Doğrusal denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözme. Tek bölme şeması

Bir denklem sistemini çözerken

Gauss yönteminin en basit versiyonu büyük hatalarla sonuçlanır. Bunun nedeni, yuvarlanması büyük bir mutlak hata D ~ 0,5 ile sonuçlanan büyük katsayıların ortaya çıkmasıdır. Buna karşılık, küçük bir öncü katsayıya bölünerek büyük katsayılar elde edilir. .

Çözüm: Yuvarlama hatalarının etkisini azaltmak için yalnızca 0'dan farklı değil, aynı zamanda yeterince büyük olan bir öncü öğe seçmeniz gerekir.

Gauss yönteminin ilk modifikasyonu– dizelere göre arama yapın. Algoritmada koşuldan öncü elemanın seçilmesi gerekmektedir.

Değişiklik eksikliği. X i'nin D hatasıyla bulunduğunu varsayalım. Daha sonra, herhangi bir x s'yi ararken, ters formüle göre çarpmak gerekir. Bu durumda D hatası da çarpılacaktır. Değer büyükse hata artacaktır.

Çözüm:öncü elemanın sadece büyük değil aynı zamanda kendi hattındaki en büyük modülo olmasını sağlamak gerekir. Daha sonra, öncü çizgiyi normalleştirirken, formül (5)'e göre diğer tüm katsayılar mutlak değerde 1'den küçük olacak ve hatalar azaltmak.

Gauss yönteminin ikinci modifikasyonu– sütunlara göre arama yapın. Bu gereksinim, bilinmeyenler xi'nin rastgele sırayla hariç tutulması ve öncü satırın aranarak teslim edilmesi durumunda karşılanabilir. Bu bir sonraki öncü unsur olacak. Öncü elemanı belirledikten sonra k-th ve r-th'yi değiştirin sütunlar.

Dikkat. Böyle bir değiştirmeyle, x i bilinmeyenlerinin numaralandırması değişir. Böyle bir değişimi sağlamak için programlama sırasında bilinmeyenlerin gerçek sayılarını içeren p 1 ,…p n dizisinin girilmesi gerekir. İleriye doğru vuruşun başlangıcında, tüm p i = i olağan numaralandırmadır. Öndeki elemanı bulduktan sonra p k ve p r'yi değiştirin. Ters vuruş sırasında yeniden numaralandırılan xi, formül (7) kullanılarak hesaplanır. Tüm bilinmeyenleri hesapladıktan sonra şunu koymalıyız: y]:=x[i] ve bir dizi ey[i] sorunun nihai çözümü olacaktır.

Gauss yönteminin üçüncü modifikasyonu– tam arama. Teslimat elemanı lider olarak seçilir. Bu durumda, k-th ve r-th sütunları, pk ve p r ile m-th ve k-th satırları değiştirilir. Bu değişiklik maksimum doğruluk sağlar ancak aynı zamanda en karmaşık olanıdır.

Gauss yönteminin çeşitli doğrusal cebir problemlerini çözmek için uygulanması

1. Matrisin ters çevrilmesi. A kare matrisinin ters matrisini hesaplamak gerekli olsun. X = A –1 olsun. Bildiğiniz gibi AX = I, burada I, 1'lerin köşegen boyunca yerleştirildiği ve geri kalan elemanların 0 olduğu birim matristir. Başka bir deyişle, I matrisinin i'inci sütunu eşittir

(1, i'inci sıradadır). X (i) X matrisinin i'inci sütunu olsun. O zaman matris çarpma kuralına göre (satır sütunla çarpılır), A x (i) = e (i) elde ederiz. Bu, matrisi ters çevirmek için çözmemiz gerektiği anlamına gelir. N aynı matrislere ve farklı sağ taraflara sahip doğrusal denklem sistemleri:

Ah = e (1) ; Ah = e (2) ; …; Ah = e (N) . (2.1)

Bu sistemleri çözdükten sonra, bulunan x(1), x(2), ..., x(n) çözümlerinin A –1 matrisinin sütunları olduğunu buluyoruz.

2. Belirleyicilerin hesaplanması. A matrisini Gauss yöntemini kullanarak üçgen forma dönüştürme sürecinde onunla aşağıdaki eylemleri gerçekleştirdik:

1) yöntemin değiştirilmesine bağlı olarak satırların veya sütunların yeniden düzenlenmesi;

2) ön çizgiyi sıfır olmayan bir ön elemana bölün;

3) Matrisin satırlarına belirli bir sayıyla çarpılan bir ön satır eklendi.

Bilindiği gibi, bu tür dönüşümler sırasında matrisin determinantı buna karşılık gelen değişikliklere uğrar:

1) işareti değiştirir;

2) aynı elemana bölünür;

3) değişmez.

İleriye doğru hareketten sonra, A matrisi ana köşegendekiler ile üst üçgen forma indirgenecektir. Böyle bir matrisin determinantı açıkça 1'e eşittir. A matrisinin determinantının dönüşüm sürecinde geçirdiği değişiklikleri dikkate alarak aşağıdaki formüle sahibiz:

det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× an n ,

a jj'nin baş elemanlar olduğu durumda, s, baş elemanları ararken satırların ve/veya sütunların permütasyon sayısıdır.

TEST SORULARI VE GÖREVLERİ

1. Manuel olarak Belirli bir denklem sistemi için Gauss yöntemini (görev seçeneğine bağlı olarak tüm matris boyunca satırlar, sütunlar halinde arama yaparak) uygulayın

ve aşağıdaki görevleri tamamlayın

1) Bu denklem sistemini çözün

2) Bu sistemin matrisinin determinantını hesaplayın ( Gauss yöntemi– bkz. s. 2 ).

3) Bu sistemin matrisini ters çevirin ( Gauss yöntemi– bkz. s. 1 ).

Gelecekte, bu problemin çözümünün sonucunu bir test örneği olarak kullanın.

2. Gauss yöntemini kullanarak doğrusal bir sistemi çözmek için bir program oluşturun (görevin sürümüne bağlı olarak tüm matris boyunca satırlar, sütunlar halinde arama yaparak) ve bu programı kullanarak matris ters çevirme işlemini gerçekleştirin.

Doğrusal denklem sistemlerini dikkate almaya devam ediyoruz. Bu ders konuyla ilgili üçüncü derstir. Genel olarak doğrusal denklem sisteminin ne olduğuna dair belirsiz bir fikriniz varsa, kendinizi çaydanlık gibi hissediyorsanız, o zaman Sonraki sayfasındaki temel bilgilerle başlamanızı öneririm, dersi incelemenizde fayda var.

Gauss yöntemi kolaydır! Neden? Ünlü Alman matematikçi Johann Carl Friedrich Gauss, yaşamı boyunca tüm zamanların en büyük matematikçisi, bir dahi olarak tanındı ve hatta "Matematiğin Kralı" lakabını aldı. Ve bildiğiniz gibi ustaca olan her şey basit! Bu arada, sadece enayiler değil, dahiler de para alıyor - Gauss'un portresi 10 Alman Markı banknotun üzerindeydi (euro'nun piyasaya sürülmesinden önce) ve Gauss hala sıradan posta pullarından Almanlara gizemli bir şekilde gülümsüyor.

Gauss yöntemi basittir, çünkü BEŞİNCİ SINIF ÖĞRENCİSİNİN BİLGİSİ bu konuda uzmanlaşmak için YETERLİDİR. Toplama ve çarpmayı bilmelisiniz!Öğretmenlerin okul matematik seçmeli derslerinde bilinmeyenleri sıralı olarak hariç tutma yöntemini sıklıkla düşünmeleri tesadüf değildir. Bu bir paradoks ama öğrenciler Gauss yöntemini en zor buluyorlar. Şaşırtıcı bir şey yok - her şey metodolojiyle ilgili ve yöntemin algoritması hakkında erişilebilir bir biçimde konuşmaya çalışacağım.

Öncelikle doğrusal denklem sistemleri hakkında biraz bilgi verelim. Bir doğrusal denklem sistemi şunları yapabilir:

1) Benzersiz bir çözümünüz olsun. 2) Sonsuz sayıda çözümü var. 3) Çözümünüz yok (olun) ortak olmayan).

Gauss yöntemi çözüm bulmak için en güçlü ve evrensel araçtır herhangi Doğrusal denklem sistemleri. Hatırladığımız kadarıyla, Cramer kuralı ve matris yöntemi sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygun değildir. Ve bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi Her neyse bizi cevaba götürecek! Bu dersimizde yine 1 numaralı durum (sistemin tek çözümü) için Gauss yöntemini ele alacağız, 2-3 numaralı noktaların durumlarına bir makale ayrılmıştır. Yöntemin algoritmasının her üç durumda da aynı şekilde çalıştığını not ediyorum.

