Denklem sistemleri ekonomik sektörde çeşitli süreçlerin matematiksel modellemesi için yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, üretim yönetimi ve planlaması, lojistik rotaları (nakliye sorunu) veya ekipman yerleşimi sorunlarını çözerken.
Denklem sistemleri sadece matematikte değil aynı zamanda fizik, kimya ve biyolojide de popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerini çözerken kullanılır.
Doğrusal denklem sistemi, ortak bir çözüm bulmanın gerekli olduğu, birkaç değişkenli iki veya daha fazla denklemden oluşur. Tüm denklemlerin gerçek eşitlik haline geldiği veya bu dizinin var olmadığını kanıtlayan böyle bir sayı dizisi.
Doğrusal denklem
ax+by=c formundaki denklemlere doğrusal denir. X, y isimleri değeri bulunması gereken bilinmeyenlerdir, b, a değişkenlerin katsayılarıdır, c denklemin serbest terimidir.
Bir denklemi çizerek çözmek, tüm noktaları polinomun çözümü olan düz bir çizgi gibi görünecektir.
Doğrusal denklem sistemi türleri
En basit örneklerin iki değişkeni X ve Y olan doğrusal denklem sistemleri olduğu kabul edilir.
F1(x, y) = 0 ve F2(x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlar ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.
Denklem sistemini çözme - bu, sistemin gerçek eşitliğe dönüştüğü (x, y) değerlerini bulmak veya uygun x ve y değerlerinin bulunmadığını tespit etmek anlamına gelir.
Bir noktanın koordinatları olarak yazılan (x, y) değer çiftine doğrusal denklem sisteminin çözümü denir.
Sistemlerin tek bir ortak çözümü varsa veya çözümü yoksa bunlara eşdeğer denir.
Homojen doğrusal denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. Eşittir işaretinden sonraki sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa böyle bir sistem heterojendir.
Değişken sayısı ikiden çok daha fazla olabiliyorsa, üç veya daha fazla değişkenli bir doğrusal denklem sistemi örneğinden bahsetmemiz gerekir.
Sistemlerle karşı karşıya kaldıklarında okul çocukları denklem sayısının mutlaka bilinmeyenlerin sayısıyla örtüşmesi gerektiğini varsayarlar, ancak durum böyle değildir. Sistemdeki denklemlerin sayısı değişkenlere bağlı değildir; istenilen sayıda olabilir.
Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler
Bu tür sistemlerin çözümü için genel bir analitik yöntem yoktur; tüm yöntemler sayısal çözümlere dayanmaktadır. Okul matematik dersinde permütasyon, cebirsel toplama, ikame gibi yöntemlerin yanı sıra grafik ve matris yöntemleri, Gauss yöntemiyle çözüm ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.
Çözüm yöntemlerini öğretirken asıl görev, sistemin nasıl doğru bir şekilde analiz edileceğini ve her örnek için en uygun çözüm algoritmasının nasıl bulunacağını öğretmektir. Önemli olan, her yöntem için bir kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, belirli bir yöntemi kullanmanın ilkelerini anlamaktır.
7. sınıf genel eğitim müfredatında yer alan doğrusal denklem sistemi örneklerinin çözümü oldukça basit ve detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Herhangi bir matematik ders kitabında bu bölüme yeterince önem verilmektedir. Doğrusal denklem sistemi örneklerinin Gauss ve Cramer yöntemiyle çözülmesi yükseköğretimin ilk yıllarında daha ayrıntılı olarak işlenir.
Yerine koyma yöntemini kullanarak sistemleri çözme
İkame yönteminin eylemleri, bir değişkenin değerini ikinciye göre ifade etmeyi amaçlamaktadır. İfade kalan denklemde yerine konulur, daha sonra tek değişkenli bir forma indirgenir. Sistemdeki bilinmeyenlerin sayısına bağlı olarak eylem tekrarlanır.
Değiştirme yöntemini kullanarak sınıf 7'nin bir doğrusal denklem sistemi örneğine bir çözüm verelim:
Örnekte görüldüğü gibi x değişkeni F(X) = 7 + Y şeklinde ifade edilmiştir. Sonuçta sistemin 2. denkleminde X yerine yazılan ifade, 2. denklemde bir Y değişkeninin elde edilmesine yardımcı olmuştur. . Bu örneği çözmek kolaydır ve Y değerini elde etmenizi sağlar. Son adım, elde edilen değerleri kontrol etmektir.
Bir doğrusal denklem sistemi örneğini ikame yoluyla çözmek her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve değişkeni ikinci bilinmeyen cinsinden ifade etmek daha sonraki hesaplamalar için çok zahmetli olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda ikame yoluyla çözüm yapmak da pratik değildir.
Doğrusal homojen olmayan denklemler sisteminin bir örneğinin çözümü:
Cebirsel toplama kullanarak çözüm
Toplama yöntemini kullanarak sistemlere çözüm ararken denklemler terim terim toplanır ve çeşitli sayılarla çarpılır. Matematiksel işlemlerin nihai amacı tek değişkenli bir denklemdir.
Bu yöntemin uygulanması pratik ve gözlem gerektirir. 3 veya daha fazla değişkenin olduğu bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek kolay değildir. Cebirsel toplama, denklemler kesirler ve ondalık sayılar içerdiğinde kullanışlıdır.
Çözüm algoritması:
- Denklemin her iki tarafını da belirli bir sayıyla çarpın. Aritmetik işlem sonucunda değişkenin katsayılarından birinin 1'e eşit olması gerekir.
- Ortaya çıkan ifadeyi terim terim toplayın ve bilinmeyenlerden birini bulun.
- Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denkleminde değiştirin.
Yeni bir değişken getirerek çözüm yöntemi
Sistem ikiden fazla denklem için bir çözüm bulmayı gerektirmiyorsa yeni bir değişken eklenebilir; bilinmeyenlerin sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.
Yöntem, yeni bir değişken ekleyerek denklemlerden birini basitleştirmek için kullanılır. Yeni denklem, tanıtılan bilinmeyen için çözülür ve elde edilen değer, orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.
Örnek, yeni bir t değişkeninin eklenmesiyle sistemin 1. denkleminin standart ikinci dereceden üç terimliye indirgenmesinin mümkün olduğunu göstermektedir. Bir polinomu diskriminantını bularak çözebilirsiniz.
Diskriminantın değerini iyi bilinen formülü kullanarak bulmak gerekir: D = b2 - 4*a*c, burada D istenen diskriminanttır, b, a, c polinomun faktörleridir. Verilen örnekte a=1, b=16, c=39, dolayısıyla D=100. Diskriminant sıfırdan büyükse iki çözüm vardır: t = -b±√D / 2*a, diskriminant sıfırdan küçükse tek çözüm vardır: x = -b / 2*a.
Ortaya çıkan sistemlerin çözümü toplama yöntemiyle bulunur.
Sistemleri çözmek için görsel yöntem
3 denklem sistemine uygundur. Yöntem, sisteme dahil edilen her denklemin koordinat ekseninde grafiğinin oluşturulmasından oluşur. Eğrilerin kesişim noktalarının koordinatları sistemin genel çözümü olacaktır.
Grafik yönteminin bir takım nüansları vardır. Doğrusal denklem sistemlerini görsel olarak çözmenin birkaç örneğine bakalım.
Örnekten görülebileceği gibi, her çizgi için iki nokta oluşturuldu, x değişkeninin değerleri keyfi olarak seçildi: 0 ve 3. X değerlerine göre y değerleri bulundu: 3 ve 0. Grafikte koordinatları (0, 3) ve (3, 0) olan noktalar işaretlendi ve bir çizgiyle birbirine bağlandı.
