En büyük matematikçi Carl Friedrich Gauss, felsefe ve matematik arasında seçim yaparken uzun süre tereddüt etti. Belki de onun dünya biliminde bu kadar dikkat çekici bir "miras" bırakmasına izin veren tam da bu zihniyetti. Özellikle "Gauss Yöntemi"ni oluşturarak...
Yaklaşık 4 yıldır bu sitedeki makaleler, çoğunlukla felsefe açısından okul eğitimini ele alıyordu, çocukların zihinlerine (yanlış)anlama ilkelerini yerleştiriyordu. Daha fazla ayrıntının, örneklerin ve yöntemlerin zamanı geliyor... Bunun tam olarak tanıdık, kafa karıştırıcı ve karmaşık olana yaklaşım olduğuna inanıyorum. önemli Yaşam alanlarında daha iyi sonuçlar verir.
Biz insanlar öyle bir şekilde tasarlandık ki, ne kadar konuşursak konuşalım. soyut düşünme, Ancak anlayış Her zamanörneklerle olur. Örnek yoksa ilkeleri kavramak imkansızdır... Tıpkı bir dağın zirvesine tüm yokuşu yürüyerek çıkmadan ulaşmak mümkün olmadığı gibi.
Okulda da aynı: şimdilik yaşayan hikayeler Burayı içgüdüsel olarak çocuklara anlamanın öğretildiği bir yer olarak görmeye devam etmemiz yeterli değil.
Örneğin Gauss yöntemini öğretmek...
5. sınıf okulunda Gauss yöntemi
Hemen rezervasyon yapacağım: Gauss yönteminin çok daha geniş bir uygulaması var, örneğin çözerken doğrusal denklem sistemleri. Konuşacaklarımız 5.sınıfta geçiyor. Bu başladı Hangisini anladıktan sonra daha "gelişmiş seçenekleri" anlamak çok daha kolaydır. Bu yazıda bahsediyoruz Bir serinin toplamını bulmak için Gauss yöntemi (yöntemi)
İşte Moskova'daki bir spor salonunda 5. sınıfa giden en küçük oğlumun okuldan getirdiği bir örnek.
Gauss yönteminin okul gösterimi
İnteraktif bir beyaz tahta (modern öğretim yöntemleri) kullanan bir matematik öğretmeni, çocuklara küçük Gauss'un "yöntemin yaratılışı" tarihinin bir sunumunu gösterdi.
Okul öğretmeni küçük Karl'ı (bugünlerde okullarda kullanılmayan modası geçmiş bir yöntem) kırbaçladı çünkü
1'den 100'e kadar sayıları sırayla toplamak yerine toplamlarını bulun algılanan Bir aritmetik ilerlemenin kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan sayı çiftlerinin toplamı aynı sayıya eşittir. örneğin, 100 ve 1, 99 ve 2. Bu tür çiftlerin sayısını sayan küçük Gauss, öğretmenin önerdiği sorunu neredeyse anında çözdü. Bunun için şaşkın bir halkın önünde idam edildi. Başkalarının düşünme cesareti kırılsın diye.
Küçük Gauss ne yaptı? gelişmiş sayı duygusu? Algılanan bazı özellikler sabit adımlı sayı serisi (aritmetik ilerleme). VE tam olarak bu daha sonra onu büyük bir bilim adamı yaptı, fark edebilen, sahip duygu, anlama içgüdüsü.
Bu yüzden matematik değerlidir, gelişmektedir görme yeteneği genel olarak özel olarak - soyut düşünme. Bu nedenle çoğu ebeveyn ve işveren içgüdüsel olarak matematiğin önemli bir disiplin olduğunu düşünüyor ...
“O halde matematiği öğrenmelisin çünkü o zihnini düzene sokar.
M.V. Lomonosov".
Ancak geleceğin dahilerini sopalarla kırbaçlayanların takipçileri, Yöntemi tam tersi bir şeye dönüştürdü. Amirimin 35 yıl önce söylediği gibi: “Soru öğrenildi.” Ya da dün en küçük oğlumun Gauss'un yöntemi hakkında söylediği gibi: "Belki de bundan büyük bir bilim çıkarmaya değmez, değil mi?"
“Bilim adamlarının” yaratıcılığının sonuçları, mevcut okul matematiğinin düzeyinde, öğretilme düzeyinde ve çoğunluk tarafından “Bilimlerin Kraliçesi” anlayışında görülmektedir.
Ancak devam edelim...
5. Sınıfta Gauss Yöntemini Anlatma Yöntemleri
Moskova'daki bir spor salonundaki bir matematik öğretmeninin Vilenkin'e göre Gauss yöntemini açıklaması görevi karmaşık hale getirdi.
Ya aritmetik ilerlemenin farkı (adım) bir değil de başka bir sayıysa? Örneğin, 20.
Beşinci sınıflara verdiği problem:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Gymnasium yöntemiyle tanışmadan önce gelin internete bir göz atalım: okul öğretmenleri ve matematik öğretmenleri bunu nasıl yapıyor?..
Gauss yöntemi: açıklama No. 1
YOUTUBE kanalında tanınmış bir eğitmen şu gerekçeyi veriyor:
"1'den 100'e kadar olan sayıları şu şekilde yazalım:
ilk olarak 1'den 50'ye kadar bir sayı dizisi ve onun tam altında 50'den 100'e kadar olan başka bir sayı dizisi, ancak ters sırada"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Lütfen dikkat: üst ve alt sıradaki sayı çiftlerinin toplamı aynıdır ve 101'e eşittir! Çift sayısını sayalım, 50 olur ve bir çiftin toplamını çift sayısıyla çarpalım! Voila: Cevap hazır!"
Açıklama sırasında öğretmen üç kez “Anlayamadıysanız üzülmeyin!” dedi. "Bu yöntemi 9. sınıfta okuyacaksınız!"
Gauss yöntemi: açıklama No. 2
Daha az tanınan (görüntüleme sayısına göre değerlendirilen) başka bir öğretmen, daha bilimsel bir yaklaşım benimsiyor ve sırayla tamamlanması gereken 5 noktadan oluşan bir çözüm algoritması sunuyor.
Konuyu bilmeyenler için 5, geleneksel olarak büyülü kabul edilen Fibonacci sayılarından biridir. Örneğin 5 adımlı bir yöntem her zaman 6 adımlı bir yöntemden daha bilimseldir. ...Ve bu hiç de tesadüfi değil; büyük olasılıkla Yazar, Fibonacci teorisinin gizli bir savunucusudur.
Aritmetik ilerleme verildiğinde: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Gauss yöntemini kullanarak bir serideki sayıların toplamını bulmaya yönelik algoritma:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Bu arada şunu da unutmamak lazım artı bir kural : Ortaya çıkan bölüme bir eklemeliyiz: aksi takdirde gerçek çift sayısından bir puan daha az bir sonuç elde ederiz: 42 + 1 = 43.
Bu, 4'ten 256'ya 6 farkla aritmetik ilerlemenin gerekli toplamıdır!
Gauss yöntemi: Moskova spor salonunda 5. sınıfta açıklama
Bir serinin toplamını bulma problemini şu şekilde çözebilirsiniz:
20+40+60+ ... +460+480+500
Moskova spor salonunun 5. sınıfında Vilenkin’in ders kitabı (oğluma göre).
Sunumun ardından matematik öğretmeni Gauss yöntemini kullanan birkaç örnek gösterdi ve sınıfa bir serideki sayıların 20'lik artışlarla toplamını bulma görevi verdi.
Bu, aşağıdakileri gerektiriyordu:
Gördüğünüz gibi bu daha kompakt ve etkili bir tekniktir: 3 sayısı aynı zamanda Fibonacci dizisinin bir üyesidir.
Gauss yönteminin okul versiyonu hakkındaki yorumlarım
Büyük matematikçi, "yönteminin" takipçileri tarafından neye dönüştürüleceğini önceden bilseydi, kesinlikle felsefeyi seçerdi. Almanca öğretmeni Karl'ı sopalarla kırbaçlayan. “Öğretmenlerin” sembolizmini, diyalektik sarmalını ve ölümsüz aptallığını görebilirdi. Yaşayan matematiksel düşüncenin yanlış anlama cebiri ile uyumunu ölçmeye çalışmak ....
Bu arada: biliyor muydun? Eğitim sistemimizin köklerinin 18. ve 19. yüzyıl Alman okuluna dayandığını mı düşünüyorsunuz?
Ancak Gauss matematiği seçti.
Onun yönteminin özü nedir?
İÇİNDE basitleştirme. İÇİNDE gözlemlemek ve kavramak basit sayı kalıpları. İÇİNDE kuru okul aritmetiğini dönüştürmek ilginç ve heyecan verici aktivite , yüksek maliyetli zihinsel aktiviteyi engellemek yerine beyinde devam etme arzusunu harekete geçiriyor.
Neredeyse bir aritmetik ilerlemenin sayılarının toplamını hesaplamak için Gauss'un verilen "yöntem modifikasyonlarından" birini kullanmak mümkün müdür? aniden? "Algoritmalara" göre, küçük Karl'ın şaplak atmaktan kaçınması, matematikten hoşlanmaması ve yaratıcı dürtülerini daha başlangıçta bastırması garantilenecekti.
Öğretmen neden beşinci sınıf öğrencilerine yöntemin "yanlış anlaşılmasından korkmamalarını" bu kadar ısrarla tavsiye etti ve onları "bu tür" problemleri 9. sınıftan itibaren çözeceklerine ikna etti? Psikolojik olarak cahil eylem. Dikkat edilmesi gereken iyi bir hareketti: "Görüşürüz zaten 5. sınıftasın Sadece 4 yılda tamamlayacağınız problemleri çözün! Sen ne kadar harika bir adamsın!”
Gauss yöntemini kullanmak için sınıf 3 düzeyi yeterlidir Normal çocuklar 2-3 basamaklı sayıları toplamayı, çarpmayı ve bölmeyi zaten biliyorken. “İletişimden kopmuş” yetişkin öğretmenlerin, matematik bir yana, en basit şeyleri bile normal insan dilinde açıklayamamalarından dolayı sorunlar ortaya çıkıyor… İnsanların matematiğe ilgi duymasını sağlayamıyorlar ve ““ yetenekli."
Veya oğlumun dediği gibi: "bundan büyük bir bilim çıkarmak."
Gauss yöntemi, açıklamalarım
Eşim ve ben bu “yöntemi” çocuğumuza, öyle görünüyor ki, okuldan önce bile anlattık...