Dersten en basit sisteme dönelim Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür? Gauss metodunu kullanarak çözelim.

İlk adım yazmaktır genişletilmiş sistem matrisi: . Katsayıların hangi prensibe göre yazıldığını sanırım herkes görebilir. Matrisin içindeki dikey çizginin herhangi bir matematiksel anlamı yoktur; bu sadece tasarım kolaylığı için üstü çizili bir çizgidir.

Referans : hatırlamanı tavsiye ederim şartlar doğrusal cebir. Sistem Matrisi yalnızca bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan bir matristir; bu örnekte sistemin matrisi: . Genişletilmiş Sistem Matrisi – bu, sistemin aynı matrisi artı serbest terimlerin bir sütunudur, bu durumda: . Kısaca belirtmek gerekirse, matrislerden herhangi birine basitçe matris adı verilebilir.

Genişletilmiş sistem matrisi yazıldıktan sonra onunla bazı eylemlerin gerçekleştirilmesi gerekir. temel dönüşümler.

Aşağıdaki temel dönüşümler mevcuttur:

1) Dizeler matrisler Olabilmek yeniden düzenlemek bazı yerlerde. Örneğin, söz konusu matriste birinci ve ikinci satırları ağrısız bir şekilde yeniden düzenleyebilirsiniz:

2) Matriste orantılı (özel bir durum olarak - aynı) satırlar varsa (veya ortaya çıkmışsa), o zaman şunları yapmalısınız: silmek matristen biri hariç tüm bu satırlar. Örneğin matrisi düşünün . Bu matriste son üç satır orantılı olduğundan yalnızca birini bırakmak yeterlidir: .

3) Dönüşümler sırasında matriste sıfır satır görünüyorsa, o zaman aynı zamanda silmek. Tabii ki çizmeyeceğim, sıfır çizgisi hangi çizgidir? hepsi sıfır.

4) Matris satırı şu şekilde olabilir: çarpmak (bölmek) herhangi bir numaraya sıfır olmayan. Örneğin matrisi düşünün. Burada ilk satırı –3'e bölmeniz ve ikinci satırı 2 ile çarpmanız önerilir: . Bu eylem çok faydalıdır çünkü matrisin daha sonraki dönüşümlerini basitleştirir.

5) Bu dönüşüm en çok zorluğa neden olur, ancak aslında karmaşık bir şey de yoktur. Bir matrisin bir satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayıyla çarpılan başka bir dize ekle, sıfırdan farklı. Pratik bir örnekten matrisimize bakalım: . İlk önce dönüşümü çok detaylı bir şekilde anlatacağım. İlk satırı –2 ile çarpın: , Ve ikinci satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekliyoruz: . Artık ilk satır “geriye” –2 ile bölünebilir: . Gördüğünüz gibi EKLENEN satır LI – değişmedi. Her zaman EKLENEN satır değişir UT.

Pratikte elbette bu kadar ayrıntılı yazmıyorlar, kısaca yazıyorlar: Bir kez daha: ikinci satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekledim. Bir satır genellikle sözlü olarak veya taslak üzerinde çarpılır ve zihinsel hesaplama süreci şöyle olur:

“Matrisi yeniden yazıyorum ve ilk satırı yeniden yazıyorum: »

“İlk sütun. En altta sıfır almam gerekiyor. Bu nedenle üsttekini -2: ile çarpıyorum ve ilkini ikinci satıra ekliyorum: 2 + (–2) = 0. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

“Şimdi ikinci sütun. En üstte -1 ile -2'yi çarpıyorum: . İlkini ikinci satıra ekliyorum: 1 + 2 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

“Ve üçüncü sütun. En üstte -5 ile -2'yi çarpıyorum: . İlkini ikinci satıra ekliyorum: –7 + 10 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

Lütfen bu örneği dikkatlice anlayın ve sıralı hesaplama algoritmasını anlayın, bunu anlarsanız Gauss yöntemi pratik olarak cebinizde. Ama elbette bu dönüşüm üzerinde çalışmaya devam edeceğiz.

Temel dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez

! DİKKAT: dikkate alınan manipülasyonlar kullanılamaz, matrislerin "kendi başlarına" verildiği bir görev teklif edilirse. Örneğin “klasik” matrislerle işlemler Hiçbir durumda matrislerin içindeki hiçbir şeyi yeniden düzenlememelisiniz! Sistemimize dönelim. Pratik olarak parçalara ayrılır.

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu şuna indirelim: kademeli görünüm:

(1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Ve yine: neden ilk satırı –2 ile çarpıyoruz? Altta sıfır elde etmek için bu, ikinci satırda bir değişkenden kurtulmak anlamına gelir.

(2) İkinci satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümlerin amacı – matrisi aşamalı forma indirgeyin: . Görevin tasarımında, sadece "merdivenleri" basit bir kalemle işaretliyorlar ve ayrıca "basamaklarda" bulunan sayıları da daire içine alıyorlar. "Adımlı görünüm" terimi bilimsel ve eğitimsel literatürde tamamen teorik değildir; yamuk görünüm veya üçgen görünüm.

Temel dönüşümler sonucunda elde ettik eş değer orijinal denklem sistemi:

Şimdi sistemin ters yönde "çözülmesi" gerekiyor - aşağıdan yukarıya doğru bu işleme denir Gauss yönteminin tersi.

Alt denklemde zaten hazır bir sonucumuz var: .

Sistemin ilk denklemini ele alalım ve zaten bilinen “y” değerini onun içine koyalım:

Gauss yönteminin üç bilinmeyenli üç doğrusal denklemden oluşan bir sistemin çözülmesini gerektirdiği en yaygın durumu ele alalım.

Örnek 1

Denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün:

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım:

Şimdi çözüm sırasında ulaşacağımız sonucu hemen çizeceğim: Tekrar ediyorum, amacımız temel dönüşümleri kullanarak matrisi adım adım forma getirmektir. Nereden başlamalı?

İlk önce sol üstteki numaraya bakın: Neredeyse her zaman burada olmalı birim. Genel olarak konuşursak, -1 (ve bazen diğer sayılar) işe yarar, ancak bir şekilde geleneksel olarak bir genellikle oraya yerleştirilir. Bir birim nasıl organize edilir? İlk sütuna bakıyoruz - bitmiş bir birimimiz var! Birinci dönüşüm: birinci ve üçüncü satırları değiştirin:

Artık ilk satır çözümün sonuna kadar değişmeden kalacak. Zaten daha kolay.

Sol üst köşedeki ünite düzenlenmiştir. Şimdi bu yerlerde sıfır almanız gerekiyor:

Sıfırları “zor” bir dönüşüm kullanarak elde ederiz. İlk önce ikinci satırla ilgileniyoruz (2, –1, 3, 13). İlk pozisyonda sıfır almak için ne yapılması gerekiyor? Gerekiyor ikinci satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk satırı –2 ile çarpın: (–2, –4, 2, –18). Ve sürekli olarak (yine zihinsel olarak veya taslak üzerinde) ekleme yapıyoruz, ikinci satıra zaten –2 ile çarpılmış olan ilk satırı ekliyoruz:

Sonucu ikinci satıra yazıyoruz:

Üçüncü satırı da aynı şekilde ele alıyoruz (3, 2, –5, –1). İlk pozisyonda sıfır almak için ihtiyacınız olan üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk satırı –3 ile çarpın: (–3, –6, 3, –27). VE üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekliyoruz:

Sonucu üçüncü satıra yazıyoruz:

Uygulamada bu eylemler genellikle sözlü olarak gerçekleştirilir ve tek adımda yazılır:

Her şeyi aynı anda ve aynı anda saymaya gerek yok. Hesaplamaların sırası ve sonuçların “girilmesi” tutarlı ve genellikle şu şekildedir: önce ilk satırı yeniden yazarız ve yavaş yavaş kendimizi şişiririz - SÜREKLİ ve DİKKATLİCE:
Yukarıda hesaplamaların zihinsel sürecini zaten tartışmıştım.

Bu örnekte bunu yapmak kolaydır; ikinci satırı -5'e böleriz (çünkü oradaki tüm sayılar 5'e kalansız bölünebilir). Aynı zamanda üçüncü satırı -2'ye bölüyoruz çünkü sayılar ne kadar küçükse çözüm o kadar basit:

Temel dönüşümlerin son aşamasında, burada bir sıfır daha almanız gerekir:

Bunun için üçüncü satıra ikinci satırı –2 ile çarparak ekliyoruz:
Bu eylemi kendiniz anlamaya çalışın - ikinci satırı zihinsel olarak –2 ile çarpın ve ekleme işlemini gerçekleştirin.

