Matris yöntemi SLAU çözümleri Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına karşılık geldiği denklem sistemlerinin çözümüne uygulanır. Yöntem en iyi şekilde düşük dereceli sistemleri çözmek için kullanılır. Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemi, matris çarpımının özelliklerinin uygulanmasına dayanır.
Bu yöntem başka bir deyişle ters matris yöntemi, Bu şekilde adlandırılmasının nedeni çözümün sıradan bir matris denklemine indirgenmesidir ve bunu çözmek için ters matrisi bulmanız gerekir.
Matris çözüm yöntemi Belirleyicisi sıfırdan büyük veya küçük olan bir SLAE aşağıdaki gibidir:
Diyelim ki bir SLE (doğrusal denklem sistemi) var. N bilinmiyor (rastgele bir alan üzerinden):
Bu, kolaylıkla matris formuna dönüştürülebileceği anlamına gelir:
AX=B, Nerede A- sistemin ana matrisi, B Ve X- sırasıyla sistemin serbest terimleri ve çözümlerinin sütunları:
Bu matris denklemini soldan şununla çarpalım: A−1— matrisi matrise ters çevir A: A −1 (AX)=A −1 B.
Çünkü A −1 A=E, Araç, X=A −1 B. Denklemin sağ tarafı başlangıç sisteminin çözüm sütununu verir. Matris yönteminin uygulanabilirliğinin koşulu matrisin dejenere olmamasıdır. A. Bunun için gerekli ve yeterli koşul, matrisin determinantının sıfıra eşit olmamasıdır. A:
detA≠0.
İçin homojen doğrusal denklem sistemi, yani eğer vektör B=0, bunun tersi kural geçerlidir: sistem AX=0önemsiz olmayan (yani sıfıra eşit olmayan) bir çözüm yalnızca şu durumlarda vardır: detayA=0. Homojen ve homojen olmayan doğrusal denklem sistemlerinin çözümleri arasındaki bu bağlantıya denir. Fredholm'un alternatifi.
Böylece SLAE'nin matris yöntemini kullanarak çözümü aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilir. 
. Veya SLAE'nin çözümü şu şekilde bulunur: ters matris A−1.
Bir kare matris için bilinmektedir A emir N Açık N ters bir matris var A−1 yalnızca determinantı sıfırdan farklıysa. Böylece sistem N doğrusal cebirsel denklemler N Bilinmeyenleri matris yöntemini kullanarak ancak sistemin ana matrisinin determinantı sıfıra eşit olmadığında çözeriz.
Bu yöntemin uygulanabilirliğinde sınırlamalar olmasına ve katsayıların büyük değerleri ve yüksek dereceli sistemler için hesaplamaların zorlukları olmasına rağmen, yöntem bilgisayarda kolaylıkla uygulanabilir.
Homojen olmayan bir SLAE'yi çözme örneği.
Öncelikle bilinmeyen SLAE'lerin katsayı matrisinin determinantının sıfıra eşit olup olmadığını kontrol edelim.
Şimdi bulduk birleşim matrisi ters matrisi belirlemek için onu transpoze edin ve formülde değiştirin.
Değişkenleri formülde değiştirin:
Şimdi ters matris ile serbest terimler sütununu çarparak bilinmeyenleri buluyoruz.
Bu yüzden, x=2; y=1; z=4.
SLAE'nin olağan formundan matris formuna geçerken sistem denklemlerindeki bilinmeyen değişkenlerin sırasına dikkat edin. Örneğin:
Şu şekilde yazılamaz:
Öncelikle sistemin her denklemindeki bilinmeyen değişkenleri sıralamak ve ancak bundan sonra matris gösterimine geçmek gerekir:
Ayrıca bilinmeyen değişkenlerin belirlenmesinde dikkatli olmanız gerekir. x 1, x 2 , …, x n başka harfler de olabilir. Örneğin:
matris formunda bunu şu şekilde yazarız:
Matris yöntemi, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakıştığı ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfıra eşit olmadığı doğrusal denklem sistemlerini çözmek için daha iyidir. Bir sistemde 3'ten fazla denklem olduğunda ters matrisi bulmak daha fazla hesaplama çabası gerektirecektir, bu nedenle bu durumda çözüm için Gauss yönteminin kullanılması tavsiye edilir.
Konu 2. LİNEER CEBİR DENKLEM SİSTEMLERİ.
Temel kavramlar.
Tanım 1. Sistem M ile doğrusal denklemler N bilinmeyenler formdaki bir sistemdir:
nerede ve sayılar.