Karmaşıklık yerine basitlik veya soru-cevap oyunu
"Bakın burada 1'den 100'e kadar sayılar var. Ne görüyorsunuz?"
Önemli olan çocuğun tam olarak ne gördüğü değil. İşin püf noktası onun bakmasını sağlamaktır.
"Onları nasıl bir araya getirebilirsin?" Oğul, bu tür soruların "aynen böyle" sorulmadığını ve soruya "bir şekilde farklı, ondan farklı" bakmanız gerektiğini fark etti.
Çocuğun çözümü hemen görmesinin bir önemi yok, pek mümkün değil. Onun olması önemlidir bakmaktan korkmayı bıraktım ya da dediğim gibi: “görevi taşıdım”. Bu anlama yolculuğunun başlangıcıdır
"Hangisi daha kolay: örneğin 5 ile 6'yı mı yoksa 5 ile 95'i mi toplamak?" Öncü bir soru... Ancak herhangi bir eğitim, bir kişiyi kendisi için kabul edilebilir herhangi bir şekilde "cevaba" yönlendirmektir.
Bu aşamada, hesaplamalarda nasıl "tasarruf" yapılacağına dair tahminler zaten ortaya çıkabilir.
Yaptığımız tek şey ipucu vermekti: "Önden, doğrusal" sayma yöntemi mümkün olan tek yöntem değil. Bir çocuk bunu anlarsa, daha sonra buna benzer birçok yöntem bulacaktır. çünkü ilginç!!! Ve matematiğin “yanlış anlaşılmasından” kesinlikle kaçınacak ve ondan tiksinmemeyecektir. Galibiyeti aldı!
Eğer çocuk keşfedildi toplamı yüz olan sayı çiftlerini toplamanın çocuk oyuncağı olduğunu, o zaman "fark 1 ile aritmetik ilerleme"- bir çocuk için oldukça kasvetli ve ilgi çekici olmayan bir şey - aniden ona hayat buldum . Kaostan düzen ortaya çıkar ve bu her zaman heyecan yaratır: biz böyle yaratıldık!
Cevaplanacak soru: Bir çocuğun edindiği içgörüden sonra neden tekrar kuru algoritmalar çerçevesine sürüklenmesi gerekiyor ki bu durumda da işlevsel olarak işe yaramaz?!
Neden aptalca yeniden yazmaya zorlayasınız ki? Bir defterdeki sıra numaraları: yetenekli olanların bile tek bir anlama şansı kalmasın diye mi? İstatistiksel olarak elbette ama kitlesel eğitim “istatistik”e yöneliktir...
Sıfır nereye gitti?
Ama yine de toplamı 100 olan sayıları toplamak, toplamı 101 olan sayıları toplamaktan çok daha kabul edilebilir...
"Gauss Okulu Yöntemi" tam olarak şunu gerektirir: düşüncesizce katlamak ilerlemenin merkezinden eşit uzaklıktaki sayı çiftleri, ne olursa olsun.
Peki ya bakarsan?
Yine de sıfır, 2000 yıldan daha eski olan insanoğlunun en büyük icadıdır. Ve matematik öğretmenleri onu görmezden gelmeye devam ediyor.
1 ile başlayan bir sayı dizisini 0 ile başlayan bir diziye dönüştürmek çok daha kolay. Toplam değişmeyecek değil mi? “Ders kitaplarında düşünmeyi” bırakıp araştırmaya başlamalısınız... Ve toplamları 101 olan çiftlerin tamamen 100 olan çiftlerle değiştirilebileceğini görün!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
"Artı 1 kuralı" nasıl kaldırılır?
Dürüst olmak gerekirse böyle bir kuralı ilk kez o YouTube eğitmeninden duymuştum...
Bir dizinin üye sayısını belirlemem gerektiğinde yine de ne yapmalıyım?
Sıralamaya bakıyorum:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
ve tamamen yorulduğunuzda daha basit bir sıraya geçin:
1, 2, 3, 4, 5
ve şunu anladım: 5'ten bir çıkarırsanız 4 elde edersiniz, ama kesinlikle netim Anlıyorum 5 sayı! Bu nedenle bir tane eklemeniz gerekiyor! İlkokulda geliştirilen sayı duyusu şunu gösteriyor: Dizinin üyelerinden oluşan bir Google üyesi olsa bile (10'un yüzüncü kuvveti), model aynı kalacaktır.
Kurallar neler?..
Yani birkaç yıl içinde alın ile başın arkası arasındaki tüm boşluğu doldurup düşünmeyi bırakacak mıyız? Ekmeğinizi ve tereyağınızı nasıl kazanacaksınız? Sonuçta, dijital ekonomi çağına eşit basamaklarla ilerliyoruz!
Gauss'un okul yöntemi hakkında daha fazla bilgi: "neden bundan bilim çıkarılsın ki?.."
Oğlumun not defterinden bir ekran görüntüsü yayınlamam boşuna değildi...
"Sınıfta ne oldu?"
“Eh, hemen saydım, elimi kaldırdım ama sormadı. Bu yüzden diğerleri sayarken ben de vakit kaybetmemek için ödevlerimi Rusça yapmaya başladım. Sonra diğerleri yazmayı bitirince (? ??), beni kurula çağırdı, cevabı söyledim."
Öğretmen “Doğru, nasıl çözdüğünüzü bana gösterin” dedi. Gösterdim. Dedi ki: "Yanlış, benim gösterdiğim gibi saymalısın!"
“Bana kötü not vermemesi iyi oldu. Ve bana kendi yöntemleriyle “çözümün gidişatını” yazdırdı.
Matematik öğretmeninin en büyük suçu
hemen sonra o olay Carl Gauss okuldaki matematik öğretmenine karşı yüksek bir saygı duygusu yaşadı. Ama nasıl yapılacağını bilseydi o öğretmenin takipçileri yöntemin özünü bozacak... öfkeyle kükreyecek ve Dünya Fikri Mülkiyet Örgütü WIPO aracılığıyla, iyi isminin okul ders kitaplarında kullanılmasının yasaklanmasını sağlayacaktı!..
ne içinde okul yaklaşımının temel hatası? Yoksa benim deyimimle okuldaki matematik öğretmenlerinin çocuklara karşı işlediği bir suç mu?
Yanlış anlama algoritması
Büyük çoğunluğu nasıl düşüneceğini bilmeyen okul metodolojistleri ne yapar?
Yöntemler ve algoritmalar oluştururlar (bkz.). Bu Öğretmenleri eleştiriden ("Her şey şuna göre yapılır...") ve çocukları anlayıştan koruyan savunmacı bir tepki. Ve böylece - öğretmenleri eleştirme arzusundan!(Bürokratik “bilgeliğin” ikinci türevi, soruna bilimsel yaklaşım). Anlamını kavrayamayan kişi, okul sisteminin aptallığından ziyade, kendi yanlış anlamasını suçlamayı tercih edecektir.
Olan şu: Ebeveynler çocuklarını suçluyor, öğretmenler de... aynısını “matematiği anlamayan!” çocuklar için de yapıyorlar.
Akıllı mısın?
Küçük Karl ne yaptı?
Formüle dayalı bir göreve tamamen alışılmadık bir yaklaşım. Bu O’nun yaklaşımının özüdür. Bu Okulda öğretilmesi gereken en önemli şey ders kitaplarıyla değil kafanızla düşünmektir. Tabii ki, kullanılabilecek araçsal bir bileşen de var... daha basit ve daha verimli sayma yöntemleri.
Vilenkin'e göre Gauss yöntemi
Okulda Gauss'un yönteminin şu olduğunu öğretiyorlar:
Ne, serinin eleman sayısı tek ise Oğluma verilen problemde olduğu gibi mi?..
Bu durumda "yakalama" şu ki seride “ekstra” bir sayı bulmalısınız ve bunu çiftlerin toplamına ekleyin. Örneğimizde bu sayı 260'tır..
Nasıl tespit edilir? Tüm sayı çiftlerini bir not defterine kopyalamak!(Bu nedenle öğretmen çocuklara Gauss yöntemini kullanarak "yaratıcılığı" öğretmeye çalışmak gibi aptalca bir işi yaptırdı... Ve bu nedenle böyle bir "yöntem" pratik olarak büyük veri serilerine uygulanamaz VE bu yüzden de Gauss yöntemi değil.)
Okul rutininde biraz yaratıcılık...
Oğul farklı davrandı.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Zor değil, değil mi?
Ancak pratikte bu daha da kolaylaşıyor, bu da Rusça'da uzaktan algılama için 2-3 dakika ayırmanıza olanak tanırken, geri kalanı "sayıyor". Ayrıca yöntemin adım sayısını da koruyor: 5, bu da yaklaşımın bilimsel olmadığı gerekçesiyle eleştirilmesine izin vermiyor.
Açıkçası bu yaklaşım, Yöntem tarzında daha basit, daha hızlı ve daha evrenseldir. Ama... öğretmen sadece övmekle kalmadı, aynı zamanda beni onu "doğru şekilde" yeniden yazmaya zorladı (ekran görüntüsüne bakın). Yani, yaratıcı dürtüyü ve matematiği kökünden anlama yeteneğini bastırmak için umutsuz bir girişimde bulundu! Anlaşılan, daha sonra öğretmen olarak işe alınabilmek için... Yanlış kişiye saldırmış...
Bu kadar uzun ve sıkıcı bir şekilde anlattığım her şey normal bir çocuğa en fazla yarım saatte anlatılabilir. Örneklerle birlikte.
Ve bunu hiçbir zaman unutamayacak şekilde.
Ve olacak anlamaya doğru adım...sadece matematikçiler değil.
Kabul edin: Gauss yöntemini kullanarak hayatınızda kaç kez ekleme yaptınız? Ve ben asla yapmadım!
Ancak anlama içgüdüsü Okulda matematik yöntemlerinin çalışılması sürecinde gelişen (veya sönen)... Ah!.. Bu gerçekten yeri doldurulamaz bir şey!
Özellikle de Parti ve Hükümetin sıkı liderliği altında sessizce girdiğimiz evrensel dijitalleşme çağında.
Öğretmenleri savunacak birkaç söz...
Bu öğretim tarzının tüm sorumluluğunu yalnızca okul öğretmenlerine yüklemek haksızlık ve yanlıştır. Sistem yürürlükte.
Bazıöğretmenler olup bitenlerin saçmalığını anlıyor ama ne yapmalı? Eğitim Kanunu, Federal Devlet Eğitim Standartları, yöntemler, ders planları... Her şeyin “uygun ve esasına göre” yapılması ve her şeyin belgelenmesi gerekiyor. Kenara çekilin - kovulmak için sıraya girdim. İkiyüzlülük yapmayalım: Moskova öğretmenlerinin maaşları çok iyi... Sizi kovarlarsa nereye gidersiniz?..
