Konu 2. LİNEER CEBİR DENKLEM SİSTEMLERİ.
Temel kavramlar.
Tanım 1. Sistem M ile doğrusal denklemler N bilinmeyenler formdaki bir sistemdir:
nerede ve sayılar.
Tanım 2. (I) sisteminin çözümü, bu sistemin her denkleminin bir özdeşliğe dönüştüğü bir bilinmeyenler kümesidir.
Tanım 3. Sistem (I) denir eklem yeri en az bir çözümü varsa ve ortak olmayan, eğer hiçbir çözümü yoksa. Eklem sistemi denir kesin benzersiz bir çözümü varsa ve belirsiz aksi takdirde.
Tanım 4. Formun denklemi
isminde sıfır ve denklem şu şekildedir
isminde uyumsuz. Açıkçası, uyumsuz bir denklem içeren bir denklem sistemi tutarsızdır.
Tanım 5. İki doğrusal denklem sistemi denir eş değer, eğer bir sistemin her çözümü bir başka sistemin çözümü olarak hizmet ediyorsa ve bunun tersine, ikinci sistemin her çözümü birincinin çözümü ise.
Bir doğrusal denklem sisteminin matris gösterimi.
Sistem (I)'i ele alalım (bkz. §1).
Şunu belirtelim:
Bilinmeyenler için katsayı matrisi
Matris - serbest terimler sütunu
Matris – bilinmeyenler sütunu
.
Tanım 1. Matris denir sistemin ana matrisi(I) ve matris, sistemin (I) genişletilmiş matrisidir.
Matrislerin eşitliği tanımı gereği, sistem (I) matris eşitliğine karşılık gelir:
.
Matrislerin çarpımının tanımı gereği bu eşitliğin sağ tarafı ( bkz. tanım 3 § 5 bölüm 1) çarpanlara ayrılabilir:
, yani
Eşitlik (2) isminde sistemin matris gösterimi (I).
Cramer yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme.
Sisteme izin ver (I) (bkz. §1) m=n, yani denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısına eşittir ve sistemin ana matrisi tekil değildir, yani. . O halde §1'deki sistem (I) benzersiz bir çözüme sahiptir
nerede Δ = det A ana denir sistemin belirleyicisi(ben), Δ BenΔ determinantı değiştirilerek elde edilir Ben sütununu sistemin serbest üyelerinden oluşan bir sütuna (I) ekleyin.
Örnek: Sistemi Cramer yöntemini kullanarak çözün:
.
Formüllere göre (3)
.
Sistemin belirleyicilerini hesaplıyoruz:
,
,
.
Determinantı elde etmek için determinantın ilk sütununu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirdik; Determinanttaki 2. sütunu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek şunu elde ederiz; benzer şekilde, determinantın 3. sütununu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek elde ederiz. Sistem çözümü:
Ters matris kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme.
Sisteme izin ver (I) (bkz. §1) m=n ve sistemin ana matrisi tekil değildir. (I) sistemini matris formunda yazalım ( bkz. §2):
Çünkü matris A tekil değilse, ters bir matrise sahiptir ( bkz. Bölüm 1 Teorem 1 §6). Eşitliğin her iki tarafını da çarpalım (2) matrise, o zaman
Ters bir matrisin tanımı gereği. Eşitlikten (3) sahibiz
Ters matrisi kullanarak sistemi çözün
.
Haydi belirtelim
Örnekte (§ 3) determinantı hesapladık, dolayısıyla matris A ters matrise sahiptir. Daha sonra fiilen (4) , yani
. (5)
Matris'i bulalım ( bkz. §6 bölüm 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Gauss yöntemi.
Bir doğrusal denklem sistemi verilsin:
. (BEN)
(I) sisteminin tüm çözümlerinin bulunması veya sistemin tutarsız olduğunun doğrulanması gerekmektedir.
Tanım 1.Sistemin temel dönüşümünü adlandıralım(I) üç eylemden herhangi biri:
1) sıfır denkleminin üzerini çizin;
2) denklemin her iki tarafına başka bir denklemin karşılık gelen kısımlarının l sayısıyla çarpılmasıyla eklenmesi;
3) tüm denklemlerde aynı sayılara sahip bilinmeyenlerin aynı yerleri işgal etmesi için sistemin denklemlerindeki terimlerin değiştirilmesi, yani. örneğin 1. denklemde 2. ve 3. terimleri değiştirmişsek, sistemin tüm denklemlerinde aynı işlemin yapılması gerekir.