Gerçekleştirilen son eylem, sonucun saç modelidir, üçüncü satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümler sonucunda eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde edildi: Serin.

Şimdi Gauss yönteminin tersi devreye giriyor. Denklemler aşağıdan yukarıya doğru “gevşemektedir”.

Üçüncü denklemde zaten hazır bir sonucumuz var:

İkinci denkleme bakalım: . "Zet"in anlamı zaten bilinmektedir, dolayısıyla:

Ve son olarak ilk denklem: . "Igrek" ve "zet" biliniyor, bu sadece küçük şeyler meselesi:

Cevap:

Tekrar tekrar belirtildiği gibi, herhangi bir denklem sistemi için bulunan çözümü kontrol etmek mümkün ve gereklidir, neyse ki bu kolay ve hızlıdır.

Örnek 2

Bu, bağımsız bir çözüm örneği, nihai tasarımın bir örneği ve dersin sonunda bir cevaptır.

Şunu belirtmek gerekir ki kararın ilerlemesi karar sürecimle örtüşmeyebilir, ve bu Gauss yönteminin bir özelliğidir. Ama cevaplar aynı olmalı!

Örnek 3

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Sol üstteki “adıma” bakıyoruz. Orada bir tane olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç birim yok, dolayısıyla satırları yeniden düzenlemek hiçbir şeyi çözmeyecek. Bu gibi durumlarda ünitenin temel bir dönüşüm kullanılarak düzenlenmesi gerekir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu yaptım: (1) İlk satıra ikinci satırı -1 ile çarparak ekliyoruz. Yani ikinci satırı zihinsel olarak –1 ile çarpıp birinci ve ikinci satırları ekledik, ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte “eksi bir” var ki bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyen herkes ek bir hareket yapabilir: İlk satırı –1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

(2) Birinci satırın 5 ile çarpılması ikinci satıra eklendi. İlk satırın 3 ile çarpılması üçüncü satıra eklendi.

(3) İlk satır -1 ile çarpılmıştır, prensip olarak bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adım”da gerekli üniteye sahip olduk.

(4) İkinci satır üçüncü satıra 2 ile çarpılarak eklendi.

(5) Üçüncü satır 3'e bölündü.

Hesaplamalarda bir hata olduğunu (daha nadiren bir yazım hatası) gösteren kötü bir işaret, "kötü" bir sonuçtur. Yani, eğer aşağıda , gibi bir şey varsa ve buna göre, , o zaman yüksek bir olasılıkla temel dönüşümler sırasında bir hata yapıldığını söyleyebiliriz.

Biz bunun tersini uyguluyoruz, örneklerin tasarımında genellikle sistemin kendisini yeniden yazmıyorlar, ancak denklemler "doğrudan verilen matristen alınıyor." Size hatırlatırım, ters vuruş aşağıdan yukarıya doğru çalışır. Evet, işte bir hediye:

Cevap: .

Örnek 4

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, biraz daha karmaşıktır. Birisinin kafası karışırsa sorun olmaz. Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım. Sizin çözümünüz benim çözümümden farklı olabilir.

Son bölümde Gauss algoritmasının bazı özelliklerine bakacağız. İlk özellik bazen sistem denklemlerinde bazı değişkenlerin eksik olmasıdır, örneğin: Genişletilmiş sistem matrisi nasıl doğru şekilde yazılır? Derste bu noktadan zaten bahsetmiştim. Cramer kuralı. Matris yöntemi. Sistemin genişletilmiş matrisinde eksik değişkenlerin yerine sıfırları koyarız: Bu arada, bu oldukça kolay bir örnek, çünkü ilk sütunda zaten bir sıfır var ve gerçekleştirilecek daha az temel dönüşüm var.

İkinci özellik şudur. Ele alınan tüm örneklerde “adımlara” –1 veya +1 yerleştirdik. Orada başka numaralar olabilir mi? Bazı durumlarda bunu yapabilirler. Sistemi düşünün: .

Burada sol üst “adım”da iki tane var. Ancak ilk sütundaki tüm sayıların 2'ye kalansız bölünebildiğini, diğerinin ise iki ve altı olduğunu fark ettik. Ve sol üstteki ikisi bize yakışacak! İlk adımda aşağıdaki dönüşümleri yapmanız gerekir: ilk satırı –1 ile çarparak ikinci satıra ekleyin; üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekleyin. Bu şekilde ilk sütunda gerekli sıfırları alacağız.

Veya başka bir geleneksel örnek: . Burada ikinci “adım”daki üç de bize uyar, çünkü 12 (sıfır almamız gereken yer) 3'e kalansız bölünebilir. Aşağıdaki dönüşümü gerçekleştirmek gerekir: ikinci satırı üçüncü satıra -4 ile çarparak ekleyin, bunun sonucunda ihtiyacımız olan sıfır elde edilecektir.

Gauss'un yöntemi evrenseldir ancak bir özelliği vardır. Sistemleri tam anlamıyla ilk seferde diğer yöntemleri (Cramer yöntemi, matris yöntemi) kullanarak çözmeyi güvenle öğrenebilirsiniz - çok katı bir algoritmaları vardır. Ancak Gauss yöntemine güvenebilmek için en az 5-10 onlu sistemi “işe sokmalı” ve çözmelisiniz. Bu nedenle ilk başta hesaplamalarda karışıklıklar ve hatalar olabilir ve bunda olağandışı veya trajik bir şey yoktur.

Pencerenin dışında yağmurlu bir sonbahar havası... Bu nedenle, kendi başına çözmek için daha karmaşık bir örnek isteyen herkes için:

Örnek 5

Dört bilinmeyenli 4 doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün.

Böyle bir görev pratikte o kadar da nadir değildir. Bu sayfayı iyice inceleyen bir çaydanlığın bile böyle bir sistemi sezgisel olarak çözme algoritmasını anlayacağını düşünüyorum. Temelde her şey aynı; yalnızca daha fazla eylem var.

Sistemin çözümünün olmadığı (tutarsız) veya sonsuz sayıda çözümün olduğu durumlar derste tartışılmaktadır. Uyumsuz sistemler ve ortak bir çözüme sahip sistemler. Burada Gauss yönteminin dikkate alınan algoritmasını düzeltebilirsiniz.

Size başarılar diliyorum!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm : Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim.
Gerçekleştirilen temel dönüşümler: (1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Birinci satır üçüncü satıra -1 ile çarpılarak eklendi. Dikkat! Burada birinciyi üçüncü satırdan çıkarmak isteyebilirsiniz; bunu çıkarmamanızı şiddetle tavsiye ederim - hata riski büyük ölçüde artar. Sadece katlayın! (2) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). İkinci ve üçüncü satırlar değiştirildi. lütfen aklınızda bulundurun , "adımlarda" sadece bir tanesinden değil, aynı zamanda -1'den de memnunuz ki bu daha da uygun. (3) İkinci satır üçüncü satıra 5 ile çarpılarak eklendi. (4) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). Üçüncü satır 14'e bölündü.

Tersi:

Cevap : .

Örnek 4: Çözüm : Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

Gerçekleştirilen dönüşümler: (1) Birinci satıra ikinci satır eklendi. Böylece sol üstteki “basamak”ta istenilen ünite düzenlenmiştir. (2) İlk satırın 7 ile çarpılması ikinci satıra eklendi. İlk satırın 6 ile çarpılması üçüncü satıra eklendi.

İkinci “adım”la her şey daha da kötüye gidiyor , bunun için "adaylar" 17 ve 23 sayılarıdır ve bizim ya bir ya da -1'e ihtiyacımız var. Dönüşümler (3) ve (4) istenen birimin elde edilmesini amaçlayacaktır. (3) İkinci satır üçüncü satıra -1 ile çarpılarak eklendi. (4) İkinci satıra üçüncü satır -3 ile çarpılarak eklendi. İkinci adımda gerekli öğe alındı. . (5) İkinci satır üçüncü satıra 6 ile çarpılarak eklendi. (6) İkinci satır -1 ile çarpılır, üçüncü satır -83'e bölünür.

Tersi:

Cevap :

Örnek 5: Çözüm : Sistemin matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

Gerçekleştirilen dönüşümler: (1) Birinci ve ikinci satırlar değiştirildi. (2) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. İlk satır -2 ile çarpılarak üçüncü satıra eklendi. Birinci satır dördüncü satıra -3 ile çarpılarak eklendi. (3) İkinci satır üçüncü satıra 4 ile çarpılarak eklenir. İkinci satır dördüncü satıra -1 ile çarpılarak eklenir. (4) İkinci satırın işareti değiştirildi. Dördüncü satır 3'e bölünerek üçüncü satırın yerine yerleştirildi. (5) Üçüncü satır dördüncü satıra –5 ile çarpılarak eklenir.

