşit olan bir dikdörtgendir.
Bundan, silindirin yanal alanının süpürme alanına eşit olduğu ve bu formül kullanılarak hesaplanabileceği sonucu çıkar:
Dairesel, düz bir silindir alırsak, bunun için:
P = 2p R ve Sb = 2p Rh.
Silindir eğimliyse, yan yüzeyin alanı, üretim hattının uzunluğunun ve bu üretim hattına dik olan bölümün çevresinin çarpımına eşit olmalıdır.
Ne yazık ki eğimli bir silindirin yan yüzey alanını yüksekliği ve taban parametreleri cinsinden ifade etmek için basit bir formül yoktur.
Bir silindiri hesaplamak için birkaç gerçeği bilmeniz gerekir. Düzlemi olan bir bölüm tabanlarla kesişiyorsa, böyle bir bölüm her zaman bir dikdörtgendir. Ancak bu dikdörtgenler bölümün konumuna bağlı olarak farklı olacaktır. Şeklin tabanlara dik olan eksenel bölümünün kenarlarından biri yüksekliğe, diğeri ise silindirin taban çapına eşittir. Ve buna göre böyle bir bölümün alanı, dikdörtgenin bir tarafının diğer tarafının birincisine dik ürününe veya belirli bir şeklin yüksekliği ile tabanının çapının ürününe eşittir.
Bölüm şeklin tabanlarına dikse ancak dönme ekseninden geçmiyorsa, bu bölümün alanı bu silindirin yüksekliğinin ve belirli bir akorun çarpımına eşit olacaktır. Bir akor elde etmek için silindirin tabanında bir daire oluşturmanız, bir yarıçap çizmeniz ve üzerine bölümün bulunduğu mesafeyi çizmeniz gerekir. Ve bu noktadan itibaren daire ile kesişme noktasından yarıçapa dik çizgiler çizmeniz gerekiyor. Kesişme noktaları merkeze bağlanır. Ve üçgenin tabanı istenen tabandır ve şu gibi seslerle aranır: “İki bacağın karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir”:
C2 = A2 + B2.
Bölüm silindirin tabanını etkilemiyorsa ve silindirin kendisi dairesel ve düz ise bu bölümün alanı dairenin alanı olarak bulunur.
Çemberin alanı:
S çevre = 2p R2.
R'yi bulmak için C uzunluğunu 2n'ye bölmeniz gerekir:
R = C\2n, burada n pi'dir; daire verileriyle çalışmak için hesaplanan ve 3,14'e eşit bir matematiksel sabittir.
Stereometri, uzaydaki şekillerin incelendiği bir geometri dalıdır. Uzaydaki ana şekiller bir nokta, bir düz çizgi ve bir düzlemdir. Stereometride, yeni bir tür göreceli çizgi düzenlemesi ortaya çıkar: kesişen çizgiler. Bu, stereometri ile planimetri arasındaki birkaç önemli farktan biridir, çünkü çoğu durumda stereometrideki problemler, planimetrik yasaların karşılandığı çeşitli düzlemler dikkate alınarak çözülür.
Çevremizdeki doğada bu figürün fiziksel modeli olan birçok nesne vardır. Örneğin, birçok makine parçası silindir şeklindedir veya bunların bir kombinasyonudur ve tapınakların ve katedrallerin silindir şeklinde yapılmış görkemli sütunları bunların uyumunu ve güzelliğini vurgular.
Yunan - kilindros. Eski bir terim. Günlük yaşamda - bir papirüs kaydırma, bir rulo, bir rulo (fiil - bükmek, yuvarlamak).
Öklid için bir dikdörtgenin döndürülmesiyle bir silindir elde edilir. Cavalieri'de - generatrix'in hareketiyle (keyfi bir kılavuzla - bir "silindir").
Bu makalenin amacı geometrik bir cismi, yani silindiri ele almaktır.
Bu hedefe ulaşmak için aşağıdaki görevleri dikkate almak gerekir:
- Silindirin tanımlarını verin;
- Silindirin elemanlarını göz önünde bulundurun;
- silindirin özelliklerini inceleyin;
- Silindir bölümlerinin türlerini göz önünde bulundurun;
− silindirin alanı için formülü türetin;
- silindirin hacminin formülünü türetin;
- Silindir kullanarak problemleri çözün.