İkinci denklem için adımların tekrarlanması gerekir. Doğruların kesişme noktası sistemin çözümüdür.
Aşağıdaki örnek, bir doğrusal denklem sistemine grafiksel bir çözüm bulmayı gerektirir: 0,5x-y+2=0 ve 0,5x-y-1=0.
Örnekte görüldüğü gibi grafiklerin paralel olması ve tüm uzunlukları boyunca kesişmemesi nedeniyle sistemin çözümü yoktur.
Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir ancak oluşturulduklarında çözümlerinin farklı olduğu açıkça ortaya çıkar. Unutulmamalıdır ki bir sistemin çözümü olup olmadığını söylemek her zaman mümkün değildir; her zaman bir grafik oluşturmak gerekir.
Matris ve çeşitleri
Matrisler, bir doğrusal denklem sistemini kısaca yazmak için kullanılır. Matris sayılarla dolu özel bir tablo türüdür. n*m'de n satır ve m sütun bulunur.
Sütun ve satır sayıları eşit olduğunda bir matris karedir. Matris vektörü, sonsuz sayıda satır içeren bir sütunun matrisidir. Köşegenlerinden biri boyunca birler ve diğer sıfır elemanları olan bir matrise birim denir.
Ters bir matris, çarpıldığında orijinalin bir birim matrise dönüştüğü bir matristir; böyle bir matris yalnızca orijinal kare olan için mevcuttur.
Bir denklem sistemini matrise dönüştürme kuralları
Denklem sistemleriyle ilgili olarak denklemlerin katsayıları ve serbest terimleri matris sayıları olarak yazılır; bir denklem matrisin bir satırıdır.
Satırın en az bir elemanı sıfır değilse, matris satırının sıfırdan farklı olduğu söylenir. Bu nedenle denklemlerden herhangi birinde değişken sayısı farklıysa eksik bilinmeyenin yerine sıfır girilmesi gerekir.
Matris sütunları değişkenlere tam olarak karşılık gelmelidir. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna yazılabildiği anlamına gelir; örneğin birincisi, bilinmeyen y'nin katsayısı - yalnızca ikincisinde.
Bir matris çarpılırken matrisin tüm elemanları sırayla bir sayıyla çarpılır.
Ters matrisi bulma seçenekleri
Ters matrisi bulma formülü oldukça basittir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 ters matristir ve |K| matrisin determinantıdır. |K| sıfıra eşit olmamalıdır, o zaman sistemin bir çözümü vardır.
Determinant ikiye ikilik bir matris için kolayca hesaplanır; yalnızca köşegen elemanları birbiriyle çarpmanız yeterlidir. “Üçe üç” seçeneği için |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 formülü vardır. + a 3 b 2 c 1 . Formülü kullanabilir veya çalışmadaki sütun ve satır sayılarının tekrarlanmaması için her satırdan ve her sütundan bir öğe almanız gerektiğini hatırlayabilirsiniz.
Matris yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemi örneklerini çözme
Bir çözüm bulmanın matris yöntemi, çok sayıda değişken ve denklem içeren sistemleri çözerken hantal girdileri azaltmanıza olanak tanır.
Örnekte, bir nm denklemlerin katsayılarıdır, matris bir vektördür x n değişkenlerdir ve b n serbest terimlerdir.
Gauss yöntemini kullanarak sistemleri çözme
Yüksek matematikte Gauss yöntemi Cramer yöntemiyle birlikte incelenir ve sistemlere çözüm bulma sürecine Gauss-Cramer çözüm yöntemi adı verilir. Bu yöntemler çok sayıda doğrusal denklem içeren sistemlerin değişkenlerini bulmak için kullanılır.
Gauss yöntemi, ikame ve cebirsel toplama yoluyla çözümlere çok benzer, ancak daha sistematiktir. Okul dersinde 3 ve 4 denklemli sistemler için Gauss yöntemiyle çözüm kullanılır. Yöntemin amacı sistemi ters yamuk formuna indirgemektir. Cebirsel dönüşümler ve ikameler yoluyla sistemin denklemlerinden birinde bir değişkenin değeri bulunur. İkinci denklem 2 bilinmeyenli, 3 ve 4 ise sırasıyla 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.
Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, diğer çözüm, bilinen değişkenlerin sistem denklemlerinde sıralı olarak yer değiştirmesine indirgenir.
7. sınıf okul ders kitaplarında Gauss yöntemine göre bir çözüm örneği şu şekilde açıklanmaktadır:
Örnekten görülebileceği gibi (3) adımında iki denklem elde edildi: 3x 3 -2x 4 =11 ve 3x 3 +2x 4 =7. Denklemlerden herhangi birini çözmek, x n değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.
Metinde bahsedilen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğeri ile değiştirilmesi durumunda ortaya çıkan sistemin de orijinaline eşdeğer olacağını belirtmektedir.
Gauss yöntemini ortaokul öğrencilerinin anlaması zordur, ancak matematik ve fizik derslerinde ileri öğrenim programlarına kayıtlı çocukların yaratıcılığını geliştirmenin en ilginç yollarından biridir.
Kayıt kolaylığı için hesaplamalar genellikle şu şekilde yapılır:
Denklemlerin ve serbest terimlerin katsayıları, matrisin her satırının sistemin denklemlerinden birine karşılık geldiği bir matris biçiminde yazılır. Denklemin sol tarafını sağdan ayırır. Romen rakamları sistemdeki denklemlerin sayısını gösterir.
Önce üzerinde çalışılacak matrisi, ardından satırlardan birinde gerçekleştirilen tüm eylemleri yazın. Ortaya çıkan matris “ok” işaretinden sonra yazılır ve sonuç elde edilene kadar gerekli cebirsel işlemlere devam edilir.
Sonuç, köşegenlerden birinin 1'e eşit olduğu ve diğer tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu, yani matrisin birim forma indirgendiği bir matris olmalıdır. Denklemin her iki tarafındaki sayılarla hesaplama yapmayı unutmamalıyız.
Bu kayıt yöntemi daha az hantaldır ve çok sayıda bilinmeyeni listeleyerek dikkatinizin dağılmasına izin vermez.
Herhangi bir çözüm yönteminin serbestçe kullanılması dikkat ve biraz deneyim gerektirecektir. Yöntemlerin tümü uygulamalı nitelikte değildir. Bazı çözüm bulma yöntemleri, belirli bir insan faaliyeti alanında daha çok tercih edilirken, diğerleri eğitim amaçlıdır.
Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi, temel dönüşümler kullanarak bilinmeyenleri sırayla ortadan kaldırmak ve bunları bir üst üçgen denkleme (adım veya yamuk) indirgemekten oluşur. Daha sonra bulunan çözümleri yerine koyarak sistemi baştan sona çözerler.
V.P. Dubovik, I.I.'nin problem koleksiyonunu referans olarak kullanarak Gauss yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme örneklerini ele alalım. "Yüksek matematik".
-------------
Doğrusal cebirsel denklem sistemini çözün.
1) Orijinal sistemi adım adım forma dönüştürelim. Bunu yapmak için, ikinci denklemden birinciyi 3 ile çarparak ve dördüncüden de birinciyi 4 ile çarparak çıkarıyoruz.
Sonuç olarak, elimizdeki üçüncü denklemden elde edilen değeri orijinal denklemde yerine koyarız.
Elde edilen değerleri ilk denklemde yerine koyarız
Üç doğrusal denklem sisteminin çözümü, değişkenlerin aşağıdaki değerleri olacaktır.