Tersi:

Cevap :

Gauss yöntemi Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözmek için mükemmeldir. Diğer yöntemlere göre bir takım avantajları vardır:

öncelikle tutarlılık açısından denklem sistemini incelemeye gerek yoktur;
ikinci olarak, Gauss yöntemi yalnızca denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakıştığı ve sistemin ana matrisinin tekil olmadığı SLAE'leri değil, aynı zamanda denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerle çakışmadığı denklem sistemlerini de çözebilir. bilinmeyen değişkenlerin sayısı veya ana matrisin determinantı sıfıra eşittir;
üçüncüsü, Gauss yöntemi nispeten az sayıda hesaplama işlemiyle sonuçlara yol açar.

Makaleye kısa genel bakış.

Öncelikle gerekli tanımları verip notasyonları tanıtıyoruz.

Daha sonra, en basit durum için Gauss yönteminin algoritmasını açıklayacağız, yani doğrusal cebirsel denklem sistemleri için, bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakışan denklemlerin sayısı ve sistemin ana matrisinin determinantı şöyledir: sıfıra eşit değil. Bu tür denklem sistemlerini çözerken, Gauss yönteminin özü en açık şekilde görülebilir; bu, bilinmeyen değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasıdır. Bu nedenle Gauss yöntemine bilinmeyenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi de denir. Birkaç örneğin ayrıntılı çözümlerini göstereceğiz.

Sonuç olarak, ana matrisi dikdörtgen veya tekil olan lineer cebirsel denklem sistemlerinin Gauss yöntemiyle çözümünü ele alacağız. Bu tür sistemlerin çözümü, örneklerle detaylı olarak inceleyeceğimiz bazı özelliklere sahiptir.

Sayfada gezinme.

Temel tanımlar ve gösterimler.

n bilinmeyenli (p, n'ye eşit olabilir) p doğrusal denklemden oluşan bir sistemi düşünün:

Bilinmeyen değişkenler, sayılar (gerçek veya karmaşık) ve serbest terimlerdir.

Eğer , o zaman doğrusal cebirsel denklemler sistemi denir homojen, aksi takdirde - heterojen.

Sistemin tüm denklemlerinin özdeşlik haline geldiği bilinmeyen değişkenlerin değerleri kümesine denir. SLAU'nun kararı.

Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri, aksi takdirde - ortak olmayan.

Bir SLAE'nin benzersiz bir çözümü varsa buna denir. kesin. Birden fazla çözüm varsa sistem çağrılır. belirsiz.

Sistemin yazılı olduğunu söylüyorlar koordinat formu, eğer formu varsa
.

Bu sistemdeki matris formu kayıtlar şu forma sahiptir: burada - SLAE'nin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenler sütununun matrisi, - serbest terimler matrisi.

A matrisine (n+1). sütun olarak serbest terimlerden oluşan bir matris sütunu eklersek, sözde elde ederiz. genişletilmiş matris Doğrusal denklem sistemleri. Tipik olarak, genişletilmiş bir matris T harfiyle gösterilir ve serbest terimler sütunu, kalan sütunlardan dikey bir çizgiyle ayrılır;

A kare matrisi denir dejenere determinantı sıfır ise. Eğer ise A matrisi denir dejenere olmayan.

Aşağıdaki noktaya dikkat edilmelidir.

Aşağıdaki işlemleri bir doğrusal cebirsel denklem sistemiyle gerçekleştirirseniz

iki denklemin yerini değiştir,
herhangi bir denklemin her iki tarafını keyfi ve sıfırdan farklı bir gerçek (veya karmaşık) k sayısıyla çarpın,
herhangi bir denklemin her iki tarafına başka bir denklemin karşılık gelen kısımlarını rastgele bir k sayısıyla çarparak ekleyin,

o zaman aynı çözümlere sahip (veya tıpkı orijinal sistem gibi hiçbir çözümü olmayan) eşdeğer bir sistem elde edersiniz.

Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin genişletilmiş matrisi için bu eylemler, satırlarla temel dönüşümlerin gerçekleştirilmesi anlamına gelecektir:

iki satırı değiştirerek,
T matrisinin herhangi bir satırının tüm elemanlarını sıfırdan farklı bir k sayısıyla çarpmak,
Bir matrisin herhangi bir satırının elemanlarına, başka bir satırın karşılık gelen elemanlarının rastgele bir k sayısıyla çarpılmasıyla eklenmesi.

Artık Gauss yönteminin açıklamasına geçebiliriz.

Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin tekil olmadığı doğrusal cebirsel denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözme.

Bir denklem sistemine çözüm bulma görevi bize verilseydi okulda ne yapardık? .

Bazıları bunu yapardı.

Birinci denklemin sol tarafını ikinci denklemin sol tarafına, sağ tarafını da sağ tarafına ekleyerek bilinmeyen x 2 ve x 3 değişkenlerinden kurtulabileceğinizi ve hemen x 1'i bulabileceğinizi unutmayın:

Bulunan x 1 =1 değerini sistemin birinci ve üçüncü denklemlerinde yerine koyarız:

Sistemin üçüncü denkleminin her iki tarafını -1 ile çarpıp birinci denklemin karşılık gelen kısımlarına eklersek bilinmeyen x 3 değişkeninden kurtuluruz ve x 2'yi bulabiliriz:

Ortaya çıkan x 2 = 2 değerini üçüncü denklemde yerine koyarız ve kalan bilinmeyen değişken x 3'ü buluruz:

Diğerleri farklı yapardı.

Sistemin ilk denklemini bilinmeyen x 1 değişkenine göre çözelim ve elde edilen ifadeyi sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinde bu değişkeni hariç tutmak için yerine koyalım:

Şimdi sistemin ikinci denklemini x 2 için çözelim ve elde edilen sonucu üçüncü denklemde yerine koyarak bilinmeyen x 2 değişkenini ortadan kaldıralım:

Sistemin üçüncü denkleminden x 3 =3 olduğu açıktır. Bulduğumuz ikinci denklemden ve elde ettiğimiz ilk denklemden.

Tanıdık çözümler, değil mi?

Buradaki en ilginç şey, ikinci çözüm yönteminin esasen bilinmeyenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi yani Gauss yöntemi olmasıdır. Bilinmeyen değişkenleri (ilk x 1, sonraki aşamada x 2) ifade edip sistemin geri kalan denklemlerine yerleştirdiğimizde onları dışarıda bırakmış oluyoruz. Son denklemde tek bir bilinmeyen değişken kalana kadar yok etme işlemi yaptık. Bilinmeyenlerin sırayla ortadan kaldırılması işlemine ne ad verilir? doğrudan Gauss yöntemi. İleriye doğru hamleyi tamamladıktan sonra son denklemde bulunan bilinmeyen değişkeni hesaplama fırsatına sahip oluyoruz. Onun yardımıyla sondan bir önceki denklemden bir sonraki bilinmeyen değişkeni buluruz vb. Son denklemden birinciye geçerken bilinmeyen değişkenleri sırayla bulma işlemine denir Gauss yönteminin tersi.

İlk denklemde x 1'i x 2 ve x 3 cinsinden ifade ettiğimizde ve elde edilen ifadeyi ikinci ve üçüncü denklemlerde değiştirdiğimizde, aşağıdaki eylemlerin aynı sonuca yol açacağına dikkat edilmelidir:

Aslında böyle bir prosedür, bilinmeyen x 1 değişkeninin sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden çıkarılmasını da mümkün kılar:

Sistem denklemleri bazı değişkenler içermediğinde, Gauss yöntemi kullanılarak bilinmeyen değişkenlerin ortadan kaldırılmasıyla ilgili nüanslar ortaya çıkar.

Örneğin, SLAU'da birinci denklemde bilinmeyen x 1 değişkeni yoktur (yani önündeki katsayı sıfırdır). Dolayısıyla bu bilinmeyen değişkeni kalan denklemlerden çıkarmak için sistemin ilk denklemini x 1 için çözemeyiz. Bu durumdan çıkmanın yolu sistemin denklemlerini değiştirmektir. Ana matrislerin determinantları sıfırdan farklı olan lineer denklem sistemlerini ele aldığımız için her zaman ihtiyacımız olan değişkenin bulunduğu bir denklem vardır ve bu denklemi ihtiyacımız olan konuma yeniden düzenleyebiliriz. Örneğimiz için sistemin birinci ve ikinci denklemlerinin yer değiştirmesi yeterlidir. , daha sonra x 1 için ilk denklemi çözebilir ve onu sistemin geri kalan denklemlerinden hariç tutabilirsiniz (her ne kadar x 1 artık ikinci denklemde mevcut olmasa da).