1.1. Silindirin tanımı
Bir α düzleminde yer alan bir l çizgisini (eğri, kırık veya karışık) ve bu düzlemi kesen bir S düz çizgisini ele alalım. Belirli bir l çizgisinin tüm noktalarından S düz çizgisine paralel düz çizgiler çizeriz; bu düz çizgilerin oluşturduğu α yüzeyine silindirik yüzey adı verilir. l çizgisine bu yüzeyin kılavuzu denir, s 1, s 2, s 3,... çizgileri onun jeneratörleridir.
Kılavuz kırılırsa, böyle bir silindirik yüzey, paralel düz çizgi çiftleri arasına alınmış bir dizi düz şeritten oluşur ve prizmatik yüzey olarak adlandırılır. Kılavuz kırık çizginin köşelerinden geçen generatriklere prizmatik yüzeyin kenarları, aralarındaki düz şeritlere ise yüzleri denir.
Herhangi bir silindirik yüzeyi jeneratörlerine paralel olmayan rastgele bir düzlemle kesersek, bu yüzey için de kılavuz olarak alınabilecek bir çizgi elde ederiz. Kılavuzlar arasında öne çıkanı, yüzeyin generatrislerine dik bir düzlemde kesilmesiyle elde edilen kılavuzdur. Böyle bir bölüme normal bölüm denir ve karşılık gelen kılavuza normal kılavuz denir.
Kılavuz kapalı (dışbükey) bir çizgi (kırık veya kavisli) ise, karşılık gelen yüzeye kapalı (dışbükey) prizmatik veya silindirik yüzey adı verilir. Silindirik yüzeylerin en basitinde normal kılavuz olarak bir daire bulunur. Kapalı dışbükey prizmatik bir yüzeyi birbirine paralel ancak jeneratörlere paralel olmayan iki düzlemle parçalayalım.
Bölümlerde dışbükey çokgenler elde ediyoruz. Prizmatik yüzeyin α ve α" düzlemleri arasında kalan kısmı ve bu düzlemlerde ortaya çıkan iki çokgen plaka, prizmatik cisim - prizma adı verilen bir cismi sınırlar.
Silindirik gövde - silindir prizmaya benzer şekilde tanımlanır:
Silindir, yanlardan kapalı (dışbükey) silindirik bir yüzeyle ve uçlarından iki düz paralel tabanla sınırlanan bir gövdedir. Silindirin her iki tabanı da eşittir ve silindiri oluşturan tüm bileşenler de eşittir; tabanların düzlemleri arasındaki silindirik bir yüzeyin generatrislerinin bölümleri.
Bir silindir (daha kesin olarak dairesel bir silindir), aynı düzlemde yer almayan ve paralel öteleme ile birleştirilen iki daireden ve bu dairelerin karşılık gelen noktalarını birleştiren tüm bölümlerden oluşan geometrik bir gövdedir (Şekil 1) .
Dairelere silindirin tabanları denir ve dairelerin çevrelerinin karşılık gelen noktalarını birleştiren bölümlere silindirin jeneratörleri denir.
Paralel öteleme hareket olduğundan silindirin tabanları eşittir.
Paralel öteleme sırasında düzlem paralel bir düzleme (veya kendine) dönüştüğünden, silindirin tabanları paralel düzlemlerde bulunur.
Paralel öteleme sırasında noktalar paralel (veya çakışan) çizgiler boyunca aynı mesafe kadar kaydırıldığından, silindirin jeneratörleri paralel ve eşittir.
Silindirin yüzeyi taban ve yan yüzeyden oluşur. Yan yüzey generatrislerden oluşur.
Jeneratörleri taban düzlemlerine dik ise silindire düz denir.
Düz bir silindir, bir eksen olarak kendi tarafı etrafında döndürüldüğünde bir dikdörtgeni tanımlayan geometrik bir gövde olarak görsel olarak hayal edilebilir (Şekil 2).
Pirinç. 2 − Düz silindir
Aşağıda sadece düz silindiri ele alacağız ve onu kısaca silindir olarak adlandıracağız.