2) Dört bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistemimiz var. Bu gibi durumlarda bir değişken serbest olabilir ve geri kalanı onun aracılığıyla ifade edilecektir. Sistemi adım adım forma indirgeyelim. Bunu yapmak için birinciyi ikinci ve üçüncü denklemlerden çıkarın.
Son iki denklemden aynı çözümleri elde ediyoruz
İlk denklemde yerine koyduktan sonra şunu elde ederiz:
Bu denklem üç değişkeni ilişkilendirir. Böylece değişkenlerden herhangi biri diğer ikisi cinsinden ifade edilebilir.
Böylece aşağıdaki çözümü elde ederiz
3) Beş bilinmeyenli beşinci dereceden doğrusal denklemlerden oluşan seyrek bir sistemimiz var. Bunu bir adım biçimine indirgeyelim. İkinci denklemden birinciyi çıkarıyoruz ve analize uygun bir biçimde yazıyoruz
İkinci denklemden bunu buluyoruz. Değerleri tüm alt denklemlere yerleştirip eşittir işaretinin ötesine aktarıyoruz. İkinci ve üçüncü denklemleri de yer değiştirelim
Dördüncü ve beşinci denklemler eşdeğerdir. Değişkenlerden birini diğeri üzerinden ifade edelim
Ortaya çıkan değeri ikinci denklemde yerine koyarız ve buluruz
İlk denklemden belirlediğimiz
Denklem sisteminin çözümü aşağıdaki gibidir
Gauss yöntemini kullanarak doğrusal cebirsel denklem sistemlerini hesaplarken, doğrusal denklem sistemini aşamalı bir forma indirgemek gerekir. Bunun için değişkenlerin altına değişkenleri yazmak uygundur, son örnekte olduğu gibi bu, çözümü hızlandıracaktır. Gerisi çözülmesi gereken matrise ve becerilerinize bağlıdır.
N bilinmeyenli m doğrusal denklem sistemi form sistemi denir
Nerede bir ben Ve ben (Ben=1,…,M; B=1,…,N) bilinen bazı sayılardır ve x 1 ,…,xn– bilinmiyor. Katsayıların belirlenmesinde bir ben ilk dizin Ben denklem numarasını ve ikincisi J– bu katsayının bulunduğu bilinmeyenlerin sayısı.
Bilinmeyenlerin katsayılarını matris şeklinde yazacağız. 
, onu arayacağız sistemin matrisi.
Denklemlerin sağ tarafındaki sayılar b 1 ,…,bm denir ücretsiz üyeler.
Bütünlük N sayılar c 1 ,…,c n isminde karar Belirli bir sistemin her denklemi, sayılar yerine konulduktan sonra bir eşitlik haline gelirse c 1 ,…,c n karşılık gelen bilinmeyenler yerine x 1 ,…,xn.
Bizim görevimiz sisteme çözüm bulmak olacaktır. Bu durumda üç durum ortaya çıkabilir:
En az bir çözümü olan doğrusal denklem sistemine ne ad verilir? eklem yeri. Aksi takdirde, yani sistemin çözümü yoksa buna denir ortak olmayan.
Sisteme çözüm bulmanın yollarını düşünelim.
DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE MATRİS YÖNTEMİ
Matrisler, bir doğrusal denklem sistemini kısaca yazmayı mümkün kılar. Üç bilinmeyenli 3 denklemden oluşan bir sistem verilsin:
Sistem matrisini düşünün 
bilinmeyen ve serbest terimlerin ve matris sütunları 
Hadi işi bulalım
onlar. çarpım sonucunda bu sistemin denklemlerinin sol taraflarını elde ederiz. Daha sonra matrislerin eşitliği tanımı kullanılarak bu sistem şu şekilde yazılabilir:
veya daha kısa A∙X=B.
İşte matrisler A Ve B biliniyor ve matris X bilinmiyor. Onu bulmak gerekiyor çünkü... unsurları bu sistemin çözümüdür. Bu denklem denir matris denklemi.
Matris determinantı sıfırdan farklı olsun | A| ≠ 0. Daha sonra matris denklemi aşağıdaki gibi çözülür. Soldaki denklemin her iki tarafını matrisle çarpın A-1, matrisin tersi A: . O zamandan beri A -1 A = E Ve e∙X = X, daha sonra formdaki matris denkleminin bir çözümünü elde ederiz X = A -1 B .
Ters matris yalnızca kare matrisler için bulunabildiğinden, matris yönteminin yalnızca aşağıdaki sistemleri çözebileceğini unutmayın. denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısıyla çakışıyor. Ancak denklem sayısının bilinmeyen sayısına eşit olmadığı durumlarda sistemin matris kaydı da mümkündür. A kare olmayacak ve bu nedenle formda sisteme çözüm bulmak imkansızdır. X = A -1 B.
Örnekler. Denklem sistemlerini çözün.
CRAMER'IN KURALI
Üç bilinmeyenli 3 doğrusal denklemden oluşan bir sistem düşünün:
Sistem matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinant, yani. bilinmeyenler için katsayılardan oluşan,
isminde sistemin belirleyicisi.
Aşağıdaki gibi üç determinant daha oluşturalım: D determinantındaki 1, 2 ve 3 numaralı sütunları sırasıyla serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirin
O halde aşağıdaki sonucu kanıtlayabiliriz.
Teorem (Cramer kuralı). Sistemin determinantı Δ ≠ 0 ise, söz konusu sistemin tek ve tek bir çözümü vardır ve
Kanıt. Şimdi üç bilinmeyenli 3 denklemden oluşan bir sistem düşünelim. Sistemin 1. denklemini cebirsel tümleyenle çarpalım 11 eleman 11, 2. denklem – açık 21 ve 3. – açık 31:
Bu denklemleri toplayalım:
Parantezlerin her birine ve bu denklemin sağ tarafına bakalım. Determinantın 1. sütunun elemanlarında genişletilmesine ilişkin teorem ile
Benzer şekilde ve de gösterilebilir.
Son olarak şunu fark etmek kolaydır: 
Böylece eşitliği elde ederiz: .
Buradan, .
Eşitlikler ve benzer şekilde türetilir ve teoremin ifadesi buradan gelir.
Dolayısıyla, eğer sistemin determinantı Δ ≠ 0 ise sistemin tek bir çözümü vardır ve bunun tersi de geçerlidir. Sistemin determinantı sıfıra eşitse, sistemin ya sonsuz sayıda çözümü vardır ya da hiç çözümü yoktur, yani. uyumsuz.
Örnekler. Denklem sistemini çözme
GAUSS YÖNTEMİ
Daha önce tartışılan yöntemler yalnızca denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla çakıştığı ve sistemin determinantının sıfırdan farklı olması gereken sistemleri çözmek için kullanılabilir. Gauss yöntemi daha evrenseldir ve herhangi sayıda denklem içeren sistemler için uygundur. Bilinmeyenlerin sistem denklemlerinden tutarlı bir şekilde ortadan kaldırılmasından oluşur.
Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistemi tekrar düşünün:
.
İlk denklemi değiştirmeden bırakacağız ve 2. ve 3. denklemlerden aşağıdakileri içeren terimleri hariç tutacağız: x 1. Bunu yapmak için ikinci denklemi şuna bölün: A 21 ve – ile çarpın A 11 ve sonra bunu 1. denkleme ekleyin. Benzer şekilde üçüncü denklemi de şuna böleriz: A 31 ve – ile çarpın A 11 ve ardından ilkiyle ekleyin. Sonuç olarak orijinal sistem şu şekli alacaktır:
Şimdi son denklemden aşağıdakileri içeren terimi ortadan kaldırıyoruz: x 2. Bunu yapmak için üçüncü denklemi ikiye bölün, ikinciyle çarpın ve ekleyin. O zaman bir denklem sistemimiz olacak:
Buradan son denklemi bulmak kolaydır x 3, sonra 2. denklemden x 2 ve son olarak, 1'den itibaren - x 1.