Bu nedenle bu site eğitimle ilgili değil. O yaklaşık bireysel eğitim Kalabalıktan kurtulmanın tek yolu Z kuşağı ...
Bir doğrusal denklem sistemini çözmenin en basit yollarından biri, determinantların hesaplanmasına dayanan bir tekniktir ( Cramer kuralı). Avantajı, çözümü anında kaydetmenize izin vermesidir; özellikle sistemin katsayılarının sayı değil, bazı parametreler olduğu durumlarda kullanışlıdır. Dezavantajı, çok sayıda denklem olması durumunda hesaplamaların zahmetli olmasıdır; ayrıca Cramer kuralı, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla çakışmadığı sistemlere doğrudan uygulanamaz. Bu gibi durumlarda genellikle kullanılır Gauss yöntemi.
Çözüm kümeleri aynı olan lineer denklem sistemlerine denir. eş değer. Açıkçası, doğrusal bir sistemin çözüm kümesi, herhangi bir denklem değiştirilirse, denklemlerden biri sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılırsa veya bir denklem diğerine eklenirse değişmeyecektir.
Gauss yöntemi (bilinmeyenlerin sıralı eliminasyonu yöntemi) temel dönüşümlerin yardımıyla sistemin adım tipinde eşdeğer bir sisteme indirgenmesidir. İlk olarak 1. denklemi kullanarak ortadan kaldırırız. X Sistemin sonraki tüm denklemlerinden 1'i. Daha sonra 2. denklemi kullanarak ortadan kaldırırız. X 3. ve sonraki tüm denklemlerden 2. Bu süreç adı verilir doğrudan Gauss yöntemi, son denklemin sol tarafında tek bir bilinmeyen kalana kadar devam eder xn. Bundan sonra yapılır Gauss yönteminin tersi– son denklemi çözerek şunu buluruz: xn; bundan sonra, bu değeri kullanarak hesapladığımız sondan bir önceki denklemden xn–1 vb. Sonuncuyu buluyoruz Xİlk denklemden 1.
Gauss dönüşümlerini, denklemlerin kendisiyle değil, katsayılarının matrisleri ile dönüşümler gerçekleştirerek gerçekleştirmek uygundur. Matrisi düşünün:
isminde sistemin genişletilmiş matrisi,çünkü sistemin ana matrisine ek olarak bir de serbest terimler sütunu içerir. Gauss yöntemi, sistemin genişletilmiş matrisinin temel satır dönüşümlerini (!) kullanarak sistemin ana matrisini üçgen forma (veya kare olmayan sistemlerde yamuk forma) indirgemeye dayanır.
Örnek 5.1. Sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözün:
Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve ilk satırı kullanarak ardından kalan elemanları sıfırlayacağız:
ilk sütunun 2., 3. ve 4. satırlarında sıfırlar alıyoruz:
Şimdi 2. satırın altındaki ikinci sütundaki tüm elemanların sıfıra eşit olmasına ihtiyacımız var. Bunun için ikinci satırı –4/7 ile çarpıp 3. satıra ekleyebilirsiniz. Ancak kesirlerle uğraşmamak için ikinci sütunun 2. satırında bir birim oluşturalım ve sadece
Şimdi üçgen bir matris elde etmek için 3. sütunun dördüncü satırının elemanını sıfırlamanız gerekir; bunun için üçüncü satırı 8/54 ile çarpıp dördüncüye ekleyebilirsiniz. Ancak kesirlerle uğraşmamak için 3. ve 4. satırları ve 3. ve 4. sütunları değiştireceğiz ve ancak bundan sonra belirtilen elemanı sıfırlayacağız. Sütunları yeniden düzenlerken karşılık gelen değişkenlerin yer değiştirdiğini ve bunun hatırlanması gerektiğini unutmayın; sütunlarla diğer temel dönüşümler (bir sayıyla toplama ve çarpma) gerçekleştirilemez!
Son basitleştirilmiş matris, orijinaline eşdeğer bir denklem sistemine karşılık gelir:
Buradan Gauss yönteminin tersini kullanarak dördüncü denklemi buluruz. X 3 = –1; üçüncüden X 4 = –2, ikinciden itibaren X 2 = 2 ve ilk denklemden X 1 = 1. Matris formunda cevap şu şekilde yazılır:
Sistemin kesin olduğu durumu değerlendirdik, yani. tek bir çözüm olduğunda. Bakalım sistem tutarsız veya belirsiz olursa ne olacak?
Örnek 5.2. Gauss yöntemini kullanarak sistemi keşfedin:
Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazıp dönüştürüyoruz
Basitleştirilmiş bir denklem sistemi yazıyoruz:
Burada son denklemde 0=4 olduğu ortaya çıktı, yani. çelişki. Sonuç olarak sistemin bir çözümü yoktur, yani. o uyumsuz. à
Örnek 5.3. Gauss yöntemini kullanarak sistemi keşfedin ve çözün:
Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve dönüştürüyoruz:
Dönüşümler sonucunda son satırda yalnızca sıfırlar yer alıyor. Bu, denklem sayısının bir azaldığı anlamına gelir:
Böylece basitleştirmelerden sonra geriye iki denklem ve dört bilinmeyen kalıyor; iki bilinmeyen "ekstra". Bırakın "gereksiz" olsunlar, ya da dedikleri gibi, serbest değişkenler, irade X 3 ve X 4. Daha sonra
İnanmak X 3 = 2A Ve X 4 = B, alıyoruz X 2 = 1–A Ve X 1 = 2B–A; veya matris formunda
Bu şekilde yazılan çözüme denir genelçünkü parametreleri vermek A Ve B Farklı değerler, sistemin tüm olası çözümlerini tanımlayabilir. A
Doğrusal denklem sistemlerini dikkate almaya devam ediyoruz. Bu ders konuyla ilgili üçüncü derstir. Genel olarak doğrusal denklem sisteminin ne olduğuna dair belirsiz bir fikriniz varsa, kendinizi çaydanlık gibi hissediyorsanız, o zaman Sonraki sayfasındaki temel bilgilerle başlamanızı öneririm, dersi incelemenizde fayda var.
Gauss yöntemi kolaydır! Neden? Ünlü Alman matematikçi Johann Carl Friedrich Gauss, yaşamı boyunca tüm zamanların en büyük matematikçisi, bir dahi olarak tanındı ve hatta “Matematiğin Kralı” lakabını aldı. Ve bildiğimiz gibi ustaca olan her şey basit! Bu arada, sadece enayiler değil, dahiler de para kazanıyor - Gauss'un portresi 10 Alman Markı banknotun üzerindeydi (euro'nun piyasaya sürülmesinden önce) ve Gauss hala sıradan posta pullarından Almanlara gizemli bir şekilde gülümsüyor.
Gauss yöntemi basittir, çünkü BEŞİNCİ SINIF ÖĞRENCİSİNİN BİLGİSİ bu konuda uzmanlaşmak için YETERLİDİR. Toplama ve çarpmayı bilmelisiniz!Öğretmenlerin okul matematik seçmeli derslerinde bilinmeyenleri sıralı olarak hariç tutma yöntemini sıklıkla düşünmeleri tesadüf değildir. Bu bir paradoks ama öğrenciler Gauss metodunu en zor buluyorlar. Şaşırtıcı bir şey yok - her şey metodolojiyle ilgili ve yöntemin algoritması hakkında erişilebilir bir biçimde konuşmaya çalışacağım.
Öncelikle doğrusal denklem sistemleri hakkında biraz bilgi verelim. Bir doğrusal denklem sistemi şunları yapabilir:
1) Benzersiz bir çözüme sahip olun. 2) Sonsuz sayıda çözümü var. 3) Çözümünüz yok (olun) ortak olmayan).
Gauss yöntemi çözüm bulmak için en güçlü ve evrensel araçtır herhangi Doğrusal denklem sistemleri. Hatırladığımız kadarıyla, Cramer kuralı ve matris yöntemi Sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygun değildir. Ve bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi Her neyse bizi cevaba götürecek! Bu dersimizde yine 1 numaralı durum (sistemin tek çözümü) için Gauss yöntemini ele alacağız, 2-3 numaralı noktaların durumlarına bir makale ayrılmıştır. Yöntemin algoritmasının her üç durumda da aynı şekilde çalıştığını not ediyorum.
Dersten en basit sisteme dönelim Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür? Gauss metodunu kullanarak çözelim.
İlk adım yazmaktır genişletilmiş sistem matrisi: . Katsayıların hangi prensibe göre yazıldığını sanırım herkes görebilir. Matrisin içindeki dikey çizginin herhangi bir matematiksel anlamı yoktur; bu sadece tasarım kolaylığı için üstü çizili bir çizgidir.
Referans : hatırlamanı tavsiye ederim şartlar doğrusal cebir. Sistem Matrisi yalnızca bilinmeyenler için katsayılardan oluşan bir matristir; bu örnekte sistemin matrisi: . Genişletilmiş Sistem Matrisi – bu, sistemin aynı matrisi artı serbest terimlerin bir sütunudur, bu durumda: . Kısaca belirtmek gerekirse, matrislerden herhangi birine basitçe matris adı verilebilir.
Genişletilmiş sistem matrisi yazıldıktan sonra onunla bazı eylemlerin gerçekleştirilmesi gerekir. temel dönüşümler.
Aşağıdaki temel dönüşümler mevcuttur:
1) Dizeler matrisler Olabilmek yeniden düzenlemek bazı yerlerde. Örneğin, söz konusu matriste birinci ve ikinci satırları ağrısız bir şekilde yeniden düzenleyebilirsiniz: 
2) Matriste orantılı (özel bir durum olarak - aynı) satırlar varsa (veya ortaya çıkmışsa), o zaman şunları yapmalısınız: silmek matristen biri hariç tüm bu satırlar. Örneğin matrisi düşünün 
. Bu matriste son üç satır orantılı olduğundan yalnızca birini bırakmak yeterlidir: 
.
3) Dönüşümler sırasında matriste sıfır satır görünüyorsa, o zaman aynı zamanda silmek. Tabii ki çizmeyeceğim, sıfır çizgisi hangi çizgidir? hepsi sıfır.