Bir silindirin yarıçapı tabanının yarıçapıdır. Bir silindirin yüksekliği, tabanlarının düzlemleri arasındaki mesafedir. Silindirin ekseni tabanların merkezlerinden geçen düz bir çizgidir. Jeneratörlere paraleldir.
Yüksekliği tabanın çapına eşitse silindire eşkenar silindir denir.
Silindirin tabanları düzse (ve dolayısıyla bunları içeren düzlemler paralelse), silindirin bir düzlem üzerinde durduğu söylenir. Bir düzlem üzerinde duran bir silindirin tabanları generatrise dik ise, o zaman silindire düz denir.
Özellikle, bir düzlem üzerinde duran bir silindirin tabanı bir daire ise, o zaman dairesel (dairesel) bir silindirden bahsediyoruz; eğer bir elipsse, o zaman eliptiktir.
1. 3. Silindirin bölümleri
Eksenine paralel bir düzleme sahip bir silindirin kesiti bir dikdörtgendir (Şekil 3, a). İki tarafı silindirin jeneratörleridir ve diğer ikisi tabanların paralel akorlarıdır.
A) 
B)
V) G)
Pirinç. 3 – Silindirin bölümleri
Özellikle dikdörtgen eksenel bölümdür. Bu, ekseninden geçen bir düzleme sahip bir silindirin kesitidir (Şekil 3, b).
Tabana paralel bir düzleme sahip silindirin kesiti bir dairedir (Şekil 3, c).
Tabana paralel olmayan bir düzleme ve eksenine sahip bir silindirin kesiti ovaldir (Şekil 3d).
Teorem 1. Silindirin taban düzlemine paralel bir düzlem, yan yüzeyini tabanın çevresine eşit bir daire boyunca keser.
Kanıt. β silindirin taban düzlemine paralel bir düzlem olsun. β düzlemini silindirin taban düzlemi ile birleştiren silindir ekseni yönünde paralel öteleme, yan yüzeyin β düzlemine göre kesitini tabanın çevresi ile birleştirir. Teorem kanıtlandı.
Silindirin yan yüzey alanı.
Silindirin yan yüzeyinin alanı, bu prizmanın tabanının kenar sayısı süresiz olarak arttığında, silindire yazılan düzenli bir prizmanın yan yüzeyinin alanının yöneldiği sınır olarak alınır.
Teorem 2. Bir silindirin yan yüzeyinin alanı, tabanının çevresi ve yüksekliğinin çarpımına eşittir (S tarafı.c = 2πRH, burada R, silindir tabanının yarıçapıdır, H, silindirin yüksekliği).
A) 
B) 
Pirinç. 4 − Silindir yan yüzey alanı
Kanıt.
P n ve H sırasıyla silindirin içine yazılan düzgün bir n-gonal prizmanın tabanının çevresi ve yüksekliği olsun (Şekil 4, a). O zaman bu prizmanın yan yüzeyinin alanı S tarafıdır.c − P n H. Tabana yazılan çokgenin kenar sayısının sınırsız arttığını varsayalım (Şekil 4, b). Daha sonra P n çevresi C = 2πR çevresine yönelir; burada R, silindir tabanının yarıçapıdır ve H yüksekliği değişmez. Böylece prizmanın yan yüzeyinin alanı 2πRH sınırına doğru yönelir, yani silindirin yan yüzeyinin alanı S tarafına eşittir.c = 2πRH. Teorem kanıtlandı.
Silindirin toplam yüzey alanı.
Bir silindirin toplam yüzey alanı, yan yüzey ve iki tabanın alanlarının toplamıdır. Silindirin her tabanının alanı πR2'ye eşittir, bu nedenle silindir S'nin toplam yüzeyinin alanı S tarafı formülü ile hesaplanır.c = 2πRH+ 2πR2.
|
|
|
|
|
|
|
|
Pirinç. 5 – Silindirin toplam yüzey alanı
Silindirin yan yüzeyi FT generatrix boyunca kesilirse (Şekil 5, a) ve tüm jeneratörler aynı düzlemde olacak şekilde açılırsa, sonuç olarak FTT1F1 dikdörtgenini elde ederiz, buna gelişimi denir. silindirin yan yüzeyi. Dikdörtgenin FF1 tarafı, silindir tabanının dairesinin gelişimidir, bu nedenle FF1 = 2πR ve FT tarafı, silindirin generatrisine eşittir, yani. FT = H (Şekil 5, b). Böylece silindir gelişiminin FT∙FF1=2πRH alanı yan yüzeyinin alanına eşittir.