Gauss yöntemini kullanırken gerekirse denklemler değiştirilebilir.
Çoğunlukla yeni bir denklem sistemi yazmak yerine kendilerini sistemin genişletilmiş matrisini yazmakla sınırlandırırlar:
ve sonra temel dönüşümleri kullanarak onu üçgen veya köşegen forma getirin.
İLE temel dönüşümler matrisler aşağıdaki dönüşümleri içerir:
- satırları veya sütunları yeniden düzenlemek;
- bir dizgiyi sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak;
- bir satıra diğer satırları eklemek.
Örnekler: Denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözün.
Yani sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.
5.1. Cramer kuralıHerhangi bir mertebeden matrislerin determinantlarını hesaplamanın temel özelliklerini ve yöntemlerini belirledikten sonra, ana göreve dönelim - 1. mertebeden denklem sistemlerini çözmeye ve incelemeye. Bu konudaki çalışmamıza denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısının çakıştığı ana durumu analiz ederek başlayalım.
Sistemin (1) 1. denkleminin tüm terimlerini, elemanın cebirsel tamamlayıcısı olan A 11 ile çarpalım. A A matrisinin 11'i, A 21'deki sistemin 2. denkleminin tüm terimleri (1) - elemanın cebirsel tamamlayıcısı A 21 matris A, son olarak, A n1 - elemanın cebirsel tamamlayıcısı üzerindeki sistem (1)'in n'inci denkleminin tüm terimleri A A matrisinin n1'i. Sonra sistemi elde ederiz
(1")
Sistemin tüm denklemlerini terim terim toplayalım, şunu elde ederiz:
(
A i1 A i1)x 1 +( A i2 A i1)x 2 +...+( A A i1)x n =b i A i1'de
Cebirsel tümleyenlerle ilgili teoreme göre,
A i1 A i1 =det A A i2 A i1 =0, ........., A A i1 =0'da
Bu nedenle, elde edilen denklem şu şekilde yeniden yazılabilir: 
Matris'i düşünün
,
A matrisinden, 1. sütunun elemanlarının sistem denklemlerinin serbest terimlerinin bir sütunu ile değiştirilmesiyle elde edilir. det B1'i 1. sütunun elemanları üzerine genişleterek det B 1 =b i A i1 elde ederiz ve dolayısıyla 
Benzer şekilde (1) sisteminin denklemlerini Аі2 (u=1, 2, ... n) ile çarpıp topladığımızda, şunu elde ederiz: 
,
Bunu gelecekte yaparak bir denklem sistemi elde ederiz.
(2),
Burada Bk matrisi A'dan k'inci sütunun serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle elde edilir. Açıkçası, sistem (1)'in herhangi bir çözümü aynı zamanda sistem (2)'nin de çözümüdür.
(3)
Formül (3)'ün, sistem (1)'in bir çözümü olduğu varsayımıyla elde edildiğini hatırlayın. X i'nin bulunan değerlerini doğrudan sistem (1)'e koyarak, bunların sistem (1) için bir çözüm olduğu ve dolayısıyla aşağıdaki varsayım altında doğrulanabilir: 
, sistem (1)'in bir çözümü var ve üstelik benzersiz bir çözüm.
^ Teorem (Cramer teoremi): n bilinmeyenli n birinci dereceden denklem sisteminin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklıysa, sistemin benzersiz bir çözümü vardır. Bu durumda, bilinmeyenlerin her birinin değeri, iki matrisin determinantlarının bölümünün kısmına eşittir: payda, sistemin ana matrisinin determinantını içerir ve pay, elde edilen matrisin determinantını içerir. Seçilen bilinmeyene karşılık gelen sütunu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek sistemin ana matrisinden.
Bu teoremden, denklem sistemi homojense, yani sistemin tüm denklemlerindeki serbest terimler sıfıra eşitse ve sistemin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklıysa, o zaman sistemin yalnızca sıfır çözümü vardır. Aslında bu durumda, determinantları formül (3)'ün payında yer alan matrisler, yalnızca sıfır içeren bir sütun içerir ve bu nedenle tüm X i sayıları sıfıra eşittir. Kanıtlananlardan aşağıdaki teorem çıkar:
^ n bilinmeyenli n homojen 1. dereceden denklemlerden oluşan bir sistemin sıfırdan farklı en az bir çözümü varsa, sistemin ana matrisinin determinantı sıfıra eşittir. Aslında, eğer bu determinant sıfıra eşit olmasaydı, sistemin yalnızca sıfır çözümü olurdu ve bu da koşulla çelişirdi.
Aşağıda sistemin determinantının sıfıra eşitliğinin sadece sıfırdan farklı bir çözümün varlığı için zorunlu, gerekli bir koşul değil, aynı zamanda böyle bir çözümün varlığı için de yeterli bir koşul olduğunu kanıtlayacağız. Başka bir deyişle, homojen denklemlerden oluşan bir sistemin determinantı sıfıra eşitse, sistemin sıfırdan farklı bir çözümü (ve bu tür sonsuz sayıda çözümü) vardır.
^ 5.2. Birinci dereceden denklem sistemlerini tam eleme yöntemini (Gauss yöntemi) kullanarak çözme ve inceleme.
Cramer'in formülleri, sistemin ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olması durumunda, determinantları hesaplama yöntemini kullanarak, bir denklem sistemine çözümün sayısal değerlerini bulmayı mümkün kılar. Ancak bu formüllerin pratik uygulaması birçok durumda karmaşıktır. Öncelikle şunu belirtmek gerekir ki, formül (3)'ü kullanarak çözüm bulmak için, §'de belirtilen teknikleri kullanırken bile, oldukça emek yoğun bir iş olan n'inci dereceden n+1 determinantları hesaplamak gerekir. 4. Ancak en önemli şey, denklemin katsayılarının yaklaşık olarak verilmesi durumunda (gerçek problemlerde bu neredeyse her zaman olur), çözüm hatasının oldukça büyük olabilmesidir. Bu, sistemin çözümünün belirlendiği belirleyicilerin her birinde yer alan terimlerin oldukça büyük olabileceği gerçeğiyle açıklanmaktadır (unutmayın, bunlar n faktörün ürünüdür - sistemin genişletilmiş matrisinin farklı katsayıları) ) ve cebirsel bir toplam olan determinantın kendisi bu tür terimler küçük olabilir. Başlangıç denklemleri sistemindeki katsayıların tam olarak bilindiği durumda bile, ancak hesaplamaların kendileri yalnızca belirli sayıda önemli rakam dikkate alınarak gerçekleştiriliyorsa, aynı nedenlerden dolayı sonuçta oldukça büyük hatalar elde edebiliriz. Bu nedenle denklem sistemlerinin pratik çözümünde çoğu durumda Cramer formülleri değil, diğer hesaplama yöntemleri kullanılır.
Bu derste, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla çakışmadığı durumlarda da 1. dereceden denklem sistemlerini çözmek için tam eleme yöntemini ele alacağız. Ancak bu yöntemin sunumuna ana durumla başlayacağız: denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısıyla çakıştığı zaman.