Tanım 2. (I) sisteminin çözümü, bu sistemin her denkleminin bir özdeşliğe dönüştüğü bir bilinmeyenler kümesidir.
Tanım 3. Sistem (I) denir eklem yeri en az bir çözümü varsa ve ortak olmayan, eğer hiçbir çözümü yoksa. Eklem sistemi denir kesin benzersiz bir çözümü varsa ve belirsiz aksi takdirde.
Tanım 4. Formun denklemi
isminde sıfır ve denklem şu şekildedir
isminde uyumsuz. Açıkçası, uyumsuz bir denklem içeren bir denklem sistemi tutarsızdır.
Tanım 5. İki doğrusal denklem sistemi denir eş değer, eğer bir sistemin her çözümü bir başka sistemin çözümü olarak hizmet ediyorsa ve bunun tersine, ikinci sistemin her çözümü birincinin çözümü ise.
Bir doğrusal denklem sisteminin matris gösterimi.
Sistem (I)'i ele alalım (bkz. §1).
Şunu belirtelim:
Bilinmeyenler için katsayı matrisi
Matris - serbest terimler sütunu
Matris – bilinmeyenler sütunu
.
Tanım 1. Matris denir sistemin ana matrisi(I) ve matris, sistemin (I) genişletilmiş matrisidir.
Matrislerin eşitliği tanımı gereği, sistem (I) matris eşitliğine karşılık gelir:
.
Matrislerin çarpımının tanımı gereği bu eşitliğin sağ tarafı ( bkz. tanım 3 § 5 bölüm 1) çarpanlara ayrılabilir:
, yani
Eşitlik (2) isminde sistemin matris gösterimi (I).
Cramer yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme.
Sisteme izin ver (I) (bkz. §1) m=n, yani denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısına eşittir ve sistemin ana matrisi tekil değildir, yani. . O halde §1'deki sistem (I) benzersiz bir çözüme sahiptir
nerede Δ = det A ana denir sistemin belirleyicisi(ben), Δ BenΔ determinantı değiştirilerek elde edilir Ben sütununu sistemin serbest üyelerinden oluşan bir sütuna (I) ekleyin.
Örnek: Sistemi Cramer yöntemini kullanarak çözün:
.
Formüllere göre (3)
.
Sistemin belirleyicilerini hesaplıyoruz:
,
,
.
Determinantı elde etmek için determinantın ilk sütununu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirdik; Determinanttaki 2. sütunu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek şunu elde ederiz; benzer şekilde, determinantın 3. sütununu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek elde ederiz. Sistem çözümü:
Ters matris kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme.
Sisteme izin ver (I) (bkz. §1) m=n ve sistemin ana matrisi tekil değildir. (I) sistemini matris formunda yazalım ( bkz. §2):
Çünkü matris A tekil değilse, ters bir matrise sahiptir ( bkz. Bölüm 1 Teorem 1 §6). Eşitliğin her iki tarafını da çarpalım (2) matrise, o zaman
Ters bir matrisin tanımı gereği. Eşitlikten (3) sahibiz
Ters matrisi kullanarak sistemi çözün
.
Haydi belirtelim
Örnekte (§ 3) determinantı hesapladık, dolayısıyla matris A ters matrise sahiptir. Daha sonra fiilen (4) , yani
. (5)
Matris'i bulalım ( bkz. §6 bölüm 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Gauss yöntemi.
Bir doğrusal denklem sistemi verilsin:
. (BEN)
(I) sisteminin tüm çözümlerinin bulunması veya sistemin tutarsız olduğundan emin olunması gerekmektedir.
Tanım 1.Buna sistemin temel dönüşümü diyelim(I) üç eylemden herhangi biri:
1) sıfır denkleminin üzerini çizin;
2) denklemin her iki tarafına başka bir denklemin karşılık gelen kısımlarının l sayısıyla çarpılmasıyla eklenmesi;
3) tüm denklemlerde aynı sayılara sahip bilinmeyenlerin aynı yerleri işgal etmesi için sistemin denklemlerindeki terimlerin değiştirilmesi, yani. örneğin 1. denklemde 2. ve 3. terimleri değiştirmişsek, sistemin tüm denklemlerinde aynı işlemin yapılması gerekir.
Gauss yöntemi, sistemin (I) temel dönüşümlerin yardımıyla, çözümü doğrudan bulunan veya çözülemezliği kurulan eşdeğer bir sisteme indirgenmesi gerçeğinden oluşur.