1.5. Silindir hacmi
Geometrik bir cisim basitse, yani sonlu sayıda üçgen piramitlere bölünebiliyorsa, hacmi bu piramitlerin hacimlerinin toplamına eşittir. Keyfi bir cisim için hacim aşağıdaki gibi belirlenir.
Belirli bir cismin, onu içeren basit cisimler ve hacimleri V'den istenildiği kadar az farklı olan basit cisimler varsa, V hacmi vardır.
Bu tanımı taban yarıçapı R ve yüksekliği H olan bir silindirin hacmini bulmaya uygulayalım.
Bir dairenin alanı için formül türetirken, iki n-gon inşa edildi (biri daireyi içeren, diğeri dairenin içinde bulunan), öyle ki alanları, n'de sınırsız bir artışla, alanına yaklaştı. sınırsız daire. Silindirin tabanındaki daire için böyle çokgenler oluşturalım. P, bir daire içeren bir çokgen olsun ve P", bir dairenin içinde bulunan bir çokgen olsun (Şekil 6).
Pirinç. 7 − İçinde prizmanın tanımlandığı ve yazılı olduğu silindir
Tabanları P ve P" olan ve H yüksekliği silindirin yüksekliğine eşit olan iki düz prizma inşa edelim. Birinci prizma bir silindir içerir ve ikinci prizma bir silindirin içindedir. N'deki sınırsız bir artışla, prizmaların tabanlarının alanları S silindirinin taban alanına sınırsız olarak yaklaşır, ardından hacimleri süresiz olarak SH'ye yaklaşır. Tanıma göre silindirin hacmi.
V = SH = πR2H.
Yani silindirin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
Görev 1.
Silindirin eksenel kesiti alanı Q olan bir karedir.
Silindirin tabanının alanını bulun.
Verilen: silindir, silindirin kare - eksenel kesiti, S kare = Q.
Bul: S ana silindir
Meydanın kenarı. Tabanın çapına eşittir. Bu nedenle tabanın alanı 
.
Cevap: S ana silindir.
=
Görev 2.
Bir silindirin içine düzenli bir altıgen prizma yazılmıştır. Tabanın yarıçapı silindirin yüksekliğine eşitse, yan yüzünün köşegeni ile silindirin ekseni arasındaki açıyı bulun.
Verilen: silindir, silindirin içine yazılmış düzgün altıgen prizma, taban yarıçapı = silindirin yüksekliği.
Çözüm: Bir daire içine yazılan düzgün altıgenin bir kenarı yarıçapına eşit olduğundan prizmanın yan yüzleri karedir.
Prizmanın kenarları silindir eksenine paralel olduğundan yüzün köşegeni ile silindir ekseni arasındaki açı, köşegen ile yan kenar arasındaki açıya eşittir. Yüzler kare olduğundan bu açı 45°'dir.
Cevap: Yan yüzünün köşegeni ile silindirin ekseni arasındaki açı = 45°.
Görev 3.
Silindirin yüksekliği 6 cm, taban yarıçapı 5 cm'dir.
Silindirin eksenine paralel olarak 4 cm uzaklıkta çizilen bölümün alanını bulun.
Verilen: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.
Bul: S sn.
S sn. = KM×KS,
OE = 4 cm, KS = 6 cm.
OKM Üçgeni - ikizkenar (OK = OM = R = 5 cm),
OEK üçgeni bir dik üçgendir.
Pisagor teoremine göre OEK üçgeninden:
KM = 2EK = 2×3 = 6,
S sn. = 6×6 = 36 cm2.
Bu makalenin amacına ulaşılmış; silindir gibi geometrik bir cisim ele alınmıştır.