Böylece, yine n bilinmeyenli n denklemden oluşan bir sistem verilsin:
(1)
Katsayılardan en az biri olduğundan A i1 sıfırdan farklıysa (aksi takdirde x1 sisteme hiç dahil edilmezdi) ve sistemdeki denklemler değiştirilebilir, bu durumda herhangi bir genellik kısıtlaması olmaksızın şunu varsayabiliriz: 
Sistemin 1. denklemini a11'e bölüp forma getirelim,
Ortaya çıkan denklemin tüm terimlerinin ai1 ile çarpılması ve bundan çıkarılması і (1) sisteminin denkleminden yeni bir sistem elde ederiz
(2),
i=1, 2, ..., n; k=1, 2, ... , n
Sistem (2)'nin denklemleri, sistem (1)'in denklemlerinin doğrusal birleşimi olarak elde edildiğinden, sistem (1)'in herhangi bir çözümü aynı zamanda sistem (2)'nin de çözümüdür. Aynı zamanda, beri
Daha sonra sistem (1)'in denklemleri, sistem (2)'nin denklemlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak elde edilebilir. Sonuç olarak, sistem (2)'nin herhangi bir çözümü aynı zamanda sistem (1)'in de çözümüdür. Dolayısıyla (1) ve (2) sistemleri eşdeğerdir. (11 x 1 +c 12 x 2 +...+c 1n x n =d 1 i ve 21 x 1 +c 22 x 2 +...+c 2n x n =d 2 olan iki denklemin doğrusal kombinasyonu, denklem 1 (c 11 x 1 +c 12 x 2 +...+c 1n x n) + 2 (c 21 x 1 +c 22 x 2 +...+c 2n x n)= 1 olarak adlandırılabilir d 1 + 2 d 2, burada 1 ve 2 sayılardır)
Şimdi (1) ve (2) sistemlerinin ana matrislerinin D1 ve D2 determinantlarını karşılaştıralım. Sistemin (2) ana matrisinin ilk satırı, sistemin (1) ana matrisinin ilk satırından aşağıdaki sayıya bölünerek elde edilir: A 11. Bu işlem D1'in a11'e bölünmesine karşılık gelir. Diğer satırlar, ilk satıra orantılı olan sistem (1) değerlerinin ana matrisinin karşılık gelen satırlarından çıkarılarak elde edilir. Bu işlem determinantın değerini değiştirmez. Bundan, sistem (2)'nin ana matrisinin determinantı D2'nin şuna eşit olduğu sonucu çıkar: 
. Ve bu nedenle 
, Eğer 
ve D1=0 ise D2=0. Son olarak, hesaplamaları yalnızca sistem (1) denklemlerinin katsayıları ile yaptığımızı, dolayısıyla denklemlerin kendilerini yazmaya gerek olmadığını not edelim. Sistemin sadece genişletilmiş matrisini yazmak ve bu matrisin sadece elemanlarını dönüştürmek yeterlidir.
Bir genişletilmiş matristen diğerine geçişi, yani aslında bir denklem sisteminden ona eşdeğer bir sisteme geçişi sembolüyle göstereceğiz. 
veya 
.
Daha sonra yapılan işlemler şu şekilde yazılabilir:
İlk önce sistem (1)'in ana matrisinin determinantı D1'in sıfırdan farklı olduğunu varsayacağız. Daha sonra yukarıda belirtildiği gibi, 
ve bu nedenle aşırı durumlarda sayılardan biri 
(u=1, 2, ... , n) sıfırdan farklıdır, çünkü hepsi sıfıra eşit olsaydı, (2) sisteminin ana matrisinin D2 determinantı da sıfıra eşit olurdu.
Sistem (2)'deki denklemler değiştirilebildiğinden, sınırlama olmaksızın şunu varsayabiliriz: 
. (2) sisteminin 2. denklemini şuna bölelim: 
,
elde edilen satırı (i=1, 3, 4, ... , n) ile çarpın ve onu i'inci satırdan çıkarın.
O zaman sahip olacağız
B3 matrisine karşılık gelen denklem sistemi, sistem (2)'ye ve dolayısıyla orijinal sisteme (1) eşdeğerdir. Bu sistemin ana matrisinin determinantı D3 sıfır değildir, çünkü D2 determinantı sıfır değildir. Bu nedenle, aşırı durumlarda, sayılardan biri 
(u=3, ... , n) sıfırdan farklıdır ve aynı işlemleri daha önce yaptığınız gibi tekrar yapabilirsiniz. Benzer düşüncelere devam edersek, n işlemden sonra matrisi elde ederiz
Karşılık gelen denklem sistemi şu şekildedir:
(3),
Tek çözümü (4)
Sistem (3), sistem (1)'e eşdeğer olduğundan ve tek bir çözüme sahip olduğundan, orijinal sistemin (1) de formül (4) ile belirlenen tek bir çözümü vardır.
Örnek 1 . Sistemi çöz
Çözüm
x1=1; x2=-1; x3=0; x4=2
Sistem homojense, yani tüm bi (u=1, 2, ... , n) sayıları sıfıra eşitse, bu durumda tüm sayıların sıfıra eşit olacağını unutmayın. 
Dolayısıyla bu durumda sistem (1)'in yalnızca sıfır çözümü vardır.
Şimdi sistemin (1) ana matrisinin determinantı D1 sıfıra eşit olsun. O halde artık rakamlar arasında şunu söylemek mümkün değil. 
(u=m, m+1, ... , n) dönüşümlerinin (m-1)'inci aşamasından sonra elde edilen, sıfırdan farklı en az bir tane olacaktır. Üstelik bir aşamada tüm bu sayılar kesinlikle sıfıra eşit olacak (aksi takdirde farklı bir durumla karşı karşıya kalırdık). Böylece matris elde edilsin
Matrisin m'inci sütununu n'inci sütunun yerine ve serbest terimler sütunu hariç m'inci sütundan sonraki tüm sütunları yeniden düzenleyelim. 
bir yer sola gidelim (böyle bir işlem açıkçası sistemin denklemlerindeki bilinmeyenlerin yeniden düzenlenmesi veya yeniden numaralandırılması anlamına gelir ki bu elbette sistemin çözümünü değiştirmez). Sonuç olarak matrisi elde ederiz.
,
ben=1, 2, ... , n;
k=m, m+1, ... , n.
Daha önce olduğu gibi aynı dönüşümlere devam ederek sonuçta matrisi elde ederiz.
(5)
Matris (5) denklem sistemine karşılık gelir
(6),
bilinmeyenin neresinde 
bilinmeyenden farklı X і
sistem (1)'de yalnızca numaralandırmayla. Sistem (6), sistem (1)'e eşdeğer olduğundan, sistem (1)'in çözümüne ilişkin sonuç, sistem (6)'nın çözümüne ilişkin sonuca eşdeğerdir.
Açıkçası, eğer sayılardan en az biri 
(u=k+1, ... , n) sıfıra eşit değilse (6) sisteminin denklemi ve dolayısıyla (1) sisteminin denklemi uyumsuzdur. Eğer (i=k+1, ... , n)'nin tümü sıfıra eşitse denklemler tutarlıdır. Aynı zamanda bilinmiyor 
Herhangi bir değer verilebilir ve sistem aşağıdaki çözümlere sahiptir:
,
burada t1, t2, ... , te ( 
=n-k) keyfi
Orijinal bilinmeyenler sistemine dönmeyi kolaylaştırmak için, dönüşümler sırasında elde edilen matrislerin sütunlarına karşılık gelen bilinmeyenlerin tanımlarını yazmakta fayda vardır. Ayrıca orijinal sistemin (1) homojen olması durumunda tüm sayıların (u=1, 2, ... , n) sıfıra eşit olacağını da belirtiyoruz. Bu nedenle aşağıdaki iki ifade geçerlidir.