Ana fikri anladığınızı umuyoruz.

Hadi tarif edelim Gauss yöntemi algoritması.

n bilinmeyen değişkenli n doğrusal cebirsel denklemden oluşan bir sistemi çözmemiz gerektiğini varsayalım. ve ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olmasına izin verin.

Bunu her zaman sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek başarabileceğimiz için bunu varsayacağız. Bilinmeyen değişken x 1'i ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için sistemin ikinci denklemine birincisini çarptığımız denklemi, üçüncü denklemine birincisini ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme birincisini çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

nerede ve .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edip, elde edilen ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koysaydık aynı sonuca ulaşırdık. Böylece x 1 değişkeni ikinciden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra benzer şekilde ilerliyoruz, ancak yalnızca sonuçtaki sistemin şekilde işaretlenmiş kısmıyla

Bunu yapmak için sistemin üçüncü denklemine ikinciyi çarpıyoruz, dördüncü denkleme ikinciyi ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme ikinciyi çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

nerede ve . Böylece x2 değişkeni üçüncüden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra bilinmeyen x 3'ü ortadan kaldırmaya devam ediyoruz ve sistemin şekilde işaretlenen kısmı ile benzer şekilde hareket ediyoruz.

Böylece sistem aşağıdaki formu alana kadar Gauss yönteminin doğrudan ilerlemesine devam ederiz.

Bu andan itibaren Gauss yönteminin tersini başlatırız: son denklemden x n'yi şu şekilde hesaplarız, x n'nin elde edilen değerini kullanarak sondan bir önceki denklemden x n-1'i buluruz ve bu şekilde devam ederek ilk denklemden x 1'i buluruz .

Bir örnek kullanarak algoritmaya bakalım.

Örnek.

Gauss yöntemi.

Çözüm.

a 11 katsayısı sıfır değildir, bu nedenle Gauss yönteminin doğrudan ilerlemesine, yani bilinmeyen x 1 değişkeninin birincisi hariç sistemin tüm denklemlerinden hariç tutulmasına geçelim. Bunu yapmak için, ikinci, üçüncü ve dördüncü denklemlerin sol ve sağ taraflarına, birinci denklemin sol ve sağ taraflarını sırasıyla ile çarparak ekleyin. Ve :

Bilinmeyen x 1 değişkeni elendi, şimdi x 2'yi yok etmeye geçelim. Sistemin üçüncü ve dördüncü denklemlerinin sol ve sağ taraflarına, ikinci denklemin sol ve sağ taraflarını sırasıyla çarparak ekleriz. Ve :

Gauss yönteminin ileri ilerlemesini tamamlamak için sistemin son denkleminden bilinmeyen x3 değişkenini çıkarmamız gerekir. Dördüncü denklemin sol ve sağ taraflarına sırasıyla üçüncü denklemin sol ve sağ taraflarını çarparak ekleyelim. :

Gauss yöntemini tersine çevirmeye başlayabilirsiniz.

Elimizdeki son denklemden ,
elde ettiğimiz üçüncü denklemden,
ikinciden itibaren,
ilkinden.

Kontrol etmek için bilinmeyen değişkenlerin elde edilen değerlerini orijinal denklem sistemine değiştirebilirsiniz. Tüm denklemlerin özdeşliğe dönüşmesi Gauss yöntemini kullanan çözümün doğru bulunduğunu gösterir.

Cevap:

Şimdi aynı örneğe matris gösteriminde Gauss yöntemini kullanarak bir çözüm verelim.

Örnek.

Denklem sisteminin çözümünü bulun Gauss yöntemi.

Çözüm.

Sistemin genişletilmiş matrisi şu şekildedir: . Her sütunun üstünde matrisin elemanlarına karşılık gelen bilinmeyen değişkenler bulunur.

Buradaki Gauss yönteminin doğrudan yaklaşımı, sistemin genişletilmiş matrisinin temel dönüşümler kullanılarak yamuk forma indirilmesini içerir. Bu işlem, sistemle koordinat formunda yaptığımız bilinmeyen değişkenlerin ortadan kaldırılmasına benzer. Şimdi bunu göreceksiniz.

Matrisi, ikinci sütundan başlayarak ilk sütundaki tüm öğeler sıfır olacak şekilde dönüştürelim. Bunu yapmak için, ikinci, üçüncü ve dördüncü satırların elemanlarına, birinci satırın karşılık gelen elemanlarını ile çarparak ekleriz, ve buna göre:

Daha sonra, ortaya çıkan matrisi, ikinci sütunda üçüncüden başlayarak tüm öğelerin sıfır olacağı şekilde dönüştürüyoruz. Bu, bilinmeyen x 2 değişkeninin ortadan kaldırılmasına karşılık gelecektir. Bunu yapmak için, üçüncü ve dördüncü satırların elemanlarına, matrisin ilk satırının karşılık gelen elemanlarını sırasıyla çarparak ekleriz. Ve :

Geriye bilinmeyen x3 değişkenini sistemin son denkleminden hariç tutmak kalıyor. Bunu yapmak için, elde edilen matrisin son satırının elemanlarına, sondan bir önceki satırın karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak ekleriz: :

Bu matrisin bir doğrusal denklem sistemine karşılık geldiğine dikkat edilmelidir.

ileri bir hamleden sonra daha erken elde edildi.

Geri dönmenin zamanı geldi. Matris gösteriminde, Gauss yönteminin tersi, elde edilen matrisin şekilde işaretlenen matrisi elde edecek şekilde dönüştürülmesini içerir.

köşegen oldu, yani şeklini aldı

bazı sayılar nerede?

Bu dönüşümler Gauss yönteminin ileri dönüşümlerine benzer ancak ilk satırdan sonuncuya değil, sondan birinciye doğru gerçekleştirilir.

Üçüncü, ikinci ve birinci satırların elemanlarına, son satırın karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak ekleyin: , sürekli sırasıyla:

Şimdi ikinci ve birinci satırların elemanlarına üçüncü satırın karşılık gelen elemanlarını sırasıyla ve ile çarparak ekleyelim:

Ters Gauss yönteminin son adımında, ilk satırın elemanlarına ikinci satırın karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak ekleriz:

Ortaya çıkan matris denklem sistemine karşılık gelir bilinmeyen değişkenleri bulduğumuz yerden.

Cevap:

LÜTFEN AKLINIZDA BULUNDURUN.

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemini kullanırken, tamamen yanlış sonuçlara yol açabileceğinden yaklaşık hesaplamalardan kaçınılmalıdır. Ondalık sayıları yuvarlamamanızı öneririz. Ondalık kesirlerden sıradan kesirlere geçmek daha iyidir.

Örnek.

Gauss yöntemini kullanarak üç denklemden oluşan bir sistemi çözme .

Çözüm.

Bu örnekte bilinmeyen değişkenlerin farklı bir atamaya sahip olduğuna dikkat edin (x 1, x 2, x 3 değil, x, y, z). Sıradan kesirlere geçelim:

Bilinmeyen x'i sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden çıkaralım:

Ortaya çıkan sistemde, bilinmeyen değişken y ikinci denklemde yok, ancak üçüncü denklemde y mevcut, bu nedenle ikinci ve üçüncü denklemleri yer değiştirelim:

Bu, Gauss yönteminin doğrudan ilerleyişini tamamlar (bu bilinmeyen değişken artık mevcut olmadığından y'yi üçüncü denklemden çıkarmaya gerek yoktur).

Ters harekete başlayalım.

Bulduğumuz son denklemden ,
sondan bir öncekinden

elimizdeki ilk denklemden

Cevap:

X = 10, y = 5, z = -20.

Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla örtüşmediği veya sistemin ana matrisinin tekil olduğu doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin Gauss yöntemini kullanarak çözülmesi.

Ana matrisi dikdörtgen veya kare tekil olan denklem sistemlerinin çözümü olmayabilir, tek çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir.

Şimdi Gauss yönteminin bir doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu veya tutarsızlığını belirlememize ve uyumlu olması durumunda tüm çözümleri (veya tek bir çözümü) belirlememize nasıl izin verdiğini anlayacağız.

Prensip olarak, bu tür SLAE'ler durumunda bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırma süreci aynı kalır. Ancak ortaya çıkabilecek bazı durumlar hakkında detaya inmekte fayda var.

Gelelim en önemli aşamaya.