Aşağıdaki görevler dikkate alınır:
- Silindirin tanımı verilmiştir;
- Silindirin elemanları dikkate alınır;
- Silindirin özellikleri incelendi;
- Silindir bölümlerinin türleri dikkate alınır;
- silindirin alanı için formül türetilmiştir;
- Bir silindirin hacmine ilişkin formül türetilir;
- silindir kullanarak problemleri çözdüm.
1. Pogorelov A.V. Geometri: Eğitim kurumlarının 10 – 11. sınıfları için ders kitabı, 1995.
2. Beşkin L.N. Stereometri. Ortaokul öğretmenleri için el kitabı, 1999.
3. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri: Eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı, 2000.
4. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometri: genel eğitim kurumlarında 10-11. sınıflar için ders kitabı, 1998.
5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometri: Stereometri: 10 – 11. sınıflar: Ders kitabı ve problem kitabı, 2000.
Silindirin her tabanının alanı π'dir R 2, her iki tabanın alanı 2π olacaktır R 2 (şek.).Silindirin yan yüzeyinin alanı, tabanı 2π olan dikdörtgenin alanına eşittir R ve yükseklik silindirin yüksekliğine eşittir H, yani 2π sağ.
Silindirin toplam yüzeyi: 2π R 2 + 2π sağ= 2π R(R+ H).
Silindirin yan yüzeyinin alanı olarak alınır süpürme alanı yan yüzeyi.
Bu nedenle, dik dairesel bir silindirin yan yüzeyinin alanı, karşılık gelen dikdörtgenin alanına eşittir (Şekil) ve formülle hesaplanır.
S.b.c. = 2πRH, (1)
İki tabanının alanını silindirin yan yüzeyinin alanına eklersek silindirin toplam yüzey alanını elde ederiz.
S dolu =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
Düz bir silindirin hacmi
Teorem. Düz bir silindirin hacmi, tabanının alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir yaniburada Q tabanın alanıdır ve H silindirin yüksekliğidir.
Silindirin tabanının alanı Q olduğundan, alanları Q olan çevrelenmiş ve yazılı çokgen dizileri vardır. N ve Q' NÖyle ki
\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' N= S.
Tabanları yukarıda tartışılan tarif edilen ve yazılı çokgenler olan ve yan kenarları verilen silindirin generatrisine paralel olan ve H uzunluğuna sahip olan bir prizma dizisi oluşturalım. Bu prizmalar verilen silindir için çevrelenmiştir ve yazılmıştır. Hacimleri formüllerle bulunur
V N= S N H ve V' N= Q' N H.
Buradan,
V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' N H = QH.
Sonuçlar.
Dik dairesel bir silindirin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:
V = πR2H
burada R tabanın yarıçapıdır ve H silindirin yüksekliğidir.
Dairesel bir silindirin tabanı R yarıçaplı bir daire olduğundan, Q = π R 2 olur ve dolayısıyla
Silindir, özellikleri lisede stereometri dersinde dikkate alınan simetrik bir uzaysal figürdür. Bunu açıklamak için yükseklik ve taban yarıçapı gibi doğrusal özellikler kullanılır. Bu yazıda silindirin eksenel kesitinin ne olduğu ve şeklin temel doğrusal özellikleri aracılığıyla parametrelerinin nasıl hesaplanacağı ile ilgili soruları ele alacağız.
Geometrik şekil
Öncelikle makalede ele alınacak şekli tanımlayalım. Silindir, sabit uzunluktaki bir parçanın belirli bir eğri boyunca paralel hareketi ile oluşturulan bir yüzeydir. Bu hareketin temel koşulu, segmentin eğri düzlemine ait olmamasıdır.
Aşağıdaki şekilde eğrisi (kılavuzu) elips olan bir silindir gösterilmektedir.
Burada h uzunluğundaki bir parça onun üreteci ve yüksekliğidir.
Silindirin paralel düzlemlerde bulunan iki özdeş tabandan (bu durumda elipsler) ve bir yan yüzeyden oluştuğu görülebilir. İkincisi, şekillendirme çizgilerinin tüm noktalarına aittir.