1. 1. dereceden homojen denklemler sistemi her zaman tutarlıdır.
2. 1. dereceden homojen denklemler sisteminin determinantı sıfıra eşitse, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.
Örnek 2
Çözüm
Ortaya çıkan matrise karşılık gelen denklem sistemi şu şekildedir:
Sistem tutarlıdır, x4=t keyfidir. Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.
burada t keyfi bir sayıdır.
Denklemlerdeki serbest terimlerin koşulda belirtilenlerden farklı olması durumunda sistemin uyumsuz olabileceğini unutmayın. Örneğin b4=1 olsun. Daha sonra sistemin dönüştürülmüş matrisi şu şekilde olacaktır:
ve sistemin son denklemi 0x1+0x2+0x3+0x4=1 formunu alacaktır ki bu da mantıklı değildir.
Örnek 3.
Çözüm.
Sistem uyumludur, x2=t isteğe bağlıdır; x1=1-t, x2=t, x3=-2, x4=1.
Bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısıyla çakışmaması durumunda analiz edilen yöntem herhangi bir değişiklik yapılmadan aktarılabilir.
II. Problem çözme örnekleri
1.20. Sistemi çöz
Sistemin determinantını hesaplayalım
Sistemin determinantı sıfırdan farklı olduğundan Cramer kuralını uyguluyoruz. detB1'in determinantını hesaplamak için sütunu değiştiririz 
serbest terimler sütunu ile sistemin belirleyicisi 
. Sahibiz
DetB2 determinantı sütun değiştirilerek elde edilir 
serbest terimler sütununa göre sistemin belirleyicisi:
Cramer kuralına göre şunu buluruz: 
; 
(5;-4) sayıları kümesi bu sistemin tek çözümüdür.
1.21. Sistem çözümlerini bulun
Sıfır dışındaki sistem katsayılarının determinantı:
detA= 
=2·3·(-5)+5·(-9) ·2+(-8) ·4·3-(-8) ·3·2-5·4·(-5)-2·3· (-9)=-140
Bu nedenle Cramer kuralını uygulayabiliriz
buradan buluyoruz 
; 
; 
(3, 2, 1) sayıları kümesi sistemin tek çözümüdür.
1.22. Sistemi çöz
/IVp+II-I-III/ ~
4. satırı sıfırlardan oluştuğu için sistem katsayılarının determinantının sıfıra eşit olduğunu görmek kolaydır. Genişletilmiş matrisin son satırı sistemin uyumlu olmadığını gösterir.
1.23. Sistemi çöz
Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım
/IIp. -2· I, IIIp. -Ben, IVp. -II-III/ ~
~
/böl ІІІр. (-3), IVp'de. (-3)/
~
/ІІІр. +2· ІІ/ ~
Yapılan tüm dönüşümler sonucunda bu lineer denklem sistemi üçgen forma indirgendi.
Tek bir çözümü var.
x3=1 x4=-1 x2=-2 x1=2 ▲
Denklemler uyumludur, x4=t keyfidir,
1.25. Sistem çözümlerini bulun
Sistem tutarlıdır, x4=t keyfidir,
1.26. Sistemi çöz
Sistem uyumludur, x4=t keyfi, x1=t, x2=-2t, x3=0, x4=t. ▲
^
§6 Matris sıralaması, birinci dereceden denklem sistemlerinin uyumluluğuna ilişkin teorem
1. dereceden denklem sistemlerinin çözümüyle ilgili birçok konuyu incelemek için bu kavram sıklıkla tanıtılır. matris sıralaması.
Tanım. Bir matrisin rütbesi, belirli bir matristen bazı satır ve sütunların silinmesiyle elde edilen bir kare alt matrisin sıfırdan farklı determinantının en yüksek derecesidir.
Örneğin matrisi düşünün
Herhangi bir sayıda satır ve sütunun silinmesiyle, belirli bir matristen 3'ten yüksek mertebeden bir kare matris elde etmek imkansızdır. Bu nedenle sıralaması üçten fazla olamaz. Ancak sütunlardan birinin üzerini çizerek, iki özdeş satırı olan kare matrisler elde edeceğiz ve bu nedenle bunların determinantları sıfıra eşittir. Dolayısıyla orijinal matrisin rütbesi 3'ten küçüktür. Örneğin 3. ve 4. sütunların ve 3. satırın üzerini çizerek bir kare matris elde ederiz 
determinantı sıfıra eşit olmayan. Dolayısıyla, 3. dereceden bir alt matrisin tüm determinantları sıfıra eşittir, ancak 2. dereceden matrislerin determinantları arasında sıfırdan farklı bir tane vardır. Böylece orijinal matrisin rütbesi ikiye eşittir.
Teoremi kanıtlayalım: Bir matrisin sırası, satırları üzerindeki doğrusal işlemler sırasında değişmez.
Aslında, herhangi bir matrisin satırlarıyla yapılan doğrusal işlemler, herhangi bir alt matrisin satırlarıyla aynı doğrusal işlemlere yol açar. Ancak yukarıda belirtildiği gibi kare matris satırlarıyla yapılan doğrusal işlemler sırasında bu matrislerin determinantları sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılarak birbirinden elde edilir. Dolayısıyla sıfır determinantı sıfır kalır ve sıfır olmayan determinant sıfırdan farklı kalır, yani alt matrislerin sıfır olmayan determinantının en yüksek derecesi değişemez. Açıkçası, sütunların yeniden düzenlenmesi matrisin sıralamasını etkilemez çünkü böyle bir yeniden düzenleme yalnızca karşılık gelen determinantların işaretini etkileyebilir.
Kanıtlanmış teoremden, önceki bölümde ele alınan dönüştürülmüş matrislerin orijinal matrislerle aynı sıralamaya sahip olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle, birinci dereceden denklem sisteminin ana matrisinin rütbesi, dönüştürülen matrisin ana köşegenindeki birlerin sayısına eşittir.
Şimdi 1. dereceden denklem sistemlerinin uyumluluğuna ilişkin teoremi (Kronecker-Capelli teoremi) kanıtlayalım: Birinci dereceden denklem sisteminin uyumlu olabilmesi için genişletilmiş matrisin sıralamasının ana matrisin sıralamasıyla çakışması gerekli ve yeterlidir.
Sistemin ana matrisinin rütbesi k'ye eşit olsun. Sistemin genişletilmiş matrisinin sıralaması da k ise, bu, sistemin yalnızca k denklem içerdiği veya tüm sayıları içerdiği anlamına gelir. 
(i= k+1, ... , k) dönüştürülmüş matriste sıfıra eşittir (aksi takdirde dönüştürülmüş matrisin ve dolayısıyla orijinal sistemin genişletilmiş matrisinin sıralaması k +1 olur)
Sistemin dönüştürülmüş (ve dolayısıyla orijinal) genişletilmiş matrisinin sıralaması k'den büyük olsun, yani dönüştürülmüş matrisin ana köşegenindeki birlerin sayısından daha büyük olsun. O zaman determinantı sıfıra eşit olmayan (k+1) mertebesinden en az bir alt matris vardır. Böyle bir alt matris ancak k dereceli birim matrise (dönüştürülmüş matrisin sol üst köşesinde), dönüştürülmüş sistemin denklemlerinin ilk k serbest teriminden oluşan bir satır ve sütunun eklenmesiyle elde edilebilir. ve sonraki n-k denklemlerindeki herhangi bir serbest terim. Belirtilen alt matrisin determinantının sıfırdan farklı olması için, eklenen bu son elemanın yani (i=k+1, ... , k) sayısının da sıfırdan farklı olması gerekir. Ancak daha önce de kanıtlandığı gibi bu durumda 
sistem uyumsuz. Bu nedenle sistem ancak ve ancak ana matrisin sıralamasının genişletilmiş matrisin sıralamasıyla eşleşmesi durumunda uyumludur.