Dolayısıyla, Gauss yönteminin ileri ilerlemesini tamamladıktan sonra doğrusal cebirsel denklemler sisteminin şu şekli aldığını varsayalım: ve tek bir denklem bile indirgenmedi (bu durumda sistemin uyumsuz olduğu sonucuna varırdık). Mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: "Bundan sonra ne yapmalı?"

Ortaya çıkan sistemin tüm denklemlerinde ilk sırada yer alan bilinmeyen değişkenleri yazalım:

Örneğimizde bunlar x 1, x 4 ve x 5'tir. Sistemin denklemlerinin sol taraflarında yalnızca yazılı bilinmeyen değişkenler x 1, x 4 ve x 5'i içeren terimleri bırakıyoruz, geri kalan terimler ters işaretle denklemlerin sağ tarafına aktarılıyor:

Denklemlerin sağ tarafında yer alan bilinmeyen değişkenlere keyfi değerler verelim; - keyfi sayılar:

Bundan sonra SLAE'mizin tüm denklemlerinin sağ tarafları sayılar içerir ve Gauss yönteminin tersine ilerleyebiliriz.

Sistemin sahip olduğumuz son denkleminden, bulduğumuz sondan bir önceki denklemden, elde ettiğimiz ilk denklemden

Bir denklem sisteminin çözümü, bilinmeyen değişkenlerin değerlerinin bir kümesidir

Numara Vermek Farklı değerler alarak denklem sistemine farklı çözümler elde edeceğiz. Yani denklem sistemimizin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap:

Nerede - keyfi sayılar.

Malzemeyi pekiştirmek için birkaç örneğin daha çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Örnek.

Homojen bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözün Gauss yöntemi.

Çözüm.

Bilinmeyen x değişkenini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden hariç tutalım. Bunu yapmak için ikinci denklemin sol ve sağ taraflarına sırasıyla birinci denklemin sol ve sağ taraflarını ile çarparak, üçüncü denklemin sol ve sağ taraflarına ise sol ve sağ taraflarını ekliyoruz. ilk denklemin sağ taraflarının çarpımı:

Şimdi ortaya çıkan denklem sisteminin üçüncü denkleminden y'yi hariç tutalım:

Ortaya çıkan SLAE, sisteme eşdeğerdir .

Sistem denklemlerinin sol tarafında yalnızca bilinmeyen x ve y değişkenlerini içeren terimleri bırakıp, bilinmeyen değişken z'yi içeren terimleri sağ tarafa taşıyoruz:

Bilinmeyenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi olarak da adlandırılan Gauss yöntemi aşağıdaki gibidir. Temel dönüşümler kullanılarak, bir doğrusal denklem sistemi, katsayılar matrisinin şu şekilde olacağı bir forma getirilir: yamuk (üçgen veya kademeli ile aynı) veya yamuğa yakın (Gauss yönteminin doğrudan vuruşu, bundan sonra sadece düz vuruş olarak anılacaktır). Böyle bir sistemin bir örneği ve çözümü yukarıdaki şekildedir.

Böyle bir sistemde son denklem yalnızca bir değişken içerir ve değeri kesin olarak bulunabilir. Bu değişkenin değeri daha sonra önceki denklemde değiştirilir ( Gauss yönteminin tersi , sonra tam tersi), önceki değişkenin bulunduğu yerden vb.

Yamuk (üçgen) bir sistemde gördüğümüz gibi üçüncü denklem artık değişken içermiyor sen Ve X ve ikinci denklem değişkendir X .

Sistemin matrisi yamuk şeklini aldıktan sonra sistemin uyumluluk konusunu anlamak, çözüm sayısını belirlemek ve çözümleri bizzat bulmak artık zor değil.

Yöntemin avantajları:

Üçten fazla denklem ve bilinmeyen içeren doğrusal denklem sistemlerini çözerken, Gauss yöntemi Cramer yöntemi kadar hantal değildir, çünkü Gauss yöntemiyle çözmek daha az hesaplama gerektirir;
Gauss yöntemi belirsiz doğrusal denklem sistemlerini çözebilir, yani genel bir çözüme sahip olabilir (ve bunları bu derste analiz edeceğiz), Cramer yöntemini kullanarak ise yalnızca sistemin belirsiz olduğunu söyleyebiliriz;
bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olmadığı doğrusal denklem sistemlerini çözebilirsiniz (bu derste bunları da analiz edeceğiz);
Yöntem, ilgili makalede değindiğimiz ilkokul (okul) yöntemlerine - bilinmeyenleri değiştirme yöntemi ve denklem ekleme yöntemine dayanmaktadır.

Yamuk (üçgen, adım) doğrusal denklem sistemlerinin çözülmesinin basitliğini herkesin anlaması için, böyle bir sisteme ters hareket kullanarak bir çözüm sunuyoruz. Bu sistemin hızlı çözümü dersin başındaki resimde gösterilmiştir.

Örnek 1. Tersini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Çözüm. Bu trapez sistemde değişken züçüncü denklemden benzersiz bir şekilde bulunabilir. Değerini ikinci denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız sen:

Artık iki değişkenin değerini biliyoruz - z Ve sen. Bunları ilk denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız X:

Önceki adımlardan denklem sisteminin çözümünü yazıyoruz:

Çok basit bir şekilde çözdüğümüz böyle bir yamuk doğrusal denklem sistemi elde etmek için, doğrusal denklem sisteminin temel dönüşümleriyle ilişkili ileri vuruşun kullanılması gerekir. Ayrıca çok da zor değil.

Bir doğrusal denklem sisteminin temel dönüşümleri

Bir sistemin denklemlerini cebirsel olarak toplamaya yönelik okul yöntemini tekrarlayarak, sistemin denklemlerinden birine sistemin başka bir denklemini ekleyebileceğimizi ve denklemlerin her birinin bazı sayılarla çarpılabileceğini öğrendik. Sonuç olarak buna eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz. İçinde, bir denklem zaten yalnızca bir değişken içeriyordu ve değerini diğer denklemlerle değiştirerek bir çözüme ulaştık. Böyle bir ekleme, sistemin temel dönüşüm türlerinden biridir. Gauss yöntemini kullanırken çeşitli dönüşüm türlerini kullanabiliriz.

Yukarıdaki animasyon denklem sisteminin nasıl yavaş yavaş yamuğa dönüştüğünü gösteriyor. Yani, ilk animasyonda gördüğünüz ve tüm bilinmeyenlerin değerlerini ondan bulmanın kolay olduğuna kendinizi ikna ettiğiniz şey. Böyle bir dönüşümün nasıl gerçekleştirileceği ve elbette örnekler daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Denklem sisteminde ve sistemin genişletilmiş matrisinde herhangi bir sayıda denklem ve bilinmeyen içeren doğrusal denklem sistemlerini çözerken Olabilmek:

satırları yeniden düzenleyin (bu, bu makalenin en başında belirtilmiştir);
diğer dönüşümler eşit veya orantılı satırlarla sonuçlanırsa, biri hariç bunlar silinebilir;
tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu "sıfır" satırları kaldırın;
herhangi bir dizeyi belirli bir sayıyla çarpmak veya bölmek;
herhangi bir satıra belirli bir sayıyla çarpılarak başka bir satır eklenir.

Dönüşümler sonucunda buna eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz.

Algoritma ve Gauss yöntemini kullanarak sistemin kare matrisli bir doğrusal denklem sistemini çözme örnekleri

Öncelikle bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olduğu doğrusal denklem sistemlerini çözmeyi ele alalım. Böyle bir sistemin matrisi karedir, yani içindeki satır sayısı sütun sayısına eşittir.

Örnek 2. Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Doğrusal denklem sistemlerini okul yöntemlerini kullanarak çözerken, denklemlerden birini terim terimle çarptık, böylece iki denklemdeki ilk değişkenin katsayıları zıt sayılar oldu. Denklemler eklenirken bu değişken ortadan kaldırılır. Gauss yöntemi de benzer şekilde çalışır.

Çözümün görünümünü basitleştirmek için sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturalım:

Bu matriste bilinmeyenlerin katsayıları dikey çizgiden önce solda, serbest terimler ise dikey çizgiden sonra sağda yer almaktadır.

Değişkenler için katsayıları bölmenin kolaylığı için (birliğe göre bölme elde etmek için) Sistem matrisinin birinci ve ikinci satırlarını değiştirelim. Buna eşdeğer bir sistem elde ederiz, çünkü doğrusal denklem sisteminde denklemler birbirinin yerine geçebilir:

Yeni birinci denklemi kullanma değişkeni ortadan kaldırmak X ikinci ve sonraki tüm denklemlerden. Bunu yapmak için, matrisin ikinci satırına, ilk satırı (bizim durumumuzda - ile) çarparak üçüncü satıra - ilk satırı (bizim durumumuzda - ile) ekleriz.