§2'de açıklandığı gibi, sistem (I), genişletilmiş matrisi tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir ve sistem (I)'in herhangi bir temel dönüşümü, genişletilmiş matrisin temel bir dönüşümüne karşılık gelir:
.
Dönüşüm 1) matristeki sıfır satırın silinmesine karşılık gelir, dönüşüm 2) matrisin karşılık gelen satırına l sayısıyla çarpılarak başka bir satır eklenmesine eşdeğerdir, dönüşüm 3) matristeki sütunların yeniden düzenlenmesine eşdeğerdir.
Aksine, matrisin her temel dönüşümünün (I) sisteminin temel bir dönüşümüne karşılık geldiğini görmek kolaydır. Yukarıdakilerden dolayı (I) sistemi ile işlemler yerine bu sistemin genişletilmiş matrisi ile çalışacağız.
Matrisin 1. sütunu aşağıdaki katsayılardan oluşur: x 1, 2. sütun - katsayılardan x 2 vesaire. Sütunların yeniden düzenlenmesi durumunda bu koşulun ihlal edildiği dikkate alınmalıdır. Örneğin, 1. ve 2. sütunları değiştirirsek, artık 1. sütun şu katsayıları içerecektir: x 2 ve 2. sütunda - katsayılar x 1.
(I) sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözeceğiz.
1. Varsa matristeki tüm sıfır satırların üzerini çizin (yani (I) sistemindeki tüm sıfır denklemlerinin üzerini çizin.
2. Matrisin satırları arasında sonuncusu dışındaki tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir satır olup olmadığını kontrol edelim (böyle bir satıra tutarsız diyelim). Açıkçası böyle bir doğru (I) sistemindeki tutarsız bir denkleme karşılık gelir, dolayısıyla (I) sisteminin çözümü yoktur ve süreç burada sona erer.
3. Matrisin tutarsız satırlar içermemesine izin verin (sistem (I) tutarsız denklemler içermez). Eğer 11 =0, daha sonra 1. satırda sıfır dışında bir öğe (sonuncusu hariç) buluruz ve sütunları, 1. satırda 1. sırada sıfır olmayacak şekilde yeniden düzenleriz. Şimdi bunu varsayacağız (yani (I) sisteminin denklemlerindeki karşılık gelen terimleri değiştireceğiz).
4. 1. satırı çarpın ve sonucu 2. satırla ekleyin, ardından 1. satırı çarpın ve sonucu 3. satırla ekleyin, vb. Açıkçası, bu süreç bilinmeyeni ortadan kaldırmaya eşdeğerdir x 1 1. hariç, sistem (I)'in tüm denklemlerinden. Yeni matriste elemanın altındaki 1. sütunda sıfırlar alıyoruz 11:
.
5. Matriste varsa tüm sıfır satırların üzerini çizelim ve tutarsız bir satır olup olmadığını kontrol edelim (varsa sistem tutarsızdır ve çözüm burada biter). Olacak mı diye kontrol edelim a 22 / =0, eğer evet ise, 2. satırda sıfır dışında bir öğe buluruz ve sütunları yeniden düzenleriz. Daha sonra 2. satırın elemanlarını şu şekilde çarpın: 
ve 3. satırın karşılık gelen elemanlarını ekleyin, ardından - 2. satırın elemanlarını ekleyin ve 4. satırın karşılık gelen elemanlarını ekleyin, vb., altında sıfırlar elde edene kadar 22/
.
Alınan aksiyonlar bilinmeyeni ortadan kaldırmaya eşdeğerdir x 2 1. ve 2. hariç, sistem (I)'in tüm denklemlerinden. Satır sayısı sonlu olduğundan, sonlu sayıda adımdan sonra ya sistemin tutarsız olduğunu anlarız ya da bir adım matrisi elde ederiz ( bkz. tanım 2 §7 bölüm 1) :
,
Matrise karşılık gelen denklem sistemini yazalım. Bu sistem (I) sistemine eşdeğerdir.
.
İfade ettiğimiz son denklemden; elde edene kadar önceki denklemi yerine koyun, bulun, vb.
Not 1. Böylece, (I) sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözerken aşağıdaki durumlardan birine ulaşırız.
1. Sistem (I) tutarsızdır.
2. Matristeki satır sayısı bilinmeyenlerin sayısına () eşitse Sistem (I)'in benzersiz bir çözümü vardır.
3. Matristeki satır sayısı bilinmeyen sayısından () az ise Sistem (I)'in sonsuz sayıda çözümü vardır.
Dolayısıyla aşağıdaki teorem geçerlidir.