II. Problem çözme örnekleri
1.39. Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplama
İşaret nerede 
kendisiyle bağlanan matrislerin temel dönüşümlerle birbirlerinden elde edildiğini ve bu nedenle aynı rütbeye sahip olduğunu belirtir.
A matrisinin rütbesi 2'dir, yani r=2'dir. ^
1.40. Temel dönüşümleri kullanarak matrisin sırasını hesaplayın
r=3 , Çünkü bir üçgen matrisin ilk üç sütunundan elde edilen determinantı sıfıra eşit değildir. ▲
Çerçeveleme yöntemini kullanarak bir matrisin sıralamasını hesaplama
Bu matriste sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör seçiyoruz. Daha sonra, aralarında sıfır olmayan bir tane bulana kadar seçileni çerçeveleyen (dahil eden) üçüncü dereceden küçükleri hesaplarız. Daha sonra, aralarında sıfır olmayan bir tane bulana kadar üçüncü derecenin sıfır olmayan minörünü çerçeveleyen dördüncü derecenin küçüklerini hesaplarız, vb. Eğer r'inci dereceden sıfır olmayan bir minör bulursanız ve onu çevreleyen (r+1)'inci dereceden tüm minörler sıfıra eşitse veya artık mevcut değilse, o zaman matrisin rütbesi r'ye eşittir.
1.41. Matris sıralamasını hesapla
∆ 
III'ün üzerini çizdim. , 2·ІІр'den beri. +Ben ІІІр.
Mesela şunu seçelim: 
Bunu çerçeveleyen üçüncü dereceden küçükleri hesaplayalım
sıfırdan farklı üçüncü dereceden minör.
Belirli bir matrisin sıfıra eşit olan dördüncü dereceden determinantında bulunur. Bu nedenle r=3. ▲
1.42. Denklem sistemlerini çözme
a) Burada r(A)=3, r(B)=3; sistem uyumlu, tanımlanmış.
O zamandan beri 
,
daha sonra örneğin Cramer'in formüllerine göre ilk üç sistemden şunu buluruz:
x1=-1, x2=0, x3=1
b) Burada r(A)=2, r(B)=2; sistem uyumludur ancak tanımlanmamıştır.
Belirleyici 
ve sistemin ilk iki denkleminden
x3 ve x4 bilinmeyenlerine herhangi bir değer verilebilmektedir.
c) bu durumda r(A)=2, r(B)=3; ve sistem uyumsuzdur.
1.43. Gauss yöntemini (bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması) kullanarak homojen bir denklem sistemini çözün:
ve temel çözüm sistemini bulun.
Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım (bu durumda sıfır sütunu elbette yazılamaz). Net dönüşümlerden sonra sahip olacağız
yani verilen sistem aşağıdakine eşdeğerdir:
Burada r=3 ve üç bilinmeyen ikincisine göre ifade edilebilir, örneğin:
x 2 = -2x 3 -3x 4 -9x 5 = -2x 3 -12x 5
x 1 = -2x 2 -3x 3 -4x 4 -5x 5 =x 3 +15x 5
Serbest bilinmeyenler x3, x5'e x3=1, x5=0 (sonra x1=1, x2=-2, x4=0) ve x3=0, x5=1 değeri verilirse temel sistem elde edilebilir ( sonra x1=15, x2=-12, x4=1). Bu, temel bir çözüm sistemi sağlar:
e 1 =(1, -2, 1, 0, 0), e 2 =(15, -12, 0, 1, 1)
Temel sistem kullanılarak genel çözüm genellikle çözümlerin doğrusal birleşimi olarak yazılır. e 1 bin e 2, yani:
1.44. Doğrusal denklem sisteminin temel çözüm sistemini bulun ve genel çözümünü yazın
Üçüncü satırı atlayalım. Sistem, ana bilinmeyenler x1, x2 ve serbest bilinmeyenler x3, x4 ile adım adım indirgenmiştir:
Son denklemden 
. İlkinden 
2 serbest bilinmeyen vardır. Bu nedenle, ana köşegenin birim elemanları ve ikincil köşegenin sıfır elemanları ile ikinci dereceden bir determinant alıyoruz: 
.
Bir vektör alalım e 1 =
(
)
Vektörler e 1 ve e temel bir çözüm sistemini temsil eder.
Şimdi genel çözüm şu şekilde yazılabilir:
Katsayıların atanması 
,
herhangi bir (keyfi) sayısal değerden çeşitli kısmi çözümler elde edeceğiz.
/IV'ü tüm satırlardan çıkar/ 
İlk satırla orantılı olan II, III, V satırlarının üzeri çizilecektir. Ortaya çıkan matriste I ve II sütunlarını yeniden düzenliyoruz:
Matrisin rütbesi 2'dir.
Temel bilinmeyenler x2 ve x1. Ücretsiz - x3, x4, x5. Sistem artık şuna benziyor:
Determinantın sütunlarının elemanlarına eşit olan serbest bilinmeyenlere sırayla değerler atama
1) x3=1, x4=0, x5=0; 2) x3=0, x4=1, x5=0; 3) x3=0, x4=0, x5=1
1) x2=1, x1=1; 2) x2=1, x1=-2; 3) x2=-2, x1=1
yani vektörler C 1 = (1, 2, 1, 0, 0)
C 2 =(-2, 1, 0, 1, 0)
C3 =(1, -2, 0, 0, 1)
temel bir çözüm sistemi oluşturur. Sistemin genel çözümü artık kalacaktır.
Katsayı matrisi
r=2 derecesine sahiptir (kontrol edin).
Temel minör için seçim yapalım 
Daha sonra indirgenmiş sistem şu şekle sahiptir:
Burada x3=c1, x4=c2, x5=c3'ü sayarsak şunu buluruz:
Sistemin genel çözümü
Genel çözümden temel çözüm sistemini buluyoruz
Temel sistemi kullanarak genel çözüm yazılabilir.
e=с1e1+с2e2+с3e3
^
§7 Matrislerle temel işlemler
Önceki paragrafta, çeşitli matrislerin satır ve sütunlarıyla yapılan doğrusal işlemler yaygın olarak kullanıldı. Ancak bazı doğrusal cebir sorularında matrislerle yapılan işlemleri tek bir nesneyle yapılan işlemler gibi düşünmek gerekir.
Matrislerle yapılan işlemlerin incelenmesi matris eşitliği kavramına dayanmaktadır. Bundan devam edeceğiz tanımlar: Aynı boyuttaki iki matrisin, karşılık gelen tüm elemanları eşitse eşit olduğu söylenir.
Sonuç olarak, aynı nxm boyutuna sahip A ve B matrisleri ancak ve ancak Aik=Bik i=1, 2,... , n; k=1, 2,... , m. Aynı zamanda yalnızca aynı boyuttaki matrislerin karşılaştırılabileceğini bir kez daha vurguluyoruz.
Aynı boyutta nxm olan iki A ve B matrisinin toplamı, aynı boyutta bir C matrisidir, öyle ki
(C) ik =(A) ik +(B) ik (1)
Bu nedenle, matrisleri eklerken (yalnızca aynı boyuttaki matrisleri ekleyebilirsiniz), bunlara karşılık gelen tüm öğeleri eklemelisiniz.