Bu mümkün çünkü

Sistemimizde üçten fazla denklem olsaydı, sonraki tüm denklemlere ilk satırı eksi işaretiyle alınan karşılık gelen katsayıların oranıyla çarpmamız gerekirdi.

Sonuç olarak, ikinciden başlayarak tüm denklemlerin yer aldığı yeni bir denklem sisteminin bu sistemine eşdeğer bir matris elde ediyoruz. değişken içermez X :

Ortaya çıkan sistemin ikinci satırını basitleştirmek için, onu çarpın ve bu sisteme eşdeğer bir denklem sisteminin matrisini tekrar elde edin:

Şimdi, ortaya çıkan sistemin ilk denklemini değiştirmeden, ikinci denklemi kullanarak değişkeni ortadan kaldırırız sen sonraki tüm denklemlerden. Bunu yapmak için, sistem matrisinin üçüncü satırına ikinci satırı (bizim durumumuzda ile) çarparak ekleriz.

Sistemimizde üçten fazla denklem olsaydı, sonraki tüm denklemlere eksi işaretiyle alınan karşılık gelen katsayıların oranıyla çarpılarak ikinci bir satır eklememiz gerekirdi.

Sonuç olarak, yine bu doğrusal denklem sistemine eşdeğer bir sistemin matrisini elde ederiz:

Eşdeğer bir yamuk doğrusal denklem sistemi elde ettik:

Denklem ve değişken sayısı örneğimizdekinden fazla ise değişkenleri sırayla eleme işlemi demo örneğimizde olduğu gibi sistem matrisi yamuk hale gelinceye kadar devam eder.

Çözümü "sondan" bulacağız - ters hareket. Bunun için Belirlediğimiz son denklemden z:
.
Bu değeri önceki denklemde yerine koyarsak, bulacağız sen:

İlk denklemden bulacağız X:

Cevap: Bu denklem sisteminin çözümü .

: Bu durumda sistemin tek bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir. Eğer sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa o zaman cevap bu olacaktır ve bu da bu dersin beşinci bölümünün konusudur.

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini kendiniz çözün ve ardından çözüme bakın

Burada yine denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu tutarlı ve belirli bir doğrusal denklem sistemi örneğiyle karşı karşıyayız. Demo örneğimizin algoritmadan farkı zaten dört denklemin ve dört bilinmeyenin olmasıdır.

Örnek 4. Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Şimdi değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Hazırlık çalışmalarını yapalım. Katsayıların oranını daha uygun hale getirmek için ikinci satırın ikinci sütununda bir tane almanız gerekir. Bunu yapmak için üçüncüyü ikinci satırdan çıkarın ve elde edilen ikinci satırı -1 ile çarpın.

Şimdi üçüncü ve dördüncü denklemlerden değişkenin fiili eliminasyonunu gerçekleştirelim. Bunu yapmak için, ikinci satırı üçüncü satıra, ile çarpılan ikinci satırı dördüncü satıra ekleyin.

Şimdi üçüncü denklemi kullanarak dördüncü denklemdeki değişkeni ortadan kaldırıyoruz. Bunu yapmak için üçüncü satırı dördüncü satıra ile çarparak ekleyin. Genişletilmiş bir yamuk matris elde ediyoruz.

Verilen sistemin eşdeğer olduğu bir denklem sistemi elde ettik:

Dolayısıyla ortaya çıkan ve verilen sistemler uyumlu ve kesindir. Nihai çözümü “sondan” buluyoruz. Dördüncü denklemden “x dördüncü” değişkeninin değerini doğrudan ifade edebiliriz:

Bu değeri sistemin üçüncü denkleminde yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

Son olarak değer ikamesi

İlk denklem şunu verir

“önce x”i nerede bulacağız:

Cevap: Bu denklem sisteminin benzersiz bir çözümü var .

Sistemin çözümünü Cramer yöntemini kullanarak bir hesap makinesinde de kontrol edebilirsiniz: bu durumda sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Alaşımlarla ilgili bir problem örneğini kullanarak Gauss yöntemini kullanarak uygulamalı problemleri çözme

Doğrusal denklem sistemleri fiziksel dünyadaki gerçek nesneleri modellemek için kullanılır. Bu sorunlardan birini çözelim: alaşımlar. Benzer problemler, karışımlar, bir mal grubu içindeki bireysel malların maliyeti veya payı vb. ile ilgili problemlerdir.

Örnek 5.Üç parça alaşımın toplam kütlesi 150 kg'dır. İlk alaşım% 60 bakır, ikinci -% 30, üçüncü -% 10 bakır içerir. Ayrıca ikinci ve üçüncü alaşımlarda birinci alaşıma göre 28,4 kg, üçüncü alaşımda ise ikinciye göre 6,2 kg daha az bakır bulunmaktadır. Alaşımın her bir parçasının kütlesini bulun.

Çözüm. Bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz:

İkinci ve üçüncü denklemleri 10 ile çarparız, eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz:

Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturuyoruz:

Dikkat, dümdüz ileri. Bir satırı bir sayıyla çarparak (bizim durumumuzda çıkararak) (bunu iki kez uyguluyoruz), sistemin genişletilmiş matrisinde aşağıdaki dönüşümler meydana gelir:

Doğrudan geçiş bitti. Genişletilmiş bir yamuk matris elde ettik.

Ters hareketi uyguluyoruz. Çözümü sondan buluyoruz. Bunu görüyoruz.

Bulduğumuz ikinci denklemden

Üçüncü denklemden -

Sistemin çözümünü Cramer yöntemini kullanarak bir hesap makinesinde de kontrol edebilirsiniz: bu durumda sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Gauss'un yönteminin basitliği, Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un onu icat etmesinin yalnızca 15 dakika sürmesiyle kanıtlanıyor. Kendi adını taşıyan yöntemin yanı sıra, Gauss'un eserlerinden, keşif yapma konusunda bir tür kısa talimat olan "Bize inanılmaz ve doğal olmayan görüneni kesinlikle imkansız olanla karıştırmamalıyız" sözü de bilinmektedir.

Uygulamalı problemlerin çoğunda üçüncü bir kısıtlama, yani üçüncü bir denklem olmayabilir; o zaman Gauss yöntemini kullanarak, üç bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemi çözmek gerekir veya tam tersi, denklemlerden daha az bilinmeyen vardır. Şimdi bu tür denklem sistemlerini çözmeye başlayacağız.

Gauss yöntemini kullanarak herhangi bir sistemin uyumlu olup olmadığını belirleyebilirsiniz. N ile doğrusal denklemler N değişkenler.

Gauss yöntemi ve sonsuz sayıda çözümü olan doğrusal denklem sistemleri

Bir sonraki örnek, sonsuz sayıda çözüme sahip olan, tutarlı fakat belirsiz bir doğrusal denklem sistemidir.

Sistemin genişletilmiş matrisinde dönüşümler gerçekleştirdikten sonra (satırları yeniden düzenlemek, satırları belirli bir sayıyla çarpmak ve bölmek, bir satıra başka bir satır eklemek), formun satırları görünebilir

Forma sahip tüm denklemlerde ise

Serbest terimler sıfıra eşittir, bu da sistemin belirsiz olduğu, yani sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu ve bu tür denklemlerin “gereksiz” olduğu ve bunları sistemin dışında bıraktığımız anlamına gelir.

Örnek 6.

Çözüm. Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturalım. Daha sonra ilk denklemi kullanarak değişkeni sonraki denklemlerden çıkarırız. Bunu yapmak için ikinci, üçüncü ve dördüncü satırlara birinciyi şununla çarparak ekleyin:

Şimdi ikinci satırı üçüncü ve dördüncü satıra ekleyelim.

Sonuç olarak sisteme ulaşıyoruz.

Son iki denklem formun denklemlerine dönüştü. Bu denklemler bilinmeyenlerin herhangi bir değeri için sağlanır ve atılabilir.

İkinci denklemi sağlamak için ve için isteğe bağlı değerler seçebiliriz, ardından değer benzersiz olarak belirlenecektir: . İlk denklemden değeri de benzersiz bir şekilde bulunur: .

Hem verilen hem de son sistemler tutarlıdır ancak belirsizdir ve formüller

keyfi için ve bize belirli bir sistemin tüm çözümlerini verin.

Gauss yöntemi ve çözümü olmayan doğrusal denklem sistemleri

Bir sonraki örnek tutarsız, yani çözümü olmayan bir doğrusal denklem sistemidir. Bu tür sorunların cevabı şu şekilde formüle edilmiştir: Sistemin çözümü yoktur.