Gauss yöntemi, sistemin (I) temel dönüşümlerin yardımıyla, çözümü doğrudan bulunan veya çözülemezliği kurulan eşdeğer bir sisteme indirgenmesi gerçeğinden oluşur.
§2'de açıklandığı gibi, sistem (I), genişletilmiş matrisi tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir ve sistem (I)'in herhangi bir temel dönüşümü, genişletilmiş matrisin temel bir dönüşümüne karşılık gelir:
.
Dönüşüm 1) matristeki sıfır satırın silinmesine karşılık gelir, dönüşüm 2) matrisin karşılık gelen satırına l sayısıyla çarpılarak başka bir satır eklenmesine eşdeğerdir, dönüşüm 3) matristeki sütunların yeniden düzenlenmesine eşdeğerdir.
Aksine, matrisin her temel dönüşümünün (I) sisteminin temel bir dönüşümüne karşılık geldiğini görmek kolaydır. Yukarıdakilerden dolayı (I) sistemi ile işlemler yerine bu sistemin genişletilmiş matrisi ile çalışacağız.
Matrisin 1. sütunu aşağıdaki katsayılardan oluşur: x 1, 2. sütun - katsayılardan x 2 vesaire. Sütunların yeniden düzenlenmesi durumunda bu koşulun ihlal edildiği dikkate alınmalıdır. Örneğin, 1. ve 2. sütunları değiştirirsek, artık 1. sütun şu katsayıları içerecektir: x 2 ve 2. sütunda - katsayılar x 1.
(I) sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözeceğiz.
1. Varsa matristeki tüm sıfır satırların üzerini çizin (yani (I) sistemindeki tüm sıfır denklemlerinin üzerini çizin.
2. Matrisin satırları arasında sonuncusu dışındaki tüm elemanları sıfıra eşit olan bir satır olup olmadığını kontrol edelim (böyle bir satıra tutarsız diyelim). Açıkçası böyle bir doğru (I) sistemindeki tutarsız bir denkleme karşılık gelir, dolayısıyla (I) sisteminin çözümü yoktur ve süreç burada sona erer.
3. Matrisin tutarsız satırlar içermemesine izin verin (sistem (I) tutarsız denklemler içermez). Eğer 11 =0, daha sonra 1. satırda sıfır dışında bir öğe (sonuncusu hariç) buluruz ve sütunları, 1. satırda 1. sırada sıfır olmayacak şekilde yeniden düzenleriz. Şimdi bunu varsayacağız (yani (I) sisteminin denklemlerindeki karşılık gelen terimleri değiştireceğiz).
4. 1. satırı çarpın ve sonucu 2. satırla ekleyin, ardından 1. satırı çarpın ve sonucu 3. satırla ekleyin, vb. Açıkçası, bu süreç bilinmeyeni ortadan kaldırmaya eşdeğerdir x 1 1. hariç, sistem (I)'in tüm denklemlerinden. Yeni matriste elemanın altındaki 1. sütunda sıfırlar alıyoruz 11:
.
5. Matriste varsa tüm sıfır satırların üzerini çizelim ve tutarsız bir satır olup olmadığını kontrol edelim (varsa sistem tutarsızdır ve çözüm burada biter). Olacak mı diye kontrol edelim a 22 / =0, eğer evet ise, 2. satırda sıfır dışında bir öğe buluruz ve sütunları yeniden düzenleriz. Daha sonra 2. satırın elemanlarını şu şekilde çarpın: 
ve 3. satırın karşılık gelen elemanlarını ekleyin, ardından - 2. satırın elemanlarını ekleyin ve 4. satırın karşılık gelen elemanlarını ekleyin, vb., altında sıfırlar elde edene kadar 22/
.
Alınan aksiyonlar bilinmeyeni ortadan kaldırmaya eşdeğerdir x 2 1. ve 2. hariç, sistem (I)'in tüm denklemlerinden. Satır sayısı sonlu olduğundan, sonlu sayıda adımdan sonra ya sistemin tutarsız olduğunu anlarız ya da bir adım matrisi elde ederiz ( bkz. tanım 2 §7 bölüm 1) :
,
Matrise karşılık gelen denklem sistemini yazalım. Bu sistem (I) sistemine eşdeğerdir.
.