4) Matris satırı şu şekilde olabilir: çarpmak (bölmek) herhangi bir numaraya sıfır olmayan. Örneğin matrisi düşünün. Burada ilk satırı –3'e bölmeniz ve ikinci satırı 2 ile çarpmanız önerilir: 
. Bu eylem çok faydalıdır çünkü matrisin daha sonraki dönüşümlerini basitleştirir.
5) Bu dönüşüm en çok zorluğa neden olur, ancak aslında karmaşık bir şey de yoktur. Bir matrisin bir satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayıyla çarpılan başka bir dize ekle, sıfırdan farklı. Pratik bir örnekten matrisimize bakalım: . İlk önce dönüşümü çok detaylı bir şekilde anlatacağım. İlk satırı –2 ile çarpın: 
, Ve ikinci satıra ilk satırı -2 ile çarparak ekliyoruz: 
. Artık ilk satır “geriye” –2 ile bölünebilir: . Gördüğünüz gibi EKLENEN satır LI – değişmedi. Her zaman EKLENEN satır değişir UT.
Pratikte elbette bu kadar ayrıntılı yazmıyorlar, kısaca yazıyorlar: 
Bir kez daha: ikinci satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekledim. Bir satır genellikle sözlü olarak veya taslak üzerinde çarpılır ve zihinsel hesaplama süreci şöyle olur:
“Matrisi yeniden yazıyorum ve ilk satırı yeniden yazıyorum: 
»
“İlk sütun. En altta sıfır almam gerekiyor. Bu nedenle üsttekini -2: ile çarpıyorum ve ilkini ikinci satıra ekliyorum: 2 + (–2) = 0. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: 
»
“Şimdi ikinci sütun. En üstte -1 ile -2'yi çarpıyorum: . İlkini ikinci satıra ekliyorum: 1 + 2 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: 
»
“Ve üçüncü sütun. En üstte -5 ile -2'yi çarpıyorum: . İlkini ikinci satıra ekliyorum: –7 + 10 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: 
»
Lütfen bu örneği dikkatlice anlayın ve sıralı hesaplama algoritmasını anlayın, bunu anlarsanız Gauss yöntemi pratik olarak cebinizde. Ama elbette bu dönüşüm üzerinde çalışmaya devam edeceğiz.
Temel dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez
! DİKKAT: dikkate alınan manipülasyonlar kullanılamaz, matrislerin "kendi başlarına" verildiği bir görev teklif edilirse. Örneğin “klasik” matrislerle işlemler Hiçbir durumda matrislerin içindeki hiçbir şeyi yeniden düzenlememelisiniz! Sistemimize dönelim. Pratik olarak parçalara ayrılır.
Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu şuna indirelim: kademeli görünüm:
(1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Ve yine: neden ilk satırı –2 ile çarpıyoruz? Altta sıfır elde etmek için bu, ikinci satırda bir değişkenden kurtulmak anlamına gelir.
(2) İkinci satırı 3'e bölün.
Temel dönüşümlerin amacı
–
matrisi aşamalı forma indirgeyin: 
. Görevin tasarımında, sadece "merdivenleri" basit bir kalemle işaretliyorlar ve ayrıca "basamaklarda" bulunan sayıları da daire içine alıyorlar. "Adımlı görünüm" terimi bilimsel ve eğitimsel literatürde tamamen teorik değildir; yamuk görünüm veya üçgen görünüm.
Temel dönüşümler sonucunda elde ettik eş değer orijinal denklem sistemi:
Şimdi sistemin ters yönde "çözülmesi" gerekiyor - aşağıdan yukarıya doğru bu işleme denir Gauss yönteminin tersi.
Alt denklemde zaten hazır bir sonucumuz var: .
Sistemin ilk denklemini ele alalım ve zaten bilinen “y” değerini onun içine koyalım:
Gauss yönteminin üç bilinmeyenli üç doğrusal denklemden oluşan bir sistemin çözülmesini gerektirdiği en yaygın durumu ele alalım.
Örnek 1
Denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün: 
Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım: 
Şimdi çözüm sırasında ulaşacağımız sonucu hemen çizeceğim: 
Tekrar ediyorum, amacımız temel dönüşümleri kullanarak matrisi adım adım forma getirmektir. Nereden başlamalı?
İlk önce sol üstteki numaraya bakın: 
Neredeyse her zaman burada olmalı birim. Genel olarak konuşursak, -1 (ve bazen diğer sayılar) işe yarar, ancak bir şekilde geleneksel olarak bir genellikle oraya yerleştirilir. Bir birim nasıl organize edilir? İlk sütuna bakıyoruz - bitmiş bir birimimiz var! Birinci dönüşüm: birinci ve üçüncü satırları değiştirin: 
Artık ilk satır çözümün sonuna kadar değişmeden kalacak. Zaten daha kolay.
Sol üst köşedeki ünite düzenlenmiştir. Şimdi bu yerlerde sıfır almanız gerekiyor: 
Sıfırları “zor” bir dönüşüm kullanarak elde ederiz. İlk önce ikinci satırla ilgileniyoruz (2, –1, 3, 13). İlk pozisyonda sıfır almak için ne yapılması gerekiyor? Gerekiyor ikinci satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk satırı –2 ile çarpın: (–2, –4, 2, –18). Ve sürekli olarak (yine zihinsel olarak veya taslak üzerinde) ekleme yapıyoruz, ikinci satıra zaten –2 ile çarpılmış olan ilk satırı ekliyoruz:
Sonucu ikinci satıra yazıyoruz: 
Üçüncü satırı da aynı şekilde ele alıyoruz (3, 2, –5, –1). İlk pozisyonda sıfır almak için ihtiyacınız olan üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk satırı –3 ile çarpın: (–3, –6, 3, –27). VE üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekliyoruz:
Sonucu üçüncü satıra yazıyoruz:
Uygulamada bu eylemler genellikle sözlü olarak gerçekleştirilir ve tek adımda yazılır: 
Her şeyi aynı anda ve aynı anda saymaya gerek yok. Hesaplamaların sırası ve sonuçların “yazılması” tutarlı ve genellikle şu şekildedir: önce ilk satırı yeniden yazarız ve yavaşça kendimize üfleriz - SÜREKLİ ve DİKKATLİCE:
Yukarıda hesaplamaların zihinsel sürecini zaten tartışmıştım.
Bu örnekte bunu yapmak kolaydır; ikinci satırı -5'e böleriz (çünkü oradaki tüm sayılar 5'e kalansız bölünebilir). Aynı zamanda üçüncü satırı -2'ye bölüyoruz çünkü sayılar ne kadar küçük olursa çözüm o kadar basit olur:
Temel dönüşümlerin son aşamasında, burada bir sıfır daha almanız gerekir: 
Bunun için üçüncü satıra ikinci satırı –2 ile çarparak ekliyoruz:
Bu eylemi kendiniz anlamaya çalışın - ikinci satırı zihinsel olarak –2 ile çarpın ve ekleme işlemini gerçekleştirin.
Gerçekleştirilen son eylem, sonucun saç modelidir, üçüncü satırı 3'e bölün.
Temel dönüşümler sonucunda eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde edildi: 
Serin.
Şimdi Gauss yönteminin tersi devreye giriyor. Denklemler aşağıdan yukarıya doğru “gevşemektedir”.
Üçüncü denklemde zaten hazır bir sonucumuz var:
İkinci denkleme bakalım: . "Zet"in anlamı zaten bilinmektedir, dolayısıyla:
Ve son olarak ilk denklem: . "Igrek" ve "zet" biliniyor, bu sadece küçük şeyler meselesi:
Cevap: 
Daha önce birkaç kez belirtildiği gibi, herhangi bir denklem sistemi için bulunan çözümü kontrol etmek mümkün ve gereklidir, neyse ki bu kolay ve hızlıdır.
Örnek 2
Bu, bağımsız bir çözüm örneği, nihai tasarımın bir örneği ve dersin sonunda bir cevaptır.
Şunu belirtmek gerekir ki kararın ilerlemesi karar sürecimle örtüşmeyebilir, ve bu Gauss yönteminin bir özelliğidir. Ama cevaplar aynı olmalı!
Örnek 3
Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme 
Sol üstteki “adıma” bakıyoruz. Orada bir tane olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç birim yok, dolayısıyla satırları yeniden düzenlemek hiçbir şeyi çözmeyecek. Bu gibi durumlarda ünitenin temel bir dönüşüm kullanılarak düzenlenmesi gerekir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu yaptım: (1) İlk satıra ikinci satırı -1 ile çarparak ekliyoruz. Yani ikinci satırı zihinsel olarak -1 ile çarpıp birinci ve ikinci satırları ekledik, ikinci satır değişmedi.
Şimdi sol üstte “eksi bir” var ki bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyen herkes ek bir hareket yapabilir: İlk satırı –1 ile çarpın (işaretini değiştirin).
(2) Birinci satırın 5 ile çarpılması ikinci satıra eklendi. İlk satırın 3 ile çarpılması üçüncü satıra eklendi.
(3) İlk satır -1 ile çarpılmıştır, prensip olarak bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adım”da gerekli üniteye sahip olduk.
(4) İkinci satır üçüncü satıra 2 ile çarpılarak eklendi.
(5) Üçüncü satır 3'e bölündü.
Hesaplamalarda bir hata olduğunu (daha nadiren bir yazım hatası) gösteren kötü bir işaret, "kötü" bir sonuçtur. Yani, eğer aşağıda , gibi bir şey varsa ve buna göre, 
, o zaman yüksek bir olasılıkla temel dönüşümler sırasında bir hata yapıldığını söyleyebiliriz.
Biz bunun tersini uyguluyoruz, örneklerin tasarımında genellikle sistemin kendisini yeniden yazmıyorlar, ancak denklemler "doğrudan verilen matristen alınıyor." Size hatırlatırım, ters vuruş aşağıdan yukarıya doğru çalışır. Evet, işte bir hediye:
Cevap: 
.
Örnek 4
Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme 
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, biraz daha karmaşıktır. Birisinin kafası karışırsa sorun olmaz. Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım. Sizin çözümünüz benim çözümümden farklı olabilir.
Son bölümde Gauss algoritmasının bazı özelliklerine bakacağız. İlk özellik bazen sistem denklemlerinde bazı değişkenlerin eksik olmasıdır, örneğin: 
Genişletilmiş sistem matrisi nasıl doğru şekilde yazılır? Derste bu noktadan zaten bahsetmiştim. Cramer kuralı. Matris yöntemi. Sistemin genişletilmiş matrisinde eksik değişkenlerin yerine sıfırları koyarız: 
Bu arada, bu oldukça kolay bir örnek, çünkü ilk sütunda zaten bir sıfır var ve gerçekleştirilecek daha az temel dönüşüm var.