Silindirlerin eksenel kesitini değerlendirmeye geçmeden önce size bu şekillerin ne tür olduğunu anlatacağız.
Üreten çizgi şeklin tabanlarına dik ise düz bir silindirden bahsediyoruz. Aksi takdirde silindir eğimli olacaktır. İki tabanın merkez noktalarını birleştirirseniz ortaya çıkan düz çizgiye şeklin ekseni denir. Aşağıdaki şekil düz ve eğimli silindirler arasındaki farkı göstermektedir.
Düz bir şekil için, üretici bölümün uzunluğunun h yüksekliğinin değeriyle çakıştığı görülebilir. Eğik bir silindir için yükseklik, yani tabanlar arasındaki mesafe her zaman genetik çizginin uzunluğundan daha azdır.
Düz bir silindirin eksenel bölümü
Eksenel, silindirin eksenini içeren herhangi bir bölümüdür. Bu tanım, eksenel bölümün her zaman generatrise paralel olacağı anlamına gelir.
Düz bir silindirde eksen dairenin merkezinden geçer ve düzlemine diktir. Bu, söz konusu dairenin çapı boyunca kesişeceği anlamına gelir. Şekilde, şeklin eksenden geçen bir düzlemle kesişmesi sonucu oluşan yarım silindir gösterilmektedir.
Düz dairesel bir silindirin eksenel bölümünün dikdörtgen olduğunu anlamak zor değildir. Kenarları tabanın çapı d ve şeklin yüksekliği h'dir.
Silindirin eksenel kesit alanı ve köşegeninin h d uzunluğu için formülleri yazalım:
Bir dikdörtgenin iki köşegeni vardır, ancak her ikisi de birbirine eşittir. Tabanın yarıçapı biliniyorsa, çapın yarısı olduğu göz önüne alındığında bu formülleri yeniden yazmak zor değildir.
Eğimli bir silindirin eksenel bölümü
Yukarıdaki resim kağıttan yapılmış eğimli bir silindiri göstermektedir. Eksenel bölümünü yaparsanız, artık bir dikdörtgen değil, bir paralelkenar elde edeceksiniz. Tarafları bilinen miktarlardır. Bunlardan biri, düz bir silindirin kesitinde olduğu gibi, tabanın d çapına eşittir, diğeri ise şekillendirme bölümünün uzunluğudur. b olarak gösterelim.
Bir paralelkenarın parametrelerini kesin olarak belirlemek için kenar uzunluklarını bilmek yeterli değildir. Aralarında başka bir açıya ihtiyaç var. Kılavuz ile taban arasındaki dar açının α olduğunu varsayalım. Bu aynı zamanda paralelkenarın kenarları arasındaki açı olacaktır. Daha sonra eğimli bir silindirin eksenel kesit alanı formülü şu şekilde yazılabilir:
Eğimli bir silindirin eksenel bölümünün köşegenlerinin hesaplanması biraz daha zordur. Paralelkenarın farklı uzunluklarda iki köşegeni vardır. Bilinen kenarları ve aralarındaki dar açıyı kullanarak bir paralelkenarın köşegenlerini hesaplamamıza olanak tanıyan türetmeden ifadeler sunuyoruz:
l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));
l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))
Burada l 1 ve l 2 sırasıyla küçük ve büyük köşegenlerin uzunluklarıdır. Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi getirilerek her köşegeni bir vektör olarak düşünürsek bu formüller bağımsız olarak elde edilebilir.
Düz Silindir Sorunu
Aşağıdaki problemi çözmek için edinilen bilgiyi nasıl kullanacağınızı göstereceğiz. Bize yuvarlak düz bir silindir verilsin. Silindirin eksenel kesitinin kare olduğu bilinmektedir. Şeklin tamamı 100 cm2 ise bu bölümün alanı nedir?