İfade ettiğimiz son denklemden; elde edene kadar önceki denklemi yerine koyun, bulun, vb.
Not 1. Böylece, (I) sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözerken aşağıdaki durumlardan birine ulaşırız.
1. Sistem (I) tutarsızdır.
2. Matristeki satır sayısı bilinmeyenlerin sayısına () eşitse Sistem (I)'in benzersiz bir çözümü vardır.
3. Matristeki satır sayısı bilinmeyenlerin sayısından () az ise Sistem (I)'in sonsuz sayıda çözümü vardır.
Dolayısıyla aşağıdaki teorem geçerlidir.
Teorem. Bir doğrusal denklem sistemi ya tutarsızdır, ya benzersiz bir çözümü vardır ya da sonsuz sayıda çözümü vardır.
Örnekler. Denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün veya tutarsızlığını kanıtlayın:
B) 
;
a) Verilen sistemi şu şekilde yeniden yazalım:
.
Hesaplamaları kolaylaştırmak için orijinal sistemin 1. ve 2. denklemlerini değiştirdik (kesirler yerine bu düzenlemeyi kullanarak sadece tam sayılarla çalışacağız).
Genişletilmiş bir matris oluşturalım:
.
Boş satır yok; uyumsuz çizgi yok; 1. bilinmeyeni sistemin 1. dışındaki tüm denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için, matrisin 1. satırının elemanlarını "-2" ile çarpın ve bunları 2. satırın karşılık gelen elemanlarıyla ekleyin; bu, 1. denklemi "-2" ile çarpıp 2. denklemle eklemeye eşdeğerdir. denklem. Daha sonra 1. satırın elemanlarını “-3” ile çarpıyoruz ve bunları üçüncü satırın karşılık gelen elemanlarıyla ekliyoruz, yani. verilen sistemin 2. denklemini “-3” ile çarpıp 3. denkleme ekleyin. Aldık
.
Matris bir denklem sistemine karşılık gelir). - (bkz. Bölüm 1, tanım 3§7).
Genel olarak denklemler, doğrusal cebirsel denklemler ve sistemleri ile bunları çözme yöntemleri matematikte hem teorik hem de uygulamalı olarak özel bir yere sahiptir.
Bunun nedeni fiziksel, ekonomik, teknik ve hatta pedagojik sorunların büyük çoğunluğunun çeşitli denklemler ve sistemleri kullanılarak tanımlanıp çözülebilmesidir. Son zamanlarda matematiksel modelleme, hemen hemen tüm konu alanlarındaki araştırmacılar, bilim adamları ve uygulayıcılar arasında özel bir popülerlik kazanmıştır; bu, çeşitli doğadaki nesneleri, özellikle de karmaşık olarak adlandırılan nesneleri incelemek için iyi bilinen ve kanıtlanmış diğer yöntemlere göre bariz avantajlarıyla açıklanmaktadır. sistemler. Bir matematiksel modelin farklı zamanlarda bilim adamları tarafından verilen çok çeşitli farklı tanımları vardır, ancak bizce en başarılı olanı aşağıdaki ifadedir. Matematiksel model, bir denklemle ifade edilen bir fikirdir. Bu nedenle denklemleri ve sistemlerini oluşturma ve çözme yeteneği, modern bir uzmanın ayrılmaz bir özelliğidir.
Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için en yaygın kullanılan yöntemler Cramer, Jordan-Gauss ve matris yöntemidir.
Matris çözüm yöntemi, ters matris kullanarak sıfırdan farklı bir determinantı olan doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bir yöntemdir.
A matrisinde bilinmeyen xi miktarlarının katsayılarını yazarsak, bilinmeyen miktarları X vektör sütununda ve serbest terimleri B vektör sütununda toplarsak, doğrusal cebirsel denklemler sistemi şu şekilde yazılabilir: aşağıdaki matris denklemi A · X = B olup, yalnızca A matrisinin determinantı sıfıra eşit olmadığında benzersiz bir çözüme sahiptir. Bu durumda denklem sisteminin çözümü aşağıdaki şekilde bulunabilir. X = A-1 · B, Nerede A-1 ters matristir.
Matris çözüm yöntemi aşağıdaki gibidir.