İkinci özellik şudur. Ele alınan tüm örneklerde “adımlara” –1 veya +1 yerleştirdik. Orada başka numaralar olabilir mi? Bazı durumlarda bunu yapabilirler. Sistemi düşünün: 
.
Burada sol üst “adım”da iki tane var. Ancak ilk sütundaki tüm sayıların 2'ye kalansız bölünebildiğini, diğerinin ise iki ve altı olduğunu fark ettik. Ve sol üstteki ikisi bize yakışacak! İlk adımda aşağıdaki dönüşümleri yapmanız gerekir: ilk satırı –1 ile çarparak ikinci satıra ekleyin; üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekleyin. Bu şekilde ilk sütunda gerekli sıfırları alacağız.
Veya başka bir geleneksel örnek: 
. Burada ikinci “adım”daki üç de bize uyar, çünkü 12 (sıfır almamız gereken yer) 3'e kalansız bölünebilir. Aşağıdaki dönüşümü gerçekleştirmek gerekir: ikinci satırı üçüncü satıra -4 ile çarparak ekleyin, bunun sonucunda ihtiyacımız olan sıfır elde edilecektir.
Gauss'un yöntemi evrenseldir ancak bir özelliği vardır. Sistemleri tam anlamıyla ilk seferde diğer yöntemleri (Cramer yöntemi, matris yöntemi) kullanarak çözmeyi güvenle öğrenebilirsiniz - çok katı bir algoritmaları vardır. Ancak Gauss yöntemine güvenebilmek için en az 5-10 onlu sistemi “işe sokmalı” ve çözmelisiniz. Bu nedenle ilk başta hesaplamalarda karışıklıklar ve hatalar olabilir ve bunda olağandışı veya trajik bir şey yoktur.
Pencerenin dışında yağmurlu bir sonbahar havası... Bu nedenle, kendi başına çözmek için daha karmaşık bir örnek isteyen herkes için:
Örnek 5
Dört bilinmeyenli 4 doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün. 
Böyle bir görev pratikte o kadar da nadir değildir. Bu sayfayı iyice inceleyen bir çaydanlığın bile böyle bir sistemi sezgisel olarak çözme algoritmasını anlayacağını düşünüyorum. Temelde her şey aynı; yalnızca daha fazla eylem var.
Sistemin çözümünün olmadığı (tutarsız) veya sonsuz sayıda çözümün olduğu durumlar derste tartışılmaktadır. Uyumsuz sistemler ve ortak bir çözüme sahip sistemler. Burada Gauss yönteminin dikkate alınan algoritmasını düzeltebilirsiniz.
Size başarılar diliyorum!
Çözümler ve cevaplar:
Örnek 2:
Çözüm
:
Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim.
Gerçekleştirilen temel dönüşümler:
(1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Birinci satır üçüncü satıra -1 ile çarpılarak eklendi.
Dikkat!
Burada birinciyi üçüncü satırdan çıkarmak isteyebilirsiniz; bunu çıkarmamanızı şiddetle tavsiye ederim - hata riski büyük ölçüde artar. Sadece katlayın!
(2) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). İkinci ve üçüncü satırlar değiştirildi.
lütfen aklınızda bulundurun
, "adımlarda" sadece bir tanesinden değil, aynı zamanda -1'den de memnunuz ki bu daha da uygun.
(3) İkinci satır üçüncü satıra 5 ile çarpılarak eklendi.
(4) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). Üçüncü satır 14'e bölündü.
Tersi:
Cevap
:
.
Örnek 4:
Çözüm
:
Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:
Gerçekleştirilen dönüşümler: (1) Birinci satıra ikinci satır eklendi. Böylece sol üstteki “basamak”ta istenilen ünite düzenlenmiştir. (2) İlk satırın 7 ile çarpılması ikinci satıra eklendi. İlk satırın 6 ile çarpılması üçüncü satıra eklendi.
İkinci “adım”la her şey daha da kötüye gidiyor , bunun için "adaylar" 17 ve 23 sayılarıdır ve bizim ya bir ya da -1'e ihtiyacımız var. Dönüşümler (3) ve (4) istenen birimin elde edilmesini amaçlayacaktır. (3) İkinci satır üçüncü satıra –1 ile çarpılarak eklendi. (4) Üçüncü satır, ikinci satıra -3 ile çarpılarak eklendi. İkinci adımda gerekli öğe alındı. . (5) İkinci satır üçüncü satıra 6 ile çarpılarak eklendi. (6) İkinci satır -1 ile çarpılır, üçüncü satır -83'e bölünür.
Tersi:
Cevap :
Örnek 5:
Çözüm
:
Sistemin matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu aşamalı bir forma getirelim:
Gerçekleştirilen dönüşümler: (1) Birinci ve ikinci satırlar değiştirildi. (2) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Birinci satır üçüncü satıra -2 ile çarpılarak eklendi. Birinci satır dördüncü satıra -3 ile çarpılarak eklendi. (3) İkinci satır üçüncü satıra 4 ile çarpılarak eklenir. İkinci satır ise –1 ile çarpılarak dördüncü satıra eklenir. (4) İkinci satırın işareti değiştirildi. Dördüncü satır 3'e bölünerek üçüncü satırın yerine yerleştirildi. (5) Üçüncü satır dördüncü satıra –5 ile çarpılarak eklenir.
Tersi:
Cevap :
Bu makalede yöntem, doğrusal denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözmeye yönelik bir yöntem olarak ele alınmaktadır. Yöntem analitiktir, yani genel bir biçimde bir çözüm algoritması yazmanıza ve ardından orada belirli örneklerden değerleri değiştirmenize olanak tanır. Matris yönteminden veya Cramer formüllerinden farklı olarak, Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken, sonsuz sayıda çözümü olanlarla da çalışabilirsiniz. Veya hiç sahip değiller.
Gauss yöntemini kullanarak çözmek ne anlama gelir?
Öncelikle denklem sistemimizi Şuna benzer şekilde yazmamız gerekiyor. Sistemi ele alalım:
Katsayılar tablo halinde, serbest terimler ise sağ tarafta ayrı bir sütuna yazılır. Serbest elemanların bulunduğu sütun kolaylık sağlamak için ayrılmıştır. Bu sütunu içeren matrise genişletilmiş denir.
Daha sonra katsayılı ana matrisin üst üçgen forma indirgenmesi gerekir. Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözmenin ana noktası budur. Basitçe söylemek gerekirse, belirli manipülasyonlardan sonra matris, sol alt kısmı yalnızca sıfır içerecek şekilde görünmelidir:
Daha sonra, yeni matrisi bir denklem sistemi olarak tekrar yazarsanız, son satırın zaten köklerden birinin değerini içerdiğini fark edeceksiniz, bu daha sonra yukarıdaki denklemde yerine konur, başka bir kök bulunur ve bu şekilde devam eder.
Bu, Gauss yöntemiyle çözümün en genel anlamda açıklamasıdır. Aniden sistemin çözümü kalmazsa ne olur? Yoksa bunlardan sonsuz sayıda mı var? Bunları ve diğer birçok soruyu cevaplamak için Gauss yöntemini çözmede kullanılan tüm unsurları ayrı ayrı ele almak gerekir.
Matrisler, özellikleri
Matriste gizli bir anlam yoktur. Bu, daha sonraki işlemler için verileri kaydetmenin basit bir yoludur. Okul çocuklarının bile onlardan korkmasına gerek yok.
Matris her zaman dikdörtgendir çünkü daha uygundur. Her şeyin üçgen formlu bir matris oluşturmaya geldiği Gauss yönteminde bile, girişte yalnızca sayıların olmadığı yerde sıfırlarla bir dikdörtgen belirir. Sıfırlar yazılmamış olabilir ancak ima edilmiştir.
Matrisin bir boyutu vardır. “Genişliği” satır sayısıdır (m), “uzunluk” sütun sayısıdır (n). Daha sonra A matrisinin boyutu (büyük Latin harfleri genellikle bunları belirtmek için kullanılır) A m×n olarak gösterilecektir. Eğer m=n ise bu matris karedir ve m=n onun mertebesidir. Buna göre, A matrisinin herhangi bir elemanı satır ve sütun numaralarıyla gösterilebilir: a xy; x - satır numarası, değişiklikler, y - sütun numarası, değişiklikler.
B kararın ana noktası değildir. Prensip olarak, tüm işlemler doğrudan denklemlerle gerçekleştirilebilir, ancak gösterim çok daha hantal olacak ve kafanın karışması çok daha kolay olacaktır.
Belirleyici
Matrisin de bir determinantı vardır. Bu çok önemli bir özelliktir. Artık anlamını bulmaya gerek yok; basitçe nasıl hesaplandığını gösterebilir ve ardından matrisin hangi özelliklerini belirlediğini söyleyebilirsiniz. Determinantı bulmanın en kolay yolu köşegenlerdir. Matriste hayali köşegenler çizilir; her birinde bulunan elemanlar çarpılır ve daha sonra ortaya çıkan ürünler eklenir: sağa eğimli köşegenler - artı işaretli, sola eğimli - eksi işaretli.
Determinantın yalnızca kare matris için hesaplanabileceğini belirtmek son derece önemlidir. Dikdörtgen bir matris için aşağıdakileri yapabilirsiniz: satır sayısı ve sütun sayısı arasından en küçüğünü seçin (k olsun) ve ardından matriste k sütunu ve k satırı rastgele işaretleyin. Seçilen sütun ve satırların kesişimindeki öğeler yeni bir kare matris oluşturacaktır. Böyle bir matrisin determinantı sıfırdan farklı bir sayı ise buna orijinal dikdörtgen matrisin temel minörü denir.
Gauss yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözmeye başlamadan önce determinantı hesaplamanın zararı olmaz. Eğer sıfır çıkarsa, o zaman matrisin ya sonsuz sayıda çözümü olduğunu ya da hiç çözümü olmadığını hemen söyleyebiliriz. Böyle üzücü bir durumda daha ileri gitmeniz ve matrisin rütbesini öğrenmeniz gerekir.
Sistem sınıflandırması
Matrisin rütbesi diye bir şey vardır. Bu, sıfır olmayan determinantının maksimum sırasıdır (temel küçükleri hatırlarsak, bir matrisin rütbesinin temel küçüklerin sırası olduğunu söyleyebiliriz).