İlk örnekle bağlantılı olarak daha önce de belirtildiği gibi, dönüşümler gerçekleştirildikten sonra formun satırları sistemin genişletilmiş matrisinde görünebilir

formun bir denklemine karşılık gelen

Aralarında sıfırdan farklı serbest terimli en az bir denklem varsa (örn.), bu denklem sistemi tutarsızdır, yani çözümü yoktur ve çözümü tamdır.

Örnek 7. Doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün:

Çözüm. Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturuyoruz. İlk denklemi kullanarak değişkeni sonraki denklemlerden hariç tutuyoruz. Bunun için ilk satırın çarpımını ikinci satıra, ilk satırın üçüncü satırla çarpımını ve ilk satırın çarpımını dördüncü satıra ekleyin.

Şimdi değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Katsayıların tamsayı oranlarını elde etmek için sistemin genişletilmiş matrisinin ikinci ve üçüncü satırlarını değiştiririz.

Üçüncü ve dördüncü denklemleri hariç tutmak için ikinciyi üçüncü satıra, ikinciyi ise dördüncü satıra ekliyoruz.

Şimdi üçüncü denklemi kullanarak dördüncü denklemdeki değişkeni ortadan kaldırıyoruz. Bunu yapmak için üçüncü satırı dördüncü satıra ile çarparak ekleyin.

Dolayısıyla verilen sistem aşağıdakine eşdeğerdir:

Ortaya çıkan sistem tutarsızdır çünkü son denklemi bilinmeyenlerin herhangi bir değeri tarafından karşılanamaz. Dolayısıyla bu sistemin çözümü yoktur.

2. Gauss yönteminin modifikasyonları

Ana elemanın seçimi ile Gauss yöntemi. Gauss yönteminin ana sınırlaması, her ileri adımda bölmenin yapıldığı tüm elemanların sıfıra eşit olmadığı varsayımıdır. Bu elemanlara asal elemanlar denir ve A matrisinin ana köşegeninde bulunurlar.

İleri hareketin herhangi bir adımında ana eleman = 0 ise sistemin daha ileri çözümü imkansızdır. Ana elemanın sıfıra yakın küçük bir değeri varsa, bölme sonucu elde edilen katsayıların mutlak değerindeki keskin bir artış nedeniyle hatada güçlü bir artış mümkündür. Bu gibi durumlarda Gauss yöntemi kararsız hale gelir.

Ana elemanın seçildiği Gauss yöntemi, bu tür durumların ortaya çıkmasını engellememize olanak tanır.

Bu yöntemin fikri şu şekildedir. İleri hareketin k'inci adımında denklemlerin dışında tutulan bir sonraki numaralı değişken x k değil, katsayısı mutlak değer olarak en büyük olan değişkendir. Bu, sıfıra bölünme olmamasını ve yöntemin kararlı kalmasını sağlar.

Eğer k. adımda ana eleman olarak ¹ seçilirse, A¢ matrisinde k ve p numaralı satırların ve k ve q numaralı sütunların yer değiştirmesi gerekir.

Satırların yeniden düzenlenmesi sistemdeki denklemlerin tersine çevrilmesine karşılık geldiğinden çözümü etkilemez, ancak sütunların yeniden düzenlenmesi değişkenlerin numaralandırılmasının değiştirilmesi anlamına gelir. Bu nedenle, yeniden düzenlenen tüm sütunlarla ilgili bilgilerin korunması gerekir, böylece ters hareket tamamlandıktan sonra değişkenlerin orijinal numaralandırması geri yüklenebilir.

Gauss yönteminin daha basit iki modifikasyonu vardır:

Ana elemanın sütun bazında seçilmesiyle;

Ana elemanın satır bazında seçilmesiyle.

İlk durumda k. satırın mutlak değerindeki en büyük eleman (i = elemanlarından) ana eleman olarak seçilir. İkincisinde - k'inci sütunun mutlak değerindeki en büyük öğe (öğeler arasında i =). Değişkenlerin numaralandırması burada değişmediğinden ilk yaklaşım en yaygın olanıdır.

Bu değişikliklerin yalnızca Gauss yönteminin ileri hareketi için geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. Ters hareket herhangi bir değişiklik yapılmadan gerçekleştirilir, ancak bir çözüm elde edildikten sonra değişkenlerin orijinal numaralandırmasının geri yüklenmesi gerekebilir.

LU ayrışımı. Modern bilgisayar yazılımında, Gauss yöntemi LU ayrıştırması kullanılarak uygulanır; bu, A katsayı matrisini, L ve U iki matrisinin A = LU ürünü olarak temsil ettiği anlaşılan LU ayrıştırması kullanılarak uygulanır; burada L, alt üçgen matristir, U üst üçgen matristir.

LU açılımı elde edilirse, orijinal denklem sisteminin (2) çözümü, aşağıdaki üçgen katsayılı matrislere sahip iki denklem sisteminin sıralı çözümüne indirgenir.

doğrusal cebirsel denklem sayısal

burada Y = yardımcı değişkenlerin bir vektörüdür.

Bu yaklaşım, farklı sağ taraflara sahip B olan doğrusal denklem sistemlerini tekrar tekrar çözmenize olanak tanır. Bu durumda, en emek yoğun kısım (A matrisinin LU ayrıştırması) yalnızca bir kez gerçekleştirilir. Bu prosedür, Gauss yönteminin ileriye doğru çalıştırılmasına karşılık gelir ve O(n 3) karmaşıklık tahminine sahiptir. Denklem (6) ve (7) sistemlerinin daha ileri çözümleri birçok kez gerçekleştirilebilir (farklı B için) ve her birinin çözümü Gauss yönteminin tersine karşılık gelir ve O(n 2) hesaplama karmaşıklığı tahminine sahiptir. ).

LU ayrıştırmasını elde etmek için aşağıdaki algoritmayı kullanabilirsiniz.

1. Orijinal sistem (1) için Gauss yönteminin ileri ilerlemesini gerçekleştirin ve bir üçgen denklem sistemi (5) elde edin.

2. U matrisinin elemanlarını kurala göre belirleyin

u ij = C ij (i = ; j = )

3. L matrisinin elemanlarını kurallara göre hesaplayın

Sistem (6)'yı çözmek için hesaplama formülleri aşağıdaki forma sahiptir:

y1 = b1/l11;

Sistemi çözmek için hesaplama formülleri (7)

(i = n - 1, n - 2, …, 1).

Aynı zamanda, aslında ters matrisi bulmak oldukça emek yoğun bir süreçtir ve programlanmasına pek de temel bir görev denemez. Bu nedenle pratikte doğrusal denklem sistemlerini çözmek için sayısal yöntemler daha sık kullanılır. Doğrusal denklem sistemlerini çözmeye yönelik sayısal yöntemler şunları içerir: Gauss yöntemi, Cramer yöntemi, yinelemeli yöntemler. Örneğin Gauss yönteminde şunlar üzerinde çalışırlar:

35437 x4=0,58554 5 x1=1,3179137 x2=-1,59467 x3=0,35371 x4=0,58462 6 x1=1,3181515 x2=-1,59506 x3=0,35455 x4=0,58557 5. Çeşitli sayısal türev ve entegrasyon yöntemlerinin karşılaştırmalı analizi 5.1 Sayısal farklılaşma yöntemleri 5.1.1 Açıklama yöntemi xi noktasının bir komşuluğunda F(x) fonksiyonunun yeterli sayıda türevlenebilir olduğunu varsayalım. ...

Basit yineleme yöntemini kullanarak doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Turbo Pascal 7.0'da. 1.2 Problemin matematiksel formülasyonu A tekil olmayan bir matris olsun ve A matrisinin köşegen elemanlarının sıfır olmadığı bir sistemi çözmemiz gerekiyor. 1.3 Problemin çözümü için mevcut sayısal yöntemlerin gözden geçirilmesi Gauss yöntemi Gauss yönteminde, SLAE matrisi eşdeğer kullanılarak...

Sayılar). Daha sonra (2) formülleri kullanılarak i=n-1, n-2,...,1 için sırasıyla xn-1, xn-2,..., x1 bulunur. Böylece, (1) tipi denklemlerin çözümü, süpürme yöntemi adı verilen ve üç basit formül kullanılarak yapılan hesaplamalara indirgenen bir yöntemle tanımlanır: i=1 için formül (3) kullanılarak sözde süpürme katsayıları δi, λi'nin bulunması ,2,…,n (doğrudan tarama) ve ardından bilinmeyen xi...