Bize bir doğrusal denklem sistemi verilsin: N bilinmiyor:
Matris formunda yeniden yazılabilir: balta = B, Nerede A- sistemin ana matrisi, B Ve X- sırasıyla sistemin serbest terimleri ve çözümlerinin sütunları:
Bu matris denklemini soldan şununla çarpalım: A-1 - matrisin tersi matris A: A -1 (balta) = A -1 B
Çünkü A -1 A = e, alıyoruz X= bir -1 B. Bu denklemin sağ tarafı orijinal sistemin çözüm sütununu verecektir. Bu yöntemin uygulanabilirliği için koşul (aynı zamanda denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu homojen olmayan bir doğrusal denklem sistemine yönelik bir çözümün genel varlığı) matrisin dejenere olmamasıdır. A. Bunun için gerekli ve yeterli koşul, matrisin determinantının sıfıra eşit olmamasıdır. A:det A≠ 0.
Homojen bir doğrusal denklem sistemi için, yani vektör B = 0 aslında tam tersi kural: sistem balta = 0'ın önemsiz olmayan (yani sıfır olmayan) bir çözümü yalnızca det olması durumunda vardır A= 0. Homojen ve homojen olmayan doğrusal denklem sistemlerinin çözümleri arasındaki böyle bir bağlantıya Fredholm alternatifi denir.
Örnek Homojen olmayan bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümleri.
Lineer cebirsel denklem sisteminin bilinmeyenlerinin katsayılarından oluşan matrisin determinantının sıfıra eşit olmadığından emin olalım.
Bir sonraki adım, bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan matrisin elemanlarının cebirsel tümleyenlerini hesaplamaktır. Ters matrisi bulmak için onlara ihtiyaç duyulacak.
Matris yöntemi SLAU çözümleri Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına karşılık geldiği denklem sistemlerinin çözümüne uygulanır. Yöntem en iyi düşük dereceli sistemleri çözmek için kullanılır. Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemi, matris çarpımının özelliklerinin uygulanmasına dayanır.
Bu yöntem başka bir deyişle ters matris yöntemi, Bu şekilde adlandırılmasının nedeni çözümün sıradan bir matris denklemine indirgenmesidir ve bunu çözmek için ters matrisi bulmanız gerekir.
Matris çözüm yöntemi Belirleyicisi sıfırdan büyük veya küçük olan bir SLAE aşağıdaki gibidir:
Diyelim ki bir SLE (doğrusal denklem sistemi) var. N bilinmiyor (rastgele bir alan üzerinden):
Bu, kolaylıkla matris formuna dönüştürülebileceği anlamına gelir:
AX=B, Nerede A- sistemin ana matrisi, B Ve X- sırasıyla sistemin serbest terimleri ve çözümlerinin sütunları:
Bu matris denklemini soldan şununla çarpalım: A−1— matrisi matrise ters çevir A: A −1 (AX)=A −1 B.
Çünkü A −1 A=E, Araç, X=A −1 B. Denklemin sağ tarafı başlangıç sisteminin çözüm sütununu verir. Matris yönteminin uygulanabilirliğinin koşulu matrisin dejenere olmamasıdır. A. Bunun için gerekli ve yeterli koşul, matrisin determinantının sıfıra eşit olmamasıdır. A:
detA≠0.
İçin homojen doğrusal denklem sistemi, yani eğer vektör B=0, bunun tersi kural geçerlidir: sistem AX=0önemsiz olmayan (yani sıfıra eşit olmayan) bir çözüm yalnızca şu durumlarda vardır: detayA=0. Homojen ve homojen olmayan doğrusal denklem sistemlerinin çözümleri arasındaki bu bağlantıya denir. Fredholm'un alternatifi.
Böylece SLAE'nin matris yöntemini kullanarak çözümü aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilir. 
. Veya SLAE'nin çözümü şu şekilde bulunur: ters matris A−1.
Bir kare matris için bilinmektedir A emir N Açık N ters bir matris var A−1 yalnızca determinantı sıfırdan farklıysa. Böylece sistem N doğrusal cebirsel denklemler N Bilinmeyenleri matris yöntemini kullanarak ancak sistemin ana matrisinin determinantı sıfıra eşit olmadığında çözeriz.
Böyle bir yöntemin uygulanabilirliği konusunda sınırlamalar olmasına ve büyük katsayı değerleri ve yüksek dereceli sistemler için hesaplamaların zorlukları olmasına rağmen, yöntem bilgisayarda kolaylıkla uygulanabilir.
Homojen olmayan bir SLAE'yi çözme örneği.