Dereceli duruma bağlı olarak SLAE şu şekilde ayrılabilir:
- Eklem yeri. sen Ortak sistemlerde, ana matrisin sıralaması (yalnızca katsayılardan oluşur), genişletilmiş matrisin sıralamasıyla (bir serbest terimler sütunu ile) çakışır. Bu tür sistemlerin bir çözümü vardır, ancak mutlaka bir çözümü yoktur, bu nedenle ortak sistemler ayrıca aşağıdakilere ayrılır:
- - kesin- tek bir çözüme sahip olmak. Bazı sistemlerde matrisin rütbesi ve bilinmeyenlerin sayısı (veya aynı şey olan sütun sayısı) eşittir;
- - tanımsız - sonsuz sayıda çözümle. Bu tür sistemlerde matrislerin sıralaması bilinmeyenlerin sayısından azdır.
- Uyumsuz. sen Bu tür sistemlerde ana ve genişletilmiş matrislerin sıraları çakışmaz. Uyumsuz sistemlerin çözümü yoktur.
Gauss yöntemi iyidir çünkü çözüm sırasında ya sistemin tutarsızlığının kesin bir kanıtını (büyük matrislerin determinantlarını hesaplamadan) ya da sonsuz sayıda çözümü olan bir sistem için genel formda bir çözüm elde etmeyi sağlar.
Temel dönüşümler
Doğrudan sistemi çözmeye geçmeden önce, onu daha az hantal ve hesaplamalar için daha uygun hale getirebilirsiniz. Bu, temel dönüşümler yoluyla gerçekleştirilir; böylece bunların uygulanması nihai cevabı hiçbir şekilde değiştirmez. Verilen temel dönüşümlerden bazılarının yalnızca kaynağı SLAE olan matrisler için geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. İşte bu dönüşümlerin bir listesi:
- Çizgilerin yeniden düzenlenmesi. Açıkçası sistem kaydındaki denklemlerin sırasını değiştirmeniz çözümü hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Sonuç olarak, bu sistemin matrisindeki satırlar da değiştirilebilir, tabii ki serbest terimler sütununu da unutmadan.
- Bir dizenin tüm elemanlarının belirli bir katsayı ile çarpılması. Çok faydalı! Bir matristeki büyük sayıları azaltmak veya sıfırları kaldırmak için kullanılabilir. Çoğu karar, her zamanki gibi değişmeyecek, ancak daha sonraki operasyonlar daha uygun hale gelecektir. Önemli olan katsayının sıfıra eşit olmamasıdır.
- Orantılı çarpanlara sahip satırların kaldırılması. Bu kısmen önceki paragraftan kaynaklanmaktadır. Bir matristeki iki veya daha fazla satırın orantısal katsayıları varsa, satırlardan biri orantı katsayısıyla çarpıldığında/bölüldüğünde, iki (veya yine daha fazla) tamamen aynı satır elde edilir ve fazla olanlar kaldırılabilir. sadece bir tane.
- Boş bir satırın kaldırılması. Dönüşüm sırasında, serbest terim dahil tüm elemanların sıfır olduğu bir yerde bir satır elde edilirse, böyle bir satıra sıfır denilebilir ve matrisin dışına atılabilir.
- Bir satırın elemanlarına diğerinin elemanlarının (ilgili sütunlarda) eklenmesi, belirli bir katsayı ile çarpılması. Tüm dönüşümlerin en bariz ve en önemlisi. Üzerinde daha ayrıntılı olarak durmaya değer.
Bir faktörle çarpılmış bir dize ekleme
Anlaşılma kolaylığı açısından bu süreci adım adım özetlemeye değer. Matristen iki satır alınır:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b2
Diyelim ki birinciyi ikinciye "-2" katsayısıyla çarpmanız gerekiyor.
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Daha sonra matristeki ikinci satır yenisiyle değiştirilir ve birincisi değişmeden kalır.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Çarpma katsayısının, iki satırın eklenmesi sonucunda yeni satırın elemanlarından birinin sıfıra eşit olacağı şekilde seçilebileceğine dikkat edilmelidir. Dolayısıyla bilinmeyenin az olacağı bir sistemde denklem elde etmek mümkündür. Ve eğer böyle iki denklem elde ederseniz, işlem tekrar yapılabilir ve iki daha az bilinmeyen içeren bir denklem elde edilebilir. Ve orijinalin altındaki tüm satırlar için bir katsayıyı her sıfıra çevirdiğinizde, merdivenler gibi matrisin en altına inebilir ve bir bilinmeyenli bir denklem elde edebilirsiniz. Buna Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözmek denir.
Genel olarak
Bir sistem olsun. M denklemi ve n bilinmeyen kökü var. Bunu aşağıdaki gibi yazabilirsiniz:
Ana matris sistem katsayılarından derlenmiştir. Genişletilmiş matrise serbest terimlerden oluşan bir sütun eklenir ve kolaylık olması açısından bir çizgiyle ayrılır.
- matrisin ilk satırı k = (-a 21 /a 11) katsayısı ile çarpılır;
- matrisin değiştirilen ilk satırı ile ikinci satırı eklenir;
- ikinci satır yerine önceki paragraftaki eklemenin sonucu matrise eklenir;
- şimdi yeni ikinci satırdaki ilk katsayı a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0'dır.
Şimdi aynı dönüşüm dizisi gerçekleştirilir, yalnızca birinci ve üçüncü sıralar söz konusudur. Buna göre algoritmanın her adımında a (21) elemanının yerini 31 alır. Sonra her şey 41, ... m1 için tekrarlanır. Sonuç, satırlardaki ilk elemanın sıfır olduğu bir matristir. Artık birinci satırı unutup ikinci satırdan başlayarak aynı algoritmayı uygulamanız gerekiyor:
- katsayısı k = (-a 32 /a 22);
- değiştirilen ikinci satır “geçerli” satıra eklenir;
- toplamanın sonucu üçüncü, dördüncü vb. satırlara aktarılır, birinci ve ikinci satırlar değişmeden kalır;
- matrisin satırlarında ilk iki öğe zaten sıfıra eşittir.
Algoritma k = (-a m,m-1 /a mm) katsayısı görünene kadar tekrarlanmalıdır. Bu, algoritmanın en son çalıştırıldığı zamanın yalnızca alt denklem için olduğu anlamına gelir. Artık matris bir üçgene benziyor veya basamaklı bir şekle sahip. Sonuç olarak a mn × x n = b m eşitliği vardır. Katsayı ve serbest terim bilinmektedir ve kök bunlarla ifade edilir: x n = b m /a mn. Ortaya çıkan kök, x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1'i bulmak için üst satıra yerleştirilir. Ve benzetme yoluyla böyle devam eder: Sonraki her satırda yeni bir kök vardır ve sistemin "tepesine" ulaştığınızda birçok çözüm bulabilirsiniz. Tek olacak.
Çözüm olmadığında
Matris satırlarından birinde serbest terim dışındaki tüm elemanlar sıfıra eşitse bu satıra karşılık gelen denklem 0 = b gibi görünür. Çözümü yok. Ve böyle bir denklem sisteme dahil edildiğinden, tüm sistemin çözüm kümesi boştur, yani dejeneredir.
Sonsuz sayıda çözüm olduğunda
Verilen üçgen matriste denklemin bir katsayı elemanı ve bir serbest terimi olan satırların bulunmaması mümkündür. Yalnızca yeniden yazıldığında iki veya daha fazla değişkenli bir denklem gibi görünen çizgiler vardır. Bu, sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu anlamına gelir. Bu durumda cevap genel bir çözüm şeklinde verilebilir. Bu nasıl yapılır?
Matristeki tüm değişkenler temel ve serbest olarak ayrılmıştır. Temel olanlar, adım matrisindeki satırların "kenarında" duranlardır. Gerisi ücretsizdir. Genel çözümde temel değişkenler serbest değişkenler üzerinden yazılır.
Kolaylık sağlamak için, matris önce bir denklem sistemine yeniden yazılır. Daha sonra, tam olarak tek bir temel değişkenin kaldığı sonuncusunda, o bir tarafta kalır ve geri kalan her şey diğer tarafa aktarılır. Bu, bir temel değişkene sahip her denklem için yapılır. Daha sonra geri kalan denklemlerde mümkün olduğunca temel değişken yerine kendisi için elde edilen ifade değiştirilir. Sonuç yine tek bir temel değişken içeren bir ifade ise, buradan tekrar ifade edilir ve her temel değişken serbest değişkenli bir ifade olarak yazılana kadar bu şekilde devam eder. Bu SLAE'nin genel çözümüdür.
Ayrıca sistemin temel çözümünü de bulabilirsiniz - serbest değişkenlere herhangi bir değer verin ve ardından bu özel durum için temel değişkenlerin değerlerini hesaplayın. Verilebilecek sonsuz sayıda özel çözüm vardır.
Spesifik örneklerle çözüm
Burada bir denklem sistemi var.
Kolaylık sağlamak için matrisini hemen oluşturmak daha iyidir
Gauss yöntemiyle çözüldüğünde ilk satıra karşılık gelen denklemin dönüşümler sonunda değişmeden kalacağı bilinmektedir. Bu nedenle, matrisin sol üst elemanının en küçük olması daha karlı olacaktır - o zaman işlemlerden sonra kalan satırların ilk elemanları sıfıra dönecektir. Bu, derlenmiş matriste ikinci satırı birincinin yerine koymanın avantajlı olacağı anlamına gelir.
ikinci satır: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
üçüncü satır: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Şimdi kafanızın karışmaması için dönüşümlerin ara sonuçlarını içeren bir matris yazmanız gerekiyor.
Açıkçası, böyle bir matris belirli işlemler kullanılarak algılama için daha uygun hale getirilebilir. Örneğin, her bir öğeyi “-1” ile çarparak ikinci satırdaki tüm “eksileri” kaldırabilirsiniz.
Ayrıca üçüncü satırdaki tüm elemanların üçün katı olduğunu da belirtmekte fayda var. Daha sonra, her bir öğeyi "-1/3" (eksi - aynı zamanda negatif değerleri kaldırmak için) ile çarparak dizeyi bu sayıya kadar kısaltabilirsiniz.
Çok daha güzel görünüyor. Artık birinci satırı bırakıp ikinci ve üçüncü satırlarla çalışmamız gerekiyor. Görev, ikinci satırı üçüncü satıra eklemek, öyle bir katsayıyla çarpmaktır ki, a 32 elemanı sıfıra eşit olur.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (bazı dönüşümler sırasında yanıtın bir tam sayı olmadığı ortaya çıkarsa, hesaplamaların doğruluğunun korunması önerilir. sıradan kesirler biçiminde "olduğu gibi" ve ancak o zaman cevaplar alındığında, yuvarlanıp başka bir kayıt biçimine dönüştürülüp dönüştürülmeyeceğine karar verilir)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matris yeni değerlerle yeniden yazılır.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Gördüğünüz gibi ortaya çıkan matris zaten basamaklı bir forma sahip. Bu nedenle sistemin Gauss yöntemi kullanılarak daha fazla dönüştürülmesine gerek yoktur. Burada yapabileceğiniz şey üçüncü satırdaki "-1/7" genel katsayısını kaldırmaktır.