Gerekli alanı hesaplamak için silindir tabanının yarıçapını veya çapını bulmanız gerekir. Bunu yapmak için şeklin toplam Sf alanı formülünü kullanırız:
Eksenel kesit kare olduğundan bu, tabanın r yarıçapının h yüksekliğinin yarısı olduğu anlamına gelir. Bunu dikkate alarak yukarıdaki eşitliği şu şekilde yeniden yazabiliriz:
S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2
Artık r yarıçapını ifade edebiliriz:
Bir kare kesitin bir kenarı şeklin tabanının çapına eşit olduğundan, S alanını hesaplamak için aşağıdaki formül geçerli olacaktır:
S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)
Gerekli alanın silindirin yüzey alanına göre benzersiz bir şekilde belirlendiğini görüyoruz. Verileri eşitliğe yerleştirdiğimizde şu cevaba ulaşıyoruz: S = 21,23 cm2.
Silindir (dairesel silindir), paralel öteleme ile birleştirilen iki daireden ve bu dairelerin karşılık gelen noktalarını birleştiren tüm bölümlerden oluşan bir gövdedir. Dairelere silindirin tabanları denir ve dairelerin çevrelerinin karşılık gelen noktalarını birleştiren bölümlere silindirin jeneratörleri denir.
Silindirin tabanları eşit ve paralel düzlemlerde yer alır ve silindirin jeneratörleri paralel ve eşittir. Silindirin yüzeyi taban ve yan yüzeyden oluşur. Yan yüzey generatriklerden oluşur.
Jeneratörleri taban düzlemlerine dik ise silindire düz denir. Silindir, bir dikdörtgenin bir kenar çevresinde eksen olarak döndürülmesiyle elde edilen bir cisim olarak düşünülebilir. Başka silindir türleri de vardır - eliptik, hiperbolik, parabolik. Prizma aynı zamanda bir silindir türü olarak da kabul edilir.
Şekil 2 eğimli bir silindiri göstermektedir. O ve O1 merkezli çemberler tabanlardır.
Bir silindirin yarıçapı tabanının yarıçapıdır. Silindirin yüksekliği taban düzlemleri arasındaki mesafedir. Silindirin ekseni tabanların merkezlerinden geçen düz bir çizgidir. Jeneratörlere paraleldir. Bir silindirin silindir ekseninden geçen bir düzlemle kesitine eksenel kesit denir. Düz bir silindirin genatrisinden geçen ve bu generatriks boyunca çizilen eksenel kesite dik olan düzleme silindirin teğet düzlemi denir.
Silindirin eksenine dik bir düzlem, yan yüzeyini tabanın çevresine eşit bir daire boyunca keser.
Bir silindirin içine yazılan bir prizma, tabanları silindirin tabanlarına yazılan eşit çokgenler olan bir prizmadır. Yan kaburgaları silindiri oluşturur. Tabanları silindirin tabanları etrafında çevrelenen eşit çokgenler olan bir prizmanın silindirin etrafında çevrelendiği söylenir. Yüzlerinin düzlemleri silindirin yan yüzeyine temas ediyor.
Bir silindirin yan yüzey alanı, genatrisin uzunluğunun, silindir bölümünün çevresi ile generatrise dik bir düzlemle çarpılmasıyla hesaplanabilir.
Düz bir silindirin yan yüzey alanı gelişimi ile bulunabilir. Bir silindirin gelişimi, yüksekliği h ve uzunluğu P olan ve tabanın çevresine eşit olan bir dikdörtgendir. Bu nedenle silindirin yan yüzeyinin alanı, gelişim alanına eşittir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:
Özellikle dik dairesel bir silindir için:
P = 2πR ve Sb = 2πRh.
Bir silindirin toplam yüzey alanı, yan yüzeyinin ve tabanlarının alanlarının toplamına eşittir.
Düz dairesel bir silindir için:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Eğik bir silindirin hacmini bulmak için iki formül vardır.
Hacmi, genatrisin uzunluğunu silindirin kesit alanıyla generatrise dik bir düzlemle çarparak bulabilirsiniz.
Eğik bir silindirin hacmi, taban alanının ve yüksekliğin (tabanların bulunduğu düzlemler arasındaki mesafe) çarpımına eşittir:
V = Sh = S l sin α,
burada l genatrix'in uzunluğudur ve α, generatrix ile taban düzlemi arasındaki açıdır. Düz bir silindir için h = l.
Dairesel bir silindirin hacmini bulma formülü aşağıdaki gibidir:
V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,
burada d tabanın çapıdır.
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.