Teorem. Bir doğrusal denklem sistemi ya tutarsızdır, ya benzersiz bir çözümü vardır ya da sonsuz sayıda çözümü vardır.
Örnekler. Denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün veya tutarsızlığını kanıtlayın:
B) 
;
a) Verilen sistemi şu şekilde yeniden yazalım:
.
Hesaplamaları kolaylaştırmak için orijinal sistemin 1. ve 2. denklemlerini değiştirdik (kesirler yerine bu düzenlemeyi kullanarak sadece tam sayılarla çalışacağız).
Genişletilmiş bir matris oluşturalım:
.
Boş satır yok; uyumsuz çizgi yok; 1. bilinmeyeni sistemin 1. dışındaki tüm denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için, matrisin 1. satırının elemanlarını "-2" ile çarpın ve bunları 2. satırın karşılık gelen elemanlarıyla ekleyin; bu, 1. denklemi "-2" ile çarpıp 2. denklemle eklemeye eşdeğerdir. denklem. Daha sonra 1. satırın elemanlarını “-3” ile çarpıyoruz ve bunları üçüncü satırın karşılık gelen elemanlarıyla ekliyoruz, yani. Verilen sistemin 2. denklemini “-3” ile çarpıp 3. denklemle toplayalım. Aldık
.
Matris bir denklem sistemine karşılık gelir). - (bkz. tanım 3§7 bölüm 1).
Bu çevrimiçi hesap makinesi, matris yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözer. Çok detaylı bir çözüm veriliyor. Bir doğrusal denklem sistemini çözmek için değişken sayısını seçin. Ters matrisi hesaplamak için bir yöntem seçin. Daha sonra verileri hücrelere girin ve "Hesapla" düğmesine tıklayın.
×
Uyarı
Tüm hücreler temizlensin mi?
Kapat Temizle
Veri girişi talimatları. Sayılar tam sayı (örnek: 487, 5, -7623 vb.), ondalık sayı (örn. 67., 102,54 vb.) veya kesir olarak girilir. Kesir, a ve b'nin tam sayı veya ondalık sayı olduğu a/b biçiminde girilmelidir. Örnekler 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, vb.
Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemi
Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini göz önünde bulundurun:
Ters bir matrisin tanımı verildiğinde, A −1 A=e, Nerede e- kimlik matrisi. Bu nedenle (4) aşağıdaki gibi yazılabilir:
Dolayısıyla, doğrusal denklem sistemini (1) (veya (2)) çözmek için, tersini çarpmak yeterlidir. A kısıtlama vektörü başına matris B.
Matris yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme örnekleri
Örnek 1. Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini matris yöntemini kullanarak çözün:
Jordan-Gauss yöntemini kullanarak A matrisinin tersini bulalım. Matrisin sağ tarafında A Kimlik matrisini yazalım:
Ana köşegenin altındaki matrisin 1. sütununun elemanlarını hariç tutalım. Bunu yapmak için, 2,3 satırlarını sırasıyla -1/3, -1/3 ile çarparak 1. satıra ekleyin:
Ana köşegenin altındaki matrisin 2. sütununun elemanlarını hariç tutalım. Bunu yapmak için, 2. satırı -24/51 ile çarparak 3. satırı ekleyin:
Ana köşegenin üzerindeki matrisin 2. sütununun elemanlarını hariç tutalım. Bunu yapmak için, 2. satırı -3/17 ile çarparak 1. satırı ekleyin:
Matrisin sağ tarafını ayırın. Ortaya çıkan matris, ters matristir. A :
Bir doğrusal denklem sistemi yazmanın matris formu: Balta=b, Nerede
Matrisin tüm cebirsel tamamlayıcılarını hesaplayalım A:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Ters matris aşağıdaki ifadeden hesaplanır.
Genel olarak denklemler, doğrusal cebirsel denklemler ve sistemleri ile bunları çözme yöntemleri matematikte hem teorik hem de uygulamalı olarak özel bir yere sahiptir.