Şimdi her şey çok güzel. Geriye kalan tek şey matrisi tekrar denklem sistemi şeklinde yazıp kökleri hesaplamak
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Artık köklerin bulunacağı algoritmaya Gauss yönteminde ters hareket adı verilmektedir. Denklem (3) z değerini içerir:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Ve ilk denklem x'i bulmamızı sağlar:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Böyle bir sistemi ortak, hatta kesin, yani benzersiz bir çözüme sahip olarak adlandırma hakkımız var. Cevap aşağıdaki biçimde yazılmıştır:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Belirsiz bir sisteme örnek
Belirli bir sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözmenin varyantı analiz edildi; şimdi sistemin belirsiz olup olmadığı, yani bunun için sonsuz sayıda çözümün bulunabileceği durumu dikkate almak gerekir.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Sistemin görünümü zaten endişe vericidir, çünkü bilinmeyenlerin sayısı n = 5'tir ve sistem matrisinin sıralaması zaten bu sayıdan tam olarak daha azdır, çünkü satır sayısı m = 4'tür, yani, determinant karenin en yüksek derecesi 4'tür. Bu, sonsuz sayıda çözüm olduğu ve genel görünümüne bakmanız gerektiği anlamına gelir. Doğrusal denklemler için Gauss yöntemi bunu yapmanıza olanak sağlar.
İlk olarak, her zamanki gibi genişletilmiş bir matris derlenir.
İkinci satır: k katsayısı = (-a 21 /a 11) = -3. Üçüncü satırda ise ilk element dönüşümlerden önce olduğu için hiçbir şeye dokunmanıza gerek yok, olduğu gibi bırakmanız gerekiyor. Dördüncü satır: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
İlk satırın elemanlarını sırasıyla katsayılarıyla çarparak ve gerekli satırlara ekleyerek aşağıdaki formda bir matris elde ederiz:
Gördüğünüz gibi ikinci, üçüncü ve dördüncü sıralar birbiriyle orantılı unsurlardan oluşuyor. İkinci ve dördüncü genellikle aynıdır, yani bunlardan biri hemen kaldırılabilir ve geri kalan "-1" katsayısı ile çarpılarak 3 numaralı satırı elde edilebilir. Ve yine iki özdeş satırdan bir tane bırakın.
Sonuç bunun gibi bir matristir. Sistem henüz yazılmamış olsa da, burada temel değişkenlerin (a 11 = 1 ve a 22 = 1 katsayılarında duranlar ve serbest olanlar) diğerlerinin belirlenmesi gerekir.
İkinci denklemde yalnızca bir temel değişken vardır - x 2. Bu, serbest olan x 3 , x 4 , x 5 değişkenleri aracılığıyla oradan yazılarak ifade edilebileceği anlamına gelir.
Ortaya çıkan ifadeyi ilk denklemde yerine koyarız.
Sonuç, tek temel değişkenin x 1 olduğu bir denklemdir. X 2 ile yaptığımızın aynısını onunla da yapalım.
İki tane olan tüm temel değişkenler üç serbest değişkenle ifade edilir; artık cevabı genel biçimde yazabiliriz.
Ayrıca sistemin belirli çözümlerinden birini de belirleyebilirsiniz. Bu gibi durumlarda serbest değişkenlerin değeri olarak genellikle sıfırlar seçilir. O zaman cevap şu olacaktır:
16, 23, 0, 0, 0.
İşbirlikçi olmayan bir sistem örneği
Uyumsuz denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözmek en hızlı yöntemdir. Aşamalardan birinde çözümü olmayan bir denklem elde edilir edilmez hemen sona erer. Yani oldukça uzun ve meşakkatli olan köklerin hesaplanması aşaması ortadan kalkmaktadır. Aşağıdaki sistem dikkate alınır:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Her zamanki gibi matris derlendi:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Ve kademeli bir forma indirgenir:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
İlk dönüşümden sonra üçüncü satır şu şekilde bir denklem içerir:
bir çözüm olmadan. Sonuç olarak sistem tutarsızdır ve cevap boş küme olacaktır.
Yöntemin avantajları ve dezavantajları
SLAE'leri kağıt üzerinde kalemle çözmek için hangi yöntemi seçerseniz, bu makalede tartışılan yöntem en çekici görünüyor. Temel dönüşümlerde kafanızın karışması, bir determinantı veya bazı zor ters matrisleri manuel olarak aramanız gerektiğinden çok daha zordur. Bununla birlikte, bu tür verilerle, örneğin elektronik tablolarla çalışmak için programlar kullanıyorsanız, bu tür programların, matrislerin ana parametrelerini (determinant, küçükler, ters vb.) hesaplamak için zaten algoritmalar içerdiği ortaya çıkar. Ve makinenin bu değerleri kendisinin hesaplayacağından ve hata yapmayacağından eminseniz, matris yöntemini veya Cramer formüllerini kullanmanız daha tavsiye edilir, çünkü bunların kullanımı determinantların ve ters matrislerin hesaplanmasıyla başlar ve biter.
Başvuru
Gauss çözümü bir algoritma olduğundan ve matris aslında iki boyutlu bir dizi olduğundan programlamada kullanılabilir. Ancak makale kendisini "aptallar için" bir rehber olarak konumlandırdığı için, yöntemi yerleştirmenin en kolay yerinin elektronik tablolar, örneğin Excel olduğu söylenmelidir. Yine matris biçiminde bir tabloya girilen herhangi bir SLAE, Excel tarafından iki boyutlu bir dizi olarak değerlendirilecektir. Ve onlarla işlemler için pek çok güzel komut vardır: toplama (yalnızca aynı boyuttaki matrisleri ekleyebilirsiniz!), bir sayıyla çarpma, matrisleri çarpma (yine belirli kısıtlamalarla), ters ve devrik matrisleri bulma ve en önemlisi , determinantın hesaplanması. Zaman alıcı bu görevin yerini tek bir komut alırsa, matrisin sıralamasını çok daha hızlı belirlemek ve dolayısıyla uyumluluğunu veya uyumsuzluğunu tespit etmek mümkün olur.
16. ve 18. yüzyılların başlarından bu yana matematikçiler yoğun bir şekilde fonksiyonları incelemeye başladılar ve bu sayede hayatımızda pek çok şey değişti. Bu bilgi olmadan bilgisayar teknolojisi var olamazdı. Karmaşık problemleri, doğrusal denklemleri ve fonksiyonları çözmek için çeşitli kavramlar, teoremler ve çözüm teknikleri oluşturulmuştur. Doğrusal denklemleri ve sistemlerini çözmek için kullanılan evrensel ve rasyonel yöntem ve tekniklerden biri de Gauss yöntemiydi. Matrisler, sıralamaları, determinantları - her şey karmaşık işlemler kullanılmadan hesaplanabilir.
SLAU nedir?
Matematikte, doğrusal cebirsel denklemlerden oluşan bir sistem olan SLAE kavramı vardır. O nasıl biri? Bu, genellikle x, y, z veya x 1, x 2 ... x n veya diğer sembollerle gösterilen, gerekli n bilinmeyen niceliğe sahip m denklem kümesidir. Belirli bir sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözmek, tüm bilinmeyen bilinmeyenleri bulmak anlamına gelir. Eğer bir sistem aynı sayıda bilinmeyene ve denkleme sahipse buna n'inci dereceden sistem denir.
SLAE'leri çözmek için en popüler yöntemler
Ortaöğretimin eğitim kurumlarında bu tür sistemleri çözmek için çeşitli yöntemler incelenmektedir. Çoğu zaman bunlar iki bilinmeyenden oluşan basit denklemlerdir, dolayısıyla bunlara cevap bulmak için mevcut herhangi bir yöntem fazla zaman almayacaktır. Bu, bir denklemden bir başkasının türetildiği ve orijinaline ikame edildiği bir ikame yöntemine benzeyebilir. Veya terim terim çıkarma ve toplama yöntemi. Ancak Gauss yöntemi en kolay ve en evrensel olarak kabul edilir. Herhangi bir sayıda bilinmeyen içeren denklemlerin çözülmesini mümkün kılar. Bu özel teknik neden rasyonel kabul ediliyor? Çok basit. Matris yönteminin iyi yanı, gereksiz sembollerin bilinmeyenler olarak birkaç kez yeniden yazılmasını gerektirmemesidir; katsayılar üzerinde aritmetik işlemler yapmanız yeterlidir - ve güvenilir bir sonuç elde edersiniz.
SLAE'ler pratikte nerede kullanılır?
SLAE'lerin çözümü, fonksiyonların grafiklerindeki doğruların kesişme noktalarıdır. Yüksek teknolojili bilgisayar çağımızda, oyunların ve diğer programların geliştirilmesiyle yakından ilgilenen kişilerin bu tür sistemleri nasıl çözeceklerini, neyi temsil edeceklerini ve ortaya çıkan sonucun doğruluğunu nasıl kontrol edeceklerini bilmeleri gerekiyor. Çoğu zaman programcılar, bir doğrusal denklem sistemi de içeren özel doğrusal cebir hesap makinesi programları geliştirirler. Gauss yöntemi mevcut tüm çözümleri hesaplamanıza olanak tanır. Diğer basitleştirilmiş formüller ve teknikler de kullanılmaktadır.
SLAU uyumluluk kriteri
Böyle bir sistem ancak uyumlu olması durumunda çözülebilir. Açıklık sağlamak için SLAE'yi Ax=b formunda temsil edelim. Rang(A), rang(A,b)'ye eşitse bir çözümü vardır. Bu durumda (A,b), A matrisinden serbest terimlerle yeniden yazılarak elde edilebilecek genişletilmiş formlu bir matristir. Gauss yöntemini kullanarak doğrusal denklemleri çözmenin oldukça kolay olduğu ortaya çıktı.