Matrislerin eklenmesi sayıların eklenmesine indirgendiğinden, bu matrislerin öğelerinin bir değişme ve birleşme özelliği olduğu açıktır.
A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C) (2)
A matrisi ile sayısının (veya sayısı ile A matrisinin) çarpımı B matrisidir, öyle ki
(B) ik =(A) ik (3),
yani bir matrisi bir sayıyla (veya sayıları bir matrisle) çarparken, matrisin tüm elemanlarının bu sayıyla çarpılması gerekir. Matris determinantının sayısıyla çarparken, yalnızca herhangi bir satırın (veya sütunun) elemanlarını bu sayıyla çarpmanın yeterli olduğunu hatırlayın.
Bir matris bir sayıyla çarpıldığında dağılım özelliğinin geçerli olup olmadığını kontrol etmek kolaydır:
(A+B)=A+B; (+)=A+B (4)
Şimdi iki matrisin çarpımını tanımlayalım. nxm boyutunda A matrisi ve mxp boyutunda B matrisi verilsin.
Tanım. nxm boyutunda A matrisinin mxp boyutunda matris B ile çarpımı nxp boyutunda bir C matrisidir, öyle ki
(5),
başka bir deyişle, çarpım matrisinin i'inci satırında ve k'inci sütununda yer alan bir öğeyi elde etmek için, ilk faktörün i'inci satırındaki elemanların çarpımlarının toplamını hesaplamanız gerekir. ve ikinci faktörün k'inci sütununun karşılık gelen elemanları. Bu nedenle, belirtilen toplamın toplanabilmesi için, ilk matristeki sütun sayısının (yani her satırdaki eleman sayısı), diğerindeki satır sayısına (yani her satırdaki eleman sayısına) eşit olması gerekir. her sütundaki öğelerin sayısı).
Örnek 1.
AB'yi bulun
Çözüm. A matrisinin boyutu 3x2, B matrisinin boyutu 2x2; ürün var - 3x2'lik bir matris.
Matrislerin çarpımı değiştirilebilir özelliğe sahip değildir: Genel anlamda AB, BA'ya eşit değildir.
İlk olarak, AB'nin hesaplanabildiği gerçeğinden, BA'nın anlamlı olduğu sonucu çıkmaz. Örneğin, az önce tartışılan örnekte, faktörleri yeniden düzenlemek, yani B'yi A ile çarpmak imkansızdır, çünkü 2x2'lik bir matrisi 3x2'lik bir matrisle çarpmak imkansızdır - buradaki ilk matrisin sütun sayısı şuna eşit değildir: diğerinin satır sayısı. Ancak BA çarpımı mevcut olsa bile çoğu zaman 
. Bir örneğe bakalım.
İzin vermek 
. Daha sonra
Aynı zamanda şu da kanıtlanabilir (okuyucunun böyle bir kanıt gerçekleştirmesini öneririz).
(AB)C=A(BC) (6)
A(B+C)=AB+AC
(Genellikle tüm bu eserlerin bir anlamı olduğu varsayılır).
Matris çarpımının tanımına göre, aynı mertebeden kare matrislerin çarpılması her zaman mümkündür ve çarpım aynı mertebeden bir matris olacaktır. Aynı mertebeden kare matrislerin çarpımının özelliklerinden birini kanıt olmadan not edelim: Aynı mertebeden iki matrisin çarpımının determinantı, çarpılan matrislerin determinantlarının çarpımına eşittir.
Çoğu zaman, nxm boyutlu bir matrisin mx1 boyutlu bir matrisle, yani tek sütunlu bir matrisle çarpımını dikkate almamız gerekir. Açıkçası, sonuç olarak nx1 boyutlu bir matris, yani aynı zamanda tek sütunlu bir matris elde etmeliyiz. Örneğin matrisi çarpmanız gerektiğini varsayalım.
matrise 
Sonuç olarak matrisi elde ederiz. 
elemanları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:
Ancak bu, önceki paragrafta tartışılan 1. dereceden denklem sisteminin çok uygun bir matris biçiminde yazılabildiği anlamına gelir: AX=B.
Matris cebirinin çeşitli uygulamalarında önemli bir rol, tüm köşegen elemanların (yani ana köşegen üzerindeki elemanların) 1'e ve diğer tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir kare matris tarafından oynanır. Böyle bir matrise birim matris denir. Açıkçası, birim matrisin determinantı
= 1
Birim matrisin aşağıdaki özellikleri karakteristiktir: n mertebesinden bir A kare matrisi ve aynı mertebeden bir E-birim matrisi verilsin. O zaman AE=EA=A olur.
Gerçekten 
, Ancak 
Bu nedenle toplamda 
yalnızca e=k'nin sıfırdan farklı olduğu bileşenler. Sonuç olarak, (AE) ік =(A) ік ve dolayısıyla AE=A. Benzerini EA ürünü için de elde ederiz.
Problem çözme örnekleri
1.61. İki matrisin AB ve BA çarpımını bulun
∆ A matrisinin sütun sayısı B matrisinin satır sayısına eşit olmadığından AB çarpımı mevcut değildir. B matrisinin sütun sayısı A matrisinin satır sayısına eşittir. Dolayısıyla, BA ürünü mevcut:
1.62. Aşağıdaki durumda 2A+5B matrisini bulun:
1. Değiştirme yöntemi: sistemin herhangi bir denkleminden bir bilinmeyeni diğeriyle ifade ederiz ve onu sistemin ikinci denkleminde yerine koyarız.
Görev. Denklem sistemini çözün:
Çözüm.İfade ettiğimiz sistemin ilk denkleminden en başından sonuna kadar X ve bunu sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım 
orijinaline eşdeğerdir.
Benzer terimler getirildikten sonra sistem şu şekli alacaktır:
İkinci denklemden şunu buluyoruz: . Bu değeri denklemde yerine koymak en = 2 - 2X, alıyoruz en= 3. Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.
2. Cebirsel toplama yöntemi: İki denklem toplayarak tek değişkenli bir denklem elde edersiniz.
Görev. Sistem denklemini çözün:
Çözüm.İkinci denklemin her iki tarafını da 2 ile çarparak sistemi elde ederiz. 
orijinaline eşdeğerdir. Bu sistemin iki denklemini topladığımızda sisteme ulaşıyoruz. 
Benzer terimler getirildikten sonra bu sistem şu şekli alacaktır: 
İkinci denklemden şunu buluyoruz. Bu değeri denklem 3'te yerine koyarsak X + 4en= 5, şunu elde ederiz 
, Neresi . Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.
3. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi: Sistemde yeni değişkenlerle göstereceğimiz bazı tekrar eden ifadeler arıyoruz, böylece sistemin görünümünü basitleştiriyoruz.
Görev. Denklem sistemini çözün:
Çözüm. Bu sistemi farklı yazalım: 
İzin vermek x + y = sen, xy = v. Daha sonra sistemi alıyoruz.
Değiştirme yöntemini kullanarak çözelim. İfade ettiğimiz sistemin ilk denkleminden sen başından sonuna kadar v ve bunu sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım 
onlar. 
Bulduğumuz sistemin ikinci denkleminden v 1 = 2, v 2 = 3.
Bu değerleri denklemde yerine koymak sen = 5 - v, alıyoruz sen 1 = 3,
sen 2 = 2. O zaman iki sistemimiz var
İlk sistemi çözerek iki çift sayı elde ederiz (1; 2), (2; 1). İkinci sistemin çözümü yoktur.
Bağımsız çalışma için alıştırmalar
1.Denklem sistemlerini yerine koyma yöntemini kullanarak çözebilecektir.