Öncelikle bilinmeyen SLAE'lerin katsayı matrisinin determinantının sıfıra eşit olup olmadığını kontrol edelim.
Şimdi bulduk birleşim matrisi ters matrisi belirlemek için onu transpoze edin ve formülde değiştirin.
Değişkenleri formülde değiştirin:
Şimdi ters matris ile serbest terimler sütununu çarparak bilinmeyenleri buluyoruz.
Bu yüzden, x=2; y=1; z=4.
SLAE'nin olağan formundan matris formuna geçerken sistem denklemlerindeki bilinmeyen değişkenlerin sırasına dikkat edin. Örneğin:
Bunu şu şekilde yazamazsınız:
Öncelikle sistemin her denklemindeki bilinmeyen değişkenleri sıralamak ve ancak bundan sonra matris gösterimine geçmek gerekir:
Ayrıca bilinmeyen değişkenlerin belirlenmesinde dikkatli olmanız gerekir. x 1, x 2 , …, x n başka harfler de olabilir. Örneğin:
matris formunda bunu şu şekilde yazarız:
Matris yöntemi, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakıştığı ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfıra eşit olmadığı doğrusal denklem sistemlerini çözmek için daha iyidir. Bir sistemde 3'ten fazla denklem olduğunda ters matrisi bulmak daha fazla hesaplama çabası gerektirecektir, bu nedenle bu durumda çözüm için Gauss yönteminin kullanılması tavsiye edilir.
İlk bölümde bazı teorik materyallere, yerine koyma yöntemine ve sistem denklemlerinin terim terim eklenmesi yöntemine baktık. Bu sayfa aracılığıyla siteye erişen herkesin ilk bölümü okumasını tavsiye ederim. Belki bazı ziyaretçiler materyali çok basit bulacaktır, ancak doğrusal denklem sistemlerini çözme sürecinde genel olarak matematik problemlerinin çözümüne ilişkin çok önemli yorumlar ve sonuçlar çıkardım.
Şimdi Cramer kuralını analiz etmenin yanı sıra ters matris (matris yöntemi) kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözeceğiz. Tüm materyaller basit, ayrıntılı ve net bir şekilde sunulmaktadır; neredeyse tüm okuyucular yukarıdaki yöntemleri kullanarak sistemlerin nasıl çözüleceğini öğrenebilecektir.
İlk olarak, iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi için Cramer kuralına daha yakından bakacağız. Ne için? – Sonuçta en basit sistem okul yöntemiyle, dönem dönem toplama yöntemiyle çözülebilir!
Gerçek şu ki, bazen de olsa böyle bir görev ortaya çıkıyor - iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemini Cramer formüllerini kullanarak çözmek. İkinci olarak, daha basit bir örnek, Cramer kuralını daha karmaşık bir durum için (üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem) nasıl kullanacağınızı anlamanıza yardımcı olacaktır.
Ek olarak, Cramer kuralı kullanılarak çözülmesi tavsiye edilen iki değişkenli doğrusal denklem sistemleri de vardır!
Denklem sistemini düşünün
İlk adımda determinantı hesaplıyoruz, buna denir sistemin ana belirleyicisi.
Gauss yöntemi.
Eğer ise sistemin tek bir çözümü vardır ve kökleri bulmak için iki determinantı daha hesaplamamız gerekir:
Ve
Uygulamada yukarıdaki niteleyiciler Latin harfleriyle de gösterilebilir.
Denklemin köklerini aşağıdaki formülleri kullanarak buluruz:
,
Örnek 7
Doğrusal denklem sistemini çözme 
Çözüm: Denklemin katsayılarının oldukça büyük olduğunu görüyoruz; sağ tarafta virgüllü ondalık kesirler var. Virgül matematikteki pratik görevlerde oldukça nadir bir konuktur; bu sistemi ekonometrik bir problemden aldım.
Böyle bir sistem nasıl çözülür? Bir değişkeni diğerine göre ifade etmeye çalışabilirsiniz, ancak bu durumda muhtemelen üzerinde çalışılması son derece elverişsiz olan berbat süslü kesirlerle karşılaşacaksınız ve çözümün tasarımı tek kelimeyle berbat görünecektir. İkinci denklemi 6 ile çarpıp terim terim çıkarabilirsiniz ama burada da aynı kesirler ortaya çıkacaktır.
Ne yapalım? Böyle durumlarda Cramer'in formülleri imdada yetişiyor.