Belki bazı semboller tam olarak net değildir, bu yüzden her şeyi bir örnekle ele almak gerekir. Diyelim ki şöyle bir sistem var: x+y=1; 2x-3y=6. Sadece 2 bilinmeyenin olduğu iki denklemden oluşur. Sistem ancak matrisinin rütbesi genişletilmiş matrisin rütbesine eşitse bir çözüme sahip olacaktır. Rütbe nedir? Bu, sistemin bağımsız hatlarının sayısıdır. Bizim durumumuzda matrisin rütbesi 2'dir. A matrisi bilinmeyenlerin yakınında bulunan katsayılardan oluşacaktır ve “=” işaretinin arkasında yer alan katsayılar da genişletilmiş matrise sığacaktır.
SLAE'ler neden matris biçiminde temsil edilebilir?
Kanıtlanmış Kronecker-Capelli teoremine göre uyumluluk kriterine dayanarak, bir doğrusal cebirsel denklem sistemi matris biçiminde temsil edilebilir. Gauss basamaklama yöntemini kullanarak matrisi çözebilir ve tüm sistem için tek bir güvenilir cevap alabilirsiniz. Sıradan bir matrisin sıralaması, genişletilmiş matrisinin sıralamasına eşitse ancak bilinmeyenlerin sayısından azsa, sistemin sonsuz sayıda cevabı vardır.
Matris dönüşümleri
Matrisleri çözmeye geçmeden önce, onların elemanları üzerinde hangi eylemlerin gerçekleştirilebileceğini bilmeniz gerekir. Birkaç temel dönüşüm vardır:
- Sistemi matris formunda yeniden yazıp çözerek serinin tüm elemanlarını aynı katsayı ile çarpabilirsiniz.
- Matrisin kanonik forma dönüştürülmesi için iki paralel satırın yerini değiştirebilirsiniz. Kanonik form, ana köşegen boyunca yer alan tüm matris elemanlarının bir, geri kalanların ise sıfır olduğunu ifade eder.
- Matrisin paralel satırlarının karşılık gelen elemanları birbirine eklenebilir.
Jordan-Gauss yöntemi
Gauss yöntemini kullanarak doğrusal homojen ve homojen olmayan denklem sistemlerini çözmenin özü, bilinmeyenleri kademeli olarak ortadan kaldırmaktır. Diyelim ki iki bilinmeyenin olduğu iki denklemli bir sistemimiz var. Bunları bulmak için sistemin uyumluluğunu kontrol etmeniz gerekir. Denklem Gauss yöntemiyle çok basit bir şekilde çözülür. Her bilinmeyenin yakınında bulunan katsayıları matris formunda yazmak gerekir. Sistemi çözmek için genişletilmiş matrisi yazmanız gerekecektir. Denklemlerden biri daha az sayıda bilinmeyen içeriyorsa eksik elemanın yerine “0” konulmalıdır. Bilinen tüm dönüştürme yöntemleri matrise uygulanır: çarpma, bir sayıya bölme, serinin karşılık gelen elemanlarını birbirine ekleme ve diğerleri. Her satırda bir değişkenin "1" değerinde bırakılması gerektiği, geri kalanının sıfıra indirilmesi gerektiği ortaya çıktı. Daha kesin bir anlayış için Gauss yöntemini örneklerle ele almak gerekir.
2x2 sistemini çözmenin basit bir örneği
Başlangıç olarak, 2 bilinmeyenin olacağı basit bir cebirsel denklem sistemini ele alalım.
Bunu genişletilmiş bir matriste yeniden yazalım.
Bu doğrusal denklem sistemini çözmek için yalnızca iki işlem gereklidir. Ana köşegen boyunca birer tane olacak şekilde matrisi kanonik forma getirmemiz gerekiyor. Böylece matris formundan sisteme geri dönersek, 1x+0y=b1 ve 0x+1y=b2 denklemlerini elde ederiz; burada b1 ve b2, çözüm sürecinde ortaya çıkan yanıtlardır.
- Genişletilmiş bir matrisi çözerken ilk eylem şu olacaktır: ikinci denklemdeki bir bilinmeyenden kurtulmak için ilk satırın -7 ile çarpılması ve ikinci satıra karşılık gelen elemanların eklenmesi gerekir.
- Denklemlerin Gauss yöntemini kullanarak çözülmesi, matrisin kanonik forma indirgenmesini içerdiğinden, aynı işlemleri birinci denklem için de yapmak ve ikinci değişkeni çıkarmak gerekir. Bunu yapmak için ikinci satırı birinciden çıkarırız ve gerekli cevabı - SLAE'nin çözümünü - alırız. Veya şekilde görüldüğü gibi ikinci satırı -1 katıyla çarpıp ikinci satırın elemanlarını birinci satıra ekliyoruz. Aynı şey.
Görüldüğü üzere sistemimiz Jordan-Gauss metodu ile çözülmüştür. İstenilen biçimde yeniden yazıyoruz: x=-5, y=7.
3x3 SLAE çözümü örneği
Daha karmaşık bir doğrusal denklem sistemimiz olduğunu varsayalım. Gauss yöntemi, en kafa karıştırıcı görünen sistemin bile cevabını hesaplamayı mümkün kılar. Bu nedenle hesaplama metodolojisini daha derinlemesine incelemek için üç bilinmeyenli daha karmaşık bir örneğe geçebilirsiniz.
Önceki örnekte olduğu gibi sistemi genişletilmiş matris formunda yeniden yazıp kanonik formuna getirmeye başlıyoruz.
Bu sistemi çözmek için önceki örnekte olduğundan çok daha fazla işlem yapmanız gerekecektir.
- Öncelikle ilk sütunu bir birim eleman ve geri kalanını sıfır yapmanız gerekir. Bunu yapmak için ilk denklemi -1 ile çarpın ve ikinci denklemi buna ekleyin. İlk satırı orijinal haliyle, ikincisini değiştirilmiş biçimde yeniden yazdığımızı hatırlamak önemlidir.
- Daha sonra, aynı ilk bilinmeyeni üçüncü denklemden çıkarıyoruz. Bunu yapmak için ilk satırın elemanlarını -2 ile çarpın ve üçüncü satıra ekleyin. Şimdi birinci ve ikinci satırlar orijinal hallerinde ve üçüncü satırlarda değişikliklerle yeniden yazılıyor. Sonuçtan da görebileceğiniz gibi matrisin ana köşegeninin başlangıcındaki birinciyi ve kalan sıfırları elde ettik. Birkaç adım daha ve Gauss yöntemine göre denklem sistemi güvenilir bir şekilde çözülecektir.
- Artık satırların diğer öğeleri üzerinde işlem yapmanız gerekiyor. Üçüncü ve dördüncü eylemler tek bir eylemde birleştirilebilir. Köşegendeki eksilerden kurtulmak için ikinci ve üçüncü satırları -1'e bölmemiz gerekiyor. Zaten üçüncü satırı gerekli forma getirdik.
- Daha sonra ikinci satırı kanonik forma getiriyoruz. Bunun için üçüncü satırın elemanlarını -3 ile çarpıp matrisin ikinci satırına ekliyoruz. Sonuçtan ikinci satırın da ihtiyacımız olan forma indirgendiği açıktır. Geriye birkaç işlem daha yapmak ve bilinmeyenlerin katsayılarını ilk satırdan çıkarmak kalıyor.
- Bir satırın ikinci elemanından 0 elde etmek için üçüncü satırı -3 ile çarpıp ilk satıra eklemeniz gerekir.
- Bir sonraki belirleyici adım, ikinci sıranın gerekli elemanlarını ilk sıraya eklemek olacaktır. Bu şekilde matrisin kanonik formunu ve buna bağlı olarak cevabı elde ederiz.
Gördüğünüz gibi Gauss yöntemini kullanarak denklemleri çözmek oldukça basittir.
4x4 denklem sistemini çözme örneği
Bazı daha karmaşık denklem sistemleri, bilgisayar programları kullanılarak Gauss yöntemi kullanılarak çözülebilir. Bilinmeyenler için katsayıların mevcut boş hücrelere girilmesi gerekir ve programın kendisi, her eylemi ayrıntılı olarak açıklayarak gerekli sonucu adım adım hesaplayacaktır.
Böyle bir örneği çözmek için adım adım talimatlar aşağıda açıklanmaktadır.
İlk adımda boş hücrelere serbest katsayılar ve bilinmeyenlere ait sayılar girilir. Böylece manuel olarak yazdığımız genişletilmiş matrisin aynısını elde ederiz.
Ve genişletilmiş matrisi kanonik formuna getirmek için gerekli tüm aritmetik işlemler gerçekleştirilir. Bir denklem sisteminin cevabının her zaman tam sayılar olmadığını anlamak gerekir. Bazen çözüm kesirli sayılardan olabilir.
Çözümün doğruluğunun kontrol edilmesi
Jordan-Gauss yöntemi sonucun doğruluğunu kontrol etmeyi sağlar. Katsayıların doğru hesaplanıp hesaplanmadığını bulmak için sonucu orijinal denklem sistemine koymanız yeterlidir. Denklemin sol tarafı eşittir işaretinin arkasındaki sağ tarafla eşleşmelidir. Cevaplar eşleşmiyorsa, sistemi yeniden hesaplamanız veya sizin bildiğiniz SLAE'leri çözmek için ikame veya terim bazında çıkarma ve toplama gibi başka bir yöntem uygulamaya çalışmanız gerekir. Sonuçta matematik çok sayıda farklı çözüm yöntemine sahip bir bilimdir. Ancak unutmayın: Hangi çözüm yöntemini kullanırsanız kullanın sonuç her zaman aynı olmalıdır.
Gauss yöntemi: SLAE'leri çözerken en yaygın hatalar
Doğrusal denklem sistemlerini çözerken, çoğu zaman katsayıların matris formuna yanlış aktarılması gibi hatalar meydana gelir. Denklemlerden birinde bazı bilinmeyenlerin eksik olduğu sistemler vardır; bu durumda, verileri genişletilmiş bir matrise aktarırken bunlar kaybolabilir. Sonuç olarak bu sistemi çözerken sonuç gerçek sonuçla örtüşmeyebilir.
Bir diğer büyük hata da nihai sonucun yanlış yazılması olabilir. İlk katsayının sistemden ilk bilinmeyene, ikincisinin ikinciye vb. karşılık geleceğini açıkça anlamak gerekir.
Gauss yöntemi, doğrusal denklemlerin çözümünü ayrıntılı olarak açıklar. Bu sayede gerekli işlemleri gerçekleştirmek ve doğru sonucu bulmak kolaydır. Ayrıca bu, her türlü karmaşıklıktaki denklemlere güvenilir bir yanıt bulmak için evrensel bir araçtır. Belki de SLAE'leri çözerken bu kadar sık kullanılmasının nedeni budur.