Bunun nedeni fiziksel, ekonomik, teknik ve hatta pedagojik sorunların büyük çoğunluğunun çeşitli denklemler ve sistemleri kullanılarak tanımlanıp çözülebilmesidir. Son zamanlarda matematiksel modelleme, hemen hemen tüm konu alanlarındaki araştırmacılar, bilim adamları ve uygulayıcılar arasında özel bir popülerlik kazanmıştır; bu, çeşitli doğadaki nesneleri, özellikle de karmaşık olarak adlandırılan nesneleri incelemek için iyi bilinen ve kanıtlanmış diğer yöntemlere göre bariz avantajlarıyla açıklanmaktadır. sistemler. Bir matematiksel modelin farklı zamanlarda bilim adamları tarafından verilen çok çeşitli farklı tanımları vardır, ancak bizce en başarılı olanı aşağıdaki ifadedir. Matematiksel model, bir denklemle ifade edilen bir fikirdir. Bu nedenle denklemleri ve sistemlerini oluşturma ve çözme yeteneği, modern bir uzmanın ayrılmaz bir özelliğidir.
Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için en yaygın kullanılan yöntemler Cramer, Jordan-Gauss ve matris yöntemidir.
Matris çözüm yöntemi, ters matris kullanarak sıfırdan farklı bir determinantı olan doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bir yöntemdir.
A matrisinde bilinmeyen xi miktarlarının katsayılarını yazarsak, bilinmeyen miktarları X vektör sütununda ve serbest terimleri B vektör sütununda toplarsak, doğrusal cebirsel denklemler sistemi şu şekilde yazılabilir: aşağıdaki matris denklemi A · X = B olup, yalnızca A matrisinin determinantı sıfıra eşit olmadığında benzersiz bir çözüme sahiptir. Bu durumda denklem sisteminin çözümü aşağıdaki şekilde bulunabilir. X = A-1 · B, Nerede A-1 ters matristir.
Matris çözüm yöntemi aşağıdaki gibidir.
Bize bir doğrusal denklem sistemi verilsin: N bilinmiyor:
Matris formunda yeniden yazılabilir: balta = B, Nerede A- sistemin ana matrisi, B Ve X- sırasıyla sistemin serbest terimleri ve çözümlerinin sütunları:
Bu matris denklemini soldan şununla çarpalım: A-1 - matrisin tersi matris A: A -1 (balta) = A -1 B
Çünkü A -1 A = e, alıyoruz X= bir -1 B. Bu denklemin sağ tarafı orijinal sistemin çözüm sütununu verecektir. Bu yöntemin uygulanabilirliği için koşul (aynı zamanda denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu homojen olmayan bir doğrusal denklem sistemine yönelik bir çözümün genel varlığı) matrisin dejenere olmamasıdır. A. Bunun için gerekli ve yeterli koşul, matrisin determinantının sıfıra eşit olmamasıdır. A:det A≠ 0.
Homojen bir doğrusal denklem sistemi için, yani vektör B = 0 , bunun tersi kural doğrudur: sistem balta = 0'ın önemsiz olmayan (yani sıfır olmayan) bir çözümü yalnızca det olması durumunda vardır A= 0. Homojen ve homojen olmayan doğrusal denklem sistemlerinin çözümleri arasındaki böyle bir bağlantıya Fredholm alternatifi denir.
Örnek Homojen olmayan bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümleri.
Lineer cebirsel denklem sisteminin bilinmeyenlerinin katsayılarından oluşan matrisin determinantının sıfıra eşit olmadığından emin olalım.
Bir sonraki adım, bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan matrisin elemanlarının cebirsel tümleyenlerini hesaplamaktır. Ters matrisi bulmak için onlara ihtiyaç duyulacak.
- A matrisinin determinantı hesaplanır;
- cebirsel toplamalar yoluyla ters A-1 matrisi bulunur;
- Excel'de bir çözüm şablonu oluşturulur;
Talimatlar. Ters matris yöntemini kullanarak bir çözüm elde etmek için matrisin boyutunu belirtmeniz gerekir. Daha sonra, yeni bir iletişim kutusunda A matrisini ve B sonuçlarının vektörünü doldurun.
Ayrıca bkz. Matris denklemlerini çözme.Çözüm algoritması
- A matrisinin determinantı hesaplanır. Determinant sıfır ise çözüm tamamlanmıştır. Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.
- Determinant sıfırdan farklı olduğunda cebirsel toplamalar yoluyla ters A-1 matrisi bulunur.
- Çözüm vektörü X =(x 1, x 2, ..., x n), ters matrisin sonuç vektörü B ile çarpılmasıyla elde edilir.
Cebirsel eklemeler.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x2 = 0 / -21 = 0
x3 = -21 / -21 = 1
Muayene:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1