;
;
Cevap: ,
Her iki kökün de sonsuz kuyruğu vardır ve yaklaşık olarak bulunurlar; bu, ekonometri problemleri için oldukça kabul edilebilir (ve hatta sıradandır).
Görev hazır formüller kullanılarak çözüldüğü için burada yorumlara gerek yok, ancak bir uyarı var. Bu yöntemi kullanırken, zorunlu Görev tasarımının bir parçası aşağıdaki parçadır: “Bu, sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına geliyor”. Aksi takdirde, incelemeyi yapan kişi Cramer teoremine saygısızlık ettiğiniz için sizi cezalandırabilir.
Bir hesap makinesinde rahatlıkla yapılabilen kontrol etmek gereksiz olmayacaktır: yaklaşık değerleri sistemin her denkleminin sol tarafına koyarız. Sonuç olarak, küçük bir hatayla sağ taraftaki sayıları almalısınız.
Örnek 8
Cevabı sıradan uygunsuz kesirlerle sunun. Bir kontrol yapın.
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (son tasarım örneği ve dersin sonundaki cevap).
Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem için Cramer kuralını ele alalım: 
Sistemin ana belirleyicisini buluyoruz: 
Eğer ise, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır veya tutarsızdır (çözümleri yoktur). Bu durumda Cramer kuralı yardımcı olmayacaktır; Gauss yöntemini kullanmanız gerekir.
Eğer ise, o zaman sistemin tek bir çözümü vardır ve kökleri bulmak için üç belirleyiciyi daha hesaplamamız gerekir: 
, 
, 
Ve son olarak cevap şu formüller kullanılarak hesaplanır: 
Gördüğünüz gibi, "üçe üç" durumu temelde "ikiye iki" durumundan farklı değildir; serbest terimler sütunu, ana belirleyicinin sütunları boyunca sırayla soldan sağa "yürür".
Örnek 9
Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözün. 
Çözüm: Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözelim. 
Bu, sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına gelir.
Cevap: 
.
Aslında burada da yorumlanacak özel bir şey yok, çünkü çözüm hazır formüllere dayanıyor. Ama birkaç yorum var.
Hesaplamalar sonucunda "kötü" indirgenemez kesirler elde edilir, örneğin: .
Aşağıdaki “tedavi” algoritmasını öneriyorum. Elinizde bir bilgisayar yoksa şunu yapın:
1) Hesaplamalarda hata olabilir. “Kötü” bir kesirle karşılaştığınızda hemen kontrol etmeniz gerekir. Koşul doğru şekilde yeniden yazıldı mı?. Koşul hatasız olarak yeniden yazılırsa, başka bir satırdaki (sütun) genişletmeyi kullanarak belirleyicileri yeniden hesaplamanız gerekir.
2) Kontrol sonucunda herhangi bir hata tespit edilmezse, büyük olasılıkla görev koşullarında bir yazım hatası olmuştur. Bu durumda, görevin sonuna kadar sakin ve DİKKATLİ bir şekilde çalışın ve ardından kontrol ettiğinizden emin olun ve karardan sonra temiz bir kağıda hazırlıyoruz. Elbette kesirli bir cevabı kontrol etmek hoş olmayan bir iştir, ancak bu, gibi saçmalıklara eksi vermeyi gerçekten seven öğretmen için silahsızlandırıcı bir argüman olacaktır. Kesirlerin nasıl ele alınacağı Örnek 8'in yanıtında ayrıntılı olarak anlatılmıştır.
Elinizde bir bilgisayarınız varsa, dersin başında ücretsiz olarak indirebileceğiniz otomatik bir kontrol programı kullanın. Bu arada, programı hemen kullanmak en karlısıdır (hatta çözüme başlamadan önce, hata yaptığınız ara adımı hemen göreceksiniz); Aynı hesap makinesi matris yöntemini kullanarak sistemin çözümünü otomatik olarak hesaplar.
İkinci açıklama. Zaman zaman denklemlerde bazı değişkenlerin eksik olduğu sistemler de olabiliyor, örneğin: 
Burada ilk denklemde değişken yok, ikincisinde ise değişken yok. Bu gibi durumlarda ana belirleyiciyi doğru ve DİKKATLİ bir şekilde yazmak çok önemlidir: 
– eksik değişkenlerin yerine sıfırlar konur.
Bu arada, gözle görülür derecede daha az hesaplama olduğundan, sıfırın bulunduğu satıra (sütun) göre determinantları sıfırlarla açmak mantıklıdır.
Örnek 10
Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözün. 
Bu, bağımsız bir çözüm örneğidir (son tasarımın bir örneği ve dersin sonundaki cevap).
4 bilinmeyenli 4 denklemden oluşan bir sistem için Cramer formülleri benzer prensiplere göre yazılır. Determinantların Özellikleri dersinde canlı bir örnek görebilirsiniz. Determinantın sırasını azaltmak - 4. dereceden beş determinant oldukça çözülebilir. Her ne kadar görev zaten şanslı bir öğrencinin göğsündeki bir profesörün ayakkabısını anımsatıyor olsa da.
Ters matris kullanarak sistemi çözme
Ters matris yöntemi aslında özel bir durumdur matris denklemi(Belirtilen dersin 3 numaralı örneğine bakınız).
Bu bölümü incelemek için determinantları genişletebilmeniz, bir matrisin tersini bulabilmeniz ve matris çarpımını yapabilmeniz gerekir. Açıklamalar ilerledikçe ilgili bağlantılar verilecektir.
Örnek 11
Sistemi matris yöntemini kullanarak çözün 
Çözüm: Sistemi matris formunda yazalım:
, Nerede 
Lütfen denklem ve matris sistemine bakın. Öğeleri matrislere yazma prensibimizi herkesin anladığını düşünüyorum. Tek yorum: Denklemlerde bazı değişkenler eksik olsaydı, matriste karşılık gelen yerlere sıfırların yerleştirilmesi gerekirdi.
Ters matrisi aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:
matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının aktarılmış matrisi nerede.
Öncelikle determinantı inceleyelim:
Burada determinant ilk satırda genişletilir.
Dikkat! Eğer ise, ters matris mevcut değildir ve sistemi matris yöntemini kullanarak çözmek imkansızdır. Bu durumda sistem bilinmeyenlerin ortadan kaldırılması yöntemi (Gauss yöntemi) ile çözülür.
Şimdi 9 minör hesaplayıp bunları minör matrisine yazmamız gerekiyor 
Referans: Doğrusal cebirde çift indislerin anlamını bilmek faydalıdır. İlk hane, elemanın bulunduğu satırın numarasıdır. İkinci rakam, elemanın bulunduğu sütunun numarasıdır: 
Yani, çift alt simge, öğenin birinci satırda, üçüncü sütunda olduğunu ve örneğin öğenin 3 satır, 2 sütunda olduğunu gösterir.
Bu, matrislerle gerçekleştirilen tüm olası işlemleri genelleştiren bir kavramdır. Matematiksel matris - element tablosu. Bir tablo hakkında Mçizgiler ve N sütunlar, bu matrisin boyuta sahip olduğu söyleniyor M Açık N.
Matrisin genel görünümü:
İçin matris çözümleri matrisin ne olduğunu anlamak ve ana parametrelerini bilmek gerekir. Matrisin ana unsurları:
- Öğelerden oluşan ana köşegen bir 11, bir 22…..bir dk.
- Elemanlardan oluşan yan köşegen a 1n , a 2n-1 .....a m1.
Ana matris türleri:
- Kare, satır sayısı = sütun sayısı olan bir matristir ( m=n).
- Sıfır - tüm matris elemanlarının = 0 olduğu yer.
- Transpoze matris - matris İÇİNDE orijinal matristen elde edilen A satırları sütunlarla değiştirerek.
- Birlik - ana köşegenin tüm elemanları = 1, diğerleri = 0.
- Ters matris, orijinal matrisle çarpıldığında birim matris elde eden bir matristir.
Matris, ana ve ikincil köşegenlere göre simetrik olabilir. Yani eğer 12 = 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n = a mn-1, o zaman matris ana köşegen etrafında simetriktir. Yalnızca kare matrisler simetrik olabilir.
Matrisleri çözme yöntemleri.
Neredeyse her şey matris çözme yöntemleri determinantını bulmaktan ibarettir N-th düzeni ve çoğu oldukça hantal. 2. ve 3. derecenin determinantını bulmak için daha rasyonel başka yöntemler de vardır.
2. dereceden determinantların bulunması.
Bir matrisin determinantını hesaplamak için A 2. dereceden, ikincil köşegenin elemanlarının çarpımını ana köşegenin elemanlarının ürününden çıkarmak gerekir:
3. dereceden determinantları bulma yöntemleri.
Aşağıda 3. dereceden determinantı bulma kuralları verilmiştir.
Basitleştirilmiş üçgen kuralı matris çözme yöntemleri, şu şekilde tasvir edilebilir:
Yani birinci determinantta yer alan ve birbirine düz doğrularla bağlanan elemanların çarpımı “+” işaretiyle alınır; Ayrıca 2. determinant için karşılık gelen ürünler “-” işaretiyle yani aşağıdaki şemaya göre alınır:
Şu tarihte: Sarrus kuralını kullanarak matrisleri çözme determinantın sağına ilk 2 sütun eklenir ve ana köşegen üzerindeki ve ona paralel köşegenlerdeki karşılık gelen elemanların çarpımları “+” işaretiyle alınır; ve ikincil köşegenin karşılık gelen elemanlarının ve ona paralel olan köşegenlerin çarpımları “-” işaretiyle:
Matrisleri çözerken determinantı bir satır veya sütunda ayrıştırma.
Determinant, determinant satırının elemanlarının ve bunların cebirsel tamamlayıcılarının çarpımlarının toplamına eşittir. Genellikle sıfır içeren satır/sütun seçilir. Ayrıştırmanın gerçekleştirileceği satır veya sütun bir okla gösterilecektir.
Matrisleri çözerken determinantı üçgen forma indirgemek.
Şu tarihte: matris çözme Determinantı üçgen forma indirgeme yöntemi şu şekilde çalışır: satırlar veya sütunlar üzerindeki en basit dönüşümleri kullanarak, determinant formda üçgen haline gelir ve daha sonra determinantın özelliklerine göre değeri çarpıma eşit olacaktır. ana köşegendeki elemanların.
Matrislerin çözümü için Laplace teoremi.
Laplace teoremini kullanarak matrisleri çözerken teoremin kendisini bilmeniz gerekir. Laplace teoremi: Let Δ - bu bir belirleyicidir N-inci sipariş. Herhangi birini seçiyoruz k sağlanan satırlar (veya sütunlar) k≤ n - 1. Bu durumda tüm küçüklerin çarpımlarının toplamı k-seçilenin içerdiği sıra k satırlar (sütunlar), cebirsel tamamlayıcılarına göre determinantına eşit olacaktır.
Ters matrisin çözümü.
Şunun için eylem sırası ters matris çözümleri:
- Belirli bir matrisin kare olup olmadığını belirleyin. Cevap olumsuzsa, bunun için ters bir matrisin olamayacağı açık hale gelir.
- Cebirsel tamamlayıcıları hesaplıyoruz.
- Bir birlik (karşılıklı, ek) matrisi oluşturuyoruz C.
- Ters matrisi cebirsel toplamalardan oluşturuyoruz: ek matrisin tüm elemanları C başlangıç matrisinin determinantına bölün. Son matris, verilen matrise göre gerekli ters matris olacaktır.
- Yapılan işi kontrol ediyoruz: İlk matrisi ve elde edilen matrisi çarpın, sonuç bir birim matris olmalıdır.
Matris sistemlerinin çözümü.
İçin matris sistemlerinin çözümleri Gauss yöntemi en sık kullanılır.
Gauss yöntemi, doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözmek için standart bir yöntemdir ve değişkenlerin sırayla ortadan kaldırılması, yani temel değişikliklerin yardımıyla denklem sisteminin eşdeğer bir üçgen sisteme getirilmesi ve ondan, ikincisinden başlayarak (sayıya göre) sırayla sistemin her bir öğesini bulun.
Gauss yöntemi matris çözümleri bulmak için en çok yönlü ve en iyi araçtır. Bir sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa veya sistem uyumsuzsa Cramer kuralı ve matris yöntemi kullanılarak çözülemez.
Gauss yöntemi aynı zamanda doğrudan (genişletilmiş matrisi kademeli bir forma indirgemek, yani ana köşegenin altında sıfırlar elde etmek) ve ters (genişletilmiş matrisin ana köşegeninin üzerinde sıfırlar elde etmek) hareketleri de ima eder. İleriye doğru hareket Gauss yöntemi, geriye doğru hareket ise Gauss-Jordan yöntemidir. Gauss-Jordan yöntemi Gauss yönteminden yalnızca değişkenleri ortadan kaldırma sırası açısından farklılık gösterir.